高中数学 综合测试题4 新人教A版选修2-2

新课标人教A版高中数学选修2-2新课标人教A版高中数学选修2-2是高中数学课程中的一个重要组成部分，它旨在帮助学生深化对数学知识的理解，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

本课程内容涵盖了概率论与数理统计、导数及其应用、积分及其应用等几个重要领域，为学生提供了进一步学习数学的基础。

首先，概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支，它在科学研究、工程设计、经济管理等领域都有着广泛的应用。

在这部分内容中，学生将学习到随机事件的概率计算、概率分布、期望值和方差等基本概念，并通过实例学习如何运用这些知识来解决实际问题。

例如，通过掷骰子、抽卡片等简单实验，学生可以直观地理解概率的概念，并通过计算来预测事件发生的可能性。

其次，导数及其应用是微积分的核心内容之一。

导数描述了函数在某一点处的变化率，是研究函数性质的重要工具。

在这部分内容中，学生将学习到导数的定义、求导法则、导数的应用等。

通过学习导数，学生能够更好地理解函数的增减性、极值点等性质，这对于解决物理、工程等领域的问题具有重要意义。

最后，积分及其应用是微积分的另一重要部分。

积分是导数的逆运算，它可以用来计算曲线下的面积、物体的重心位置等。

在这部分内容中，学生将学习到不定积分、定积分、积分的应用等。

通过学习积分，学生能够掌握求解面积、体积、质量等问题的方法，这对于理解自然界和工程问题具有重要作用。

总之，新课标人教A版高中数学选修2-2不仅为学生提供了丰富的数学知识，还培养了他们的数学思维和应用能力。

通过学习本课程，学生将能够更好地理解数学在现实生活中的应用，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

2高中数学选修《2-2》复习试题一、选择题（共8题，每题5分）1.复数(2)z i i =+在复平面内的对应点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 一质点做直线运动,由始点经过s t 后的距离为3216323s t t t =-+,则速度为0的时刻是（ ）A ．4s t= B ．8s t = C ．4s t =与8s t = D ．0s t =与4s t =3。

某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8,如果他连续射击5次，则这名射手恰有4次击中目标的概率是（ ）（A ）40.80.2⨯ （B)445C 0.8⨯ (C ）445C 0.80.2⨯⨯ (D ）45C 0.80.2⨯⨯ 4.已知14a b c =+==则a,b ，c 的大小关系为（ ） A ．a>b>cB ．c>a 〉bC ．c 〉b 〉aD ．b>c 〉a5.曲线32y x =-+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ） A．)+∞B. )+∞C. ()+∞ D 。

[)+∞ 6。

有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=,那么0x x =是函数()f x 的极值点,因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中（ ）A ．大前提错误B ． 小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确7。

.在复平面内， 复数1 + i 与31+i 分别对应向量OA 和OB , 其中O 为坐标原点，=（ ) A 。

2 B 。

2 C 。

10 D. 48、函数2()1x f x x =-( ）A ．在(0,2)上单调递减B ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增C ．在(0,2)上单调递增D ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递减二、填空题（共6题，30分) 9. .观察下列式子 2222221311511171,1,1222332344+<++<+++< , … … ， 则可归纳出________________________________10. 复数11z i =-的共轭复数是________。

第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1解析∵y'=2x+a,∴曲线y=x2+ax+b在(0,b)处的切线的斜率为a,切线方程为y-b=ax,即ax-y+b=0.∴a=1,b=1.答案A2若函数f(x)=ax5+bx3+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于()A.-1B.-2C.2D.0解析f'(x)=5ax4+3bx2为偶函数,∴f'(-1)=f'(1)=2.答案C3若函数f(x)=a ln x+x在x=1处取得极值,则a的值为()A.12B.-1 C.0 D.-12解析f'(x)=ax+1,令f'(x)=0,得x=-a, 易知函数f(x)在x=-a处取得极值.所以a=-1.答案B4已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围是() A.(-1,+∞) B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)答案B5设f(x)={x2,x∈[0,1],1x,x∈(1,e],则∫ef(x)d x等于()A.43B.54C.65D.76解析∫e0f(x)d x=∫1x2d x+∫e11xd x=13x3|1+ln x|e1=43.故选A.答案A6已知点P在曲线y=4e x+1上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.[0,π4) B.[π4,π2)C.(π2,3π4] D.[3π4,π)解析因为0>y'=-4e x(e x+1)2=-4e x+2+1e x≥-1,当且仅当x=0时取等号.即-1≤tan α<0,所以3π4≤α<π.答案D7∫1(e x+2x)d x等于() A.1 B.e-1C.eD.e+1解析∵(e x+x2)'=e x+2x,∴∫10(e x+2x)d x=(e x+x2)|1=(e1+12)-(e0+0)=e.答案C8设a∈R,若函数y=e ax+3x,x∈R有大于零的极值点,则() A.a>-3 B.a<-3C.a>-13D.a<-13解析令y'=a e ax+3=0,∴e ax=-3a.设x=x0为大于0的极值点,∴e ax0=-3a.∴a<0,ax0<0.∴0<e ax0<1,即0<-3a<1.∴a<-3.答案B9设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()解析y'=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)(3x-a-2b),令y'=0,得x=a或x=a+2b3.∵a<b ,∴a<a+2b3. ∴当x=a 时,y 取极大值0;当x=a+2b3时,y 取极小值,且极小值小于零.故选C . 答案C10若函数f (x ),g (x )满足∫ 1-1f (x )g (x )d x=0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f (x )=sin 12x ,g (x )=cos 12x ;②f (x )=x+1,g (x )=x-1;③f (x )=x ,g (x )=x 2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A.0B.1C.2D.3解析对于①,∫ 1-1sin 12x ·cos 12x d x=∫ 1-112sin x d x=12∫ 1-1sin x d x=12(-cos x )|-11=12{-cos 1-[-cos(-1)]}=12(-cos 1+cos 1) =0.故①为一组正交函数;对于②,∫ 1-1(x+1)(x-1)d x=∫ 1-1(x 2-1)d x=(13x 3-x)|-11=13-1-(-13+1)=23-2=-43≠0,故②不是一组正交函数;对于③,∫1-1x·x2d x=∫1-1x3d x=(14x4)|-11=0.故③为一组正交函数,故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11∫-1-21(11+5x)3d x=.解析取F(x)=-110(5x+11)2,从而F'(x)=1(11+5x)3.则∫-1-21(11+5x)3d x=F(-1)-F(-2)=-110×62+110×12=110−1360=772.答案77212若函数f(x)在x=a处的导数为A(aA≠0),函数F(x)=f(x)-A2x2满足F'(a)=0,则A=.解析由题知f'(a)=A,又F'(x)=f'(x)-2A2x,且F'(a)=f'(a)-2aA2=A-2aA2=0.∵aA≠0,∴A=12a.答案12a13已知函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x+e x ,则f'(1)= . 解析令e x =t ,则x=ln t ,∴f (t )=ln t+t ,∴f'(t )=1t +1,∴f'(1)=2.答案214设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P 处的切线垂直,则点P 的坐标为 .解析曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1x,可得y'=-1x2,因为曲线y=1x(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,所以-1x P2=-1,解得x P =1,由y=1x,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 答案(1,1)15已知函数f (x )为一次函数,其图象经过点(3,4),且∫ 10f (x )d x=1,则函数f (x )的解析式为 .解析设函数f (x )=ax+b (a ≠0).∵函数f (x )的图象经过点(3,4),∴b=4-3a.∴∫ 10f (x )d x=∫10(ax+4-3a )d x =[12ax 2+(4-3a )x]|01=12a+4-3a=1, ∴a=65.∴b=25.∴f (x )=65x+25.答案f (x )=65x+25三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)求定积分∫0-1x2x2+2xd x的值.解∫0-1x2x2+2xd x=∫0-1x2+2x-2xx2+2xd x=∫0-1(1-2x+2)d x=∫0-11d x-∫0-12x+2d x=1-2∫0-11x+2d x=1-2ln(x+2)|-10=1-2ln 2.17(8分)已知曲线f(x)=2x3-3x,过点M(0,32)作曲线f(x)的切线,求切线的方程.解设切点坐标为N(x0,2x03-3x0),由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值,而f'(x)=6x2-3,所以切线的斜率k=f'(x0)=6x02-3.所以切线方程为y=(6x02-3)x+32.又点N在切线上,所以2x03-3x0=(6x02-3)x0+32,解得x0=-2.故切线方程为y=21x+32.18(9分)求函数y=13x3+3-ln x的单调区间.解函数的定义域为(0,+∞),y'=x2-1x =(x-1)(x2+x+1)x.令y'>0,则{(x-1)(x2+x+1)x>0,x>0,解得x>1;令y'<0,则{(x-1)(x2+x+1)x<0, x>0,解得0<x<1.故函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).19(10分)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f'(x)=2a(x-5)+6x.令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=12.(2)由(1)知,f(x)=12(x-5)2+6ln x(x>0),f'(x)=x-5+6x =(x-2)(x-3)x.令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时,f'(x)>0,故f(x)的单调递增区间为(0,2),(3,+∞);当2<x<3时,f'(x)<0,故f(x)的单调递减区间为(2,3).由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=92+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.20(10分)已知f(x)=a(x-ln x)+2x-1x2,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1,2]成立.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x )=a-a x −2x 2+2x 3=(ax 2-2)(x -1)x 3. 当a ≤0时,x ∈(0,1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,x ∈(1,+∞)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.当a>0时,f'(x )=a (x -1)x 3(x -√2a )(x +√2a ).①0<a<2时,√2a >1,当x ∈(0,1)或x ∈(√2a ,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(1,√2a)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.②a=2时,√2a =1,在x ∈(0,+∞)内,f'(x )≥0,f (x )单调递增.③a>2时,0<√2a <1,当x ∈(0,√2a )或x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(√2a ,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.综上所述,当a ≤0时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;当0<a<2时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,√2a)内单调递减,在(√2a,+∞)内单调递增;当a=2时,f (x )在(0,+∞)内单调递增;当a>2时,f (x )在(0,√2a )内单调递增,在(√2a ,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知,a=1时,f (x )-f'(x )=x-ln x+2x -1x 2−(1-1x −2x 2+2x 3)=x-ln x+3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].设g (x )=x-ln x ,h (x )=3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].则f (x )-f'(x )=g (x )+h (x ).由g'(x )=x -1x≥0, 可得g (x )≥g (1)=1, 当且仅当x=1时取得等号.又h'(x )=-3x 2-2x+6x 4, 设φ(x )=-3x 2-2x+6,则φ(x )在x ∈[1,2]单调递减, 因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x 0∈(1,2),使得x ∈(1,x 0)时,φ(x )>0,x ∈(x 0,2)时,φ(x )<0. 所以h (x )在(1,x 0)内单调递增,在(x 0,2)内单调递减.由h (1)=1,h (2)=12,可得h (x )≥h (2)=12, 当且仅当x=2时取得等号.所以f (x )-f'(x )>g (1)+h (2)=32,即f (x )>f'(x )+32对于任意的x ∈[1,2]成立.。

人教a 版（数学选修2-2）测试题第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 3．函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________； 2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．函数2y x =在区间[12]，上的平均变化率为（ ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 答案：Ｂ2．已知直线y kx =是ln y x =的切线，则k 的值为（ ）Ａ．1eＢ．1e - Ｃ．2e Ｄ．2e -答案：Ａ 3．如果1N 的力能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm （在弹性限度内）所耗费的功为（ ） 答案：Ａ4．方程2(4)40()x i x ai a ++++=∈R 有实根b ，且z a bi =+，则z =（ ）Ａ．22i - Ｂ．22i + Ｃ．22i -+ Ｄ．22i -- 答案：Ａ5．ABC △内有任意三点不共线的2002个点，加上A B C ，，三个顶点，共2005个点，把这2005个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（ ） Ａ．4005 Ｂ．4002 Ｃ．4007 Ｄ．4000 答案：Ａ6．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第50项（ ） Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．11 答案：Ｃ7．在证明()21f x x =+为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提；④函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是（ ） Ａ．①②Ｂ．②④Ｃ．①③Ｄ．②③答案：Ｃ8．若a b ∈R ，，则复数22(45)(26)a a b b i -++-+-表示的点在（ ） Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｄ9．一圆的面积以210πcm /s 速度增加，那么当圆半径20cm r =时，其半径r 的增加速率u 为（ ） Ａ．12cm/s Ｂ．13cm/sＣ．14 cm/s Ｄ．15cm/s答案：Ｃ10．用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n +++>>++”时的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边（ ）Ａ．增加了一项12(1)k +Ｂ．增加了两项11212(1)k k +++ Ｃ．增加了两项11212(1)k k +++，又减少了一项11k + Ｄ．增加了一项12(1)k +，又减少了一项11k +答案：Ｃ11．在下列各函数中，值域不是[的函数共有（ ） （1）(sin )(cos )y x x ''=+（2）(sin )cos y x x '=+ （3）sin (cos )y x x '=+（4）(sin )(cos )y x x ''=· Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个答案：Ｃ12．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（ ）Ａ．23 Ｂ．43 Ｃ．83Ｄ．123答案：Ｃ 二、填空题13．函数3()31f x x x =-+在闭区间[30]-，上的最大值与最小值分别为 ． 答案：3，17-14．若113z i =-，268z i =-，且12111z z z +=，则z 的值为 ．答案：42255i -+15．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 ．答案：21n a n =+16．物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为21v t =-（v 的单位是m/s ，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为18v t =+，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动．则它们相遇时，A 物体的运动路程为 ． 答案：72m 三、解答题17．已知复数1z ，2z 满足2212121052z z z z +=，且122z z +为纯虚数，求证：123z z -为实数． 证明：由2212121052z z z z +=，得22112210250z z z z -+=， 即221212(3)(2)0z z z z -++=，那么222121212(3)(2)[(2)]z z z z z z i -=-+=+，由于，122z z +为纯虚数，可设122(0)z z bi b b ==∈≠R ，且， 所以2212(3)z z b -=，从而123z z b -=±，故123z z -为实数．解：设该容器底面矩形的短边长为x cm ，则另一边长为(0.5)x +m ，此容器的高为14.8(0.5) 3.224y x x x =--+=-， 于是，此容器的容积为：32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V x x x x x x x =+-=-++，其中0 1.6x <<， 即2()6 4.4 1.60V x x x '=-++=，得11x =，2415x =-（舍去）， 因为，()V x '在(01.6)，内只有一个极值点，且(01)x ∈，时，()0V x '>，函数()V x 递增； (11.6)x ∈，时，()0V x '<，函数()V x 递减；所以，当1x =时，函数()V x 有最大值3(1)1(10.5)(3.221) 1.8m V =⨯+⨯-⨯=， 31.8m ．19．如图所示，已知直线a 与b 不共面，直线c a M =，直线b c N =，又a 平面A α=，b 平面B α=，c 平面C α=，求证：A B C ，，三点不共线． 证明：用反证法，假设A B C ，，三点共线于直线l ， A B C α∈，，∵，l α⊂∴．c l C =∵，c ∴与l 可确定一个平面β． c a M =∵，M β∈∴．又A l ∈，a β⊂∴，同理b β⊂，∴直线a ，b 共面，与a ，b 不共面矛盾．所以AB C ，，三点不共线． 20．已知函数32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，求a 的取值范围． 解：求函数()f x 的导数：2()361f x ax x '=+-． （1）当()0()f x x '<∈R 时，()f x 是减函数．23610()0ax x x a +-<∈⇔<R 且36120a ∆=+<3a ⇔<-．所以，当3a <-时，由()0f x '<，知()()f x x ∈R 是减函数； （2）当3a =-时，33218()331339f x x x x x ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪⎝⎭，由函数3y x =在R 上的单调性，可知当3a =-时，()()f x x ∈R 是减函数； （3）当3a >-时，在R 上存在使()0f x '>的区间，所以，当3a >-时，函数()()f x x ∈R 不是减函数． 综上，所求a 的取值范围是(3)--，∞．21．若0(123)i x i n >=，，，，，观察下列不等式：121211()4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥，123123111()9x x x x x x ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥，，请你猜测1212111()n nx x x x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭满足的不等式，并用数学归纳法加以证明． 解：满足的不等式为21212111()(2)n nx x x n n x x x ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭≥≥，证明如下： 1．当2n =时，结论成立；2．假设当n k =时，结论成立，即21212111()k kx x x k x x x ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭2221(1)k k k ++=+≥．显然，当1n k =+时，结论成立．22．设曲线2(0)y ax bx c a =++<过点(11)-，，(11)，． （1）用a 表示曲线与x 轴所围成的图形面积()S a ； （2）求()S a 的最小值． 解：（1）曲线过点(11)-，及(11)，，故有1a b c a b c =-+=++，于是0b =且1c a =-，令0y =，即2(1)0ax a +-=，得x = 记α=，β=，由曲线关于y 轴对称， 有2300()2[(1)]2(1)3a S aax a dx x a xββ⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦⎰|2(13a a⎡=-=⎢⎣· （2）()S a =3(1)()(0)a f a a a-=<，则223221(1)()[3(1)(1)](21)a f a a a a a a a -'=---=+．令()0f a '=，得12a =-或1a =（舍去）．又12a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∞时，()0f x '<；102a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>．所以，当12a =-时，()f a 有最小值274，此时()S a高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数cos sin y x x x =-的导数为 （ ） （A ）cos x x （B ）sin x x - （C ）sin x x （D ）cos x x -2．下列说法正确的是 （ ） （A ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极大值（B ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极小值 （C ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极值 （D ）当0()f x 为()f x 的极值时， 0()0f x '=3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是 （ ）（A ）1 （B （C （D ）54．若函数3()y a x x =-的递减区间为(，则a 的取值范围是 （ ） （A ）(0,)+∞ （B ）(1,0)- （C ）(1,)+∞ （D ）(0,1)5．下列四条曲线（直线）所围成的区域的面积是 （ ） (1)sin y x =;(2) s y co x =; (3)4x π=-;(4) 4x π=(B)26．由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，叫 （ ） （A ）合情推理 （B ）演绎推理 （C ）类比推理 （D ）归纳推理7．复数a bi -与c di +的积是实数的充要条件是 （ ） （A ）0ad bc += （B ）0ac bd += （C ）0ad bc -= （D ）0ac bd -= 8．已知函数1sin 2sin 2y x x =+，那么y '是 （ ） （A ）仅有最小值的奇函数 （B ）既有最大值又有最小值的偶函数 （C ）仅有最大值的偶函数 （D ）非奇非偶函数 9．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。

高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。

2.复数就像向量，有大小和方向。

3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。

4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。

改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。

一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。

②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。

③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。

其中类比得到的结论正确的是：A。

①③B。

②④C。

②③D。

①④2.删除明显有问题的段落。

3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。

14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。

4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。

0)和(2.+∞)。

2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。

又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。

第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。

第一章综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2013·天津红桥区高二段测)二次函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限[答案] A[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴c ＝0，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，由y ＝f ′(x )的图象可知，2a <0，b >0，∴a <0，b >0，∴－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a >0，故选A.2．(2013·华池一中高二期中)曲线y ＝－1x 在点(12，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4(x ＋1)D ．y ＝2x －4[答案] B[解析] ∵y ′＝1x 2，∴y ′|x ＝12＝4，∴k ＝4，∴切线方程为y ＋2＝4(x －12)，即y ＝4x －4.3．(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( ) A ．f (x )＝－x 3 B ．f (x )＝－cos x C ．f (x )＝sin x －x D ．f (x )＝1x[答案] B[解析] 对于A ，f ′(x )＝－3x 2≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于B ，f ′(x )＝sin x ，当x ∈(－π，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，π)时，f ′(x )>0，故f (x )＝－cos x 在x ＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x ＝0是f (x )的一个极小值点；对于C ，f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D ，f (x )＝1x在x ＝0没有定义，所以x ＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B. 4．(2013·北师大附中高二期中)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)，∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．[－3，3][答案] D[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，∴f ′(x )≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，∴－3≤a ≤3，故选D.5．(2013·武汉实验中学高二期末)设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] A[解析] f (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f ′(x )的图象在(－∞，0)上，f ′(x )>0，在(0，＋∞)上f ′(x )的符号变化规律是负→正→负，故选A.6．(2012·陕西文，9)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点[答案] D[解析] 由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2x )＝0可得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >2时 f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点．7．(2014·天门市调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y ＝f (3π4－x )是( )A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且图象关于点(3π2，0)对称C ．奇函数且图象关于点(3π2，0)对称D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称 [答案] D[解析] ∵f (x )的图象关于x ＝π4对称，∴f (0)＝f (π2)，∴－b ＝a ，∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π4)，∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .显然f (3π4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.8．(2013·武汉实验中学高二期末)定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0， ∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.9．(2013·华池一中高二期中)若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2. 10．(2013·河南安阳中学高二期末)f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )[答案] A[解析] 令F (x )＝xf (x )，(x >0)，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a <b ，∴F (a )>f (b )，即af (a )>bf (b )，与选项不符； 由于xf ′(x )＋f (x )≤0且x >0，f (x )≥0，∴f ′(x )≤－f (x )x≤0，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∵0<a <b ，∴f (a )>f (b )， ∴bf (a )>af (b )，结合选项知选A.11．(2014·天门市调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.12．(2013·泰安一中高二段测)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B )[答案] A[解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin(π2－B )>0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )> f (cos B )，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2013·华池一中高二期中)已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________．[答案] 57[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.14．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)， 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0，f (1)<0，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)<0，f (1)>0， ∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.15．(2014·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－3，－2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x、y 2＝x 与直线x ＝2、y ＝0围成，则其面积为______．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x 得交点B ⎝⎛⎭⎫2，12. 故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ， 又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－2，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)． 因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．19．(本题满分12分)(2014·北京海淀期中)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a >0)． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ， ∴f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x(x >0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0， 所以切线方程为y ＝－3.(2)f ′(x )＝2x 2－2(a ＋1)x ＋2a x ＝2(x －1)(x －a )x (x >0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0<a <1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ＝1时，f ′(x )＝2(x －1)2x ≥0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >1时，在x ∈(0,1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调增区间为(0,1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，解得a ≥e 2－2e2e －2.20．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.21．(本题满分12分)(2014·荆州中学、龙泉中学、宜昌一中、襄阳四中期中联考)已知函数f (x )＝ln x ＋a x ＋1，a 为常数．(1)若a ＝92，求函数f (x )在[1，e ]上的值域；(e 为自然对数的底数，e ≈2.72)(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 在[1,2]上为单调减函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)由题意f ′(x )＝1x －a(x ＋1)2，当a ＝92时，f ′(x )＝1x －92(x ＋1)2＝(x －2)(2x －1)2x (x ＋1)2.∵x ∈[1，e ]，∴f (x )在[1,2)上为减函数，[2，e ]上为增函数， 又f (2)＝ln2＋32，f (1)＝94，f (e )＝1＋92e ＋2，比较可得f (1)>f (e )，∴f (x )的值域为[ln2＋32，94]．(2)由题意得g ′(x )＝1x －a(x ＋1)2＋1≤0在x ∈[1,2]上恒成立，∴a ≥(x ＋1)2x ＋(x ＋1)2＝x 2＋3x ＋1x ＋3恒成立，设h (x )＝x 2＋3x ＋1x＋3(1≤x ≤2)，∴当1≤x ≤2时，h ′(x )＝2x ＋3－1x 2>0恒成立，∴h (x )max ＝h (2)＝272，∴a ≥272， 即实数a 的取值范围是[272，＋∞)．22．(本题满分14分)(2014·北京海淀期中)如图，已知点A (11,0)，直线x ＝t (－1<t <11)与函数y ＝x ＋1的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记△APH 的面积为f (t )．(1)求函数f (t )的解析式； (2)求函数f (t )的最大值．[解析] (1)由已知AH ＝11－t ，PH ＝t ＋1，所以△APH 的面积为f (t )＝12(11－t )t ＋1，(－1<t <11)．(2)解法1：f ′(t )＝3(3－t )4t ＋1，由f ′(t )＝0得t ＝3，函数f (t )与f ′(t )在定义域上的情况如下表：所以当t ＝解法2.由f (t )＝12(11－t )t ＋1＝12(11－t )2(t ＋1)，－1<t <11，设g (t )＝(11－t )2(t ＋1)，－1<t <11，则g ′(t )＝－2(11－t )(t ＋1)＋(11－t )2＝(t －11)(t －11＋2t ＋2)＝3(t －3)(t －11)． g (t )与g ′(t )在定义域上的情况见下表：所以当t ＝3所以当t ＝3时，函数f (t )取得最大值12g (3)＝8.一、选择题1．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] y ′＝2x ＋a ，∴y ′|x ＝0＝(2x ＋a )|x ＝0＝a ＝1， 将(0，b )代入切线方程得b ＝1.2．(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5. 3．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15 D ．5，－16[答案] A[解析] ∵y ′＝6x 2－6x －12＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝2，故函数y ＝f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值，而f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.4.⎠⎛241xd x 等于( ) A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2[答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x ，所以 ⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.5．(2013·吉林白山一中高二期末)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e)C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e)>f (d )[答案] C[解析] 由图可知f ′(x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上取正值，在(c ，e)上取负值，故f (x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上单调递增，在(c ，e)上单调递减，∵a <b <c ，∴f (a )<f (b )<f (c )，故选C.6．已知函数f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1，1)，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) [答案] B[解析] ∵f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)， ∴f ′(x )＝4＋3cos x >0在x ∈(－1,1)上恒成立，∴f (x )在(－1,1)上是增函数，又f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)是奇函数，∴不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0可化为f (1－a )<f (a 2－1)，从而可知，a 须满足⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1.解得1<a < 2.7．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )[答案] D[解析] A 中，当f (x )为二次函数时，f ′(x )为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A 可以是正确的，同理B 、C 都可以是正确的，但D 中f (x )的单调性为增、减、增，故f ′(x )的值应为正负正，因此D 一定是错误的．8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.9．如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18J B ．0.26J C ．0.12J D ．0.28J[答案] A[解析] 设F (x )＝kx ，当F (x )＝1时，x ＝0.01m ，则k ＝100，∴W ＝∫0.060100x d x ＝50x 2|0.06＝0.18.10．(2014·甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B.11．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.12．(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n 2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3]D ．(0,1)∪[3，＋∞)[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，∴⎩⎨⎧m ＋n2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>log a 3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B.二、填空题13．(2014·杭州七校联考)若函数f (x )＝x 3－3bx ＋b 在区间(0,1)内有极值，则实数b 的取值范围是________．[答案] (0,1)[解析] f ′(x )＝3x 2－3b ，∵f (x )在(0,1)内有极值， ∴f ′(x )＝0在(0,1)内有解，∴0<b <1.14．(2013·泰州二中高二期中)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________.[答案] 5[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是f ′(x )＝0的根，即f ′(－3)＝0， ∴27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.15．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是__________________． [答案] 2n ＋1－2[解析] ∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝(x n )′(1－x )＋(1－x )′·x n ＝n ·x n －1(1－x )－x n .f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1.在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n . ∴切线方程为y ＋2n ＝(－n －2)·2n －1(x －2)．令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n ， ∴a n ＝(n ＋1)·2n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为2(2n－1)2－1＝2n ＋1－2.16．(2014·哈六中期中)已知函数f (x ＋2)是偶函数，x >2时f ′(x )>0恒成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，且f (4)＝0，则不等式(x ＋2)f (x ＋3)<0的解集为________．[答案] (－∞，－3)∪(－2,1)[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，∵y ＝f (x ＋2)的图象向右平移两个单位得到y ＝f (x )的图象，∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∵x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又f (4)＝0，∴f (0)＝0，∴0<x <4时，f (x )<0，x <0或x >4时，f (x )>0，由(x ＋2)f (x ＋3)<0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，f (x ＋3)>0，(1)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，f (x ＋3)<0.(2) 由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x ＋3<0或x ＋3>4，∴x <－3；由(2)得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，0<x ＋3<4.∴－2<x <1，综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1) 三、解答题17．(2013·四川达州诊断)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数．(1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围． [解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)， ∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )， 令f ′(x )＝0得x ＝±b ，依题意有⎩⎨⎧f (－b )>0，f (b )<0，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)．18．在曲线y ＝x 3(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴围成图形的面积为112，试求过切点A 的切线方程．[解析] 设切点A (x 0，x 30)，切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.∴切线的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝2x 03.依题意S ＝∫x 00x 3d x －12×(x 0－2x 03)·x 3＝14x 40－16x 40＝112x 40＝112， ∵x 0≥0，∴x 0＝1.∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.19．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(23)＝3×(23)2＋2a ×23＋b ＝0，f ′(1)＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.经检验得x ＝23时，y ＝f (x )有极小值，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23，f ′(x )，f (x )的值随x 的变化情况如下表： ∵f (23)＝9527，f (－2)＝13，f (－4)＝－11，f (1)＝4，∴f (x )在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.20．(2013·海淀区高二期中)已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b 的值；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，求a 的值．[解析](1)f′(x)＝a2x2－4ax＋b，由题意f′(0)＝b＝3.(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极大值，∴f′(1)＝a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.①当a＝1时，f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：②当a＝3时，f′(x)＝9x2－12x＋3＝3(3x－1)(x－1)，x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：综上所述，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，a的值为1.21．(2013·武汉实验中学高二期末)已知曲线f(x)＝ax2＋2在x＝1处的切线与直线2x－y ＋1＝0平行．(1)求f(x)的解析式；(2)求由曲线y＝f(x)与y＝3x、x＝0、x＝1、x＝2所围成的平面图形的面积．[解析](1)由已知得：f′(1)＝2，求得a＝1，∴f(x)＝x2＋2.(2)由题意知阴影部分的面积是： S ＝⎠⎛01(x 2＋2－3x )d x ＋⎠⎛12(3x －x 2－2)d x＝(13x 3＋2x －32x 2)|10＋(32x 2－13x 3－2x )|21＝1. 22．(2013·福州文博中学高二期末)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．[解析] (1)由题设知g (x )＝ln x ＋1x ，∴g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝－(x －1)2x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)．当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)，当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)．(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a ，即ln a <1，从而得0<a <e ，即a 的取值范围为(0，e)．。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．实数a，b，c不全为0等价于( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．【答案】 D2．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.【答案】 A3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【解析】假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.【答案】 C4．设a，b，c大于0，则3个数：a＋1b，b＋1c，c＋1a的值( ) 【导学号：60030059】A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2【解析】 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数都小于2，则必有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6，而⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2a·1a ＋2b·1b ＋2c·1c ＝6，故二者相矛盾．所以假设不成立．【答案】 D5．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )A ．有两个内角是钝角B ．有三个内角是钝角C ．至少有两个内角是钝角D ．没有一个内角是钝角【解析】 “最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.【答案】 C二、填空题6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是___________________________________________________________．【解析】 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形．【答案】 没有一个面是三角形或四边形或五边形7．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．【解析】 假设a ，b 均不大于1，即a ≤1，b ≤1.则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a ，b 中至少有一个大于1”，故选③.【答案】 ③8．(2016·开原模拟)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2分别是________．(填三角形的种类)【解析】 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A2＝cos A1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A1，sin B2＝cos B1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B1，sin C2＝cos C1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C1， 得⎩⎪⎨⎪⎧ A2＝π2－A1，B2＝π2－B1，C2＝π2－C1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．【答案】 锐角三角形，纯角三角形三、解答题9．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负数根．【证明】 假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x0－2x0＋1， 由0<ax 0<1⇒0<－x0－2x0＋1<1， 解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根．10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于32.【证明】 假设a ，b ，c 都小于等于32，即a ≤32，b ≤32，c ≤32.∵abc ＝1，∴a ，b ，c 三数同为正或一正两负．又a ＋b ＋c ＝0，∴a ，b ，c 只能是一正两负，不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0.则b ＋c ＝－a ，bc ＝1a ，∴b ，c 为方程x 2＋ax ＋1a ＝0的两根，∴Δ＝a 2－4a ≥0，即a 3≥4.∴a ≥ 34＞3278＝32，这与a ≤32矛盾，∴a ，b ，c 中至少有一个大于32.[能力提升]1．下列命题运用“反证法”证明正确的是( )A ．命题：若a >b >0，则a >b .用反证法证明：假设a >b 不成立，则a <b .若a <b ，则a <b ，与已知a >b 矛盾．故假设不成立，结论a>b 成立B ．命题：已知二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c∈R ，且a ≠0)有实根，求证：Δ＝b 2－4ac ≥0.用反证法证明：假设Δ＝b 2－4ac <0，则ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，与已知方程有实根矛盾，∴Δ≥0C ．命题：已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，证明：关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根．用反证法证明：假设方程x 2－2x ＋5－p 2＝0有实数根，由已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，解得－2<p <－12，而关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0的根的判别式Δ＝4(p 2－4)，∵－2<p <－12，∴14<p 2<4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根D ．命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b∈R .“若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0”．用反证法证明：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .∵f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知相矛盾．∴原命题成立【解析】 A ．反证法中的反证不全面，“a>b ”的否定应为“a ≤b ”．B ．本题犯了“循环论证”的错误，实质上没有求出该题．C．在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．【答案】 D2．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的( ) 【导学号：60030060】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，所以b<0，与b>0矛盾．故P，Q，R都大于0.【答案】 C3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为__________．【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.【答案】③①②4．已知函数f(x)＝x22x－2，如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求证：当n≥2时，恒有a n<3成立．【证明】假设a n≥3(n≥2)，则由已知得a n＋1＝f(a n)＝a2n2an－2，所以当n≥2时，an＋1an＝an2an－2＝12·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1an－1≤12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝34＜1(因为a n－1≥3－1)，又易证a n>0，所以当n≥2时，a n＋1<a n，所以当n＞2时，a n<a n－1<…<a2；而当n＝2时，a2＝a212a1－2＝168－2＝83＜3，所以当n≥2时，a n<3；这与假设矛盾，故假设不成立，所以当n≥2时，恒有a n<3成立.。

高二数学练习题一、选择题（每小题5分，共60分）1.设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= ( ) A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ． 1i +2．曲线23-+=x x y 上一点0P 处的切线平行于直线41y x =+，则点0P 一个的坐标是 （ ） A ．（0，-2） B. (1, 1) C. (-1, －4) D. (1, 4) 3．设y x ,为正数, 则)41)((yx y x ++的最小值为 （ ）A. 6B.9C.12D.154．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的 倾斜角为 （ ） A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角5．如图,用与底面成30︒角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的 离心率为 A ．12B．3C．2D ．非上述结论[]326y 2x 3x 12x 50,3=--+．函数在上的最大值与最小值分别是 （ ）A.5 , -15B.5 , 4C.-4 , -15D.5 , -168、已知{}n b 为等比数列，52b =，则99212=⋅⋅⋅b b b 。

若{}n a为等差数列，第5题图52a =，则{}n a 的类似结论为（ ）A 99212=⋅⋅⋅a a aB 99212=+++a a a C 92921⨯=⋅⋅⋅a a a D 92921⨯=+++a a a 9.已知曲线3lnx 4xy 2-=的一条切线的斜率为21,则切点的横坐标为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 1210.设R a ∈，若函数x e y ax3+=，R x ∈有大于零的极值点，则（ ）A ．3->a B. 3-<a C. 31->a D. 31-<a()2111.f x ln(2)b 2x b x =-++∞若在(-1,+)上是减函数，则的取值范围是（ ）A.[-1，+∞]B.（-1，+∞）Ｃ.(]1,-∞- D.（-∞，-1）12.如右图，求阴影部分的面积是（ ） A. 32 B. 329- C.332 D. 335二、填空题（每小题4分，共16分）121)3(z z i -12、若复数z =4+29i,z =6+9i,则复数的实部为 。

模块综合评估(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1.1＋3i 1－i＝( B ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i解析：1＋3i 1－i ＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i 2＝－1＋2i.故选B. 2．下列说法正确的是( B )A ．2>2iB ．2>(3i)2C ．2＋3i<3＋3iD ．2＋2i>2＋i解析：本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小，故排除A ，C ，D ；而B 中(3i)2＝－9<2，故选B.3．若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝( C )A ．－iB ．－2iC ．i D.2i解析：本题主要考查复数的运算及共轭复数的概念．因为z (1＋i)＝1－i ，所以z ＝1－i 1＋i＝－2i 2＝－i ，所以z ＝i.故选C. 4．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角α＝( B )A ．0 B.π4 C ．1 D.3π2解析：本题主要考查导数的几何意义．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝e x(sin x ＋cos x )x ＝0＝1，所以倾斜角α＝π4.故选B.5．函数f (x )＝cos x 2x 的导函数f ′(x )＝( B )A.sin x －cos x 2xB ．－sin x ＋ln2·cos x 2x C.sin x －ln2·cos x 2x D ．－sin x ＋cos x 4x解析：f′(x)＝(cos x)′·2x－cos x·(2x)′(2x)2＝－sin x·2x－cos x·2x ln24x＝－sin x＋ln2·cos x2x.6．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD 也是异面直线”的过程分为三步：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的顺序为(B)A．①→②→③B．③→①→②C．①→③→②D．②→③→①解析：本题主要考查反证法的步骤．反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B.7．由“边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为32a”可类比猜想：棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为(B)A.43a B.63a C.54a D.64a解析：将正三角形分割成以三条边为底的三个三角形，利用三个三角形面积的和等于正三角形的面积即可求得正三角形内任一点到三边的距离之和．类比可知，将正四面体分割成以各面为底的四个三棱锥，则四个三棱锥体积之和等于正四面体的体积，即可求得棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为63a.故选B.8．设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面上对应的点的轨迹是(C)A．圆B．半圆C．直线D．射线解析：复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面内对应的点是复平面内到点(3，－4)，(－3,4)的距离相等的点，其轨迹为(3，－4)，(－3,4)两点连线的中垂线．故选C.9．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列各点一定在y 轴上的是( A )A ．(b ，a )B ．(a ，c )C ．(c ，b )D ．(a ＋b ，c )解析：本题主要考查导数的应用．f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则1－1＝－2b 3a ＝0，所以b ＝0.故选A.10．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面内对应的点位于( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：e 2i ＝cos2＋isin2，它在复平面内对应的点为(cos2，sin2)，由于π2<2<π，因此cos2<0，sin2>0，故点(cos2，sin2)在第二象限．11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1<0，则不等式f (x 2)<x 2＋1的解集为( C )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2)解析：本题主要考查导数的应用．令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1<0，∴g (x )在R 上单调递减．由f (x 2)<x 2＋1，得f (x 2)－x 2<1，即g (x 2)<1.又g (2)＝f (2)－2＝1，∴g (x 2)<g (2)，∴x 2>2，解得x >2或x <－ 2.故选C.12．已知函数y ＝f (x )对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式中成立的是( A ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 C ．f (0)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．f (0)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 解析：令g (x )＝f (x )cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则g ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x .因为f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立，所以g ′(x )>0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立，所以g (x )＝f (x )cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π312<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π422，所以2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4.故选A. 二、填空题(每小题5分，共20分)13．曲线y ＝2cos x －π4在x ＝π4处的切线方程是x ＋y －1＝0.解析：由题意知y ′＝－2sin x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝π4＝－1.易知切点为⎝⎛⎭⎪⎫π4，1－π4，所以切线方程为x ＋y －1＝0. 14．复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，则z 1＝1－i 或－1＋i.解析：本题主要考查复数的运算与几何意义．设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ，∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋b i )(3－i )＝(－a ＋b i )(1＋3i )a 2＋b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，∴z 1＝1－i 或－1＋i.15．观察下列各式：(1)(x 2)′＝2x ；(2)(x 4)′＝4x 3；(3)(cos x )′＝－sin x .根据以上事实，由归纳推理可得，若定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为g (x )，则g (0)＝0.解析：在(x 2)′＝2x 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；在(x 4)′＝4x 3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；在(cos x )′＝－sin x 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数．我们可以推测，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R 上的函数f (x )为偶函数，g (x )为f (x )的导函数，则g (x )为奇函数，故g (－x )＋g (x )＝0，即g (－0)＝－g (0)，g (0)＝0.16．若函数f (x )＝3a －x 2⎝⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与g (x )＝2ln x的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的最小值是13.解析：由题意可得f (x )＝－g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，即3a －x 2＝－2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，整理可得a ＝x 2－2ln x 3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解．令h (x )＝x 2－2ln x 3，则h ′(x )＝13⎝⎛⎭⎪⎫2x －2x ，易知h ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递增，又h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －2e <0，h ′(1)＝0，h ′(e)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －2e >0，则h (x )min ＝h (1)＝13，所以实数a 的最小值是13.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知复数z 1满足z 1·i ＝1＋i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2.(1)求z 1；(2)若z 1·z 2是纯虚数，求z 2.解：(1)因为z 1·i ＝1＋i ，所以z 1＝1＋i i ＝－i (1＋i )－i 2＝1－i. (2)因为z 2的虚部为2，所以设z 2＝m ＋2i(m ∈R )．因为z 1·z 2＝(1－i)(m ＋2i)＝(m ＋2)＋(2－m )i 为纯虚数，所以m ＋2＝0，且2－m ≠0，解得m ＝－2.所以z 2＝－2＋2i.18．(12分)(1)求证：当a >2时，a ＋2＋a －2<2a ；(2)证明：2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．证明：(1)要证a ＋2＋a －2<2a ，只需证(a ＋2＋a －2)2<(2a )2，即证2a ＋2a ＋2·a －2<4a ，即证a ＋2·a －2<a ，只需证(a ＋2·a －2)2<a 2，即证a 2－4<a 2，显然成立，所以a ＋2＋a －2<2a .(2)假设2，3，5是同一个等差数列中的三项，且该等差数列的公差为d ，显然d ≠0.令3＝2＋rd,5＝2＋sd (r ，s 为非零整数)，则3－25－2＝r s，等式左端为无理数，等式右端为有理数，矛盾，所以假设不成立，故2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．19．(12分)已知复数z 1＝2＋a i(其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且z 21为纯虚数．(1)求函数实数a 的值；(2)若z ＝z 11－i，求|z |. 解：(1)z 21＝(2＋a i)2＝4－a 2＋4a i ，因为z 21为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2＝0，a ≠0，a >0，解得a ＝2.(2)由(1)得z 1＝2＋2i ，则z ＝2＋2i 1－i ＝(2＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝4i 2＝2i ，|z |＝2. 20．(12分)已知函数f (x )＝x ln x ＋x .(1)求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程并求函数f (x )的单调区间；(2)求证：e x >f ′(x )．解：(1)由题得f ′(x )＝ln x ＋2，∴f ′(1)＝2，又f (1)＝1，∴所求切线方程为y ＝2x －1.令f ′(x )>0，解得x >e －2，令f ′(x )<0，解得0<x <e －2，故函数f (x )的单调递增区间为(e －2，＋∞)，单调递减区间为(0，e －2)．(2)证明：设g (x )＝e x －f ′(x )＝e x －ln x －2，x >0.g ′(x )＝e x－1x ，易知g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，且g ′(1)＝e －1>0，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12 －2<0，∴存在唯一的t ，且12<t <1，使得g ′(t )＝e t －1t ＝0，即e t＝1t ，∴g (x )在(0，t )上单调递减，在(t ，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (t )＝e t－ln t －2＝1t －ln 1e t －2＝t ＋1t －2≥2－2＝0，当且仅当t ＝1时等号成立，又12<t <1，∴上式等号不成立，∴g (x )>0，即e x >f ′(x )．21．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，x ∈[0，＋∞)．(1)求f (x )的最小值；(2)证明：当x ≥0时，e x －1≥sin x －cos x ＋1.解：(1)f ′(x )＝2(x －sin x )．设g (x )＝x －sin x ，则g ′(x )＝1－cos x ，当x ≥0时，g ′(x )≥0，即g (x )为增函数，则f ′(x )＝2g (x )≥2g (0)＝0， 所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，因此f (x )min ＝f (0)＝2.(2)证明：由(1)得，当x ≥0时，f ′(x )≥0，即sin x ≤x .又f (x )≥2，即1－cos x ≤x 22，所以sin x －cos x ＋1≤x ＋x 22.证明x ＋x 22≤e x －1成立即可证明原不等式成立．令h (x )＝e x－x 22－x －1，则h ′(x )＝e x －x －1， 令m (x )＝e x －x －1，则m ′(x )＝e x －1，当x ≥0时，e x －1≥0，所以h ′(x )是增函数，即h ′(x )≥h ′(0)＝0，所以h (x )是增函数，即h (x )≥h (0)＝0，可得e x－x 22－x －1≥0，即e x －1≥x 22＋x ，所以原不等式成立．22．(12分)已知函数f (x )＝38x 2－2x ＋2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[e m ，＋∞)(m ∈Z )上有零点，求m 的最大值． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝34x －2＋1x ＝(3x －2)(x －2)4x， 当f ′(x )>0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(2，＋∞)；当f ′(x )<0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23和(2，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. (2)由(1)知y 极大＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝56＋ln 23>0，y 极小＝f (2)＝ln2－12>0.当x >0且x →0时f (x )<0，故f (x )在定义域上存在唯一零点x 0，且x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23. 若m ≥0，则e m ≥1，[e m，＋∞)⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，此区间内不存在零点，舍去，故m <0.当m ＝－1时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1＋38e 2－2e >0， 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，23上单调递增，此区间不存在零点，舍去． 当m ＝－2时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝1e 2⎝ ⎛⎭⎪⎫38e 2－2<0， 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，23上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>0，故x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，23. 综上，m 的最大值为－2.。

高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 答案：Ａ 二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角． 答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ． 答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ． 答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ． 答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数． （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围． 解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω． 解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1． 高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，， Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点 答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆 Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ） Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离 答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（ ）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ 二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ． 答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ． 答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ． 答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ． 解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-； （2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =． 又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ． （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值． 解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。

高二数学选修2-2综合测试题一、选择题：1、i 是虚数单位。

已知复数413(1)3iZ i i+=++-，则复数Z 对应点落在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限2、在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形1 3 6 10 15 则第n 个三角形数为（ ） A ．n B ．2)1(+n n C ．12-n D ．2)1(-n n 3、求由曲线y x =2y x =-+及y 轴所围成的图形的面积错误．．的为（ ） A.4(2)x x dx -+⎰B.0xdx ⎰C.222(2)y y dy ---⎰ D.022(4)y dy --⎰4、设复数z 的共轭复数是z ,且1z =,又(1,0)A -与(0,1)B 为定点,则函数()f z =(1)z +()z i -︱取最大值时在复平面上以z ,A,B 三点为顶点的图形是A,等边三角形 B,直角三角形 C,等腰直角三角形 D,等腰三角形5、函数f(x)的定义域为R ，f(-1)=2,对任意x R ∈，'()2f x >,则()24f x x >+的解集为(A)(-1，1) (B)(-1，+∞) (c)(-∞，-l) (D)(-∞,+∞)6、用数学归纳法证明412135()n n n +++∈N 能被8整除时，当1n k =+时，对于4(1)12(1)135k k +++++可变形为Ａ．41412156325(35)k k k +++++·Ｂ．441223355k k ++··Ｃ．412135k k +++Ｄ．412125(35)k k +++7、设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且(3)0g -=，则不等式f (x )g (x )<0的解集是（ ） A. (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3)C.(－∞，－3)∪(3，+∞)D. (－∞，－3)∪(0，3) 8、已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f的前n 项和为n S ,则2011S 的值为（ ）20122011.20112010.20102009.20092008.D C B A9、设函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 22k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是 ( )A.13k <B.103k <≤C.103k ≤≤D.13k ≤10、函数()y f x =在定义域3(,3)2-内可导，其图象如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≤的解集为 （ ） A ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]481,2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]31,1,222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3148,1,,32233⎛⎤⎡⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎥⎢⎝⎦⎣⎦⎣⎭11、 已知函数)(131)(23R b a bx ax x x f ∈+-+=、在区间[-1,3]上是减函数，则b a +的最小值是A.32B.23C.2D. 312、函数32()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．（-24,8） B ．（-24,1]C ．[1,8]D ．[1,8）高二数学选修2-2综合测试题（答题卡）一、选择题（60分）。

最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套模块综合检测(A)一、选择题1.复数z＝2－i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限解析：∵z＝2－i＝(2.-1)，在第四象限．∴复数z对应的点的坐标为(2.-1)。

答案：D2.函数f(x)＝x^3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为()A。

10B。

5/3C。

－1D。

－7/3解析：f′(x)＝3x^2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，y－10＝7(x－1)，y＝7(x－1)+10时，x＝7/3.答案：D3.类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是()①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交。

A。

①②③B。

①③C。

①D。

②③解析：类比①的结论为：平行于同一个空间的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个空间如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个空间与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立。

答案：A4.函数y＝x^3－3x^2－9x(－2<x<2)有()A。

极大值5，极小值－27B。

极大值5，极小值－11C。

极大值5，无极小值D。

极小值－27，无极大值解析：y′＝3x^2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，得x＝－1，x＝3，当x0；当x>－1时，y′<0.当x＝－1时，y极大值＝5，x取不到3，无极小值。

答案：C5.函数y＝4x^2＋1/x的单调递增区间是()A。

(0，＋∞)B。

(－∞，1)C。

(1，2)D。

(2，＋∞)解析：令y′＝8x－1/x^2＝0，即x＝1/2，y′(x)＝8x－1/x^2＞0，所以y＝4x^2＋1/x在(0，＋∞)上单调递增。

第二章综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13 D ．100[答案] B[解析] 设n ∈N *，则数字n 共有n 个， 所以n (n ＋1)2≤100即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.2．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误[答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋3＋4，故应选D. 4．(2012·福建南安高二期末)下列说法正确的是( ) A ．“a <b ”是“am 2<bm 2”的充要条件B ．命题“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”C ．“若a 、b 都是奇数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a 、b 不都是奇数”D ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题 [答案] C[解析] A 中“a <b ”是“am 2<bm 2”的必要不充分条件，故A 错；B 中“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2－1>0”，故B 错；C 正确；D 中p ∧q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，故D 错． 5．(2014·东北三校模拟) 下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7k B ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )[答案] D[解析] 特值法：当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除，故选D. 证明如下：当k ＝1时，已验证结论成立，假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36.∵3(2＋7n )能被9整除，36能被9整除， ∴21(2＋7n )－36能被9整除， 这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立． 故命题对任何k ∈N *都成立．6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0[答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定[答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0， 所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．定义一种运算“*”；对于自然数n 满足以下运算性质：( ) (i)1]B.n ＋1 C ．n －1 D ．n 2[答案] A[解析] 令a n ＝n *1，则由(ii)得，a n ＋1＝a n ＋1，由(i)得，a 1＝1，∴{a n }是首项a 1＝1，公差为1的等差数列，∴a n ＝n ，即n *1＝n ，故选A. 10．(2013·济宁梁山一中高二期中)已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A ．13B ．43C ．2D ．83[答案] B[解析] 由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ， 由x 2＋2x ＝0得x ＝0或－2.故所求面积S ＝－⎠⎛0－2(x 2＋2x )dx ＝⎪⎪－(13x 3＋x 2)0－2＝43. 11．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c[答案] A[解析] 令n ＝1、2、3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 C ．4 D ．5[答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题： _____________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)14．(2013·安阳中学高二期末)设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.[答案]x(2n－1)x ＋2n[解析] 观察f 1(x )、f 2(x )、f 3(x )、f 4(x )的表达式可见，f n (x )的分子为x ，分母中x 的系数比常数项小1，常数项依次为2,4,8,16……2n .故f n (x )＝x(2n－1)x ＋2n.14．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．[答案] S 2＝S 21＋S 22＋S 23[解析] 类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.16．(2014·洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝________. [答案] 1－1(n ＋1)·2n[解析] 由已知中的等式：31×2×12＝1－12231×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…， 所以对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝1－1(n ＋1)2n.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1， 即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)设n ∈N ＋[解析] 记f (n ) 则f (1)＝11－2＝3，f (2)＝1111－22＝1089＝33，f (3)＝111111－222＝110889＝333.猜想f (n )＝333…3n个. [点评] f (n )＝333…3n个可证明如下： ∵111…12n 个＝19(102n －1)，222…2n 个2＝29(10n －1)，令10n ＝x >1，则f (n )＝19(x 2－1)－29(x －1)＝19(x 2－2x ＋1)＝13(x －1)＝13(10n －1)， 即f (n )＝33…3n个. 19．(本题满分12分)(2013·华池一中高二期中)在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A 、B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．[解析] 类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，A 、B 分别是椭圆长轴的左右端点，点C (x ，y )是椭圆上不同于A 、B 的任意一点，则k AC ·k BC ＝－b 2a2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.由于A 、B 、P 三点在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a 2.故在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A 、B 、P 为异于A 、B 的椭圆上的任意一点，则有k AB ·k BP ＝－b 2a2.20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．[解析] (1)证法1：任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0，∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0， 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1) ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a x ln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2 ∵a >1，∴ln a >0，∴a x ln a ＋3(x ＋1)2>0， f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根． 解法2：设x 0<0(x 0≠－1)，①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，ax 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，ax 0>0，∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负数根． 21．(本题满分12分)(2014·哈六中期中)已知函数f (x )＝(x －2)e x －12x 2＋x ＋2.(1)求函数f (x )的单调区间和极值； (2)证明：当x ≥1时，f (x )>16x 3－12x .[解析] (1)f ′(x )＝(x －1)(e x －1)，当x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 当x ＝0时，f (x )有极大值f (0)＝0，当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝52－e.(2)设g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)，令u (x )＝e x －x 2－32，则u ′(x )＝e x －12，当x ≥1时，u ′(x )＝e x －12>0，u (x )在[1，＋∞)上单调递增，u (x )≥u (1)＝e －2>0，所以g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)≥0，g (x )＝f (x )－16x 3＋12x 在[1，＋∞)上单调递增．g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ≥g (1)＝176－e>0，所以f (x )>16x 3－12x .22．(本题满分14分)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性． [证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k， ① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1②将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2. ②②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2. ③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)④③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n ) 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，由证法1知a 3－a 2＝a 2－a 1，故上式对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．1．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第19项 D ．第11项[答案] B [解析]2，5，8，11，…，而25＝20，可见各根号内被开方数构成首项为2，公差为3的等差数列，由20＝2＋(n －1)×3得n ＝7.2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是__________________．[答案] 丙[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．3．(1)由“若a 、b 、c ∈R ，则(ab )c ＝a (bc )”类比“若a 、b 、c 为三个向量，则(a ·b )c ＝a (b ·c )”；(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n －2；(3)“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中结论正确的序号为________． [答案] ②③[解析] (a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立，其左边为平行于c 的向量，右边为平行于a 的向量，即命题(1)不正确；由a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2可得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，则数列{a n ＋2}是首项为2，公比为2的等比数列，a n ＋2＝2n ，即a n ＝2n －2，命题(2)正确；(3)正确，可结合三个侧面在底面上的射影去证明； 综上可得正确的结论为(2)(3)．4．若x >0，y >0，用分析法证明：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.[证明] 要证(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 即证3x 4y 2＋3y 4x 2>2x 3y 3. 又因为x >0，y >0，所以x 2y 2>0， 故只需证3x 2＋3y 2>2xy .而3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy 成立，所以(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13成立． 5．已知a 是正整数，且a 3是偶数，求证：a 也是偶数．[分析] 已知a 3的奇偶性研究a 的奇偶性，不易直接证明，但如果已知a 的奇偶性研究a 3的奇偶性则较容易证明，故可用反证法．[证明] 假设a 不是偶数，则a 必为奇数，设a ＝2k ＋1(k ∈N )，则a 3＝(2k ＋1)3＝8k 3＋12k 2＋6k ＋1＝2(4k 3＋6k 2＋3k )＋1，由于k ∈N ，所以4k 2＋6k 2＋3k ∈N ，故2(4k 3＋6k 2＋3k )是偶数，2(4k 3＋6k 2＋3k )＋1为奇数，即a 3为奇数，这与a 3是偶数相矛盾．故假设不正确，即a 也是偶数．6．我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n . ② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2，即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0， 从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0， 这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．。

2019年数学高考真题剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是教育部按照普通高考考试大纲统一命题,适用于不同省份的考生．虽然难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本都是相同的．试题稳中求新、稳中求变．与往年相比，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等依然是考查的重点,注重基础知识，凸显主干知识.试卷结构、题型保持一致，各题型所占分值与分值分布没有变化,试题顺序有较大变化,考查方式有所改变，难度明显增加,客观题与去年的难度相当,主观题难易梯度明显增加,解决了区分度低的诟病.今年试题立足学科素养，落实关键能力，加强数学应用,渗透数学文化．以真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，注重能力考查，增强综合性、应用性，在各部分内容的布局和考查难度上都进行了调整和改变,这在一定程度上有助于考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力,有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容，同时有助于打破考试题的僵硬化，更好地提升学生的综合分析能力,打破了传统的应试教育.全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对选修2-２推理与证明、数系的扩充与复数的引入的考查,相对来说比较常规、难度不大、变化小、综合性低,属于基础类必得分试题;对导数及其应用的考查，难度大、综合性强、运算能力要求高、得分比较困难,主要考查导数的计算、几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点、不等式等.其他省市试题和全国卷类似,难度相当.要想学好这部分知识不仅要有扎实的基础知识、基本能力,还要注意一些数学思想的培养，比如分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等!下面列出了２01９年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及各地区对选修2－2所考查的全部试题，请同学们根据所学知识,测试自己的能力,寻找自己的差距,把握高考的方向,认清命题的趋势！（说明:有些试题带有综合性,是与以后要学的内容的小综合试题,同学们可根据目前所学习的内容,有选择性地试做！)穿越自测一、选择题１．(2０1９·全国卷Ⅰ，理２）设复数z满足｜ｚ－i|＝1，z在复平面内对应的点为（ｘ,ｙ），则( )ﻬA.(x+1）2+y2＝1 Ｂ.（x－1）２+y2=1C．x2＋（ｙ-1)２=1ﻩＤ.x２+（ｙ+1)2＝1答案C解析由已知条件，可得z=ｘ+y i。

选修2-2综合测试题2一、选择题1．在数学归纳法证明“1211(1)1n na a a a a n a+*-++++=≠∈-N ，”时，验证当1n =时，等式的左边为（ ） Ａ．1Ｂ．1a -Ｃ．1a + Ｄ．21a -2．已知三次函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在()x ∈-+，∞∞上是增函数，则m 的取值范围为（Ａ．m <3．设(f Ａ．1，4Ａ．y =5．数列Ａ．676．已知Ａ．x >7．复数Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限8．定义A B B C C D D A ****，，，的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（ ）的运算的结果 Ａ．B D *，A D *Ｂ．B D *，A C * Ｃ．B C *，A D *Ｄ．C D *，A D *9．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）Ａ．a ，b 都能被5整除Ｂ．a ，b 都不能被5整除 Ｃ．a 不能被5整除Ｄ．a ，b 有1个不能被5整除 10．下列说法正确的是（ ）Ａ．函数y x =有极大值，但无极小值Ｂ．函数y x =有极小值，但无极大值 Ｃ．函数y x =既有极大值又有极小值Ｄ．函数y x =无极值11．对于两个复数12α=，12β=-，有下列四个结论：①1αβ=；②1αβ=；③1αβ=；17．设n *∈N 且sin cos 1x x +=-，求s i n c o snnx x +的值．（先观察1234n =，，，时的值，归纳猜测sin cos n n x x +的值．）18．设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=， （1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；（2）证明：对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根．19．设0t ≠，点(0)P t ，是函数3()f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．（1）用t 表示a b c ，，；（2）若函数()()y f x g x =-在(13)-，上单调递减，求t 的取值范围．20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a b c >>，且0a b c ++=，<．21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷22（1）求（217当2n =当3n =而sin x +当4n =18由于a ，tan θ∈R ，那么21tan tan 20tan 111a a a a θθ=-⎧--=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，，．又π02θ<<，得1π4a θ=-⎧⎪⎨=⎪⎩，．（2）若有纯虚数根()i ββ∈R ，使2()(tan )()(2)0i i i i βθβ-+-+=，即2(2)(tan 1)0i βββθ-+--+=，由β，tan θ∈R ，那么220tan 10βββθ⎧-+-=⎨+=⎩，，由于220ββ-+-=无实数解．故对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根19、解：（1）因为函数()f x ，()g x 的图象都过点(0)t ，，所以()0f t =，即30t at +=． 因为0t ≠，所以2a t =-．()0g t =，即20bt c +=，所以c ab =． 又因为()()f x g x ，在点(0)t ，处有相同的切线，所以()()f t g t ''=，而2()3f x x a '=+，()2g x bx '=，所以232t a bt +=． 将2a 323（2当y '由y '若t ][)3+，∞．20a b c ++∵21、解：由题意，存款量2()f x kx =，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即0.012x =时， 1.44y =；由21.44(0.012)k=·，得10000k =，那么2()10000f x x =，银行应支付的利息3()()10000g x x f x x ==·， 设银行可获收益为y ，则2348010000y x x =-，由于296030000y x x '=-，则0y '=，即2960300000x x -=，得0x =或0.032x =． 因为，(00.032)x ∈，时，0y '>，此时，函数2348010000y x x =-递增；(0.0320.048)x ∈，时，0y '<，此时，函数2348010000y x x =-递减；故当0.032x =时，y 有最大值，其值约为0.164亿．22、解：（1）由1()a f x =，得21()a f a ==，32()a f a =43()a f a =（2证明：（（2由（1）。

第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的有()①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的;③演绎推理的一般模式是“三段论”形式;④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.A.1个B.2个C.3个D.4个解析演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确,故②错误,其他都正确.故选C.答案C2有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平面α,a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,这显然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误解析“直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选A.答案A3(1)已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.用反证法证明此命题时可假设p+q≥2;(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证:关于x的方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明此命题时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1.以下结论正确的是()A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误D.(1)的假设错误,(2)的假设正确解析反证法证明问题的第一步是“假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立”,而命题(1)结论的反面应为“p+q>2”;对命题(2),其结论的反面为“方程x2+ax+b=0的两根的绝对值至少有一个大于或等于1”.故选D.答案D4如图,4个小动物换座位,开始时鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号座位,如果第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位,第4次左右列动物互换座位,……这样交替进行下去,那么第2 017次互换座位后,小兔所坐的座位号为()A.1B.2C.3D.4解析由题意得第4次互换座位后,4个小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,而2 017=4×504+1,所以第2 017次互换座位后结果与第1次互换座位结果相同,故小兔坐在1号座位上,故选A.答案A5若f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),…,f n+1(x)=f n'(x),n∈N*,则f2 017(x)等于()A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x解析由题意可知,函数f n(x)的表达式是呈周期性变化的,周期为4,而2 017=4×504+1, 故f2 017(x)=f1(x)=cos x,故选C.答案C6观察式子:1+,1+,1+,……,则可归纳出一般式子为()A.1++…+(n≥2,n∈N)B.1++…+(n≥2,n∈N)C.1++…+(n≥2,n∈N)D.1++…+(n≥2,n∈N)答案C7已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是()A.若a,b与α所成的角相等,则a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b解析对于选项A,直线a,b有可能相交或异面;对于选项B,直线a,b有可能相交或异面;对于选项C,平面α,β有可能相交;对于选项D,若a⊥α,b⊥β,当a⊂β时,有b⊥a,当a⊄β时,因为α⊥β,所以a∥β,所以b⊥a,故选D.答案D8对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,则每组内奇数之和S n与其所在组的编号数n的关系是()A.S n=n2B.S n=n3C.S n=n4D.S n=n(n+1)解析当n=1时,S1=1;当n=2时,S2=8=23;当n=3时,S3=27=33;故归纳猜想S n=n3,故选B.答案B9古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:①②他们研究过图①中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图②中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()A.289B.1 024C.1 225D.1 378解析根据图形的规律可知,第n个三角形数为a n=,第n个正方形数为b n=n2,由此可排除选项D(1 378不是平方数),将选项A,B,C中的数代入到三角形数与正方形数表达式中检验可知,符合题意的是选项C,故选C.答案C10六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图①所示,在平行四边形ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),在如图②所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A+B+C+D等于()A.2(AB2+AD2+A)B.3(AB2+AD2+A)C.4(AB2+AD2+A)D.4(AB2+AD2)解析如图,连接A1C1,AC,则四边形AA1C1C是平行四边形,故A1C2+A=2(A+AC2).连接BD,B1D1,则四边形BB1D1D是平行四边形,∴B+D=2(B+BD2).又在▱ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2).∵A=B,∴A+B+C+D=2(A+AC2)+2(B+BD2)=2(AC2+BD2+B+A)=2[2(AB2+AD2)+2A]=4(A B2+AD2+A).故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11用三段论证明f(x)=x3+sin x(x∈R)为奇函数的步骤为.答案对定义域内的任意x,若满足f(-x)=-f(x),则函数f(x)为奇函数, 大前提因为x∈R,则-x∈R,f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sin x=-f(x), 小前提所以函数f(x)=x3+sin x(x∈R)为奇函数.结论12观察分析下表中的数据:猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.解析因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想F+V-E=2.答案F+V-E=213为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密的原理如下:明文密文密文明文已知加密为y=a x-2(x为明文,y为密文),明文“3”通过加密后得到的密文为“6”,再发送,接收方通过解密得到明文“3”,若接收方收到的密文为“14”,则原发送的明文为.解析由题意知,当x=3时,函数y=a x-2的函数值为6,即6=a3-2,∴a3=8,∴a=2.∴y=2x-2.则当y=14时,有14=2x-2,∴2x=16.∴x=4,故原发送的明文为4.答案414观察图象,第行的各数之和等于2 0172.解析观察知,题图中的第n行的各数构成一个首项为n,公差为1,共(2n-1)项的等差数列,其各项和为:S n=(2n-1)n+=(2n-1)n+(2n-1)(n-1)=(2n-1)2.令(2n-1)2=2 0172,得2n-1=2 017,∴n=1 009.答案1 00915蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看做是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数,则用n表示的f(n)=.解析由于f(2)-f(1)=7-1=6,f(3)-f(2)=19-7=2×6,推测当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),∴f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+[f(n-2)-f(n-3)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.又f(1)=1=3×12-3×1+1,∴f(n)=3n2-3n+1.答案3n2-3n+1三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)实数的乘法与向量的数量积有以下类似的性质:a·b=b·a,a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c,(a+b)·c=a·c+b·c.则由①(a·b)·c=a·(b·c),②若a≠0,a·c=a·b,则b=c,猜想对于向量的数量积有什么样的结论,猜想是否正确?解猜想:①(a·b)·c=a·(b·c),②若a≠0,a·c=a·b,则b=c.这两个结论都不正确.①式左边表示与c共线的向量,右边表示与a共线的向量,c与a不一定共线,故等式不一定成立.②设a与c的夹角为α,a与b的夹角为β,由a·c=a·b,得|a||c|cos α=|a||b|cos β,可得|c|cos α=|b|cos β,则c,b在a方向上的投影相等,b,c不一定相等.故等式不一定成立.17(8分)已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,证明角B为锐角.分析在△ABC中,要证角B为锐角,只要证cos B>0,结合余弦定理可解决问题.证明要证明角B为锐角,只需证cos B>0.又因为cos B=,所以只需证明a2+c2-b2>0,即a2+c2>b2.因为a2+c2≥2ac,所以只需证明2ac>b2.由已知,得,即2ac=b(a+c).所以只需证明b(a+c)>b2,即只需证明a+c>b.而已知a,b,c为△ABC的三边,即a+c>b成立,所以角B为锐角.18(9分)设{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,c n=a n+b n,证明数列{c n}不是等比数列.分析假设数列{c n}是等比数列,利用{a n},{b n}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立.证明假设数列{c n}是等比数列,则当n≥2时,(a n+b n)2=(a n-1+b n-1)(a n+1+b n+1).①因为{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以=a n-1a n+1,=b n-1b n+1.代入①并整理,得2a n b n=a n+1b n-1+a n-1b n+1=a n b n,即2=.②当p,q异号时,<0,与②相矛盾;当p,q同号时,因为p≠q,所以>2,与②相矛盾.故数列{c n}不是等比数列.19(10分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点为M(0,1),直线l:y=kx-与椭圆相交于不同的两点A,B.(1)若|AB|=,求k的值;(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.(1)解由题意知,b=1.由a2=b2+c2可得c=b=1,a=,所以椭圆的方程为+y2=1.由消去y得(2k2+1)x2-kx-=0.Δ=k2-4(2k2+1)×=16k2+>0恒成立.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.所以|AB|=·|x1-x2|=,化简得23k4-13k2-10=0,即(k2-1)(23k2+10)=0,解得k=±1.(2)证明因为=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),所以=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+=-=0.所以不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.20(10分)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n a n(n∈N*),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x-e x的单调区间,并比较与e的大小;(2)计算,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n,数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<e S n.解(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=1-e x.当f'(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;当f'(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).当x>0时,f(x)<f(0)=0,即1+x<e x.令x=,得1+,即<e.①(2)=1·=1+1=2;=2·2=(2+1)2=32;=32·3=(3+1)3=43.由此推测:=(n+1)n.②下面用数学归纳法证明②.(ⅰ)当n=1时,左边=右边=2,②成立.(ⅱ)假设当n=k时,②成立,即=(k+1)k.当n=k+1时,b k+1=(k+1)a k+1,由归纳假设可得=(k+1)k(k+1)=(k+2)k+1.所以当n=k+1时,②也成立.根据(ⅰ)(ⅱ),可知②对一切正整数n都成立.(3)由c n的定义、②、算术-几何平均值不等式、b n的定义及①得T n=c1+c2+c3+…+c n=(a1+(a1a2+(a1a2a3+…+(a1a2…a n=+…+≤+…+=b1+b2+…++…+b n·=b1+b2+…+b n+…+a1+a2+…+a n<e a1+e a2+…+e a n=e S n,即T n<e S n.。

高二数学期末试题∑∑=-=--∧---=ni i ni i ix x y y x xb 121)())((=1221ni ii nii x y nx yxnx==--∑∑， ˆay b x ∧=-. 随机量变))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-= （其中d c b a n +++=）临界值表一、选择题：本大题共12小题，每小题5分；共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i2.10⎰（e 2+2x ）dx 等于A.1B.e-1C.eD.e+1 3．已知ξ的分布列如下：并且23ηξ=+，则方差D η=（ ） Ａ．17936Ｂ．14336Ｃ．29972Ｄ．227724. 在极坐标系中，点 (,)π23到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（A ）2 (B) （5. 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3-∞6．在6⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为 A．154- B ．154C ．38-D ．387.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D）348．已知随机变量ξ服从正态分布()22N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝Ａ.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.29.如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。

当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A ．0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576（10）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 （A ）63.6万元 （B ）65.5万元 （C ）67.7万元 （D ）72.0万元 11.由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 12.若曲线22=ρ上有n个点到曲线2)4cos(=+πθρ的距离等于2，则n =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。