高中数学人教a版选修1-2第三章章末复习【练习】().docx

复数的概念是掌握复数并解答复数有关问题的基础，其中有虚数单位i ，复数的代数形式，实部与虚部、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数等．有关复数题目的解答是有别于实数问题的，应根据有关概念求解．[典例1] (1)复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )A.15iB.15 C ．－15i D ．－15(2)若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．－1 解析：(1)选B 1－2＋i ＋11－2i ＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＋1＋2i (1－2i )(1＋2i )＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i ，故虚部为15. (2)选B 由纯虚数的定义，可得{ a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2.[对点训练]1．设z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：设z 1z 2＝b i(b ∈R 且b ≠0)，所以z 1＝b i·z 2，即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i.所以所以a ＝83.答案：832．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，试求实数m 的取值，使(1)z 是纯虚数；(2)z 是实数；(3)z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限．解：(1)由{ lg (m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0，得m ＝3.∴当m ＝3时，z 是纯虚数．(2)由{ m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或m ＝－2.∴当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数．(3)由{ lg (m 2－2m －2)<0，m 2＋3m ＋2>0，得－1<m <1－3或1＋3<m <3.∴当－1<m <1－3或1＋3<m <3时，复数z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限．1.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减；乘法类比多项式乘法；除法类比分式的分子分母有理化，注意i 2＝－1.2．复数四则运算法则是进行复数运算的基础，同时应熟练掌握i 幂的周期性变化，即i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1，复数的四则运算常与复数的概念、复数的几何意义等结合在一起考查．另外计算要注意下面结论的应用： (1)(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2， (2)(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2， (3)(1±i)2＝±2i ， (4)1i＝－i ， (5)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ， (6)a ＋b i ＝i(b －a i)．[典例2] 复数i 2＋i 3＋i 41＋i等于( )A.12＋12iB.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i解析：选D i 2＋i 3＋i 41＋i ＝－i 1＋i ＝－i (1－i )2＝－12－12i.[典例3] 已知复数z 1＝15－5i(2＋i )2，z 2＝a －3i(a ∈R)．(1)若a ＝2，求z 1·z 2；(2)若z ＝z 1z 2是纯虚数，求a 的值．解：由于z 1＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝(15－5i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－75i25＝1－3i.(1)当a ＝2时，z 2＝2－3i ，∴z 1·z 2＝(1－3i)·(2＋3i)＝2＋3i －6i ＋9＝11－3i. (2)若z ＝z 1z 2＝1－3i a －3i ＝(1－3i )(a ＋3i )(a －3i )(a ＋3i )＝(a ＋9)＋(3－3a )i a 2＋9为纯虚数，则应满足⎩⎨⎧a ＋9a 2＋9＝0，3－3aa 2＋9≠0， 解得a ＝－9.即a 的值为－9. [对点训练]3．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i解析：选A z ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，故选A.4．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：∵a ＋b i ＝11－7i 1－2i ，∴a ＋b i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5＋3i.根据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8. 答案：8 5．计算：(1)(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)；(2)2＋3i3－2i；(3)(2－i)2.解：(1)法一：(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i. (2)2＋3i 3－2i ＝(2＋3i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝6＋2i ＋3i －65 ＝5i5＝i. (3)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i ＋i 2＝3－4i.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)和复平面上的点Z (a ，b )一一对应，和向量OZ ―→一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键．[典例4] 若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i 的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：选D 由题图可得z ＝3＋i ，所以z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．[典例5] 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， z 2－i ＝x ＋y i 2－i ＝15(x ＋y i)(2＋i) ＝15(2x －y )＋15(2y ＋x )i. 由题意知⎩⎨⎧y ＋2＝0，15(2y ＋x )＝0，∴{ x ＝4，y ＝－2，∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2 ＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，由已知得{ 12＋4a －a 2>0，(a －2)>0，∴2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)． [对点训练]6．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4,2)解析：选C 由i z ＝2＋4i ，可得z ＝2＋4i i ＝(2＋4i )·(－i )i·(－i )＝4－2i ，所以z 对应的点的坐标是(4，－2)．7．已知等腰梯形OABC 的顶点A 、B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图，A (1，2)，B (－2,6)，C (x ，y )． ∵OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， ∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝(－3)2＋42.解得{x＝－5，y＝0或{x＝－3，y＝4.∵|OA|≠|BC|，∴x＝－3，y＝4(舍去)，故z＝－5.复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应复平面上的点Z，则复数的模|z|＝|OZ―→|＝a2＋b2，即Z(a，b)到原点的距离．[典例6]已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最小值．解：法一：设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|x＋y i＋2－2i|＝1，即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1.∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1.∴|z－3－2i|＝(x－3)2＋(y－2)2＝(x－3)2＋1－(x＋2)2＝－10x＋6，由(y－2)2＝1－(x＋2)2≥0，得x2＋4x＋3≤0.∴－3≤x≤－1，∴16≤－10x＋6≤36.∴4≤－10x＋6≤6.∴当x＝－1时，|z－3－2i|取最小值4.法二：由复数及其模的几何意义知：满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1的复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，半径r＝1的圆，而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(3,2)的距离．由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r.又|AC|＝(3＋2)2＋(2－2)2＝5，所以|z－3－2i|的最小值为5－1＝4.[对点训练]8．在复平面内，点P，Q分别对应复数z1，z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，则点Q的轨迹是()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线解析：选B∵z2＝2z1＋3－4i，∴2z1＝z2－(3－4i)．∵|z1|＝1，∴|2z1|＝2，∴|z2－(3－4i)|＝2，由模的几何意义可知点Q的轨迹是以(3，－4)为圆心，2为半径的圆．9．已知复数z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值时的z.解：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， ∵|z |＝2，∴x 2＋y 2＝4，|z －i|＝|x ＋y i －i|＝|x ＋(y －1)i|＝x 2＋(y －1)2 ＝(4－y 2)＋(y －1)2＝5－2y . ∵y 2＝4－x 2≤4，∴－2≤y ≤2. 故当y ＝－2时，5－2y 取最大值9， 从而5－2y 取最大值3，此时x ＝0， 即|z －i|取最大值3时，z ＝－2i.法二：方程|z |＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z －i|表示圆上的点到点A (0,1)的距离．如图，连接AO 并延长与圆交于点B (0，－2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B 到点A 的距离最大，最大值为3，即当z ＝－2i 时，|z －i|取最大值3.(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，故选D.2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i解析：选A ∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i.3．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D 由已知，得z 1－z 2＝3－4i －(－2＋3i)＝5－7i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)．4．设a 是实数，且a1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 解析：选Ba1＋i＋1＋i 2＝a (1－i )2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i ，由题意可知1－a2＝0，即a ＝1.5．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 解析：选B 由已知⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2得⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|－a i ＋1|＝2，所以 1＋a 2＝2，∵a ＞0，∴a ＝ 3.6．复数⎝⎛⎭⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i 22＝－i ＝a ＋b i ，所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1.7．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N)，集合{f (n )|n ∈N}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个解析：选B f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i ＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0，f (3)＝i 3－i －3＝－2i ，由i n 的周期性知{f (n )|n ∈N}＝{0，－2i,2i}．8．复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量对应的复数是( )A.10 B ．－3－i C ．1＋i D ．3＋i解析：选D ∵z 1＝(－i)2＝－1，z 2＝2＋i ， ∴对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i.9．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A m ＝1时，z 1＝3－2i ＝z 2，故“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分条件． 由z 1＝z 2，得m 2＋m ＋1＝3，且m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，故“m ＝1”不是“z 1＝z 2”的必要条件．10．已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R)有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－2＋2i D ．－2－2i解析：选A ∵b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0， ∴b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0，∴z ＝2－2i.11．定义运算＝ad －bc ，则符合条件＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i解析：选A 由定义知＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i1＋i＝3－i.12．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝2，c ＝－1解析：选B 由题意可得(1＋2i)2＋b (1＋2i)＋c ＝0⇒－1＋b ＋c ＋(22＋2b )i ＝0，二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得{ a －1＝0，a ＋1＝b ，解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i14．已知复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的共轭复数，则复数i z 1－z 24的虚部等于________．解析：i z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为45.答案：4515．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________.解析：设m ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，方程的实根为x 0，则x 20＋(2－i)x 0＋(2b i －4)i ＝0， 即(x 20＋2x 0－2b )－(x 0＋4)i ＝0，解得x 0＝－4，b ＝4.故m ＝4i. 答案：4i16．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，则复数z 在复平面对应的点位于第________象限．解析：∵a ，b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，∴z ＝7－10i.∴z 对应的点位于第四象限． 答案：四三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6，或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6，且k ≠－1时，z 是虚数．18．(本小题12分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z 的值．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵|z |＝1＋3i －z ，∴a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，∴z ＝－4＋3i ，∴(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (－7＋24i )2(－4＋3i )＝24＋7i 4－3i＝3＋4i. 19．(本小题12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2.求： (1)z 1·z 2；(2)z 1z 2. 解：z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i＝1－3i. (1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝1110＋310i. 20．(本小题12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数．(1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值． 解：(1)因为ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝(－1)2＋(－1)2＝2.(2)由条件z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，得(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ，即(a ＋b )＋(a ＋2)i i ＝1－i.所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以{ a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得{ a ＝－1，b ＝2.21．(本小题12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解：∵z 1＝－1＋5i 1＋i＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ， ∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝(4－a )2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|，∴(4－a )2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.∴a 的取值范围是(1,7)．22．(本小题12分)已知z ＝m ＋3＋33i ，其中m ∈C ，且m ＋3m －3为纯虚数． (1)求m 对应的点的轨迹；(2)求|z |的最大值、最小值．解：(1)设m ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则m ＋3m －3＝(x ＋3)＋y i (x －3)＋y i ＝(x 2＋y 2－9)－6y i (x －3)2＋y 2， ∵m ＋3m －3为纯虚数，∴{ x 2＋y 2－9＝0，y ≠0，即{ x 2＋y 2＝32，y ≠0.∴m 对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点．(2)由(1)知|m |＝3，由已知m ＝z －(3＋33i)，∴|z －(3＋33i)|＝3.∴z 所对应的点Z 在以(3,33)为圆心，以3为半径的圆上．由图形可知|z |的最大值为|3＋33i|＋3＝9；最小值为|3＋33i|－3＝3.。

章末复习一、复数的有关概念例1 当实数a 为何值时，z ＝a 2－2a ＋(a 2－3a ＋2)i ：(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数z 对应的点在直线x －y ＝0上． 解 (1)由z ∈R ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.(2)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－2a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝2，a ≠1，且a ≠2.故a ＝0. (3)若z 对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a >0，a 2－3a ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a >2，a <1或a >2，∴a <0或a >2. ∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题得(a 2－2a )－(a 2－3a ＋2)＝0，∴a ＝2.反思感悟 (1)复数的概念主要包括复数的代数形式、复数的分类、复数相等、共轭复数及复数的模等知识点，其中，复数的分类及复数的相等是热点，复数分类中“纯虚数”的条件是难点和易错点．(2)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)即可．跟踪训练1 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时：(1)z ∈R ；(2)z 为虚数． 解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)＝0，x －3>0，解得x ＝4，所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)≠0，x －3>0，解得x >3＋212且x ≠4.所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数．二、复数及复数加减法的几何意义例2 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2. ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数，∴x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．反思感悟 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )同复平面上的点Z (a ，b )是一一对应的，同向量OZ →是一一对应的．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2表示点Z (a ，b )到原点的距离，亦即向量OZ →的模|OZ →|.由此可知|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆．(3)复数加减法的几何意义实质上是向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，由减法的几何意义可知|z 1－z 2|表示复平面上两点Z 1，Z 2之间的距离．跟踪训练2 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i. (1)求点C ，D 对应的复数； (2)求平行四边形ABCD 的面积．解 (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，AC →＝BC →－BA →， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ， 即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.∴点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.∴sin B ＝7210.∵S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，故平行四边形ABCD 的面积为7. 三、复数的四则运算例3 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i ； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 009＋(4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i ＝i ＋(－i)1 009＋0＝0. (2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i2＋i ＝1－i ，∵|1－i|＝2，∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2.反思感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化． (2)虚数单位i 的周期性①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)； ②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)． 跟踪训练3 (1)已知z1＋i ＝2＋i ，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i 答案 B解析 ∵z1＋i＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.(2)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i 则z 2等于( ) A ．－2i B ．2i C ．－2 D. 2 答案 A解析 ∵z i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＝(1＋i )i i 2＝i －1－1＝1－i ，∴z 2＝(1－i)2＝1－2i －1＝－2i.1．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 由已知得x ＋x i ＝1＋y i ，根据两复数相等的条件可得x ＝y ＝1， 所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2.2．若z ＝1＋2i ，则4iz z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 C 解析4iz z －1＝4i12＋22－1＝i.3．复数z ＝2＋a i1＋i (a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 答案 D解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋a )＋(a －2)i2在复平面内对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫2＋a 2，a －22且在虚轴上，所以2＋a ＝0，即a ＝－2.4．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i ，则z ＝________.答案 3＋4i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵|z |－z ＝101－2i ，∴|z |－z ＝2＋4i ，则a 2＋b 2－a ＋b i ＝2＋4i ，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，∴z ＝3＋4i.5．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则在复平面内z 2＋2z 对应的点位于第________象限．答案 四解析 由z ＝1－i 得，z 2＋2z ＝(1－i)2＋21－i ＝－2i ＋2(1＋i )2＝－2i ＋1＋i ＝1－i ，对应的点位于第四象限．。

第三章 复习课1．复数z ＝1＋cos α＋isin α (π<α<2π)的模为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2答案B [|z |＝1＋cos α2＋sin 2α＝2＋2cos α ＝4cos 2α2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－2cos α2.]2．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的 值为( )A ．－1或6B ．－1或4C ．－1D ．4答案C [由M ∩N ＝{3}，知m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝3m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1.]3．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B [cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，54π，所以θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，θ－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，因此，cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0，所以复数在平面内对应的点在第二象限．]4．一元二次方程x 2－(5＋i)x ＋4－i ＝0有一个实根x 0，则( )A ．x 0＝4B ．x 0＝1C ．x 0＝4或x 0＝1D ．x 0不存在答案D [由已知可得x 20－(5＋i)x 0＋4－i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－5x 0＋4＝0－x 0－1＝0，该方程组无解．]5．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|等于( ) A. 2 B ．2 C.10 D ．4答案B [由题意AB →＝OB →－OA →，∴AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i ，∴|AB →|＝2.]6．已知复数z ＝3＋i1－3i 2 ，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( )A.14B.12C ．1D ．2 答案A [∵z ＝3＋i1－3i 2＝3＋i －2－23i， ∴|z |＝|3＋i||－2－23i|＝24＝12. ∴z ·z ＝|z |2＝14.] 7．在复平面上复数－1＋i 、0、3＋2i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为( )A ．5 B.13 C.15 D.17答案．B [BA →对应的复数为－1＋i ，BC →对应的复数为3＋2i ，∵BD →＝BA →＋BC →，∴BD →对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.∴BD 的长为13.]8．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 为( )A ．－5＋2iB ．－5－2iC.5＋2iD.5－2i答案A [设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则x ＝－5，由|z |＝3，得(－5)2＋y 2＝9，即y 2＝4，∴y ＝±2，∵复数z 对应的点在第二象限，∴y ＝2.∴z ＝－5＋2i.]9．1＋2i ＋3i 2＋…＋2 005i 2 004的值是( )A ．－1 000－1 000iB ．－1 002－1 002iC ．1 003－1 002iD ．1 005－1 000i 答案C [1＋2i ＋3i 2＋4i 3＝1＋2i －3－4i ＝－2－2i.周期出现，原式＝501×(－2－2i)＋2 005i 2 004 ＝－1 002－1 002i ＋2 005＝1 003－1 002i.]10．设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则|1＋z |等于()A ．0B ．1 C. 2 D ．2答案C [由1－z 1＋z ＝i ，得z ＝1－i1＋i ＝－i ，∴|1＋z |＝|1－i|＝ 2.]。

祈福教育 高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题一、选择题1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4)2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝ （ ） A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为12的是 （ ）A. ⋅B. ⋅C.⋅D.⋅4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝05．若向量{c b a ,,}是空间的一个基底，向量b a n b a m -=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．cD ．2a6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－2098．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ）A ．4B ．15C ．7D ．39．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形 为 （ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形10．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23 11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在 唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．上述命题中的真命 题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题13．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________．15．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →， 则λ＝________.16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________.三、解答题17. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E 、F 分别是 AB 、AD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.18．如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝ 45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a＋b与k a－2b互相垂直，求k的值．22.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为32，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE＝22，BF＝ 2.(1)求证：CF⊥C1E；(2)求二面角E-CF-C1的大小．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，B(3，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2，32)，E(0，0，22)，F(3，1，2)．(1) C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)， C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0， 所以CF ⊥C 1E .(2)CE →＝(0，－2,22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0.可取m ＝(0，2，1)．设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,32)， 可取n ＝(1，3，0)．设二面角E -CF -C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得 cos θ＝|m·n ||m|·|n |＝63×2＝22，所以θ＝45°，即所求二面角E -CF -C 1的大小为45°.1.D 提示：4＋2＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有⋅＝12.4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，所以M 与A 、B 、C 共面． 5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不 能构成一组基底．6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209.8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9. 解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边 形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形． 10. 解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)，∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫14，14，14.11\ A 解析 由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c .12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0 时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共 面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC →共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →.即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面．14.433 解析 向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433. 15. 3 解析 因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0， 所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满 足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.17. 解析 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12cos 0°＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14.18. 解析 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225.19. 解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，∴∠BAC ＝60°∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0， a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3， 解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1， ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21. 解析 ∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →， ∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1) cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2) ∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0， 则k ＝－52或k ＝2.。

（人教A版）高中数学选修1-2（全册）课时同步练习汇总[课时作业][A组基础巩固]1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72 015的末两位数字为()A．01B．43C．07 D．49解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2 015＝4×503＋3，所以72 015的末两位数字与73的末两位数字相同，为43.答案：B2．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④解析：①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理．答案：C3．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( ) A ．a 1a 2a 3…a 9＝29 B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29 C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：等比数列中积――→类比等差数列中的和 ∴a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 答案：D4．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应4个图形：那么4个图表中，可以表示A *D ，A *C 的分别是( ) A ．(1)，(2)B ．(1)，(3)C ．(2)，(4)D ．(1)，(4)解析：由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A 代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C 代表横线，字母D 代表小矩形，∴A *D 是(2)，A *C 是(4)． 答案：C5．n 个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2 015到2 017箭头的方向依次为( ) A ．↓→ B ．→↑ C ．↑→D ．→↓解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2015到2 017为→↓，故应选D. 答案：D6．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．解析：观察知第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴第7个三角形数为7×(7＋1)2＝28.答案：287．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶88．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. 解析：根据题意知，分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知f n (x )的分母中常数项为2n ，分母中x 的系数为2n －1，故f n (x )＝x(2n －1)x ＋2n .答案：x(2n －1)x ＋2n9．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系， 给出正确结论．解析：由平面直角三角形类比空间三棱锥由边垂直――→类比侧面垂直．直角三角形的“直角边长、斜边长”类比“三棱锥的侧面积、底面积”，因此类比的结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 两两相互垂直，则S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD ”．10．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解析：当n ＝1时，a 1＝1 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：a n ＝1n(n ＝1,2，…)． [B 组 能力提升]1．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝a ，a 2＝b ，设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A ．a 100＝－a ，S 100＝2b －a B ．a 100＝－b ，S 100＝2b －a C ． a 100＝－b ，S 100＝b －a D ．a 100＝－a ，S 100＝b －a解析：∵a 1＝a ，a 2＝b ，a 3＝b －a ，a 4＝－a ，a 5＝－b ，a 6＝a －b . 且a 7＝a 6－a 5＝a ，a 8＝b ，…，∴数列{a n }具有周期性，周期为6，且S 6＝0 则a 100＝a 4＝－a ，S 100＝S 4＝2b －a . 答案：A2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等； ②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等； ③各个面是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等； ④各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等． A ．①④ B ．①② C ．①③D ．③④解析：类比推理的原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一原则，只有①②符合． 答案：B3．已知x >0，由不等式x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…我们可以得出推广结论：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.解析：由观察可得：x ＋a x n ＝n x xx n n n ++个式子＋axn ≥(n ＋1)·n ＋1x n ·x n ·…x n ·a x n ＝(n ＋1)·n ＋1a n n ＝n ＋1，则a ＝n n . 答案：n n4．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17<210，7.5＋12.5<210，8＋2＋12－2<210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m ，n 都成立的条件不等式________．解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210，因此对正实数m ，n 都成立的条件不等式是：若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n <210.答案：若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n <210 5．观察下列等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？ 并证明你的猜想．解析：由①②知，两角相差30°，运算结果为34，猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos (2α＋60°)2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋sin α⎝⎛⎭⎫32cos α－sin α2 ＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.6．已知椭圆具有以下性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．解析：类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M 、P 的坐标为(m ，n )、(x ，y )，则 N (－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线上， ∴n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2. 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值).[课时作业] [A 组 基础巩固]1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：函数f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确． 答案：C2．已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证a <b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B ，∴a <b ，画线部分是演绎推理的( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．三段论解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提． 答案：B3．“因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 答案：B4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由三角形的性质，推测四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出a n 的通项公式 解析：B 、C 、D 是合情推理，A 为演绎推理． 答案：A5．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( ) A ．类比推理 B ．归纳推理 C ．演绎推理D ．一次三段论解析：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式． 答案：C6．下面几种推理：①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°；②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人； ③由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式其中是演绎推理的是________．解析：①是三段论，②④是归纳推理，③是类比推理． 答案：①7．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________． 解析：①a ＝0时，有2<0，显然此不等式解集为∅.②a ≠0时需有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a 2－8a ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0≤a ≤2，所以0<a ≤2.综上可知实数a 的取值范围是[0,2]． 答案：[0,2]8．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.答案：log2x－2≥09．如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥F A，求证：ED ＝AF.证明：同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以DF∥EA.结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥F A，且DF∥EA，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形的一组对边，小前提所以ED＝AF.结论10．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)<0.对任意正数a，b，若a<b，求证：af(b)<bf(a)．证明：构造函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)．由题设条件知F (x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．若0<a<b，则F(a)>F(b)，即af(a)>bf(b)．又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，∴af(a)<bf(a)，且bf(b)>af(b)．所以bf(a)>af(b)．[B组能力提升]1．设a >0，b >0，a ＋b ≥2ab ，大前提 x ＋1x≥2x ·1x，小前提 所以x ＋1x≥2.结论以上推理过程中的错误为( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．无错误解析：小前提中“x >0”条件不一定成立，不满足利用基本不等式的条件． 答案：B2．已知函数f (x )＝|sin x |的图象与直线y ＝kx (k >0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令A ＝12sin2α，B ＝1＋α24α，则( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．A 与B 的大小不确定解析：作y ＝kx 及f (x )＝|sin x |的图象依题意，设y ＝kx 与y ＝f (x )相切于点M 设M (α，|sin α|)，α∈(π，32π)．由导数的几何意义，f ′(α)＝|sin α|α，则－cos α＝－sin αα,∴α＝tan α. 由A ＝12sin 2α＝sin 2α＋cos 2α4sin αcos α＝tan 2α＋14tan α∴A ＝1＋α24α＝B .答案：C3．由“(a 2＋a ＋1)x >3，得x >3a 2＋a ＋1”的推理过程中，其大前提是________．解析：写成三段论的形式：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变大前提 (a 2＋a ＋1)x >3，a 2＋a ＋1>0小前提 x >3a 2＋a ＋1结论 答案：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．4．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 016)＝________.解析：令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)① 令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x )②由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)，即f (x －1)＝－f (x ＋2) ∴f (x )＝－f (x ＋3)， ∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6)，∴f (x )＝f (x ＋6)，即f (x )周期为6， ∴f (2 016)＝f (6×336＋0)＝f (0)对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得4f (1)f (0)＝2f (1)， ∴f (0)＝12,即f (2 016)＝12.答案：125．已知y ＝f (x )在(0，＋∞)上有意义，单调递增，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )， (1)求证：f (x 2)＝2f (x )． (2)求f (1)的值．(3)若f (x )＋f (x ＋3)≤2，求x 的取值范围． 证明：(1)∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，x 、y ∈(0，＋∞)． ∴f (x 2)＝f (x ·x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )． (2)令x ＝1，则f (1)＝2f (1)∴f (1)＝0. (3)∵f (x )＋f (x ＋3)＝f [x (x ＋3)]，且f (4)＝2. 又f (x )在(0，＋∞)上单调递增．所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋3>0，x (x ＋3)≤4，解得0<x ≤1.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)证明数列{a n －n }是等比数列．(2)求数列{a n }的前n 项和S n .(3)证明不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立． 证明：(1)∵a n ＋1＝4a n －3n ＋1 ∴a n ＋1－(n ＋1)＝4a n －4n ，n ∈N *. 又a 1－1＝1所以数列{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列． (2)由(1)可知，a n －n ＝4n －1，于是a n ＝4n －1＋n 故S n ＝4n －13＋n (n ＋1)2.(3)S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋(n ＋1)(n ＋2)2－4⎣⎡⎦⎤4n －13＋n (n ＋1)2. ＝－12(3n 2＋n －4)＝－12(3n ＋4)(n －1)≤0，故S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *恒成立.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”中应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法 答案：B2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1bD ．－1b解析：f (x )定义域为(－1,1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a1＋a ＝－f (a )＝－b .答案：B3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ，则证明的依据应是( ) A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔(a －c )·(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0. 答案：C4．在不等边△ABC 中，a 为最大边，要想得到 A 为钝角的结论，对三边a ，b ，c 应满足的条件，判断正确的是( ) A ．a 2<b 2＋c 2 B ．a 2＝b 2＋c 2 C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：要想得到A 为钝角，只需cos A <0，因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以只需b 2＋c 2－a 2<0，即b 2＋c 2<a 2. 答案：C5．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 大小关系为( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a ≤b解析：a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x ，当x <0时，0<b <1. ∴a >b . 答案：A 6．已知sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，则tan(x －π4)＝________. 解析：∵sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，∴cos x ＝－ 45， ∴tan x ＝－12，∴tan(x －π4)＝tan x －11＋tan x ＝－3.答案：－37．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 解析：a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0 ⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b8．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．解析：∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab ＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0，∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案：≤9．设a ，b 大于0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立， 即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立． 又因a ＋b >0，故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立． 故原不等式a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立．10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f (x ＋12)为偶函数．证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称． ∴f (x ＋1)＝f (－x ) ，则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称，∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b .则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a (x －12)2＋c －a4，∴f (x ＋12)＝ax 2＋c －a4为偶函数．[B 组 能力提升]1．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.答案：B2．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 答案：B3．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD (侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 解析：要证明A 1C ⊥B 1D 1， 只需证明B 1D 1⊥平面A 1C 1C ， 因为CC 1⊥B 1D 1，只要再有条件B 1D 1⊥A 1C 1，就可证明B 1D 1⊥平面A 1CC 1， 从而得B 1D 1⊥A 1C 1.答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)4．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是________．解析：|x －a |<1⇔a －1<x <a ＋1，由题意知(12，32)⊆(a －1，a ＋1)，则有⎩⎨⎧a －1≤12a ＋1≥32(且等号不同时成立)，解得12≤a ≤32.答案：12≤a ≤325．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ① 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3. ③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac . ④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C . ⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．6．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.解析：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.(3)证明：当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n ＝1n 2<1(n －1)n ＝1n －1－1n，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．用反证法证明：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都是奇数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．” 答案：D2．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数 B ．a ，b ，c 都大于1 C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12解析：假设a ，b ，c 中都小于12，则a ＋2b ＋c <12＋2×12＋12＝2，与a ＋2b ＋c ＝2矛盾∴a ，b ，c 中至少有一个不小于12.答案：D3．(1)已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，(2)已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1，以下结论正确的是( ) A ．(1)与(2)的假设都错误 B ．(1)与(2)的假设都正确 C ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 D ．(1)的假设错误；(2)的假设正确解析：(1)的假设应为p ＋q >2；(2)的假设正确． 答案：D4．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 的值( )A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a都小于2则a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6，①又a ，b ，c 大于0所以a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c ≥2.∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 至少有一个不小于2.答案：D5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( ) A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60° C ．假设三内角至少有一个大于60° D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°. 答案：B6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”． 答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：显然①、②不能推出，③中a ＋b >2能推出“a ，b 中至少有一个大于1”否则a ≤1，且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾．④中取a ＝－2，b ＝0，推不出． 答案：③8．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设________．设全体质数为p 1，p 2，…，p n ，令p ＝p 1p 2…p n ＋1.显然，p 不含因数p 1，p 2，…，p n .故p 要么是质数，要么含有________的质因数．这表明，除质数p 1，p 2，…，p n 之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个． 解析：由反证法的步骤可得．答案：质数只有有限多个 除p 1，p 2，…，p n 之外9．用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行． 证明：由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行． 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立． 10．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解之得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立．故方程f (x )＝0没有负实根．[B 组 能力提升]1．已知直线a ，b 为异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析：假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线． 答案：C2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 解析：“a 、b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”． 答案：a ，b 不全为03．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，∴不存在n 使a n ＝b n . 答案：04．已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14，证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为0<a <1,0<b <1，所以1－a >0.由基本不等式(1－a )＋b 2≥(1－a )b >12同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12以上三个不等式相加(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32，即32>32. 这是不可能的．故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.5．设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n .证明数列{c n }不是等比数列． 证明：假设数列{c n }是等比数列，则 (a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得 2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1 ＝a n b n ⎝⎛⎭⎫p q ＋q p ， 即2＝p q ＋q p.②当p ，q 异号时，p q ＋qp <0，与②相矛盾；当p ，q 同号时，由于p ≠q ， 所以p q ＋qp >2，与②相矛盾．故数列{c n }不是等比数列．章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y ＝cos x (x ∈R)是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R)是周期函数． A ．①②③B ．③②①C．②③①D．②①③解析：显然②是大前提，①是小前提，③是结论．答案：D2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数解析：假设应为“2＋3不是无理数”，即“2＋3是有理数”．答案：D3．下列推理过程属于演绎推理的为()A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32……得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D．通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列解析：A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．答案：D4．求证：3＋7<2 5.证明：因为3＋7和25都是正数，所以为了证明3＋7<25，只需证明(3＋7)2<(25)2，展开得10＋221<20，即21<5，只需证明21<25.因为21<25成立，所以不等式3＋7<25成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．答案：B5.四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1,2,3,4号位置上，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的位置对应的是()开始第1次第2次第3次A．编号1 B．编号2C．编号3 D．编号4解析：由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，所以第2 012次互换座位后的结果与最初的位置相同，故小兔坐在第3号座位上．答案：C6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)，且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面的方程为()A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0解析：所求的平面方程为－1×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0.化简得x＋2y－z－2＝0.答案：A7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b∈R)”，其反设正确的是() A．a，b至少有一个不为0B ．a ，b 至少有一个为0C ．a ，b 全不为0D ．a ，b 中只有一个为0解析：“a ，b 全为0”的反设应为“a ，b 不全为0”，即“a ，b 至少有一个不为0”． 答案：A8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2. 答案：C9．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝( )A ．2B ．4 C.152D.172解析：在等比数列{a n }中，q ＝2≠1， 设首项为a 1≠0，则S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝15a 1，又a 2＝a 1q ＝2a 1， 故S 4a 2＝15a 12a 1＝152. 答案：C10．下列不等式中一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：A 项中，因为x 2＋14≥x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ； B 项中sin x ＋1sin x≥2只有在sin x >0时才成立；C 项中由不等式a 2＋b 2≥2ab 可知成立；D 项中因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.答案：C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上)11．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证：∠BAP <∠CAP ，用反证法证明时的假设为________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP 12.2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4 415……若 6＋a b＝6 a b(a ，b 均为实数)，猜想，a ＝________，b ＝________.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋ab中：a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35. 答案：6 35 13．观察下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为____________．解析：观察等号左边可知，左边的项数依次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数也增加1，依次为1,2,3，…，n ，指数都是2，符号正负交替出现，可以用(－1)n＋1表示；等号的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(－1)n ＋1·n (n ＋1)2，所以第n 个式子可为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)214. 已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝115．若定义在区间D 上的函数f (x )对于 D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：332三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)解：由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.17．(12分)已知函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理求函数f n (x )的解析式． 解析：依题意得，f 1(x )＝xx ＋2，f 2(x )＝x x ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋4＝x(22－1)x ＋22，f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x 7x ＋8＝x (23－1)x ＋23，…，由此归纳可得f n(x )＝x(2n －1)x ＋2n(x ＞0)． 18．(12分)设函数f (x )＝lg |x |，若0＜a ＜b ，且f (a )＞f (b )． 证明：0＜ab ＜1. 证明：f (x )＝lg |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，(x ≥1)，－lg x ，(0＜x ＜1). ∵0＜a ＜b ，f (a )＞f (b )．∴a 、b 不能同时在区间[1，＋∞)上， 又由于0＜a ＜b ，故必有a ∈(0,1)． 若b ∈(0,1)，显然有0＜ab ＜1； 若b ∈(1，＋∞)，由f (a )－f (b )＞0， 有－lg a －lg b ＞0， ∴lg(ab )＜0，∴0＜ab ＜1.19．(12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c 成等差数列． (1)比较b a与 cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角． 解析：(1) b a< cb.证明如下： 要证b a< c b ，只需证b a <c b. ∵a ，b ，c >0，∴只需证b 2<ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c≥2 1ac，∴b 2≤ac . 又a ，b ，c 均不相等，∴b 2<ac . 故所得大小关系正确．(2)证明：解法一：假设角B 是钝角，则cos B <0. 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac >ac －b 22ac >0，这与cos B <0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．解法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b >a ，b >c ，所以1a >1b >0，1c >1b >0，则1a ＋1c >1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．20．(13分)(2016·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)·(cos x ＋1)，其中α>0，记|f (x )|的最大值为A . (1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明|f ′(x )|≤2A .解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)解：当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)．故A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1. 令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1， 则A 是|g (t )|在[－1,1]上的最大值， g (－1)＝α，g (1)＝3α－2， 且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g ⎝⎛⎭⎫1－α4a ＝－(α－1)28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α>15.①当0<α≤15时，g (t )在(－1,1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|， 所以A ＝2－3α.②当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)>g ⎝⎛⎭⎫1－α4α.又⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α－|g (－1)|＝(1－α)(1＋7α)8α>0.所以A ＝⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎨⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1， 所以|f ′(x )|≤1＋α<2A .当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A . 所以|f ′(x )|≤2A .21．(14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列． (1)证明：a 2＝4a 1＋5；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12.解析：(1)证明：当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，a 22＝4a 1＋5，又a n >0，∴a 2＝4a 1＋5.(2)当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，又a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差为2的等差数列． 又a 2，a 5，a 14成等比数列．∴a 25＝a 2·a 14，即(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3. 由(1)知a 1＝1.又a 2－a 1＝3－1＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴a n ＝2n －1.(3)证明：1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<12.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，∴b ＝2. 答案：D2．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：直接法．∵a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴必有a ＝0，b ≠0，而ab ＝0时有a ＝0或b ＝0，∴由a ＝0， b ≠0⇒ab ＝0，反之不成立．∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B3．已知复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为( )A ．1或－1B ．1C ．－1D ．0或－1解析：因为复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，且a 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1.答案：C4．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3解析：由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12.答案：A5．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的为( ) A ．4 B ．－1 C ．4或－1D ．1或6解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 答案：B6．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3) i(x ∈R)，则x ＝________.解析：∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，。

第三章单元综合检测（二）(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．复数是实数的充分而不必要条件是( )．＝．＝．＋是实数．是实数解析：注意题目是求充分不必要条件而不是充要条件，即当满足条件时为实数，但复数为实数时，条件不一定成立．当＝时，＝－，故不成立．当为虚数且非纯虚数时，＋是实数，故不成立．若＝，设＝＋，则＝－，由复数相等，得＝，∴复数为实数；反之，若复数为实数，则必有＝，故是充要条件．当＝，设＝＋，由复数相等，得＝，∴复数为实数；反之，若复数为实数且<时得不出＝.答案：．[·北京高考]在复平面内，复数(－)对应的点位于( ). 第二象限. 第一象限. 第四象限. 第三象限解析：(－)＝－＋＝－，对应的点为(，－)，位于第四象限，故选.答案：．[·山东高考]复数满足(－)(－)＝(为虚数单位)，则的共轭复数为( ). －. ＋. －. ＋解析：由题意得＝＋＝＋＝＋，∴＝－，故选.答案：．若复数(＋)(＋)是纯虚数(是虚数单位，是实数)，则等于( )．－．－．解析：运用复数运算展开求解．(＋)(＋)＝－＋(＋)，又∵此复数为纯虚数，∴＝.故选.答案：．对于下列四个命题：①任何复数的绝对值都是非负数．②如果复数＝，＝－，＝－，＝－，那么这些复数的对应点共圆．③θ＋θ的最大值是，最小值为.④轴是复平面的实轴，轴是虚轴．其中正确的有( )．个．个．个．个解析：①正确．因为若∈，则≥，若＝＋(≠，，∈)，则＝>.②正确．因为＝，＝＝，＝，＝，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上．③错误．因为θ＋θ＝＝为定值，最大、最小值相等都是.④正确．故应选.答案：．复数＝＋(－)，若为实数，则实数的值为( )．－．．－．－解析：＝＋(－)＝＋(－)＝(＋)＋(－)＝－.为实数，则＝，得＝.答案：．设＝＋(是虚数单位)，则＋等于( )．－＋．－－．－．＋解析：＋＝＋(＋)＝－＋＝＋.答案：．已知＝，＝，则的值是( )....解析：＝，＝＝，所以＝，故选.答案：．已知方程＋(＋)＋＋＝(∈)有实根，且＝＋，则复数等于( ). ＋. －. －－. －＋解析：∵＋(＋)＋＋＝，∴＋＋＋(＋)＝，∴(\\(＋＋＝，＋＝.))∴(\\(＝，＝－，))∴＝－.故选.。

新课程标准数学选修1 —2第三章课后习题解答第三章数系的扩充与复数的引入3. 1数系的扩充和复数的概念 练习(P52)121、 实部分别是-2 , 、.2 ,- , 0, 0, 0；21虚部分别是1, 1, o , 「3, 1, 0.3 2、 2 J , 0.618, 0, i 2是实数；2i , i , 5i 8 , 3-9、、2i , i(1 — J3) , . 2- 2i 是虚数； 2i , i , i(^ .3)是纯虚数.!x y = 2x 3y J x = 43、 由，得y —1=2y+1y = -2练习(P54)1、 A : 4 3i , B : 3-3i , C : -3 2i , D : 4 3i , E : -5 -3i ,F 11 • _ G : 5i , H : -5i .222、 略.3、 略.习题 3.1 A 组(P55)1、(1) 由 3X 角"，得、5x - y = —2$ = 7即m = 0或m = 3时，所给复数是虚数.m 2 - 5m 亠 6 = 0(3)当 2,即m=2时，所给复数是纯虚数•—3m 式 03、 (1)存在，例如-、2 i , - 2 - i 3i ,等等.(2) 存在，例如1八、2i ,…—…2i ,等等.2 (3) 存在，只能是-2i . 4、 (1)点P 在第一象限.(2)点P 在第二象限. (3)点P 位于原点或虚轴的下半轴上.(4)点P 位于实轴下方由…得；:41即m=0或m=3时，所给复数是实数iX-4 =022、(1)当 m -3m =0, (2)当 m 2「3m = 0 ,，即_2＜；m ＜：3或5cm ＜：7时，复数z 对应的点位于第四象限•-5m 「14 ：： 0向量BA 对应的复数为(1 3i) _(-i) = 1 4i . 向量BC 对应的复数为(2 7) -(-i) = 2 • 2i . 于是向量BD 对应的复数为(1 4i) (2 2i^3 6i ，点D 对应的复数为(-i) (3 6i) =3 5i.J3 +1 73—1 (1) -2124i ;(2) -32-i ;(3) - —— ^i ;2 2I m 2 (2)当 2i m Z 对应的点位于第一、三象限• 2 「8m 15 0 亠 m -8m 15 ，或< 2 m -5m -14 -5m -14 0 0 ，即 m ”「2 或 3 ：：： m ：：： 5 或 m . 7 时，复数 0 (3) 2 2 当 m -8m 15 二 m -5m -14，即 29 m - 3 时，复数z 对应的点位于直线y 二x 上 习题 1、 3.1 (1) B 组(P55) 2 —i因为 z i ； (2) -2-i. =、12 22 —、5， Z 2 = -,(2)2(⑶2二 5Z 3 「_(.3)2 (-、2)2 —5Z 4二讥一2)2 • 12二.5 所以，乙，乙，乙，乙都在以原点为圆心,.5为半径的圆上.1、 (1) 一18 —21i ； (2) 6 —17i ; (3) -20 -15i ；2、 (1) -5 ; (2) -2i ; (3) 5.3、 (1) i ； (2) -i ； (3) 1 - i ； (4) -1 - 3i .习题3.2 A 组(P61)1、(1) 9 -3i ；(2) -2 3i ；(3) 7 5i ；(4) 0.3 0.2i6 122、AB 对应的复数为(-3 • 4i)-(6 • 5i) - -9 -i(2) 2-2i ;-2 2i ；(3) (4) 0.9 i .3. 2复数代数形式的四则运算 练习(P58) 1、(1) 5; 练习(P60)BA 对应的复数为 ■ - 2r m —8m+15:>0 5、(1)当 2l m2、略.1 43(4) 一 -i.2 22 418 1 3 4 5、(1)i ;(2)i ;(3)i ;(4) 1-38i .5 565 6525 25习题3.2 B 组(P61) 由 2(2i -3)2 p(2i -3) q =0，得(10-3p q) (2p —24)i =0.第三章 复习参考题A 组(P63)1、 (1) A ； (2) B ; (3) D ; (4) C .2、 由已知，设z=bi ( b^R 且b 式0 )；则(z 2)2 -8i 二(bi 2)2 -8i 二(4 -b 2) (4b -8)i .由（z+2）2- 8i 是纯虚数，得」4一b ，解得b = _2.因此z = _2i.4b -8 式 0 3、由已知，可得 z 1 z 2 = 8 6i ， zjz 2 = 55 10i .又因为1——，所以z z z 〔z 2z 〔 z ?第三章 复习参考题B 组（P63）1、设 z=a+bi ( a,b^R )，贝 V z = a — bi . 由(1 2i)z =4 3i ，得(1 2i)(a -bi) =4 3i ， 化简，得(a 2b)(2a -b)i =4 3i .f a 2b = 4根据复数相等的条件，有2a_b=3，解得心，…z 2 i 34于是z =2「，，则4i2、(1).4n. 4n.ii ， i 1 .(2)对任意 r N ，有 i 4n1 =i ，i 4n -1，于是，有10—3p q",I2p -24 =0解得p =12 , q =26.z 1z 28 6i 2。

人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修1-2 习题第三章检测(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.已知a,b∈ R ,则“a=b”是“(a-b)+ (a+b )i为纯虚数”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 (a-b)+ (a+b )i 为纯虚数的充要条件是实数a,b 满足-即a=b ,且 a≠-b,也就是 a=b ≠0.故选B.答案 B2.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()A. AB. BC.CD.D解析设 z=a+b i( a,b∈R),则其共轭复数为所以表示 z与的两点关于 x 轴对称 .故选 B .答案 B3.设i是虚数单位,若复数a∈ R)是纯虚数,则a的值为()-A. -3B. -1C.1D.3解析由已知 ,得 a-复数 a为纯虚数 ,∴a- 3=0,即 a= 3.--答案 D4.设z=1+ i(i是虚数单位),则等于A. -1-iB. -1+iC.1 -iD.1+ i解析∵z=1+ i,= (1-i)+ (1+ 2i-1)= 1+ i,故选 D.答案 D5.设a,b为实数,若复数则1人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2 A. aC.a解析由可得1+ 2i = (a-b )+ (a+b )i .-解得故 A .由两复数相等可以得到答案 A6. i是虚数位,复数i3A. -iB.iC.-1D.1解析原式 =- i-答案 D7.已知复数z=( a2-a-2)+ (|a-1|- 1)i(a∈ R )不是虚数,有()A. a≠0B. a≠2C.a≠0,且 a≠2D.a≠-1解析若 z 虚数 ,- -解得 a=- 1.--而已知 z 不是虚数 ,所以 a≠-1.故 D.答案 D8.已知i虚数位,a数,复数z= (1-2i)( a+ i)在复平面内的点M ,“a是点在第四象限的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 z=(1- 2i)(a+ i)=a+ 2+ (1-2a)i, 所以复数z 在复平面内的点M 的坐 (a+ 2,1-2a),所以点 M 在第四象限的充要条件是a+ 2> 0,且 1-2a< 0,解得 a故 C.答案 C9.投两枚骰子,得到其向上的点数分m 和 n,复数 (m+n i)( n-mi) 数的概率 ()A2222,所以 m=n ,可以取解析因 (m+n i)( n-mi)= 2mn+(n -m )i 数 ,所以 n =m .因骰子的点数正数1,2,⋯ ,6,共 6 种可能 .所以所求概率故 C.2答案 C10.复数z= (x-2)+y i(x,y∈ R)在复平面内对应向量的模为2,则|z+ 2|的最大值为 ()A.2B.4C.6D.8解析因为 |z|= 2,所以-即(x-2)2+y 2= 4,故点 (x,y)在以 (2,0) 为圆心 ,2 为半径的圆上,而|z+2|=|x+y i|它表示点 (x,y)与原点的距离,结合图形 (图略 )易知 |z+ 2| 的最大值为4,故选 B.答案 B二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.i是虚数单位,计算-的结果为解析---- - ---答案 -i12.设复数z满足i(z+ 1)=- 3+ 2i(i为虚数单位 ),则 z的实部是.---故 z的实部为 1.解析∵i( z+1)=- 3+2i,∴ z+1-答案 113.设复数z在对应法则f的作用下和复数w ·i对应 ,即f:z→w·i,则当 w=- 1+ 2i 时 ,复数z=.解析∵f:z→ w·i,且 w=- 1+ 2i,·i=- 1+2i, 则答案 2-i14.在复平面内,若z=m2(1+ i) -m(4+ i) -6i所对应的点在第二象限,则实数 m 的取值范围是.解析∵z=m 2-4m+ (m2-m- 6)i 所对应的点在第二象限,-解得 3<m< 4.- -答案 (3,4)2有实数根 ,则纯虚数 m=.15.若关于x的方程x + (2-i) x+(2m-4)i = 0解析设 m=b i( b∈R ,且 b≠0),方程的实根为x0,则有从而有于是解得-于是 m= 4i.-答案 4i三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)32求实数取什么值时复数是16.(8分)已知复数z=(2+ i) m-(1) 零 ;(2) 虚数 ;(3) 纯虚数 ;(4) 复平面上第二、四象限平分线上的点对应的复数.分析先将复数z化简整理为a+b i( a,b∈R) 的代数形式 ,再根据复数的分类及其几何意义求解即可.解因为 m∈R ,所以复数222z=(2+ i) m -3m(1+ i)- 2(1-i)= (2m -3m-2)+ (m -3m+2)i .--即 m= 2时 ,z 为零 .(1)当-(2)当 m2-3m+2≠0,即 m≠2,且 m≠1 时,z 为虚数 .--即 m=时 ,z 为纯虚数 .(3)当-(4)当 2m2-3m-2=- (m2-3m+2),即 m= 0 或 m=2 时,z 是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数 .17.(8分)设复数z的共轭复数为已知(1)求复数 z及(2) 求满足 |z1-1|=|z| 的复数 z1对应的点的轨迹方程.解 (1--故z=2+ i.(2)设 z1=x+y i(x,y∈R ),则 |(x-1)+y i|故(x-1)2+y2=5.即复数 z1对应的点的轨迹方程为(x-1)2+y 2= 5.18.(9分)已知z=1+ i,a,b为实数.(1)若ω=z 2+求(2)若-求的值解(1)∵ ω=z 2+∴|ω|--(2)由条件-得即∴ (a+b )+ ( a+ 2)i=1+i,4解得19.(10分)已知复数z满足|z|的虚部为所对应的点在第一象限(1)求 z;(2)22在复平面上对应的点分别为A,B,C,求 cos∠ ABC.若 z,z,z-z解(1)设 z=x+y i( x,y∈R ).∵ |z|①又z2= (x+y i) 2=x 2-y2+ 2xyi,∴ 2xy= 2,∴ xy= 1.②-由①② 可解得或-∴z=1+i 或 z=- 1- i.又x>0,y> 0,∴ z=1+ i.222(2)z = (1+ i) = 2i, z-z = 1+ i-2i=1-i .∴ A(1,1),B(0,2),C(1,-1),∴ cos∠ ABC20.(10分)已知复数z1= cosα+ isinα,z2= cosβ-isinβ,且z1求复数分析解答本题的关键是利用复数相等的充要条件先将复数问题实数化,再结合三角函数的知识求解.解由 z1得 cos α+ isin α-∴ cos α+ isin α+cos β+ isin β即 (cos α+ cos β)+ i(sin α+ sin β)5∴ cos2α+ sin2α--整理,得cosβ= 1β,①将①代入 sin 2β+ cos2β= 1,可解得 sin β= 0 或 sin β当sin β= 0 时 ,cos β= 1,cos α=当 sin β时,cosβ=α= 1,sinα= 0.∴ z1=或 z12= 1,z =6。

章末综合测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)．(·福建高考)若(＋)＋(－)＝＋(，∈，是虚数单位)，则，的值分别等于( )．．，－．－．，－【解析】(＋)＋(－)＝－＝＋，所以＝，＝－.【答案】．(·广东高考)若复数＝(－)(是虚数单位)，则＝( )．＋．－．－．＋【解析】∵＝(－)＝－＝＋，∴＝－.【答案】．(·衡阳高二检测)若(＋)＝＋(，∈)，则复数＋的模是( )．．．．【解析】由(＋)＝＋，得－＋＝＋，解得＝，＝－，所以复数＋的模为＝.【答案】．(·广东高考)已知复数满足(－)＝，则＝( )．－＋．－－．＋．－【解析】由(－)＝，得＝＝＝＋，故选.【答案】．(·天津高二检测)“＝”是“复数＝(＋)(＋)(∈，为虚数单位)为纯虚数”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件【解析】＝(＋)(＋)＝＋＋－＝(－)＋(＋)，若＝，则＝为纯虚数；若为纯虚数，则＝.故选.【答案】．设∈，若为纯虚数，则在复平面上的对应点落在( )【导学号：】．实轴上．虚轴上．直线＝±(≠)上．以上都不对【解析】设＝＋(，∈)，∵＝－＋为纯虚数，∴(\\(－＝，))∴＝±，即在复平面上的对应点在直线＝±(≠)上．【答案】．设复数满足＝，则＋＝( )．．．【解析】∵＝，∴＝＝＝－，∴＋＝－＝.【答案】．设是虚数单位，是复数的共轭复数，若·＋＝，则＝( )．＋．－．－＋．－－【解析】设＝＋(，∈)，由·＋＝，得(＋)(－)＋＝(＋)，即(＋)＋＝＋，由复数相等的条件得(\\(＋＝，＝，))得(\\(＝，＝，))∴＝＋.【答案】。

2021年09月30日试卷一、单选题(共25题；共0分)1、(0分)若复数z=(a2+2a−3)+(a+3)i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是( )A. -3B. -3或1C. 3或-1D. 12、(0分)复数z=−3+i2+i的共轭复数是（）A. 2+iB. 2−iC. −1+iD. −1−i3、(0分)已知复数z=2i1+i ，则z·z−=（）A. 1−iB. 2C. 1+iD. -24、(0分)复数z=1+2i1−i,则复数z的共扼复数表示的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5、(0分)已知复数z=2−1+i，则（）A. |z|=2B. z的实部为1C. z的虚部为﹣1D. z的共轭复数为1+i6、(0分)【2018广东珠海一中等六校高三第三次联考】已知(−1+i)n=b0(−2+i)0+b1(−2+i)+b2(−2+i)2+⋯+b n(−2+i)n（n≥2，i为虚数单位），又数列{a n}满足：当n=1时，a1=−2；当n≥2，a n为b2(−2+i)2的虚部，若数列{−2a n}的前n项和为S n，则S2018=( )A. 20172018B. 20182017C. 40352018D. 403320177、(0分)设，则（）A.B. 2C.D. 18、(0分)若（）与互为共轭复数，则的值为（）A. B.C. D.9、(0分)已知复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 的模为（ ）A. 2B.C. 5D.10、(0分)复数 的共轭复数是（ ）A.B.C.D.11、(0分)复数 2i (1−i )2=（ ）A. −4B. 4C. −4iD. 4i12、(0分)已知 i 是虚数单位，则 3−i 2+i=（ ）A. −1+iB. −1−iC. 1+iD. 1−i13、(0分)若复数 z 满足 iz =4−5i ( i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z −为（ ）A. 5−4iB. −5+4iC. 5+4iD. −5−4i14、(0分)已知复数 z =1+3i 1−i,则 z −的实部为（ ）A. lB. 2C. -2D. -115、(0分)已知x,y∈R,i 为虚数单位，且 (x −2)i −y =−1+i ， 则(1＋i) x＋y的值为（ ）A. 4B. －4C. 4＋4iD. 2i16、(0分)下列说法正确的是（ ） A. 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等 B. ai 是纯虚数（a∈R）C. 如果复数x ＋yi （x 、y∈R）是实数，则x ＝0，y ＝0D. 复数a ＋bi （a 、b∈R）不是实数17、(0分)已知复数z 满足z|z|=35+45i ，则z 的实部与虚部之比为（ ）A. 34B. 43C. −43D. −3418、(0分)若复数z =2+i 1+i，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是A. 32B. −12C. −32iD. 12i19、(0分)设复数z =i−12i（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）A. 12+12iB. 12−12iC. −12+12iD. −12−12i20、(0分)设i 是虚数单位，若复数a +2i 1−i(a ∈R )是纯虚数，则a =（ ）A. −1B. 1C. −2D. 221、(0分)已知复数z 满足iz =1−i ，则其共轭复数z ¯在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限22、(0分)已知i 为虚数单位，复数z 满足(1+2i)z =4+3i ，则复数z 对应的点位于复平面内的（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限23、(0分)已知i 为虚数单位，复数z =2+i1−2i ，则下列命题为真命题的是（ ） A. z 的共轭复数为i B. z 的虚部为-1C. z 在复平面内对应的点在第一象限D. |z |=124、(0分)已知复数z 满足1−z =(2−i )2，则z 的虚部为（ ）A. 4B. 4iC. −2D. −2i25、(0分)设a ∈R ，若(a −i )2i （i 为虚数单位）为正实数，则a =（ ）A. 2B. 1C. −2D. −1二、填空题(共10题；共0分)26、(0分)（2016•天津）已知a,b∈R，i是虚数单位，若(1+ i)(1- bi）= a，则ab的值为_____________.27、(0分)若复数z满足iz=√3−i（i为虚数单位），则|z| _____________ ．28、(0分)设复数，（R，为虚数单位），若为纯虚数，则的值为_______．29、(0分)已知复数，其中为虚数单位，则_________.30、(0分)已知i为虚数单位，复数z= 1+2i1−i，则复数z的虚部是_____________ ．31、(0分)若复数z=1+i1−i +m⋅1−i1+i（i为虚数单位）为实数，则实数m=_____________ ．32、(0分)i是虚数单位，若复数(1−2i)(a+i)是纯虚数，则实数a的值为.33、(0分)已知a∈R，i为虚数单位，若a−i1+i为纯虚数，则a的值为．34、(0分)已知a是实数，i是虚数单位，若z=a2−1+(a+1)i是纯虚数，则a=．35、(0分)设复数z=52−i（其中i为虚数单位），则复数z的实部为，虚部为．三、解答题(共5题；共0分)36、(0分)已知x 2－y 2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值；37、(0分)(本小题满分10分)已知复数z=lg（m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i，根据以下条件分别求实数m的值或范围．（1）z是纯虚数；（2）z对应的点在复平面的第二象限．38、(0分)实数m取什么数值时，复数z=m 2﹣1+（m 2﹣m﹣2）i分别是：(1).实数；A. 解：）∵复数z=m 2﹣1+（m 2﹣m﹣2）i是实数，∴m2﹣m﹣2=0，∴m=﹣1．m=2(2).虚数；复数z=m 2﹣1+（m 2﹣m ﹣2）i 是虚数， ∴m 2﹣m ﹣2≠0 ∴m≠﹣1．m≠2A. 解：(3).纯虚数．A. 解：复数z=m 2﹣1+（m 2+3m+2）i 是纯虚数 ∴m 2﹣m ﹣2≠0且m 2﹣1=0 ∴m=139、(0分)计算:(1)(2+i)(2-i). (2)(1+2i)2.(3)(1+i 1−i )6√2+√3i√3−√2i .40、(0分)设复数z 满足 4z +2z −=3√3+i ， ω=sinθ−icosθ,(θ∈R)．求z 的值和|z －ω|的取值范围．四、计算题(共5题；共0分) 41、(0分)计算2+2i i+1+i1−i ．42、(0分)求适合等式：（2x ﹣1）+i=y+（y ﹣3）i 的x ，y值，其中x∈R，y 是纯虚数．43、(0分)（Ⅰ）计算：(√2+√2i)2(4+5i)(5−4i)(1−i)； （Ⅱ）在复平面上，平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 对应的复数分别为i ，1，4+2i ．求第四个顶点D 的坐标及此平行四边形对角线的长．44、(0分)已知z 1=5+10i ，z 2=3﹣4i ， 1z=1z 1+1z 2，求z ．45、(0分)复数z=x+yi （x ，y∈R），且2 x+y+ilog 2x ﹣8=（1﹣log 2y ）i ，求z ．试卷答案1.【答案】D【解析】根据题意，由于复数#f1bd65e7-ee2a-4828-a8ea-06074f40485f#为纯虚数，则实部为零，虚部不为零，则可知#1d4c7ff1-15f2-45b7-8fd4-e9b75c88e04e#,故答案为D.2.【答案】D【解析】【解答】根据题意，由于复数，因此其共轭复数为实部不变，虚部变为相反数可得到为，选D.3.【答案】B【解析】【解答】根据复数除法的运算法则，，则.选B.4.【答案】C【解析】【解答】因为，所以，所表示的点在第三象限.5.【答案】C【解析】【解答】z=2−1+i =2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=2×(−1−i)(−1)2−(i)2=−1−i所以，|z|=|−1−i|=√2;，z的实部为1，z的虚部为﹣1，z的共轭复数为-1+i. 故选C.6.【答案】C【解析】1+i)n=[1+(−2+i)]n，∴b2=C n2，又(−2+i)2=4−4i+i2=3−4i，∴a n=−4C n2=−2n(n−1)，−2a n =1n(n−1)=1n−1−1n(n≥2)，S2018=1+(1−12)+(12−13)+⋯+(12017−12018)=2−12018=40352018，故选C．7.【答案】C【解析】利用复数的运算法则及其性质即可得出．z 2 i 2 i＝﹣1﹣i 2 i=﹣1+ i，则| z| ．故选：C．【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．; ，又与互为共轭复数，，，则.故选A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础的计算题．9.【答案】D【解析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.因为，所以．【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的代数形式的加减运算，复数的模的公式，属于简单题目.10.【答案】D【解析】根据复数除法运算，化简复数z，再由共轭复数的概念即可求其共轭复数。

第三章 章末检测1、设复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于( ) A. 34i -+ B. 34i - C. 34i -- D. 34i + 2、若复数z 满足(34)43i z i -=+,则z 的虚部为( )A. 4-B. 45- C. 4 D. 453、已知复数12312,1,34z i z i z i =-+=-=-,它们在复平面上所对应的点分别为,,A B C .若(),OC OA OB R λμλμ=+∈,则λμ+的值是( )A.1B.2C.3D.44、若复数01x =是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根,则( )A. 2,3b c ==B. 2,3b c =-=C. 2,1b c =-=-D. 2,1b c ==-5、定义运算||a b ad bc c d =-,则符合条件11||42i z zi-=+的复数z 为( ) A. 3i -B. 13i +C. 3i +D. 13i - 6、已知复数1234,z i z t i =+=+,且21z z ⋅是实数,则实数t 等于( )A. 34B. 43C. 43-D. 34-7、i 是虚数单位,复数734iz i +=+的共轭复数z = ( )A. 1i -B. 1i +C. 17312525i +D. 172577i -+8、如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )A. AB. BC. CD. D9、已知i 为虚数单位,复数122iz i -=-,则复数z 的虚部是( )A. 35i -B. 35-C. 45iD. 4510、已知复数()()2,x yi x y R -+∈3,则yx 的最大值是()B.3D. 1211、若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭__________. 12、已知复数(),z a bi a b R =+∈且51123a b i i i+=--+,则复数z =__________. 13、复数()()223228z m m m m i =-++--的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限,则实数m 的取值范围是__________.14、设x ,y 为实数,且511213x y i i i+=---,则x y +=__________.15、已知复数()?x ai a R ∈,()1z x x i =-+-.1.若z 为纯虚数,求a 的值;2.若z 的对应点在第二象限,求a 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：设(),z x yi x y R =+∈,则2x yi i ++=+,所以2,{1,x y +==解得3,{41.x y ==所以34z i =+.2答案及解析：答案：D 解析：∵(34)43i z i -=+,∴435(34)34342555i i z i i ++====+-. ∴z 的虚部为45.3答案及解析：答案：A解析：()()()341212i i i i λμμλλμ-=-++-=-+-,∴324μλλμ-=⎧⎨-=-⎩得12λμ=-⎧⎨=⎩∴1λμ+=.4答案及解析：答案：B解析：因为1是实系数方程的一个复数根,所以1也是方程的根,则()()112,113b c +==--==,解得2,3b c =-=.5答案及解析：答案：A解析：∵11||42zi z i z zi-=+=+, ∴()()421424223122i i i i z i i +-++-====-+, 故选A.6答案及解析：答案：A 解析：()()()()21343443z z i t i t t i ⋅=+-=++-,依题意430t -=,∴34t =.7答案及解析：答案：B 解析：()()734725251342525i i i i z i i +-+-====-+ ∴1z i =+.8答案及解析：答案：B解析：由复数的几何意义及共轭复数定义可知,共轭复数对应的点关于x 轴对称(实数的共轭复数是其本身).9答案及解析：答案：B 解析：()()()()122124343222555i i i i i i i i -+--===---+,则复数z 的虚部是35-.10答案及解析：答案：C解析：由()2223x y -+=得()2223x y -+=,表示以()2,0为圆心, 3为半径的圆. y x可理解为圆上的点(),x y 与原点()0,0连线的斜率,可知相切时最大,如图, 3COP π∠=,∴3y k x==.11答案及解析： 答案：6解析：∵12z i =+,∴12z i =-.∴11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭.12答案及解析：答案：710i -解析：∵,a b R ∈且51123a b i i i+=--+, 即()()1123252a ib i i ++-+=, ∴5524155a ai b bi i +++=-,即5215545a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得710a b =⎧⎨=-⎩故710z a bi i =+=-.13答案及解析：答案：()()2,12,4-⋃解析：复数()()223228z m m m m i =-++--的共轭复数为()()223228z m m m m i =-+---, 又z 在复平面内对应的点在第一象限,得()22320280m m m m ⎧-+>⎪⎨--->⎪⎩ 解得21m -<<或24m <<.14答案及解析：答案：4 解析：()()11211225x i y i x y i i +++=+--22525x y x y i ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 而()513513131022i i i +==+-, 所以1225x y +=且23252x y +=, 解得1x =-,5y =,所以4x y +=.故答案为: 4.15答案及解析：答案：1.由()?x ai a R =∈得21x a a ==+. ∵210a +≥,∴12a ≥-,∴112a +≥, ∴1x a =+∴()())()111z ai a i a a i =-++-=+- 若z 为纯虚数,则010a a =-≠解得, 1a =+1a =2.若z的对应点在第二象限,则010a a <->,解得1a >+解析：由Ruize收集整理。

章末复习 学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2 (r ≥0，r ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ←――――――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――――――――――→一一对应平面向量OZ →.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．2i ＋5的共轭复数为2i －5.( × )2．若m ，n ∈R ，m ＋(n －1)i ＝1＋i ，则m ＝1，n ＝2.( √ )3．若z 1，z 2为复数，且z 1－z 2>0，则z 1>z 2.( × )4．复数z ＝i(2＋i)对应的点在第二象限．( √ )5．若|z －z 1|＝r ，则在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以z 1的对应点为圆心，半径为r 的圆．( √ )6．设复数z ＝1＋2i i －1，其中i 为虚数单位，则|z |＝102.( √ )类型一 复数的概念例1 已知复数z ＝a 2－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4i ，分别求出满足下列条件的实数a 的值： (1)z 是实数；(2)z 是虚数；(3)z 是0.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 由a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或a ＝3.由a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.由a 2－4≠0，解得a ≠±2.(1)要使z 为实数，需a 2＋2a －15＝0且a 2－4≠0，解得a ＝－5或a ＝3，∴当a ＝－5或a ＝3时，z 为实数．(2)要使z 为虚数，需a 2＋2a －15≠0且a 2－4≠0，解得a ≠－5且a ≠3且a ≠±2，∴当a ≠－5且a ≠3且a ≠±2时，z 是虚数．(3)要使z 为0，需a 2－a －6＝0，且a 2＋2a －15＝0，且a 2－4≠0，解得a ＝3，∴当a ＝3时，z ＝0.引申探究本例中条件不变，若z 为纯虚数，是否存在这样的实数a ，若存在，求出a ，若不存在，说明理由．解 由a 2－a －6＝0，且a 2＋2a －15≠0，且a 2－4≠0，得a 无解，∴不存在实数a ，使z 为纯虚数．反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．跟踪训练1 已知关于x 的方程10i ＋a 2x ＋1＝3x 2＋i x ＋2i x 2有实数根，求实数a 的值． 考点 复数相等题点 复数相等的条件解 设方程的实数根为m ，则原方程可变为⎝⎛⎭⎫3m 2－a 2m －1＋(2m 2＋m －10)i ＝0， ∴由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，2m 2＋m －10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，a ＝11或⎩⎨⎧ m ＝－52，a ＝－715.故实数a 的值为11或－715. 类型二 复数的四则运算例2 已知z 是复数，z －3i 为实数，z －5i 2－i为纯虚数(i 为虚数单位)． (1)求复数z ；(2)求z 1－i的模． 考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，可得b ＝3.又∵a －2i 2－i＝2a ＋2＋(a －4)i 5为纯虚数， ∴a ＝－1，即z ＝－1＋3i.(2)z 1－i ＝－1＋3i 1－i ＝(－1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－4＋2i 2＝－2＋i ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1－i ＝|－2＋i|＝(－2)2＋12＝ 5. 反思与感悟 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z 时要注意是把z 看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z 是实数或纯虚数时注意常见结论的应用． 跟踪训练2 已知z 1，z 2为复数，(3＋i)z 1为实数，z 2＝z 12＋i，且|z 2|＝52，求z 2. 考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算解 z 1＝z 2(2＋i)，(3＋i)z 1＝z 2(2＋i)(3＋i)＝z 2(5＋5i)∈R ，因为|z 2|＝52，所以|z 2(5＋5i)|＝50，所以z 2(5＋5i)＝±50，所以z 2＝±505＋5i ＝±101＋i＝±(5－5i)． 类型三 方程思想例3 已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实数根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a －b i|＝2|z |，求z 为何值时，|z |有最小值并求出最小值．考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的方程问题解 (1)将b 代入题中方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0，整理得(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0.则b 2－6b ＋9＝0，且a －b ＝0，解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，复数z 在复平面内对应的点为Z ，则(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8.所以点Z 在以(－1,1)为圆心，22为半径的圆上．画图可知，z ＝1－i 时，|z |min ＝ 2.反思与感悟 方程思想主要用来分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．在本章中方程思想主要体现在复数相等的充要条件及点的轨迹和复数方程等问题上．跟踪训练3 已知复数z 满足(z ＋z )－3z ·z i ＝1－3i ，求复数z .考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的方程问题。

3章末1．已知函数f (x )＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋(3m ＋6)x ＋1，其中m <0.当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．[解析] f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋3m ＋6.由题意可知：当x ∈[－1,1]时，f ′(x )>3m 恒成立．所以mx 2－2(m ＋1)x ＋2>0在x ∈[－1,1]上恒成立．令g (x )＝mx 2－2(m ＋1)x ＋2，则g (x )>0在x ∈[－1,1]上恒成立．又因m <0，故⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)>0，g (1)>0，解得－43<m <0. 即：m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－43，0. [点评] 本题通过导数与切线斜率的关系，将其转化为恒成立问题，通过构造函数转化为一元二次函数恒大于0.2．a 为实数，函数f (x )＝x 3－ax 2＋(a 2－1)x 在(－∞，0)和(1，＋∞)上都是增函数，求a 的取值范围．[解析] f ′(x )＝3x 2－2ax ＋(a 2－1)，其判别式Δ＝4a 2－12a 2＋12＝12－8a 2.(1)若Δ＝12－8a 2≤0，即a ≤－62或a ≥62，此时f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，所以a ≤－62或a ≥62符合题意． (2)若Δ＝12－8a 2>0，即－62<a <62.则此时要满足⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)≥0，0<a 3<1，f ′(1)≥0.解得1≤a <3，又因为－62<a <62，所以1≤a <62，综上所述a ≤－62或a ≥1. [点评] 利用导数与单调性的关系，将其转化为二次函数问题．3．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )．(1)求导数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值．[解析] (1)由原式得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4.(2)由f ′(－1)＝0得a ＝12， 此时有f (x )＝(x 2－4)⎝⎛⎭⎫x －12，f ′(x )＝3x 2－x －4. 由f ′(x )＝0得x ＝43或x ＝－1. 又f ⎝⎛⎭⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0， ∴f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027. 4．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．(1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？[分析] 建立函数模型，用导数求最值的方法求解．[解析] (1)P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3240x －5000(x ∈N *，且1≤x ≤20)； MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－30x 2＋60x ＋3275(x ∈N *，且1≤x ≤19)．(2)P ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x －12)(x ＋9)，∵x >0，∴当P ′(x )＝0时，x ＝12，∴当0<x <12时，P ′(x )>0，当x >12时，P ′(x )<0，∴x ＝12时P (x )有最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．(3)MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305.所以，当x ≥1时，MP (x )单调递减．所以单调减区间为[1,19]，且x ∈N *.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少．。

章末综合测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·福建高考)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A．3，－2B．3,2C．3，－3 D．－1,4【解析】(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋b i，所以a＝3，b＝－2.【答案】 A2．(2015·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝()A．2－3i B．2＋3iC．3＋2i D．3－2i【解析】∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.【答案】 A3．(2016·衡阳高二检测)若i(x＋y i)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋y i 的模是() A．2B．3C．4D．5【解析】由i(x＋y i)＝3＋4i，得－y＋x i＝3＋4i，解得x＝4，y＝－3，所以复数x＋y i的模为42＋(－3)2＝5.【答案】 D4．(2014·广东高考)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝()A．－3－4i B．－3＋4iC．3－4i D．3＋4i【解析】由(3－4i)z＝25，得z＝253－4i＝25(3＋4i)(3－4i)(3＋4i)＝3＋4i，故选D.【答案】 D5．(2016·天津高二检测)“m＝1”是“复数z＝(1＋m i)(1＋i)(m∈R，i为虚数单位)为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】z＝(1＋m i)(1＋i)＝1＋i＋m i－m＝(1－m)＋(1＋m)i，若m＝1，则z ＝2i为纯虚数；若z为纯虚数，则m＝1.故选C.【答案】 C6．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在()【导学号：19220054】A．实轴上B．虚轴上C．直线y＝±x(x≠0)上D．以上都不对【解析】设z＝a＋b i(a，b∈R)，∵z2＝a2－b2＋2ab i为纯虚数，∴{a2－b2＝0，ab≠0.∴a＝±b，即z在复平面上的对应点在直线y＝±x(x≠0)上．【答案】 C7．设复数z满足1－z1＋z＝i，则|1＋z|＝()A．0 B．1 C. 2 D．2【解析】∵1－z1＋z＝i，∴z＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－i，∴|z＋1|＝|1－i|＝ 2. 【答案】 C8．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得{ a 2＋b 2＝2b ，＝2a ，得{ a ＝1，b ＝1，∴z ＝1＋i.【答案】 A9．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A.π6B.π4C.π3D.π2【解析】 z 2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos 2θ－sin 2θ)＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴{ sin 2θ＝0，θ＝－1，∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )，令k ＝0知选D.【答案】 D10．当z ＝－1－i 2时，z 100＋z 50＋1的值是( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 250＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2250＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2225＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.【答案】 D11．在复平面上，正方形OBCA 的三个顶点A ，B ，O 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i,0，则这个正方形的第四个顶点C 对应的复数是( )A ．3＋iB ．3－iC ．1－3iD ．－1＋3i【解析】 ∵正方形的三个顶点的坐标分别是A (1,2)，B (－2,1)，O (0,0)， ∴设第四个顶点C 的坐标为(x ，y )，则BC →＝OA →，∴(x ＋2，y －1)＝(1,2)．∴{ x ＋2＝1，y －1＝2， ∴{ x ＝－1，y ＝3，∴第四个顶点C 的坐标为(－1,3)．【答案】 D12．复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R )在复平面内对应向量的模为2，则|z ＋2|的最大值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 由于|z |＝2，所以(x －2)2＋y 2＝2，即(x －2)2＋y 2＝4，故点(x ，y )在以(2,0)为圆心，2为半径的圆上，而|z ＋2|＝|x ＋y i|＝x 2＋y 2，它表示点(x ，y )与原点的距离，结合图形易知|z ＋2|的最大值为4，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)13．(2015·天津高考)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．【解析】 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.【答案】 －214．复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是________．【解析】 ∵z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，z 2＝2－i 3＝2＋i ， ∴P (－1,0)，Q (2,1)，∴PQ →＝(3,1)，即PQ →对应的复数为3＋i.【答案】 3＋i15．定义运算||a b c d ＝ad －bc ，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )符合条件||z 1z 2i ＝3＋2i 的复数z 等于_________________________________．【导学号：19220055】【解析】 由定义运算，得||zz 2i ＝2z i －z ＝3＋2i ，则z ＝3＋2i －1＋2i＝(3＋2i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝15－85i. 【答案】 15－85i16．复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________．【解析】 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以{ a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2. 由条件得|z |＝(a －2)2＋(a ＋1)2 ＝2a 2－2a ＋5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＋92 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92， 因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R )是4－20i 的共轭复数，求实数x 的值．【解】 ∵复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，∴x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ，∴{ x 2＋x －2＝4，x 2－3x ＋2＝20，∴x ＝－3.18．(本小题满分12分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m 1－i－2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是：(1)虚数；(2)纯虚数．【解】 z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，(1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数．(2)当{ 2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，即m ＝－12时，z 为纯虚数．19．(本小题满分12分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．【解】 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3(1－i )2＋i＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝1－i. 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ，所以{ a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1. 所以{ a ＝－3，b ＝4.20．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .【解】 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |，所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得{x1＝－5，y1＝0或{x2＝－3，y2＝4.因为|OA|≠|BC|，所以x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.21．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．【解】(1)设z＝a＋b i(a，b∈R)，由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2ab i，∴2ab＝2.∴a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.∴点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，∴S△ABC ＝12|AC|×1＝12×2×1＝1.当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i. ∴点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，∴S△ABC ＝12|AC|×1＝12×2×1＝1.即△ABC的面积为1.22．(本小题满分12分)已知关于x的方程：x2－(6＋i)x＋9＋a i＝0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a，b的值；(2)若复数z满足|z－a－b i|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值.【导学号：19220056】【解】(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋a i＝0(a∈R)的实根，∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，∴{b2－6b＋9＝0，a＝b，解得a＝b＝3.(2)设z＝x＋y i(x，y∈R)，由|z－3－3i|＝2|z|，得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，∴复数z对应的点Z的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，22为半径的圆，如图所示．当点Z在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，∵|OO1|＝2，半径r＝22，∴当z＝1－i时，|z|有最小值且|z|min＝ 2.。

章末复习课[整合·网络构建]［警示·易错提醒]1．复数代数形式为z＝a＋b i，a、b∈R，应用复数相等的条件时，必须先将复数化成代数形式．2．复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式z＝a＋b i(a、b∈R)．z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0,注意虚数与纯虚数的区别．3．不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．4．a2≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z2≥0不一定成立，|z2|≠z2.5．复数与平面向量相联系时,必须是以原点为始点的向量．6．不全为实数的两个复数不能比较大小．7．复平面的虚轴包括原点．专题一复数的概念解决与复数概念相关的问题时,复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁"是设z＝x＋y i（x，y∈R),依据是“两个复数相等的充要条件”．[例1] (1）已知a，b∈R，i是虚数单位,若（1＋i)(1－b i)＝a，则错误!的值为________．(2）满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1)i＝0的实数对（x，y）表示的点有________．解析：（1)因为(1＋i）（1－b i)＝a(a，b∈R），则1＋b＋i(1－b）＝a，因此错误!解得错误!所以错误!＝2.（2）错误!所以错误!所以点(x,y)为错误!，错误!。

答案：（1)2 （2)2个归纳升华1．当复数的实部与虚部含有字母时,利用复数的有关概念进行分类讨论，分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋y i 没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．2．复数相等的充要条件，其实质是复数问题实数化,体现了转化与化归的思想．［变式训练] 设i是虚数单位，复数错误!为纯虚数,则实数a的值为（）A．2 B．－2 C．－错误! D.错误!解析：错误!＝错误!＝错误!，由于该复数为纯虚数，所以2－a＝0，且2a＋1≠0，因此a＝2。

答案：A专题二复数的四则运算及几何意义历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键．复数的加法与减法运算有着明显的几何意义,因此有些问题的求解可结合加法与减法的几何意义进行．[例2］（1)设z＝错误!＋i＋错误!错误!,则｜z|＝________．（2)在复平面内，复数z＝错误!（i为虚数单位）的共轭复数对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：①点A所在的象限；②向量错误!对应的复数．(1)解析：因为错误!＋i＝错误!＋i＝错误!＋错误!。

第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念A级基础巩固一、选择题1．在2＋7，27i，0，8＋5i，(1－3)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：27i，(1－3)i是纯虚数，2＋7，0，0.618是实数，8＋5i是虚数．答案：C2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则( ) A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}C．R＝C∩I D．R∩I＝∅解析：显然，实数集与纯虚数集的交集为空集是正确的．答案：D3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝( )A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i解析：由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，所以由复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.答案：B4．以2i－5的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )A．2－2i B．2＋iC．－5＋5i D.5＋5i解析：2i－5的虚部为2，5i＋2i2＝－2＋5i的实部为－2，所以新复数为2－2i. 答案：A5．已知集合M＝{1，2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，且M∩N＝{3}，则实数m 的值为( )A ．4B ．－1C ．－1或4D ．－1或6解析：由于M ∩N ＝{3}，故3∈M ，必有m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，可得m ＝－1.答案：B二、填空题6．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R)，若z 是实数，则m 的值为________． 解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或m ＝1.答案：0或1 7．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，则x ＝________． 解析：因为x ∈R，所以x 2－x －6x ＋1∈R ， 由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，解得x ＝3.答案：38．复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________． 解析：因为m ∈R，z 1＝z 2，所以 (2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3， 解得m ＝5.答案：5三、解答题9．当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是：(1)纯虚数；(2)实数． 解：(1)如复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －7）＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4. (2)如复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3. 10．关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实数根，求实数a 的值．解：设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ， 由复数相等的定义， 得⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715. B 级 能力提升1．已知复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)的实部为2，虚部为1，复数z 2＝(x －1)＋(2x －y )i(x ，y ∈R)．当z 1＝z 2时x ，y 的值分别为( )A ．x ＝3且y ＝5B ．x ＝3且y ＝0C ．x ＝2且y ＝0D ．x ＝2且y ＝5解析：易知z 1＝2＋i由z 1＝z 2，即2＋i ＝(x －1)＋(2x －y )i(x ，y ∈R)∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，2x －y ＝1，解得x ＝3且y ＝5.答案：A2．复数z ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θi ，且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，若z 为纯虚数，则θ的值为________．解析：z ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θi ＝－sin θ＋icos θ. 当z 为纯虚数时⎩⎪⎨⎪⎧－sin θ＝0，cos θ≠0，又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以θ＝0. 答案：03．如果(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，求自然数m ，n 的值． 解：因为(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1， 所以 (m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数． 从而有⎩⎨⎧（m ＋n ）>－1，－（m 2－3m ）＝0，由m 2－3m ＝0得m ＝0或m ＝3.当m ＝0时代入(m ＋n )>－1，得0<n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3时，代入(m ＋n )>－1，得n <－1，与n 是自然数矛盾，舍去．综上可知，m＝0，且n＝1.。

第三章 数系的扩充与复数的引入课时作业40一、选择题1．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1＋3i C ．－1－iD ．－1－3i解析：z ＝(4＋i)－(3－2i)＝1＋3i. 答案：B2．已知z 1＝3－4i ，z 2＝－5＋2i ，z 1，z 2对应的点分别为P 1，P 2，则P 2P 1→对应的复数为( )A. －8＋6iB. 8－6iC. 8＋6iD. －2－2i 解析：∵P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→， ∴P 2P 1→对应的复数为：z 1－z 2＝3－4i －(－5＋2i)＝(3＋5)＋(－4－2)i ＝8－6i. 答案：B3．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．答案：B4．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限解析：∵z ＝3－4i ，∴z －|z |＋(1－i)＝3－4i －32＋－42＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i ＝－1－5i.答案：C 二、填空题5．(2x ＋3y i)－(3x －2y i)＋(y －2x i)－3x i ＝__________.(x ，y ∈R ) 解析：原式＝(2x －3x ＋y )＋(3y ＋2y －2x －3x )i ＝(y －x )＋5(y －x )i. 答案：(y －x )＋5(y －x )i6．在复平面上，复数－3－2i ，－4＋5i,2＋i ，z 分别对应点A ，B ，C ，D ，且四边形ABCD 为平行四边形，则z ＝__________.解析：由于AB →＝DC →，∴2＋i －z ＝(－4＋5i)－(－3－2i)． ∴z ＝3－6i. 答案：3－6i7．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是__________．解析：复数z 满足条件|z |＝1，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而|z ＋22＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离．从图形上可得|z ＋22＋i|的最大值是4. 答案：4 三、解答题8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又∵z 1－z 2＝13－2i ，∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i.z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.9．在平行四边形ABCD 中，已知AC →，DC →对应的复数分别为z 1＝3＋5i ，z 2＝－1＋2i. (1)求BC →对应的复数；(2)求BD →对应的复数；(3)求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)由于AC →＝AB →＋BC →＝DC →＋BC →， 所以BC →＝AC →－DC →. 故BC →对应的复数为z ＝z 1－z 2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.(2)由于BD →＝AD →－AB →＝BC →－DC →，所以BD →对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i. (3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD 中， AB →＝DC →＝(－1,2)，AD →＝BC →＝(4,3)，∴cos ∠DAB ＝AB →·AD →|AB →||AD →|＝25×5＝2525.因此sin ∠DAB ＝1－cos 2∠DAB ＝11525. 于是平行四边形ABCD 的面积S ＝|AB →||AD →|sin ∠DAB ＝5×5×11525＝11.。

章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i解析：i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)－i ＝－1.答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－2i 2－i ，则复数z 的虚部是( ) A ．－35i B ．－35C.45 i D.45解析：1－2i2－i ＝(1－2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝4－3i 5＝45－35i ，则复数z 的虚部是－35.答案：B3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：设z ＝a ＋b i(a <0，b >0)∴z ＝a －b i 对应点的坐标是(a ，－b )，是第三象限点B .答案：B4．i 是虚数单位，复数z ＝7＋i3＋4i 的共轭复数z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：z ＝7＋i3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )25＝25－25i25＝1－i∴z ＝1＋i.答案：B5．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数，则|z |等于( )A ．2 B. 5C. 2 D ．1解析：∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1，z ＝2i ，|z |＝2. 答案：A6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ，依题意4t －3＝0，∴t ＝34. 答案：A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( )A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0. ∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上．答案：C8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i 解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ， ∴z ＝4＋2i 1＋i＝(4＋2i )(1－i )2＝6－2i 2＝3－i. 答案：A9．若复数x 0＝1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3.答案：B10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上)11．设i 为虚数单位，则1－i (1＋i )2＝________. 解析：1－i (1＋i )2＝1－i 2i＝(1－i )(－i )2＝－i 2－12. 答案：－12－i 212．已知复数z 1＝cos 23°＋sin 23°i 和复数z 2＝sin 53°＋sin 37°i ，则z 1·z 2＝________. 解析：z 1·z 2＝(cos 23°＋sin 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i)＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23°sin 53°＋cos 23°sin 37°)i＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°)＝sin 30°＋i cos 30°＝12＋32i. 答案：12＋32i 13．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z ＝________. 解析：∵a ，b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i， 即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i 2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10， 故z ＝a ＋b i ＝7－10i.答案：7－10i14. 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m 的取值范围是________．解析：复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数为z ＝(m 2－3m ＋2)－(m 2－2m －8)i ， 又z 在复平面内对应的点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，－(m 2－2m －8)>0， 解得－2<m <1或2<m <4.答案：(－2,1)∪(2,4)15．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，知z ＝1－2i则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝6. 答案：6三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)16．(12分)实数k 为何值时，复数z ＝ (k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解析：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数．(2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数． (4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0. 17．(12分)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z . 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i， 所以a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10， 所以a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. 所以z ＝－1，或z ＝－1－3i.18．(12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由z ＋2i 为实数，得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由z 2－i为实数，得x ＝4.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0. 解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．19．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：∵z 1＝－1＋5i 1＋i＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ， ∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i|＝ (4－a )2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|，∴ (4－a )2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.∴a 的取值范围是(1,7)．20．(13分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值．(2)当a >0且b a >14时，证明该方程没有实数根． 解析：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋b x＝1，化简得⎝⎛⎭⎫1a ＋b 4＋⎝⎛⎭⎫34b －3a i ＝1， ∴⎩⎨⎧ 1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0，假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .∵a >0，∴b a ≤14， 这与题设b a >14相矛盾． 故原方程无实数根．21．(14分)复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝(1＋i )2(1＋i )1－i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形，∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，②代入①得，|b |＝1. 又∵Z 点在第一象限，∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。