小学奥数 幻方(一) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

三阶幻方二同学们：我们今天继续学习三阶幻方,通过上次学习,同学们初步掌握了求三阶幻方的方法;下面我们就利用这些方法求三阶、四阶等幻方;一学习指导与解答例1. 在下图的33⨯的阵列中填入了1～9的自然数,构成了大家熟悉的三阶幻方;现在另有一个33⨯的阵列,请选择九个不同的自然数填入九个方格中,使其中最大者为20,最小者大于5,且每一横行,每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等;492357816152013141618191217图1 图2分析：所给的三阶幻方中填入的是1～9这九个不同的自然数,其中最大的为9,最小的为1,要使新编制的幻方中最大数为20,而91120+=,因此,如果在所给幻方中各数都增加11,就能构成一个新幻方,并且满足最大数为20,最小数大于5;见图;例2. 在33⨯的阵列中,第一行第三列的位置上填5,第二行第一列的位置上填6,如图3,请你在其它方格中填上适当的数,使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36;56A B C D E FG56 图3图4分析：为了叙述方便,我们将其余空格的数字用字母表示,如图4;因为幻和为36,所以可求出中心数为：36312÷=,即C =12从第二行可求出D =-+=3612618() 从对角线中可求出E =-+=3612519() 从第一列可求出A =-+=3661911() 从第一行可求出B =-+=3651120() 从第二列可求出F =-+=3620124() 从第三列可求出G =-+=3651813() 得到三阶幻方如下：112056121819413从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方,中心数起着至关重要的作用;利用幻和＝中心数×3这个关系式,在已知幻和的情况下,可先求出中心数,在已知中心数的情况下,可求出幻和,以便其它数的求出;例3. 将1～9这九个数字分别填入图1中所示的空格中,使得前两行所构成的两个三位数之和等于第三行的三个数,并且相邻上下或左右的两个数奇偶性不同;分析：由于1、5已填好,按照奇偶相间的要求,五个奇数应在四个角及中心,如图2;例4. 写出一个三阶幻方,使其幻和为24;因为三阶幻方,幻和为24,所以其9个数的和为24372⨯=,假设这9个数为n n n n n n n n n----++++43211234，，，，，，，，,所以9728n n==，,这9个数为4、5、6、7、8、9、10、11、12用这9个数排成一个三阶幻方,如图：512710869411例5. 从1～13这13个数中挑出12个数,填入图1中的方格中,使每一横行,四数之和相等,每一竖列三个数之和相等;如图：1 11 91310423126851335141012112869图1 图2分析：在1～13这13个数中,因为1231391++++=……,911277÷=……,所以1～13中去掉7,由()()917328917421-÷=-÷=，,所以要求横行和为28,竖列和为21,先将除7外的12个数分为4组,每组中3个数之和为21,然后再调整,使每横行四个数的和为28,这样可得出解,如图1、2;答题时间：30分钟 二认真审题,独立完成 1将121314162334112512712，，，，，，，，这九个数分别填入图1中,使每一横行,每一竖行,两条对角线中三个数的和都相等;2将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中,使每一横行,每一竖行及每一条对角线上三个数的和都等于45;3将从1开始的九个连续奇数填入三行三列的九个空格中,使每一横行,每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等;试题答案二认真审题,独立完成1将121314162334112512712，，，，，，，，这九个数分别填入图1中,使每一横行,每一竖行,两条对角线中三个数的和都相等;由于2、3、4、6、12的最小公倍数为12,所以将9个分数分别扩大12倍,得到6、4、3、2、8、9、1、5、7,而33⨯的幻方是熟知的,如图,再将图中的每个数除以12就是所求;2将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中,使每一横行,每一竖行及每一条对角线上三个数的和都等于45;根据幻和为45,可知中心数为45315÷=,又由于141630171330+=+=，,121830191130+=+=，;经验证,可排出三阶幻方;1413181915111217163将从1开始的九个连续奇数填入三行三列的九个空格中,使每一横行,每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等;把1～9填在幻方中的每个数乘以2再减1,就得到1～17这九个奇数所填的三阶幻方是：492 357 8167173 5913 15111图1 图2。

小学数学六年级（2019全国通用）-数学竞赛部分-幻方（含答案）一、单选题1.在如图方格表中的每个方格中填人一个字母，使得方格表中每行、每列及两条对角线上的四个方格中的字母都是A，B，C，D，那么表中★所在方格应填的字母是（）A. AB. BC. CD. D2.将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么A和B两个圆圈中所填的数之和最大是（）A. 8B. 10C. 12D. 143.“九宫阵”是一个9×9的方阵，它是由九个3×3的“九宫格”（图中黑实线围住的方阵）组成．请你在下图中将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入空格内，使得每行、每列及9个“九宫格”中数字1～9均恰好出现一次．当填写完后，那么，位于第4行第4列的数字是（）A. 2B. 4C. 6D. 84.将1，2，3，4，5，6分别填入6×6的方格网（如图所示）的36个小方格中，使得每一行每一列中的6个数1，2，3，4，5，6各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，第二行从左到右的第6个数是（）（左图是一个3×3的例子）A. 5B. 4C. 3D. 25.我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图．有以下4个点图可供选择其中，正确的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④二、填空题6.已知如图中每行、每列和对角线上的三个数之和都相等，那么A=________ ，B=________ ，C=________ ，D=________ ，E=________ ．7.将1﹣﹣8这八个整数放在正方体的八个顶点上，要求任一面上四个数之和都相等，请在如图正方体八个顶点处写出符合上述要求的一种填法．________ ．8.如图的4×4网格里，横、竖、对角线上的四个数之和均等于“2010”，则a+b+c+d=________ ．9.把3、5、7、9、11、13、15、17、19填在适当的位置，使每行每列，每条对角线上三个数和为33．10.将2000至2010这11个数不重复地填入图中的圆圈内，每个圆圈恰填入一个数，使得图中十条经过三个格子的线段，每一条线段上的三个圆圈内所填数的总和都相等，请问，左下角所填的数是________ ．11.在空格内填入数字1～6，使得每行、每列和每宫内数字不重复．虚线框里的小数表示虚线框里数字的和．那么，最后一行前五个数依次是：________ ．12.在3×3的表格中，有3个数分别是3、4、7．又已知表格中的每行、每列和对角线上的三个数的和都相等，那么问号所代表的数是________ ．13.将一些数字分别填入下列各表中，要求每个小格中填入一个数字，表中的每横行中从左到右数字由小到大，每一数列中从上到下数字也由小到大排列．（1）将1至4填入表1中，方法有________ 种；（2）将1至6填入表2中，方法有________ 种；（3）将1至9填入表3中，方法有________ 种；表1：表2：表3：14.如图，4×4方格被分成了五块；请你在每格中填入1、2、3、4中的一个，使得每行、每列的四个数各不相同，且每块上所填数的和都相等．则A、B、C、D四处所填数字之和是________ ．三、计算题15. 将4至12的九个整数填入下图九个格内，使纵、横及斜三个数字的和均是一样，问A 和B是那两个数字？四、应用题16.在如图的五个小圆圈内分别填上，，，1，1五个数，使每条直线上三个数相加的和都相等．17.将1至8这8个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的○内，并使每个面上的四个○内的数字之和都相等．18.将1﹣﹣9这九个数填入右边的九宫格（三阶幻方）中．19.利用猴子跳楼法，写出1﹣49的数字并且每一行一列对角线上的数字之和相等．20.只用2，3，5三个数（可重复使用）填在右图中的○内，使得每个三角形三个顶点上的三个数的和都相等．21.如图为6×6的数独游戏，在36方格的大宫格内，每行和每列分别填上1至6的数字．大宫格内有6个分别由6个小方格组成小宫格，以粗线作为分隔．每个小宫格内亦分别填上1至6的数字，请在空白的小格中填上1至6的数字，使得最后每行、每列、每小宫格都不出现重复的数字．22.将1～7 这七个数字，分别填入图中各个圆圈内，使每条线段上的三个圆圈内的三个数字之和相等．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】幻方【解析】【解答】解：如图：①≠D、C、A，只能是B；同理，★部分的字母≠A、B、D，只能是C，所以，★部分的方格中填入的字母是C．故选：C．【分析】先确定①的位置：①≠D、C、A，只能是B；同理，根据容斥原理，★部分的字母≠A、B、D，只能是C，据此解答即可．2.【答案】B【考点】幻方【解析】【解答】解：设幻和为a，则5a=2×（1+2+3+…+8）﹣B，5a=72﹣B又因两条斜线和下面一条横线的和也相等，可知3a=（1+2+3+…+8）+A，可得3a=36+A，a=12+A÷3，所以A只能是3或6当A是3时幻和是13，当A是6时幻和是14，再根据5a=72﹣B可确定当A=3时，B=7当A=4时，B=6，所以幻和最大是3+7=10．故选：B．【分析】图中一共有5条线段，每条线段上的数字和相等，可先求出幻和是多少，设幻和为a，则5a=2×（1+2+3+…+8）﹣B，5a=72﹣B，又因两条斜线和下面一条横线的和也相等，可知3a=（1+2+3+…+8）+A，可得3a=36+A，然后再进行分析进行解答即可．3.【答案】A【考点】幻方【解析】【解答】解：由分析可知位于第4行第4列的数字是2；故选：A．【分析】如图，首先找出第4行第4列的数字所在行列的数字为1、3、6、7、8、9，这个数字所在的3×3的“九宫格”内的数字里面有5，那么这个数字只能为2或4；由第4行第5列的数字所在行列的数字为1、2、3、5、6、7、8、9，这个数字所在的3×3的“九宫格”内的数字里面有9，那么第4行第5列的数字是4；由此得出位于第4行第4列的数字只能是2，得出结论．4.【答案】D【考点】幻方【解析】【解答】解：通过排除试填，得到如下答案，如图：故选：D．【分析】首先发现能组成约数的一组为：1、2、4，1、3、6，1、2、6，1和任意一个数；再发现对角线的数只能为6或4，带黑点的空只能为1或2，连续两个小于或大于的只能考虑连续三个数是倍数关系的；而6由两组适合的约数，因此首先确定对角线为6试填，由此逐一分析即可得出答案．5.【答案】C【考点】幻方【解析】【解答】解：每个点表示1，中间数就是5，幻和是5×3=15．左下角的数是：15﹣5﹣2=8，P点的数是：15﹣8﹣1=6．P点有6个点组成，与③相同．故选：C．【分析】把一个点看成1，那么中间数是5，幻和就是5×3=15；再根据这个幻和进行推算．二、填空题6.【答案】40；30；10；15；50【考点】幻方【解析】【解答】解：根据第1行和第1列的各数之和相等，可得第1行的A数为：A=15+50+25﹣35﹣15=40然后根据对角线上的三个数之和和第1列的各数之和相等，可得B数为：B=15+50+25﹣35﹣25=30再根据每行、每列和对角线上的三个数之和都相等，求出：D=15+50+20﹣40﹣30=15C=15+50+25﹣50﹣30=10E=15+50+25﹣15﹣25=50故答案为：40，30，10，15，50．【分析】通过分析：首先根据第1行和第1列的各数之和相等，可得第1行的A数为：A=15+50+25﹣35﹣15=40；然后根据对角线上的三个数之和和第1列的各数之和相等，可得B数为：B=15+50+25﹣35﹣25=30；再根据每行、每列和对角线上的三个数之和都相等，求出D=15+50+20﹣40﹣30=15，C=15+50+25﹣50﹣30=10，E=15+50+25﹣15﹣25=50，据此解答即可．7.【答案】18【考点】幻方【解析】【解答】解：如图所示：【分析】将每个面上的和全都加起来，就相当于每个点上的数都加了3次，总和为：3×（1+2+…+8），而共有6个面，则每个面上的和为即每个面上的和为（1+2+3+4+5+6+7+8）×3÷6=18；于是我们可以将这8个数字放到相应位置，满足每个面的和等于18．8.【答案】2010【考点】幻方【解析】【解答】解：根据分析可得，c=d+1，b=d+4，a=d+5，（d﹣1）+a+b+（d+2）=2010，（d﹣1）+（d+5）+（d+4）+（d+2）=2010，解得：d=500，c=d+1=500+1=501，b=d+4=500+4=504，a=d+5=500+5=505，所以：a+b+c+d=505+504+501+500=2010．故答案为：2010．【分析】根据双偶数阶幻方的制作的对称性可知：d原来在a的位置，c原来在b的位置，（原图如下）；因此可得：c=d+1，b=d+4，a=d+5，d原来左面的数是d﹣1，c右面的数是d+2，根据幻和等于2010，可得：（d﹣1）+a+b+（d+2）=（d﹣1）+（d+5）+（d+4）+ （d+2）=2010，得出d=500，进而可得：a=505，b=504，c=501，那么a+b+c+d=505+504+501+500=2010．9.【答案】解：【考点】幻方【解析】【分析】因为每行、每列、每条对角线上各数的和都等于33，所以幻和为33，中心数为33÷3=11，那么每行、每列、每条对角线上其它两数的和是33﹣11=22，所以再根据其它的两个数凑成和为22，即3+19=5+17=7+15=9+13，然后填空即可．10.【答案】2005【考点】幻方【解析】【解答】解：答：左下角所填的数是2005．故答案为：2005．【分析】通过观察可知一共有10条线，1个数字用5次，1个数字用4次，3个数字用3次，6个数字用2次，可把2000到2010看作是0到10，11个数字来进行计算，通过计算平均每条线的和在12.1和18.2之间，然后用5次的数字用5或6去试，再确定4次的数用哪个数，然后再确定其它位置上的数是多少．11.【答案】3、6、2、4、5【考点】幻方【解析】【解答】解：根据分析，可得所以最后一行前五个数依次是：3、6、2、4、5．故答案为：3、6、2、4、5．【分析】首先根据第2列的第3个数和第4个数的和是4，可得第2列的第3个数和第4个数一个是1，另一个是3；再根据第5列的第3个数和第4个数的和是3，可得第5列的第3个数和第4个数一个是2，另一个是1；再根据第4列的第2个数和第3个数的和是4，可得第4列的第2个数和第3个数一个是1，另一个是3．然后根据第1列的第2个数和第3个数的和是10，可得第1列的第2个数和第3个数一个是6，另一个是4；再根据第6列的第2个数和第3个数的和是11，可得第6列的第2个数和第3个数一个是5，另一个是6；再根据第3列的第4个数和第5个数的和是10，可得第3列的第4个数和第5个数一个是6，另一个是4；再根据第4列的第4个数和第5个数的和是11，可得第4列的第4个数和第5个数一个是5，另一个是6．最后根据第3列的第2个数和第3个数的和是8，可得第3列的第2个数和第3个数一个是2，另一个是6，或者一个是3，另一个是5；再根据每行、每列和每宫内数字不重复，判断出各个空格内的数的大小，进而判断出最后一行前五个数依次是多少即可．12.【答案】5【考点】幻方【解析】【解答】解：3+7+★=★+□+4得出□=66×3=18所以？=18﹣7﹣6=5．答：问号所代表的数是5．故答案为：5．【分析】如图，首先由3+7+★=★+□+4，推出中间的数字为6；又因每行、每列以及每条对角线上的三个数的和相等，说明行、列以及对角线上的三个数的和是6的3倍为18，由此解决问题．13.【答案】2；5；42【考点】幻方【解析】【解答】解：（1）如图，1和4是固定的，另外两格随便选，2种．如下：；（2）1和6是固定的，其余的不确定：（3）由（2）的规律已经知道，6格是5种；1、2、3确定后，剩下的6个一定是5种，比如：同理：也对各对应5个；但是例外，对应的不是5个．因为第一排右边的数限制了下面的数．如下：所以：共计5+5+5+4+2=21（种）．同理，以上所有情况倒过来后都有一一对应的种类翻了一番，共21×2=42（种）．故答案为：2，5，42．【分析】（1）要符合每横行从左到右数字由小到大，每竖列从上到下数字也由小到大排列．图一中，1只能在A的位置，4只能在D的位置，2和3可在B、C这两个格子中排列，所以共有2种方法；（2）图二中，1只能在A的位置，6只能在F的位置，2只能在B和D，5只能在C、E的位置，数字5在C，有2种排列，数字5在E，又有3种排列方法；所以一共有2+3=5（种）．（3）由（2）的规律已经知道，6格是5种，1、2、3确定后，剩下的6个一定是5种；由此进行求解．14.【答案】10【考点】幻方【解析】【解答】解：经分析试填，答案如下：【分析】首先16个方格的和为4×（1+2+3+4）=40，所以每一块的和为40÷5=8；4个数的和为8的只有1+2+3+2和1+1+2+4两种，3个数的和为8的有1+3+4、2+2+4、2+3+3三种，其中只有1+3+4三个加数各不相同，所以A只能填1、3、4，所以B只能是2，B所在块中的另外两个数只能是3+3（排除）或2+4，如图：再看C所在的块，这能填1+2+3+2或1+1+2+4，其中C右侧的数只能是重复的数，如图：事实上以上两个中2可以确定位置，以下的数字调整即可得出答案．三、计算题15.【答案】解：这九个数的和是：（4+12）×9÷2=72幻和是：72÷3=24所以，A=24﹣12﹣4=8那么A下面的格子里的数是：24﹣10﹣8=6所以，B=24﹣11﹣6=7答：A和B分别是8和7．【考点】幻方【解析】【分析】这九个数的和是：（4+12）×9÷2=72，那么幻和是：72÷3=24，所以A=24﹣12﹣4=8，那么A下面的格子里的数是：24﹣10﹣8=6，所以，B=24﹣11﹣6=7，据此解答即可．四、应用题16.【答案】解：这个幻方是：【考点】幻方【解析】【分析】﹣=，﹣=，1﹣=，1﹣1=，相邻两个数的差相等，所以这幻方中间的数就是这5个数的中位数[MISSING IMAGE: , ]，然后让最大的数和最小的数在一条直线上，剩下的两个数在同一条直线上即可．17.【答案】解：如图所示：【考点】幻方【解析】【分析】将每个面上的和全都加起来，就相当于每个点上的数都加了3次，总和为：3×（1+2+…+8），而共有6个面，则每个面上的和为=18，即每个面上的和为18，于是我们可以将这8个数字放到相应位置，满足每个面的和等于18．18.【答案】解：因为：1+9=2+8=3+7=4+6=10；按上述条件填出并调整可得到一个三阶幻方，其幻和为15．幻方如下（答案不唯一）：【考点】幻方【解析】【分析】根据题意，要使三阶幻方的幻和为15，所以中心数必为15÷3=5，那么与5在一条直线上的各个组的其余两个数的和为10，调整和为10的两个数的位置填入幻方即可．19.【答案】解：这个幻方如下：【考点】幻方【解析】【分析】把1﹣49这49个数字放入一个7×7的矩阵中，使每行、每列及对角线上的七个数字之和相等，即构造一个7阶幻方．对所有奇数阶幻方的构造，都可以采取“连续摆数法”（猴子跳楼），其法则如下：把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方．20.【答案】解：这个幻方可以是（答案不唯一）：【考点】幻方【解析】【分析】先把2、3、5写在一个上面三角形的三个顶点上，然后再根据组成其它三角形的各个顶点都是用2、3、5这三个数进行求解即可．21.【答案】解：对各个小宫格编号如下：先看己：已经有了数字1、3、6，缺少2、4、5；观察发现：5不能在第四列，4不能在第五列，而2不能在第五行；所以2只能在第六行第五列，4就在第六行第四列，5在第五行第七列；如下：观察上图发现：第四列已经有数字1、3、4、5，缺少2和6，由于2不能在第一行，所以6在第四列的第一行，那么2在第四列的第四行；如下：再看乙部分：已经有了数字3、4、6，缺少数字1、2、5，观察上图发现：5不能在第六列，所以5在第五列的第二行；1不能在第二行，所以1至你呢个在第一行的第六列，剩下的2在第二行第六列；如下：观察上图可知：第二行缺少4，所以第二行第一列是4；第六列缺少4、6，由于6不能在第四行，所以第六列的第三行是6，那么第四行就是4；第三列已经有了数字1、2、6，缺少3、4、5，4不能在第一行和第六行，所以第三列的第三行是4，3不能在第六行，所以第三列的第六行是5，那么剩下的3在第三列的第一行；如下：再观察甲部分：已经有了数字1、2、3、4、6，缺少5，所以第一行的第二列就是5；第六行的缺少数字6，所以第六行的第一列就是数字6；戊部分：已经有了数字1、2、5、6，缺少数字3、4，4不能在第一列，所以第一列的第五行只能是3，第二列的第五行就是4；第三行已经有了数字4、5、6，缺少1、2、3；第一列有了数字2、3，所以第三行的第一列就是数字1；第五列有了数字2，所以第三行第五列就是3，剩下的2在第三行第二列；丁部分缺少数字1，丙部分缺少数字3、5，3不能在第一列，所以第四行第一列是5，第二列是3；那么这个数独就是：【考点】幻方【解析】【分析】粗线把这个数独分成了6块，为了便于解答，对各部分进行编号：甲、乙、丙、丁、戊、己，先从各部分中数字最多的己出发，找出其各个小方格里面的数，再根据每行、每列、每小宫格都不出现重复的数字进行推算．22.【答案】解：1+2+3+4+5+6+7=28；令中心数为1，三条线段的总和为：28+1+1=30，每条线段上的和是30÷3=10，因为10=1+2+7=1+3+6=1+4+5．所以这个图是：【考点】幻方【解析】【分析】1～7的和为28先确定中心数，如果中心数是1，那么3条线段的上的总和就是28+1+1=30，再使每条线段上的和是10即可．。

【例题1】将1～9九个数填在下图中的方格里，每格填一个数，使每一横行、每一纵行和两条对角线上的三个数之和相等。

练习1：用1，3，5，7，9，11，13，15，17这九个奇数构成一个三阶幻方。

练习2：把4，5，6，7，8，9，10，11，12九个数填人图中的方格内，使每一行、每一列和每条对角线上的数的和都相等。

【例题2】把3，4，5，6，7，8，9，10，11九个数填人图中的方格内，使每一行、每一列和每条对角线上的数的和都相等。

练习1：把1～16这十六个数分别填入下图中的十六个方格内，使每行、每列和两条对角线上的四个数的和都相等
练习2：如下图所示，每个方格内填一个数，使得每行、每列及每条对角线上的四个方格中的数都是1，3，5，7，那么带“☆”的两个方格中的数的和等于几？
【例题3】在下图中的A,B,C,D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方。

练习1：在下图中的A,B,C,D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方。

练习2：已知下面幻方的和等于21，请将这个三阶幻方补充完整。

课后作业
1.将1-9这九个数填在图中的圆圈里，使每条线上的三个数之和都相等。

2.用2,4,6,8,10,12,14,16,18这九个数构建一个三阶幻方。

1.10.4幻方例1 将1～9九个自然数，填入下图空格内，使横、坚、斜对角每三个数的和都是15。

解：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。

我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。

由三行三列数组成的幻方，称为“三阶幻方”。

制作这种幻方的方法是：把九个自然数，按照从小到大的递增次序斜排（如图一），然后把上、下两数对调，左、右两数也对调（如图二），最后再把中部四个数各向外拉出到正方形的四角，幻方就制成了。

如果把图三制好的幻方，旋转90°、180°、270°都各成一个新的幻方。

如果画在透明纸上，反过来观察，再旋转上述角度每次所得到的幻方，也具备上述性质。

这样便可得到八个图，当然，它们并无实质上的区别。

例2 将1～9九个自然数，填在3×3正方形表格内，使其中每一横行、每一竖列及任一条对角线上的三数之和都不等，并且相邻的两个数在图中位置也相邻。

解：具备题中特征的称为“反幻方”。

据美国当代科普作家加德纳研究发现，符合上述条件的反幻方，只有两个，即：反幻方也很有趣，瞧，它的数字排列酷似个螺旋，前一个由外向内转，后一个由内向外转。

例3 认真观察下列的七阶幻方，指出它有哪些显著的特点。

解：这个幻方纵、横、斜对角的七个数和是175；如果圈出图内5×5格，也是个幻方，它的纵、横、斜五个数和也是175；圈出中心的三阶幻方，纵、横、斜三数和是75。

这个幻方的奇妙之处是：将七阶幻方，剥掉一层，就成了五阶幻方；再剥掉一层，就成了三阶幻方。

它从中心向外辐射，内部的三阶幻方是个核心。

因此，这种幻方，叫做同心幻方，也叫嵌套幻方。

例4 下图是由1～64组成的八阶幻方，如果把其中的数字逐个间隔地取出来，按原顺序重新组成两个四阶方阵，这个新的数字方阵，有什么特点？解：我们先把上图中数字逐个间隔地取出来，排成如下面的四阶方阵，再分析它们的特点。

拓展、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10。

例2、将1—7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

拓展、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

例3、把1～5这五个数填入下图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

拓展、将 10～20填入下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。

例4、将1—10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

拓展、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,22。

例5、把1—10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

拓展、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

例6、将1—6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

拓展、将1—8八个数分别填入下图的○内，使每条边上三个数的和相等。

例7、将1—8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。

拓展、将1—8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。

例8、将1—9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。

拓展、将1—9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。

例9、如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。

拓展、将1—9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。

这五个数之和最大是多少？例10、将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。

拓展、下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的九个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

三年级幻方奥数题一、幻方基础概念。

幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字之和都相等的数学结构。

在小学三年级奥数中，幻方主要涉及到一些简单的数字组合与规律探索。

1. 用1 - 9这九个数字构造一个三阶幻方。

- 解析：求幻和。

1+2+3+…+9 = 45，因为三阶幻方每行、每列、每条对角线上的数字之和相等，且三阶幻方有三行，所以幻和为45÷3 = 15。

- 中间数是5（因为1 - 9的中间数是5），然后根据幻和是15来凑数。

例如，1+9+5 = 15，2+8+5 = 15等。

一种常见的三阶幻方为：816.357.492.2. 在一个三阶幻方中，已知左上角的数字是1，幻和是15，求其他数字。

- 解析：因为幻和是15，左上角是1，那么第一行中间数为15 - 1 - （15 - 1 - 9）= 5（先根据幻和与已知数求出第一行第三个数是9，再求中间数）。

然后根据幻和依次求出其他数字。

第一列中间数为15 - 1 - 7 = 7（因为第三个数是9，幻和15，所以求出这个数），第三列中间数为15 - 9 - 3 = 3等。

完整的幻方为：159.753.753.3. 用3、4、5、6、7、8、9、10、11构造一个三阶幻方。

- 解析：先求幻和，3 + 4+5+…+11=(3 + 11)×9÷2 = 63，幻和为63÷3 = 21。

中间数是7。

然后凑数，3+11+7 = 21，4 + 10+7 = 21等。

幻方如下：1038.579.6114.4. 一个三阶幻方的幻和是18，已知中间数是6，求这个幻方的其他数字。

- 解析：因为幻和是18，中间数是6。

设左上角数字为x，第一行中间数为y。

则x + y+ (18 - x - y)=18，根据幻和与中间数的关系可知，与6在一条直线上的两个数之和为12。

例如，若左上角为4，第一行中间为8，然后根据幻和求出其他数。

第9讲第一天1.高高养了一只小乌龟，有一天突然发现乌龟壳上的纹路与下图的九宫格相似，每个格子里有一些符号分别代表2~10这9个数字，请把这些数字填在下面的方格中，要求每行、每列及每条对角线上的三个数的和都相等。

那么，幻和是（ ）。

A.12B.15C.18D.21【答案】C【解析】总和＝幻和×3，总和为2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝54，所以幻和＝18。

2.在3×3的方阵的每个格子不重复的填上2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数，使得每行、每列、每条对角线的和都相等。

那么，幻和是（ ）。

A.26B.30C.34D.38【答案】B【解析】总和＝幻和×3，总和为2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＝90，所以幻和＝90÷3＝30。

第二天1.已知三阶幻方如图所示，A 处为（ ）。

A.6B.7C.8D.10【答案】C【解析】根据幻方的特点，第一行和第三列去掉公共格，剩下的两个数的和相等，即2＋9＝A ＋3，所以A ＝8。

2.高高问途途的身高是多少，途途说他的身高是由A 、B 、C 三个字母所代表的数字依次排列组成，已知A 、B 、C 在下图的三阶幻方中。

所以途途的身高为（）厘米。

A.121B.122C.123D.124【答案】D【解析】通过比较法可得，6＋4＝9＋A ，5＋3＝B ＋6，2＋8＝6＋C ，所以，A ＝1，B ＝2，C ＝4，所以途途的身高是124厘米。

第三天1.猪八戒偷吃桃被孙悟空发现了，孙悟空说：“如果你能把这个图中的‘吃’字求出来，我就不告诉师父。

”猪八戒花了九牛二虎之力终于求出来是（ ）。

A.6B.7C.8D.9【答案】A【解析】中心数＝5，幻和＝中心数×3＝15，所以‘吃’＝15－5－4＝6。

2.刘备去诸葛亮的茅庐拜访，离开时诸葛亮给了刘备一个三阶幻方。

那么幻方中的“出”和“山”分别为（ ）。

A.4和8B.4和6C.6和8D.8和10【答案】C【解析】中心数＝5，幻和＝中心数×3＝15，所以“出”＝15－5－4＝6，“山”＝15－5―2＝8。

小学奥数练习卷（知识点：幻方）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．在右图的6×6方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的2×3长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（）A．E，C，D，F B．E，D，C，F C．D，F，C，E D．D，C，F，E 2．如图，请将0、1、2、…、14、15 填入一个的表格中，使得每行每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各一个，而除以4的商也恰为0、1、2、3各一个．表格中已经填好了几个数，那么，这个表格中最下方一行的四个数的乘积是（）A．784B．560C．1232D．528第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共42小题）3．将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数填入图中的八个圆圈中，使外面大正方形上的四个数之和是里面小正方形上的四个数之和的两倍，且大正方形两条对角线上的四个数之和相等．4．将A、B、C、D填入下面表格的空格处，使每行每列A、B、C、D都有且只有一个（也就是说有些空格可以空着不填字母）．表格外的字母表示从这个方向看进去所看到的第一个字母．等表格填好后，将两条对角线上的字母按照箭头顺序写着横线上，如果碰到空着的格子，用“×”表示（先写箭头1所指的字母串，再写箭头2所指的字母串，中间用逗号分开）：．5．从1，3，5，7，9，11，13，15，17这九个数中，任取3个不同的数（不分先后）组成一组，使该组的平均数为9，共有种取法．6．如图，在一个4×4方格表内填有1～16这16个自然数，现在从填有“1”的方格出发，每一步可以走到“相邻”的方格中（有一条公共边的方格称为“相邻”的方格），并且每个方格至多经过一次，最后走到填有“2”的方格，那么所到过的方格中所填之和最大可能是．7．在方格中分别填入1～5的数字，使得每一行、每一列的五个方格中都恰好有1、2、3、4、5这五个数字各一个，并且在每个黑色粗框中所填的数据按照左上角的运算符号进行计算后，所得的结果等于左上角的数字，则图中的三个数字A、B、C组成的三位数等于．8．如图，在图中的方格中各填入一个数字，使每行、每列以及每个由粗框所围成区域中的4个数字都恰好是2、0、1、6各一个，那么，图中“”处代表的数字是．9．图中的4×4方格被粗线分成了四个部分，请在每个小格内填入数字1、2、3或4，使得方格中的每行、每列及每个部分的四个小格中每个数字各出现1次，那么图中的A、B、C、D所代表的四个数字之和为．10．如图，在小方格内各填一个字，使每行、每列及每条对角线上的四个小方格中均含有“光明磊落”这四个字，则“？”处应填的字是．11．如图，在3×3的九个方框中，填入九个整数，使得每一横行，每一数列，每条对角线上的三个整数之和都相等（和记为A）．如果三个整数2015，1，10已填入三个方框内，那么A=．12．在如图的方格中填入9个数字，使得每行、每列及每条对角线上三个数之和都是12，则图中四个角上的数字之和为．13．图中每一行和每一列都是一个独立的等差数列，那么m×n的值是14．将1﹣9填入表中，每个数字使用一次，每个小方格填入一个数，其中1，2，3，4已经填好了．如果两个小方格有一条公共边，我们就称这两个小方格相邻．如果与填9的小方格相邻的小方格内的数之和为15，那么与填8的小方格相邻的小方格内的数之和为．15．将数字1～6填入空格中，使每行、每列及每个粗线宫内数字不能重复．灰色粗线两侧格内数字之差为1，没有灰色粗线的相邻两格内数字之差不为1．16．如图是国际象棋棋盘，将每一行的棋子数写在了棋盘左边，将每一列的棋子数写在了棋盘的上边．已知每格至多放一枚棋子，且同一行或同一列的棋子全部相连，那么，白格中共有枚棋子．17．数独游戏要求每个小九宫格型只能填上1到9的数字，且不能重复，最后填写要保证整个大九宫格的每一列，每一行的数字不重复复．根据九宫格中已经给出的数字，请你写出字母“C”所在的方格内的数字应为．18．把1～5这五个数字分别填入如图的方格中，使得横行三数之和与竖行三数之和都等于9．19．在4×4方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数，每行、每列及每条对角线上的4个数之积都相等，如图给出了几个所填的数，那么五角星所在的小方格中所填的数是．20．在图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是234，那么标有★的圆圈中所填的数是．21．在如图的9个方格中，每行、每列及每条对角线上三个数的和都相等，则x+y+a+b+c+d=．22．格里只能填上1到9的数字，且不能重复．最后填写要保证整个大九宫格的每一列，每一行的数字都不能重复，根据九宫格中已给出的数字．请你写出字母“B”所在方格内的数字应为．23．将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的和相等，这样的方阵称为4阶幻方，下面的幻方是在印度耆那种庙中发现的，请将其补充完整．24．在每个空格中填入数字1﹣4，使得每行和每列的数字都不重复．表格外的数字表示该方向所在行或列里第一个奇数或者第一个偶数，那么，第三行的四个格从左到右所填的数字组成的四位数是．25．如图，请给出一种填法，使每行、每列以及每个由粗线所围成的4个数字都恰好是2、0、1、6各一个．26．在的圆圈中填入从1到14的自然数（每一个数用而且只能用一次），使连接在同一直线上的4个圆圈中的数字之和都相等，这称为一个7阶幻星图，这个相等的数称为7阶幻星图的幻和，那么，7阶幻星图的幻和为，并继续完成以下7阶幻星图．27．在空格里填入数字2、0、1、5，或者空着不填，使得每行和每列都各有一个2、0、1、5，要求相同的数字不能对角相邻，那么第五行前五个位置依次是（空格用9表示）．28．在的圆圈中填入从1到12的自然数（每一个数用而且只能用一次），使连接在同一直线上的4个圆圈中的数字之和都相等，这称为一个6阶幻星图，这个相等的数称为6阶幻星图的幻和，那么，6阶幻星图的幻和为，并继续完成以下6阶幻星图：29．格里只能填上1到9的数字，且不能重复．最后填写完成要保证整个大九宫格的每一列、每一行的数字都不能重复．根据九宫格中已给出的数字．请你填写字母“A”所在方格内的数字应为．30．老师将一些数填入如图的圆圈内（每个圆圈内能且只能填一个数），左右两个闭合回路的三个数之和均为30，上下两个闭合回路的四个数之和均为40，若圆圈X内填的数为9，则圆圈Y内填的数为．31．在如图的七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数，现已填好两个数，那么D=．32．如图中，我们称粗实线围城的2×3的长方形为一个“宫”．请在途中所有空格里，分别填入1﹣6中的某个数字，使得每行、每列和每个“宫”内，数字1﹣6都不重复出现．其中某两个空格之间的数表示该相邻两格内数字的和或者乘积．33．如图，将3个3，4个4，5个5，6个6，7个7，填入5×5的表格中，使得相同的数字所在的方格连在一起（相连的两个方格必须有公共边），且已知A，B，C，D，E五个数字各不相同，那么五位数是．34．请将1个1，2个2，3个3，4个4，5个5，6个6，7个7，8个8填入如图所示的方格中，使得相同的数字均相连（相连的两个方格必须有公共边），且已知其中A，B，C，D，E，F六个位置上的数字互不相同，那么六位数=．35．将如图4×4方格内的两个数字进行交换，使得交换后每行、每列、每条对角线之和都相等，那么需要交换的两个数字之和为．36．在每个方格里填入数字1～6中的一个，使得每行和每列的数字都不重复．右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和．那么五位数=．37．在每个方格里填入数字1～6中的一个，使得每行和每列的数字都不重复．右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和．那么五位数=．38．在下面的6个圆圈中分别填入1，2，3，4，5，6，每个数字只能用一次，使各边上的三个数字和相等，称这个和为三角形边幻和，这样的三角形边幻和可以取到的值分别为．39．在幻方中，每行、每列和每条对角线上的数的和都相同，那么在如图所示的未完成的幻方中x应是．40．在每个格子中填入1﹣6中的一个，使得每行、每列及每个2×3长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数“相约华杯”是．41．如图，在4×4的方格中分别填入1﹣4的数字，使这四个数在每行、每列都恰出现一次，且方格中左上角的数及“+、﹣、×、÷、”符号分别表示粗框内所填数字之和、差、积和商．当左上角只有1个数字（无运算符号）时，就将该数字填入此方格中，则★×▲=．42．如图所示的方格中每行、每列及每条对角线上的5个数字之和都等于20，而图中未填数的空格中只能填3个不同的数字（这3个数字可以被多次使用），那这三个数字之和是．43．将1到16的自然数排成4+4的方阵，每行每列以及对角线上数的和都等于34，这样的方阵称为4阶幻方，34称为4阶幻方的幻和．10阶幻方的幻和等于．44．将1到16的自然数排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的和都等于34，这样的方阵称为4阶幻方，34称为4阶幻方的幻和．南宋数学家杨辉是最早系统研究幻方的数学家．他将幻方命名为纵横图，不仅给出了以下两个两漂亮的4阶幻方，还研究了10阶幻方．10阶幻方的幻和等于．三．解答题（共6小题）45．将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等．46．将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的和相等，这样的方阵称为4阶幻方．幻方起源于中国，在世界上很多地方也都有发现．下面的4阶幻方是在印度耆那神庙中发现的，请将其补充完整：47．如图是一个标准的九宫数格，那么A、B、C组成的三位数是：．48．将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的均相等，这样的方阵称为4阶幻方．南宋数学家杨辉是最早系统研究幻方的中国古代数学家，请根据下面已经给出的数字，填出两个不同的4阶幻方．49．在的圆圈中填入1到16的自然数，（每一个只能用一次），连接在同一直线上的4个圆圈中的数字之和都相等，这称为一个8阶幻星图，这个相等的数称为8阶幻星图的和．那么，8阶幻形图的幻和为，并继续完成以下8阶幻星图．50．在空格内填入数字1～6，使得每行、每列和每个粗线围成的区域里数字都是1～6恰好各一个．表外面的数字表示该行或该列的最近两个数的和．那么，第二列前四个数字按从上到下的顺序依次组成的四位数是．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．在右图的6×6方格内，每个方格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的2×3长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（）A．E，C，D，F B．E，D，C，F C．D，F，C，E D．D，C，F，E 【分析】首先根据排除法和唯一法进行分析，首先根据幻方规律排除法确定第一行第二列的数字是A，跟着这个思路全部填写出来即可．【解答】解：依题意可知：首先根据排除法看第一宫格，第一列不能有A，第二行不能有A．那么A只能在第一行第二列．幻方规律排除法确定第三行第四列也是A；第四行第四列的数字是C；接着第五行第四列就是F；那么第二行的第四列是B；继续推理得：故选：C．【点评】本题是考查对幻方的理解和运用，关键的是运用排除法找到可以确定的位置，然后空填写越多越容易填写．问题解决．2．如图，请将0、1、2、…、14、15 填入一个的表格中，使得每行每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各一个，而除以4的商也恰为0、1、2、3各一个．表格中已经填好了几个数，那么，这个表格中最下方一行的四个数的乘积是（）A．784B．560C．1232D．528【分析】首先分析数字的余数就是满足数独的规律，商也是满足数独的规律．两个格子如果余数是相同的，那么商必然不同，如果商是相同的，那么余数必然不同，枚举法即可解题．【解答】解：依题意可知：可将数独拆分成余数数独和商的数独．商的数独注意某两个格子如果余数是相同的，那么商必然不同，如果商是相同的，那么余数必然不同，利用这个条件可以填完这两个数独，再合并成原表格．所以7×8×14=784．故选：A．【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是找到余数和商满足一个相同则另一个不相同的性质．问题解决．二．填空题（共42小题）3．将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数填入图中的八个圆圈中，使外面大正方形上的四个数之和是里面小正方形上的四个数之和的两倍，且大正方形两条对角线上的四个数之和相等．【分析】1+2+3+4+5+6+7+8=36，里面小正方形上的四个数之和是：36÷（1+2）=12，外面大正方形上的四个数之和是：36﹣12=24，然后把1、2、3、4、5、6、7、8分成得数是12和24的两组，且保证大正方形两条对角线上的四个数之和相等即可．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8=36里面小正方形上的四个数之和是：36÷（1+2）=12外面大正方形上的四个数之和是：36﹣12=241+2+3+6=124+5+7+8=244+1+6+7=5+2+3+8填图如下：（答案不唯一）【点评】本题关键是根据和倍公式求出内外两个正方形上的四个数之和．4．将A、B、C、D填入下面表格的空格处，使每行每列A、B、C、D都有且只有一个（也就是说有些空格可以空着不填字母）．表格外的字母表示从这个方向看进去所看到的第一个字母．等表格填好后，将两条对角线上的字母按照箭头顺序写着横线上，如果碰到空着的格子，用“×”表示（先写箭头1所指的字母串，再写箭头2所指的字母串，中间用逗号分开）：×DC×××D，CAD ×A×C．【分析】对每行每列进行逻辑分析，把确定的字母逐个填入表格中，将空白不能填入任何字母的位置填入“×”，逐步完成整个表格．【解答】解：如下图，第一步可以确定黑色字符部分，第二步可以确定红色字符部分，最后确定绿色字符部分，完成全表．所以：1表示的字符顺序为：×DC×××D，2表示的字符顺序为：CAD×A×C．故答案为：×DC×××D，CAD×A×C．【点评】逐步通过顺推和反向反证推理，逐步可以确定全表，本题难度较大．5．从1，3，5，7，9，11，13，15，17这九个数中，任取3个不同的数（不分先后）组成一组，使该组的平均数为9，共有8种取法．【分析】首先分析数字和的平均数是9，那么可以理解为数字和为27，考虑幻和为27的幻方填写规律即可．【解答】解：依题意可知：满足幻和为9×3=27即可．中间数的3倍就是幻和，那么中间数字就是9．因为数字是等差数列可根据1﹣9的填写规律填写即可．共三行三列再加上两条对角线共8种．故答案为：8【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是找到幻和，根据数字规律填写即可．问题解决．6．如图，在一个4×4方格表内填有1～16这16个自然数，现在从填有“1”的方格出发，每一步可以走到“相邻”的方格中（有一条公共边的方格称为“相邻”的方格），并且每个方格至多经过一次，最后走到填有“2”的方格，那么所到过的方格中所填之和最大可能是129．【分析】首先分析走竖条线那么数字9走不到，再继续分析有没有比数字9小的数字可以不走．继续尝试即可求解．【解答】解：依题意可知：如果走数列走那么9走不到．但是发现当走路顺序为1﹣14﹣6﹣12﹣3﹣8﹣13﹣4﹣15﹣11﹣5﹣10﹣16﹣9﹣2．只有数字7没有走到．1+2+3+4+5+6+8+9+10+11+12+13+14+15+16=129．故答案为：129．【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是找到数字9再进行对比．问题解决．7．在方格中分别填入1～5的数字，使得每一行、每一列的五个方格中都恰好有1、2、3、4、5这五个数字各一个，并且在每个黑色粗框中所填的数据按照左上角的运算符号进行计算后，所得的结果等于左上角的数字，则图中的三个数字A、B、C组成的三位数等于455．【分析】首先分析特殊数字的填写方式再根据第三行15×可知只能是3×5．那么2﹣只能是4﹣2．第三行第五列只能是1．推理出9+只能是1+3+5．然后8=3+5．等情况，继续推理可知．【解答】解：依题意可知：①．再根据第三行15×可知只能是3×5．那么2﹣只能是4﹣2．第三行第五列只能是1．推理出9+只能是1+3+5．②如果B是3，那么7+只能是3+4，第一列的3﹣没有数字可以填写，所以B是5，第三行第一列数字是3．③再根据8+只能是3+5，所以第五行的第二列是3，第三列是5．④80×就只能是2×4×2×5，左上角填写5，右下角填写4即可．继续推理可知如图所示：故答案为：455【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键是找到题中的特殊情况15作为突破口．问题解决．8．如图，在图中的方格中各填入一个数字，使每行、每列以及每个由粗框所围成区域中的4个数字都恰好是2、0、1、6各一个，那么，图中“”处代表的数字是1．【分析】首先填写唯一确定的数字，第三行第三列数字唯一确定是2．即可推理第三行第1列数字是1．继续推理即可求解．【解答】解：依题意可知：首先填写唯一确定的数字，第三行第三列数字唯一确定是2．即可推理第三行第一列数字是1．第二行第二列唯一确定是6．即可推理第二行第四列数字是0．继续推理如图所示：故答案为：1【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键是找到唯一确定的数字为突破口．问题解决．9．图中的4×4方格被粗线分成了四个部分，请在每个小格内填入数字1、2、3或4，使得方格中的每行、每列及每个部分的四个小格中每个数字各出现1次，那么图中的A、B、C、D所代表的四个数字之和为12．【分析】首先分析能唯一确定的是第二行第二列唯一确定只能填写1，第四行第四列唯一确定只能填写1，第一行第三列唯一确定只能填写1．继续推理即可求解．【解答】解：依题意可知：①第二行第二列唯一确定只能填写1，第四行第四列唯一确定只能填写1，第一行第三列唯一确定只能填写1．继续推理填写可得如图所示：A+B+C+D=2+4+4+2=12．故答案为：12【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问是找到唯一确定的数字．问题解决．10．如图，在小方格内各填一个字，使每行、每列及每条对角线上的四个小方格中均含有“光明磊落”这四个字，则“？”处应填的字是明．【分析】首先找到唯一确定的填写：第三行第三列唯一确定只能是光．第三行第一列唯一确定只能是落．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：①第三行第三列唯一确定只能是光．②第三行第一列唯一确定只能是落．③第一行第四列唯一确定只能是落．④第四行第四列唯一确定只能是明．继续推理可知：故答案为：明【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是找到唯一确定的填写即可．11．如图，在3×3的九个方框中，填入九个整数，使得每一横行，每一数列，每条对角线上的三个整数之和都相等（和记为A）．如果三个整数2015，1，10已填入三个方框内，那么A=6018．【分析】首先分析能填写出来的数字，根据比较法可得中间数和右下角数字即可求解．【解答】解：依题意可知：根据比较法可知：a+10=2015+1．所以中间数字a是2006．再根据2006+1=10+b．右下角b就是1997．如图所示：所以和为2015+a+b=2015+2006+1997=6018故答案为：6018【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键是使用比较法问题解决．12．在如图的方格中填入9个数字，使得每行、每列及每条对角线上三个数之和都是12，则图中四个角上的数字之和为16．【分析】对角线上三个数之和都是12，所以左下角的数是：12﹣4﹣4=4；那么右下角的数是：12﹣4﹣3=5；左上角的数是：12﹣4﹣5=3；由此求和即可．【解答】解：根据分析可得，左下角的数是：12﹣4﹣4=4；右下角的数是：12﹣4﹣3=5；左上角的数是：12﹣4﹣5=3；则图中四个角上的数字之和为：4+5+4+3=16．故答案为：16．【点评】本题关键是利用幻和12与已知的数，求出图中四个角上的数字．13．图中每一行和每一列都是一个独立的等差数列，那么m×n的值是300【分析】因为每一行和每一列都是一个独立的等差数列，所以可得第一行分别为4、6、8、10，再推出左边第二列为6、9、12、15，可得m=15，然后推最后一列，公差为（25﹣10）÷3=5，n=25﹣5=20，然后求出m×n的值即可．【解答】解：第一行分别为4、6、8、10，左边第二列为6、9、12、15，可得m=15，最后一列，公差为（25﹣10）÷3=5，则n=25﹣5=20，m×n=15×20=300．故答案为：300．【点评】本题考查了等差数列的特征和有关的计算，关键是求出m和n的值．14．将1﹣9填入表中，每个数字使用一次，每个小方格填入一个数，其中1，2，3，4已经填好了．如果两个小方格有一条公共边，我们就称这两个小方格相邻．如果与填9的小方格相邻的小方格内的数之和为15，那么与填8的小方格相邻的小方格内的数之和为18．【分析】考虑9的填法，与填9的小方格相邻的小方格内的数之和为15，故9填右边，8填中间，即可求出填8的小方格相邻的小方格内的数之和．【解答】解：考虑9的填法，与填9的小方格相邻的小方格内的数之和为15，故9填右边，8填中间，所以与填8的小方格相邻的小方格内的数之和为5+6+7=18，故答案为18．【点评】本题考查幻方问题，考查学生分析解决问题的能力，确定9，8的填法是关键．15．将数字1～6填入空格中，使每行、每列及每个粗线宫内数字不能重复．灰色粗线两侧格内数字之差为1，没有灰色粗线的相邻两格内数字之差不为1．【分析】根据灰色粗线两侧格内数字之差为1，先填灰色粗线另一侧的数字，再根据没有灰色粗线的相邻两格内数字之差不为1，逐步填入数字，可得结论．【解答】解：根据数独规则就是要求在每个区域内出现的数字都为1～6，从左列第二个3×2入手，6右边是5，4右边是3，3右边只能是1，可得填右列第二个3×2，5的左边是6，6的上边是3，可得其它两格的数，可得根据灰色粗线两侧格内数字之差为1，可得填右上方3×2，根据灰色粗线两侧格内数字之差为1，可得填右下方3×2，可得填左上方3×2，可得填左下方3×2，可得【点评】本题考查六宫连续数独，考查学生动手动脑能力，属于中档题．16．如图是国际象棋棋盘，将每一行的棋子数写在了棋盘左边，将每一列的棋子数写在了棋盘的上边．已知每格至多放一枚棋子，且同一行或同一列的棋子全部相连，那么，白格中共有18枚棋子．【分析】突破口是第4行以及第6列，都是“8”，故知此列全满，以此为起点，填出所有其他行列（先找最大数或最小数比较好填．【解答】解：突破口是第4行以及第6列，都是“8”，故知此列全满，以此为起点，填出所有其他行列（先找最大数或最小数比较好填，即8→1→7→2→…的顺序：其中灰色的步骤是用到了“同一行或同一列的棋子全部相连”这一条件推导而来的，计数后最后一个途中的白色格的棋子数量，为18枚．故答案为18．【点评】本题考查数独思想，突破口是第4行以及第6列，都是“8”．17．数独游戏要求每个小九宫格型只能填上1到9的数字，且不能重复，最后填写要保证整个大九宫格的每一列，每一行的数字不重复复．根据九宫格中已经给出的数字，请你写出字母“C”所在的方格内的数字应为6．。

1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33 的数阵称作三阶幻方，知识点拨教学目标5-1-4-1.幻方（一）44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独 すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。

幻方1.概念简析：幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵,具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方,4×4的数阵称作四阶幻方,5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.幻和：是指每行或每列或每条对角线上所有数字之和。

2.解题方法：三阶幻方的性质1.幻和相等,幻和等于9个数的和除以3.2.中间数必位于幻方中心,中间数等于幻和除以3.3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.斜行的三个数相加都为21.1.如右图所示,在正方形的空格里填上适当的数,使每一横行、竖行、以及对角线上的三个数相加都为18.问第三行的三个数字从左到右组成的数为_______.2.在空格里填数,使横行、竖行、以及对角线上的三个数相加得30。

问四个角数字之和为_______.的四个数相加都等于34.1.在正方形空格里填上适当的数,使每一横行、竖行以及对角线上的四个数相加都等于34.问四个角数字之和为_______.2.在下图的方格里填上适当的数,使每一横行、竖行、以及对角线上的三个数相加都为18.问四角上的数字之和为________.的三个数相加的和都相等。

1.八戒巡山,遇到一块大石头挡路,上面写着：在方格里填上合适的数,使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等,填写正确才能过去,聪明的小朋友你会填吗？问最后一行的三位数为_________.2.请你在下图的方格里填上合适的数,使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。

问四角上的数字之和为________.的三个数相加的和都相等。

1.请你在下图的方格里填上合适的数,使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。

问第一列的三位数为_______.2.在图中填上合适的数,使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。

问四角上的数字之和为________.例5在图中,只能用图中已有的三个数填满其余的空格,并要求每个数字必须使用3次,而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都必须相等。

1. 會用羅伯法填奇數階幻方2. 瞭解偶數階幻方相關知識點3. 深入學習三階幻方一、幻方起源 也叫縱橫圖，也就是把數字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方．幻方起源於我國，古人還為它編撰了一些神話．傳說在大禹治水的年代，陝西的洛水經常大肆氾濫，無論怎樣祭祀河神都無濟於事，每年人們擺好祭品之後，河中都會爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數是3行，豎著數是3列，每塊烏龜殼上都有幾個點點，正好湊成1至9的數字，可是誰也弄不清這些小點點是什麼意思．一次，大烏龜又從河裏爬上來，一個看熱鬧的小孩驚叫起來：“瞧多有趣啊，這些點點不論橫著加、豎著加還是斜著加，結果都等於十五！”於是人們趕緊把十五份祭品獻給河神，說來也怪，河水果然從此不再氾濫了．這個神奇的圖案叫做“幻方”，由於它有3行3列，所以叫做“三階幻方”，這個相等的和叫做“幻和”．“洛書”就是幻和為15的三階幻方．如下圖： 987654321我國北周時期的數學家甄鸞在《算數記遺》裏有一段注解：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央．”這段文字說明了九知識點撥教學目標5-1-4-1.幻方（一）個數字的排列情況，可見幻方在我國歷史悠久．三階幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的：“四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七六郎賞月半，周圍十五月團圓．”幻方的種類還很多，這節課我們將學習認識瞭解它們．二、幻方定義幻方是指橫行、豎列、對角線上數的和都相等的數的方陣，具有這一性質的33⨯的數陣稱作三階幻方，44⨯的數陣稱作四階幻方，55⨯的稱作五階幻方……如圖為三階幻方、四階幻方的標準式樣，987654321 13414151612978105113216三、解決這幻方常用的方法⑴適用於所有奇數階幻方的填法有羅伯法．口訣是：一居上行正中央，後數依次右上連．上出框時往下填，右出框時往左填．排重便在下格填，右上排重一個樣．⑵適用於三階幻方的三大法則有：①求幻和： 所有數的和÷行數（或列數）②求中心數：我們把幻方中對角線交點的數叫“中心數”，中心數＝幻和÷3． ③角上的數=與它不同行、不同列、不同對角線的兩數和÷2．四、數獨數獨簡介：（日語：數獨 すうどく）是一種源自18世紀末的瑞士，後在美國發展、並在日本得以發揚光大的數學智力拼圖遊戲。

第6讲 幻方
一、知识点
将一些数填入3行3列的正方形中，使得每行、每列以及每条对角线上3个数之和都相等，这样的方形数阵图称为三阶幻方.这些相等的和称为幻和.
将91—填入三阶幻方，可得如图所示的基本三阶幻方
幻方有大有小，3行3列的幻方称为三阶幻方；4行4列的幻方称为四阶幻方，依次类推.
古代构建三阶幻方的方法为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维突出”.如图所示
9683572
41 对调
和对调
和
9173⇒ 1
6
8753249
8624、、、分别往外拉
⇒
6
1
8753294
三阶幻方的性质
（1）幻和等于幻方中心方格内所填数的3倍，即幻和=A ⨯3；
（2）所有经过中心方格的行、列或对角线上的三个数，均构成等差数列； （3）位置如c b a 、、所示的三个格子满足如下关系：a c b ⨯=+2.
二、典型例题
例1 用2724963，，，，，Λ这9个数构建一个三阶幻方.
例2 在44⨯的方格表中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等.
例3 请完成图中的三阶幻方：
例4 （1）完成左下图中的三阶幻方.
（2）在右下图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于27.
例5 在图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的5个方格中的各数之和都相等.
三、水平测试
1. 请补全下面的三阶幻方.
2. 已知下面这个幻方的幻和是21，补全这个幻方.
3.将161—填入图中16个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的各数之和都相等.补全下列幻方.。

专题16幻方1．在如图的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。

A 是 、B 是 　。

C 是 。

2．在如方格中，每行每列都有1﹣4这四个数，并且每个数在每行每列都只出现一次 。

13B 4A13．在如图方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次 ，B 应该是 。

4．在图中的方格中，每行、每列都有1一4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次 B 是 。

5．在如图所示的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。

23B4A2A应该是 ，B应该是 。

6．小游戏：如图，九宫格中左上角为“开”，其余8格分别写着下一步的移动方法，就按照这格上的指示要求移动（如“左2”，即左移2格；“下1”，即下移1格）；如果要把每一格都跳一遍（不重复），则第一次要放在第 列第 行的那一格。

7．如图的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，且每个数在每行、每列都只出现一次．A是 ，B 是 ．A.1B.2C.38．如图，在5×5的正方形方格中，排列着数字1、2、3、4、5，在每列中也恰好出现一次。

则写着X的空格中的数应当是 。

9．如表方格中每行、每列都有1～4这4个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。

想一想，A应该是 B应该是 。

322A13B10．在如图的方格里，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只能出现一次 。

11．在如图的方格中，每行、每列都有1﹣4这四个数，并且每个数在每行每列都只出现一次 ，C 是 ．12．在如图的方格中，每行每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行每列都只出现一次 ，B 是 ．13．如图是一种精简版的“数独”游戏，每行每列都只有1～4这四个自然数，并且每个数在每行、每列都只出现一次 。

14．在右面的方格中，每行、每列都有1～4这4个数，并且每个数在每行、每列都出现一次。

B应该是 ，A应该是 。