江苏省高中数学限时训练24 新课标人教版必修

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新人教A 版数学必修二课时练241、过点A(1，－1),B （－1,1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程。

( ）A 、()223(1)4x y -++=、 B 、()223(1)4x y ++-= C 、()221(1)4x y -+-= D 、()221(1)4x y +++= 2、圆心为点(3,4)且过点(0，0）的圆的方程是( )A 、x 2+y 2=25B 、x 2+y 2=5C 、(x-3)2+(y-4）2=25D 、（x+3）2+（y+4)2=253、设M 是圆(x －5)2+(y －3)2=9上的点，则M 到直线3x+4y —2=0的小距离是( )A 、9B 、8C 、5D 、24、若直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=m 相切，则m 为（)A 、0或2B 、2 CD 、无解5、过点P （2，3）且与圆x 2+y 2=4相切的直线方程是（）A 、2x+3y=4B 、x=2C 、5x —12y+26=0D 、5x-12y+26=0x=26、已知一圆的圆心为（2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( ）A 、()222(3)13x y -++= B 、()222(3)13x y ++-= C 、()222(3)52x y -++= D 、()222(3)52x y ++-=7、平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点,在圆x 2+y 2=16内所有整点中，到原点距离最远的整点可以在( ） A 、直线y －1=0上 B 、直线y=x 上 C 、直线x+1=0上D 、直线y+3=080y +-=截圆x 2+y 2=4得劣弧所对的圆心角为（ ） A 、300 B 、450 C 、600 D 、900 9,方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是( ）。

A 。

114m <<B 。

1m > C. 14m < D. 1m < 10．M （3，0）是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是（ ).A. 30x y +-=B. 30x y --= C 。

2024高中数学计算限时训练（解析版）计算预备知识1.关于平方112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324 192=361202=4002.关于平方根2≈1.4143≈1.7325≈2.2366≈2.4507≈2.64610≈3.1623.关于立方根32≈1.26033≈1.44234≈1.58735≈1.71036≈1.81737≈1.91339≈2.080310≈2.1544.关于ππ≈3.14π2≈1.57π3≈1.05π4≈0.79π5≈0.63π6≈0.52πe≈22.465.关于ee≈2.718e2≈7.389e3≈20.086e≈1.6491e≈0.3681≈0.135eπ≈23.14e26.关于lnln2≈0.693ln3≈1.099ln5≈1.609ln7≈1.946ln10≈2.3037.关于三角函数sinπ5≈0.588sinπ8≈0.383cosπ5≈0.809cosπ8≈0.924tanπ5≈0.727tanπ8≈0.4148.关于loglg2≈0.301lg3≈0.477lg7≈0.8459.关于阶乘4!=245!=1206!=7207!=504010.关于双重根号3±22=2±14±23=3±17±43=2±38±27=7±1 11.关于三角度数sin15°=cos75°=6-24sin75°=cos15°=6+24tan15°=2-3tan75°=2+3初中内容(简单回顾初中的相关计算)训练1(建议用时:10分钟)1.当x>2时, |x-2|=2.若|m-n|=n-m, 且|m|=4,|n|=3, 则m+n=3.用科学记数法表示248000004.若x,y为有理数, 且|x+2|+(y-2)2=0, 则x+y=5.若|a+2|+(b-3)2=0, 则a b=6.用科学记数法表示0.000000217.若有理数x,y的乘积xy为正, 则|x|x+|y|y+|xy|xy的值为8.已知|x|=3,|y|=5, 且|y-x|=x-y, 则2x+y=9.已知代数式x-3y2的值是5 , 则代数式x-3y22-2x+6y2的值是10.关于x,y的单项式2m3x2y的次数是11.已知代数式a2+2a-2b-a2+3a+mb的值与b无关, 则m的值是12.若a,b互为倒数, m,n互为相反数, 则(m+n)2+2ab=13.-2πx3y5的系数是14.已知a-3b-4=0, 则代数式4+2a-6b的值为15.已知代数式x2+x+1的值是3 , 那么代数式5x2+5x+8的值是16.若a,b互为相反数, m,n互为倒数, 则a+b+2mn-3=17.单项式4πx2y49的系数为 , 次数为训练2(建议用时：10分钟)1.已知3a2x-3b与-12a5b4y+5是同类项,则|x+5y|等于2.多项式-2ab2+4a5b-1的项分别是,次数是3.已知多项式x2-3kxy-y2+6xy-8不含xy项, 则k的值是4.单项式πx2y37的系数是 , 次数是;多项式5x2y-3y2的次数是5.已知(a+1)2+|b-2|=0, 则a b+1的值等于6.当x=时,式子2x+56与x+114+x的值互为相反数.7.已知代数式5x-2的值与110互为倒数, 则x=8.某件商品, 按成本提高40%后标价, 又以8折优惠卖出, 结果仍可获利15元, 则这件商品的成本价为9.当x=时, 32x+1与x-3的值相等10.当代数式1-(3m-5)2有最大值时, 关于x的方程3m-4=3x+2的解为11.若方程4x-1=5与2-a-x3=0的解相同, 则a的值为=b, 则当b=1时方程的解为12.已知13x-213.已知关于x的一元一次方程x+2m=-1的解是x=m, 则m的值是14.已知x=1是方程3x-m=x+2n的一个解, 则整式m+2n+2020的值为15.当x=时,式子3-2x与2+x互为相反数16.若-4a m b3与3a2-m b n-1可以合并成一项,则m n的值是17.已知x=3是方程11-2x=ax-1的解,则a=18.已知一元一次方程(m-4)x+m2=16的解是x=0, 则m=19.要使关于x,y的多项式my3+3nx2y+2y3-x2y+y不含三次项, 则2m+3n的值为训练3(建议用时:10分钟)1.已知a m=3,a n=9, 则a3m-n=2.当a时, (a-2)0=13.已知2x+5y-5=0, 则4x⋅32y的值是4.已知2a=3,2b=5, 则22a+2a+b=5.若3x=10,3y=5, 则32x-y=6.已知3x÷9y=27, 则2020+2y-x的值为7.已知x+4y=1, 则2x⋅16y=8.计算:(-3)2021×13 2020=9.已知2x=3,2y=5, 则22x-y=2020×(1.5)2021=10.-2311.若2x+y=3, 则4x⋅2y=12.若5x=18,5y=3, 则5x-y==0, 则y x=13.若(x-2)2+y+1314.计算:(-1)0+13 -1=15.计算:a2⋅a4+-3a32-10a6=16.已知6m=2,6n=3, 则6m+n2=17.已知2x+3-2x=112, 则x的值为18.已知x-y=5,xy=2, 则x2+y2=19分解因式:-xy2+4x=20.已知m-n=3, 则m2-n2-6n=21.已知25x2+kxy+4y2是一个完全平方式, 则k的值是=22.若m+1m=3, 则m2+1m223.若x2-(m-3)x+4是一个完全平方式, 则m的值是训练4(建议用时:10分钟)1.已知关于x的二次三项式x2+2kx+16是一个完全平方式, 则实数k的值为2.分解因式:4x2-4y2=3.分解因式:3xy3-27x3y=4.分解因式:4(a+b)2-(a-b)2=5.若x2-ax+1(x-1)的展开式是关于x的三次二项式, 则常数a=6.已知x+1x=3, 且0<x<1, 则x-1x=7.若a2+6a+b2-4b+13=0, 则a b=8.若y2+py+q=(y+3)(y-2), 则-pq=9.(-2a)3⋅1-2a+a2=10.已知a+b=2,ab=-2, 则(a-2)(b-2)=11.已知方程组x+2y=k,2x+y=2的解满足x+y=2, 则k的平方根为12.已知2x+5y=3, 用含y的式子表示x, 则x=13.若单项式-3a2m+1b8与4a3m b5m+n是同类项, 则这两个单项式的和为14.若方程组x+y=4,2x-y=-1的解也是2x-ay=14的解, 则a=15.已知二元一次方程组2x+y=7,x+2y=8,则x-y=x+y=16.不等式2x-12-3≤0的非负整数解共有个17.已知不等式12x-3≥2x与不等式3x-a≤0的解集相同, 则a=18.解不等式2+3x≤3-5x, 则x19.不等式组-13x>2,5-x>3的解集为20.不等式组2x-3<1,1-x≤3的解集为训练5(建议用时:10分钟)1.已知直角三角形的两边长分别为3,5 , 且第三边是整数, 则第三边的长度为2.若三角形的三边长分别为a,b,c, 且|a-b|+a2+b2-c2=0, 则△ABC的形状为3.已知直角三角形两直角边a,b满足a+b=17,ab=60, 则此直角三角形斜边上的高为4.在直角坐标系中, 点A(2,-2)与点B(-2,1)之间的距离AB=5.在直角三角形中,其中两边的长度分别为3,4 , 则第三边的长度是6.在直角三角形ABC中, ∠C=90°,BC=12,CA=5,AB=7.若a、b为实数, 且(a+3)2+b-2=0, 则a b的值为8.11的整数部分是小数部分是9.已知实数x,y满足3x+4+y2-6y+9=0, 则-xy的算术平方根的平方根的相反数等于10.计算:|-5|+(2-1)0=11.计算:20+|1-2|=12.3-7的相反数是 , 绝对值等于3的数是13.116的平方根是14.-8的立方根是,16的平方根是15.19-35的整数部分为a, 小数部分为b, 则2a-b=16.若x-4+(y+3)2=0, 则x+y=17.已知a是64的立方根, 2b-3是a的平方根,则114a-4b的算术平方根为训练6(建议用时:10分钟)1.在第三象限内到x轴的距离为2 , 到y轴的距离为3的点的坐标为2.在平面直角坐标系中, 点A(-2,1)关于y轴的对称点A 的坐标是3.点P(-1,1)先向左平移2个单位长度, 再向上平移3个单位长度得点P1, 则点P1的坐标是4.在平面直角坐标系中, 点M(a,b)与点N(5,-3)关于x轴对称, 则ab的值是5.如果点P(m,1-2m)在第四象限,那么m的取值范围是6.点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标为 , 关于y轴对称的点的坐标为7.在平面直角坐标系中, 过点P(6,8)作PA⊥x轴, 垂足为A, 则PA的长为8.点P(-2,6)到x轴的距离是9.若点A(m+2,-3)与点B(-4,n+5)在二、四像限的角平分线上, 则m+n=10.已知点A(m,3)与点B(2,n)关于x轴对称, 则(m+n)2020的值为11.已知点P(2m,m-1), 当m=时, 点P在二、四象限的角平分线上12.点A(-7,9)关于y轴的对称点是13.如果(3a-3b+1)(3a-3b-1)=80, 且a>b, 那么a-b的值为14.已知1<x<5, 化简(x-1)2+|x-5|=15.已知a-1+|b-5|=0,则(a-b)2的值是16.若|x+1|+y-2=0, 则x2+y2的值为17.a,b是自然数,规定a∇b=3×a-b3, 则2∇17的值是训练7(建议用时:15分钟)1.若一组数据1,2,x,4的平均数是2 , 则这组数据的方差为2.有40个数据, 其中最大值为35 , 最小值为14 , 若取组距为4 , 则分成的组数是3.小明抛掷一枚质地均匀的硬币, 抛掷100次硬币,结果有55次正面朝上,那么朝上的频率为4.当m=时, 解分式方程x-5x-3=m3-x会出现增根5.若(x-y-2)2+|xy+3|=0, 则3xx-y+2x y-x÷1y的值是6.分式方程3x2-x +1=xx-1的解为7.若关于x的方程axx-2=4x-2+1无解,则a的值是8.化简:1x-1-1x2-x=9.计算2aa2-16-1a-4的结果是10.若m+n=3,mn=2, 则1m+1n=11.若关于x的分式方程2x-ax-2=12的解为非负数, 则a的取值范围是12.若一次函数y=(a-1)x+a-8的图象经过第一、三、四象限, 且关于y的分式方程y-5 1-y+3=ay-1有整数解, 则满足条件的整数a的值之和为13.若整数a使关于x的不等式组x-12<1+x3,5x-2≥x+a有且只有四个整数解, 且使关于y的方程y+ay-1+2a1-y=2的解为非负数, 则符合条件的所有整数a的和为14.若关于x的分式方程2x-ax-2=13的解为非负数, 则实数a的取值范围是15.已知关于x的分式方程2a+1x+1=a有解,则a的取值范围是16.若分式方程2xx-1-m-1x-1=1有增根,则m的值是训练8(建议用时:15分钟)1.已知5x+1(x-1)(x+2)=Ax-1+Bx+2, 则实数A+B=2.当分式21-3m的值为整数时, 整数m的值为3.解方程:3-2xx-1=-1x-1.4.若x=3-1, 则代数式x2+2x-3的值是5.已知等式|a-2021|+a-2022=a成立, 则a-20212的值为6.若m=20202021-1, 则m3-m2-2022m+2020=7.计算(5-2)2021(5+2)2022的结果是8.已知xy=2,x+y=4, 则x y+yx=9.若M=1ab-a b⋅ab, 其中a=3,b=2, 则M的值为10.如果y=x-2+4-2x-5,那么y的值是11.已知16-n是整数, 则自然数n所有可能的值为12.已知20n是整数,则满足条件的最小正整数n为13.若3+5的小数部分是a,3-5的小数部分是b, 则a+b=14.已知整数x,y满足x+3y=72, 则x+y的值是15.已知x=5-12,y=5+12, 则x2+y2+xy的值是16.已知4a+3b与b+12a-b+6都是最简二次根式且可以合并, 则a+b的值为17.已知m,n是正整数, 若2m+5n是整数, 则满足条件的有序数对(m,n)为18.已知4a+1是最简二次根式, 且它与54是同类二次根式, 则a=训练9(建议用时:15分钟)1.设x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根, 则1x1+1x2的值为2.方程(x-1)(x+5)=3转化为一元二次方程的一般形式是3.已知关于x的方程x2+2kx-1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是4.如果α,β(α≠β)是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根, 则α2+α-β的值是5.写出一个以-1为一个根的一元二次方程6.已知一元二次方程(a-1)x2+7ax+a2+3a-4=0有一个根为零, 则a的值为7.设m,n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根, 则m2+4m+n=8.已知一元二次方程x2+3x-4=0的两个根为x1,x2, 则x21+x1x2+x22=9.已知关于x的方程x2-6x+p=0的两个根是α,β, 且2α+3β=20, 则p=10.已知一个正六边形的边心距是3, 则它的面积为11.同一个圆的内接正方形和正三角形的内切圆半径比为12.以半径为1的⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是13.用一个圆心角为120°, 半径为9cm的扇形围成一个圆雉侧面, 则圆雉的高是cm.14.有一组数据:-1,a,-2,3,4,2, 它们的中位数是1 , 则这组数据的平均数是15.已知一组数据3,4,6,8,x的平均数是6 , 则这组数据的中位数是16.五个整数从小到大排列后, 其中位数是4 , 如果这组数据的唯一众数是6 , 那么这组数据可能的最大的和是17.小明用s2=110x1-32+x2-32+⋯+x10-32计算一组数据的方差,那么x1+x2+x3+⋯+x10=训练10(建议用时:15分钟)1.一个不透明的布袋里放有5个红球、3个黄球和2个黑球, 它们除颜色外其余都相同,则任意摸出一个球是黑球的概率是2.二次函数y=-x2-2x+3的图象上有两点A-7,y1,B-8,y2, 则y1y2. (填">"∗"或"=")3.若关于x的函数y=ax2+(a+2)x+(a+1)的图象与x轴只有一个公共点, 则实数a的值为4.把抛物线y=x2+1先向右平移3个单位长度, 再向下平移2个单位长度, 得到的抛物线为5.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10), 则a-b+c=6.若二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1), 则代数式1-a-b的值为7.若把二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-m)2+k的形式, 其中m,k为常数, 则m+k=8.若抛物线y=-(x-m)(x-2-n)+m-2与抛物线y=x2-4x+5关于原点对称, 则m+n =9.已知△ABC∼△DEF, 且相似比为3:4,S△ABC=2cm2, 则S△DEF=cm210.在△ABC中, 点D,E分别在AB,AC上, 且DE⎳BC. 如果ADAB=35,DE=6, 那么BC=11.在△ABC中, 如果∠A,∠B满足|tan A-1|+cos B-122=0, 那么∠C=12.计算:sin230°+cos260°-tan245°=13.已知等腰三角形的两边长分别为5和8 , 则底角的余弦值为14.已知在△ABC中, ∠B=30°,∠C=45°,AB=4, 则BC的长为15.一个不透明的袋中放有4个红球和x个黄球,从中任意摸出一个恰为黄球的概率为34, 则x 的值为高中内容计算专题加强训练训练11对数运算(建议用时:5分钟)1.log312.log232 33.lg1004.lg0.0015.lg1100006.log1101007.ln e8.log31279.log12410.lg0.1211.lg310012.ln1e13.log214 214.log13915.写出高中阶段学过的对数运算公式.训练12指数运算(建议用时:13分钟)1.化简:56a 13b -2⋅-3a -12b -1 ÷4a 23⋅b -3 12(a >0,b >0).2.化简:a 3b 23ab 2a 14b 12 4a -13b 13(a >0,b >0).3.已知x 12+x -12=3, 求x 32+x -32+2x 2+x -2+3的值.4.已知a 2x=2+1, 求a 3x +a -3x a x +a -x 的值.5.x -1x 23+x 13+1+x +1x 13+1-x -x 13x 13-1.6.a 3+a -3 a 3-a -3a 4+a -4+1 a -a -1 +a 21+a -4 -2a -a -1.训练13指对运算(建议用时:5分钟)这个训练考查对数的相关计算, 要记住什么是指对互换、对数恒等变形、换底公式、对数运算公式,还有就是幂的运算.1.823-log 2510 -1+4log 23+4lg 22-4lg2+1.2.20222023 0+80.25⋅42+(32⋅3)6--23 23⋅49 -13-1.3.4(3-π)4+(0.008)-13-(0.25)12×12 -4.4.12lg 3249-43lg 8+lg 245+21+log 23.训练14错位相减(建议用时:20分钟)1.求b n =(2n -1)2n 的前n 项和.2.求b n=n22n-1的前n项和.3.求c n=(2n-1)4n-1的前n项和.4.求b n=(2n-1)13 n-1的前n项和.+2n的前n项和.5.求b n=n+14n训练15求值域(建议用时:20分钟)下列题目涉及了高中阶段不少求值域的方法, 要学会看到什么式子大概清楚使用什么方法或者说哪些方法来求解, 比如看到y=x-3+5-x就知道可以使用平方法来求解.1.y=5x-14x+2,x∈[-3,-1]..2.y=x2+2x2+13.y=2x+1-2x.4.y=x+4+9-x2..5.y=2x2+4x-7x2+2x+36.y=log3x+log x3-1.7.y=(x+3)2+16+(x-5)2+4.8.y=sin x+2cos x-2.9.y=ln x-x.训练16含参一元二次不等式(建议用时:20分钟)1.解不等式ax2>1.2.解不等式2ax2-(a+2)x+1>0(a≠0,a≠2).3.解不等式ax2+(a+2)x+1>0(a≠0).4.解不等式x2+ax+1<0.训练17解三角形周长(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求△ABC周长的取值范围．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式+三角形三边关系.法二:正弦定理+辅助角公式.2.若A=π3,a=3, 求锐角△ABC周长的取值范围.3.在△ABC中, B=π3, 若a+c=1, 求b的取值范围.训练18解三角形面积(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求S△ABC的最大值．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式.法二:正弦定理+辅助角公式十三角形面积公式.2.若A=π3,a=2, 求锐角△ABC面积的取值范围.3.在平面四边形ABCD中, AD=2,CD=4,△ABC为等边三角形, 求三角形BCD面积的最大值.训练19数列存在性(建议用时:20分钟)在新高考的模式下, 原本的数列压轴题被调整到了解答题的前两题,但是得分率并不乐观, 接下来的几篇训练着重练习数列中的存在性、奇偶项、绝对值、不等式(放缩)等问题.1.已知等差数列a n=2n-1, 求m,k m,k∈N∗的值, 使得a m+a m+1+a m+2+⋯+a m+k=65.2.已知等差数列a n=2n-7, 试求所有的正整数m, 使得a m a m+1a m+2为数列a n中的项.3.已知数列a n=1n(n+1), 问:是否存在正整数m,k, 使1akS k=1a m+19成立?若存在, 求出m,k的值;若不存在, 请说明理由.4.已知数列a n=3n,b n=2n-1, 数列b n的前n项和为T n, 问:是否存在正整数m,n,r, 使得T n=a m+r⋅b n成立?如果存在, 请求出m,n,r的关系式;如果不存在, 请说明理由.训练20数列奇偶项(建议用时:20分钟)常见的奇偶项问题(1)a n+a n+1=f(n)或a n⋅a n+1=f(n)类型;(2)(-1)n类型;(3)a2n,a2n-1类型.1已知数列a n满足a n+1+a n=11-n+(-1)n, 且0<a6<1. 记数列a n的前n项和为S n, 求当S n取最大值时n的值.2.已知数列a n满足a1=1,a n+1=12a n+n-1,n为奇数a n-2n,n为偶数记bn-a2n，求数列a n的通项公式.3.设S n为数列a n的前n项和, S n=(-1)n a n-12n,n∈N∗, 求数列a n的通项公式.4.已知等差数列a n=2n-1, 令b n=(-1)n-14na n a n+1, 求数列b n的前n项和T n.训练21数列绝对值(建议用时:20分钟)求数列绝对值的前n项和T n的一般步骤为：(1)求出数列的通项公式;(2)令a n≥0或a n≤0, 求出n的临界值m;(3)若等差数列的项先负后正, 则:T n=-S n,n≤m, -2S m+S n,n>m(4)若等差数列的项先正后负,则:T n=S n,n≤m, 2S m-S n,n>m.1.已知数列a n=53-3n, 求数列a n的前n项和T n.2.已知数列a n=2n-4n, 求数列a n的前n项和S n.3.已知数列a n=sin nπ6-34, 记数列a n 的前n项和为S n, 求S2021.训练22数列不等式(建议用时:20分钟)在学习裂项时我们遇到了数列不等式, 后来随着难度的加大, 各式各样的不等式出现, 比如:12+13+14+⋯+1n=ni=21i<ln n(n≥2)同时这类不等式还会和放缩联系在一起,即:1 n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1,1n+2<n+2-n类似于这样的还有很多,在此就不一一列举了.1.已知数列a n=12 n-1,数列a n 的前n项和为T n,令b1=a1,b n=T n-1n+ 1+12+13+⋯+1n ⋅a n(n≥2), 求证:数列b n 的前n项和S n满足S n<2+2ln n.2.已知数列a n=2n-1的前n项和为S n, 设b n=1a n S n , 数列b n的前n项和为T n, 求证:T n<323.已知数列a n=3n-1,b n=2n-1, 求证:对任意的n∈N∗且n≥2, 有1a2-b2+1a3-b3+⋯+1a n-b n<32训练23导数单调性(建议用时:20分钟)1.讨论函数f (x )=ln x +ax x +1的单调性.2.已知函数f (x )=(ax +1)e x , 其中a ∈R 且a 为常数, 讨论函数f (x )的单调性.3.函数f (x )=xe x -ax 2-2ax +2a 2-a , 其中a ∈R , 讨论f (x )的单调性.训练24圆锥计算化简求值(建议用时:11分钟)这个训练主要考查学生在圆锥曲线上面的计算能力,一方面考查能否化简到底,另一方面考查能否对最后的式子进行求最值计算.1.已知1212-k 2k +22k 2+2k +4+1+12-k 2+2k +4-4-1 =0, 求k 的值.2.求24k 1+2k 2+-16k -44k 2-61+2k 224k 1+2k 2+-48k +124k 2-61+2k 2.3.求1+k 2⋅-12k 21+3k 2 2-4×12k 2-61+3k 2.4.已知12⋅21+k 21+k 2 64k 21+2k 22-241+2k 2 =225, 求k 的值.训练25联立后的韦达与判别式(建议用时:15分钟)1.写出Δ以及韦达式子:y2=8x,y=kx+b.2.写出Δ以及韦达式子:y=kx+2, x28+y22=1.3.写出Δ以及韦达式子:y=kx+m, x26+y2=1.4.写出Δ以及韦达式子:y=k(x-1)+2, x23+y2=1.(建议用时:20分钟)1.已知y=32(x-1),x24+y23=1,求y1-y2的值.2.已知x24+y2=1,x=my+3,m≠0, 两交点分别为M,N, 原点到直线的距离为d, 求当|MN|⋅d取得最大值时直线的方程.3.已知x=my-1,x24+y23=1,若y1-y2=1227, 求m的值.4.已知y=x+b,y2=4x,若y1x1+2+y2x2+2=0, 则求其直线方程.(建议用时:20分钟)1.化简(x+1)2+(y+4)2(x-a)2+(y-2a+2)2=λ(λ>0,λ≠1)之后为(x-2)2+(y-2)2=10, 求a,λ.2.已知直线x=ky+m与圆x2+y2=1联立得1+k2y2+2kmy+m2-1=0, 且k2+m=0, 若x1x2+y1y2=0, 求m,k.3.已知R=t2+16-2, 求y=t+R3-t-R31+t+R3⋅t-R3的最大值.4.已知直线y=kx+1与圆(x-2)2+(y-3)2=1相交, 若x1x2+y1y2=12, 求k.(建议用时:20分钟)1.当λ≠1时, 把(x+1)2+y2(x-1)2+y2=λ化简成圆的标准方程的形式.2.当k>0,k≠1时, 把x2+y2(x-a)2+y2=k化简成圆的标准方程的形式.3.已知0<m2<13, 求41-3m21+m2⋅6m2+11-3m2的取值范围.4.使用两种方式求S△ABC=121+k23+4k24+3k2的最小值.(建议用时:20分钟)1.已知x22+y2=1,x=my+1,且t≠1, 若要使y1x1-ty2x2-t是定值, 求t的值.2.已知x24-y25=1,x=my+3,若k1=y1x1+2,k2=y2x2-2, 求k1k2的值.3.已知x=ty+p2,y2=2px,求k1+k2=y1-px1+p2+y2-px2+p2的值.4.已知y=kx+m,x2+2y2=2,若x1x2+y1-1y2-1=0, 求m的值.1.已知圆(x +1)2+(y -2)2=20与过点B (-2,0)的动直线l 相交于M ,N 两点, 当|MN |=219时,求直线l 的方程.2.已知圆C :x 2+y 2-8y +12=0, 直线l :ax +y +2a =0, 当直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,且|AB |=22时,求直线l 的方程.3.已知圆C :x 2+(y +1)2=4, 过点P (0,2)的直线l 与圆相交于不同的两点A ,B .(1)若OA ⋅OB =1, 求直线l 的方程.(2)判断PA ⋅PB 是否为定值. 若是, 求出这个定值;若不是, 请说明理由.4.已知圆C :(x +3)2+(y -3)2=4, 一动直线l 过点P (-4,0)且与圆C 相交于A ,B 两点, Q 是AB 的中点, 直线l 与直线m :x +3y +6=0相交于点E .(1)当|AB |=23时,求直线l 的方程.(2)判断PQ ⋅PE 的值是否与直线l 的倾斜角有关. 若无关, 请求出其值;若有关, 请说明理由.1.已知两点A (0,3),B (-4,0), 若P 是圆x 2+y 2-2y =0上的动点,求△ABP 面积的最大值.2.已知P (m ,n )是函数y =-x 2-2x 图象上的动点,求|4m +3n -21|的最小值.3.已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=2, 点P (2,-1), 过P 点作圆C 的切线PA ,PB ,A ,B 为切点.求:(1)PA ,PB 所在直线的方程;(2)切线长|PA |.4.已知圆C 经过坐标原点, 且与直线x -y +2=0相切, 切点为A (2,4).(1)求圆C 的方程;(2)若斜率为-1的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ,N , 求AM ⋅AN 的取值范围.1.已知直线l:x+3y-4=0, 圆C的圆心在x轴的负半轴上,半径为3, 且圆心C到直线l的距离为310 5.(1)求圆C的方程;(2)由直线l上一点Q作圆C的两条切线, 切点分别为M,N, 若∠MQN=120°, 求点Q的坐标.2.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4, 直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切, 求l1的方程;(2)若l1与圆相交于P,Q两点, 线段PQ的中点为M,l1与l2:x+2y+2=0的交点为N, 求证：|AM|⋅|AN|为定值.3.已知圆C的圆心在x轴上, 且与直线4x-3y-2=0相切于点-25,-65.(1)求圆C的方程;(2)经过点P(1,0)作斜率不为0的直线l与圆C相交于A,B两点, 若直线OA,OB的斜率之和等于8 , 求直线l的方程.4.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点, PA,PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线, A,B是切点.(1)求四边形PACB面积的最小值.(2)直线上是否存在点P, 使∠BPA=60°?若存在, 求出点P的坐标;若不存在, 说明理由.训练33解析解答(4)(建议用时:25分钟)1.已知直线l:y=2x+m和椭圆C:x24+y2=1,m为何值时, 直线l被椭圆C所截的弦长为20172.已知椭圆x23+y22=1(a>b>0), 过左焦点F1的斜率为1的直线与椭圆分别交于A,B两点,求|AB|.3.已知点A(0,-1)在椭圆C:x23+y2=1上, 设直线l:y=k(x-1)(其中k≠1 与椭圆C交于E,F两点, 直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N. 当△AMN的面积为33时, 求k 的值.4.已知F是抛物线x2=4y的焦点,过点F的直线与曲线C交于A,B两点, Q(-2,-1), 记直线QA,QB的斜率分别为k1,k2, 求证:1k1+1k2为定值.训练34解析解答(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C:x24+y2=1, 直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点, P为椭圆的上顶点, 且|PA|=|PB|, 求m的值.2.已知椭圆E:x24+y22=1, 设直线y=kx-2被椭圆C截得的弦长为83, 求k的值.3.已知F 为椭圆x 22+y 2=1的左焦点, 设直线l 同时与椭圆和抛物线y 2=4x 各恰有一个公共交点,求直线l 的方程.4.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F , 过点F 的直线l 交抛物线于P ,Q 两点, 交直线y =-1于点R , 求RP ⋅RQ 的最小值.训练35解析解答(6)(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C :x 24+y 22=1, 点A (0,1), 若点B 在椭圆C 上, 求线段AB 长度的最大值.2.已知椭圆C :x 26+y 23=1, 直线y =x +1与椭圆交于A ,B 两点, 求AB 中点的坐标和AB 的长度.3.已知椭圆M :x 23+y 2=1, 直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B , 设直线l 的方程为y =x +m , 先用m 表示|AB |, 再求其最大值.4.已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P(4,2), 且OA⊥OB(O为坐标原点), 求弦AB的长.训练36复合求导(1)(建议用时:3分钟)本训练考查复合函数求导, 这在一些导数压轴题中可能会出现..1.求x-1e x.2.求-34ln x+1+x23.求y=ln2x+1-1的导数.4.求y=cos(-2x)+32x+1的导数.训练37复合求导(2)(建议用时:6分钟)求下列函数的导数.1.y=ln x+1+x22.y=e x+1e x-13.y=2x sin(2x+5)4.y=3x e x-2x+e5.y=ln xx2+16.y=x2(2x+1)37.y=e-x sin2x训练38二面角求解(建议用时:10分钟)1.两平面的法向量为n1=(0,1,-2),n2=(-1,1,-2), 设二面角的平面角为α, 且为锐角, 则求二面角的大小.2.两平面的法向量为n1=(1,0,1),n2=(1,1,1), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.3.一个平面的法向量n1=(x,y,z)满足方程组2x+y-z=0,x+2y-z=0,另一个平面的法向量n2=(0,2,0), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.4.一个平面的法向量n1=x1,y1,z1满足方程组-x1+12z1=0,-y1+12z1=0,另一个平面的法向量n2=x2,y2,z2满足方程组2x2+2y2-2z2=0,2y2-2z2=0,求两平面所成锐二面角α的大小.训练39卡方计算(1)(建议用时:6分钟)本训练主要考查独立性检验的计算,附表: (1)独立性检验统计量K2值的计算公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d(2)独立性检验临界值表:PK2≥k00.150.100.050.0250.010.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 1.列联表如下,计算K2:成绩优良人数成绩非优良人数总计男生92130女生11920总计203050数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀527物理成绩不优秀11213合计614204.列联表如下,计算K2:[0,150](150,475] [0,75]6416(75,115]1010训练40卡方计算(2)(建议用时:10分钟)1.列联表如下, 计算K2:甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等603090质量非优等4070110合计100100200选择物理不选择物理合计男451560女202040合计65351003.列联表如下, 计算K2:视力正常视力不正常总计男生6040100女生401050总计100501504.列联表如下, 计算K2:女性男性合计直播电商用户8040120非直播电商用户404080合计12080200满意不满意合计工薪族403070非工薪族401050合计8040120训练41线性回归计算(1)(建议用时13分钟)本训练考查的是线性回归方程的相关计算, 参考公式:b=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2=ni=1x i y i-nx yni=1x2i-nx 2,a=y -bx ,y=bx+ar=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2ni=1y i-y2=ni=1x i y i-xxyni=1x2i-nx 2ni=1y2i-ny 21,某餐厅查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋), 得到如下统计表:第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x/万人13981012原材料y/袋3223182428根据所给5组数据,求出y关于x的线性回归方程.2.某连锁经营公司旗下的5个零售店某月的销售额和利润额如下表:商店名称A B C D E销售额x/千35679万元利润额y/百23345万元用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的线性回归方程.3.某企业坚持以市场需求为导向, 合理配置生产资源, 不断改革、探索销售模式. 下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x(件)与相应的生产总成本y(万元)的五组对照数据:产量x/件12345生产总成本y3781012 /万元试求y与x的相关系数r, 并利用相关系数r说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|>0.75, 则线性相关程度很高, 可用线性回归模型拟合).训练42线性回归计算(2)(建议用时13分钟)1某专营店统计了近五年来该店的创收利润y(单位:万元)与时间t i(单位:年)的相关数据,列表如下:t i12345y i 2.4 2.7 4.1 6.47.9依据表中给出的数据, 是否可用线性回归模型拟合y与t的关系?请计算相关系数r并加以说明(计算结果精确到0.01, 若|r|>0. 8 , 则认为y与t高度相关, 可用线性回归模型拟合y 与t的关系).2某部门统计了某网红景点在2022年3月至7月的旅游收人y(单位:万元), 得到以下数据:月份x34567旅游收人y1012111220根据表中所给数据, 用相关系数r加以判断, 是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?若可以,求出y关于x的线性回归方程;若不可以,请说明理由.3某汽车4S店关于某品牌汽车的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(千元)有如下的统计资料:x23456y 2.0 3.5 6.0 6.57.0试求y关于x的线性回归方程.训练43期望求解(1)(建议用时:12分钟) 1.求期望值.P(X=0)=C02C23C25=P(X=1)=C12C13C25=P(X=2)=C22C03C25=2.求期望值.P(X=0)=C36C310=P(X=1)=C26C14C310=P(X=2)=C16C24C310=P(X=3)=C34C310=3.求分布列Y的期望值, 已知Y=5X,X的可能取值为0,1,2,3,4, 且X∼B4,34.(1)P(X=0)=C0434 014 4=(2)P(X=1)=C1434 114 3=(3)P(X=2)=C2434 214 2=(4)P(X=3)=C3434 314 1=(5)P(X=4)=C4434 414 0=训练44期望求解(2)(建议用时:12分钟)1随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ=0)=1-34 21-232=P (ξ=1)=C 1234 1-34 1-23 2+C 1223 1-23 1-34 2=P (ξ=2)=34 21-23 2+1-34 223 2+C 12231-23 C 1234 1-34 =P (ξ=3)=34 2C 1223 1-23 +C 1234 1-34 23 2=P (ξ=4)=34223 2=求随机变量ξ的期望值.2随机变量X 的可能取值为2,3,4,5.P (X =2)=C 12C 22+C 22C 12C 310=P (X =3)=C 12C 24+C 22C 14C 310=P (X =4)=C 12C 26+C 22C 16C 310=P (X =5)=C 12C 28+C 22C 18C 310=求随机变量X 的期望值.(建议用时:20分钟)1.C r 12⋅212-r ≥C r -112⋅213-r ,C r 12⋅212-r ≥C r +112⋅211-r ,为整数, 则r =2.(-2)r C r 8≥(-2)r +2C r +28,(-2)r C r 8≥(-2)-2C r -28,为偶数, 则r =3.设m ,n ∈N ∗,m ≤n , 求证:C m +1n +1=n +1m +1C mn.4.用二项式定理证明:3n >2n 2+1n ≥3,n ∈N ∗ .(建议用时:20分钟)1.求r的取值范围:C r7⋅2r≥C r-17⋅2r-1,C r7⋅2r≥C r+17⋅2r+1 .2.求r的取值范围:C r8⋅2r≥C r+18⋅2r+1, C r8⋅2r≥C r-18⋅2r-1.3.求k的取值范围:C k1012 k≥C k-11012 k-1, C k1012 k≥C k+11012 k+1.4.展开:x-12x6=。

第24练 班级 姓名1、有下列命题:○1若直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则α⊥l ； ○2若直线l 与平面α内的两条相交直线都垂直，则l 就与平面α内的任何直线都垂直； ○3若直线α//l ，则平面α内没有l 的垂线； ○4若直线α⊥l ，直线l m //，则α⊥m 。

其中是真命题的序号为2、直线015260222=---+=+y x y x y x 被曲线所截得的弦长等于3、如图，正方形''''C B A O 的边长为1，它是水平放置的某平面图形的直观图，则原平面图形的面积为。

4、如图，在空间四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的终点，且AD=4,BC=6,MN=13,则AD 与BC 所成的角的大小为5、已知直线2222=++=y x mx y 与圆相交于P 、Q 两点，且满足OP ⊥OQ(O 为坐标原点)，则实数m 的值为6、若直线044204322=++-+=++y x y x m y x 与圆没有公共点，则实数m 的取值范围是7、过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程为 。

8、直线l 过点P )2,1(，且)5,4(),3,2(-N M 到l 的距离相等，则直线l 的方程为9、如图，已知矩形ABCD,过A 作SA ⊥平面ABCD,再过A 作SB AE ⊥交SB 于E,过 E 作SC EF ⊥交SC 于F ，(1)求证:AF ⊥SC.(2)若平面AEF 交SD 于G,求证:AG ⊥SD.'x 'y 'O 'A 'B 'CABCDMNSABCDEF G10、在四棱锥P-ABCD中，M、N分别是AB,PC的中点，若ABCD是平行四边形，求证:MN//平面PADPAB CDMN。

双基限时练(二十四)1．cos17°等于( ) A ．cos20°cos3°－sin20°sin3° B ．cos20°cos3°＋sin20°sin3° C ．sin20°sin3°－sin20°cos3° D ．cos20°sin20°＋sin3°cos3° 解析 cos17°＝cos(20°－3°) ＝cos20°cos3°＋sin20°sin3°. 答案 B2．cos(α＋30°)cos α＋sin(α＋30°)sin α等于( ) A.12 B.32 C.22D ．－12解析 原式＝cos(α＋30°－α) ＝cos30°＝32. 答案 B3．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是( )A ．α＝1312π，β＝3π4 B ．α＝π2，β＝π3 C ．α＝π2，β＝π6D ．α＝π3，β＝π4解析 ∵cos αcos β＝32－sin αsin β， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝32， 即cos(α－β)＝32， 经验证可知选项B 正确． 答案 B4．已知cos α＝55，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( )A.31010 B ．－1010 C.255D.31010或－1010解析 ∵cos α＝55，∴sin α＝±1－cos 2α＝±255.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝55·22＋22·⎝ ⎛⎭⎪⎫±255＝⎩⎨⎧31010，－1010，有两解，应选D.答案 D5.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝( ) A ．－32B ．－12C.12D.32答案 D答案 D6.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则cos(A －B )的值是( )A.35B.45C.2425D.725解析 在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴斜边AB ＝5.sin A ＝BC AB ＝45，cos A ＝AC AB ＝35， sin B ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45， ∴cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝35×45＋45×35＝2425. 答案 C7．已知平面向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(α，β∈R )，当α＝5π12，β＝π4时，a ·b ＝________.解析 a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝cos π6＝32.答案 328．若cos αcos β＝1，则cos(α－β)的值为________． 解析 由cos αcos β＝1，知cos α＝cos β＝－1，或cos α＝cos β＝1. ∴sin α＝sin β＝0.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1. 答案 19．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为________．答案 010．已知α，β均为锐角，满足cos α＝255，sin β＝1010，则cos(α－β)＝________.解析 因为α，β均为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝55，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×31010＋55×1010＝7210.答案 721011．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，且sin x ＝45，求2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23π＋2cos x 的值．解 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，sin x ＝45，∴cos x ＝－35.∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23π＋2cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos 23π＋sin x sin 23π＋2cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x＝3sin x ＋cos x＝435－35 ＝43－35.12．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255，求cos(α－β)．解 因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，所以a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．所以|a －b |＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＋sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β ＝2－2cos (α－β)＝255， 所以2－2cos(α－β)＝45， 所以cos(α－β)＝35.13．已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)． 解 ∵sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110， 两式平方相加，得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.。

课时作业24平面向量应用举例时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为()A．(9,1) B．(1,9)C．(9,0) D．(0,9)解析：∵f＝f1＋f2＋f3，其中f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，A(1,1)，∴终点坐标为(3＋2＋3＋1,4－5＋1＋1)＝(9,1)．答案：A2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．6 B．2C．2 5 D．27解析：由已知得F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)．∴F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2 ＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos60°＝28. ∴|F 3|＝27. 答案：D3．共点力F 1＝(lg2，lg2)，F 2＝(lg5，lg2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg2B ．lg5C ．1D ．2解析：F 1与F 2的合力F ＝(lg2＋lg5,2lg2)＝(1,2lg2)． 又s ＝(2lg5,1)，所以W ＝F·s ＝2lg5＋2lg2＝2. 答案：D4．在△ABC 中，若BA →·(2BC →－BA →)＝0，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．正三角形D ．等腰三角形解析：BA →·(2BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →＋AB →)＝BA →·(BC →＋AC →)＝－BA →·(CB →＋CA →)＝0.由向量加法的平行四边形法则，知以CA ，CB 为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，所以△ABC 一定是等腰三角形．答案：D5．如图，非零向量OA →＝a ，OB →＝b 且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC →＝λa ，则λ等于( )A.a ·b|a |2 B.a ·b |a ||b | C.a ·b |b |2 D.|a ||b |a ·b解析：BC →＝OC →－OB →＝λa －b . ∵BC ⊥OA ，∴BC →·OA →＝(λa －b )·a ＝0， 即λa 2－a ·b ＝0.∴λ＝a ·b |a |2.答案：A6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心 解析：OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)可以化为AP →＝λ(AB →＋AC →)，所以AP →∥(AB →＋AC →)．又AB →＋AC →所在直线平分BC ， 所以AP →所在直线也平分BC .所以P 的轨迹一定通过△ABC 的重心． 答案：D二、填空题(每小题8分，共计24分)7．一艘船从O 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为 4 km/h ，则河水的流速大小为________．解析：如图，|OC →|＝4，|OB →|＝23， 则|OA →|＝42－(23)2＝2.答案：2 km/h8．作用于同一点的两个力F 1，F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2的大小为________．解析：|F 1＋F 2|2＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝32＋2×3×5×cos 2π3＋52＝19，所以|F 1＋F 2|＝19.答案：199．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：以α，β为邻边的平行四边形的面积为：S ＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝12，所以sin θ＝12|β|，又因为|β|≤1，所以12|β|≥12，即sin θ≥12且θ∈[0，π]，所以θ∈[π6，5π6]．答案：[π6，5π6] 三、解答题(共计40分)10．(10分)用向量的方法证明菱形ABCD 的对角线AC ⊥BD . 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴|AB →|＝|AD →|，且AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝AD →2－AB →2＝0. ∴AC →⊥BD →，即AC ⊥BD .11．(15分)一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s ，这时气象台报告的实际风速为2 m/s ，试求风的实际方向和汽车速度的大小．解：如图所示，分别设风对地的速度，车对地的速度，风对车的速度为V 风地，V 车地，V 风车，则V 车地＝V 车－V 风地， |V 车|＝|V 2风车|－|V 风地|2＝23，∴|V 车地|＝(23－2)m/s ，又∵∠DAC ＝60°，∴风向为正南方向．12．(15分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R (其中0≤φ≤π2)的图象与y 轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求PM →与PN →的夹角的余弦值．解：(1)因为函数图象过点(0,1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝12. 因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由函数y ＝2sin(πx ＋π6)及其图象，得M (－16，0)，P (13，2)，N (56，0)．所以PM →＝(－12，－2)，PN →＝(12，－2)． 从而cos 〈PM →，PN →〉＝PM →·PN →|PM →||PN →|＝1517.。

江苏省连云港市（新版）2024高考数学人教版测试(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（）A．1为的周期B．的图象关于点对称C．D．的图象关于直线对称第(2)题已知函数，在区间上任取三个数均存在以为边长的三角形，则的取值范围是A．B．C．D．第(3)题函数是A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为第(4)题2022年1月26日，中国人民银行，中国银行保险监督管理委员会、中国证券监督管理委员会三部门联合印发《金融机构客户尽职调查和客户身份资料及交易记录保存管理办法》（以下简称《办法》），规范金融机构的客户尽职调查、客户身份资料及交易记录保存行为，《办法》自2022年3月1日起施行．《办法》第十条提到，商业银行、农村合作银行、农村信用合作社、村镇银行等金融机构为自然人客户办理人民币单笔5万元以上或者外币等值1万美元以上现金存取业务的，应当识别并核实客户身份，了解并登记资金的来源或者用途．某民调机构调研相关政策实施前民众对该政策的了解程度，随机抽调20人，并通过问卷形式（满分为100分）按照每个人的得分情况得到如下频数分布表：得分情况频数3368则下列说法错误的是（）A．问卷得分低于55分的人数约占总人数的15%B．问卷得分为80分的共有6人C．从得分在和这两个区间中按照分层抽样方法抽取7人，则恰有4人来自得分在这个区间段D．此20人得分平均数的估计值为76.75分第(5)题已知函数在区间上单调，且满足．给出下列结论，其中正确结论的个数是（）①；②若，则函数的最小正周期为；③关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解；④若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为．A．1B．2C．3D．4第(6)题已知，，若，则对此不等式描述正确的是A．若，则至少存在一个以为边长的等边三角形B．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形C．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形D．若，则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形第(7)题已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则（）A．B．5C．8D．第(8)题已知函数,则函数的零点个数是A．7B．6C．5D．4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题记为等差数列的前项和，则（）A．B．C．，，成等差数列D．，，成等差数列第(2)题一个不透明的袋子里，装有大小相同的个红球和个蓝球，每次从中不放回地取出一球，则下列说法正确的是（）A．取出个球，取到红球的概率为B．取出个球，在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为C．取出个球，第二次取到红球的概率为D．取出个球，取到红球个数的均值为第(3)题下列函数中，与函数不是同一个函数的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式______.①为递增数列；②为等比数列；③为等差数列.第(2)题已知函数，若存在，，…，，使得，则n的最大值为______.第(3)题已知为双曲线的左右焦点，过点作一条渐近线的垂线交双曲线右支于点P，直线与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接，如图，若内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则________；双曲线的离心率________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知α，β均为锐角，.在下面条件中任选一个作为已知条件，求tanβ的值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）①；②.第(2)题在直角坐标系中，已知椭圆的右顶点､下顶点､右焦点分别为A，B，F.(1)若直线与椭圆E的另一个交点为C，求四边形的面积；(2)设M，N是椭圆E上的两个动点，直线与的斜率之积为，若点P满足：.问：是否存在两个定点G，H，使得为定值？若存在，求出G，H的坐标；若不存在，请说明理由.第(3)题某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为．(1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望；(2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．第(4)题已知函数.(1)当时，求的极小值.(2)若有两个零点，求实数的取值范围.第(5)题随着技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用.某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业.开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表:使用智能辅导系统未使用智能辅导系统合计入学测试成绩优秀202040入学测试成绩不优秀402060合计6040100(1)判断是否有的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；(2)若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，则抽取的2人中恰1人的入学测试成绩优秀的概率.附，其中.0.100.050.0250.0102.7063.841 5.024 6.635。

课时作业(二十四)一、选择题1．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *且n >1)第一步验证n ＝2时，左边计算所得项为( )A ．1B ．1＋12C.13 D ．1＋12＋13答案 D解析 当n ＝2时，左边最后一项为122－1＝13.2．设f (n )＝12＋13＋14＋…＋12n －1，则f (k ＋1)－f (k )等于( )A.12k ＋1－1B.12k ＋12k ＋1＋12k ＋1－1C.12k ＋12k ＋1－1D.12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1－1 答案 D解析 n ＝k 时，f (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1.n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k＋…＋ 12k ＋1－1.∴f (k ＋1)－f (k )＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.3．如果命题P (n )对n ＝k 成立，那么它对n ＝k ＋2也成立，若P (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )A ．P (n )对所有正整数n 都成立B ．P (n )对所有正偶数n 都成立C ．P (n )对所有正奇数n 都成立D ．P (n )对所有自然数n 都成立 答案 B4．用数学归纳法证明恒等式1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，两边应同时加上( ) A.12k ＋1 B ．－12k ＋1C.1k ＋D.12k ＋1－12k ＋2答案 D5．若凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1 D ．f (n )＋n －2答案 C 二、填空题6．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则S (n )有________项，S (2)＝________.答案 n 2－n ＋1；1312解析 应用等差数列通项公式的变形公式：d ＝a n －a mn －m即得项数； S (2)＝12＋13＋14＝1312.7．用数学归纳法证明3n >n 3(n ≥3，n ∈N *)第一步应验证________． 答案 n ＝3时是否成立解析 n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立． 8．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1n ＋2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________．答案122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋2＋1k ＋2>12－1k ＋3解析 观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋2＋1k ＋2>12－1k ＋3. 三、解答题9．用数学归纳法证明(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即 (1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2.当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)(1－1k ＋3)＝2k ＋2(1－1k ＋3)＝k ＋k ＋k ＋＝2k ＋3. 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立．10．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋52－…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)． 解析 (1)当n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)． 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－ [2(k ＋1)]2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－[2(k ＋1)]2＝－2k 2－5k －3＝－(k ＋1)(2k ＋3) ＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]． 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *，等式成立． 11．已知x >－1，且x ≠0，n ∈N *，且n ≥2. 求证：(1＋x )n>1＋nx .证明 (1)当n ＝2时，左边＝(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2，右边＝1＋2x . ∵x 2>0，∴原不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立，即(1＋x )k>1＋kx . 当n ＝k ＋1时，∵x >－1，∴1＋x >0. 于是左边＝(1＋x )k ＋1＝(1＋x )k (1＋x )>(1＋kx )(1＋x )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2，右边＝1＋(k＋1)x .∵kx 2>0，∴左边>右边，即(1＋x )k ＋1>1＋(k ＋1)x .这就是说，当n ＝k ＋1时原不等式也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数都成立． 12．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N *)．求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，S 2n ＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立．(2)设n ＝k 时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k2，当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋ (12)12＋1＋…＋12>1＋k2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12，故当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)知，对n ∈N *，n ≥2，S 2n >1＋n2等式都成立．►重点班·选做题 13．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．分析 这是一个探索性问题，先用归纳法探求a 的最大值，然后再用数学归纳法证明对一切的正整数n ，不等式都成立．解析 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a 24，即2624>a24，∴a <26，又a ∈N ，∴取a ＝25，下面用数学归纳法证明： 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)当n ＝1时，已证． (2)假设当n ＝k 时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524成立． 当n ＝k ＋1时，有 1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋ 1k ＋＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋13k＋2＋13k＋4－2k＋.∵13k＋2＋13k＋4－2k＋＝2k＋k＋k＋>0，∴1k ＋＋1＋1k＋＋2＋…＋1k＋＋1>2524也成立．由(1)、(2)可知，对一切正整数n，都有不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋1>2524成立．∴a的最大值25.。

午间半小时(二十四)(30分钟 50分)一、单选题1．复数(1－i)(3－i)的虚部是( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2【解析】选B.(1－i)(3－i)＝2－4i ，虚部为－4.2．已知z 是复数z 的共轭复数，满足z (i ＋1)＝2i －1，则复数z 的实部为( ) A ．－1 B ．0 C ．2 D ．1【解析】选A.因为z ()i ＋1 ＝2i －1 ，所以z ＝2（i －1）（i ＋1） ＝2－2＝－1，因为z 是复数z 的共轭复数，所以z ＝－1，z 的实部为－1.3．设z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (1＋ai)(a∈R )，则“a<12 ”是“z 的实部大于零”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选B.z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (1＋ai)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋32 i ， z 的实部为12 －32 a.z 的实部大于零⇔12 －32 a>0⇔a<13 .a<12 是a<13的必要不充分条件， 所以“a<12”是“z 的实部大于零”的必要不充分条件． 4．已知复数z 满足z(3＋i)＝3＋i 2 020，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z 的虚部为( )A ．－25 iB ．－25C ．2i 5D ．25【解析】选D.因为i2 020＝()i 4 505＝1，在等式z(3＋i)＝3＋i 2 020两边同时除以3＋i 得z ＝3＋i 2 0203＋i ＝4（3－i ）（3＋i ）（3－i ） ＝65 －25i ， 所以z ＝65 ＋25 i ，因此，复数z 的虚部为25. 5．若复数z 满足：z(－2＋i)＝1＋i ，则|z|＝( )A ．45B ．102C ．105D ．325【解析】选C.由题可知，z(－2＋i)＝1＋i ，则z ＝1＋i －2＋i ＝()1＋i ()－2－i ()－2＋i ()－2－i ＝－1－3i 5＝－15 －35 i ，所以|z|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352 ＝1025 ＝105. 6．已知复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R )，z i ＋1是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a －2b ＝0D ．a ＋2b ＝0【解析】选B.z i ＋1 ＝a ＋bi i ＋1 ＝（a ＋bi ）（1－i ）（i ＋1）（1－i ） ＝（a ＋b ）＋（b －a ）i 2 ，若z i ＋1是实数，则虚部b －a 2＝0，所以b －a ＝0. 二、多选题7．已知复数z ＝13＋4i，则下列说法不正确的是( ) A ．复数z 的实部为－3 B ．复数z 的共轭复数为325 ＋425i C ．复数z 的虚部为－425i D ．复数z 的模为5 【解析】选ACD.z ＝13＋4i ＝3－4i （3＋4i ）（3－4i ） ＝3－4i 25 ＝325 －425 i ，则实部为325，虚部为－425 ，共轭复数为：325 ＋425 i ，模为15. 8．若复数z ＝21－i，则下列结论不正确的是( ) A ．|z|＝2 B ．z 的虚部为i C ．z ＝－1＋i D ．z 2＝2i 【解析】选ABC.因为z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ，所以|z|＝12＋12 ＝ 2 ， 故A 错；z 的虚部为1，故B 错；z ＝1－i ，故C 错；z 2＝(1＋i)2＝2i ，故D 正确．三、填空题9．已知复数z 满足(z －2)i ＝4，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________.【解析】由题得z －2＝4i ＝4i i2 ＝－4i ， 所以z ＝2－4i ，所以z 的实部为2.答案：210．已知复数z ＝2－i i＋3i ，则|z|＝________.【解析】z ＝2－i i ＋3i ＝（2－i ）·i i·i＋3i ＝－1＋i ， |z|＝（－1）2＋12＝ 2 . 答案： 2。