南京航空航天大学2015年硕士研究生入学考试初试试题A 卷 科目代码: 601 科目名称: 数学分析 满分: 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！1. 计算下列极限(每题6分，共12分) .(1) 112lim (0)p p pp n n p n+→∞++>"); (2) 3333lim )x x x x x x →∞+−). 2. 计算下列积分(每题6分，共12分) .(1) 45cos dx x+∫ ; (2) 214011x dx x ++∫. 3. 已知arctan ,y x =求(0).n y （）(提示：可以利用Leibniz 公式)。
（12分）4. 下面的推理过程是否正确，为什么？（判断3分，理由10分）对函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x f ，在[0,]x 上应用Lagrange 中值定理得， 2111sin (2sin cos ),(0,)x x x x ξξξξ=−∈ 即 111cos 2sin sin ,(0,)x x x ξξξξ=−∈ 因为(0,)x ξ∈，所以当0x →时有0ξ→，于是由上式得01cos l m 0i x ξ→=，即01cos l m 0i ξξ→=.5. 设函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且在[0,1]上成立|()|1|"()|2f x f x ≤≤，，证明在[0,1]上成立|'()| 3.f x ≤（13分）6. 半径为r 的球恰好没于水中，球的密度为ρ，现在要将其吊出水面，最少要做多少功？（设水的密度为0ρ，重力加速度为g ）（13分）7. 证明函数)(x f =∑∞=+021cos n n nx 在⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 2 , 0 π 内连续, 且有连续的导函数. （13分） 8. 设函数),(y x f z =具有二阶连续偏导数. 在极坐标θcos r x =,θsin r y =变换下, 求+∂∂22x f 22yf ∂∂关于极坐标的表达式.（12分） 9. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+−=+)0,0(),(,0)0,0(),(,1),(22)(22y x y x y x e y x f y x x , 求),(y x f 在)0,0(点的4阶泰勒多项式，并求出)0,0(2yx f ∂∂∂，)0,0(44x f ∂∂. （12分） 10. 计算二重积分dxdy y x D∫∫+) (, 其中D 是由坐标轴及抛物线1=+y x所围区域. （13分）11. 计算曲面积分 ∫∫Σ++ zdxdy ydzdx xdydz , 其中Σ为上半球面222y x R z −−= 的上侧. （12分）12. 设函数)(x f 在] 1 , 0 [上连续, 且0)(>x f . 研究函数 ∫+=10 22)()(dx y x x yf y I 的连续性.（13分）。
