2018年中考专题复习—— 蚂蚁行程(无答案)-精选学习文档

3勾股定理的应用知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG一、能力提升1.右面是一个台阶示意图,每一层台阶的高都是20cm,宽都是40cm,长都是50cm,一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B,其爬行的最短路线的长度是()A.100cmB.120cmC.130cmD.150cm2.如图,有一个圆锥,高为8cm,直径为12cm.在圆锥的底边B点处有一只蚂蚁,它想吃掉圆锥顶部A处的食物,则它需要爬行的最短路程是()A.8cmB.9cmC.10cmD.11cm3.美丽的带状公园用一条“玉带”缠绕着日新月异的小城,某中学的师生们准备测量一下这条“玉带”上某段渠水的深度,他们把一根竹竿插到离岸边1m的水底,竹竿高出水面m,然后把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,如图所示,则渠水的深度与竹竿的长度分别为()A.5m,4mB.m,mC.m,mD.1m,2m4.如图,一透明的圆柱状的玻璃杯,由内部测得其底部半径为3cm,高为8 cm,今有一支12 cm的吸管任意斜放于杯中.若不考虑吸管的粗细,则吸管露出杯口外的长度至少为.5.如图,一长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要.6.如图,滑竿在机械槽内运动,∠ACB为直角,已知滑竿AB长2.5m,顶端A在AC上运动,量得滑竿下端B到C点的距离为1.5m,当端点B向右移动0.5m时,求滑竿顶端A下滑多少米?7.小明与小亮到一荒岛上去玩寻宝游戏.如图,他们登陆后,先向正东走了8km,再向正北走,走了2km,遇上礁石,只好改道向正西走,走了3km后,再向正北走6km,再向正东走1km,找到了藏宝的地点.求藏宝的地点离登陆点的距离.二、创新应用8.如图,王利的家在高楼的15层,一天他去买竹竿,如果电梯的长、宽、高分别是1.2m,1.2 m,2.1 m,若他想乘坐电梯上楼,则他所买的竹竿的最大长度是多少?##一、能力提升1.C把题中图形展直,根据勾股定理,得502+1202=16900=1302,故蚂蚁爬行的最短路线的长度是130cm.2.C要求蚂蚁需要爬行的最短路程,由两点之间线段最短可知,线段AB的长度就是蚂蚁爬行的最短路程.可设圆锥底面圆心为O,连接OA,OB,则可构成一个直角三角形,利用勾股定理可求AB的长.3.B设水深为x m,则竹竿高为m,竹竿AB、水深AC与BC构成直角三角形,根据勾股定理,得x2+12=,解得x=.所以水深为m,竹竿长为m.4.2cm杯子的底面直径为6cm.设吸管在杯子内的最大长度是x cm,则由勾股定理,得x2=62+82=102,所以x=10.所以吸管露出杯口外的长度至少为12-10=2(cm).5.10cm把该长方体的四个侧面展开,连接AB,即为所用最短细线.由勾股定理,得AB2=(1+1+3+3)2+62=100,所以AB=10.6.解:在Rt△ABC中,AB=2.5m,BC=1.5m,∠C=90°,所以AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=22.所以AC=2m.在Rt△ECD中,CE2=DE2-CD2=2.52-(CB+BD)2=1.52.所以CE=1.5m.所以AE=AC-CE=0.5(m).所以滑竿顶端A下滑0.5m.7.解:过点B作BD⊥AC于点D,并连接AB,则AD=8-3+1=6(km),BD=2+6=8(km).在Rt△ABD中,由勾股定理,得AB2=AD2+BD2=62+82=102,所以AB=10km.因此,藏宝的地点离登陆点的距离是10km.二、创新应用8.分析:所买竹竿的最大长度应是图中线段AB的长度,故利用勾股定理即可求解.解:连接AB,BC,在Rt△ABC中,BC2=1.22+1.22=2.88,则AB2=2.88+4.41=7.29,即AB=2.7.故他所买竹竿的最大长度为2.7m.。

1．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．例．如图所示，有一正方体纸盒，在点C1处有一只小虫，它要爬到点A吃食物．应该沿着怎样的路线才能使行程最短？解：如图，把侧面或上面展开与正面组成一矩形，连接AC1，则AC1就是行程最短的路线．2.赵爽弦图模型我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2．称为勾股定理．把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论证明：由图2得，大正方形面积＝4×＝（a+b）2，整理得b2+c2+2ab＝2ab+c2，∴c2＝a2+b2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．例题精讲考点一：行程最短问题【例1】．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是20 cm．（π取3）解：将圆柱体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，根据题意可得：AC是圆周的一半，∴AC＝×2×4π＝12，∴AB＝＝20cm．变式训练【变式1-1】．如图，圆锥的底面圆的半径为10cm，母线长为40cm，C为母线PA的中点，一只蚂蚁欲从点B处沿圆锥的侧面爬到点C处，则它爬行的最短距离是20cm．解：由题意知，底面圆的直径AB＝20，故底面周长等于20π设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°∵根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，20π＝，解得n＝90°∴展开图中扇形圆心角＝90°，作CE⊥PB于E，则CE＝PE＝10，BE＝40﹣10，∵根据勾股定理求得它爬行的最短距离是＝20cm∴蚂蚁爬行的最短距离为20cm【变式1-2】．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm．解：由题意可得，当展开前面和右面时，最短路线长是：＝＝15（cm）；当展开前面和上面时，最短路线长是：＝＝7（cm）；当展开左面和上面时，最短路线长是：＝（cm）；∵15＜7＜，∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，故答案为：15．【变式1-3】．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 2.5米．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，解得x＝2.5．考点二：弦图模型的应用【例2】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，则中间小正方形EFGH的面积是49．解：∵AE＝5，AB＝13，∴BF＝AE＝5，在Rt△ABF中，AF＝＝12，∴小正方形的边长EF＝12﹣5＝7，∴小正方形EFGH的面积为7×7＝49．故答案为：49．变式训练【变式2-1】．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是38．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则x2＝4y2+2.52，∵△BCD的周长是15，∴x+2y+2.5＝15则x＝6.5，y＝3．∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×9.5＝38．故答案是：38．【变式2-2】．如图，在弦图中，正方形ABCD的对角线AC与正方形EFHI的对角线EH交于点K，对角线AC交正方形EFHI于G，J两点，记△GKH面积为S1，△JIC面积为S2，若AE＝12，CD＝4，则S1+S2的值为16．解：由题意可得，AF＝CI，∠AFG＝∠CIJ＝90°，FH∥EI，∵∠AGF＝∠HGK，∠IJC＝∠KJE，∵FH∥EI，∴∠HGK＝∠KJE，∴∠AGF＝∠IJC，在△AFG和△CIJ中，，∴△AFG≌△CIJ（AAS），∴FG＝IJ，∵四边形EFHI为正方形，∴EI﹣IJ＝FH﹣FG，即HG＝EJ，在△GHK和△JEK中，，∴△GHK≌△JEK（AAS），∴HK＝EK，即点K为正方形EFHI的中心，如图，过点K作KM⊥FH于点M，∵AE＝12，CD＝4，∴BF＝12，AD＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝4，∴AF＝DE＝4，EF＝AE﹣AF＝12﹣4＝8，则FH＝8，KM＝4，设GH＝a，FG＝b，则a+b＝FH＝8，∴＝，＝＝2b，∴S1+S2＝2a+2b＝2（a+b）＝16．故答案为：16．1．如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发，经过每个面的中心点后，又回到A点，蚂蚁爬行最短程S满足（）A．5＜S≤6B．6＜S≤7C．7＜S≤8D．8＜S≤9解：正方体展开图形为：则蚂蚁爬行最短程S＝5+＝5+．即6＜S≤7．故选：B．2．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan ∠ADE的值为（）A．B．C．D．解：设小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是a，∵图中的四个直角三角形是全等的，∴AE＝DH，设AE＝DH＝x，在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2，即13a2＝x2+（x+a）2解得：x1＝2a，x2＝﹣3a（舍去），∴AE＝2a，DE＝3a，∴tan∠ADE＝＝，故选：C．3．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12B．15C．20D．30解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，因为S1+S2+S3＝60，所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，即3S2＝60，解得S2＝20．故选：C．4．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为4，大正方形面积为74，直角三角形中较小的锐角为θ，那么tanθ的值是（）A．B．C．D．解：由已知条件可知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为．设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）2+x2＝（）2，解得x＝5．则较长边的边长为x+2＝5+2＝7．故tanθ＝＝．故选：B．5．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，则GI的值是（）A．B．C．D．解：如图，连接DG，∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，∴AE＝BF＝CG＝DH，AF＝BG＝CH＝DE，CH⊥DE，∵DI＝2，CI＝1，∴CD＝DI+CI＝2+1＝3，∵大正方形ABCD的面积为S2，∴S2＝CD2＝32＝9，又∵小正方形EFGH的面积为S1，S2＝5S1，∴S1＝，∴EF＝FG＝GH＝HE＝，∵将EG延长交CD于点I，∴∠HGE＝45°，在Rt△EHG中，由勾股定理得：EG＝＝，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，则AF＝BG＝CH＝DE＝x+，在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD2＝DH2+CH2，即9＝x2+（x+）2，解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去），即AE＝BF＝CG＝DH＝x＝，∴DH＝EH＝，∴CH垂直平分ED，∴DG＝EG＝，∴∠DGH＝∠HGE＝45°，∴∠DGE＝45°+45°＝90°，∴∠DGI＝90°，在Rt△DGI中，由勾股定理得：GI＝＝＝，故选：A．6．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为13．解：因为圆柱底面圆的周长为2π×＝12，高为5，所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，根据勾股定理，对角线长为＝13．故蚂蚁爬行的最短距离为13．7．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是．解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π＝，解得n＝90°，所以展开图中圆心角为90°，根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：＝＝4．8．将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2．则S1﹣S2＝12．解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），根据图1得：a+b＝6，根据图2得：a﹣b＝2，联立解得：，∴S1＝16，S2＝4，则S1﹣S2＝12．故答案为：12．9．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为16．解：由题意作出如下图，得AC＝，BD＝2，AB＝CD，△ABD是直角三角形，则大正方形面积＝AC2＝34，△ADC面积＝（5×3﹣2×3）＝4.5，阴影部分的面积S＝34﹣4×4.5＝16，故答案为：16．10．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB＝＝cm；（2）展开底面右面由勾股定理得AB＝＝5cm；所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2＝2.5秒．11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E 的边长为7cm，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为98cm2．解：设正方形A、B、C、D的边长分别是a、b、c、d，则正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D、E的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）+72＝x2+y2+72＝72+72＝98（cm2）．即正方形A，B，C，D、E的面积的和为98cm2．故答案为：98．12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2为小明同学根据弦图思路设计的，在正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径作，再以CD为直径作半圆交于点E，若边长AB＝10，则△CDE的面积为20．解：如图，取CD的中点F，连接BF、BE、DE、EF，由题意可得，FE＝FC，BE＝BC，∴BF是EC的垂直平分线，∴∠FBC+∠BCE＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠FBC＝∠DCE，又∵∠BCF＝∠CED＝90°，∴△BCF∽△CED，∴＝＝，∵BC＝CD＝AB＝10，CF＝5，∠BCF＝90°，∴BF＝＝＝5，∴＝＝，解得：CE＝4，ED＝2，＝×CE×DE＝×4×2＝20，∴S△CDE故答案为：20．13．图1是一个勾股定理演示教具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰能注满两个小正方形．王老师有一个内长为11寸，内宽为9寸的木质盒子（如图2）．现要自制一个这样的教具（由三个正方形和一个直角三角形组成），使得教具恰好摆入这个盒子中，以便保护和携带（如图3所示，A，B，C，D，E五点均紧贴盒子边缘，教具的厚度等于木盒的内高）．此时盒子的空间利用率为．解：如图，过点A作AM⊥EG的延长线于点M，过点F作FR⊥GH于点R，过点B作BN⊥GH，过点F作FN∥GH，延长GH交CK于K，∵四边形AGFL、DEGH、BCHF均为正方形，∴AG＝FG，BF＝FH＝CH，EG＝GH，∠AGF＝∠BFH＝90°＝∠AMG＝∠FRG＝∠BNF ＝∠CKH，∴∠AGM+∠FGM＝∠FGR+∠FGM，∴∠AGM＝∠FGR，∴△AGM≌△FGR（AAS），∴AM＝FR，GM＝GR，同理，△BFN≌△HFR≌△CHK（AAS），∴FR＝FN＝HK＝AM，BN＝HR，设AM＝x，BN＝y，AM＝FR＝z，则FR＝FN＝HK＝AM＝x，BN＝HR＝y，由勾股定理得：FH2＝x2+y2，FG2＝x2+z2，GH＝y+z，根据题意，得：FH2+FG2＝GH2，∴x2+z2+x2+y2＝（y+z）2，∴x2＝yz①，∵AM+GR+RH+HK＝9，BN+FR+EG＝11，∴2x+y+z＝9②，x+2y+z＝11③，②﹣③，得：x﹣y＝﹣2，即y＝x+2④，②×2﹣③，得：3x+z＝7，即z＝7﹣3x⑤，将④⑤代入①，得：x2＝（x+2）（7﹣3x），解得：x1＝2，x2＝﹣（舍去），∴y＝4，z＝1，∴GH＝5，FG2＝5，FH2＝20，∴勾股定理演示教具的正面面积为：S＝25+5+20+××2＝55，∵教具的厚度等于木盒的内高，∴盒子的空间利用率为：＝，故答案为：．14．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连接AC，交BG于点P，交DE﹣S△CGP＝，③DH+HC＝4，④HC＝2+，于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP以上说法正确的是①③④.（填写序号）解：∵Rt△BCG≌Rt△DAE，∴CG＝AE，∠CGP＝∠AEM，∵CH∥AF．∴∠GCP＝∠MAE，∴△CGP≌△AEM（ASA），＝S△AEM，CP＝ME，∴S△CGP﹣S△CGP＝S四边形MEFP∴S△AFP∵HE＝GF，∴HM＝PF，＝S四边形MHGP＝S正方形EFGH＝1，∴S四边形MEFP﹣S△CGP＝1，∴S△AFP∵DH2+CH2＝DC2＝9，∴（DH+CH）2＝DH2+CH2+2DH•CH＝9+2DH•CH，∵CH﹣DH＝HG，∴（CH﹣DH）2＝HG2＝2，∴CH2+DH2﹣2DH•CH＝2，∴2DH•CH＝7，∴（DH+CH）2＝9+7＝16，∴DH+CH＝4，∵CH﹣DH＝，∴HC＝＝2+，故答案为：①③④．15．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，（1）请问：长为12.5dm的铁棒能放进去吗？（1）如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．解：（1）如图1，连接BD，∵AD＝12，AB＝4，∴BD2＝AD2+AB2＝122+42＝160，∴CD＝＝＝13（dm）．∵13dm＞12.5dm，∴长为12.5dm的铁棒能放进去；（2）如图2所示，CD＝＝dm．如图3所示，CD＝＝dm，如图4所示，CD＝＝dm，∵＞＞，∴爬行的最短路程是dm．16．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，可以验证勾股定理；（2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝．（1）证明：，另一方面，即a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2；（2）解：设正方形MNKT的面积为x，八个全等的直角三角形的面积均为y，∵S1+S2+S3＝16，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝12y+3x＝16，∴4y+x＝，∴S2＝4y+x＝．故答案为：．17．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．解：（1）在Rt△ABC中，由面积的两种算法可得：，解得：CD＝．（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2，在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得＝．。

2023年九年级中考数学专题训练:蚂蚁爬行问题一．选择题1．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（）A．B．C．D．2．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（）A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm3．如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝6，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱侧面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A．3B．6C．9D．64．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（）A．B．C．D．5．图，长方体的长为8，宽为10，高为6，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．B．C．D．6．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（ ）A．10B．12C．14D．207．一只蚂蚁趴在如图所示的数轴上，它从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，设点A表示，那么点B所表示的数为（）A．B．C．D．8．如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（ ）A．B．C．D．二．填空题9．一只蚂蚁先向上爬4个单位长度，再向右爬5个单位长度后，到达，则它最开始所在位置的坐标是___________．10．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是______．11．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B所表示的数为m，则__________．12．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是_____．13．如图，正方体的棱长为3 cm，已知点B与点C间的距离为1 cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为_________．14．已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是_____________．15．如图在直线AB上有一点C，，有两只蚂蚁分别以2cm/s、1cm/s 从A、C两点同时出发向右运动，经过__________秒，两只蚂蚁到C点的距离相等．16．在一个长米，宽为4米的长方形草地上，如图推放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是___________．三．解答题17．如图，一个无盖的长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知，，，，求这只蚂蚁爬行的最短距离．18．如图是长、宽、高的长方体容器．(1)求底面矩形的对角线的长；(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？(3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？19．如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，求一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A处）所爬行的最短距离．20．如图，已知A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为，现有一只蚂蚁P从B点出发，以5个单位的速度沿数轴向左运动；同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位的速度沿数轴向右运动，请解决以下问题：(1)设两只蚂蚁在数轴上的C点相遇，请求出C点对应的数是多少？(2)经过多少秒，之间的距离恰好是之间的距离的一半？参考答案：1．C2．A3．A4．A5．A6．A7．B8．C9．10．11．/12．/13厘米13．14．15．或2016．17．18．(1)底面矩形的对角线的长为(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是(3)蚂蚁从D点爬到E点最短路径19．20．(1)(2)秒或秒。

蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点 0 出发往返爬行，爬行的各段行程挨次为：+5， -3， +10， -8， -9 ， +12，-10 ．回答以下问题：（1）蚂蚁最后能否回到出发点0；（2）在爬行过程中，假如每爬一个单位长度奖赏 2 粒芝麻，则蚂蚁一共获得多少粒芝麻．解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0；（2）（ |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10| ）×2=114 粒2.如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从极点 A 出发沿着正方体的表面面爬到极点 B 的最短距离是 .解：如图将正方体睁开，依据“两点之间，线段最短”知，线段 AB 即为最短路线．AB=2212 5 ．3．（ 2006?茂名）如图，点A、 B 分别是棱长为第 6 题A 2 的正方体左、右双侧面的中心，一蚂蚁从点沿其表面爬到点 B 的最短行程是 cm．解：由题意得，从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短行程是两个棱长的长，即2+2=4 ．4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上边的 B 点处，它爬行的最短路线是（）A． A?P?BB． A?Q?BC ． A?R?BD ． A?S?B解：依据两点之间线段最短可知选A．应选A．5．如图，点 A 的正方体左边面的中心，点 B 是正方体的一个极点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短行程是（）解：如图， AB=12 2 1210 ．应选C．6．正方体盒子的棱长为2， BC 的中点为 M，一只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的最短距离为（）解：睁开正方体的点M 所在的面，∵BC 的中点为 M ，因此 MC = 1BC=1，2在直角三角形中 AM ==．7．如图，点 A 和点 B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两其中心，一只蚂蚁在盒子表面由 A 处向 B 处爬行，所走最短行程是cm。

八年级数学蚂蚁爬最短路程基础练习
一、单项选择题(共5道，每道20分)
1.如图，一圆柱体的底面圆周长为24，高AB为4，BC是直径，一只蚂蚁从点A动身，沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程是（）
A.
B.
π
π
2.如图，是一个棱长为2的正方体，一只蜘蛛在极点A处，一只小昆虫在极点B处，那么蜘蛛接近小昆虫时所爬行的最短线路的长是（）
A.
B.+ 2
C.
D.
3.如图，一个长方体盒子（无盖）的长、宽、高别离是12，8，30．在棱AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，最短线路的长是（）
.
B.+ 15
4.如图，某公司举行开业一周年庆典时，预备在公司门口长13米、高5米的台阶上铺设红地毯．已知台阶的宽为4米，那么需要购买红地毯（）平方米．
5.如下图，有一根高为2m的木柱，它的底面周长为，为了营造喜庆的气氛，教师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要预备()m的一根彩带.。

蚂蚁爬行的最短路径1. 一只蚂蚊从原点。

出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5,・3, +10,・8,・9, +12, -10.-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10>回答下列问题：(1) 蚂蚊最后是否回到出发点0：(2) 在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚊一共得到多少粒芝麻. 解:(1)否，0+5・3+10・8・9+12・10=・3,故没有回到0：(2) (|+5| + |-31+ |+10|+ |-8| + |-9RI+121 + 1-101) x2=114 粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚊从顶点囚出发沿着正方体的外表而爬到顶点B的最短距离是‘第6题解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线.A3. (2006・)如图，点人B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚊从点4沿其表而爬到点B的最短路程是cm解：由题意得，从点囚沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4.4. 如图，一只蚂蚁从正方体的底面•点处沿着表而爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A. A=P=BB. ^=Q=SC. A=R=BD. A=S=BBQ.A解：根据两点之间线段最短可知选A故选人5. 如图，点,的正方体左侧而的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2,—蚂蚊从点囚沿其表面爬到点B的最短路程是（）解：如图，AB= J（l + 2）2 + F =而.故选c.6. 正方体盒子的棱长为2,BC的中点为川,一只蚂蚁从囚点爬行到A1点的最短距离为( )5 M C解：展开正方体的点AI所在的而,BC的中点为川，所以AIC= -8C=1.在直角三角形中/Ul=也2+(1+2)2=面.7. 如图，点•和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻而的两个中心，一只蚂蚁在盒子表而由囚处向B处爬行，所走最短路程是cm。

2018年中考专题复习——蚂蚁行程（无答案）第七章蚂蚁行程模型1 立体图形展开的最短路径模型分析上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点A沿圆柱表面爬行一周。

到点B的最短路径就是展开图中AB′的长，22''''=+。

做此类题日的关键就是，正AB AA A B确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。

模型实例例1．有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造房子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？例2．如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径2r=，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是。

第 2 页第 3 页从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁也从C点出发绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）5．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为。

6．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q 在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路线。

7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。

请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？第 4 页。

（八年级上册）勾股定理中的路线问题1. 现有两根木棒，长度分别为44cm和55cm，若要钉成一个三角形的木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（）cmA. 55B. 44C. 33D.222. 在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）A. 45mB. 40mC. 50mD. 56m.3. 在一块长4米，宽3米的长方形草地ABCD的四个顶点处各居住着一只蚂蚁，居住在顶点A处的蚂蚁准备拜访居住在B,C,D三个顶点的蚂蚁，那么它拜访到最后一只蚂蚁的时候，它的旅程最小为（）A. 14mB. 13mC.12mD.10m4. 一透明的圆柱状玻璃杯，底面半径为10cm,高为15cm,一根吸管斜放于杯中，吸管露出杯口外5cm,则吸管长为________cm.5.图，一个高2米，宽3米的大门上，在相对角的定点间加了一块加固木板，则以这块加固木板为边长的正方形的面积为______.6.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．7、如图，已知圆柱体底面直径AB为2cm，高为4cm (π的值取3)（1）求一只蚂蚁从A点到F点的距离。

（2）如果蚂蚁从A点到BF边中点H，求蚂蚁爬行的距离。

FA ●BM8、将正方体改为长方体，长为AB=4cm ，宽BC=2cm ，高GC=3cm ，（1）求一只蚂蚁从A 点到F 点的距离。

（2）如果蚂蚁从A 点到G 点，求蚂蚁爬行的距离。

（3）如果蚂蚁从A 点到CG 边中点M ，求蚂蚁爬行的距离。

9、某校A 与直线公路距离为3000米，又与该公路上某车站D 的距离为5000米，现要在公路边建一个小商店C ，使之与学校A 及车站D 的距离相等，那么，该店与车站D 的距离是多少米？10.学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足222c b a =+,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！(1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是=a ______mm ；=b _______mm ；较长的一条边长=c _______mm 。

1.3 蚂蚁怎样走最近(含答案)-1.3 蚂蚁怎样走最近【学习目标】掌握应用勾股定理及勾股定理逆定理解决实际问题的方法. 【基础知识演练】1．勾股定理及逆定理在生活实际和数学领域有着广泛的应用，先来回顾这一内容。

△ABC ，∠C =90°，a =9，b =12，则c =____．2．△ABC ，AC =6，BC =8，当AB 时，∠C =90°．3．直角三角形两直角边长分别为5 和12，则斜边上的高为．4. 小白兔每跳一次为1米，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是 . 5．若正整数a ，b ，c 是一组勾股数，则下列各组数一定还是勾股数的是（）A ．a+1，b+1，c+1 C ．2a ，2b ，2cB ．a 2，b 2，c 2 D ．a －1，b －1，c －16．直角三角形的斜边比一直角边长 2 cm，另一直角边长为 6 cm，则它的斜边长（）A ．4 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm7. △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c 下列说法错误的是（）A ．如果∠C －∠B =∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ．如果c 2=b 2－a 2，则△ABC 是直角三角形，且∠C =90° C ．如果(c +a )( c －a )=b 2，则△ABC 是直角三角形 D ．如果∠A ∶∠B ∶∠C =5∶2∶3，则△ABC 是直角三角形8. 如图，有一个底面半径为6cm ，高为24cm 的圆柱，在圆柱下底面的点A 有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A 相对的点B 处的食物后再返回到A 点处休息，请问它需爬行的最短路程约是多少？（π取整数3）9. 甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75O 的方向航行；乙以12海里/时的速度向南偏东15O 的方向航行，计算它们出发1.5小时后两船的距离.【思维技能整合】10．在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？11．小明把一根长为160 cm的细铁丝剪成三段，作成一个等腰三角形风筝的边框ABC (如图) ，已知风筝的高AD =40 cm，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？【发散创新尝试】12. 有一个长宽高分别为2cm ，1cm ，3cm 的长方体，如图，有一只小蚂蚁想从点A 爬到点C 1处，请你帮它设计爬行的最短路线，并说明理由．【回顾体会联想】13. 如果把勾股定理“直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和”中的平方，理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理还可以推广. 比如，把由直角三角形三边所构成的三个正方形，推广为以三边为直经的半圆，结论仍然成立，即以斜边为直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作的半圆的面积之和(如图). 你能证明吗？请试一试。

效果： （１） （２） 学生很容易算出：情形（１）中A →B 的路线长为：AA ’+d ，
情形（２）中A →B 的路线长为：AA ’+πd ／2
;
;
得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．
在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．
A ’ A ’ A ’
2
如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶
的
用
建立方程
运用勾股定理及其
又在将实际问题抽象成几何图形过程中，学会观察，提高分析能力，渗透数学建摸思想．在设计中,我
“蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，这个问题体现了二、三维图形的转化，对发展学生的空间观念很有好处．
本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习重组，使练习有。

1.3 蚂蚁如何走近来最短路径的研究1.制一个底面周 a、高 b 的柱形花柱架，需用沿柱表面一周的竹条若干根，如中的 A1C1B1， A2C2B2，⋯，每一根的竹条的度最少是 _ _____________.2.以下资料：：如（ 1），一柱的底面半径和高均 5dm， BC是底面直径，求一只从 A点出沿柱表面爬行到点 C 的最短路 . 小明了两条路：路 1：面睁开中的段AC.以下（ 2）所示：路 1 的度l1，l12AC 2AB 2BC 252(5) 225 25 2；路 2：高 AB + 底面直径 BC，如上（ 1）所示，路 2 的度l2，比两个正数的大小，有用它的l22( AB BC)2(510)2225 .平方来比更方便l12l 222525222525220025(28)0 .∴ l122∴ l1l 2 l 2因此要路 2 短。

（1）小明上述有些迷惑，于是他把条件改成：“ 柱的底面半径 1dm，高 AB 5dm” 按前方的方式行算 .你帮小明达成下边的算：路 1：l12AC 2___________________ ；路 2：l22( AB BC )2__________ ,∵ l12 _____ l 22,∴l1 _____ l 2(填 >或<).因此路 ____________( 填 1 或 2) 短 .(2) 你帮小明研究 : 在一般状况下 , 当柱的底面半径r, 高 h ，如何上边的两条路才能使从点 A 出沿柱表面爬行到 C 点的路最短 .3.研究活动 : 有一圆柱形食品盒，它的高等于8cm，底面直径为18cm，蚂蚁爬行的速度为2cm/s.（1）假如在盒内下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点起码需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽视不计，结果可含根号）B 处的食品，那么它（2）假如在盒外下底面的 A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点起码需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽视不计）B 处的食品，那么它答案：1.a2b2【分析】底面周长为a、高为 b 的圆柱的侧面睁开图为矩形, 它的边长分别为 a,b ，因此对角线长为a2b2，因此每一根这样的竹条的长度最少是a2b2. 2. 解：（ 1）25+π249＜＜ 1（2） l 2222221 =AC =AB+BC=h +（πr），l 22=（AB+BC）2=（ h+2r ）2，2222222l 1 -l 2 =h +（πr）- （h+2r ） =r （πr-4r-4h ） =r[ （π -4 ） r-4h]. r 恒大于0，只要看后边的式子即可．当 r=4h时， l2221=l 2；4当 r ＞4h时， l22 241＞ l 2；4h当 r ＜时， l 2＜ l2241 2 ．3.解：（ 1 ）如图， AC=π?18÷2=9cm ， BC=4cm，则蚂蚁走过的最短路径为：AB=9242=97 cm，因此97 ÷2=97（s），即起码需要97s．22（2）如图，作 B 对于 EF 的对称点 D，连结 AD，交 EF 于点 P，连结 BP，则蚂蚁走的最短行程是 AP+PB=AD，由图可知， AC=9cm， CD=8+4=12（ cm）．因此 AD= 92122=15（ cm）， 15÷ 2=7.5 （s）即起码需要 7.5s ．。