第四讲曲线拟合的最小二乘法
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最小二乘法曲线拟合原理及maab实现
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。
因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。
原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。
求近似曲线)(x ϕ。
并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。
近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。
常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：1. 设拟合多项式为：2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了： .......4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。
MATLAB 实现：MATLAB 提供了polyfit （）函数命令进行最小二乘曲线拟合。
调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y 为数据点，n 为多项式阶数，返回p 为幂次从高到低的多项式系数向量p 。
x 必须是单调的。
矩阵s 包括R （对x 进行QR 分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。
曲线拟合 最小二乘法
曲线拟合最小二乘法
曲线拟合是指通过已知数据点来推导出一条函数曲线，使得该曲线尽
可能地贴近这些数据点。
而最小二乘法（Least Squares Method）是求解
这种拟合问题的一种常用方法。
最小二乘法的核心思想是尽量减小误差平方和。
假设已知的数据点为$(x_i, y_i)$，曲线函数为 $y=f(x)$，我们希望找到一组参数 $\theta$，使得 $f(x_i;\theta)$ 与 $y_i$ 的差距最小，即：
$$\min_{\theta}\sum_{i=1}^n [y_i - f(x_i;\theta)]^2$$。
这个式子被称为目标函数，也叫做残差平方和（RSS）。
通过对目标
函数进行求导，可以得到最优参数 $\theta^*$ 的解析解：
$$\theta^* = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T
\mathbf{y}$$。
其中，$\mathbf{X}$ 是一个 $n \times p$ 的矩阵，每一行代表一
个数据点的特征向量，$p$ 是曲线函数的参数个数。
$\mathbf{y}$ 是一
个 $n \times 1$ 的列向量，代表数据点的真实输出值。
最小二乘法在实际应用中有很广泛的应用。
例如，可以用它来构建多
项式回归模型、高斯过程回归模型等。
此外，在机器学习领域，最小二乘
法也被用于求解线性回归模型、岭回归模型等。
最小二乘法曲线拟合-原理及matlab实现
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。
因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。
原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。
求近似曲线)(x ϕ。
并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。
近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。
常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：1. 设拟合多项式为：kk x a x a a x +++=...)(10ϕ2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了：.......4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。
MATLAB实现：MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。
调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
x 必须是单调的。
矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数（合肥工业大学控释药物研究室尹情胜）1 目的用最小二乘法拟合一组变量（，，i＝1-n）之间的线性方程（y＝ax+b），表示两变量间的函数关系；（开创者：德国数学家高斯）一组数据（，，i＝1-n）中，两变量之间的相关性用相关系数（R）来表示。
（开创者：英国统计学家卡尔·皮尔逊）2 最小二乘法原理用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（）与实测值（）差值的平方和（Q）最小。
式（1）3 拟合方程的计算公式与推导当Q最小时，；得到式（2）、式（3）：式（2）式（3）由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）：式（4）式（5）式（4）乘以n，式（5）乘以，两式相减并整理得斜率a：斜率（k＝xy／xx，n*积和-和积）式（6）截距b的计算公式为公式（5），也即：截距b＝（y-x）／n，差平均差）式（7）4 相关系数的意义与计算公式相关系数（相关系数的平方称为判定系数）是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数（也称积差相关系数）是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
相关系数r xy取值在-1到1之间。
r xy = 0时，称x,y不相关；| r xy | = 1时，称x,y完全相关，此时，x,y之间具有线性函数关系；| r xy | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，r xy的绝对值越大，x的变动引起y的变动就越大，|r xy | > 0.8时称为高度相关，当0.5< | r xy|<0.8时称为显著相关，当0.3<| r xy |<0.5时，成为低度相关，当| r xy | < 0.3时，称为无相关。
(式（7）5 临界相关系数的意义5.1 临界相关系数中显著性水平（α）与置信度（P）的关系显著性水平取0.05，表示置信度为95%；取0.01，置信度就是99%。
最小二乘拟合法公式
最小二乘拟合法公式最小二乘拟合法是一种常用的数据分析方法，用于找到一条最佳的拟合曲线或函数，使其在给定的数据集上的误差平方和最小。
这种方法可以用于解决各种问题，例如线性回归、曲线拟合等。
在最小二乘拟合法中，我们希望找到一个函数或曲线，使其能够最好地拟合给定的数据点。
假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们希望找到一个函数y = f(x)，使得对于每个数据点(xi, yi)，f(xi)的值与yi的值之间的差异最小。
为了实现这个目标，我们可以使用最小二乘法来确定最佳的拟合函数。
最小二乘法通过最小化误差平方和来找到最佳拟合函数的系数。
误差平方和定义为每个数据点的预测值与实际值之差的平方之和。
最小二乘拟合法的公式如下所示：β = (X^T * X)^(-1) * X^T * Y其中，β是一个包含拟合函数的系数的向量，X是一个包含数据点的矩阵，Y是一个包含对应的实际值的向量，^T表示矩阵的转置，^(-1)表示矩阵的逆运算。
通过求解上述公式，我们可以得到最佳的拟合函数的系数。
然后，我们可以使用这些系数来计算拟合函数在其他输入值上的预测值。
最小二乘拟合法在实际应用中具有广泛的用途。
例如，在线性回归中，我们可以使用最小二乘法来拟合一条最佳的直线，以描述自变量和因变量之间的关系。
在曲线拟合中，我们可以使用最小二乘法来拟合一条最佳的曲线，以逼近给定的数据点。
需要注意的是，最小二乘拟合法在某些情况下可能会出现问题。
例如，当数据点存在较大的误差或离群值时，最小二乘法可能会受到影响。
此外，最小二乘法只能用于找到最佳的拟合函数，而不能确定拟合函数的可靠性或显著性。
总结起来，最小二乘拟合法是一种常用的数据分析方法，用于找到一条最佳的拟合曲线或函数。
通过最小化误差平方和，最小二乘法可以确定拟合函数的系数，从而实现对给定数据的最佳拟合。
然而，最小二乘法也有一些限制，需要在实际应用中进行注意。
最小二乘法与曲线拟合-PPT
点(xi,yi)带入y=(x) ，便得到以a0,a1,…,am为未知
量的矛盾方程组
0 + 1 1 + 2 12 + ⋯ + 1 = 1
其矩阵形式为
Ԧ =
0 + 1 2 + 2 22 + ⋯ +
其中
1
= 1
⋮
1
1
2
⋮
12
22
⋮
2
⋯
⋯
⋱
最小二乘法与曲线拟合
§5.0 问题的提出
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很
好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要失败。
另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有
一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点，
势必使插值结果更加不准确。
如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值
不为零，从而有rankA=m＋1。由引理2知，正则方程
组有唯一解。
证毕
四、最小二乘法拟合曲线的步骤
1..通过观察、分析得到拟合曲线的数学模型，或
根据经验公式确定数学模型。
2.将拟合曲线的数学模型转换为多项式。
3.写出矛盾方程组。
4.写出正则方程组。（可由多项式模型直接得到）
5.求解正则方程组，得到拟合曲线的待定系数。
多项式的次数过高而效果不理想。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似
表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基本
趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合
问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本章
介绍用最小二乘法求拟合曲线。
§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
量的矛盾方程组
0 + 1 1 + 2 12 + ⋯ + 1 = 1
其矩阵形式为
Ԧ =
0 + 1 2 + 2 22 + ⋯ +
其中
1
= 1
⋮
1
1
2
⋮
12
22
⋮
2
⋯
⋯
⋱
最小二乘法与曲线拟合
§5.0 问题的提出
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很
好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要失败。
另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有
一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点，
势必使插值结果更加不准确。
如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值
不为零，从而有rankA=m＋1。由引理2知，正则方程
组有唯一解。
证毕
四、最小二乘法拟合曲线的步骤
1..通过观察、分析得到拟合曲线的数学模型，或
根据经验公式确定数学模型。
2.将拟合曲线的数学模型转换为多项式。
3.写出矛盾方程组。
4.写出正则方程组。（可由多项式模型直接得到）
5.求解正则方程组，得到拟合曲线的待定系数。
多项式的次数过高而效果不理想。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似
表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基本
趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合
问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本章
介绍用最小二乘法求拟合曲线。
§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
曲线拟合的最小二乘法
2.6 曲线拟合的最小二乘法
插 值 含 义 的 图 像 表 示 :
Y
y pn (x )
插 值
X
《数值计算》课件 第四章 插值与拟合
拟合含义的图像表示:
Y
y p n (x )
曲线拟合
X
返回
《数值计算》课件 第四章 插值与拟合
Байду номын сангаас、直线拟合
假设所给数据点 ( xi , yi )( i 1, 2, , N )的分布 大致成一直线 .
yi
解之得
a 3.9374, b 7.4626 ,
因而拟合直线为 y 3.9374 7.4626 x
《数值计算》课件 第四章 插值与拟合
二、多项式拟合
问题 对于给定的一组数据 ( xi , yi )( i 1, 2, , m )求作n ( n m )次多项式 y aj x j ,
j 0 n
使总误差 j Q yi a j xi i 1 j 0
m n 2
为最小.
多 项 式 拟 合 问 题
上述拟合多项式的构造可归结为多元函数的极值问题 .
《数值计算》课件 第四章 插值与拟合
(1)最小二乘拟合多项式Pn ( x ) 的求解
利用多元函数的极值含义 （即由多元函数的极值的必要条件）可得 对
m
x
j i
yi
(j=0,1，…,n)
第四章 插值与拟合
m m m 具体化取 j=2 时所对应的等式为 : yi n m 1 x x i a0 i 0 m m i m m m i 03 i 0n 2 2 2 x m a m mx x a a x y x y 0 i 1 i n 1n i i i a1 i 2 i x xi i xi i 0 i 0 i i 0 0 i 0 i 0 i 0 i 0 这是关于系数 a 的线性方程组 a0 ， a1 ，…， m n m m x in x in 1 x i2 n 写成矩阵形式为 a n m n i 0 i 0 xi yi i 0 i 0
插 值 含 义 的 图 像 表 示 :
Y
y pn (x )
插 值
X
《数值计算》课件 第四章 插值与拟合
拟合含义的图像表示:
Y
y p n (x )
曲线拟合
X
返回
《数值计算》课件 第四章 插值与拟合
Байду номын сангаас、直线拟合
假设所给数据点 ( xi , yi )( i 1, 2, , N )的分布 大致成一直线 .
yi
解之得
a 3.9374, b 7.4626 ,
因而拟合直线为 y 3.9374 7.4626 x
《数值计算》课件 第四章 插值与拟合
二、多项式拟合
问题 对于给定的一组数据 ( xi , yi )( i 1, 2, , m )求作n ( n m )次多项式 y aj x j ,
j 0 n
使总误差 j Q yi a j xi i 1 j 0
m n 2
为最小.
多 项 式 拟 合 问 题
上述拟合多项式的构造可归结为多元函数的极值问题 .
《数值计算》课件 第四章 插值与拟合
(1)最小二乘拟合多项式Pn ( x ) 的求解
利用多元函数的极值含义 （即由多元函数的极值的必要条件）可得 对
m
x
j i
yi
(j=0,1，…,n)
第四章 插值与拟合
m m m 具体化取 j=2 时所对应的等式为 : yi n m 1 x x i a0 i 0 m m i m m m i 03 i 0n 2 2 2 x m a m mx x a a x y x y 0 i 1 i n 1n i i i a1 i 2 i x xi i xi i 0 i 0 i i 0 0 i 0 i 0 i 0 i 0 这是关于系数 a 的线性方程组 a0 ， a1 ，…， m n m m x in x in 1 x i2 n 写成矩阵形式为 a n m n i 0 i 0 xi yi i 0 i 0
曲线拟合的最小二乘法
一、曲线拟合是什么？曲线拟合也就是求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动, 能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小。
设函数y=f(x)在m个互异点的观测数据为求一个简单的近似函数φ(x)，使之“最好”地逼近f(x),而不必满足插值原则。
这时没必要取φ(xi) = yi, 而要使i=φ(xi)yi 总体上尽可能地小。
这种构造近似函数的方法称为曲线拟合,称函数y=φ(x)为经验公式或拟合曲线。
如下为一个曲线拟合示意图。
清楚什么是曲线拟合之后，我们还需要了解一个概念——残差。
曲线拟合不要求近似曲线严格过所有的数据点，但使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到总体上尽可能地小。
若令（1-1）则为残向量（残差）。
“使（1-1）尽可能地小”有不同的准则（1）残差最大值最小（2）残差绝对值和最小（绝对值的计算比较麻烦）（3）残差平方和最小（即最小二乘原则。
计算比较方便，对异常值非常敏感，并且得到的估计量具有优良特性。
）二、最小二乘法是什么？个人粗俗理解：按照最小二乘原则选取拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
百度百科：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
三、求解最小二乘法（包含数学推导过程）我们以最简单的线性模型来解释最小二乘法。
什么是线性模型呢？监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。
回归分析中，n个自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为一/多元线性回归分析。
数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法
曲线拟合的最小二乘法姓名：学号：专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作 x，而把所有的误差只认为是y的误差。
设 x 和 y 的函数关系由理论公式y＝f（x；c1，c2，……cm）（0-0-1）给出，其中 c1，c2，……cm 是 m 个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据（xi，yi）i＝1，2，……，N。
都对应于xy 平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取 m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi ＝ f （x ；c1 ，c2 ，……cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，……，m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。
显然N<m 时，参数不能确定。
y 2 y 在 N>m 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则 y 的观测值 yi 围绕着期望值 <f （x ；c1，c2，……cm）> 摆 动，其分布为正态分布，则 yi 的概率密度为p y i1 exp,式中i是分布的标准误差。
为简便起见，下面用 C 代表（c1，c2，……cm ）。
最小二乘法线性拟合
最小二乘法线性拟合最小二乘法线性拟合是一种常用的拟合方式，用于回归分析。
该方法采用最小二乘法，即使给定一组观测数据，通过计算出虚拟曲线，让拟合曲线和真实曲线之间距离最小化。
一、最小二乘法线性拟合的定义最小二乘法线性拟合是指利用一定量的实验数据，将拟合的数据的每个成分所需的函数拟合情况相同，而且有较低的累积偏差，以最好地模拟真实的实验数据的方法。
二、最小二乘法线性拟合的优点1、可以反映出实验数据的趋势：利用最小二乘法线性拟合，可以较准确地反映实验数据的趋势，可以用较低的累积偏差来得到较好的拟合效果。
2、可以有效地分析实验结果：通过最小二乘法线性拟合，可以有效地分析实验数据，从而获得完整的实验结果。
3、有利于有效的参数估计：利用最小二乘法线性拟合能够有效的参数估计，从而得出较好的参数拟合结论。
三、最小二乘法线性拟合的应用1、在科学研究中：最小二乘法线性拟合是科学研究中普遍采用的方法，如利用最小二乘法线性拟合，可以准确地模拟实验数据对实验结果的影响程度，从而获得较准确的分析结论。
2、在工程实践中：最小二乘法线性拟合也可用于工程实践的计算和设计，使得实验数据和拟合数据可以较为准确地实现关联，有助于加速计算结果的获得，从而提高系统的运行效率。
四、最小二乘法线性拟合的缺点1、拟合出的曲线有明显的噪点：采用最小二乘法线性拟合得出的拟合曲线，有可能会出现明显的噪点，影响拟合效果，而使拟合曲线与实际曲线不一致。
2、受矩阵性质的影响：最小二乘法线性拟合还受矩阵的性质的影响，要求迭代过程中的影响矩阵要满足半正定的性质，以方便求解得出解决方案。
3、无法估计系统噪声：最小二乘法线性拟合无法估计实验数据中的系统噪声，可能存在隐藏的噪声缺陷，从而影响拟合效果。
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ln ϕ ( x ) = ln a + bx
∑ u = ∑ ln y = 29.9787 ∑ x u = 147.1948,
i i i i
令 u=ln y , A=ln a , B=b 则函数 u=ln y(x) 的经验公式形为 u=lny=A+Bx 这是线性拟合， 这是线性拟合，法方程组形为
An + B ∑ x i = ∑ ui 2 A∑ x i + B ∑ x i = ∑ x i ui
∑x ∑x ∑x
m −1 i m i m +1 i
已知实验数据表, 例2 已知实验数据表 试用最小二 乘法求经验公式拟合这组数据. 乘法求经验公式拟合这组数据
x y 答案: 答案 作散点图
y 40 30 20 10 ( 2, 2) × 0 2 4 6 8 x
× ( 4 , 11)
2 2
4 11
6 28
ϕ ( x ) = 4.7143 − 2.7857 x + 0.5000 x 2
x y
0 1 5 2
2 1
3 1
4 2
5 3
例4 求一个经验函数 ϕ(x)=aebx, 使 它与观测数据拟合. 它与观测数据拟合 (a, b 为常数 )
x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 14.3 20.5 27.4 36.6 49.1 64.6 87.8 117.6 答案: 答案 对经验公式两边取对数得
三、代数多项式拟合
1. 直线拟合
ϕ ( x ) = c1 + c2 x , m = 2, ϕ1 ( x ) = 1, ϕ 2 ( x ) = x .
c1 + c2 x1 = y1 1 x1 1 x c1 + c2 x2 = y2 2 , A= 作超定方程组 . M M LL c1 + c2 xn = yn 1 xn
曲线拟合最小二乘法的计算步骤 曲线拟合最小二乘法的计算步骤: 的计算步骤
(1) 计算 A=(aij )n×m , 其中aij =ϕ j (xi ), i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m .
(2)计算 TA, ATy , 形成法方程组 TAc = ATy. 计算A 形成法方程组A 计算 (3)求解法方程组 计算出 c1, c2, …,cm, 构成ϕ(x). 求解法方程组, 求解法方程组
n AT A = ∑ xi ∑ xi2
∑x ∑x
∑ xi
2 i 3 i
∑ yi xi2 ∑ xi3 , AT y = ∑ xi yi ∑ ∑ xi2 yi ∑ xi4
c1 n + c2 ∑ xi + c3 ∑ xi2 = ∑ yi 2 3 法方程组为 c1 ∑ xi + c2 ∑ xi + c3 ∑ xi = ∑ xi yi . c1 ∑ xi2 + c2 ∑ xi3 + c3 ∑ xi4 = ∑ xi2 yi
46a + 4b = 45 法方程组为 4a + 1.3525b = −2.55
6.432976 . x
所求经验公式为 ϕ ( x ) = 1.537650 x −
练习 用最小二乘法求形如 y=a0+a1x 的多项式, 使之与下列数据相拟合: 的多项式 使之与下列数据相拟合
x
1 A y= x1
T
1 x2
... ...
∑
c1n + c2 ∑ xi = ∑ yi c1 ∑ xi + c2 ∑ xi2 = ∑ xi yi
三、代数多项式拟合
2. 二次拟合、抛物拟合 二次拟合、
ϕ ( x ) = c1 + c2 x + c3 x 2 .
∑ [ϕ ( xi ) − yi ] = ∑ ∑ c jϕ j ( xi ) − yi i =1 i =1 j =1 达到极小. 达到极小
n n m 2 2
曲线拟合的最小二乘法可以看成 求下述超定方程组的最小二乘解的问题:. 求下述超定方程组的最小二乘解的问题
c1ϕ1 ( x1 ) + c2ϕ 2 ( x1 ) + L + cmϕ m ( x1 ) = y1 c1ϕ1 ( x2 ) + c2ϕ 2 ( x2 ) + L + cmϕ m ( x2 ) = y2 , LLLLLL c1ϕ1 ( xn ) + c2ϕ 2 ( xn ) + L + cmϕ m ( xn ) = yn
n
达到最小, 达到最小 则称 c为超定方程组的最小二乘解 为超定方程组的最小二乘解. 存在最小二乘解, 定理 4.3 超定方程组 Ac = y 存在最小二乘解 的解. 且即为方程组 ATAc = ATy 的解 当 A的列向量线性无 的列向量线性无 非奇异, 关时 ATA非奇异 这时有唯一的解 非奇异 这时有唯一的解. 称方程组A 为方程组Ac 定义 称方程组 TAc = ATy 为方程组 = y 的正 则方程组、正规方程组、法方程组. 则方程组、正规方程组、法方程组
c1 + c 2 x 1 + c 3 x 12 = y1 2 c1 + c 2 x 2 + c 3 x 2 = y 2 有 A = , 作超定方程组 LL c + c x + c x 2 = y 2 n 3 n n
1 1 M 1 x1 x2 M xn x 12 2 x2 M 2 xn
(n > m )
n ∑ xi AT A = ∑ xi2 x m −1 ∑ i
∑x ∑x ∑x
i 2 i 3 i
∑x ∑x ∑x
2 i 3 i 4 i
L L L L L
L ∑ xim
L ∑ xim +1
∑ yi x i yi ∑ , AT y = ∑ xi2 yi . M x m −1 y ∑ xi2m −2 i ∑ i
1 AT A = x1 1 x2 ... ... 1 x1 n 1 1 x 2 = xn M M ∑ xi 1 x n y1 ∑ yi 1 y2 M = xn xi yi yn
记号∑指对 记号∑指对i 取和. 从1到n取和 到 取和
( m < n)
超定方程组的最小二乘解: 超定方程组的最小二乘解 考虑超定方程组
a11c1 + a12 c2 + L + a1m cm = y1 a21c1 + a22 c2 + L + a2 m cm = y2 , LLLLLL an1c1 + an 2 c2 + L + anm cm = yn
计算方法
第4讲 曲线拟合的最小二乘法 讲
本讲主要问题
一、曲线拟合问题 二、线性最小二乘法 三、代数多项式拟合
插值法是使用插值多项式来逼近未 知或复杂函数的, 知或复杂函数的 它要求插值函数与被 插函数在插值节点上函数值相同, 而在其他 插函数在插值节点上函数值相同 点上没有要求. 点上没有要求 在非插值节点上有时函数值会相 差很大. 差很大 插值若要求在被插函数的定义区间上, 所选近似 插值若要求在被插函数的定义区间上 函数都能与被插函数有较好的近似, 函数都能与被插函数有较好的近似 就是最佳逼近 问题. 问题 离散的最佳平方逼进问题就是常说的曲线拟合, 离散的最佳平方逼进问题就是常说的曲线拟合 它可用最小二乘法求解. 它可用最小二乘法求解
例子: 注意它与插值法的不同 注意它与插值法的不同) 例子 (注意它与插值法的不同
通常选择函数类型的做法: 描出散 通常选择函数类型的做法 描出散 点图, 点图 再根据专业知识和经验来选择ϕ(x) 的类型. 的类型
ϕ ( x ) = c1ϕ1 ( x ) + c2ϕ 2 ( x ) + L + cmϕ m ( x ) , ( m < n)
三、代数多项式拟合
3. 一般情形
ϕ ( x ) = c1 + c2 x + L + cm x m −1 , ( m < n)
2 m 1 x1 x1 L x1 −1 2 m 1 x 2 x 2 L x 2 −1 超定方程组的系数矩阵为 A = , L L L 2 m 1 x n x n L x n −1
例1 已知观测数据 (1, –5), (2, 0), (4, 5), (5, 6), 试用最小二乘法求形如
b 的经验公式. ϕ ( x ) = ax + 的经验公式 x
答案: 答案 超定方程组
a + b = −5 2 a + 0.5 b = 0 4 a + 0.25 b = 5 5 a + 0.2 b = 6
一、曲线拟合问题
设函数 y=f(x)在 n 个互异点的观测 在 数据为: 数据为
xi yi x1 y1 x2 ….. xn y2 ….. yn
求一个简单的近似函数ϕ(x), 使之“最好”地逼近 使之“最好” f(x), 而不必满足插值原则. 为经验公式或 而不必满足插值原则 称函数 y= ϕ(x)为经验公式或 拟合曲线. 拟合曲线
合数据, 合数据 即
V = a0 + a1 I
2 m = 6, ∑ I k = 31, ∑ I k = 221, k =1 k =1 6 6
x y
多项式为
0 1 5 2
2 1
3 1
4 2
5 3
答案: 作散点图, 可以看出这些点接近一条抛物线, 答案 作散点图 可以看出这些点接近一条抛物线 因此设所求的
∑ u = ∑ ln y = 29.9787 ∑ x u = 147.1948,
i i i i
令 u=ln y , A=ln a , B=b 则函数 u=ln y(x) 的经验公式形为 u=lny=A+Bx 这是线性拟合， 这是线性拟合，法方程组形为
An + B ∑ x i = ∑ ui 2 A∑ x i + B ∑ x i = ∑ x i ui
∑x ∑x ∑x
m −1 i m i m +1 i
已知实验数据表, 例2 已知实验数据表 试用最小二 乘法求经验公式拟合这组数据. 乘法求经验公式拟合这组数据
x y 答案: 答案 作散点图
y 40 30 20 10 ( 2, 2) × 0 2 4 6 8 x
× ( 4 , 11)
2 2
4 11
6 28
ϕ ( x ) = 4.7143 − 2.7857 x + 0.5000 x 2
x y
0 1 5 2
2 1
3 1
4 2
5 3
例4 求一个经验函数 ϕ(x)=aebx, 使 它与观测数据拟合. 它与观测数据拟合 (a, b 为常数 )
x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 14.3 20.5 27.4 36.6 49.1 64.6 87.8 117.6 答案: 答案 对经验公式两边取对数得
三、代数多项式拟合
1. 直线拟合
ϕ ( x ) = c1 + c2 x , m = 2, ϕ1 ( x ) = 1, ϕ 2 ( x ) = x .
c1 + c2 x1 = y1 1 x1 1 x c1 + c2 x2 = y2 2 , A= 作超定方程组 . M M LL c1 + c2 xn = yn 1 xn
曲线拟合最小二乘法的计算步骤 曲线拟合最小二乘法的计算步骤: 的计算步骤
(1) 计算 A=(aij )n×m , 其中aij =ϕ j (xi ), i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m .
(2)计算 TA, ATy , 形成法方程组 TAc = ATy. 计算A 形成法方程组A 计算 (3)求解法方程组 计算出 c1, c2, …,cm, 构成ϕ(x). 求解法方程组, 求解法方程组
n AT A = ∑ xi ∑ xi2
∑x ∑x
∑ xi
2 i 3 i
∑ yi xi2 ∑ xi3 , AT y = ∑ xi yi ∑ ∑ xi2 yi ∑ xi4
c1 n + c2 ∑ xi + c3 ∑ xi2 = ∑ yi 2 3 法方程组为 c1 ∑ xi + c2 ∑ xi + c3 ∑ xi = ∑ xi yi . c1 ∑ xi2 + c2 ∑ xi3 + c3 ∑ xi4 = ∑ xi2 yi
46a + 4b = 45 法方程组为 4a + 1.3525b = −2.55
6.432976 . x
所求经验公式为 ϕ ( x ) = 1.537650 x −
练习 用最小二乘法求形如 y=a0+a1x 的多项式, 使之与下列数据相拟合: 的多项式 使之与下列数据相拟合
x
1 A y= x1
T
1 x2
... ...
∑
c1n + c2 ∑ xi = ∑ yi c1 ∑ xi + c2 ∑ xi2 = ∑ xi yi
三、代数多项式拟合
2. 二次拟合、抛物拟合 二次拟合、
ϕ ( x ) = c1 + c2 x + c3 x 2 .
∑ [ϕ ( xi ) − yi ] = ∑ ∑ c jϕ j ( xi ) − yi i =1 i =1 j =1 达到极小. 达到极小
n n m 2 2
曲线拟合的最小二乘法可以看成 求下述超定方程组的最小二乘解的问题:. 求下述超定方程组的最小二乘解的问题
c1ϕ1 ( x1 ) + c2ϕ 2 ( x1 ) + L + cmϕ m ( x1 ) = y1 c1ϕ1 ( x2 ) + c2ϕ 2 ( x2 ) + L + cmϕ m ( x2 ) = y2 , LLLLLL c1ϕ1 ( xn ) + c2ϕ 2 ( xn ) + L + cmϕ m ( xn ) = yn
n
达到最小, 达到最小 则称 c为超定方程组的最小二乘解 为超定方程组的最小二乘解. 存在最小二乘解, 定理 4.3 超定方程组 Ac = y 存在最小二乘解 的解. 且即为方程组 ATAc = ATy 的解 当 A的列向量线性无 的列向量线性无 非奇异, 关时 ATA非奇异 这时有唯一的解 非奇异 这时有唯一的解. 称方程组A 为方程组Ac 定义 称方程组 TAc = ATy 为方程组 = y 的正 则方程组、正规方程组、法方程组. 则方程组、正规方程组、法方程组
c1 + c 2 x 1 + c 3 x 12 = y1 2 c1 + c 2 x 2 + c 3 x 2 = y 2 有 A = , 作超定方程组 LL c + c x + c x 2 = y 2 n 3 n n
1 1 M 1 x1 x2 M xn x 12 2 x2 M 2 xn
(n > m )
n ∑ xi AT A = ∑ xi2 x m −1 ∑ i
∑x ∑x ∑x
i 2 i 3 i
∑x ∑x ∑x
2 i 3 i 4 i
L L L L L
L ∑ xim
L ∑ xim +1
∑ yi x i yi ∑ , AT y = ∑ xi2 yi . M x m −1 y ∑ xi2m −2 i ∑ i
1 AT A = x1 1 x2 ... ... 1 x1 n 1 1 x 2 = xn M M ∑ xi 1 x n y1 ∑ yi 1 y2 M = xn xi yi yn
记号∑指对 记号∑指对i 取和. 从1到n取和 到 取和
( m < n)
超定方程组的最小二乘解: 超定方程组的最小二乘解 考虑超定方程组
a11c1 + a12 c2 + L + a1m cm = y1 a21c1 + a22 c2 + L + a2 m cm = y2 , LLLLLL an1c1 + an 2 c2 + L + anm cm = yn
计算方法
第4讲 曲线拟合的最小二乘法 讲
本讲主要问题
一、曲线拟合问题 二、线性最小二乘法 三、代数多项式拟合
插值法是使用插值多项式来逼近未 知或复杂函数的, 知或复杂函数的 它要求插值函数与被 插函数在插值节点上函数值相同, 而在其他 插函数在插值节点上函数值相同 点上没有要求. 点上没有要求 在非插值节点上有时函数值会相 差很大. 差很大 插值若要求在被插函数的定义区间上, 所选近似 插值若要求在被插函数的定义区间上 函数都能与被插函数有较好的近似, 函数都能与被插函数有较好的近似 就是最佳逼近 问题. 问题 离散的最佳平方逼进问题就是常说的曲线拟合, 离散的最佳平方逼进问题就是常说的曲线拟合 它可用最小二乘法求解. 它可用最小二乘法求解
例子: 注意它与插值法的不同 注意它与插值法的不同) 例子 (注意它与插值法的不同
通常选择函数类型的做法: 描出散 通常选择函数类型的做法 描出散 点图, 点图 再根据专业知识和经验来选择ϕ(x) 的类型. 的类型
ϕ ( x ) = c1ϕ1 ( x ) + c2ϕ 2 ( x ) + L + cmϕ m ( x ) , ( m < n)
三、代数多项式拟合
3. 一般情形
ϕ ( x ) = c1 + c2 x + L + cm x m −1 , ( m < n)
2 m 1 x1 x1 L x1 −1 2 m 1 x 2 x 2 L x 2 −1 超定方程组的系数矩阵为 A = , L L L 2 m 1 x n x n L x n −1
例1 已知观测数据 (1, –5), (2, 0), (4, 5), (5, 6), 试用最小二乘法求形如
b 的经验公式. ϕ ( x ) = ax + 的经验公式 x
答案: 答案 超定方程组
a + b = −5 2 a + 0.5 b = 0 4 a + 0.25 b = 5 5 a + 0.2 b = 6
一、曲线拟合问题
设函数 y=f(x)在 n 个互异点的观测 在 数据为: 数据为
xi yi x1 y1 x2 ….. xn y2 ….. yn
求一个简单的近似函数ϕ(x), 使之“最好”地逼近 使之“最好” f(x), 而不必满足插值原则. 为经验公式或 而不必满足插值原则 称函数 y= ϕ(x)为经验公式或 拟合曲线. 拟合曲线
合数据, 合数据 即
V = a0 + a1 I
2 m = 6, ∑ I k = 31, ∑ I k = 221, k =1 k =1 6 6
x y
多项式为
0 1 5 2
2 1
3 1
4 2
5 3
答案: 作散点图, 可以看出这些点接近一条抛物线, 答案 作散点图 可以看出这些点接近一条抛物线 因此设所求的