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2024年上海市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果x y >，那么下列正确的是（ ）A ．55x y +<+B ．55x y -<-C ．55x y >D ．55x y->-【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A ．两边都加上5，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；B ．两边都加上5-，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；C ．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意；D ．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意；故选：C ．2．函数2()3xf x x -=-的定义域是（ ）A ．2x =B ．2x ≠C ．3x =D ．3x ≠3．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．2690x x -+=【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等实数根；当240b ac ∆=-=时，方程的两个相等的实数根；当24<0b ac ∆=-时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A ．()2Δ6410360=--⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故A 选项不符合题意；B ．()2Δ0419360=-⨯⨯-=> ，该方程有两个不相等实数根，故B 选项不符合题意；C ．()2Δ6416120=--⨯⨯=> ，该方程有两个不相等实数根，故C 选项不符合题意；D ．()2Δ64190=--⨯⨯= ，该方程有两个相等实数根，故D 选项不符合题意；故选：D ．4．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．种类甲种类乙种类丙种类丁种类平均数 2.3 2.3 2.8 3.1方差1.050.781.050.78A ．甲种类B ．乙种类C ．丙种类D ．丁种类【答案】B【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可． 解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类，四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定，∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的，故选：B ．5．四边形ABCD 为矩形，过A C 、作对角线BD 的垂线，过B D 、作对角线AC 的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形【答案】A【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题的关键．由矩形性质得到OBC OAD S S = ，OC OB OA OD ===，进而由等面积OBC OAD S S ∴= ，OC OB OA OD === 过A C 、作对角线BD 的垂线，过1122OBC OAD S S OC BF OB CH ∴==⋅=⋅ ∴CH BF AE DG ===，6．在ABC 中，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A B P 、、为圆心画，圆A 半径为1，圆B 半径为2，圆P 半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（ ）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离∴221417+=，二、填空题7．计算：()324x =．【答案】664x 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可．【详解】解：()326464x x =，故答案为：664x ．8．计算()()a b b a +-= ．【答案】22b a -【分析】根据平方差公式进行计算即可．【详解】解：()()a b b a +-()()b a b a =+-22b a =-，故答案为：22b a -．【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．91=，则x = ．【答案】1【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知210x ->，则可得出211x -=，求出x 即可．【详解】解：根据题意可知：210x ->，∴211x -=，解得：1x =，故答案为：1．10．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为5210⨯GB ，一张普通唱片的容量约为25GB ，则蓝光唱片的容量是普通唱片的倍．（用科学记数法表示）11．若正比例函数y kx =的图像经过点(7,13)-，则y 的值随x 的增大而 ．（选填“增大”或“减小”）12．在菱形ABCD 中，66ABC ∠=︒，则BAC ∠= ．13．某种商品的销售量y （万元）与广告投入x （万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元．【答案】4500【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设y kx b =+，根据题意找出点代入求出解析式，然后把80x =代入求解即可．【详解】解：设y kx b =+，把()10,1000，()90,5000代入，得101000905000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得50500k b =⎧⎨=⎩，∴50500y x =+，当80x =时，50805004500y =⨯+=，即投入80万元时，销售量为4500万元，故答案为：4500．14．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是35，则袋子中至少有个绿球．∴绿球的个数的最小值为3，∴袋子中至少有3个绿球，故答案为：3．15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，设AC a = ，BE b =u u r r，若2AE EC =，则DC =（结果用含a ，b的式子表示）．16．博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR 增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共2万人的参观中，需要AR 增强讲解的人数约有人．【答案】200017．在平行四边形ABCD 中，ABC ∠是锐角，将CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线，对应点分别为C '，D ¢，若::1:3:7AC AB BC '=，则cos ABC ∠= ．根据::1:3:7AC AB BC '=由翻折的性质知：FCD ∠=CD 沿直线l 翻折至AB 所在直线，BC F FC D FCD '''∴∠+∠=∠根据::1:3:7AC AB BC '=，不妨设同理知：72CF BF C F '===，过F 作AB 的垂线交于E ，122BE BC '∴==，18．对于一个二次函数2()y a x m k =-+（0a ≠）中存在一点(),P x y ''，使得0x m y k '-='-≠，则称2x m '-为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线211323y x x =-++“开口大小”为．三、解答题20．解方程组：2234026x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩①②．【答案】4x =，1y =或者6x =-，6y =．【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：2234026x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩①②，由②得：62x y =-代入①中得：()()226236240y y y y ----=，()2223624418640y y y yy -+-+-=，2642360y y -+=，()26760y y -+=，()()6610y y --=解得：1y =或6y =，当1y =时，6214x =-⨯=，当6y =时，6266x =-⨯=-，∴方程组的解为4,1x y ==或者6,6x y =-=．21．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）上有一点()3,A m -，且与直线24y x =-+交于另一点(),6B n ．(1)求k 与m 的值；(2)过点A 作直线l x ∥轴与直线24y x =+交于点C ，求sin OCA ∠的值．∵l x ∥轴，x 轴y ⊥轴，∴A 、C 、D 的纵坐标相同，均为把2y =代入24y x =-+解得1x =，∴()1,2C ，22．同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为h．(1)求：①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）；②小平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）；(2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．如图2，DEF 为含则2EF h =，DE =综上，等腰直角三角板直角边为②由题意可知MNG NGH ∠=∠∴四边形MNGH 是矩形，由图可得，2323MN h h =-（2）解：如图，即为所作图形．23．如图所示，在矩形ABCD 中，E 为边CD 上一点，且AE BD ⊥．(1)求证：2AD DE DC=⋅；(2)F为线段AE延长线上一点，且满足12EF CF BD==，求证：CE AD=．在矩形ABCD 中，ADE ∠ AE BD ⊥，∴90DAE ADB ∠+∠=ADB AED ∴∠=∠，FEC AED ∠=∠，24．在平面直角坐标系中，已知平移抛物线213y x =后得到的新抛物线经过50,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(5,0)B ．(1)求平移后新抛物线的表达式；(2)直线x m =（0m >）与新抛物线交于点P ，与原抛物线交于点Q ．①如果PQ 小于3，求m 的取值范围；②记点P 在原抛物线上的对应点为P '，如果四边形P BPQ '有一组对边平行，求点P 的坐标．∴22114545333333PQ x x x x =-++=+，∵PQ 小于3，∴45333x +<，∴1x <，∵()0x m m =>，∴01m <<；由题意可得：P 在B 的右边，当BP '∴BP x '⊥轴，∴5P B x x '==，∴255,3P '⎛⎫ ⎪⎝⎭，由平移的性质可得：2552,33P ⎛⎫+- ⎪⎝⎭如图，当P Q BP '∥时，则P QT '∠=过P '作P S QP '⊥于S ，∴90P SQ BTP '∠=∠=︒，∴QS PTP S BT='，25．在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在边AB 上，且13AE AB =．(1)如图1所示，点F 在边CD 上，且13DF CD =，联结EF ，求证：EF BC ∥；(2)已知1AD AE ==；①如图2所示，联结DE ，如果ADE V 外接圆的心恰好落在B ∠的平分线上，求ADE V 的外接圆的半径长；②如图3所示，如果点M 在边BC 上，联结EM 、DM 、EC ，DM 与EC 交于N ，如果4BC =，且2CD DM DN =⋅，DMC CEM ∠=∠，求边CD 的长．∵AD BC∥，∴AE DE EB EG=，∵13AE AB=，13DF CD=∴12AEEB=，12DFFC=，∵AD BC ∥，∴PAD PBC ∽，∴14PA AD PB BC ==，由①知3AB =，∴134PA PA =+，。
2019-2020 年中考数学试题及答案解析中考题考题考卷真题试题试卷沪教版得分评卷人一、选择题（本大题共10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题选对得 4 分，不选、 选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0 分.1.（ 2012 安徽， 1，4 分）下面的数中， 与 -3 的和为 0 的是.（ ）A.3B.-3C.1 1D.331. 解析：根据有理数的运算法则，可以把选项中的数字和－ 3 相加，进行筛选只有选项 A符合，也可以利用相反数的性质，根据互为相反数的两数和为 0，必选－ 3 的相反数 3．解答： A ．点评：本题考查了有理数的运算、及其概念，理解有关概念，掌握运算法则，是解答此类题目的基础 .2. （ 2012 安徽， 2，4 分）下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（）A. B. C. D.2. 解析：根据这几个常见几何题的视图可知：圆柱的主视图是矩形，正方体的主视图是正方形，圆锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是宽相等两个靠着的矩形．解答： C ．点评： 此题是由立体图形到平面图形， 熟悉常见几何体的三视图， 如果要求画出几何体的三视图，要注意它们之间的尺寸大小，和虚实线.3. （ 2012 安徽， 3，4 分）计算 ( 2x 2 ) 3 的结果是（ ）A. 2x 5B.8x 6C. 2x6D.8x 53. 解析：根据积的乘方和幂的运算法则可得． 解答：解： ( 2x 2 ) 3 ( 2)3 (x 2 ) 38x 6故选 B ．点评：幂的几种运算不要混淆，当底数不变时，指数运算要相应的降一级，还要弄清符号， 这些都是易错的地方，要熟练掌握，关键是理解乘方运算的意义 .4. （ 2012 安徽， 4，4 分）下面的多项式中，能因式分解的是（）A. m 2nB. m 2m 1C. m 2nD. m 22m 14. 解析：根据分解因式的方法，首先是提公因式，然后考虑用公式，如果项数较多，要分组分解，本题给出四个选项， 问哪个可以分解， 对照选项中的多项式， 试用所学的方法分解． 就能判断出只有 D 项可以 .解答：解： m 2 2m 1 (m 1)2 故选 D ．点评：在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，三项用完全平方公式，当然符合公式才可以 .）如果项数较多，要分组分解，最后一定要分解到每个因式不能再分为止.5. （ 2012 安徽， 5，4 分）某企业今年 3 月份产值为 a 万元， 4 月份比 3 月份减少了 10％，5 月份比 4 月份增加了 15％，则 5 月份的产值是（）A. （ a -10％）（ a +15％）万元B. a （ 1-10％）（ 1+15％）万元C.（ a -10％ +15％）万元D. a （ 1-10％ +15％）万元5. 解析：根据 4 月份比 3 月份减少 10﹪，可得 4 月份产值是（ 1－ 10﹪） a, 5 月份比 4 月份增加 15﹪，可得 5 月份产值是（ 1－ 10﹪）（ 1+15﹪） a, 解答： A ．点评：此类题目关键是弄清楚谁是“基准”，把“基准”看作“单位 1”，在此基础上增加还是减少，就可以用这个基准量表示出来了.x 2 x 的结果是（）6. （ 2012 安徽， 6，4 分）化简1 1 x xA. x +1B. x -1C.— xD. x6. 解析：本题是分式的加法运算，分式的加减，首先看分母是否相同，同分母的分式加减，分母不变，分子相加减，如果分母不同，先通分，后加减，本题分母互为相反数，可以化成同分母的分式加减．解答：解：x 2 x x 2 x x( x 1) x 故选 D ．x 1x 1x1x1点评： 分式的一些知识可以类比着分数的知识学习， 分式的基本性质是关键， 掌握了分式的基本性质， 可以利用它进行通分、约分， 在进行分式运算时根据法则， 一定要将结果化成最简分式．7. （ 2012 安徽， 7，4 分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边 形与其内部小正方形的边长都为 a ，则阴影部分的面积为（）A.2 a 2B. 3 a 2C. 4 a 2D.5 a 27. 解析：图案中间的阴影部分是正方形，面积是a 2，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为 a 的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算． 解答：解： a 211 a2 4 2a 2 故选 A ．2 2点评： 本题考查了正多边形的性质， 关键要找出正八边形和原来正方形的关系，尽量用所给数据来计算 .8. （ 2012 安徽， 8， 4 分）给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（）1 1 12 A.B.C.D.63238. 解析：第 1 个打电话给甲、乙、丙（因为次序是任意的）的可能性是相同的，所以第一 个打电话给甲的概率是1．3解答： 故选 B ．9.（ 2012 安徽， 9， 4 分）如图， A 点在半径为 2 的⊙ O 上，过线段 OA 上的一点 P 作直线，与⊙ O 过 A 点的切线交于点 B ，且∠ APB=60 °，设 OP=x，则△ PAB 的面积 y 关于x的函数图像大致是（）9.解析：利用 AB 与⊙ O 相切，△ BAP 是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用 x 表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象．解答：解：∵ AB 与⊙ O 相切，∴∠ BAP=90 °，OP=x， AP= 2－ x, ∠ BPA=60°，所以 AB= 3( 2 x)，所以△ APB的面积y 3( 2 x) 2 ，（ 0≤ x≤2）故选 D．2点评：此类题目一般都是根据图形性质，用字母表示出这个变量，把运动变化的问题转化成静止的 .再根据函数的性质解答.有时变化过程的有几种情况，注意它们的临界值.10.（ 2012 安徽， 10，4 分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、 4、 3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）A.10B. 4 5C. 10 或4 5D.10 或 2 1710. 解析：考虑两种情况．要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的.解答：解：如下图，(2 2)2 (4 4)2 4 5 ， (2 3)2 (4 4)2 4 5 10故选 C．点评：在几何题没有给出图形时，有的同学会忽略掉其中一种情况，错选 A 或 B；故解决本题最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解．得分评卷人二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分20 分）11. （ 2012 安徽， 11，5 分） 2011 年安徽省棉花产量约378000 吨，将 378000 用科学计数法表示应是 ______________.n11. 解析：科学记数法形式：a×10 （ 1≤|a＜ 10，n 为整数）中 n 的值是易错点，由于 378 000 有6 位，所以可以确定 n=6﹣ 1=5，所以 378 000=3.78 ×105答案： 3.78 ×10512. （2012 安徽， 12，5 分）甲乙丙三组各有7 名成员，测得三组成员体重数据的平均数都是58，方差分别为 2 36 ，乙 2 ，丙 2 ，则数据波动最小的一组是甲S S 25 S 16___________________.12.解析：平均数是反映数据集中趋势的特征量，方差反映数据离散程度的特征量，由于平均数相等，方差越大，说明数据越离散，波动越大，方差越小，说明数据越集中，波动越小 .丙组方差最小，波动最小.答案：丙组13.（2012 安徽， 13，5 分）如图，点 A 、 B、 C、D 在⊙ O 上， O 点在∠ D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD+ ∠ OCD=_______________ ° .13.解析：根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠ AOC=2∠D；又因为四边形OABC是平行四边形，所以∠B=∠ AOC；圆内接四边形对角互补，∠B+∠ D=180°，所以∠ D= 60°，连接OD，则 OA=OD,OD=OC,∠ OAD=∠ ODA,∠ OCD=∠ ODC,即有∠ OAD+∠ OCD=60° .答案： 60．点评：本题是以圆为背景的几何综合题，在圆内圆周角和圆心角之间的关系非常重要，经常会利用它们的关系来将角度转化，另外还考查了平行四边形对角相等，圆内接四边形对角互补，以及等腰三角形的性质.解决此类题目除了数学图形的性质，还要学会识图，做到数形结合 .14.（ 2012 安徽， 14， 5 分）如图， P 是矩形 ABCD内的任意一点，连接 PA、 PB、 PC、 PD，得到△ PAB 、△ PBC 、△ PCD、△PDA ，设它们的面积分别是 S1、S2、S3、S4，给出如下结论：① S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3③若 S3=2 S1，则 S4=2 S2 ④若 S1= S2，则 P 点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_________________ （把所有正确结论的序号都填在横线上）.14.解析：过点 P 分别向 AD、BC作垂线段，两个三角形的面积之和S2S4等于矩形面积的一半，同理，过点P分别向 AB、CD作垂线段，两个三角形的面积之和S1S3等于矩形面积的一半 . S1S3 = S2 S4,又因为 S1 S2，则 S2 S3=S1S4 1S ABCD,所以④一定成2立答案：②④．点评：本题利用三角形的面积计算，能够得出②成立，要判断④成立，在这里充分利用所给条件，对等式进行变形. 不要因为选出②，就认为找到答案了，对每个结论都要分析，当然感觉不一定对的，可以举反例即可. 对于④这一选项容易漏选 .三、（本大题共 2 小题，每小题8 分，满分 16 分）15. （ 2012 安徽， 15， 8 分）计算：(a 3)(a 1) a(a2)15.解析：根据整式的乘法法则，多项式乘多项式时，用其中一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；单项式乘多项式，可以按照乘法分配率进行．最后再根据合并同类项法则进行整式加减运算.解：原式 =a2－ a+3a－ 3+a2－ 2a=2a2－ 316. （ 2012 安徽， 16， 8 分）解方程：x2 2x 2x 116.解析：根据一元二次方程方程的几种解法，本题不能直接开平方，也不可用因式分解法 . 先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法.22配方，得x － 4x+4=1+42整理，得（ x－ 2） =5∴ x－ 2=5 ,即 x 2 5 ， x2 25 .1四、（本大题共 2 小题，每小题8 分，满分 16 分）17.（ 2012 安徽， 17， 8 分）在由 m× n（ m× n＞ 1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，（1）当 m、 n 互质（ m、 n 除 1 外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表：m n m n f1 2 3 21 3 4 32 3 5 42 4 73 5 7猜想：当m、 n 互质时，在m× n 的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与 m、 n 的关系式是 ______________________________ （不需要证明）；解：（2）当 m、 n 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立，17：解析：（ 1）通过题中所给网格图形，先计算出2× 5， 3× 4，对角线所穿过的小正方形个数 f，再对照表中数值归纳 f 与 m、 n 的关系式 .（ 2）根据题意，画出当m、 n 不互质时，结论不成立的反例即可.解：（ 1）如表：m n m n f1 2 3 21 3 4 32 3 5 42 4 7 63 5 7 6f=m+n-1（2）当 m、 n 不互质时，上述结论不成立，如图2×42× 418. （ 2012 安徽， 18， 8 分）如图，在边长为了格点△ ABC （顶点是网格线的交点）和点（1）画出一个格点△A1B1C1 ，并使它与△1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出A1.ABC 全等且 A 与 A1 是对应点；（2）画出点 B 关于直线 AC 的对称点 D，并指出 AD 可以看作由 AB 绕 A 点经过怎样的旋转而得到的 .解:18.解析：（ 1）考查全等变化，可以通过平移、旋转、轴对称等来完成；（2）先作出图形，因为要回答旋转角度，利用方格纸算出 AB、 AD、 BD的长度，再计算角度 .解：（ 1）答案不唯一，如图，平移即可(2) 作图如上，∵AB= 10 ， AD= 10 ，BD=2 5∴AB2+AD2=BD2新课标一网∴△ ABD是直角三角形，AD 可以看作由AB 绕 A 点逆时针旋转90°得到的 .点评：图形变换有两种，全等变换和相似变换，掌握每种变换的概念、性质是作图的基础，一般难度不大 .五、（本大题共 2 小题，每小题10 分，满分20 分）19.（ 2012 安徽， 19， 10 分）如图，在△ ABC 中，∠ A=3 0°，∠ B=45 °， AC=2 3，求C45°30°A BAB的长，解：19.解析：本题在一个三角形中已知两个角和一边，求三角形的边. 不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，过点 C作 CD⊥ AB于 D, 利用构造的两个直角三角形来解答. 解:过点 C作 CD⊥ AB于 D,在Rt △ ACD中，∠ A=30°， AC=2 3∴CD=AC× sinA= 23 ×0.5= 3 ，AD=AC× cosA= 2 3×3=3，2在Rt △ BCD中，∠ B=45°，则 BD=CD= 3，∴A B=AD+BD=3+ 3点评：解直角三角形中，除了直角外，还知道两个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角 . 一般三角形中，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角 . 这时将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件.20. （ 2012 安徽， 20， 10 分）九（ 1）班同学为了解2011 年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，频数 (户)月均用水量 x (t) 频数 (户 ) 频率0 x 5 6 0.12 165 x 10 0.24 1210 x 15 16 0.32 815 x 20 10 0.20 420 x 25 4O 5 10 15 20 25 3025 x 30 2 0.04第 20 题图月用水量 (t)请解答以下问题：（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）若该小区用水量不超过 15t 的家庭占被调查家庭总数的百分比；解：（3）若该小区有1000 户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20t 的家庭大约有多少户？解：20.本题考查了数据的统计中的频数分布表和不完整的频数分布直方图. 所有的频数和就是样本容量，所有频率和等于1，且有频率频数，数据总数 n频数 650 ，50×0.24=12 ，4÷ 50=0.08 ，（1）数据总数0.12频率（2）用水量不超过15 吨是前三组，（0.12+0.24+0.32）× 100﹪=68﹪（3）用样本来估计总体，根据抽取的样本超过20 吨的家庭数，来估计该小区的情况..解：（ 1）统计中的频数分布表和不完整的频数分布直方图，补充如下（2）用水量不超过 15 吨是前三组，（ 0.12+0.24+0.32 ）× 100﹪ =68﹪（3） 1000×（ 0.04+0.08 ） =120（户）六、（本题满分12 分）21. （ 2012 安徽， 21， 12 分）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“慢200 减 100”的促销方式，即购买商品的总金额满200 元但不足400 元，少付100 元；满 400 元但不足600 元，少付200 元；，乙商场按顾客购买商品的总金额打 6 折促销。
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——高斯沪科版九年级数学上册解直角三角形的应用中考题汇编（含答案）一、选择题1. (2018·宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取P A的垂线PB上的一点C，测得PC＝100 m，∠PCA＝35°，则P，A两点的距离为()A. 100 sin 35° mB. 100 sin 55° mC. 100 tan 35° mD. 100 tan 55° m第1题第2题2. (2018·金华)如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD 的长度之比为()A. tan αtan β B.sin βsin α C.sin αsin β D.cos βcos α3. (2018·益阳)如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300 m到达点B，则小刚上升的高度为()A. 300 sin α mB. 300 cos α mC. 300 tan α mD. 300 tan αm第3题第4题4. (2018·长春)如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800 m到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为()A. 800 sin α mB. 800 tan α mC. 800sin αm D.800tan αm5. (2018·淄博)一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行了100米，其铅直高度上升了15米. 在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是()第5题A. 2ndF sin0.15）＝B. sin0.15）2ndF＝C. 2ndF cos0.15）＝D. tan0.15）2ndF＝6. (2018·苏州)如图，某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务．当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为()A. 40海里B. 60海里C. 203海里D. 403海里第6题 第8题7. (2018·绵阳)一艘在南北航线上的测量船，于点A 处测得海岛B 在点A 的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达点C 时，测得海岛B 在点C 的北偏东15°方向，则海岛B 离此航线的最近距离是(结果精确到0.01海里，参考数据：3≈1.732，2≈1.414)( )A. 4.64海里B. 5.49海里C. 6.12海里D. 6.21海里8. (2018·重庆)如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部点E 处测得旗杆顶端的仰角∠AED ＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE ＝7 m ，升旗台坡面CD 的坡度i ＝1∶0.75，坡长CD ＝2 m ．若旗杆底部到坡面CD 的水平距离BC ＝1 m ，则旗杆AB 的高度约为(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.6) ( )A. 12.6 mB. 13.1 mC. 14.7 mD. 16.3 m9. (2018·重庆)如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20 m 到达点C ，再经过一段坡度为i ＝1∶0.75、坡长为10 m 的斜坡CD 到达点D ，然后沿水平方向向右行走40 m 到达点E (点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内)．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为(参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45)( )A. 21.7 mB. 22.4 mC. 27.4 mD. 28.8 m第9题 第10题10. (2018·威海)如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是( ) A. 当小球抛出高度达到7.5 m 时，小球距点O 水平距离为3 mB. 小球距点O 水平距离超过4 m 呈下降趋势C. 小球落地点距点O 的水平距离为7 mD. 斜坡的坡度为1∶2二、 填空题11. (2018·广州)如图，旗杆高AB ＝8 m ，某一时刻，旗杆影子长BC ＝16 m ，则tan C 的值为________．第11题 第12题12. (2018·枣庄)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31°，AB 的长为12 m ，则大厅两层之间的高度BC 为________m ．(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 31°≈0.515，cos 31°≈0.857，tan31°≈0.60)13. (2018·阜新)如图，在点B 处测得塔顶A 的仰角为30°，点B 到塔底C 的水平距离BC 是30 m ，那么塔AC 的高度为________m ．(结果保留根号)第13题 第14题14. (2018·大连)如图，小明为了测量校园里旗杆AB 的高度，将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 6 m 的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°.若测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约为________m．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)15. (2018·广西)如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D 处的俯角是45°.已知甲楼的高AB是120 m，则乙楼的高CD是________m．(结果保留根号)第15题第16题16. (2018·荆州)如图，荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7 m，某校学生测得古塔的整体高度约为40 m．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a m后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°，那么a的值约为________．(结果精确到0.1，参考数据：3≈1.73)17. (2018·黄石)如图，无人机在空中C处测得地面A，B两点的俯角分别为60°，45°.如果无人机距地面高度CD为100 3 m，点A，D，B在同一水平直线上，那么A，B两点间的距离是________m．(结果保留根号)第17题第18题18. (2018·葫芦岛)如图，某景区的两个景点A，B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内．当无人机飞行至C处时，测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100 m，则两景点A，B间的距离为________m．(结果保留根号)19. (2018·咸宁)如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110 m，那么该建筑物的高度BC约为________m．(结果保留整数，3≈1.73)第19题第20题20. (2018·宁夏)如图，一艘货轮以18 2 km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30 min后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是________km.21. (2018·济宁)如图，在笔直的海岸线l上有相距2 km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________km.(结果保留根号)第21题第22题第23题22. (2018·天门)我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C 恰好位于渔船B的正北方向18(1＋3)n mile处，则海岛A，C之间的距离为________n mile.(结果保留根号)23. (2018·潍坊)如图，一艘渔船以60海里/时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行________小时即可到达．(结果保留根号)三、解答题24. (2018·遵义)如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5 m．(计算结果精确到0.1 m，参考数据：sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05)(1) 当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5 m时，吊臂AB的长为________m；(2) 如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)第24题25.(2018·常州)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A，B和点C，D，先用卷尺量得AB＝160 m，CD＝40 m，再用测角仪测得∠CAB ＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽(即CH的长)．第25题26. (2018·长沙)为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B两地间的公路进行改建．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线A－C－B行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80 km，∠A＝45°，∠B＝30°.(结果精确到0.1 km，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)(1) 开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？(2) 开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？第26题27.(2018·常德)如图①是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2 m，且两扇门的大小相同(即AB＝CD)．将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图②，求此时B与C之间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，2≈1.4)28. (2018·徐州)如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90 m，楼间距为AB.冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA.已知CD＝42 m．(参考数据：sin 32.3°≈0.53，cos 32.3°≈0.85，tan 32.3°≈0.63，sin 55.7°≈0.83，cos 55.7°≈0.56，tan 55.7°≈1.47)(1) 求楼间距AB；(2) 若2号楼共30层，层高均为3 m，则点C位于第几层？第28题29. (2018·泸州)如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90 m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从点E(点A，E，B在同一水平线上)测得点D的仰角为30°，测得点C的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C，D间的距离．第29题30. (2018·郴州)小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控无人机指令测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC ＝30 m，求无人机飞行的高度AD.(精确到0.01 m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第30题31.(2018·宜宾)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB，CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在点C测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得点B，E间距离为10 m，立柱AB高30 m．求立柱CD的高．(结果保留根号)第31题32. (2018·宿迁)如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10 m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C.求：(1) ∠BPQ的度数；(2) 树PQ的高度．(结果精确到0.1 m，3≈1.73)第32题33. (2018·镇江)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24 m，小明在点E(点B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8 m到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6 m，求教学楼AB的高度．(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)第33题34. (2018·黄冈)如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60 m，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一条直线上．求：(1) 斜坡下的点C处到大楼的距离；(2) 斜坡CD的长度第34题35. (2018·大庆)如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．(参考数据：6≈2.449，结果保留整数)第35题36. (2018·桂林)如图，在某海域，一艘指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号．经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC＝60 n mile；经指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向．于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30 n mile/h，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，结果精确到0.1 h)第36题37. (2018·淮安)如图，某数学兴趣小组为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，在公路l上的点A 处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上．求凉亭P到公路l的距离．(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第37题38. (2018·青岛)如图是某区域平面示意图，点O 在河的一侧，AC 和BC 表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A 处测得点O 位于北偏东45°，乙勘测员在B 处测得点O 位于南偏西73.7°，测得AC ＝840 m ，BC ＝500 m ．请求出点O 到BC 的距离．(参考数据：sin 73.7°≈2425，cos 73.7°≈725，tan 73.7°≈247)第38题39. (2018·眉山)知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩(用C 地表示)开展社会实践活动，车到达A 地后，发现C 地恰好在A 地的正北方向，且距离A 地13 km ，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B 地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C 地，求B ，C 两地的距离．(结果保留根号，参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43)第39题40. (2018·泰州)日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L ∶(H －H 1)，其中L 为楼间水平距离，H 为南侧楼房高度，H 1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF 朝北，EF 长为15 m ，坡度为i ＝1∶0.75，山坡顶部平地EM 上有一高为22.5 m 的楼房AB ，底部A 到E 处的距离为4 m.(1) 求山坡EF 的水平宽度FH ；(2) 欲在AB 楼正北侧山脚的平地FN 上建一楼房CD ，已知该楼底层窗台P 处至地面C 处的高度为0.9 m ，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 距F 处至少多远？第40题41. (2018·遂宁)如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角为45°，然后沿着坡度为1∶3的坡面AD走了200 m达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山BC的高度．第41题42. (2018·连云港)如图①，水坝的横截面是梯形ABCD(DC∥AB)，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3 m，背水坡AD的坡度i为1∶0.5，坝底AB＝14 m.(1) 求坝高；(2) 如图②，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．(参考数据：sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34)第42题参考答案一、1.C 2.B 3.A 4.D 5.A 6.D 7.B 8.B 9.A 10.A二、11.1212.6.2 13.103 14.9.5 15.403 16.24.1 17.100(1＋3) 18.100(1＋3) 19.300 20.18 21.3 22.182 23.18＋635三、24. (1) 11.4 点拨：∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝64°，AC ＝5m ，∴AB ＝AC cos64°≈50.44≈11.4(m)． (2) 如图，过点D 作DH ⊥地面于点H ，交水平线AC 于点E ，则EH ＝1.5m ，DE ⊥AE .∵在Rt △ADE 中，AD ＝20m ，∠DAE ＝64°，∴DE ＝AD ·sin64°≈20×0.90＝18.0(m)．∴DH ＝DE ＋EH ＝18.0＋1.5＝19.5(m)．答：如果该吊车吊臂的最大长度AD 为20m ，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m第24题 第25题25.如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则易得四边形CHED 为矩形．∴HE ＝CD ＝40m ．设CH ＝DE ＝x m ．∵在Rt △BDE 中，∠DBA ＝60°，∴BE ＝DE tan60°＝33x m ．∵在Rt △ACH 中，∠BAC ＝30°，∴AH ＝CH tan30°＝3x m ．又∵AH ＋HE ＋EB ＝AB ＝160m ，∴3x ＋40＋33x ＝160，解得x ＝30 3.∴CH ＝303m ．答：该段运河的河宽为303m 26. (1) 如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.∵在Rt △BDC 中，sin B ＝CD BC，BC ＝80km ，∴CD ＝BC ·sin30°＝80×12＝40(km)．∵在Rt △ADC 中，sin A ＝CD AC ，∴AC ＝CD sin45°＝40÷22＝402(km)．此时AC ＋BC ＝402＋80≈40×1.41＋80＝136.4(km)．答：开通隧道前，汽车从A 地到B 地大约要走136.4km(2) ∵在Rt △BDC 中，cos B ＝BD BC ，BC ＝80km ，∴BD ＝BC ·cos30°＝80×32＝403(km)．∵在Rt △ADC 中，tan A ＝CD AD ，CD ＝40km ，∴AD ＝CD tan45°＝401＝40(km)．∴AB ＝AD ＋BD ＝40＋403≈40＋40×1.73＝109.2(km)．∴AC ＋BC －AB ＝136.4－109.2＝27.2(km)．答：汽车从A 地到B 地大约可以少走27.2km第26题第27题 27.如图，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得CM ＝BE ，连接BC ，EM.∵在题图①中，AB ＝CD ，AB ＋CD ＝AD ＝2m ，∴AB ＝CD ＝1m ．在Rt △ABE 中，∵AB ＝1m ，∠A ＝37°，∴BE ＝AB ·sin A ≈0.6m ，AE ＝AB ·cos A ≈0.8m ．在Rt △CDF 中，∵CD ＝1m ，∠D ＝45°，∴CF ＝CD ·sin D ≈0.7m ，DF ＝CD ·cos D ≈0.7m ．∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴BE ∥CM .又∵BE ＝CM ，∴四边形BEMC 为平行四边形．∴BC ＝EM .在Rt △MEF 中，∵EF ＝AD －AE －DF ＝0.5m ，FM ＝CF ＋CM ＝CF ＋BE ＝1.3m ，∴EM ＝EF 2＋FM 2≈1.4m ．答：B 与C 之间的距离约为1.4m28. (1) 如图，过点C 作CE ⊥PB ，垂足为E ，过点D 作DF ⊥PB ，垂足为F ，则∠CEP ＝∠PFD ＝90°，CE ＝DF ＝AB ，CD ＝EF ＝42m ．设AB ＝x m ．∵在Rt △PCE 中，tan32.3°＝PE x，∴PE ＝x ·tan32.3°m ．∵在Rt △PDF 中，tan55.7°＝PF x，∴PF ＝x ·tan55.7°m ．由PF －PE ＝EF ，得x ·tan55.7°－x ·tan32.3°＝42，解得x ≈50.答：楼间距AB 为50m (2) 由(1)，得PE ＝50×tan32.3°≈31.5(m)，∴CA ＝EB ＝90－31.5＝58.5(m)．由于2号楼层高均为3m ，且3×19<58.5<3×20，∴点C 位于第20层第28题29.由题意，得∠DAB ＝∠ABC ＝90°，BC ＝6AD ，AE ＋BE ＝AB ＝90m ．设AD ＝x m ，则BC ＝6x m ．∵在Rt △ADE 中，tan30°＝AD AE ，sin30°＝AD DE ，∴AE ＝3x m ，DE ＝2x m ．∵在Rt △BCE 中，tan60°＝BC BE，sin60°＝BC CE，∴BE ＝23x m ，CE ＝43x m ．由AE ＋BE ＝90m ，得3x ＋23x ＝90，解得x ＝103，∴DE ＝203m ，CE ＝120m ．∵∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝180°，∠DEA ＝30°，∠CEB ＝60°，∴∠DEC ＝90°.∴CD ＝DE 2＋CE 2＝（203）2＋1202＝15600＝2039(m)．答：这两座建筑物顶端C ，D 间的距离为2039m 30.∵∠EAB ＝60°，∠EAC ＝30°，∴∠CAD ＝60°，∠BAD ＝30°.∴在Rt △ADC 中，CD ＝AD ·tan ∠CAD ＝3AD ；在Rt △ADB 中，BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝33AD .∵BC ＝CD －BD ＝30m ，∴3AD －33AD ＝30m ，解得AD ＝153≈25.98(m)．答：无人机飞行的高度AD 为25.98m31.如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，易得四边形HBDC 为矩形．∴BH ＝CD ，BD ＝CH ，BD ∥CH.∴∠HCE ＝∠CED.由题意，得∠ACH ＝30°，∠HCE ＝30°，∴∠CED ＝30°.设CD ＝x m ，则AH ＝AB －BH ＝AB －CD＝(30－x )m.∵在Rt △AHC 中，tan ∠ACH ＝AH HC ，∴HC ＝30－x tan30°＝3(30－x )m.∴BD ＝3(30－x )m.∵在Rt △CDE 中，tan ∠CED ＝CD DE ，∴DE ＝x tan30°＝3x m ．∵BE ＝BD －DE ＝10m ，∴3(30－x )－3x ＝10，解得x ＝15－53 3.答：立柱CD 的高为(15－533)m 第31题 第33题32. (1) 由题意，得PC ⊥AC ，∠PBC ＝60°，∴在Rt △PCB 中，∠BPQ ＝90°－60°＝30° (2) 由题意，得∠P AC ＝45°，∠QBC ＝30°，AB ＝10m ．设CQ ＝x m ．在Rt △QCB 中，BQ ＝CQ sin30°＝2x m ，BC ＝CQ tan30°＝3x m ．∵∠PBQ ＝∠PBC －∠QBC ＝30°，∠BPQ ＝30°，∴∠PBQ ＝∠BPQ .∴PQ ＝BQ ＝2x m ．∴PC ＝PQ ＋CQ ＝3x m ．在Rt △PCA 中，AC ＝PC tan45°＝PC ＝3x m ．由AC －BC ＝AB ，得3x －3x ＝10，解得x ＝(5＋533)m ，∴PQ ＝2x ＝10＋1033≈15.8(m)．答：树PQ 的高度约为15.8m 33.如图，延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M.由题意，得MB ＝HG ＝FE ＝ND ＝1.6m ，HF ＝GE＝8m ，MF ＝BE ，HN ＝GD ，MN ＝BD ＝24m ．设AM ＝x m ，则CN ＝x m ．在Rt △AMF 中，MF ＝AM tan45°＝x m ，在Rt △CNH 中，HN ＝CN tan30°＝3x m ．由HF ＝MF ＋HN －MN ，得8＝x ＋3x －24，解得x ＝163－16，∴AB ＝AM ＋BM ＝163－16＋1.6≈13.3(m)．答：教学楼AB 的高度为13.3m34. (1) ∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠BCA ＝60°，AB ＝60m ，∴AC ＝AB tan60°＝603＝203(m)．答：斜坡下的点C 处到大楼的距离是203m (2) 如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，易得四边形AEDF 为矩形．∴DF＝AE ，DE ＝AF .设CD ＝2x m.∵在Rt △CED 中，∠DCE ＝30°，∴DE ＝12CD ＝x m ，CE ＝CD ·cos30°＝3x m ．∴BF ＝AB －AF ＝AB －DE ＝(60－x )m.∵在Rt △BFD 中，∠FDB ＝45°，∴DF ＝BF tan45°＝(60－x )m.由DF ＝AE ，得60－x ＝203＋3x ，解得x ＝403－60，∴CD ＝(803－120)m.答：斜坡CD 的长度为(803－120)m第34题第35题 35.由题意，得PA ＝80海里．如图，过点P 作PC ⊥AB 于点C ，则∠APC ＝90°－60°＝30°，∠BPC ＝90°－45°＝45°.∵在Rt △ACP 中，cos ∠APC ＝PC P A，∴PC ＝P A ·cos ∠APC ＝80×cos30°＝403(海里)．∵在Rt △PCB 中，cos ∠BPC ＝PC PB ，∴PB ＝PC cos ∠BPC ＝403cos45°＝406≈98(海里)．答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是98海里36.由题意，得点A 在点B 的正西方，∴如图，延长AB 交南北轴于点D ，则AB ⊥CD.∵∠BCD ＝45°，∴∠CBD＝45°＝∠BCD .∴BD ＝CD .在Rt △BDC 中，由sin ∠BCD ＝BD BC，BC ＝60nmile ，得BD ＝60×sin45°＝302(nmile)，CD ＝BD ＝302nmile.在Rt △ADC 中，由tan ∠ACD ＝AD CD，得AD ＝302×tan60°＝306(nmile)．∴AB ＝AD －BD ＝(306－302)nmile.∵海监船A 的航行速度为30nmile/h ，∴渔船在B 处需要等待的时间为AB 30＝6－2≈2.45－1.41≈1.0(h)．答：渔船在B 处需要等待1.0h 才能得到海监船A 的救援 第36题第38题 37.过点P 作PD ⊥l ，垂足为D.设BD ＝x 米，则AD ＝(x ＋200)米．由题意，得∠PAB ＝90°－60°＝30°，∠PBD＝90°－45°＝45°.在Rt △ADP 中，tan30°＝PD AD ，∴PD ＝AD ·tan30°＝33(x ＋200)米．在Rt △PDB 中，tan45°＝PD BD ，∴PD ＝BD ·tan45°＝x 米．∴33(200＋x )＝x ，解得x ＝2003－1≈273.∴PD ＝273米．答：凉亭P 到公路l 的距离为273米38.如图，过点O 分别作OM ⊥BC 于点M ，ON ⊥AC 于点N ，易得四边形ONCM 为矩形．∴ON ＝MC ，OM ＝NC.设OM ＝xm ，则NC ＝x m ，AN ＝(840－x )m.在Rt △ANO 中，∵∠OAN ＝45°，∴易得ON ＝AN ＝(840－x )m.∴MC ＝ON ＝(840－x )m.在Rt △BOM 中，BM ＝OM tan ∠OBM ≈x 247＝724x (m)，由BM ＋MC ＝BC ＝500m ，得724x ＋840－x ＝500，解得x ＝480.答：点O 到BC 的距离为480m 39.如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则∠BAD ＝60°，∠DBC ＝90°－37°＝53°.设AD ＝x km.在Rt △ADB中，BD ＝AD ·tan60°＝3x km ，在Rt △BDC 中，CD ＝BD ·tan53°≈3x ·43＝433x (km)．由AC ＝AD ＋CD ，可得x ＋433x ＝13，解得x ＝43－3，此时BD ＝3x ＝(12－33)km.∴在Rt △BDC 中，BC ＝BD cos53°≈(12－33)×53＝(20－53)km.答：B ，C 两地的距离为(20－53)km 第39题第41题40. (1) ∵在Rt △EFH 中，∠H ＝90°，∴tan ∠EFH ＝i ＝1∶0.75＝43＝EH FH.∴设EH ＝4x (x >0)m.则FH ＝3x m ，EF ＝EH 2＋FH 2＝5x m ．∵EF ＝15m ，∴5x ＝15，解得x ＝3.∴FH ＝9m ．答：山坡EF 的水平宽度FH 为9m (2) 由(1)，得EH ＝12m ．设CF ＝y m ．∵L ＝CF ＋FH ＋EA ＝y ＋9＋4＝(y ＋13)m ，H ＝AB ＋EH ＝22.5＋12＝34.5(m)，H 1＝0.9m ，∴日照间距系数＝L ∶(H －H 1)＝y ＋1334.5－0.9＝y ＋1333.6.∵该楼的日照间距系数不低于1.25，∴y ＋1333.6≥1.25，∴y ≥29，即CF ≥29m ．答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 距F 处至少29m 远41.根据题意，得AC ⊥BC ，DE ⊥BC ，∠BAC ＝45°，AD ＝200m ，∠BDE ＝60°.如图，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F .∵i AD ＝1∶3，∴在Rt △ADF 中DF ∶AF ＝1∶3，即tan ∠DAF ＝33.∴∠DAF ＝30°.∴∠BAD ＝∠BAC －∠DAF ＝45°－30°＝15°.∵在Rt △AFD 中，AD ＝200m ，∴DF ＝12AD ＝100m ．∵AC ⊥BC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BCA ＝∠DFC ＝90°，∴四边形DECF 是矩形．∴EC ＝DF ＝100m ．∵在Rt △DEB 中，∠DBE ＝90°－∠BDE ＝30°，在Rt △ACB 中，∠ABC ＝90°－∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝∠ABC －∠DBE＝45°－30°＝15°.∴∠ABD ＝∠BAD .∴AD ＝BD ＝200m ．∵在Rt △BDE 中，sin ∠BDE ＝BE BD，∴BE ＝BD ·sin60°＝200×32＝1003(m)．∴BC ＝BE ＋EC ＝(100＋1003)m.答：山BC 的高度为(100＋1003)m 42. (1) 如图①，分别过点D ，C 作DM ⊥AB ，CN ⊥AB ，垂足分别为M ，N.∵背水坡AD 的坡度i 为1∶0.5，∴在Rt △ADM 中，tan ∠DAB ＝DM AM＝2.∴设AM ＝x (x >0)m ，则DM ＝2x m ．根据题意，易得四边形DMNC 是矩形，∴DC ＝MN ＝3m ，DM ＝CN ＝2x m ．∵在Rt △BNC 中，tan ∠ABC ＝CN BN ，即tan37°＝2x BN ≈34，∴BN ≈2x ·43＝83x m ．由x ＋3＋83x ＝14，得x ＝3，∴DM ＝6m ．答：坝高为6m (2) 如图②，过点F 作FH ⊥AB ，垂足为H ，DM ⊥AB ，垂足为M .由(1)，得FH ＝DM ＝6m ，FD ＝HM .设FD ＝y m ，则AE ＝2y m ．∵AM ＝3m ，∴EH ＝3＋2y －y ＝(3＋y )m ，BH ＝14＋2y －(3＋y )＝(11＋y )m.由EF ⊥BF ，FH ⊥AB ，得∠EHF ＝∠FHB ＝90°，∴∠E ＋∠EFH ＝∠EFH ＋∠HFB ＝90°.∴∠E ＝∠HFB .∴△EFH ∽△FBH .∴FH BH ＝EH FH，即FH 2＝BH ·EH .∴62＝(11＋y )(3＋y )，即y 2＋14y －3＝0.解得y 1＝－7＋213，y 2＝－7－213(不合题意，舍去)．∴DF ＝(213－7)m.答：DF 的长为(213－7)m第42题 一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。
1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. -1D. 0答案：D解析：绝对值表示数与0的距离，显然0与0的距离最小，所以绝对值最小。
2. 若m=2，则下列各式中，正确的是（）A. m^2=4B. m^2=-4C. m^2=8D. m^2=16答案：A解析：将m=2代入m^2，得2^2=4，所以A选项正确。
3. 下列各式中，符合勾股定理的是（）A. a^2+b^2=c^2B. a^2-b^2=c^2C. a^2+b^2=c^2-2abD. a^2-b^2=c^2+2ab答案：A解析：勾股定理表示直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，所以A选项符合。
4. 若x+y=5，x-y=3，则x的值为（）A. 4B. 2C. 1D. 0答案：A解析：由题意可得方程组：x+y=5x-y=3将两个方程相加，得2x=8，解得x=4。
5. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 1/2D. √3答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，所以1/2是有理数。
二、填空题1. 若a=-3，b=-2，则a^2+b^2的值为______。
答案：13解析：将a和b的值代入a^2+b^2，得(-3)^2+(-2)^2=9+4=13。
2. 若x^2=4，则x的值为______。
答案：±2解析：由x^2=4，可得x=±2。
3. 在直角三角形中，若直角边分别为3和4，则斜边的长度为______。
答案：5解析：由勾股定理可得斜边长度为√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。
4. 若x+y=7，x-y=1，则xy的值为______。
答案：24解析：由题意可得方程组：x+y=7x-y=1将两个方程相乘，得x^2-y^2=7，即(x+y)(x-y)=7，代入x+y=7，得7(x-y)=7，解得x-y=1，所以xy=(x+y)(x-y)=7×1=7。
5. 若a+b=5，ab=6，则a^2+b^2的值为______。
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √25D. √-16答案：C2. 已知a > 0，且a + b = 0，则a与b的关系是（）A. a > bB. a < bC. a = bD. a与b无法比较答案：C3. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点的对称点是（）A. （-2，-3）B. （2，3）C. （2，-3）D. （-2，-3）答案：C4. 若一个等差数列的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B6. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°答案：B7. 下列各式中，绝对值最小的是（）A. |2|B. |-3|C. |0|D. |-2|答案：C8. 若a > b > 0，则下列不等式中正确的是（）A. a + b > 2abB. a - b > 2abC. a + b < 2abD. a - b < 2ab答案：A9. 已知一次函数y = kx + b（k≠0）的图象经过点（1，2），则该函数的解析式为（）A. y = 2x + 1B. y = x + 2C. y = 2x - 1D. y = x - 2答案：A10. 在平面直角坐标系中，点P（3，4）到原点O的距离是（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A二、填空题（每题3分，共30分）11. 若x^2 - 3x + 2 = 0，则x的值为______。
答案：1或212. 在△ABC中，若AB = AC，则∠B与∠C的关系是______。
备战中考数学（沪科版）巩固复习第十九章四边形（含解析）一、单选题1.一个多边形有14条对角线，那么那个多边形的边数是（）A.5B.6C.7D.82.若平行四边形的一边长为5，则它的两条对角线长能够是（）A.12和2B.3和4C.4和6D.4和83.如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个矩形，通过运算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是（）A.a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B.（a+b）2=a2+2ab+b2C.（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D.（a+2b）（a﹣b）=a2+ab+b24.下列结论正确的是（）A.在平面内，有四条线段组成的图形叫做四边形。
B.由不在同一直线上的四条线段组成的图形叫做四边形。
C.在平面内，由不在同一直线上的四条线段组成的图形叫做四边形。
D.在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。
5.如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判定四边形AMCN为菱形的是（）A.AM=ANB.MN⊥AC C.MN是∠AMC的平分线 D.∠BAD=120°6.依照图中所给的边长长度及角度，判定下列选项中的四边形是平行四边形的为（）A.B.C. D.7.一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形，那么它是（）A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形8.如图，正方形ABCD中，AB=6，点E，F分别在AD，BC边上，点G，H分别在AB，CD边上，EF=2 ，EF与GH相交所得的锐角为45°，则GH的长为()A.6B.3C.2D.59.已知四边形ABCD，从下列条件中：（1）AB∥CD；（2）BC∥AD；（3）AB=CD；（4）BC=AD；（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D．任取其中两个，能够得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情形有（）A.4种B.9种C.13种D.15种二、填空题10.已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则那个多边形的边数是________．11.如图，在△ABC中，AB＝AC ，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC ，连接AE、BF ．当∠ACB为________度时，四边形ABF E为矩形．12.木工师傅要检验一块长方形木板的一组对边是否平行,先用直角尺的一边紧靠木板边缘,读出与这边相对的另一边缘在直角尺上的刻度,换一个位置再读一次.试问这两次的读数相是否相等________13.假如△ABC的三条中位线分别为3cm，4cm，5cm，那么△ABC的周长为________cm．14.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是________．15.将边长相等的一个正方形与一个正五边形，按如图重叠放置，则∠1度数=________．16.如图，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是336．17.如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件________，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）18.如图,E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点,且AB=CD.下列结论:①E G⊥FH,②四边形EFGH是矩形,③HF平分∠EHG,④EG= (BC-AD),⑤四边形EFGH是菱形.其中正确的是________(把所有正确结论的序号都选上).三、解答题19.（1）六边形从一个顶点可引出几条对角线？共有几条对角线？（2）n边形从一个顶点能够引出几条对角线？共有几条对角线？20.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作C E⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．四、综合题21.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8 cm，E点F点分别为AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）求菱形AEDF的面积；（3）若H从F点动身，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点动身，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？22.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD＝EF，连接DE、BF，判定四边形EBFD的形状，并说明理由．23.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE ∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】多边形的对角线【解析】【分析】依照n边形的对角线条数．【解答】设多边形有n条边，则，n=7或n=-4（负值舍去)．故选C．【点评】熟悉n边形的对角线条数的公式，依照条件列方程求解，熟练运用因式分解法解方程．2.【答案】D【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：如图，过点C作CF∥BD，交AB延长线于点F，∴四边形BFCD为平行四边形，∴CF=BD，∴在△AFC中：AC﹣CF＜AF＜AC+CF，即AC﹣BD＜2AB＜AC+BD，∵AB=5，∴选项中只有D中的数据能满足此关系：8﹣4=4＜5×2＜8+4=12，故选D．【分析】作辅助线，再依照三角形的三边关系求出两条对角线的长．3.【答案】A【考点】正方形的性质，正方形的判定与性质【解析】【解答】解：由题意得：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选A．【分析】利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2﹣b2 ，而新形成的矩形是长为a+b，宽为a﹣b，依照两者相等，即可验证平方差公式．4.【答案】D【考点】多边形内角与外角【解析】【解答】四边形的概念与三角形的概念类似，三角形的概念：在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；因此，D项的结论更准确.【分析】此题考查多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；四边形也是多边形的一种.5.【答案】D【考点】菱形的判定【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCN=∠DCB，∠BAM=∠BAD，∴∠BAM=∠DCN，在△ABM和△CDN中，∴△ABM≌△CDN（ASA），∴AM=CN，BM=DN，∵AD=BC，∴AN=CM，∴四边形AMCN是平行四边形，A、∵四边形AMCN是平行四边形，AM=AN，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；B、∵MN⊥AC，四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；C、∵四边形AECF是平行四边形，∴AF∥BC，∴∠FAC=∠ACE，∵AC平分∠EAF，∴∠FAC=∠EAC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形，故本选项错误；D、依照∠BAD=120°和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确；故选D．【分析】依照平行四边形性质推出∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，A D=BC，求出∠BAM=∠DCN，证△ABM≌△CDN，推出AM=CN，BE=D N，求出AN=CM，得出四边形AMCN是平行四边形，再依照菱形的判定判定即可．6.【答案】B【考点】平行四边形的判定【解析】【解答】解：A、上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形；B、上、下这一组对边平行，左右一组对边相等，可能为等腰梯形，也可能为平行四边形，但等腰梯形的底角不可能是90°，因此为平行四边形，C、上、下这一组对边平行，可能为梯形；D、上、下这一组对边平行，可能为梯形．故答案为：B．【分析】利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定出B 符合题意.7.【答案】C【考点】多边形的对角线【解析】【解答】设多边形有n条边，则n﹣2=6，得：n=8，故多边形是八边形．故选：C．【分析】依照n边形过一个顶点有（n﹣3）条对角线，它们把n边形分割成了（n﹣2）个三角形．8.【答案】A【考点】正方形的性质【解析】【解答】略【分析】9.【答案】B【考点】平行四边形的判定【解析】【解答】解：依照平行四边形的判定，符合四边形ABCD是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九种．故选B．【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．依照平行四边形的判定，任取两个进行推理．二、填空题10.【答案】5【考点】多边形内角与外角【解析】【解答】设那个多边形的边数是n,则，解得n =5.【分析】依照多边形的每一个内角的度数公式，列出方程，求解即可11.【答案】60【考点】矩形的判定【解析】【解答】假如四边形ABFE为矩形，依照矩形的性质，那么A F＝BE ，AC＝BC ，又因为AC＝AB ，那么三角形ABC是等边三角形，因此∠ACB＝60°．【分析】本题要紧考查了矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分．12.【答案】相等【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】两次读数相等.长方形对边平行,又直角尺两次位置平行,由两平行线间的平行线段长度相等得读数相等.【分析】依照两平行线间的平行线段长度相等可得两次读数相等。
2024-2025学年沪科版中考数学试卷一、单选题（每题3分）1.下列哪个表达式的结果是最小的？• A.(32−23)• B.(√16−2)• C.((−2)3+3)• D.(|2−5|)答案：2.若直线(y=mx+b)通过点(3, 2)并且与y轴交于点(0, -1)，则m的值是多少？• A. 1• B. -1)• C.(13• D. 3答案：3.在平面直角坐标系中，点A(2, 3)和点B(-1, 2)之间的距离是多少？• A.(√10)• B.(√13)• C. 5• D. 3答案：4.若一个正方形的边长增加到原来的1.5倍，则其面积增加了多少倍？• A. 2.25• B. 1.5• C. 3• D. 4答案：5.从一副扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是多少？假设这副牌有52张牌，其中13张是红桃。
)• A.(14)• B.(113)• C.(152)• D.(12答案：二、多选题（每题4分）1.下列哪些选项中的表达式是多项式？A.(x2+3x−5)xC.(√x+2)D.(2x3−x+7)答案：A, D2.关于直线和平面图形，下列说法正确的有：A. 平行线永不相交。
B. 三角形的内角和总是等于180度。
C. 直角三角形的两个锐角之和为90度。
D. 任意四边形的内角和为360度。
答案：A, B, C, D3.解下列方程，哪些方程的解是(x=3)?A.(2x−6=0)B.(x2−9=0)=1)C.(x3D.(x+2=5)答案：A, B, C, D4.下列哪些数是无理数？A.(π)C.(√2))D.(13答案：A, C5.设某三角形的两边长分别为5cm和12cm，夹角为90度，则第三边长可能为：A. 13cmB. 7cmC. 17cmD. 以上都不对答案：A三、填空题（每题3分）1.若(x)与(−4)互为相反数，则(x=______)。
（答案：4）2.如果一个正方形的边长为(6cm)，则其周长为(______cm)。
2022年上海市初中学业水平考试数学试卷考生注意：1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟。
2．答题时，考生务必按要求在答题纸上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．8的相反数是A. 8-B. 8C. 18D.18-2．下列运算正确的是A. a²+a³=a6B. （ab）2 =ab2C. （a+b）²=a²+b²D. （a+b）（a-b）=a² -b23．已知反比例函数y=kx（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为A. （2，3）B. （-2，3）C. （3，0）D. （-3，0）4．我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差5．下列说法正确的是A. 命题一定有逆命题B. 所有的定理一定有逆定理C. 真命题的逆命题一定是真命题D. 假命题的逆命题一定是假命题6．有一个正n边形旋转90后与自身重合，则n为A. 6B. 9C. 12D. 15二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：3a－2a＝__________．8．已知f（x）=3x，则f（1）=_____．9．解方程组2213x y x y +=⎧⎨-=⎩的结果为_____． 10．已知x -23x +m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____． 11．甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为_____．12．公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．13．为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数 据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2小时10人， 2-3小时14人，3-4小时16人，4-5小时6人），若共有200名 学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是 _____．14．已知直线y =kx +b 过第一象限且函数值随着x 的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_____．15．如图所示，在口ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，,,BO a BC b ==则DC =_____．16．如图所示，小区内有个圆形花坛O ，点C 在弦AB 上，AC =11，BC =21，OC =13，则这个花坛面积为_____．（结果保留π） 17．如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =90°，D 为AB 中点，E 在线段AC上，AD DE AB BC=，则AEAC =_____． 18．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大 时，这个圆的半径为_____．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：11221|()123--+-20．（本题满分10分）解关于x 的不等式组34423x x xx >-⎧⎪+⎨>+⎪⎩21．（本题满分10分，每小题满分各5分）一个一次函数的截距为1，且经过点A （2，3）． （1）求这个一次函数的解析式；（2）点A ，B 在某个反比例函数上，点B 横坐标为6，将点B 向上平移2个单位得到点C ，求cos ∠ABC 的值．22．（本题满分10分，每小题满分各5分）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB 的长．（1）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB 底部a 米的点D 处，测角仪高为b米，从C 点测得A 点的仰角为α，求灯杆AB 的高度．（用含a ，b ，ａ的代数式表 示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG 放在灯杆AB 前，测得其影长CH 为1米，再将木 杆沿着BC 方向移动1.8米至DE 的位置，此时测得其影长DF 为3米，求灯杆AB 的高度23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF =BE ，AE ²=AQ ·AB 求证： （1）∠CAE =∠BAF ； （2）CF ·FQ =AF ·BQ24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题①满分4分，第（2）小题②满分4分） 已知：212y x bx c =++经过点()21A --，，()03B -，． （1）求函数解析式；（2）平移抛物线使得新顶点为(),P m n （m ＞0）．①倘若3OPB S =△，且在x k =的右侧，两抛物线都上升，求k 的取值范围； ②P 在原抛物线上，新抛物线与y 轴交于Q ，120BPQ ∠=时，求P 点坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题①满分4分，第（1）小题②满分4分，第（2）小题满分6分）平行四边形ABCD ，若P 为BC 中点，AP 交BD 于点E ，连接CE ． （1）若AE CE =，①证明ABCD 为菱形；②若5AB =，3AE =，求BD 的长．（2）以A 为圆心，AE 为半径，B 为圆心，BE 为半径作圆，两圆另一交点记为点F ，且2CE AE =．若F 在直线CE 上，求ABBC的值．2022年上海初中学业水平考试数学试题参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．A2．D3．B4．D5．A6．C二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．a 8．39．21x y =⎧⎨=-⎩10．m <3 11．1312．20% 13．88 14．2y x =-+（答案不唯一） 15．2a b -+16．400π17．12或1418．22三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．解：11221|()123--+--=1 20．解：34423x x x x >-⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②，解①得：x >-2， 解②得：x <-1， ∴-2<x <-1．21．（1）解：设这个一次函数的解析式y =kx +1，把A （2，3）代入，得3=2k +1， 解得：k =1，∴这个一次函数的解析式为y =x +1；（2）解：如图，设反比例函数解析式为y =m x， 把A （2，3）代入，得3=2m ， 解得：m =6，∴反比例函数解析式为y =6x， 当x =6时，则y =66=1，∴B （6，1），∴AB =22(62)(13)25-+-=， ∵将点B 向上平移2个单位得到点C ， ∴C （6，3），BC =2， ∵A （2，3），C （6，3）， ∴AC ∥x 轴，∵B （6，1），C （6，3）， ∴BC ⊥x 轴， ∴AC ⊥BC ， ∴∠ACB =90°，∴△ABC 是直角三角形， ∴cos ∠ABC =25525BC AB ==． 22．（1）解：如图由题意得BD =a ，CD =b ，∠ACE =α ∠B =∠D =∠CEB =90° ∠四边形CDBE 为矩形， 则BE =CD =b ，BD =CE =a ， 在Rt ∆ACE 中，tan α=AECE， 得AE =CE =CE ×tan α=a tan α 而AB =AE +BE ，故AB = a tan α+b答：灯杆AB 的高度为a tan α+b 米 （2）解：由题意可得，AB ∥GC ∥ED ，GC =ED =2，CH =1，DF =3，CD =1.8 由于AB ∥ED ， ∠∆ABF ~∆EDF ，此时ED ABDF BF = 即2=3 1.83ABBC ++∠， ∠AB ∠GC ∠∆ABH ~∆GCH ， 此时AB GCBH CH=， 211AB BC =+ ∠ 联立∠∠得24.8321AB BC AB BC ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 解得： 3.80.9AB BC =⎧⎨=⎩答：灯杆AB 的高度为3.8米23．（1）证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵CF =BE ， ∴CE =BF ，在△ACE 和△ABF 中，AC ABC B CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△ABF （SAS ）， ∴∠CAE =∠BAF ；（2）证明：∵△ACE ≌△ABF ，∴AE ＝AF ，∠CAE =∠BAF ， ∵AE ²=AQ ·AB ，AC ＝AB ，∴AE AB AQ AE =，即AE ACAQ AF =， ∴△ACE ∽△AFQ ， ∴∠AEC =∠AQF ， ∴∠AEF =∠BQF ， ∵AE ＝AF ， ∴∠AEF =∠AFE ， ∴∠BQF =∠AFE ， ∵∠B =∠C ， ∴△CAF ∽△BFQ ， ∴CF AFBQ FQ=，即CF ·FQ =AF ·BQ ． 24．（1）解：把()21A --，，()03B -，代入212y x bx c =++，得 1223b c c -=-+⎧⎨-=⎩，解得：03b c =⎧⎨=-⎩， ∠函数解析式为：2132y x =-； （2）解：∠∠2132y x =-， ∠ 顶点坐标为(0，-3)，即点B 是原抛物线的顶点， ∠ 平移抛物线使得新顶点为(),P m n （m ＞0）． ∠ 抛物线向右平移了m 个单位， ∠ 1332OPB S m =⨯=△， ∠ m =2，∠ 平移抛物线对称轴为直线x =2，开口向上， ∠ 在x k =的右侧，两抛物线都上升， 又∠ 原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，∠ k ≥2，∠ 把P （m ，n ）代入2132y x =-，得n =2132m -， ∠ P （m ，2132m -） 根据题意，得新抛物线解析式为：y =12(x -m )2+n =12x 2-mx +m 2-3， ∠ Q (0，m 2-3)， ∠ B （0，-3）， ∠ BQ =m 2，BP 2=2222411(33)24m m m m +-+=+，PQ 2=22222411[(3)(3)]24m m m m m +---=+，∠ BP =PQ ，如图，过点P 作PC ∠y 轴于C ，则PC =|m |，∠ BP =PQ ，PC ∠BQ ，∠ BC =12BQ =12m 2，∠BPC =12∠BPQ =12×120°=60°，∠ tan∠BPC = tan 60°=2123||mBC PC m ==，解得：m =±23，∠ n =2132m -=3，故P 的坐标为（23，3）或（-23，3）25．（1）①证明：如图，连接AC 交BD 于O ，∵平行四边形ABCD ， ∴OA =OC ， ∵AE =CE ，OE =OE ， ∴△AOE ≌△COE (SSS)， ∴∠AOE =∠COE ，∵∠AOE +∠COE =180°， ∴∠COE =90°， ∴AC ⊥BD ，∵平行四边形ABCD ， ∴四边形ABCD 是菱形； （1）②∵OA =OC ，∴OB 是△ABC 的中线， ∵P 为BC 中点， ∴AP 是△ABC 的中线， ∴点E 是△ABC 的重心， ∴BE =2OE ， 设OE =x ，则BE =2x ，在Rt △AOE 中，由勾股定理，得OA 2=AE 2-OE 2=32-x 2=9-x 2, 在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OA 2=AB 2-OB 2=52-(3x )2=25-9x 2, ∴9-x 2=25-9x 2，解得：x ,∴OB =3x ， ∵平行四边形ABCD ，∴BD =2OB ； （2）解：如图，∵⊙A 与⊙B 相交于E 、F ， ∴AB ⊥EF ，由（1）②知点E 是△ABC 的重心， 又F 在直线CE 上， ∴CG 是△ABC 的中线， ∴AG =BG =12AB ，GE =12CE ，∵CE AE ，∴GE =2AE ，CG =CE +GE =2AE ， 在Rt △AGE 中，由勾股定理，得AG2=AE2-GE E=AE2-(22AE)2=12AE2,∴AG=22AE,∴AB=2AG=2AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=12AE2+（322AE）2=5AE2，∴BC=5AE，∴21055AB AEBC AE．2022年初中学业水平考试数学试卷第11页（共11页）。
沪科版数学九年级中考试卷1．在-2，-1、0、2这四个数中，最大的数是（）2．2．下列几何体的主视图是三角形的是（）3．正在建设的成都第二绕城高速全长超过220公里，串起我市二、三圈层以及周边的广汉、简阳等地，总投资达290亿元，用科学计数法表示290亿元应为（ ）A.290×810B.290×910C.2.90×1010D.2.90×11104.下列计算正确的是（ ）A.32x x x =+B.x x x 532=+C.532)(x x =D.236x x x =÷5．下列图形中，不是．．轴对称图形的是（ ）A B C D6．函数5-=x y 中自变量x 的取值范围是（ ）A.5-≥xB.5-≤xC.5≥xD.5≤x7如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（ ）A.60°B.50°C.40°D.30°8．近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点.为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班的学生成绩统9．将二次函数322+-=xxy化为khxy+-=2)(的形式，结果为（）（A）4)1(2++=xy（B）2)1(2++=xy（C）4)1(2+-=xy（D）2)1(2+-=xy10．在圆心角为120°的扇形AOB 中，半径OA =6cm ，则扇形AOB 的面积是（ ）（A ）π62cm （B ）π82cm （C ）π122cm （D ）π242cm。
