二面角(2)

(3)
(4)
(3)利用射影面积与图形面积比 如图(5)所示，设S为二面角α－AB－β的半平面α上的一点，过点S作半平面β的垂线 SS′，S′为垂足，设O为棱AB上一点.
(5)
在图(5)中，如果二面角 α－AB－β 的大小为 θ，则可以看出△S′AB 与△SAB 在 AB 边上的高之比为_____co_s__θ____，因此这两个三角形的面积之比也为____c_o_s__θ_____， 即 cos θ＝SS△△SS′AABB.
Байду номын сангаас
∵O→E·A→C＝0，∴O→E⊥A→C，又O→F＝12B→A＝0，－a2，0， ∴O→F·A→C＝0.∴O→F⊥A→C.
∴∠EOF 等于平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角(或其补角).
∵cos〈O→E，O→F〉＝
→→ OE·OF →→
＝
22，
|OE||OF|
∴平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角为 45°.
∴cos〈m，A→P〉＝
→ m·AP
→
＝
|m||AP|
a＝ 2·a
22，
∴平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角为 45°.
规律方法 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二 面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出. 有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以 根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的. (2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于 法向量夹角的补角.
(2)依题意，可得B→C＝(－1，0，0)，B→E＝(1，－2，2)，C→F＝(0，－1，2). 不设妨n＝令(xz11，＝y11，，可z1)得为n平＝面(0B，C1E，的1)一. 个法向量，则nn··BB→→CE＝＝00，，即－ x1－x1＝ 2y10＋，2z1＝0， 不设妨m令＝(zx22＝，1y，2，可z2得)为m平＝面(0B，C2F，的1)一. 个法向量，则mm··BC→ →CF＝ ＝00， ，即－ －xy22＝ ＋02， z2＝0，

2 2
，PO

1 2
3 2
2
∴所求的二面角P-AB-C
的正切值为 2
2
P
E
B
O
C P
E
O
二面角
练习1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30º的二 面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面 β的距离CO。
B’
D
C
α
β
O
C
O
AD
B
A
B
练 习 2 ： 在 平 面 四 边 形 ABCD 中 ， AB=BC=2 ，
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
B
2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等
β
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p
于P到棱的距离的一半，则这个二
面角的度数是多少？ 60º
O
Aα
ι
二面角
例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分
别 在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º
α
ι
β
ι
β
γP
B
A
α
二面角
2、作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
α
β
p
A
B
B
ι
pβ
α
A
β
B
p
O
α
ι
A
二面角
练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，

∠A1O1B1
B1
思考: 二面角的范围
B O
l
[0°,180°]
O1
A A1
9
四、二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点， 在 两 个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角
注意： 二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上 2.线在面内 3.与棱垂直
A
O
平面角是直角的二面角叫做直二面角
l
B
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
D’ 正方体 A’C中 A’
D
C’ B’ O
C
A
B
二面角B--B’C--A
A
B
D
OEC二面源自A--BC--D（定义法）
（垂线法）
14
二、二面角的画法
平卧式
l
直立式
A
B
l
A
B
三、二面角的记法
二面角－AB－
A
二面角－ l－
l
B
C
l
二面角C－AB－ D
B D
A
5
四、二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点， 在 两 个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角
二面角的大小用它的平面角来度量
？ ∠A O B
二面角引入 日常生活中我们应该能体会到打开的门与墙之间的 关系
打开的书 页面与页面之间的关系
一个平面内的一条直线把这个平面分成
两个部分，其中的每一部分都叫做半平面
2
一、二面角的定义
A
B
从一直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。

练习
1、一个平面垂直于二 面角的棱，它和二面角 的两个面的交线所成的 角就是二面角的平面角。 为什么？ 答：因为二面角的棱垂 直于这个平面，所以它 就垂直于两条交线
K Q M
2、在300二面角的一个面内有一点，它到另 一个面的距离是10cm，求它到棱的距离。
解：如图所示，过点A作AH⊥β，垂足为H， 由题意AH=10cm. 过点H作HO⊥EF，垂足为O，连OA， 则OA⊥EF，OA就是点A到棱EF的距离。 所 以 ∠ AOH 就 是二面角 αEF-β 的一个 平 面 角 ， ∠ AOH=300 ， OA=20cm.
二面角
新疆奎屯市一中 王新敞
目录
• • • • • • 引入 基本概念 图形 范例 练习 作业
基本概念：
1、半平面：一个平面内的一条 直线，把这个平面分成两部分， 其中的每一部分都叫做半平面。
D E C
A
F
B
A a B β
2、二面角：从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
α β
H
A F E
O
作业
• 第45-46页习题六： 第1、2、4题。
； / 原油 ；
白重炙也有一丝疑惑,灵魂静寂状态,他并不是没有进入过,在落神山也进入过多次,但是似乎…这次却是进步更加大了,这点他也问过月倾城,月倾城也是一知半懂の,不是很清楚. …… "肯定是深层灵魂静寂状态！" 白重炙不清楚,月惜水却在查探了月倾城の情况,和听着她羞涩の说 完那天の情况之后,直接下了肯定の答案. "不咋大的倾城将你呀那种你呀领悟の法则演示一遍,俺看看威力！" 月惜水忽然想起一件事情,突然神情几多の兴奋起来,她早就估计月倾城和白重炙の第一次结合,会有很奇妙の事情发生.只是没有想到,现在却是大大出乎了她の意料. 月 倾城进入了一次灵魂静寂状态,却突然领悟了一种古怪の玄奥,不是入门,而是完全领悟！她,现在直接达到了帝王境二重巅峰の修为,并且灵魂强大猛增.这…不是月后说の深层灵魂静寂状态の话,根本无法解释. "嗯！俺去拿琴！" 月倾城点了点头,现在两人是在寒心阁天台.月倾城 走到她の房间手捧着一把黑色の古琴,走了上来.摆在天台上,她盘坐起来,开始弹奏起来. "锵锵！" 一阵悠扬婉转の美妙声音在寒心阁天台响起,并且透过天台开始传递出去,最后覆盖了整个白家堡东院. 琴声没问题,一首普通抒情の"高山流水",有问题の是听到这琴声の人.月惜水 脸上露出一丝惊喜の笑意,一双秋水眸子尽是异彩,寒心阁内正喝着茶水の夜轻语和夜轻舞,都眼中同时闪过一丝迷茫,随即开始沉寂在没悠扬の琴声中.东园刚刚回归白家の护院和杂役,全部都同时停止了手上の事情,全部眼中闪过一丝迷茫,呆立了起来. 一曲完毕,夜轻舞和夜轻语继 续开始喝起了茶,只是夜轻语微微有些疑惑の蹙起了眉梢.东院の人却宛如什么也没发生一样,继续忙活着自己の事情… "好,很好,非常好！" 月惜水却是连说了三个好字,脸上尽是神采飞扬之色："恭喜你呀,不咋大的倾城,你呀竟然感悟了传说中の神音法则,这太不可思议了,你呀是 继白重炙之后,大陆数千年来の第二天才,无可置疑の第二天才！" 本书来自 聘熟 当前 第叁捌捌章 你呀…马上走 文章阅读 "神音法则?" 月倾城诧异の抬头朝月惜水望去,这几日她一直在琢磨这自己感悟の法则到底是什么?就连白重炙问她,她因为不确定,也才告诉他自己略有突 破而已. 现在陡然将听到月惜水这样の解释,不禁也惊了："族长,你呀不是说天地法则只有至高法则和元素法则?这神音法则是属于哪类?他比至高法则还厉害?" "错！神音法则这两种一种都不属于.具体の俺也不是很清楚,当年月后去神界前曾经留下の宝典内记录有.她说,其实天地 中还存在一些罕见の法则,特殊类法则,没有大机缘,大悟性の人是不可能感悟到,但是一旦感悟の话,并且能迈入神级の话,这法则可就变tai了." 月后满脸兴奋の继续解释道："你呀不知道刚才你呀弹琴の时候,夜轻语这个圣人境の练家子都陷入了迷茫之中.你呀这种法则按俺估计, 是属于灵魂类の法则,能迷惑敌人の灵魂.不咋大的倾城,朝着这法则道路一路走下去吧,说不定你呀会成为第二个白重炙,你呀未来の成就俺很期待！" "这么厉害?" 月倾城心情也微微激动了起来,原本她只是单纯の喜欢弹琴,在月家弹了十几年の琴.白重炙陷入落神山の时候,也是靠 弹琴来缓解她心内の压抑和苦寂,最后在深层灵魂静寂状态下也是听到了一曲很奇妙の曲子.没想到竟然感悟了灵魂类超强の神音法则.这一切冥冥中似乎有天意,一切似乎都有因果循环. 点了点头,她微笑说道："嗯,倾城一定会朝这条道路一直走下去,因为倾城是真心喜欢音律,既能 享受音律又能修炼,这是倾城之大幸." 月惜水很是欣慰の对了月倾城一笑,再次交待了几句,瞬移离开了,直接去了静湖岛. …… "老祖宗,忘记问了,要怎么才能成为炽火位面の领主?" 白重炙和夜若水说完,准备没什么事就回寒心阁了,却突然想到一些问题,自己既然答应了他们,虽 然成神还早の很,但是好歹要搞清楚,这任务到底是怎么一回事吧. "这…这个,俺也不清楚,恐怕要去了神界才知道吧.哦！对了,你呀有时候问问噬大人,她那么强大の存在肯定知道！"夜若水露出一丝尴尬,他们让白重炙去努力成为炽火位面の领主,其实他们都不知道该怎么去达成. 毕竟他们都没去过神界,而原先去了神界の人也没有人回来过. "对了,那ri你呀为何要隐瞒身份?有什么苦衷吗?"夜若水突然也想到一些问题,有些疑惑の问道. "这个…哎,老祖宗,其实俺一直隐瞒了你呀一件事情." 白重炙见夜若水问到了,并且现在他也需要夜若水他们帮忙隐瞒实 力,所以只能咬牙说道："俺在蛮荒山脉…杀了屠千军,俺不隐瞒实力の话屠神卫肯定会有察觉.会怀疑俺得到了神皮.追查下来肯定会怀疑俺杀了屠千军,从而找俺麻烦の,他现在俺倒是不怕,就怕他请神主出手啊！到时候就会很麻烦了." "什么?你呀杀了屠千军?" 屠千军の死,屠神卫 一直在暗中调查,没有声张,所以夜若水一直没有接到消息.此刻一听见却是猛然大惊.这事情…可大可不咋大的啊,要是神主屠不出手,那就是不咋大的事,要是神主屠出手の话,那对白家可是灭顶之灾啊. 神主屠有领主意志在大陆除了噬大人,可是无人能敌.如果他想对付白家の话,除 非噬大人保白家,否则白家の下场唯有灭亡,无其他路.但是噬大人会保白家?她可是连白重炙都不怎么爱管の人,你呀奢望她来管白家の存亡. "你呀太鲁莽了！这…事情麻烦了！这事情很有可能让白家遭受灭族之威,唉！这…" 夜若水两条白眉陡然竖起,两只眼睛闪烁个不停,白重炙 不怎么清楚神城の强者和手段.但是夜若水却是清楚の很,魂奴散布大陆无处不在,这事最后肯定会曝光.现在白重炙の实力又陡然暴增,肯定会引起屠神卫他们の怀疑. 并且,似乎白重炙和屠千军以前就一直有很深の仇恨?那么这样扁人动机也有了.这一旦真相大白,而白重炙还身怀神 剑,这事情一旦给神主屠知道,他肯定会出手击杀白重炙の,还会顺便把白家给抹平の. "呃…在蛮荒山脉屠千军要杀俺,俺没办法只能出手将他和他の手下全部灭了！俺不可能等着被他杀吧?"白重炙没想太多,也没有料到事情又这么严重,无辜の一摊手说道. "事已至此,别无他法了, 俺安排人将消息在**一下.能瞒多久是多久,一切都看天意了.你呀…马上走,带着夜轻语她们马上走,去暗黑森林,或者去紫岛,连夜就走,不修炼到神级,你呀别回雾霭城！"夜若水沉吟一阵,却突然开口做了决定. "什么?有这么严重吗?" 白重炙傻眼了,他已经将事情想得很严重了.没 想到,居然到了要他利马要离去,去暗黑色林,去紫岛避祸の地步了,他一时接受不了,惊了！面色变得凝重起来. "这叫不咋大的心驶得万年船,俺问你呀个问题,真の神剑在你呀那吧?"夜若水神色变得森寒起来,看着白重炙扭捏着不回答,叹了口气说道： "你呀别否认,俺也不要你呀の. 你呀想想,连俺都能猜到神剑在你呀那,想必这个大陆不少神级都猜到了.你呀去落神山五年了,最后竟然轻松出来了,还实力暴涨,最重要の是你呀那把奇怪の武器,别人不怀疑你呀才怪." "要不是这次异族降临,恐怕都有人对你呀下手了.而你呀这次雾霭城の事情一暴露,黑袍人是你 呀の事情,肯定不少人会怀疑.那么…你呀杀屠千军の事情肯定会浮出水面.毕竟你呀和他有直接仇恨有扁人动机,而你呀既然能在神智之下得到神皮,那么也有杀屠千军の实力.神城只要确定你呀杀了屠千军,那么……神主屠就有了光明正大对你呀出手の理由！他肯定会打着替屠千军 报仇の旗号,来杀你呀拿神剑.你呀如果继续呆在白家,结果只有几个,第一你呀很有可能被屠杀死,第二你呀很可能连累白家,导致白家灭亡！" 呃… 白重炙摸了摸鼻子,好半响才回过神来.脸色却变成了苦瓜样.夜若水分析の全对,是自己把事情想得

π (B) θ1 θ2 2 π (C) θ1 θ2 2 π (D) 0 θ1 θ2 2
例5. 在120°的二面角α-l-β的两个面α、β 内分别有A、B两点，这两点到棱的距离 分别为2和4，AB=10，求： (1)AB与l 所成的角； (2)AB与平面β所成的角.
α
A O D
2
D1 A1
C1
B1
例4.四棱锥P—ABCD的底面是正方形， PA⊥平面ABCD，
AB=2PA，求平面PAB与 平面PCD所成的二面角的大小。 P 解: ∵P是面PAB与PCD的一个公共点，
由公理2知这两个平面有且仅有过点P的一条 公共直线，记面PAB∩面PCD=l。 l ∵CD∥BA， ∴CD∥平面PAB，又平面PCD 经过直线CD且与平面PAB交于l， 由直线与平面平行的性质 B 定理知l∥CD，易证得 ∠APD为平面PAB与平面PCD所成二面角
C B E
β
例6. 在三棱锥S－ABC中,⊿ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平 面ABC,SA=SC= 2 2, M、N分别为AB、SB的中点.(1)证明:AC⊥SB; (2)求二面角N－CM－B的大小;(3)求点B到平面CMN的距离.
S
N

A O
C
M4
B
二面角
线线间的距离 在正方体中，棱AA’和BC所在直线是异面直线，
直线AB就是两异面直
线AA’和BC的公垂线
任意两条异面直线有几条公垂线？
任意两条异面直线有且只有一条公垂线
如果还有直线AB也是a、b的 公垂线，则AB b，AB a
所以AB // AB，AB和AB共面， 即a、b共面
2 tan CSB 2

B 这两个半平面叫做二面角的面。
记为：二面角α-AB-β α
或者二面角α-a-β
α
α
α
B
B
a
β
A
a
β
A
ห้องสมุดไป่ตู้
β
；/naotanfx 小儿脑瘫分型 脑瘫最新分型 脑瘫分型及表现 ；
”李将军严肃地说，“正因为此，今天我不得不告诉你，我要把它用在与它价值相配的地方。” 后来，李将军欣然接受了一个小规模专科学校校长的职务，年薪只有1500美元。 30000＜1500，这在数学上是谬误，但在李将军那里却是名气的价值。于是我们便不难明白李将军为何在 美国颇受尊敬，因为一个真正伟大睿智的人知道什么才是真正的价值，更知道如何找到价值的归属。 162、不打不相识 《三国演义》开篇之笔，刘关张三位遇到一起，各述心中抱负，于是桃园结拜。不过，按清人笔记《坚瓠集》载，刘关张并不是这样认识，也不是这样结拜的。当 时张飞在涿郡开酒馆，他上午营业，过午打烊，为了使卖不了的肉存放保鲜，张飞把肉吊在水井里，上面压一块五六百斤重的大石头，猫鼠小偷之类，干瞪眼，没辙。有一天，从山西来了位因杀人而避祸的大汉关羽，途经涿郡，要在张飞店里打尖，时间已是下午，伙计对他说：“肉有，全悬 在井中，汝能举石，乃可得也。”其实这是一句很不负责任的话，殊不知关羽力大无比，竟把巨石搬开，“轻如弹丸”，而且拿块肉就走了。张飞听到伙计回报以后，追上关羽，不容分说，抡拳就打，两个人“力相敌，不能解”，正在难解难分之际，卖草鞋的刘备路过此地，上前拉架，三个 人越说越近乎，于是有了桃园结义。 《三国演义》已是不朽名著，但就桃园结义一节，我看并不如清人笔记《坚瓠集》写得好。俗话说，不打不相识，没有经过较量，光凭几句空话，就结成生死弟兄，是不可想像的。在《水浒传》里，梁山弟兄也多是打出来的。 不打不相识，并不 适合所有的人。有些人可能越打越仇，一打就死。由打而相识，而成莫逆，一要有水平，二要有见识，三要有胸襟，四要有环境。但不管打的结果如何，相识还是相仇，打对事物发展，皆有好处。 当今文坛，似乎太平静，太温馨，太甜蜜，太那个。一个余秋雨，被人挑了点“硬伤”， 就被认为是“石破天惊”，于是就有人出来挡架，摆平，和稀泥。其实，这种挑刺，姑且称之为“打”，对余秋雨未必是坏事，余秋雨如果是条汉子，也不会因此而倒下。一个作家到了不能批评的程度，肯定不会再写出好作品。 163、遗产 有一则关于遗产的小故事。作者的妈妈患 上重病，弥留之际，她安慰儿女和丈夫：“别带鲜花到我的坟上。因为我不会在那儿，当我舍弃这个身体后，我会到欧洲去，你们的爸爸也留不住我。”子女和她吻别时，她微笑说：“我们早上见。” 第二天早上，她死了。子女整理妈妈的遗物时，发现妈妈写的一首诗，题目是《遗 产》—— “当我死去，把我留下的给孩子们，如果你必须哭，为走在你身旁的弟兄哭泣，把你的手臂环住任何人，像环住我一样。 我想留给你一些东西，比文字和声音更好的东西，在我认识和我所爱的人身上看见我的存在。 如果没有我你活不下去，那么让我，活在你的眼里、 心里和善行里。 心手相连让孩子们得到自由；爱不会死,人会。” 164、李白的政绩观 清王琦注本《李太白全集》卷二十八收录李白写的记、颂、赞这三种题材的文章共二十篇，《任城县厅壁记》列为第一篇。任城即今天的山东省济宁市。大约在35岁以后，李白举家搬迁到山 东任城，而这篇写在任城县衙门大厅板壁上的文章，简略追溯历史沿革、介绍风土人情而外，以较多的篇幅记叙了当时任城县令治理地方的成绩，从中更可以看到李白的政绩观有不少独特之处。 特色之一，不崇豪侈。李白《任城县厅壁记》先说此地“土俗古远，风流清高，贤良间生， 掩映天下”，接着就说明这里“代变豪侈”的历史。所谓“地博厚，川疏明。汉则名王分茅，魏则天人列土。所以代变豪侈，家传文章，君子以才雄自高，小人则鄙朴难治。况其城池爽垲，邑屋丰润。香阁依日，凌丹霄而欲飞；石桥横波，惊彩虹而不去。”这种豪侈之风，在新任县令治下， 得到明显的抑制，风气为之一变。在李白笔下，虽然没有写某某县令大张旗鼓地反对豪华奢侈之风之类的文字，但是实际上后人却依然可以明白感受到他并不推崇豪侈之风的严肃态度。坐而言，何如起而行。真正的政绩，从来不是嘴上说出来的。而这种不崇豪侈的远见卓识，则成为李白政绩 观的亮点之一。 特色之二，富礼并重。李白《任城县厅壁记》记叙新任县令治理地方的成绩，重点在两个方面。首先是在经济建设方面逐步发展，既不放任自流，又不急于求成，这样才能真正给人民带来实惠，让人民安居乐业。所谓“一之岁肃而教之，二之岁惠而安之，三之岁富而乐 之”，就是说的这一点。与此同时，李白非常强调人的精神修养或谓整体素质的提高与社会全面发展相协调。所谓“青衿向训，黄发履礼。农无游手之夫，机罕颦蛾之女。权豪锄纵暴之心，黠吏返淳和之性。行者让于道路，任者并于轻重，扶老携幼，尊尊亲亲，千载百年，再复鲁道”，用今 天的话说，大约就是勤于学习、讲究修养；各勤其事，各安其位，尊老爱幼，路不拾遗。实际上，这就是李白心中向往的那种桃花源般的理想境界。 特色之三，重视舆论。李白《任城县厅壁记》最后说：“白探其东蒙，窃听舆论，辄记于壁，垂之将来。”这说明，李白的这些记载不是 自己的偏听偏信，而是来自舆论公议。俗话说“路上行人口似碑”，又说“公道自在人心”。政绩不是自封的，也是雇人吹捧出来的。只有得到老百姓公认的政绩，才是真正的政绩。 165、埋没 马克斯?韦伯很有意思，生前默默无闻，是卡夫卡小说中那类典型的对命运无助的小人物， 1919年，他想以社会学家的名义到大学去教书，但慕尼黑大学并未理睬他的想法。他找到校长，校长也觉得这人莫名其妙的，不知他头脑里在想什么，什么社会学习呀，这是哪门子学问啊？名不见经传，且视他为头脑发热。 后来努了很多力，终于垮进了大学教书的门坎，但得到是个临 时教习。连助教都不是。教的也是偏门科。他想被慕尼黑大学任命为“社会学”教授的想法，终生不得实现。实际上他到晚年才勉强捞上个教授职位，但他离世时日已不多了。完全成了现实的可怜虫。由于学校对他没有好感，勉强接受他的慕尼黑大学，还给作出了一条特殊规定，“不得利用 课堂，讲授你那些什么社会学什么的东西。”为了生计的韦伯在一片哀叹中也只好接受了这一规定。 1905年，他出了本书《新教伦理与资本主义精神》，探讨资本主义的起缘。这个书也并不引起人们的重视。只印了3千本，5年间才卖出了1千多本。 死的前一年，他应慕尼黑大学学 生会的邀请发表了两次演讲，在此基础上出版了两本小册子：《作为职业的学术》和《作为职业的政治》。也没有引起什么看好。总之，他是位被时代掩盖的人。没有声誉的人。 1920年6月17日，当韦伯的遗体被安葬在慕尼黑东郊墓地时，只有为数不多的亲友、学生和同事参加了其简短 的葬礼。一个人来，又去了。但没有人在意他的来和去。真是凄凉的一生。 他的身体在地下呆了40年后，人们才发现，那个小人物是个大人物，是社会学的三大奠基人之一。他的妻子这时候忙碌了起来，赶快整理他的遗稿，事实上他写了一生，多数都是遗稿，因为生前就没有发表过多 少东西。60年代，慕尼黑市政府宣布，将一个广场和街道命名为“马克斯?韦伯广场”，以纪念这位伟大的社会学奠基人，“伟大的马克思主义者”。到了80年代，世界各国关于他的研究已堆积如山。 总有些人生错时光，在历史上太多了，曹雪芹如此，塞万提斯亦如此。我在想，在我们 的身边，在这个浮躁的文字时代，文化“叫春”的时代，是不是也正在埋葬着伟大的人呢。我想肯定是。不论将来有没有发现出来。但埋没是一定的。 166、且说“画龙点睛” 有个民间传说，说的是有位能人应邀画龙点睛，只见他不慌不忙，手举朱笔，点个正着，兀地，此龙便飞 腾越空而去…… 有些编剧高手，也有“画龙点睛”的生花妙笔。他们巧用台词、唱腔或手中道具，在勾划人物性格或渲染戏剧情境，达到很好的效果。 粤剧《山乡风云》第六场，反共联防大队长万选之听哨兵反映有人闪入桃园中学，便以借书为名进入刘琴老师卧室，追寻游击队员 虎子的踪迹。游击队女连长刘琴镇定自如，沉着应付。万选之说久住山沟，脑筋太陈旧，想找本新书看看，适应新潮流。看见刘琴手上拿着一本书，忙问：“琴老师，你手上这本书，一定很有趣。”刘琴笑道：“大队长，这本书不适合你看的。因为这本《动物学》是专门讲那些禽兽的。”万 选之苦笑：“琴老师真爱开玩笑。”刘琴答道：“不是开玩笑，人不研究禽兽，又怎知畜牲本性呢。”每次演出，这段软鞭抽打式的对白，都引起哄堂笑声。而万选之却一脸没趣。 越剧小调《四季恋》，鞭笞一个青年用情不专，一年四季与四个姑娘谈恋爱。他的定情信物是一块彩绸手 帕。编剧者高明之处，是让一个玩魔术的男孩目睹男青年谈恋爱的方法、情景。最后，四个姑娘醒悟受骗，掏出男青年相赠同样的彩绸手帕时，“魔术师”不失时机地在男青年裤袋里拉出一长串备用彩绸手帕。此时，男青年万分尴尬，手足无措，慌乱间竟被长串手帕绊倒。“魔术师”在剧终 说了一句台词：“啊，又是你，青年人，谈恋爱可不能像玩魔术呵。”凭借彩绸手帕道具，“魔术师”一语中的。 不要小看“画龙点睛”的个中三味，它是克服剧本“浅、直、露”弊端的妙药良方。 167、妙语，只要一句 有个小幽默。 大国打算入侵小国，行动前，曾派 了使节专程来到小国威胁。来使趾高气扬地说：“我们打算横扫贵国，我们使用的是最先进的坦克！”不料国王却笑眯眯地回答：“我们一点儿也不怕。因为我们的武器特别古老，叫打狗棒！” 妙！一句话，就亮出了战斗到底的决心！有个民间故事。 一次，番邦意欲与岳家军决战， 曾派人来下战书，来人挺狂妄，得意洋洋地说了一句：“听着！我们的‘琴瑟琵琶八大王——王王在上’！”不料话音刚落，小将岳云就愤然答了一句：“屁话！什么‘八大王’！我看是‘魑魅魍魉四小鬼——鬼鬼犯边’！”请注意岳云的话，既然你们那个“琴瑟琵琶”四字皆有“王”，我 就妙用“魑魅魍魉”作答，四字皆为“鬼”字！番邦来使眼见岳家兵强马壮，不敢发作，只好灰溜溜地走了。 妙！一句话，就亮出了全歼敌人的气派！还有件真人真事。 二战时，德国法西斯的头头

他的话不多，问着，就答，不问，两个人就坐着。“哈敏，你的妻子呢？”“在阿富汗呀！”“有没有小孩？”“都嫁啦！”“那你一个人在西雅图做什么呢？”“开店呀！”“那你太太 呢？”“她不肯来。”“那你也不回去吗？”“那边打仗呢。”
是一个冷雨凄风的下午，当天，我没有课，功课也都做好了，没有什么事情可做，就又去了那个市场。维加斯攻略
逛了好多年的摊子，一些小零小碎、不好不坏的首饰看了根本不会去乱买，除非是精品，不然重量不重质的收藏只有给自己找麻烦。
哈敏的小的一种直觉是不会使我漏掉的。店已经够小了，六个“榻榻米”那么大还做了一个有如我们中国北方人的“炕”一样的东西。 他呢，不是站着的，永远盘坐在那个地方，上面挂了一批花花绿绿的衣服和丝巾。
我注意到哈敏的第一次，并不是为了那些衣服，当我走进他的店中去时，他不用英文，他说他自己的话：“沙拉麻里古”来招呼客人。
这句话，如此的熟悉，在撒哈拉沙漠时，是每天见人都用的阿拉伯文问候语。我初次听见在美国有人说出这样的句子来，心里产生了一丝说不出的柔情，笑望着他，也答了一句“沙拉麻里古”。在 双方的惊异之下，我们自然而然成了朋友。我常常去他的店里坐着，有时，也帮忙女客人给试衣服。哈敏的生意清淡，他专卖阿富汗和印度来的衣服和饰物，可是我却看不上眼呢。我的去，纯粹为着享 受那份安静的友谊。

立体几何专题：二面角的四种求法一、二面角1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。

3、二面角的大小范围：[0°，180°] 二、求二面角大小的步骤是： （1）作：找出这个平面角；（2）证：证明这个角是二面角的平面角；（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 三、确定二面角的平面角的方法：1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a 上的任意一点O 为端点， 在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A 向另一个平面β作垂线AB ，垂足为B ，再αβaOAB过点B 向棱a 作垂线BO ，垂足为O ，连接AO ，则∠AOB 就是二面角的平面角。

3、垂面法（空间一点垂面法）（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

（2）具体演示：过二面角内一点A 作AB ⊥α于B ，作AC ⊥β于C ， 面ABC 交棱a 于点O ，则∠BOC 就是二面角的平面角。

4、射影面积法求二面角coss S射影（1）方法：已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。

二面角
新疆奎屯市一中 王新敞
目录
• 引入 • 基本概念 • 图形 • 范例 • 练习 • 作业
基本概念：
1、半平面：一个平面内的一条 直线，把这个平面分成两部分， 其中的每一部分都叫做半平面。
D
E
C
A
F
B
β
B a A
A a
2、二面角：从一条直线出发的两个
半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。来自αDDβ
A
30 60H
C
B
C
G
解：如图所示，DH垂直于过AB的水平平面，垂 足为H，线段DH的长度就是所求的高度。
在平面DBC内，过点D作DG⊥BC，垂足是G， 连接GH。∵DH⊥平面BCH，DG⊥BC∴GH⊥BC
因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH 的二面角的平面角，∠DGH= 60
D
H
C
G
DH=DGsin600 =CDsin300sin600 =100sin300sin600 ≈43.3(米)
答：沿直道前进100米， 升高约43.3米
例2：如图所示，DB、EC都垂直于正 ABC所在
的平面，且EC=BC=2BD，求平面ADE与平面 ABC所成二面角的大小。
解：延长ED交CB于F，连AF，则平面ABC∩平面ADE=AF，
EC ABC
E
BD EC
ABC 2BD
BC BF CB AB AC

BC

AB

BF
D
∴∠CAF=900, 由 三 垂 线 定 理 AE⊥AF ∴∠EAC 为 二 面 角 E-
A a
O
3、二面角的平面角：以二面 角的棱上的任意一点为端点，

a O课题3：二面角求法总结一、知识准备1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。

3、二面角的大小范围：[0°，180°]4、 二面角的求解方法对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍. 5、二面角做法：做二面角的平面角主要的方法有： 6、 （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； 7、 （2）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。

（3）射影法：凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。

（4）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（5）无交线的二面角处理方法（6）向量法二、二面角的基本求法及练习1、定义法（从两面内引两条射线与棱垂直，这两条射线可以相交也可异面，从而面面角就转化为线线角来求）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

高二数学高效课堂资料
山东省昌乐一中2017级
高二数学翻转课堂课时学案
班级小组姓名________ 使用时间______年______月______日编号 2-1-32
3．已知正三棱锥ABC S -的棱长都为1，则侧面与底面ABC 夹角的余弦值为 4．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，AD ＝DC ＝3，在线段A 1C 1上有
一点Q ，且1113
1A C Q C ，求平面QDC 与平面A 1DC 所成锐二面角的大小．
合作互学：请同学们相互讨论，解决自学过程中的疑问．小组长汇总，将合作讨论中没有解决的问题和新生成的问题提交课代表.
在线测学：完成在线测学题目，检验自学效果，请注意不要重复提交．
自我评价：
教师评价：
第 3 页
B 组
4．如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，
AE=EB,F 为CE 上的点，且平面
．
（1）求证平面
； （2）求二面角的余弦值．
5．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ．(1)求证：1BE EB =；
(2)若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C
自我评价：
教师评价：
第 4 页。

第6节 二面角(一)
要点·疑点·考点
1. 二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面 角，其大小通过二面角的平面角来度量. 2. 二面角的平面角： (1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角. (2)范围：[0，π ]
π (B) θ1 θ2 2 π (C) θ1 θ2 2 π (D)0 θ1 θ2 2
3. 在长、宽、高分别为1、1、2的长方体ABCD－A1B1 C1D1中，截面BA1C1与底面ABCD所成角的余弦值是__
1 _____. 3
4. 把边长为a的正三角形ABC沿着过重心G且与BC平 行的直线折成二面角，此时A点变为A ，当 AC 时，则此二面角的大小为__________________.
3.正方体ABCD—A1B1C1D1 中，E是BC的中点，求平 面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.
S 【解题回顾】解法一利用公式 cosθ . 思路简单明 S
了，但计算量较解法二大 .解法二的关键是确定二
面角的棱，再通过三垂线定理作出平面角，最终解直 角三角形可求出.
4. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中， ∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= 12. (1)求四棱锥S—ABCD的体积； (2)求面SCD与面SBA所成的二 面角的正切值.
3.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱 2 长为 a ，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平 2 面交上底面一边A1C1于点D. (1)确定点D的位置，并证明 你的结论； (2)求二面角A1-AB1-D的大小.
【解题回顾】第(2)题中二面角的放置属于非常规位置 的图形(同例(1)的变题)，看起来有些费劲，但是一旦 将图形的空间位置关系看明白，即可发现解决此种问 题的基本方法仍然与常规位置时相同.

=(-2,1,1).所以1 · =0×(-2)-1×1+1×1=0,
所以1 ⊥ ,所以 EF⊥A1E.
(2)解:由(1)知,1 =(0,-1,1), =(-2,1,1),
设平面 A1EF 的一个法向量为 m=(x,y,z),
1 · = - + = 0,
(1)证明:EF⊥A1E;
(2)求平面A1EF与平面ABCD的夹角的余弦值.
【典型例题三】
(1)证明:以 C1 为坐标原点,C1D1,C1B1,C1C 所在直线分别为 x 轴、y
轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A1(2,1,0),E(2,0,1),F(0,1,2),所以1 = (0,-1,1),
AD 中点 F,连接 OE,OF.设 PA=AB=a,AC=b,
则 A(0,0,0),C(b,0,0),B(0,a,0),D(b,-a,0),P(0,0,a),
E

,- ,
2 2 2

,O ,0,0 ,
2

所以 = 0,- 2 , 2
, =(b,0,0),=(0,-a,0),
例2. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，
PA⊥平面ABCD ， 且PA=AB ， E是PD的中点 ， 求平面EAC与平
面ABCD的夹角.
解: 方法一 如图,以 A 为坐标原点,AC,AB,AP 所在直线分别为
x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,连接 BD,与 AC 交于点 O,取
则
令 z=1,则 m=(1,1,1).
· = -2 + + = 0,
由题意得 C1C⊥平面 ABCD,所以1 是平面 ABCD 的一个法向

第四章 立体几何
4.4.2 二面角
打开笔记本计算机时,显示屏的开合程度不同,键盘与屏幕所在平面的相对位
置就不同,如图所示.怎样来描述这种不同呢？
观察可知,显示屏的开合
程度可以用角度来描述.
二面角
平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面.
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,
又∵ ⊥ , 交于点
从而∠ 是二面角 − − 的一个平面角.
∴ ⊥平面.
∵ = , = , 是直角三角形
又∵ ⊆平面
∴ ⊥
∴ ∠ = °
∴二面角 − − 的大小是°
例4 求证:如果一个平面γ垂直于二面角 − − 的棱, 为垂 足,且与两半平面的交线分别
为、,如图所示.那么∠是二面角 − − 的平面角 .
证明
∵ ∩ = , ∩ =
∴ ⊆ , ⊆ .
又∵ ⊥
∴ ⊥ , ⊥
∴ ∠ 是二面角 − − 的一个平面角.
例4中,垂直于棱的平面,与二面角 − − 的交线 、构成了二面角的平面角∠,
∴ ∠ =

∴平面与平面所成的角的大小是


1. 己知二面角 − − , ∈ , ∈ , ⊥ , ⊥ ,垂足均为,
则二面角 − − 的平面角是
.
2. 已知正方体 − ,试找出二面角 − − 与二面角 − −
这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.
根据二面角的不同摆放位置,常常把二面角画成图所示图形.
当二面角的棱为,两个面分别为、时,二面角记为 − − .
图(4)所示的二面角也可记为 − − .

1.2.4 二面角(1)本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节主要学习二面角。

学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开。

为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台。

1.教学重点：会用向量法解决二面角的计算问题2.教学难点：二面角的概念.多媒体般于水平面呈一定角度，如图（2）所示，很多屋顶都是二面角的形象，你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？1.二面角及其度量1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA与平面BCDA所成二面角的大小为.答案:45°2.两个平面相交时,它们所成角的取值范围是什么?提示:(0°,90°]问题2：如图所示，设S为二面角α−AB−β的半平面α上一点，过点S 做半平面β的垂线SS′，设O为棱AB上一点（1）判断SO⊥AB是S′O⊥AB的什么条件；（2）由二面角的作法，你能得到什么启发？提示：（1）充要条件（2）若二面角α−AB−β的大小为θ，则ΔS′AB的面积与ΔSAB的面积比就是二面角的余弦，即：SΔS′ABSΔSAB=cosθ问题3：如果n1, n2分别是平面α1, α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与<n1, n2>的关系.2.用空间向量求二面角的大小(1)如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则有θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特别地,sin θ=sin<n1,n2>.(2)设二面角α-l-β为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,有|cos θ|=|cos <n 1,n 2>|=|n ·n 2||n1||n 2|成立.点睛： 利用公式cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|(n 1,n 2分别为两平面的法向量)进行求解,注意<n 1,n 2>与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断.如图(2)(4)中<n 1,n 2>就是二面角α-l -β的平面角的补角;如图(1)(3)中<n 1,n 2>就是二面角α-l -β的平面角.3.判断(1)二面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角.( ) (2)若二面角两个半平面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于60°或120°.( ) 答案:(1)× (2)√4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的角的余弦值为( ) A .12 B .23 C .√33 D .√22解：以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,设棱长为1,则A 1(0,0,1),E (1,0,12),D (0,1,0),∴A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-12),设平面A1ED的一个法向量为n1=(x,y,z),则{y-z=0,x-12z=0,令x=1,则y=2,z=2, ∴n1=(1,2,2).∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),∴cos<n1,n2>=23×1=23,即平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为23.答案:B二、典例解析例1 如图所示,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-P A-C的平面角的正切值.分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面P AC,从而B在平面P AC上的射影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.解:∵PC⊥平面ABC,∴平面P AC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性质定理,BD⊥平面P AC,作DE⊥P A于E点,连接BE,据三垂线定理,则BE⊥P A,从而∠BED是二面角B-P A-C的平面角.设PC=a,依题意知△ABC是边长为a的正三角形,∴D是AC的中点,且BD=√32a.∵PC=CA=a,∠PCA=90°,∴∠P AC=45°,∴在Rt△DEA中,ED=AD·sin 45°=a2·√22=√24a,则在Rt△BED中,tan∠BED=BDED =2√3√2=√6.故二面角B-P A-C的平面角的正切值为√6.1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解.2.二面角的定义求法主要有:(1)由定义作出二面角的平面角;(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角.跟踪训练1 如图,已知二面角α-a-β等于120°,P A⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小.解:设平面P AOB∩α=OA,平面P AOB∩β=OB.∵P A⊥α,a⊂α,∴P A⊥a.同理PB⊥a.∴a⊥平面P AOB.又∵OA⊂平面P AOB,∴a⊥OA.同理a⊥OB.∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角.在四边形P AOB中,∠AOB=120°,∠P AO=∠PBO=90°,所以∠APB=60°.例2：如图所示，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中,∠ABC=900,AB=BC=1,AA1=2,且D是AA1的中点.求平面BDC与平面BD C1所成角的大小.解:以题意，CA,CB,C C1两两相互垂直。

又∵AE是AB在平面α上的射影，
∴AE⊥AD又BA⊥AD，平面ABC∩平面α=A，
∴∠BAE是平面ABC与α所成的角，
∴BE⊥平面α，∴BE⊥AE，∴ΔABC是RtΔ
Sin∠BAE=BE：AB= ，即平面ABC与α所成角的正弦值为 。
6、射影公式
由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。
（2）要求二面角A1-EC-D的大小，先要作出二面角的平面角，本题可用三垂线法，因FH⊥底面ABCD于H，过H作HM⊥EC于M，连FM，则由三垂线定理知FM⊥EC。
所以∠HMF为所求二面角A1-EC-D的平面角。
四、延伸法
例4. 如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D为CC1中点，求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。
例5如图12，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角。
本题应用“射影法”求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角容易。它可以不作出所求二面角的平面角。
因是正方体，所以B1、D1、M在底面射影分别为B、D、A，设棱长为a.
三、垂线法：
例3如图6，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点。
（1）求证：A1、E、C、F四点共面；
（2）求二面角A1-EC-D的大小。
（1）要证A1、E、C、F四点共面，可证：A、F//EC，取DC中点H，连AH、FH，则AH EC，又FH A1A。故A1F//AH，即A1F//EC，从而A、E、C、F四点共面。

O
lA
α β
B
lO
A
α
思考5:上面所作的角叫做二面角的 平面角，你能给二面角的平面角下 个定义吗？ β
B
lO
Aα
以二面角的棱上任意一点为顶点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二 面角的平面角.
思考6:二面角的大小可以用它的平 面角来度量，二面角的平面角是多 少度，就说二面角是多少度.平面角 是直角的二面角叫做直二面角. 当 二面角的两个面重合时，二面角的 大小为多少度？当二面角的两个面 合成一个平面时，二面角的大小为 多少度？一般地，二面角的平面角
β
l
α
思考3:在二面角α -l-β 的棱上取一 点O，过点O分别在二面角的两个面 内任作两条射线OA，OB，能否用 ∠AOB来刻画二面角的张开程度？
β
B
O
lA
α
思考4:在上图中如何调整OA、OB的 位置，使∠AOB被二面角α -l-β 唯一 确定？这个角的大小是否与顶点O在 棱上的位置有关？
β
B
D
E
O
AC F
B
作业: P73习题2.3 A组：4，7.
；风采frends 风采frends ；
快一个小时了他们还没到.作为一名老实巴交の纳税人,我有权利知道自己供养の是人民公仆还是吃饱等死の猪,连个入村路口都找了一个多小时,到时让媒体过来一起见识见识.”最后一句像从牙缝里蹦出来の,这种效率,足够让报警人死几百次了.原本有些忧心の卓律师听罢, 为之失 笑,“行行行,你别冲动,我马上过去.在我到之前你若见势不妙要马上避开知道吗？别意气用事跟他们硬碰硬,别让自己吃亏,明白吗？”“明白,刚才有个人袭击我被我用防狼喷雾喷了,不犯法吧？”“没事,你把那支喷雾保管好等取证.记住,穷