二次函数的图像和性质讲义

辅导讲义_⼆次函数的图像和性质.doc课题⼆次函数的图像和性质教学容⼀、⼆次函数概念：1．⼆次函数的概念：⼀般地，形如y ax2 bx c（ a ，b ，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做⼆次函数。

这⾥需要强调：和⼀元⼆次⽅程类似，⼆次项系数a 0 ，⽽ b ，c 可以为零．⼆次函数的定义域是全体实数．2.⼆次函数 y ax2 bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于⾃变量x 的⼆次式， x 的最⾼次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是⼆次项系数，b是⼀次项系数， c 是常数项．⼆、⼆次函数的基本形式1. ⼆次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越⼤，抛物线的开⼝越⼩。

a 的符号开⼝⽅向a 0向上a 0向下2.y ax2 c 的性质：上加下减。

a 的符号开⼝⽅向a 0向上a 0向下23. y a x h的性质：左加右减。

a 的符号开⼝⽅向顶点坐标0，00，0顶点坐标0，c0，c顶点坐标对称轴性质x 0 时， y 随x的增⼤⽽增⼤；x0 时， y 随y 轴x 的增⼤⽽减⼩；x 0 时， y 有最⼩值 0 ．x 0 时， y 随x的增⼤⽽减⼩； x 0 时， y 随y 轴0 时， y 有最⼤值 0 ．x 的增⼤⽽增⼤；x对称轴性质x 0 时， y 随x的增⼤⽽增⼤；x 0 时， y 随y 轴x 的增⼤⽽减⼩；x 0 时， y 有最⼩值c．x 0 时， y 随x的增⼤⽽减⼩；x 0 时， y 随y 轴x 的增⼤⽽增⼤；x 0 时， y 有最⼤值c．对称轴性质a 0 h，0 x h 时， y 随x的增⼤⽽增⼤； x h 时， y 随向上X=hx 的增⼤⽽减⼩；x h 时， y 有最⼩值 0 ．a 0 h，0 x h 时， y 随x的增⼤⽽减⼩； x h 时， y 随向下X=hx 的增⼤⽽增⼤；x h 时， y 有最⼤值 0 ．4. y a x h 2k 的性质：a 的符号开⼝⽅向顶点坐标对称轴性质a 0 h，k x h 时， y 随x的增⼤⽽增⼤； x h 时， y 随向上X=hx 的增⼤⽽减⼩；x h 时， y 有最⼩值 k ．a 0 h，k x h 时， y 随x的增⼤⽽减⼩； x h 时， y 随向下X=hx 的增⼤⽽增⼤；x h 时， y 有最⼤值 k ．三、⼆次函数图象的平移1. 平移步骤：⽅法⼀：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2h ，k ；k ，确定其顶点坐标⑵保持抛物线 y2h，k 处，具体平移⽅法如下：ax 的形状不变，将其顶点平移到向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax2+k y=ax2向右 (h>0)【或左 (h<0)】向右 ( h>0)【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移|k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=a( x-h)2y=a (x-h)2+k 向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位2.平移规律⽅法⼀：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成⼋个字“左加右减，上加下减”．⽅法⼆：⑴ y ax2 bx c 沿y轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y ax2 bx c 变成y ax 2 bx c m （或 y ax 2 bx c m ）⑵ y ax2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax 2 bx c 变成y a( x m)2 b(x m) c （或 y a(x m) 2 b( x m) c ）四、⼆次函数 y a x2k 与 y ax2 bx c 的⽐较h从解析式上看， y a x2k 与 y ax2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配⽅可以得h2 b，k到前者，即 y a x b 4ac b2 ，其中 h 4ac b 2 ．2a 4a 2a 4a 五、⼆次函数 y ax2 bx c 图象的画法五点绘图法：利⽤配⽅法将⼆次函数y ax2bx c 化为顶点式⽅向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图顶点、与 y 轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点y a ( x h)2 k ，确定其开⼝.⼀般我们选取的五点为：2h ，c 、与 x 轴的交点x1，0 ，x2，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下⼏点：开⼝⽅向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、⼆次函数 y ax2 bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开⼝向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b 2 ．2a 2a 4a当 x b时， y 随x的增⼤⽽减⼩；当x b 时， y 随x的增⼤⽽增⼤；当x b 时， y 2a 2 a 2a 2有最⼩值4ac b ．4a2. 当a 0 时，抛物线开⼝向下，对称轴为x b ，顶点坐标为 b，4ac b2 ．当x b 时，2a 2a 4a 2ab时， y 随x的增⼤⽽减⼩；当x b时， y 有最⼤值4ac 2y 随x的增⼤⽽增⼤；当x b ．2a 2a 4a七、⼆次函数解析式的表⽰⽅法1. ⼀般式： y ax2 bx c （ a ，b， c 为常数，a 0 ）；2. 顶点式： y a(x h)2 k （ a ，h，k为常数，a 0 ）；3. 两根式： y a (x x1)( x x2 ) （a 0， x1， x2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何⼆次函数的解析式都可以化成⼀般式或顶点式，但并⾮所有的⼆次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以⽤交点式表⽰．⼆次函数解析式的这三种形式可以互化.⼋、⼆次函数的图象与各项系数之间的关系1.⼆次项系数 a⼆次函数y ax2bx c 中， a 作为⼆次项系数，显然a0 ．⑴当 a 0 时，抛物线开⼝向上， a 的值越⼤，开⼝越⼩，反之 a 的值越⼩，开⼝越⼤；⑵当 a 0 时，抛物线开⼝向下， a 的值越⼩，开⼝越⼩，反之 a 的值越⼤，开⼝越⼤．总结起来， a 决定了抛物线开⼝的⼤⼩和⽅向， a 的正负决定开⼝⽅向， a 的⼤⼩决定开⼝的⼤⼩．2.⼀次项系数 b在⼆次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴在 a0 的前提下，当 b 0时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a⑵在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴 xb0 ，概括的在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab2a说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 c⑴当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上⽅，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；⑶当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下⽅，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯⼀确定的．⼆次函数解析式的确定：根据已知条件确定⼆次函数解析式，通常利⽤待定系数法．⽤待定系数法求⼆次函数的解析式必须根据题⽬的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．⼀般来说，有如下⼏种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，⼀般选⽤⼀般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最⼤（⼩）值，⼀般选⽤顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，⼀般选⽤两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选⽤顶点式．九、⼆次函数图象的对称⼆次函数图象的对称⼀般有五种情况，可以⽤⼀般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y ax 2 bx c ；y a x h2ya x h 2k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 k ；2. 关于 y 轴对称y 2bxc 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y 2bx c ；ax ax y a x h2ya x h 2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 k ；3. 关于原点对称y ax 2 bx c 关于原点对称后，得到的解析式是yax 2 bx c ；22y a xhk关于原点对称后，得到的解析式是ya xhk；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2 y ax2 bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是y ax 2 bx c b ；2ay a2k ．k 关于顶点对称后，得到的解析式是x h5.关于点 m，n 对称2k 关于点22n ky a x h m，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m根据对称的性质，显然⽆论作何种对称变换，抛物线的形状⼀定不会发⽣变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或⽅便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开⼝⽅向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开⼝⽅向，然后再写出其对称抛物线的表达式．⼗、⼆次函数与⼀元⼆次⽅程：1.⼆次函数与⼀元⼆次⽅程的关系（⼆次函数与x 轴交点情况）：⼀元⼆次⽅程ax2 bx c 0 是⼆次函数 y ax2 bx c 当函数值 y 0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数：①当24 ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1，0 ，B x2，0 ( x1 x2 ) ，其中的 x1，x2是⼀元b⼆次⽅程 ax2 bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离 AB x2 x1 b2 4ac .a②当0 时，图象与 x 轴只有⼀个交点；③当0 时，图象与 x 轴没有交点 .1' 当 a 0 时，图象落在x 轴的上⽅，⽆论x 为任何实数，都有y 0 ；2' 当 a 0 时，图象落在x 轴的下⽅，⽆论x 为任何实数，都有y 0 ．2. 抛物线y ax2 bx c 的图象与y轴⼀定相交，交点坐标为 (0 ， c) ；3.⼆次函数常⽤解题⽅法总结：⑴求⼆次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为⼀元⼆次⽅程；⑵求⼆次函数的最⼤（⼩）值需要利⽤配⽅法将⼆次函数由⼀般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断⼆次函数y ax2bx c 中 a ，b， c 的符号，或由⼆次函数中 a ，b， c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷⼆次函数的图象关于对称轴对称，可利⽤这⼀性质，求和已知⼀点对称的点坐标，或已知与x轴的⼀个交点坐标，可由对称性求出另⼀个交点坐标.0 抛物线与x 轴有⼆次三项式的值可正、⼀元⼆次⽅程有两个不相等实根两个交点可零、可负0 抛物线与x 轴只⼆次三项式的值为⾮负⼀元⼆次⽅程有两个相等的实数根有⼀个交点0 抛物线与 x 轴⽆⼆次三项式的值恒为正⼀元⼆次⽅程⽆实数根 .交点⑸与⼆次函数有关的还有⼆次三项式，⼆次三项式ax 2 bx c(a0) 本⾝就是所含字母 x 的⼆次函数；下⾯以 a 0 时为例，揭⽰⼆次函数、⼆次三项式和⼀元⼆次⽅程之间的在联系：⼆次函数图像参考：y=2x2y=x2y=2x 2y=2(x-4) 2x 2 y=2y=2(x-4) 2-3y=2 x 2+2y=2 x2y=2 x 2-4y=-2(x+3) 2y=3(x+4) 2x 2 y= -2y= -x 2y=-2x 2⼗⼀、函数的应⽤y=-2x 2 y=-2(x-3) 2y=3x 2y=3(x-2) 2【例题精讲】⼆次函数图像和性质常考考点：考点 1、考查⼆次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为⾃变量的⼆次函数y (m 2) x2m 2m 2 的图像经过原点，则m的值是考点 2、综合考查正⽐例、反⽐例、⼀次函数、⼆次函数的图像，习题的特点是在同⼀直⾓坐标系考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y kx b 的图像在第⼀、⼆、三象限，那么函数y kx 2bx 1 的图像⼤致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D考点 3、考查⽤待定系数法求⼆次函数的解析式，有关习题出现的频率很⾼，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知⼀条抛物线经过(0,3) ， (4,6) 两点，对称轴为 x 5，求这条抛物线的解析式。

二次函数与y=a的图像和性质【知识要点梳理】知识点1:二次函数y=a图象的特征①图象是抛物线;②对称轴是直线x=h;③顶点是(h,0)。

当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是最低点。

当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是最高点。

知识点2:二次函数y=a图象的性质从二次函数y=a图象可知:①如果a>0,当x<h时,y随x的增大而减小,当x>h时,y随x的增大而增大;②如果a<0,当x<h时,y随x的增大而增大,当x>h时,y随x的增大而减小知识点3: 二次函数y=a图象与二次函数y=a图象的关系当h>0时,可将抛物线y=a向右平移个单位得到y=a;当h<0时,可将抛物线y=a向左平移个单位得到y=a。

〖名师点拨〗解二次函数y=a的问题要注意两点:1.将抛物线y=a沿x轴左右平移可以得到抛物线y=a, 可简记为“左加右减”。

抛物线y=a的顶点坐标是(0,0),抛物线y=a的顶点坐标是(h,0),顶点始终在x轴上。

2.对于函数y=a,若a>0,则x<h时,y随x的增大而减小,x>h时,y随x的增大而增大,函数有最小值0;若a<0,则x<h时,y随x的增大而增大,x>h时,y随x的增大而减小,函数有最大值0。

【知识点过关训练】知识点1:二次函数y=a的图象1. 抛物线y=-5的顶点坐标是( )A.（-2，0）B.（2，0）C.（0，-2）D.（0，2）2. 二次函数y=3图象的对称轴是( )A. 直线x=2B. 直线x=−2C. y轴D. x轴3.对于抛物线y=2,下列说法正确的有( )①开口向上，②顶点为(0,-1)③对称轴为直线m=1④与轴的交点坐标系为(1,0)A.1个B.2个C.3个D.4个4. 平行于x轴的直线与抛物线y=a的一个交点坐标为(−1,2),则另一个交点坐标为( )A. (1,2)B. (1,−2)C. (5,2)D. (−1,4)5. 在平面直角坐标系中，函数y=-x+1与y=的图象大致是 ( )6. 在同一直角坐标系中，一次函数 y ＝ ax ＋ c 和二次函数 y ＝ a 的图象大致为（）A. B. C. D.知识点2:二次函数y=a的性质1. 关于二次函数y= -2，下列说法中正确的是（）A.其图象的开口向上B.其图象的对称轴是x=3C.其图象的顶点坐标是(0，3)D.当x＞-3时，y随x的增大而减小2. 已知抛物线y= -上的两点A(,)和B(,),如果<<−1,）那么下列结论一定成立的是（）A. <<0B. 0<<C. 0<<D. <<03. 已知二次函数y= -2,当x<−3时,y随x的增大而增大,当x>−3时,y随x的增大而减小,则当x=1时,y的值为( )A. −12B. 12C. 32D. −324. 二次函数y= 3和y=3，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴,顶点坐标都是原点(0,0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的。

第1页共12页二次函数【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义：形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝___ax 2＋bx ＋c (a ≠0)___.已知三个点的坐标时，宜用一般式.②顶点式：f (x )＝__a (x －m )2＋n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③零点式：f (x )＝___a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便.点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质图象函数性质a >0定义域x ∈R (个别题目有限制的，由解析式确定)值域a >0a <0y ∈[4ac －b 24a，＋∞)y ∈(－∞，4ac －b 24a]a <0奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈(－∞，－b2a]时递减，x ∈[－b2a ，＋∞)时递增x ∈(－∞，－b 2a]时递增，x ∈[－b2a，＋∞)时递减图象特点①对称轴：x ＝－b 2a；②顶点：(－b 2a ，4ac －b 24a)3.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、第2页共12页M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |.【知识点2】二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞ 。

2.2二次函数的图象与性质讲义知识点：主要讨论抛物线的１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向、大小３.增减性与最值。

抛物线y=ax2 (a>0) y=ax2 (a＜0)顶点坐标（，）（，）对称轴直线x＝直线x＝开口方向向向增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .在对称轴的左侧,y随着x的增大而 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .最值当x＝时，最小值为当x＝时，最大值为开口大小|a|越，开口越=(-)的图象:=(-) (≠0) 的图象可以看成=²的图象先沿轴整体左(右)平移||个单位(当>0时,向右平移;当<0时,向左平移)得到的.抛物线y=a(x-h)2 (a>0) y=a(x-h)2 (a＜0)顶点坐标（，）（，）对称轴直线x＝直线x＝开口方向向向增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .在对称轴的左侧,y随着x的增大而 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .最值当x＝时，最小值为当x＝时，最大值为开口大小|a|越，开口越(-)²+的图象:=(-)²+(≠0) 的图象可以看成=²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.抛物线y=a(x-h)2＋k (a>0) y=a(x-h)2＋k (a＜0)顶点坐标（，）（，）对称轴直线x＝直线x＝开口方向向向增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .在对称轴的左侧,y随着x的增大而 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .【例题赏析】1.已知抛物线y =ax 2+bx +c ，其中a <0，b >0，c >0，则抛物线的开口方向______；抛物线与x 轴的交点是在原点的______；抛物线的对称轴在y 轴的______.2当m =_____时，抛物线y =mx 2+2(m +2)x +m +3的对称轴是y 轴；当m =_____时，图象与y 轴交点的纵坐标是1；当m =_____时，函数的最小值是－2.3.若二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则直线y =abx +c 不经过_____象限.4.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.5.二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中（ ） A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1)6.函数y =ax +b 的图象经过一、二、三象限，则二次函数y =ax 2+bx 的大致图象是图37.下列说法错误的是（ ）A.二次函数y =－2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0B.二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大C.在三条抛物线y =2x 2，y =－0.5x 2，y =－x 2中，y =2x 2的图象开口最大，y =－x 2的图象开口最小D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 8.若二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图，则点(a +b ，ac )在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是（ ） A.43B.－43C.45 D.－45 10.若二次函数y =x 2－2x +c 图象的顶点在x 轴上，则c 等于（ ） A.－1B.1C.21D.211.在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系应为（ ）A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 1 12.物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为：s =21gt 2.其中s 表示自某一高度下落的距离，t 表示下落的时间，g 是重力加速度.若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离s 和时间t 函数图象大致为（ ）ABCD【习题精选】1.抛物线y =－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.2.抛物线y =21(x +3)2的顶点坐标是______. 3.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.4.在同一坐标系中，二次函数y =－21x 2，y =x 2，y =－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 5.抛物线y =－41x 2+1，y =－41(x +1)2与抛物线y =－41(x 2+1)的_____相同，_____不同.6.已知抛物线y =－2(x +1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是______.7.函数y =34x －2－3x 2有最_____值为_____. 8.如图1所示的抛物线：当x =_____时，y =0；当x <－2或x >0时， y _____0；当x 在_____范围内时，y >0；当x =_____时，y 有最大值_____.图19.抛物线y =x 2+1的图象大致是（ ）图210.函数y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是（ ） A.y =21(x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+21 C.y =21(x －1)2－3D.y =21(x +2)2－111.若函数y =4x 2+1的函数值为5，则自变量x 的值应为（ ）A.1B.－1C.±1D.223 12.抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第（ ）象限 A.一 B.二 C.三 D.四13.抛物线y =21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ） A.y =21(x +3)2－2 B.y =21(x －3)2+2 C.y =21(x －3)2－2 D.y =21(x +3)2+214.二次函数y =(3－m )x 2－2mx －m 的图象如图所示，则m 的取值范围是（ ） A.m >0 B.m <0 C.m <3 D.0<m <3xyO15.不论m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都（ ） A.在y =x 直线上 B.在直线y =－x 上 C.在x 轴上 D.在y 轴上16.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y =2x 2+n ，如当n =0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 三、考查你的基本功(共16分)17.(8分)试分别说明将抛物线：(1)y =(x +1)2；(2)y =(x －1)2；(3)y =x 2+1；(4)y =x 2－1的图象通过怎样的平移得到y =x 2的图象.例题赏析参考答案1.向下 两侧右侧2.－2 －2 43.第四4.(－4，－4)5.D6.B7.C8.D9.D 10.B 11.D 12.B习题精选参考答案1.向下 y 轴2.(－3，0)3.(0，3)4.y =－21x 2，y =x 2，y =－3x 25.开口方向、对称轴 顶点坐标6.x ≥－17.大 －27508.－2，0 < －2<x <0 －1 39.C 10.D 11.C 12.B 13.A 14.D 15.B 16.D17.将抛物线(1)向右平移一个单位，可得到y =x 2的图象. 将抛物线(2)向左平移一个单位，可得到y =x 2的图象. 将抛物线(3)向下平移一个单位，可得到y =x 2的图象. 将抛物线(4)向上平移一个单位，可得到y =x 2的图象.。

二次函数图象和性质【知识点归纳】1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.2、二次函数的图象及性质：（1）二次函数y=ax 2(a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条对称轴平行y 轴或者与y 轴重合的抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a ；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2ba，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2ba，y 随x 的增大而增大．（3）当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当x =－2ba 时，函数有最大值244ac b a-3、图象的平移：将二次函数y=ax 2(a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2+k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．记住规律：左加右减，上加下减4、 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=【典型例题】例1、二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则 a 0，b 0， c 0（填“＞”或“＜”＝．）例2、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）例3、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）例4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？例5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）例6、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．例7、已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5） （1）求m 的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．例8、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），每只售价为P （元），且R ，P 与x 的表达式分别为R=500＋30x ，P=170－2x ．（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？训练题A ：1．抛物线y=－2x 2＋6x －1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．2．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）3．已知二次函数y=41x 2－25x ＋6，当x= 时，y最小= ；当x 时，y 随x的增大而减小．4．抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为．5．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。

2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料07 二次函数的图像与性质◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 二次函数的解析式（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；（2）顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )． （3）交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．知识链接02 二次函数的图像与性质（1）二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．（2）二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”； k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． （3）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（ⅰ）当a >0时，y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝2b a-；当x 2b a<-时，y 随着x 的增大而减小；当x 2b a>-时，y 随着x 的增大而增大；当x 2b a =-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（ⅱ）当a <0时， y ＝ax 2＋bx ＋c图象开口向下；顶点为24(,)24b ac b a a--， 对称轴为直线x ＝2b a-；当x 2b a<-时，y 随着x 的增大而增大；当x 2b a>-时，y 随着x 的增大而减小；当x 2b a =-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．（4）函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象作图要领：（ⅰ）确定开口方向：由二次项系数a 决定；（ⅱ）确定对称轴及顶点：对称轴方程为2b x a =-，顶点24(,)24b ac b a a --；（ⅲ）确定图象与x 轴的交点情况：①若△>0则与x 轴有两个交点，可由方程x 2＋bx ＋c=0求出； ②若△=0则与x 轴有一个交点，可由方程x 2＋bx ＋c=0求出； ③若△<0则与x 轴有无交点。

二次函数专题复习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念,二次函数的图象性质,抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主,也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2b a ,顶点坐标是-2b a,244ac b a -.例1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． 1求m 、c 的值；2求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大；当a<0时,开口向下,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3、二次函数的平移当k>0k<0时,抛物线y=ax 2+ka ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向上或向下平移|k|个单位得到；当h>0h<0时,抛物线y=ax-h 2a ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向右或向左平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是=3x+22=3x-22=3x 2+2 =3x 2-2 专题练习11.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-,下列说法正确的是A.开口向下,顶点坐标为5,3B.开口向上,顶点坐标为5,3C.开口向下,顶点坐标为-5,3D.开口向上,顶点坐标为-5,3 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为0,-3,则下列说法不正确的是 A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为-1,0,3,03.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.填序号专题复习二：二次函数表达式的确定图1图2本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1、如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙墙的长度不限的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则菜园的面积y 单位：米2与x 单位：米的函数关系式为 不要求写出自变量x 的取值范围．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式：y=ax 2+bx+ca ≠0；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大小值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式：y=ax-h 2+ka ≠0； 3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式：y=ax-x 1x-x 2a ≠0. 例2 已知抛物线的图象以A-1,4为顶点,且过点B2,-5,求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A-2,0、B1,0,且经过点C2,8.1求该抛物线的解析式； 2求该抛物线的顶点坐标.专项练习21.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y 元,原价为a 元,则y 与x 之间的函数表达式为 =2ax-1 =2a1-x =a1-x 2=a1-x22.如图2,在平而直角坐标系xOy 中,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,点A 在x 轴负半轴,点B 在x 轴正半轴,与y 轴交于点C,且tan∠ACO=12,CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是 ． 3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点0,-2,且x=1时,y=3；x=-1时y=1, 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，,(23)B -，,(10)C -，．1求此二次函数的关系式； 2求此二次函数图象的顶点坐标；3填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位,使得该图象的顶点在原点． 专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根,由图象判断一元二次方程根的情况,由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等,题型主要填空题、选择题和解答题. 考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.ABC D图1菜园墙图2例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0a ≠0,a,b,c,为常数的一个解x 的范围是Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________. 考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程ax 2相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时,则一元二次方程ax 2实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中,抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是专项练习31.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示,那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示,根据图象解答下列问题：1写出方程20ax bx c ++=的两个根．2写出不等式20ax bx c ++>的解集．3写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．4若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围．图2专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型,根据二次函数的最值解决实际问题,能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：1理解问题；2分析问题中的变量和常量；3用函数表达式表示出它们之间的关系；4利用二次函数的有关性质进行求解；5检验结果的合理性,对问题加以拓展等.例1某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台．1假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式；不要求写自变量的取值范围2商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元3每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少专题训练41.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S单位：平方米随矩形一边长x单位：米的变化而变化．1求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；2当x是多少时,矩形场地面积S最大最大面积是多少2.某旅行社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满.旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数就会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高3.一座拱桥的轮廓是抛物线型如图1所示,拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m．1将抛物线放在所给的直角坐标系中如图2所示,求抛物线的解析式；2求支柱EF的长度；3拱桥下地平面是双向行车道正中间是一条宽2m的隔离带,其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车汽车间的间隔忽略不计请说明你的理由．x图1。

⼆次函数辅导讲义（学⽣版）⼆次函数辅导讲义⼀、基础知识讲解+中考考点、例题分析考点1：⼆次函数的图象和性质⼀、考点讲解：1．⼆次函数的定义：形如（a≠0，a，b，c为常数）的函数为⼆次函数．2．⼆次函数的图象及性质：⑴⼆次函数y=ax2 (a≠0）；当a＞0时，抛物线开⼝向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开⼝向下，顶点是最⾼点；a越⼩，抛物线开⼝越⼤．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。

⑵⼆次函数，顶点为（－，），对称轴x=－；当a＞0时，抛物线开⼝向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增⼤⽽增⼤，x＜－，y随x的增⼤⽽减⼩；当a＜0时，抛物线开⼝向下，图象有最⾼点，且x＞－，y随x的增⼤⽽减⼩，x＜－，y随x的增⼤⽽增⼤．解题⼩诀窍：⼆次函数上两点坐标为（），（），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线。

3．图象的平移：⼆次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。

平移的简记⼝诀是“上加下减，左加右减”。

⼀、经典考题剖析：【考题1】在平⾯直⾓坐标系内，如果将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后⼆次函数的关系式是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．⼆次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A． B. C. D.4．已知⼆次函数(a≠0）与⼀次函数y=kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所⽰，能使y1＞y2成⽴的x取值范围是_______5．已知直线y=x 与⼆次函数y=ax 2 －2x －1的图象的⼀个交点 M 的横标为1，则a 的值为（）A 、2B 、1C 、3D 、 46．已知反⽐例函数y= x k 的图象在每个象限内y 随x 的增⼤⽽增⼤，则⼆次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象⼤致为图1－2－3中的（）7、读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发⽣变化．例如：由抛物线①，有y=②，所以抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即③④。

知识框架一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质3. ()2y a x h =-的性质： 4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五、二次函数2y ax bx c =++的性质六、二次函数解析式的表示方法七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 八、二次函数图象的对称九、二次函数与一元二次方程：考点一：二次函数的定义相关典型例题【例1】下列函数中，是二次函数的是 . ①； ②； ③； ④；【例2】如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k 的值一定是_______.【例3】 二次函数y=x 2+2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 .针对性练习 1．已知二次函数，当时.2．下列各式中，y 是的二次函数的是 ( ) A ． B ．C ．D ．.3．若是二次函数，则.4．若函数是关于的二次函数，则的取值范围为 .5．已知函数是二次函数，则＝ .考点二：一般式化为顶点式典型例题【例4】分别运用公式法和配方法将二次函数y=x 2－4x+ 6化为 y=(x —h)2+k 的形式：y=___________针对性练习：1、分别用配方法和公式法把二次函数y=x 2－4x+5化成y=(x —h)2+k 的形式.2、（2011山东济宁，12，3分）将二次函数245y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则y = ．考点三：二次函数的性质典型例题【例5】抛物线与的形状相同，则=【例6】二次函数的图象，如图所示，根据图象可得a 、b 、c 与0的大小关系是（ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＜0B ．a ＞0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c<0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0【例7】、二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有_______个，交点坐标为_____________.【例8】y=x 2-3x-4与x 轴的交点坐标是__________,与y 轴交点坐标是____________. 【例9】二次函数y=-x 2+6x+3的图象顶点为_________对称轴为_________.【例10】二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为_________,对称轴为________.【例11】二次函数的顶点坐标为 .【例12】二次函数y=－x 2＋6x －5，当 时，随的增大而减小.【例13】已知点A （2，），B （4，）在二次函数的图像上，则 .【巩固练习】1．与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）A．B． C．D．2．在函数中，其图像的对称轴是轴的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．若抛物线的开口向下，顶点是（1，3），随的增大而减小，则的取值范围是（）A. B. C. D.4．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M（b，）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(1) (2)6．已知二次函数的图象如图所示，则在“① a＜0，②b ＞0，③c＜ 0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是（）A.①②③④B.④C.①②③D、①④7. 如果函数y = ax2+4x-的图像的顶点的横坐标为l，则a的值为 .8. 已知抛物线y = ax2+12x-19的顶点的横坐标是3，则 a= .考点四：二次函数图像的平移典型例题【例14】把函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是 . 【巩固练习】1．抛物线的图象可由抛物线向 平移 个单位得到，它的顶点坐标是 ，对称轴是 . 2．抛物线的图象可由抛物线的图象向 平移 个单位得到，它的顶点坐标是 ，对称轴是 .3．直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）A.(0，0)B.(1，－2)C.(0，－1)D.(－2，1)★ 学生易错点 ★题目1：如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k 的值一定是_______.题目2：下列函数中，二次函数有 个. ①；②；③；④；⑤⑥；题目3：函数与轴的交点坐标为 .题目4：已知点A （－2，），B （4，）在二次函数的图像上，则.【当堂检测】二次函数中考题练习1. （2011山东滨州，7，3分）抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位2. （2011广东广州市，5，3分）下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（ ）．A ．y = x 2B ．y = x －１C ． y = 34xD ．y = 1x3. （2011湖北鄂州，15，3分）已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34. （2011山东德州6,3分）已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象 如下面右图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是5. （2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线2y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是A ．a ＋b =－1B ． a －b =－1C ． b <2aD ． ac <06. （2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：X -7 -6 -5 -4 -3 -2 y-27-13-3353则当x =1时，y 的值为A.5B.-3C.-13D.-277. （2011山东威海，7，3分）二次函数223y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）． A ．－1＜x ＜3B ．x ＜－1C ． x ＞3D ．x ＜－1或x ＞38. （2011山东烟台，10,4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）A ．m ＝n ，k ＞hB ．m ＝n ，k ＜hC ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝hy x1 1O（A ） y x1-1 O （B ） yx-1 -1 O （C ）1-1xy O（D ）第6题图9. （2011浙江温州，9，4分）已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值－1，有最大值0 C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值10．（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) A ． a >0 B ． b ＜0 C ． c ＜0 D ． a ＋b ＋c >0 11. （2011甘肃兰州，5，4分）抛物线221y x x =-+的顶点坐标是A ．（1，0）B ．（－1，0）C ．（－2，1）D ．（2，－1）12. （2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。

二次函数图像及性质一、二次函数的定义一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，a 、b 、c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数． 注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b 、c 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．二、二次函数的图象 1．二次函数图象与系数的关系 （1）a 决定抛物线的开口方向 当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．反之亦然．a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小；a 越小，抛物线开口越大． 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反数，则形状相同、开口相反．（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2bx a=-）当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧．（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点； 当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． 3.点的坐标设法⑴ 一次函数y ax b =+（0a ≠）图像上的任意点可设为()11x ax b +，.其中10x =时，该点为直线与y 轴交点.⑵ 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图像上的任意一点可设为()2111x ax bx c ++，.10x =时，该点为抛物线与y 轴交点，当12bx a=-时，该点为抛物线顶点． ⑶ 点()11x y ，关于()22x x ，的对称点为()212122x x y y --，． 4.二次函数的图象信息⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴判断2ba-的大小．⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性． ⑸ 根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a b c ，，的等式．⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．三、二次函数的图象及性质1． 二次函数2y ax =0a ≠（）的性质：⑴抛物线2y ax =的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是0x =（y 轴）． ⑵函数2y ax =的图像与a 的符号关系．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点；2．二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质3． 二次函数2y ax bx c =++0a ≠（）或2()y a x h k =-+（0a ≠）的性质⑴开口方向：00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下⑵对称轴：2bx a=-（或x h =）⑶顶点坐标：24(,)24b ac b a a--（或(,)h k ）⑷最值：0a >时有最小值244ac b a -（或k ）（如图1）； 0a <时有最大值244ac b a-（或k ）（如图2）； ⑸单调性(单调性的概念无需掌握)：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的变化情况（增减性）①如图1所示，当0a >时，对称轴左侧2b x a <-，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧2bx a<- ，y 随x 的增大而增大；②如图2所示，当0a >时，对称轴左侧2b x a <-， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧2bx a<-，y 随x 的增大而减小；⑹与坐标轴的交点：①与y 轴的交点：（0，C ）；②与x 轴的交点：使方程20ax bx c ++=（或2()0a x h k -+=） 成立的x 值．一、二次函数的概念【例1】 已知函数2y ax bx c =++⑴当a ，b ，c 是怎样的数时，它是一次函数？ ⑵当a ，b ，c 是怎样的数时，它是正比例函数？ ⑶当a ，b ，c 是怎样的数时，它是二次函数？二、二次函数的图象及性质1、画出函数2288y x x =-+-的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．2、画出函数23(2)1y x =+-的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．【例2】 已知2y ax bx =+的图象如下左图所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限【例3】 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下右图所示，则点()P a bc ，在第 象限.【例4】 函数1y ax =+与()210y ax bx a =++≠的图象可能是( )1xyO 1BxyO1C xy O1xy O【例5】 在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可．能．是（ ）例题精讲yxOyxODC B A xyO xyO xyO O yx【例6】 在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）BCD【例7】 下左图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数by ax c=-的图象不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例8】 已知，如图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数y ax bc =+的图象不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例9】 已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：A.抛物线开口向上 B. 抛物线与y 轴交于负半轴 C. 当4x =时，0y > D. 方程20ax bx c ++=的正根在3与4之间【例10】 若二次函数222y ax bx a =++-（a ，b 为常数）的图象如右图，则a 的值为（ ）A. 2-B.C. 1D.【例11】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【例12】 二次函数2y ax bx c =++的图象如下左图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【例13】 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<③0abc >；④420a b c-+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ A ．①② B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤【例14】 已知二次函数2()0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论0ac >①； ②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大； ④0a b c -+<， 其中正确的个数（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【例15】 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc >；②20a b +>；③0a b c -+<；④0a c +>，其中正确结论的个数为（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【例16】 如下右图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点()12-，，且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1b <-；④284b a ac +>．其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【例17】 二次函数23(2)my m x -=-在其图象对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小，则m 的值为_____．【例18】 二次函数252(1)m m y m x --=-在其图象对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小，则m 的值为_____． 【例19】 已知点()15A x ，，()25B x ，是函数223y x x =-+上两点，则当12x x x =+时，函数值y = .【例20】 已知22934y x x =++，当x 取不同的值1x ，2x 时函数值相等，则当12x x x =+时的值（ ）A.与1x =的函数相等．B.与0x =的函数相等．C.与14x =的函数相等．D.与94x =-的函数相等．【例21】 若二次函数22m y mx -=有最大值，则m =________． 【例22】 若二次函数21my mx +=有最小值，则m =________．【例23】 二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是 （ ）A ．（-1，-2）B ．（1，-2）C ．（-1，2）D ．（1，2）【例24】 抛物线()()213y x x =+-的顶点坐标是（ ）．A ．()1,3--B ．()1,3C ．()1,8-D ．()1,8-【例25】 已知1a <-，点(1a -，1)y ，(a ，2)y ，(1a +，3)y 都在函数2y x =的图象上，则（ ）A. 123y y y <<B. 132y y y <<C. 321y y y <<D. 213y y y <<【例26】 已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()()()123257A B C ，，，，，．若点()12M y -，，()21N y -，，()38K y ，也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则下列结论正确的是（ ）．A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<【例27】 若1134A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，254B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，314C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<【例28】 已知二次函数()2110y a x b =-++和()2250y b x a =--+分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有 个交点． 【例29】 已知抛物线()20y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，且经过点()()1212y y -，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y ____2y （填“>”，“<”或“=”）【例30】 已知二次函数()()2223y m x mx m =-+--的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是_________________． 【例31】 设抛物线为21y x kx k =-+-，根据下列各条件，求k 的值．⑴ 抛物线的顶点在x 轴上； ⑵ 抛物线的顶点在y 轴上； ⑶ 抛物线经过点(1,2)--； ⑷ 抛物线经过原点；⑸ 当1x =-时，y 有最小值； ⑹ y 的最小值为1-．【例32】 已知点()5A a b +-，与点()13B a b -，关于原点对称，求函数2y x ax b =++的顶点坐标．【例33】 设23y x ax a =++-， 当x 取任意实数时，y 恒为非负数，求a 的取值范围；【例34】 设直线y kx b =+与抛物线2y ax =的两个交点的横坐标分别是12,x x ，且直线与x 轴的交点的横坐标为3x ，求证：123111x x x +=．。

二次函数的图象和性质例题讲解：例1、在平面直角坐标系中画出y=x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2的图象y=x2表格：x -2 -1 0 1 2 yy=-x2表格：x -2 -1 0 1 2 yy=2x2表格：x -2 -1 0 1 2 yy=-2x2表格：x -2 -1 0 1 2 y通过画图我们可以得出二次函数y=ax 2的性质：1、二次函数的图象叫做_________，是__________图形；顶点坐标是______，对称轴是__________2、a>0，开口向_____；a<0，开口向_____3、|a|越大，开口越____；|a|越小，开口越____例2、抛物线215y x =-不具有的性质是（ ） A.开口向下 B.对称轴是y 轴 C.与y 轴不相交 D.最高点是坐标原点例3、如图所示,在同一坐标系中,作出①23x y = ②221x y = ③2x y =的图象则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 (填序号)例4、下列说法错误的是（ ）A ．二次函数y=3x 2中，当x>0时，y 随x 的增大而增大B ．二次函数y=－6x 2中，当x=0时，y 有最大值0C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点思考：对于二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)，既然a 控制抛物线的开口，那么b 和c 控制什么呢？知识点三：函数的图象和性质知识回顾：函数平移法则:_______________________________例1、将y=2x 2向右平移3个单位，再上移1个单位，所得新的抛物线的解析式为__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________再看更一般的情况：将y=ax 2向右平移h 个单位，再上移k 个单位，所得新的抛物线解析式为_________________________________叫做二次函数的顶点式，顶点坐标（ ， ） ， 对称轴是_________________总结：要确定二次函数的顶点和对称轴，可用配方法把它配成顶点式，再根据平移的思想判断出来例2、求二次函数y=x 2-2x+4的顶点坐标和对称轴 例3、求二次函数y=-x 2-4x-6的顶点坐标和对称轴例4、抛物线22-=x y 的顶点坐标为（ ）A ．（2，0）B ．（-2，0）C ．（0，2）D ．（0，-2）例5、抛物线2(1)3y x =-+的对称轴是（ ） A 、直线1x =B 、直线3x =C 、直线1x =-D 、直线3x =-例6、抛物线 y ＝-2(x ＋1)2＋3的顶点坐标是1、函数y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（ ） A.（2，-7） B.（-2，7） C.（-2，-7）D.（2， 7）2、抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1）3、 y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（ ）A ．x=－1B ．x=1C ．y=－1D ．y=14、抛物线y=x 2-2x+1的对称轴是 ( )A 、直线x=1B 、直线x=-1C 、直线x=2D 、直线x=-25、二次函数的最小值是（ ）．A 、2B 、1C 、－3D 、236、抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x7、抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x 轴上D. y 轴上2(1)2y x =++8、函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)9、将二次函数322+-=x x y 配方成k h x y +-=2)(的形式，则y=______________________10、对于2)3(22+-=x y 的图象下列叙述正确的是（ ）A 、顶点坐标为(－3，2)B 、对称轴为y=3C 、当3≥x 时y 随x 增大而增大D 、当3≥x 时y 随x 增大而减小11、用配方法把y ＝-x 2＋4x ＋5化为y ＝a(x-h)2＋k 的形式为y ＝ ，其开口方向 ，对称轴为 ，顶点坐标为12、若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y=___________13、已知抛物线y= -2（x+3）²+5，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______定理：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0）的顶点坐标是24(,)24b ac b a a --，对称轴是直线2b x a=-222222222222222证明：y =ax +bx +cby =a(x +x)+c(把a 提出来)a b b by =a[x +x +()-()]+c(配方法：加上一次项系数一半的平方）a 2a 2a b b y =a[(x +)-]+c（配成完全平方公式）2a 4a b b y =a(x +)-+c（乘法分配律）2a 4ab 4ac -b b 4ac -b y =a(x +)+（通分、合并，-+c =)2a 4a4a 4a由二次函数顶点式y =a(x -h)+k 得h =222b 4ac -b -，k =2a 4ab 4ac -b b∴二次函数y =ax +bx +c 的顶点坐标是(-,)，对称轴是直线x =-2a 4a 2a例7、抛物线942++=x x y 的顶点坐标是___________，对称轴是 ，有最____值______例8、二次函数y=mx 2-2mx-1+m 的顶点坐标是___________，对称轴是例9、已知抛物线y=x 2－8x ＋c 的顶点在x 轴上，则c 的值是（ ） A ．16 B ．－4 C ．4 D ．8例10、二次函数y=(x －3)(x ＋2)的图象的对称轴是（ ） A ．x=3 B ．x=－2 C ．x=12- D ．x=1214、抛物线221y x x =--+的顶点在（ ）A 、 第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限15、若0b <，则二次函数21y x bx =+-的图象的顶点在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限16、已知二次函数2y ax bx =+的图象经过点11A -（，），则ab 有 ( ) A 、最小值0 B 、最大值 1 C 、最大值2 D 、有最小值14-17、抛物线251222+-=x x y 的开口方向 ，顶点坐标是18、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿19、函数x x y +-=22有最_____值，最值为_______20、若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在x 轴上，则b 的值为_____21、二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是______________22、如果抛物线2y ax bx c 与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x ，那么ac b23、函数2y x px q 的图象是以3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为24、二次函数有最小值为1，当0x 时，1y ，它的图象的对称轴为1x ，则函数的关系式为_________25、已知二次函数215222y x x =+-，求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值26、直接写出下列函数的开口方向、顶点坐标、对称轴，最值 （1）12212+-=x x y （2）2832-+-=x x y （3）4412-+-=x x y27、请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，且与y 轴的交点在x 轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为28、请你写出函数2)1(+=x y 与12+=x y 具有的一个共同性质：_______________29、有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线4 x；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：_______________30、已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________。

二次函数图像及性质一、二次函数的定义一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数,其中x 为自变量，y 为因变量,a 、b 、c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而b 、c 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．二、二次函数的图象 1．二次函数图象与系数的关系 （1)a 决定抛物线的开口方向 当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．反之亦然．a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小;a 越小，抛物线开口越大． 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反数,则形状相同、开口相反． (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2b x a=-) 当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当a 、b 异号时,对称轴在y 轴的右侧．（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为原点； 当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．2.二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． 3。

二次函数的图像与性质抛物线y=ax+bx+c与坐标轴的交点:①抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）②抛物线与x轴的交点坐标为(x1,,0) (x2,,0),其中x1,、 x2是方程ax2+bx+c=0的两个实数根。

抛物线与x轴的交点情况：（可由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式判定）①△＞0⇔抛物线与x轴有两个交点；②△＝0⇔抛物线与x轴有一个交点；③△＜0⇔抛物线与x轴没有交点。

抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用：(1)a决定抛物线形状及开口方向:①若|a|相等，则形状相同。

②a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下。

③ |a|越大,开口越小.(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x= -b/2a 故①若b＝0⇔对称轴为y轴；②若a与b同号⇔对称轴在y轴左侧；③若a与b异号⇔对称轴在y轴右侧。

(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。

当x＝0时，y＝c ，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)。

①c＝0⇔抛物线经过原点；②c＞0⇔抛物线与y轴交于正半轴；③c＜0⇔抛物线与y轴交于负半轴。

（4）判断a＋b＋c的符号：可以看图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为何值决定正负。

判断a－b＋c的符号：可以看图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为何值决定正负。

利用待定系数法求二次函数的方法：①已知抛物线过三点，设一般式y=ax2+bx+c ②已知抛物线顶点（对称轴、最值）及一点，设顶点式y=a(x-h)2+k③已知抛物线与x轴的两个交点（抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式y=a(x-x1)( x-x2) 其中x1 、x2是抛物线与x轴交点的横坐标。

赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，， 且2t t -，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，， 且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+．)图(1)图(2)天)图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价．故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593； ③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56． 综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++） （2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-，2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）．解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式． （2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令M N x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．B A D MF第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b=+⎧∴⎨=+⎩ 解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=．B 图(1)图(2)l3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。

二次函数 专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a <向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a <向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a <向下 ()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2 2. 平移规律方法一： 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()h k ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ． 0a < 向下 ()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 二次函数图像参考：∆>抛物线与x 轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0∆= 抛物线与x 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0∆<抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.十一、函数的应用【例题精讲】二次函数图像和性质常考考点：考点1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 考点 2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D考点3、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x 2y=x 22y=2x 2y=x 2y=-2x 2y= -x 2y= -x 22y=2x 2-4y=2x 2+2y=2x 2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x 2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x 2已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。