构造高阶f次幻方的加法

幻方的构造方法
幻方的构造方法有很多，如连摆法、德洛涅法、巴舍法、拉丁方阵法、西洛克斯法、杨辉法、卞和法、加尔贝格法、马凯法、常用法等。

连摆法：从幻方最上行中央起，填1，以后每一步都填右上格。

若超出上格线，则移至该列最下格；若超出最右线，则移至该行最左格；若超出顶角，或右上已填数（重叠），则回到原数的下格。

填毕所有空格，即得所求幻方。

德洛涅法：先画出由1至n^2的n×n方格阵，再将1放在第一行的中间一列，从此按以下规则构造幻方：每一个数放在它上一数的右上方，若该位置已有数，则将该数放到它下一数的左方，如此继续下去，直到填满整个方格阵为止。

构造幻方所谓幻方，也教纵横图，就是在n×n的方阵中放入1到n2个自然数：在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等。

这个和数就叫做“幻方常数”或幻和。

幻方分为奇数阶幻方、偶数阶幻方（单偶阶幻方、双偶阶幻方），下面就这三类幻方的构造分别示范。

奇数阶幻方的经典方法－罗伯奇数阶幻方，也就是3阶、5阶、7阶……幻方，那么如何构造这样的幻方呢？我们可以采取罗伯法（也叫连续摆数法），其法则如下：把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。

按照这一法则建立5阶幻方的示例如下图：罗伯法（连续摆数法）的助记口诀：1居上行正中央，依次斜填切莫忘。

上出框界往下写，右出框时左边放。

重复便在下格填，角上出格一个样。

1居上行正中央——数字1放在首行最中间的格子中依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N ＋1｝填写在｛N｝下面的格子中角上出格一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理。

偶数阶幻方的一种制作方法——双偶阶、单偶阶幻方1.双偶阶幻方（中心对称交换法）n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……)(n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。

互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n×n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。

幻方的原理和应用什么是幻方？幻方是一种特殊的方阵，它的特点是每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。

幻方最早出现在中国古代数学书籍《周髀算经》中，被称为“洛书”。

幻方按照数字的奇偶性可以分为奇阶幻方和偶阶幻方。

奇阶幻方的阶数为奇数，偶阶幻方的阶数为偶数。

奇阶幻方更为常见，因为奇阶幻方的构造方法更为简单。

下面将分别介绍奇阶幻方和偶阶幻方的构造方法。

奇阶幻方的构造方法奇阶幻方的构造方法有多种，其中最著名的是三阶幻方的构造方法，即“阳线法”。

阳线法的步骤如下：1.将1放在第一行的中间位置；2.下一个数字（2）放在上一个数字（1）的右上方；3.若右上方已有数字，将下一个数字放在上一个数字的正下方；4.若已到达了第一行，将下一个数字放在最后一行的下一列；5.若已到达了最后一列，将下一个数字放在前一列的同一行；6.重复上述步骤，直到填满整个方阵。

三阶幻方的构造方法比较简单，而对于更高阶的奇阶幻方，可以通过一些变形和旋转的方法得到。

偶阶幻方的构造方法与奇阶幻方相比，偶阶幻方的构造方法更加复杂。

最常见的偶阶幻方是四阶幻方，也被称为“Dürer方阵”。

下面介绍四阶幻方的构造方法：1.将1放在第一行的中间位置；2.下一个数字（2）放在上一个数字的正右上方；3.若右上方已有数字，将下一个数字放在上一个数字的正下方；4.若已到达了第一行，将下一个数字放在第四行的下一列；5.若已到达了第四列，将下一个数字放在前一列的第一行；6.若已到达了第一行且第四列，将下一个数字放在前一列的第四行。

其他偶阶幻方的构造方法与四阶幻方类似，采用类似的规则和变形即可获得。

幻方的应用幻方不仅仅是一种有趣的数学结构，还有一些实际应用。

以下是一些幻方应用的例子：1.密码学：幻方可以用作加密和解密的基础。

通过将明文编码为幻方中的数字，可以实现简单的加密算法。

2.游戏设计：幻方可以用作游戏中的谜题或迷宫的基础。

在游戏中，玩家可能需要解决幻方中的数字组合，以获得进一步的线索或通向下一关卡。

构造奇数3(2m+1)阶完美幻方的方法詹森;王辉丰【摘要】根据有关文献和两个幻方的加法,完整地解决了构造奇数n=3(2m+1)(m=1,2,…为自然数)阶完美幻方(包括对称完美幻方)的方法及其证明.并完整地解决了构造奇数n=2m+1 (m=1,2,…为自然数)阶完美幻方(包括对称完美幻方)的问题.【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(027)002【总页数】6页(P133-137,181)【关键词】奇数阶;完美幻方;对称完美幻方;余函数;基方阵;转置方阵;六步法【作者】詹森;王辉丰【作者单位】广东技术师范学院计算机科学系,广东广州510665;海南师范大学数学与统计学院,海南海口571158【正文语种】中文【中图分类】O157.6文[1]指出，构造奇数n=3（2m+1）（m=1，2，…为自然数）阶完美幻方一直是一个未解决的问题，文[1]解决了构造9阶（当m=1时）完美幻方或对称完美幻方的问题.要彻底解决这个问题比构造其他奇数阶幻方一直是更艰难的一个问题.文[2]解决了构造3（2m+1）（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）阶完美幻方或对称完美幻方的问题，对于解决上述的难题前进了一大步.然而，对于m≠3t+1，即n=32（2t+1）（t=1，2，…）时还是没有解决.由于2t+1可表示为2t+ 1=3k-2（2s+1），n=32（2t+1）=3k（2s+1），（k=2，3，4，…；s≠3d+1，d=0，1，2，…为自然数），可见，首先要对构造3k阶完美幻方进行讨论如下.第一步把1～27分为9个基组，每组有3个数（称为基数），其和均为42.这是很易办到的，例如如下的基组：是一种选择.当n=3k（k=3，4为自然数）时，把9个基组的各个基数分别加以（t-1）×27；t=1，2，…3k-3（k=3，4，…为自然数），共得大组，每个大组有9个小组，每个小组3个基数.笫t个大组，其每个小组3个基数和均为42+ 3（t-1）×27.笫二步构造基行1，基行2和基行3.从每一个大组任取一个小组，3k-3个大组共取出3k-3个小组3k-2个基数，随意置于基行1从左到右的第1+3（j-1）（j=1，2，…3k-2为自然数）个位置，这3k-2个基数的和为从每一个大组剩下的小组中任取一个小组，3k-3个大组共取出3k-3个小组3k-2个基数，随意置于基行1从左到右的第2+3（j-1）（j=1，2，…3k-2为自然数）个位置，这3k-2个基数的和为从每一个大组剩下的小组中任取一个小组，3k-3个大组共取出3k-3个小组3k-2个基数，随意置于基行1从左到右的第3+3（j-1）（j=1，2，…3k-2为自然数）个位置，这3k-2个基数的和为至此得基行1.这样继续下去，以同样的方式得到基行2和基行3.每个基行3k-1个基数的和为笫三步构造n=3k（k=3，4为自然数）阶基方阵A把基行1的3k-1个基数从左到右依次记作a1，，则把基行2的3k-1个基数从左到右依次记作b1，b2，…，b3k-1，则把基行3的3k-1个基数从左到右依次记作c1，，则下面将用上述来构造k=3，4为自然数）阶基方阵A.为叙述方便起见，记3k-1为.以下的余函数以为周期.从左到右依次取a1，a2，…，an共三次作为基方阵A的第一行，第一行的元素向左顺移3个位置得笫二行，第二行的元素向左顺移3个位置得笫三行，依此类推直至得出笫行.从左到右依次取共三次作为基方阵的第行，第行的元素向左顺移3个位置得笫行，第行的元素向左顺移3个位置得笫行，依此类推直至得出笫行.从左到右依次取c1，c2，…，共三次作为基方阵A的第行，第行的元素向左顺移3个位置得笫行，第行的元素向左顺移3个位置得笫行，依此类推直至得出笫行.以记基方阵A位于第i行第j列的元素，有第四步作基方阵A的转置方阵B.以b（i，j）记转置方阵B位于第i行第j列的元素，有第五步作方阵C.以c（i，j）记方阵C位于第i行第j列的元素，取第六步基方阵A与方阵C对应元素相加所得方阵D，就是一个n=3n=3k（k=3，4为自然数）阶完美幻方（见以下定理证明）.若以d（i，j）记方阵D位于第i行第j列的元素，显然n=3k（k=3，4为自然数）阶完美幻方的6个步骤简称六步法.以上构造n=3定理1由上述六步法所得为自然数）阶方阵D是一个完美幻方.证明分5步证明如下1）先证基方阵A是一个3阶非正规完美幻方.由基方阵A的构造知基方阵A第行，各行个元素之和都等于第行，各行个元素之和都等于第行，各行个元素之和都等于即基方阵A各行个元素之和都等于考察基方阵A各列个元素之和即基方阵A各列个元素之和都等于过从左上角至右下角的对角线以及与其同方向的泛对角线上的元素而言，有，所以，其上各元素之和为在求和过程中，-h-2是固定的，由文[3]的预备定理得即从左上角至右下角的对角线以及每一条与其同方向的泛对角线上的元素之和都等於常数过从左下角至右上角的对角线以及与其同方向的泛对角线上的元素j）而言，有，所以，其上各元素之和为在求和过程中，h-3是固定的，由文[3]的预备定理知即从左下角至右上角的对角线以及每一条与其同方向的泛对角线上的元素之和都等于常数由以上事实可见，方阵A是一个非正规完美幻方，其幻方常数为2）显然，基方阵的转置方阵A亦是一个非正规完美幻方，其幻方常数为3）由于方阵C位于第i行第j列的元素所以方阵C是一个非正规完美幻方，其幻方常数为4）由于方阵D是由基方阵A与方阵C对应元素相加所得，故方阵D是一个完美幻方，其幻方常数为5）最后我们还需证明方阵D是一个正规的完美幻方.考察方阵D的元素，由文[3]的预备定理知，当时，r（4i）是的自然数是的自然数所以是的自然数.当时，对于每1个n的取遍1～自然数，即at加遍当时，对于每1个n的取遍1～自然数，即at加遍当时，对于每1个取遍的自然数，即at加遍.因为取遍的自然数，所以加遍0，1·同理可证加遍加遍.所以完美幻方D是由的自然数所组成，即由的自然数所组成，方阵D是一个3k（k=3，4为自然数）阶正规的完美幻方.证毕.由于六步法第一步中把的自然数分为3k-3个大组，每个大组有9个小组，每个小组3个基数.笫二步构造基行1，基行2和基行3时从每一个大组任取一个小组，每个大组有9个小组，所以共有种选法.又由于六步法第二步中从每一个大组任取一个小组，3k-3个大组共取出3k-3个小组3k-2个基数，随意置于基行从左到右的第i+3（j-1）（i=1，2，…，3.i=1，2，…，3k-2为自然数）个位置，每一个基行有（（3k-2）!）3种选法，三个基行共有（（3k-2）!）9种选法.故六步法可得到个不同的为自然数）阶正规的完美幻方.在构造n=3（kk=3，4为自然数）阶完美幻方的步骤中，只需选取a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn；c1，c2，…，cn使方阵A为一个对称方阵，其他步骤不变就可构造出n=3（kk=3，4为自然数）阶对称完美幻方，这样实际上就是以上定理的推论（见以下推论）.推论当a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn；c1，c2，…，cn的选取使方阵A为一个对称方阵时，六步法得到的是一个n=3（kk=3，4为自然数）阶正规的对称完美幻方.选取a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn；c1，c2，…，cn使方阵A为一个对称方阵的方法如下：由另一种选择把1～27分为9个基组如下（注意，基组（2）与（1）不完全相同，而上述定理的证明与基组的选择无关）把基组（2）的各个基数分别加以（t-1）×27；t=1，2，…3k-3；k=3，4，…为自然数），共得3k-3大组.为确保方阵的中间一行对称，将中间行称为主基行I.（2）的笫二行3个基组的基数置于主基行I，笫一行3个基组的基数置于主基行II（指中间行之上一行），笫三行3个基组的基数置于主基行III（指之下一行），得（注意，上述三行是中心对称的）.各主基行之基组的各个基数分别加以（t-1）×27后仍在该主基行上且相对位置不变，显然，三个主基行仍是中心对称的.各主基行右移个基组的位置（1个基组的位置即3个位置）就得相应的基行，由方阵A的构成方式知，方阵A的第行是主基行II从左到右依次取三次，方阵A 的第行是主基行I从左到右依次取三次，方阵A的第2·行是主基行III从左到右依次取三次，它们是中心对称的.上述3行每左移1个基组的位置得下一行，右移1个基组的位置得上一行，故所得基行符合六步法的要求且所得方阵A为一个对称方阵. 基行2有种选法，当基行2选定时基行3作相应变动以保持两行的中心对称关系，基行1至少有（3k-2）!种选法，所以，由六步法至少得到（（3k-2）!）4个不同的文[3]给出了构造m=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）阶完美幻方或对称完美幻方的方法，以上给出了构造n=3（kk=3，4为自然数）阶完美幻方或对称完美幻方的方法，文[1]解决了构造9阶（当m=1时）完美幻方或对称完美幻方的问题.在此基础上，就可得到定理2设A，B分别为3（kk=2，3，4）阶，m=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）阶完美幻方或对称完美幻方，则A⊕B为奇数3（k2m+1）（k=2，3，4）阶完美幻方或对称完美幻方.根据文[4]两个幻方的加法知，两个完美或对称完美幻方的和（幻方）也是完美或对称完美幻方.所（k=3，4为自然数）阶正规的对称完美幻方.例构造一个33阶对称完美幻方.由以上主基行（3）计算得基行为再根据以上六步法经过6个步骤（略）可构造出27阶对称完美幻方为以A⊕B是n=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）阶完美或对称完美幻方.由于n=2m+1（m=1，2，3，…）中出现3的倍数（即m=3t+1）时，这时，又可把n=2m+1表示3k（2m+1）的形式，再根据文[4]加法知A⊕B为奇数3k （2m+1）（k= 2，3，4）阶完美幻方或对称完美幻方.综上可见，构造奇数n=3（2m+1）（m=1，2，…为自然数）阶完美幻方或对称完美幻方的问题就从理论和实际上得到了解决，从而构造所有奇数阶完美幻方或对称完美幻方的问题也就从理论和实际上得到了解决.由此可见，以上构造3k（k=3，4，…为自然数）阶完美幻方或对称完美幻方的方法，对于解决构造奇数n=3（2m+1）（m=1，2，…为自然数）阶完美幻方或对称完美幻方的难题起着决定性的作用.【相关文献】[1]詹森.关于构造k2阶完美幻方的方法[J].海南师范大学学报：自然科学版,2012,25(2)：147-157.[2]詹森,王辉丰.构造3n阶完美幻方的五步法[J].海南师范大学学报：自然科学版,2014,27(1)：18-22.[3]詹森,王辉丰.构造奇数阶幻方,完美幻方和对称完美幻方的新方法[J].海南师范大学学报：自然科学版,2011,24(3)：265-269.[4]詹森,王辉丰.关于构造高阶幻方的新方法[J].海南师范大学学报：自然科学版,2009,22(3)：250-254.。

构造幻方的技巧
1. 嘿，你知道吗，构造幻方有个超有用的技巧就是对称法呢！比如说，就像我们照镜子一样，让数字在相对的位置上保持对称，这样不就能快速搞定一部分啦！就像3x3 的幻方，把中位数放中间，其他数字两两对称放置，是不是很神奇呀！
2. 哇塞，还有个技巧叫等差序列法哟！想象一下，数字们排着队，有规律地前进。

比如 5x5 的幻方，先用等差序列把数字排好，再根据规则调整，你看，一个漂亮的幻方不就出来啦！
3. 嘿，别忘了巧用中心数呀！这就像是舞台的中心主角一样重要呢。

比如在奇数阶幻方里，中心数可是起着关键作用的呀，以它为基准去摆弄其他数字，多有意思呀！
4. 哈哈，还有一个神奇的技巧叫行列交换法呢！就好像小朋友交换玩具一样，把数字所在的行和列换一换位置，说不定就能构造成幻方啦，不信你试试呀！
5. 哇哦，奇数偶数分开考虑也是个很棒的方法呀！就像把不同的小伙伴分到不同的队伍里，分别对待它们，这样构造幻方会更清晰明了呢！
6. 哎呀呀，固定角落法也很赞哦！让一些关键数字固定在角落，就像给房子打下坚实的根基一样，再去填满其他地方，是不是很厉害呀！
7. 嘿，还有一种叫斜线填充法呢！想象一下沿着斜线把数字放进去，是不是很有创意呀。

比如在某些幻方里，先沿着斜线填好几个数字，剩下的就好办多啦！
8. 哇，逐步调整法也不能忽视呀！就跟我们慢慢调整自己的状态一样，一点一点地让幻方变得完美，很有意思吧！
9. 我觉得呀，构造幻方真的超有趣！这些技巧都各有各的奇妙之处，用起来就感觉自己像个小小的魔术师呢，能把数字变得那么神奇！赶紧去试试吧！。

构造奇数阶幻方完美幻方和对称完美幻方的新方法詹森;王辉丰【摘要】给出构造奇数阶幻方、完美幻方和对称完美幻方的新方法及其证明．这些方法可分别得到（（n-1）!）2、（（n-1）!）2和2m（2m-1（（m-1）!））2个不同的奇数n阶幻方、完美幻方和对称完美幻方．%The new structure methods and their theoretical proof to construct odd n order magic square, perfect magic square and symmetrical perfect magic square were qiven. By using these methods, （（n-1）!）2、（（n-1）!）2 and 2m（2m-1（（m-1）!））2of different magic squares of order n; perfect magic squares, symmetrical perfect magic squares severally can be obtained.【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(024)003【总页数】6页(P265-269,278)【关键词】幻方;完美幻方;对称完美幻方【作者】詹森;王辉丰【作者单位】广东技术师范学院计算机科学系,广东广州510665;海南师范大学数学与统计学院,海南海口571158【正文语种】中文【中图分类】O157.6我们在文[1-5]讨论了构造幻方的各种方法，如加法、六字法和代码法等.在此基础上，我们利用文[1]的余函数进一步研究幻方的构造方法，得到新的更好的结果，分别得到(( n-1)!)2,(( n-1)!)2和2m(2 m-1(( m -1)!))2个不同的奇数n阶幻方、完美幻方和对称完美幻方，而文[1]是局限于只能构造一个这三类幻方.下面我们对余函数[1]（n、t是自然数，t|n 表示t被n整除，R（t）表示t除以n的余数）证明结果：预备定理 1）对 n=2m+1（m=1，2，…为自然数），当i=1，2，…，n时，则r （2i）是1～n的自然数，r（4i）也是1～n的自然数.2）对n=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数），当i=1，2，…，n时，则r（3i）是 1～n 的自然数；当 m=3t+1，即 n=6t+3（t=0，1，2，…）时，则有证明 1）对n=2m+1（m=1，2，…自然数），当 i=1，2，…，m时，由余函数定义知r（2i）=2i是一个2～2m公差为2的等差有限数列；当i=m+1，m+2，…，2m+1时，r（2i）是一个1～2m+1公差为2的等差有限数列.所以，r（2i）（i=1，2，…，n）是1～n的自然数.对n=2m+1=2（2s）+1=4s+1（s=1，2，…），当i=1，2，…，s时，r（4i）是一个4～4s公差为4的等差有限数列；当i=s+1，…，2s时，r（4i）是一个3～4s-1公差为4的等差有限数列；当i=2s+1，…，3s时，r（4i）是一个2～4s-2公差为4的等差有限数列；当i=3s+1，…，4s+1时，r（4i）是一个1～4s+1公差为4的等差有限数列.所以，对n=2m+1=2（2s）+1=4s+1（s=1，2，…），当i=1，2，…，n时，r（4i）是1～n的自然数.同理可证，对n=2m+1=2（2s+1）+1=4s+3（s=0，1，2，…），当 i=1，2，…，n时，r（4i）是1～n的自然数.综上所述，对n=2m+1（m=1，2，…为自然数），当i=1，2，…，n时，r（4i）也是1～n的自然数.2）对n=2m+1，m=1，2，…为自然数.① 对n=2m+1=2（3t）+1=6t+1（t=1，2，...），当 i=1，2，...，2t时，由余函数定义知r（3i）是一个3～6t公差为3的等差有限数列；当i=2t+1， (4)时，r（3i）是一个2～6t-1公差为3的等差有限数列；当i=4t+1，…，6t+1时，r（3i）是一个1～6t+1公差为3的等差有限数列.所以，对 n=2m+1=2（3t）+1=6t+1（t=1，2，…），当i=1，2，…，n时，r（3i）是1～n的自然数.② 对n=2m+1=2（3t+2）+1=6t+5（t=0，1，2，…），当i=1，2，…，2t+1时，r（3i）是一个3～6t+3公差为3的等差有限数列；当i=2t+2，…，4t+3时，r（3i）是一个1～6t+4公差为3的等差有限数列；当i=4t+4，…，6t+5时，r （3i）是一个2～6t+5公差为3的等差有限数列.所以，对 n=2m+1=2（3t+2）+1=6t+5（t=0，1，2，…），当i=1，2，…，n时，r（3i）是1～n的自然数. ③ 对n=2m+1=2（3t+1）+1=6t+3（t=0，1，2，…），当i=1，2，…，2t+1时，r（3i-1）是一个2～6t+2公差为3的等差有限数列；当i=2t+2，…，4t+2时，r（3i-1）是一个2～6t+2公差为3的等差有限数列；当i=4t+3，…，6t+3时，是一个2～6t+2公差为3的等差有限数列.所以，至此预备定理证毕.我们还不难得到推论对n=2m+1（m=1，2，…为自然数），当i=1，2，…，n时，则r（2i+C），r（4i+C）仍是1～n的自然数；对n=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，…的自然数），当i=1，2，…，n时，则r（3i+C），r（3i-1）仍是1～n的自然数（其中C为任意给定的自然数）.我们分三部份讨论如下：第一步安装基方阵.对n=2m+1（m=1，2，…为自然数），设n阶基方阵[1]A 位于第 i行、第 j列的元素为 a（i，j）（i，j=1，2，…，n），取定a（1，m+1）=mn+1，其余n-1个基数1，n+1，2n+1，…，（m-1）n+1，（m+1）n+1，…，（n-1）n+1可随意安装到如下n-1个位置基数安装完毕后，得到基方阵A的全部基元（或站点）.安装于第j列的基元记为ncj+1（j=1，2，…，n），在每一列站点ncj+1的下方（包括该站点），自上而下按ncj+dk（k=1，2，…，n，取定d1=1，其余dk取遍2～n的自然数）的顺序安装相继的数至该列最下面的笫n行；接着，在该站点的上方，自上而下顺序安装后继的数，安装至全列满为止.第二步对基方阵A施行双移，安装到另一个（待安装的）n阶方阵B.把A中第一列每一行的数（即行标[1]）移至B中同一行相应于A的基元所在的位置，A中各行的其他元素顺移至B中，就得一个n阶方阵B.这样，经过以上两步所得的方阵B就是一个n=2m+1（m=1，2，…为自然数）阶幻方（见定理1）.这种安装与文[2]的六字法有些不同，为了下文叙述方便起见，这里不把以上两步安装称为任安基元双顺法（六字法），而简称为余函数法.由于基数安装结构可有( )n-1!种不同的选择，各列数的安装有(n -1)!种不同的选择，而移入方式也有其他可能的选择，所以，利用以上方法至少可构造出(( n-1)!)2个不同的幻方.定理1 由以上余函数法得到的n=2m+1（m=1，2，…为自然数）阶方阵B是一个幻方.证明设基方阵A安装于第j列的基数为ncj+1（j=1，2，…，n），则由上述行的表达式可得出基方阵A位于第i行、第j列的元素为设方阵B位于第i行、第j列元素为b（i，j），因为方阵A第m+1-k（k=0，1，2，…，m）行的元素向右顺移k个位置，所以综上所述方阵B是一个幻方.例1 构造一个9阶幻方.根据以上余函数法，取c5=4，c1=2，c2=5，c3=0，c4=7，c6=8，c7=1，c8=3，c9=6；dk=k，k=1，2，…，9，我们按以上两步，安装得基方阵A（略）和一个9阶幻方（略）.第一步与上述方法相同.第二步对基方阵A施行双移安装到另一个（待安装的）n阶方阵B.设方阵B中位于第i行、第j列的元素为b（i，j），方阵 A中第m+1-k（k=0，1，…，m）行的元素向右顺移2k个位置，所以以上安装第一步与六字法相同，第二步的顺移是用余函数来实现，为了区别于其他方法，我们将以上安装方法叫做余函数法.利用此方法可构造出(( n-1)!)2个不同的完美幻方.定理2 利用余函数法安装得到的n=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）阶方阵B是一个完美幻方.证明n=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）阶方阵B位于第i行、第j列的元素为由余函数的定义、预备定理及其推论得第i行元素的和（求和过程中，2i-1和m+3i-1（i=1，2，…，n）都是固定的）为即各行元素之和都等于幻方常数.第j列元素的和（在求和过程中，j-1和m+j-1（j=1，2，…，n）都是固定的）为即各列元素之和都等于幻方常数.过b（h，1）（h=1，2，…，n）从左上角至右下角的对角线以及与其同方向的泛对角线上的元素b（i，j）而言，有 r（i-j）=h-1（h=1，2，…，n），在求和过程中，n-h和n+m-h都是固定的，所以，其上各元素之和为即从左上角至右下角的对角线以及每一条与其同方向的泛对角线上的元素之和都等于幻方常数.过b（h，n）（h=1，2，…，n）从左下角至右上角的对角线以及与其同方向的泛对角线上的元素b（i，j）而言，有 r（i+j）=h（h=1，2，…，n），在求和过程中h-1和m+h-1都是固定的，所以，其上各元素之和为即从左下角至右上角的对角线以及每一条与其同方向的泛对角线上的元素之和都等于幻方常数.由以上事实可见，方阵B是一个完美幻方.显然，由余函数法可得出(( n -1)!)2个不同的n阶完美幻方（其中n=2m+1，m 为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）.例2 构造11阶完美幻方.根据余函数法，取c6=5，c1=3，c2=6，c3=8，c4=4，c5=1，c7=0，c8=9，c9=10，c10=2，c11=7，d1=1，d2=5，d3=7，d4=10，d5=3，d6=8，d7=2，d8=9，d9=11，d10=4，d11=6.我们得到基方阵（见图1）和一个11阶完美幻方（见图2）.第一步取定a（1，m+1）=mn+1，注意到基数列中处于中心对称位置上的两个数，其和都等于（n-1）n+2，我们共有m对这样的基数，在每对基数中随意选取一个基数，将这m个基数随意安装到如下m个位置：记a（m+1-k，k+1）=nck+1+1（k=0，1，2，…，m-1）；余下的m个基数安装到如下m个位置：记a（m+1+k，n-k+1）=ncn-k+1+1（k=1，2，…，m），但必须满足条件ck+cn-k+1=n-1（k=1，2，…，m）.基数安装完毕后，得到方阵A的全部基元（或站点）.取定d1=1，dm+1=m+1，dn=n，注意到1～n的自然数列中处于中心对称位置上的两个自然数，其和都等于n+1，除d1=1和dn=n外，我们共有m-1对这样的自然数，在每对自然数中随意选取一个自然数，将这m-1个自然数随意排序依次记为dk（k=2，3，…，m）；余下的m-1个自然数记为dn-k+1（k=2，3，…，m），但必须满足条件：dk+dn-k+1=n+1（k=2，3，…，m）.在第j列基元ncj+1的下方（包括该基元），自上而下按ncj+dk（k=1，2，…，n）的顺序安装相继的数至该列最下面的笫n行；接着，在该站点的上方，自上而下顺序安装后继的数，安装至全列满为止.由此得到基方阵A.第二步与余函数法的第二步相同，所得方阵B就是一个n阶对称完美幻方（见定理3）.以上安装方法与余函数法的不同之处，在于对cj，dk的安装增加了对称的要求.我们不妨把以上方法称为对称·余函数法.本文作者已对奇数阶幻方制作成一种“幻方生成器”，取得了专利权[6].对其他各种幻方也可设计、制作新的幻方生成器.定理3 用对称·余函数法得到的方阵B是一个n=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）阶对称完美幻方.证明由定理2知，方阵B是一个n=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）阶完美幻方，我们只须证明方阵B是中心对称，则定理3就已成立.元素 b（i，j）=ncr（2i+j-1）+dr（m+3i+j-1）（i，j=1，2，…，n）的在其中心对称位置上的元素为即方阵B的元素是中心对称的.由此可见，方阵B是一个对称完美幻方.例3 构造一个13阶对称完美幻方.根据对称·余函数法，取c7=6，c1=5，c2=2，c3=9，c4=12，c5=1，c6=4，c13=7，c12=10，c11=3，c10=0，c9=11，c8=8.d7=7，d1=1，d13=13，d2=9，d3=6，d4=3，d5=12，d6=4；d8=10，d9=2，d10=11，d11=8，d12=5.我们得到基方阵A（见图3）和一个13阶对称完美幻方（见图4）.【相关文献】[1]詹森,王辉丰.奇数阶对称完美幻方的构造方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2009,22(4):396-402.[2]王辉丰,詹森.关于构造三类奇数阶幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2010,23(1):12-15.[3]詹森,王辉丰.关于构造高阶幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2009,22(3):250-254.[4]詹森,王辉丰.构造镶边幻方的代码法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2010,23(2):152-157.[5]詹森.关于构造幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2009,22(2):131-132.[6]詹森,王辉丰.一种幻方生成器:中国,CN2019559570[P/OL].(2011-08-31)[2011-09-09]..。

构造双偶数阶空间更完美幻立方的四步法詹森;王辉丰【摘要】Four footwork’s structure methods and their theoretical proof were given These methods may obtain22m((2m)!) different n=4m(m is natural number)order space more perfect magic cube.%给出构造双偶数n=4m（m=1，2，…为自然数）阶空间更完美幻立方的四步法及其理论证明。

这个方法可得到22m（（2m）！）个不同的n=4m（m=1，2，…为自然数）阶空间更完美幻立方。

【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】7页(P389-395)【关键词】最完美幻方;幻立方;空间完美幻立方;空间更完美幻立方;四步法【作者】詹森;王辉丰【作者单位】广东技术师范学院计算机科学系，广东广州 510665;海南师范大学数学与统计学院，海南海口 571158【正文语种】中文【中图分类】O157.6文[1-16]研究了n×n的各种2维幻方，n×n×n的3维幻立方比2维幻方更复杂.文[17]讨论了3维幻立方，提出了构造奇数阶对称幻立方及对称完美幻立方的方法.下文将讨论3维更完美幻立方.为了方便起见，首先将文[17]、[18]的一些有关概念及余函数的结果叙述如下：幻立方是指n×n×n的3维幻方，其n2个行，n2个列，n2个纵列上以及四条空间对角线上的n个元素之和都相等，即等于同一个常数，这个常数称为幻立方常数.如果幻立方是由1~n的连续自然数所组成，则幻立方常数为空间完美幻立方是指空间四个方向的各条对角线上和泛对角线上n个元素之和都等于n阶幻立方常数的幻立方.空间更完美幻立方是指空间四个方向的各条对角线、泛对角线上任何相距2m个位置的两个数之和都等于n3+1的空间完美幻立方.由文[3]余函数当时，（n、t是自然数，t|n表示t被n整除，q（t）表示t除以n 的余数）证明如下结果：预备定理对n=4m（m是m≠3t，t=1，2，…的自然数），则r（-3i）（i=1，2，…，n）是1~n的自然数.证明1）对m=3t+1（t=0，1，2，…为自然数），由余函数定义知，当i=1，2，…，4t+1时，r（-3i）是一个4m-3~1公差为3的等差有限数列；当i=4t+2，…，8t+ 2时，r（-3i）是一个4m-2~2公差为3的等差有限数列.当i=8t+3，…，12t+3时，r（-3i）是一个4m-1~3公差为3的等差有限数列；i=4m时，r（-3i）=4m=n.所以，r（-3i）（i=1，2，…，n）是1~n的自然数.2）对m=3t+ 2（t=0，1，2，…为自然数），由余函数定义知，当i=1，2，…，4t+2时，r（-3i）是一个4m-3~2公差为3的等差有限数列；当i=4t+3，…，8t+5时，r（-3i）是一个4m-1~1公差为3的等差有限数列；当i=8t+6，…，12t+7时，r（-3i）是一个4m-2~3公差为3的等差有限数列；i=4m时，r（-3i）=4m=n.所以，r（-3i）（i=1，2，…，n）是1~n的自然数.推论对n=4m（m是自然数且m≠3t，t=1，2，…），则r（-3i+C）（i=1，2，…，n）是1~n的自然数（其中C为任意给定的自然数）.第一步用文[14]的方法构造一个双偶数n=4m（m=1，2，…为自然数）阶由1~n2的连续自然数所组成的最完美幻方A，其相应的基方阵各列的n个数是按事先选定的顺序安装的.最完美幻方A位于第i行、第j列的元素记为a（i，j）（i，j=1，2，…，n），其每一行，每一列上n个元素之和都等于双偶数阶幻方的幻方常数，即两个方向上所有对角线上或泛对角线上任何相距2m个位置的两个数之和都等于n2+1，即很明显，上面这一等式已保证了幻方的完美性.即两个方向上所有对角线上或泛对角线上n个元素之和都等于n=4m（m=1，2，…为自然数）阶幻方的幻方常数第二步构造第k（k=1，2，…，n）个截面的基方阵（简称截面基阵）Bk，Bk位于第i行、第j列的元素记为b（k，i，j）（i，j=1，2，…，n）.对i=1，2，…，n，取此处的di（i=1，2，…，n与构造最完美幻方A的基方阵时所取的di（i=1，2，…，n）是相同的.即Bk各列的n个数是按第一步中，最完美幻方的基方阵A 的各列n个数同样的顺序安装的.第三步对第k（k=1，2，…，n）个截面基阵Bk作行变换，所得方阵记为Ck.基方阵Bk上半部分的行不变，笫2m+1~4m行依次作为方阵Ck的第4m~2m+1行.设n阶方阵Ck位于第i行、第j列的元素记为c（k，i，j）（i，j=1，2，…，n），则即方阵Ck第i（i=1，2，…，2m）行元素之和为当i=2m+1，…，4m时，有即方阵Ck第i（i=1，2，…，n）行元素之和为第四步第k（k=1，2，…，n）个截面的方阵Ck第i（i=1，2，…，n）行向右顺移3（i+k-2）个位置得方阵Dk.设n阶方阵Dk位于第i行、第j列的元素记为d（k，i，j）（i，j=1，2，…，n），则由此n个截面Dk（k=1，2，…，n）组成的数字立方阵D就是一个双偶数n=4m （m是自然数且m≠3t，t= 1，2，…）阶空间更完美幻立方（见定理证明）. 1）当i=1，2，…，2m时，若s为奇数，则若s为偶数，则2）当i=2m+1，…，4m时，若s为奇数，则若s为偶数，则定理1由上述四步法得到的数字立方阵D是一个双偶数n=4m（m是自然数且m≠3t，t=1，2，…）阶空间更完美幻立方.证明分三步进行证明1）数字立方阵D以k轴为法线方向的k（k=1，2，…，n）个截面Dk，其各行和各列上n个元素的和都等于幻立方常数?事实上，因Dk与Ck（k=1，2，…，n）的每一行由同样的元素组成，由四步法的第三步知即截面Dk第i行（i=1，2，…，n）n个元素的和都等于幻立方常数.当k、j同为奇数或同为偶数时，对给定的k、j，有这里，s与i的奇偶相同，又由预备定理，当i=1，2，…，n时，s取遍1~n=4m 的自然数，所以当k、j一个为奇数另一个为偶数时，对给定的k、j，有这里，s与i的奇偶相反，有即截面Dk第j列（j=1，2，…，n）n个元素的和为2）数字立方阵D以j轴为法线方向的j（j=1，2，…，n）个截面Dj，其各行和各列上n个元素的和都等于幻立方常数，即每一纵列n个元素之和都等于.当i、j同为奇数或同为偶数时，对给定的i、j，有这里，s与k的奇偶相同，又由预备定理，当k=1，2，…，n时，s取遍1~n=4m的自然数，当i=1，2，…，2m，有当i=2m+1，…，4m，有当i、j一个为奇数另一个为偶数时，对给定的i、j，有这里，s与k的奇偶相反，同理可证即数字立方阵D每一纵列n个元素之和为由式（1），（2）和（3）知，数字立方阵D的所有行，列和纵列上n个元素之和都等于3）考察d（k，i，j）与d（r（2m+k），r（2m+i），r（2m+ j））之和当s为奇数时，r（2m+s）同为奇数，当i=1，2，…，2m，有当i=2m+1，…，4m，有当s为偶数时，同理可证由四步法得到的n个截面Dk（k=1，2，…，n）组成的立方阵D其空间四个方向的各对角线、泛对角线上任何相距2m个位置的两个数之和都等于n3+1.由此，其空间四个方向的各对角线、泛对角线上n个元素之和都等于.所以，D是一个双偶数n=4m（m是自然数且m≠3t，t=1，2，…）阶空间更完美幻立方.因构造最完美幻方A是由1~n3的连续自然数所组成的，故空间更完美幻立方D 是由（1-1）n+1~（n2+ 1）n-n，即由1~n3的连续自然数所组成，定理证毕. 定理2用上述四步法得到的数字立方阵D是一个双偶数n=4m（m=1，2，…为自然数）阶空间更完美幻立方.证明类似定理1的证明，考察n=4m（m是自然数且m≠5t，t=1，2，…、m≠15t，t=1，2，…等）情况.在四步法的第四步中,若第k（k=1，2，…，n）个截面的方阵Ck第i行（i=1，2，…，n）向右分别顺移5（i+k-2）、15（i+k-2）…个位置得方阵Dk.由此k个截面Dk（k=1，2，…，n）所组成的方阵D，同理可证：D是一个双偶数n=4m（m是自然数且m≠5t，t=1，2，…、m≠15t，t=1，2，…等）阶空间更完美幻立方.对于其他各种情况，只要简单地调整一下第四步中的顺移位置，就可构造出任何双偶数n=4m（m=1，2，…为自然数）阶空间更完美幻立方.定理证毕.一个最完美幻方可构造出一个双偶数阶空间更完美幻立方，所以，四步法可构造出22m（（2m）!）个不同的n=4m（m=1，2，…的自然数）阶空间更完美幻立方. 例用四步法构造一个8阶空间更完美幻立方第一步根据文[14]中构造最完美幻方的三步法，构造一个8阶最完美幻方A（见图1）.第二步构造第k（k=1，2，…，8）个截面基阵Bk由上至下依次为（见图2~图9）.第三步第k（k=1，2，…，n）个截面的方阵Ck第i行（i=1，2，…，n）向右顺移3（i+k-2）个位置得方阵Dk.（见图10~图17）第四步由以上8个截面Dk（k=1，2，…，n）组成的数字立方阵D就是一个8阶空间更完美幻立方（略）.【相关文献】[1]詹森.关于构造幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2009,22(2):133-134.[2]詹森,王辉丰.关于构造高阶幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2009,22(3):250-254.[3]詹森,王辉丰.奇数阶对称完美幻方的构造方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2009,22(4):396-402.[4]王辉丰,詹森.关于构造三类奇数阶幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2010,23(1):12-15.[5]詹森,王辉丰.构造镶边幻方的代码法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2010,23(2):152-157.[6]詹森,王辉丰.构造奇数阶幻方，完美幻方和对称完美幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2011,24(3): 265-269.[7]詹森,王辉丰.构造奇数阶对称幻方及奇偶数分开对称幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2011,24 (4):395-399.[8]王辉丰.构造奇数阶完美幻方和对称完美幻方的两步法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2012,25(1):28-31.[9]詹森.关于构造k2阶完美幻方的方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2012,25(2):147-157.[10]詹森.构造高阶f次幻方的加法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2012,25(3):263-267.[11]王辉丰.构造镶边幻方代码法的代码公式[J].海南师范大学学报:自然科学版,2012,25(3):269-273.[12]詹森.你亦可以造幻方[M].北京:科学出版社,2012.[13]詹森,王辉丰,黄澜.构造单偶数阶幻方的四步法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2013,26(2):145-151.[14]詹森,王辉丰.构造最完美幻方的三步法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2013,26(4):387-392.[15]詹森,王辉丰.构造3n阶完美幻方的五步法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2014,27(1):18-22.[16]詹森,王辉丰.构造奇数3(2m+l)阶完美幻方的方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2014,27(2):133-137.[17]詹森,王辉丰.构造奇数阶对称幻立方及对称完美幻立方的三步法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2013,26(3): 266-273.[18]吴鹤龄.幻方及其他[M].北京:科学出版社,2004:153-161.。

构造任意阶幻方的一种方法
龚奇夫
【期刊名称】《荆楚学刊》
【年(卷),期】2003(004)005
【摘要】本文介绍一种利用矩阵加法构造幻方的方法:先按某种规则构造几个n * n矩阵,然后把这几个矩阵加起来即成n阶幻方.
【总页数】6页(P8-13)
【作者】龚奇夫
【作者单位】沙洋师专,计科系,湖北,沙洋,448200
【正文语种】中文
【中图分类】O144
【相关文献】
1.介绍一种任意奇数阶幻方的简便构造方法 [J], 戚怀志
2.构造任意阶幻方的一种方法 [J], 林淑飞;朱艳伟
3.一种构造任意4k阶保块和完美幻方的简便方法 [J], 王正元
4.任意奇阶和部分偶阶幻方的构造方法：宏微控制法和自我扩张法 [J], 温世清;王利达
5.单偶阶幻方──任意阶幻方构造规律研究 [J], 赵宗杰;吴秣陵;吴报任
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