2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十九)数学

2021届全国天一大联考新高考模拟考试（十九）理科数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.已知集合{1,3,4,5}A =，集合2{}450|B x Z x x =∈--<，则A B 的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】试题分析：由2450x x --<，解得15x -<<，所以{}0,1,2,3,4B =，所以{}1,3,4A B ⋂=，所以A B ⋂的子集个数为328=，故选C ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．2.如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数•z i （i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A. 1ZB. 2ZC. 3ZD. 4Z【答案】B 【解析】试题分析：z i ⋅为将复数z 所对应的点逆时针旋转90得2Z ，选B. 考点：复数几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、共轭为.a bi - 3.下列四个函数，在0x =处取得极值的函数是（ ） ①3y x = ②21y x +=③y x =④2x y = A. ① ② B. ② ③C. ③ ④D. ① ③【答案】B 【解析】【详解】试题分析：能不能取得极值要看函数在这个导函数的零点处的两边是否异性单调．通过检验②③这两个函数在处的左右两边情况是：左边是减函数,右边是增函数,因此是极值点．而①④两个函数都是单增的，所以应选B ． 考点：函数极值的定义．4.已知变量,x y 满足：20{2300x y x y x -≤-+≥≥，则22)x y z +=的最大值为（ ）2 B. 22 C. 2D. 4【答案】D 【解析】试题分析：作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知目标函数12z x y =+经过点(1,2)A 时取得最大值，所以212max (2)4z ⨯+==，故选D ．考点：简单的线性规划问题．5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】按照流程图运行到第五次循环后停止循环，由此可得答案. 【详解】1i =，12n =， 第一次循环： 8n =，2i =， 第二次循环：31n =，3i =， 第三次循环：123n =，4i =， 第四次循环：119n =，5i =，第五次循环：475n =，6i =，停止循环， 输出6i =. 故选：B.【点睛】本题考查了循环结构流程图和条件结构流程图，属于基础题.6.两个等差数列的前n 项和之比为51021nn+-，则它们的第7项之比为（）A. 2B. 3C.4513D.7027【答案】B【解析】试题分析：设这两个数列的前n项和分别为,n nS T，则1131377113137713()132513102313()13221312a aS a ab bT b b+⨯⨯+=====+⨯⨯-，故选B．考点：1、等差数列的前n项和；2、等差数列的性质．7.在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()2100,(0)Nδδ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为（）A. 0.05B. 0.1C. 0.15D. 0.2【答案】B【解析】试题分析：由题意知ξ服从正态分布2(100,)σ，(80120)0.8Pξ<<=，则由正态分布图象的对称性可知，1(080)0.5(80120)0.12P Pξξ<<=-<<=，故选B．考点：正态分布．8.函数()sin(0,0)f x A x Aωω=>>的部分图象如图所示，(1)(2)(3)(2015)f f f f++++的值为（）A. 0B. 32C. 62D. 2-【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象可得：22,2(62)8A T w π==-==，解得4w π=，可得函数的解析式为()sin4f x x π=，所以()()()()()()122,340,562,f f f f f f ======-()()()780,9f f f ===，观察规律可知函数()f x 的值以8为周期，且()()()()()()()12345780f f f f f f f ++++++=，由于201525187=⨯+，故可得()()()()()()()()()()12320151234570f f f f f f f f f f ++++=+++++=，故选A.考点：三角函数的周期性.【方法点晴】本题主要考查了三角函数sin()y A wx ϕ=+部分图象确定函数的解析式、数列的周期性、数列的求和扥知识点的综合应用，其中根据三角函数的图象，求出函数的解析式，进而分析出函数的性质和数列的周期性，进而求解数列的和是解答本题的关键，着重考查了学生分析和解答问题的能力及转化与化归思想的应用.9.若(1)x +7280128(12)x a a x a x a x -=++++，则127a a a +++的值是（ ）A. -2B. -3C. 125D. -131【答案】C 【解析】试题分析：令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++，即1283a a a +++=-．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--=，故选C ．考点：二项式定理．10.已知圆1C ：2220x cx y ++=，圆2C ：2220x cx y -+=，c 是椭圆C ：22221x ya b+=的半焦距，若圆1C ，2C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 2⎫⎪⎪⎣⎭D. 0,2⎛ ⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】首先求出两圆的圆心和半径，可得两圆的位置关系.则问题等价于圆2C 上的点()()2,0,,c c c 都在椭圆的内部，列不等式组，即可求出椭圆离心率的范围.【详解】把圆1C ：2220x cx y ++=，圆2C ：2220x cx y -+=化为标准式得， 圆()2212:C c x c y ++=，圆()2222:C x c y c -+=，则圆1C 和圆2C 关于原点对称. 圆1C ，2C 都在椭圆内等价于圆2C 上的点()()2,0,,c c c 都在椭圆的内部，222222221c a cc a b b a c<⎧⎪⎪∴+<⎨⎪=-⎪⎩，解得102c a <<，即102e <<.故选：B .【点睛】本题考查圆与椭圆的位置关系，根据图形找出临界值，列出关于,a c 的不等式组即可求解. 11.定义在R 上的函数()f x 对任意1212,()x x x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A. 1[3,)2-- B. 1[3,]2--C. 1[5,)2--D. 1[5,]2--【答案】D 【解析】试题分析：由已知条件知函数()f x 为奇函数且在R 上为减函数,由22(2)(2)f s s f t t -≤--有22(2)(2)f s s f t t -≤-,所以2222s s t t -≥-，()(2)0s t s t -+-≥,若以s 为横坐标,t 为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,阴影部分为不等式()(2)0{14s t s t s -+-≥≤≤表示的平面区域,即ABC ∆及其内部,(1,1),(4,4),(4,2)A B C -,令2t s z s t -=+,则21z t s z+=-,求出1,12OC AB k k =-=,所以,解得152z -≤≤-,∴2t s s t -+的取值范围是15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,选D.考点：1.函数的基本性质；2.线性规划.【方法点睛】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属于中档题. 利用已知条件得出函数()f x 是R 上的减函数,由函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，根据图象的平移,得出()y f x =的图象关于原点成中心对称,所以()f x 为奇函数,解不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--,得出()(2)0s t s t -+-≥,画出不等式组表示的平面区域,2t sz s t -=+,则21z t s z+=-,通过图形求关于s 的一次函数的斜率得出z 的范围,从而求出2t ss t-+的范围. 12.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 3，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ） A.77B.1919C. 7πD. 19π【答案】C 【解析】分析：三棱锥B ACD -的三条侧棱,BD AD DC DA ⊥⊥，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可.详解：根据题意可知三棱锥B ACD -的三条侧棱,BD AD DC DA ⊥⊥，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径， 三棱柱中，底面BDC ∆，1,3BD CD BC ===,120BDC ︒∴∠=，BDC ∴∆的外接圆的半径为1312⨯=， 由题意可得：球心到底面的距离为32. ∴球的半径为3714r =+=. 外接球的表面积为：274474S r πππ==⋅=. 故选：C.点睛：考查空间想象能力，计算能力.三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为__________．433【解析】该几何体可以看作是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为3，因此体积为2143233V =⨯=14.已知向量AB 与AC 的夹角为60，且2AB AC ==，若AP AB AC λ=+且AP BC ⊥，则实数λ的值为__________． 【答案】1 【解析】试题分析：因为AP BC ⊥，所以0AP BC ⋅=．2()()AP BC AB AC AC AB AB AC AC λλ⋅=+⋅-=⋅+－2AB AB ACλ-⋅＝22(1)cos60||AB AC AC AB λλ-︒+-＝2(1)44220λλλ-+-=-+=，解得1λ=．考点：1、向量的数量积运算；2、向量的线性运算．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是2223be （e为双曲线的离心率），则e 的值为__________． 【答案】6 【解析】试题分析：由题意，得抛物线的准线为x c =-，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为22b a ，所以222223b be a =，即223b e a =，所以，整理，得422910e e -+=，解得62e =或3e =1的直线与双曲线的右支交于两点，所以6e =． 考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中,,a b c 的关系式，求值问题就是建立关于,,a b c 的等式，求取值范围问题就是建立关于,,a b c 的不等式．16.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，(9)9g =，10的因数有1，2，5，10，(10)5g =，那么2015(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-=__________．【答案】2015413- 【解析】由题意得(),(),()(),(),2n g n n n g n g n ==为奇数为偶数 所以20152015201521(1)(2)(3)(4)(22)(21)S g g g g g g -=+++++-+-20142015(1)(1)(3)(2)(21)(21)g g g g g g =+++++-+-20142015(1)(2)(3)(21)13(21)g g g g =+++++-++++-201420142013201420152014201320142121212(121)4442S S S ---+-=+=+=++1201520151201320141201320142114414441444.143S ---==++++=++++==-三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a =3b =sin B A +=（1）求角A 的大小； （2）求ABC ∆的面积．【答案】（1）3A π=；（2）2ABC S ∆=． 【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得sin B 与sin A 的关系，然后结合已知等式求得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）先由余弦定理求得c 的值，从而由cos B 的范围取舍c 的值，进而由面积公式求解．试题解析：（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B =3sin B=3sin B A =.sin B A +=sin A =. 因为ABC ∆为锐角三角形，所以3A π=.（2）在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，得219726c c+-=，即2320c c -+=.解得1c =或2c =.当1c =时，因为222cos 0214a c b B ac +-==-<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去.当2c =时，因为222cos 02a c b B ac +-==>，又,,b c b a B C B A >>⇒>>，所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC∆面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯=.考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．18.某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.（1）当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较,m n 的大小关系；（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；（3）若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值．（只需写出结论）【答案】（1）m n =；（2）X 的分布列为X12P295929∴252()0121999E X =⨯+⨯+⨯=；（3）0b =． 【解析】试题分析：（1）根据茎叶图，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=. 由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数5n =，所以m n =.（2）由题意，知X 的所有可能取值为0,1,2.且()025*******C C PX C ===，()()11025555221010521299C C C C P X P X C C ======，， 所以X 的分布列为X0 12 P295929所以()25201+2=1999E X =⨯+⨯⨯. （3）当0b =时，2s 达到最小值.试题解析：（1）根据平均数的定义分别求出甲、乙两组数据的平均数，从而得到“星级卖场”的个数进行比较；（2）写出X 的所有可能取值，求出相应概率，列出分布列，求得数学期望；（3）根据方差的定义求解． 考点：1、平均数与方差；2、分布列；3、数学期望．19.如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如图2．（1）求证：1A E ⊥平面BCDE ； （2）求二面角1E A B C --的余弦值；（3）判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）77；（3）不存在． 【解析】(1)∵DE ⊥BE ，BE ∥DC ， ∴DE ⊥DC ．又∵A 1D ⊥DC ，A 1D ∩DE =D ， ∴DC ⊥平面A 1DE ， ∴DC ⊥A 1E .又∵A 1E ⊥DE ，DC ∩DE =D ， ∴A 1E ⊥平面BCDE .(2)∵A 1E ⊥平面BCDE ，DE ⊥BE ，∴以EB ，ED ，EA 1所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系（如图）．易知DE =2，则A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，C (4，2，0)，D (0，2，0)，∴1BA =(−2，0，2)，BC =(2，2，0)，易知平面A 1BE 的一个法向量为n =(0，1，0)． 设平面A 1BC 的法向量为m =(x ，y ，z )， 由1BA ·m =0，BC ·m =0，得令y =1，得m =(−，1，−)，∴cos 〈m ，n 〉===.由图得二面角E −A 1B −C 为钝二面角， ∴二面角E −A 1B −C 的余弦值为−.(3)假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面A 1DP ⊥平面A 1BC ． 设P (t ，0，0)(0≤t ≤2)，则1A P =(t ，0，−2)，1A D =(0，2，−2)，设平面A 1DP 的法向量为p =(x 1，y 1，z 1)， 由1100A D p A P p ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得令x 1=2，得p =.∵平面A 1DP ⊥平面A 1BC ， ∴m·p =0，即2−＋t =0，解得t =−3.∵0≤t ≤2，∴在线段EB 上不存在点P ，使得平面A 1DP ⊥平面A 1BC ．20.如图，已知椭圆2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,EF 两点．（1）若6ED DF =，求k的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值． 【答案】（1）23k =或38k =；（2）22 【解析】试题分析：（1）先由两点式求得直线AB 的方程，然后设l 的方程为y kx =.设()00,D x kx ，()11,E x kx ，()22,F x kx ，联立直线l 与椭圆的方程，得到12,x x 间的关系，再由6ED DF =与点D 在线段AB 上求得k的值；（2）由点到直线的距离公式分别求得点,A B 到线段EF 的距离，从而得到四边形AEBF 的面积的表面式，进而求得其最大值．试题解析：（1）依题设得椭圆的顶点()()2,0,0,1A B ，则直线AB 的方程为220x y +-=. 设直线EF 的方程为()0y kx k =>.设()()()001122,,,,D x kx E x kx F x kx ，，其中12x x <，联立直线l 与椭圆的方程221{4x y y kx+==，消去y ，得方程()22144k x +=.（3分）故21214x x k=-=+，由6ED DF =知，()02206x x x x -=-，得()021215677x x x x =+==D 在线段AB 上，知00220x kx +-=，得021+2x k =，所以21+2k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =. （2）根据点到直线的距离公式，知点,A B 到线段EF的距离分别为12h h ==，又EF =所以四边形AEBF 的面积为()1221212k S EF h h +=+====≤ 当且仅当14k k=，即12k =时，取等号，所以四边形AEBF 面积的最大值为考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式；3、基本不等式． 21.设函数2()(2)ln f x x a x a x =---． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； （3）若方程()()f x c c R =∈，有两个不相等的实数根12,x x ，比较12()2x x f +'与0的大小． 【答案】(1) 单调增区间(,)2a +∞，单调减区间为(0,)2a. (2) 3a =,(3)详见解析 【解析】试题分析: (1)先求函数导数,再求导函数零点1,a - ,根据定义域舍去1-,对a 进行讨论, 0a ≤时，()0f x '>，单调增区间为()0,+∞．0a >时,有增有减;(2) 函数()f x 有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:4ln 402aa +->,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得a 的取值范围,进而确定整数值,（3）根据02a f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，所以只需判定1222x x a 与+大小,由()()12f x f x =可解得221122112222ln ln x x x x a x x x x +--=+--,代入分析只需比较11221222ln x x x x x x -+与大小, 设12x t x =,构造函数()22ln 1t g t t t -=-+,利用导数可得最值,即可判定大小.试题解析:(1)解：()()22a f x x a x =---' ()()()22221x a x a x a x x x----+== (0)x >． 当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，函数()f x 的单调增区间为()0,+∞． 当0a >时，由()0f x '>，得2a x >；由()0f x '<，得02a x <<. 所以函数()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)解：由(1)得，若函数()f x 有两个零点 则0a >，且()f x 的最小值02a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<. 因为0a >，所以4ln402a a +->.令()4ln 42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数， 且()220h =-<，()38134ln 1ln10216h =-=->，所以存在()02,3a ∈，()00h a =. 当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <.所以满足条件的最小正整数3a = (3)证明：因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由(1)知0a >.不妨设120x x <<，则()21112ln x a x a x c ---=，()22222ln x a x a x c ---=.两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln x x x x a x x x x +--=+--.因为02a f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当x∈,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故只要证1222x x a+>即可，即证明22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +--+>+--，即证明()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，即证明11221222lnx x x x x x -<+.设12(01)x t t x =<<． 令()22ln 1t g t t t -=-+，则()()()()22211411t g t t t t t -=-=+'+.因为0t >，所以()0g t '≥，当且仅当t ＝1时，()0g t '=，所以()g t 在()0,+∞上是增函数． 又()10g =，所以当()0,1t ∈时，()0g t <总成立．所以原题得证点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22. 如图，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，∠PAB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，连结CB ，并延长与直线PQ 相交于点Q ，若AQ=6，AC=5．（Ⅰ）求证：QC 2﹣QA 2=BC ⋅QC ；（Ⅱ）求弦AB 的长．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）103AB = 【解析】试题分析：（Ⅰ）由于PQ 与⊙O 相切于点A ，再由切割线定理得：QA 2=QB ⋅QC=（QC ﹣BC ）⋅QC=QC 2﹣BC ⋅QC 从而命题得到证明（Ⅱ）解：PQ 与⊙O 相切于点A ，由弦切角等于所对弧的圆周角∠PAC=∠CBA ，又由已知∠PAC=∠BAC ，所以∠BAC=∠CBA ，从而AC=BC=5，又知AQ=6，由（Ⅰ）可得△QAB ∽△QCA ，由对应边成比例，求出AB 的值．试题解析：（Ⅰ）证明：∵PQ 与⊙O 相切于点A ，∴由切割线定理得：QA 2=QB ⋅QC=（QC ﹣BC ）⋅QC=QC 2﹣BC ⋅QC ． ∴QC 2﹣QA 2=BC ⋅QC ．（Ⅱ）解：∵PQ 与⊙O 相切于点A ，∴∠PAC=∠CBA ， ∵∠PAC=∠BAC ，∴∠BAC=∠CBA ，∴AC=BC=5又知AQ=6，由（Ⅰ） 可知QA 2=QB ⋅QC=（QC ﹣BC ）⋅QC ，∴QC=9 由∠QAB=∠ACQ ，知△QAB ∽△QCA ，∴AB QA AC QC =，∴103AB =． 考点：切割线定理及三角形相似.【方法点睛】（1）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角；（2）判断三角形相似：一是平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；二是如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；三是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似；四是如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；五是对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角；（3）切割线定理：切割线定理，是圆幂定理的一种，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.23.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为25sin ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3,5)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值． 【答案】（1）（2）32【解析】试题分析：（1）由加减消元得直线l 的普通方程,由222sin ,y x y ρθρ==+得圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2,再根据韦达定理可得结果试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l 的普通方程为x+y ﹣3﹣=0又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+（y ﹣）2=5；（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得（3﹣t ）2+（t ）2=5，即t 2﹣3t+4=0设t 1，t 2是上述方程的两实数根， 所以t 1+t 2=3又直线l 过点P，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3．24.选修4-5：不等式选讲（1）已知函数()|1||3|f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； （2）若,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，求225m x z =++的最大值．【答案】（1）[]3,1x ∈-；（2）3． 【解析】试题分析：（1） 利用零点分段法求解；（2）利用柯西不等式求解．试题解析：（1）()22,313{4,3122,1x x f x x x x x x --<-=-++=-≤≤+>.则当[]3,1x ∈-时，()f x 为常函数.（2）由柯西不等式得()(((()2222222225225x y z x z ⎡⎤++++≥+⎢⎥⎣⎦，所以32253x z -≤++≤222==，即225x y z ===时，取最大值，因此m 的最大值为3.考点：1、零点分段法；2、柯西不等式．。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十九）数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|20190M x x =+>，{}2|3N x x =>，则MN =（ ）A. 19|20x x ⎧-<<⎨⎩ B. {|x x >C. 19|20x x ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D. {|x x <【答案】B 【解析】 【分析】求出M 和N ，然后直接求解即可【详解】19|20M x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，{|N x x =< x >，{|M N x x ∴⋂=>，故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题2.满足条件|4|2||z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线【答案】B 【解析】 【分析】设复数z x yi =+，然后代入|4|2||z i z i +=+，得2222(4)44(1)x y x y ++=++，化简即可得答案【详解】设复数z x yi =+，则：|4||(4)|z i x y i +=++=，|||(1)|z i x y i +=++=结合题意有：2222(4)44(1)x y x y ++=++， 整理可得：224x y +=. 即复数z 对应点的轨迹是圆. 故选：B.【点睛】本题考查复数的模的运算，属于简单题3.已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（ ） A. a b c << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】因为(0,1)x ∈，所以log 50x a =<， 因为y cosx =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以，cos cos1cos 02b π<<<，所以01b << 因为函数3x y =在(0,1)上单调递增，所以0333x <<，即13c <<，比较大小即可求解【详解】因为()0,1x ∈，所以0a <.因为12π>，所以01b <<， 因为()0,1x ∈，所以13c <<，所以a b c <<， 故选：A.【点睛】本题考查指数函数，对数函数和三角函数的单调性，以及利用单调性判断大小的题目，属于简单题4.给出关于双曲线的三个命题：①双曲线22194y x -=的渐近线方程是23y x =±；②若点()2,3在焦距为4的双曲线22221x y a b-=上，则此双曲线的离心率2e =；③若点F 、B 分别是双曲线22221x y a b-=的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段FB 的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【详解】对于①：双曲线22194y x -=的渐近线方程是32y x =±，故①错误；对于②：双曲线的焦点为()()2,0,2,0-，22,1a a ===，从而离心率2ce a==，所以②正确； 对于③：()(),0,0,,F c B b FB ±±的中点坐标,22c b ⎛⎫±± ⎪⎝⎭均不满足渐近线方程，所以③正确； 故选C. 5.已知函数()f x 图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A. ()()44||x xf x x -=+B. ()4()44log||x xf x x -=-C. ()14()44log ||xxf x x -=+D. ()4()44log||x xf x x -=+【答案】D 【解析】 【分析】结合图像，利用特值法和函数的奇偶性，即可求解【详解】A 项,(0)0f =,与所给函数图象不相符，故A 项不符合题意B 项，4()(44)log ||()x xf x x f x --=-=-，()f x 为奇函数，与所给函数图象不相符，故B 项不符合题意C 项，4414(2)(22)log 20f -=+<，与所给函数图象不符.故C 项不符合题意 综上所述,A 、B 、C 项均不符合题意,只有D 项符合题意， 故选：D.【点睛】本题主要考查函数的概念与性质，属于简单题6. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A. 40种 B. 60种C. 100种D. 120种【答案】B 【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有=60种.故选B ．7.已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A.2 B.23C.2 D.2【答案】C 【解析】 【分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=，所以2||2-=b a ，即2222+-⋅=b a a b ，因此12a b ⋅=， 所以2cos ,22⋅<>===a b a b a b.故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.8.如图，给出的是求1111 (24636)++++的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（ ）A. 18?i >B. 18?i <C. 19?i >D. 19?i <【答案】D 【解析】 【分析】由已知中程序的功能是计算111124636+++⋯+的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出 进行循环体的条件，进而得到答案．【详解】模拟程序的运行，可知程序的功能是计算111124636+++⋯+的值，即36n ，19i <时，进入循环，当19i =时，退出循环， 则判断框内填入的条件是19i <．故选D ．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出 最后一次进入循环的条件，属于基础题．9.非负实数x 、y 满足ln （x ＋y －1）≤0，则关于x －y 的最大值和最小值分别为 A. 2和1 B. 2和－1C. 1和－1D. 2和－2【答案】D 【解析】【详解】试题分析：依题意有，作出可行域，如下图所示：设x y z -=，则有y x z =-，平移y x z =-，当直线y x z =-经过点(0,2)A 时，z 有最小值，其值为2-，当直线y x z =-经过点(2,0)B 时，z 有最大值，其值为2， 因此 x －y 的最大值和最小值分别为2和－2， 故选：D.考点： 简单的线性规划问题．10.如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从根针上全部移到另一根针上：①每次只能移动一个金属片；②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ，则()6f =（ ）A. 61B. 33C. 63D. 65【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出(1)1f =，同理，求出(2)21+1=3f =⨯，(3)2(2)17f f =+=，(4)2(3)115f f =+=，推导出(1) 2 ()1f n f n +=+ 【详解】由题设可得(1)1f = 求出(2)21+1=3f =⨯，(3)2(2)17f f =+=，(4)2(3)115f f =+=，推导出(1) 2 ()1f n f n +=+， 所以()663f =. 故选：C【点睛】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键．11.已知函数()|cos |(0)f x x x =的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()221sin 2θθθ=+（ ） A. 2- B. 1-C. 0D. 2【答案】B 【解析】 【分析】依题意，设直线为y kx =，则直线y kx =与(0)y cosx x =切于3(,2)2ππ上的一点,求出切点坐标为(,cos )θθ，然后利用切线方程，即可求出θ，进而得到22(1)sin 2θθθ+的值【详解】函数()|cos |(0)f x x x =的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数()|cos |(0)f x x x =在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切，在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上， ()f x 的解析式()cos f x x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ.∴切线斜率0sin sin x k y x θ==-=-'=，∴由点斜式得切线方程为：cos sin ()y x θθθ-=--，即sin sin cos y x θθθθ=-++直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()221222tan tan 1sin 11sin 2212sin cos cos tan θθθθθθθθθθ--∴===-⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查三角函数的图像问题，难点在于利用切线方程求出θ的值，属于中档题12.过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D 【解析】 【分析】每条棱在平面α的正投影的长度都相等，等价于每条棱所在直线与平面α所成角都相等，从而棱AB ，AD ，1AA 所在直线与平面α所成的角都相等，三棱锥1A A BD -是正三棱锥,直线AB ，AD ，1AA 与平面1A BD所成角都相等，过顶点A 作平面α平面1A BD ，由此能求出这样的平面α的个数.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，每条棱在平面α的正投影的长度都相等⇔每条棱所在直线与平面α所成的角都相等⇔棱1AB AD AA 、、所在直线与平面α所成的角都相等，易知三棱锥1A A BD -是正三棱锥，直线1AB AD AA 、、与平面1A BD 所成的角都相等.过顶点A 作平面α平面1A BD ，则直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.同理，过顶点A 分别作平面α与平面1C BD 、平面1B AC 、平面1D AC 平行，直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.所以这样的平面α可以作4个，故选：D.【点睛】本题考查立体几何中关于线面关系和面面关系的相关概念，属于简单题第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13.函数()e 22019x f x x =-+在()()0,0f 处的切线方程是_______. 【答案】2020y x =-+ 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到(0)f '，再求出(0)f ，然后列出利用切线方程可得答案. 【详解】求导函数可得()2xf x e =-，当0x =时，0(0)21f e '=-=-，0(0)020192020f e =-+=，切点为()0,2020，∴曲线()22019x f x e x =-+在点()()0,0f 处的切线方程是2020y x -=-，故答案为：2020y x =-+.【点睛】本题考查切线方程问题，属于简单题14.数列{}n a 是各项为正且单调递增的等比数列，前n 项和为n S ，353a 是2a 与4a 的等差中项，5484S =，则3a =_____. 【答案】36 【解析】 【分析】由题意可得：1q >，由353a 是2a 与4a 的等差中项，5484S =，可得324523a a a ⨯=+即 523111(1)(),4841a q a q a q q q-=+=-，联立解得:1a ，q ，再利用通项公式即可得出答案【详解】由题意得()2311151510314841a q a q a q a q S q ⎧⋅=⋅+⎪⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得3q =，14a =，23136a a q ∴=⋅=. 故答案为：36【点睛】本题考查差比混合问题，设方程求解即可，属于简单题15.点M 是抛物线2:2(0)C x py p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在FPM 中，sin sin PFM PMF λ∠=∠，则λ的最大值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由正弦定理求得||||PMPF λ=，根据抛物线的定义，得1||||PB PM λ=,即1sin αλ=，则λ取得最大值时，sin α最小，此时直线PM 与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，由0∆=求得k 的值，即可求得λ的最大值【详解】如图，过P 点作准线的垂线，垂足为B ，则由抛物线的定义可得||||PF PB =， 由sin sin PFM PMF λ∠=∠，在PFM △中正弦定理可知：||||F PM P λ=， 所以||||PM PB λ=，所以1||||PB PM λ=， 设PM 的倾斜角为α，则1sin αλ=，当λ取得最大值时，sin α最小，此时直线PM 与抛物线相切，设直线PM 的方程为2p y kx =-，则222x py p y kx ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即2220x pkx p -+=， 所以222440p k p ∆=-=， 所以1k =±，即tan 1α=±，则sin 2α=， 则λ得最大值为1sin α=【点睛】本题属于综合题，难度较大，难点（1）利用sin sin PFM PMF λ∠=∠，通过正弦定理转化为||||F PM P λ=；难点（2）设PM 的倾斜角为α，则1sin αλ=，通过λ取得最大值时，sin α最小，得出PM 与抛物线相切，本题属于难题16.甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是____．【答案】(,6][12,)-∞⋃+∞ 【解析】 【分析】由题意可知，进行两次操作后，得出3a 的所有可能情况，根据甲胜的概率，列出相应的不等式组，即可求解.【详解】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：当3112(26)6418a a a =--=-，其出现的概率为211()24=， 当3111(26)632a a a =-+=+，其出现的概率为211()24=， 当1312(6)662a a a =+-=+，其出现的概率为211()24=， 当1132(6)6924a aa =++=+其出现的概率为211()24=， ∵甲获胜的概率为34，即31a a >的概率为34， 则满足111111114184189944a a a a a a a a -≤->⎧⎧⎪⎪⎨⎨+>+≤⎪⎪⎩⎩或整理得11612a a ≤≥或.【点睛】本题主要考查了概率的综合应用，以及数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，明确题意，得出3a 的所有可能情况，再根据甲胜的概率，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos (2)cos a B c b A =-. （1）求角A 的大小；（2）若6a =，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）3π；（2）【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简边角关系式，结合两角和差正弦公式和三角形内角和的特点可求得1cos 2A =，根据A 的范围求得结果；（2）利用余弦定理构造等式，利用基本不等式可求得bc 的最大值，代入三角形面积公式即可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos C B A A B -=，即：()2sin cos sin cos cos sin sin C A A B A B A B =+=+，A B C π++= ()sin sin 0A B C ∴+=≠ 1cos 2A ∴=()0,A π∈ 3A π∴=（2）由（1）知：13sin 2ABCSbc A bc == 由余弦定理得：2221236cos 222b c a bc A bc bc+--==≥（当且仅当b c =时等号成立） ∴036bc ∴<≤（当且仅当b c =时等号成立）ABC S ∆∴的最大值为：33693⨯= 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、两角和差正弦公式的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求最值的问题，属于常考题型.18.如图在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ，2224AB AD CD PC ====，，E 为线段PB 上一点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）若点E 满足13BE BP =，求二面角P AC E --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）63【解析】 【分析】(1)由已知条件分别证明AC BC ⊥、PC AC ⊥，由此可证得AC ⊥平面PBC ，进而可证EAC PBC ⊥平面平面(2)以C 为原点，取AB 的中点H ，CH ，CD ，CP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，由13BE BP =，求得224,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而求得平面ACE 的一个法向量为()1,1,1n =--，平面PAC 的一个法向量为(1,1,0)CB =-，设二面角P AC E --的平面角为θ，根据||cos |cos ,|||||n CB n CB n CB θ⋅=〈〉=⋅求解即可【详解】（1）如图，由题意，得2AC BC ==2AB =，BC AC ∴⊥.PC ⊥底面ABCD ，PC AC ∴⊥，又PC BC C =，AC ∴⊥平面PBC ，AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC .（2）如图，以C 为原点，取AB 中点M ，以CM CD CP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系， 则()()()1,1,0,0,0,4,1,1,0B P A -，设(),,E x y x ，且13BE BP =，得 1(1,1,)(1,1,4)3x y z -+=-，即224,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1,1,0)CA =，224,,333CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面EAC 的法向量为()111,,n x y z =，由00CE n CA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111122403330x y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩， 令11x =，得(1,-1,-1)n =.又BC AC ⊥，且BC PC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，故平面PAC 的法向量为(1,1,0)m BC ==-， 设二面角P AC E --的平面角为θ，则||cos |cos ,|||||3m n m n m n θ⋅=〈〉==⋅. 【点睛】本题主要考查点、线、面的位置关系和空间直角坐标系，属于简单题19.某学校为了了解全校学生“体能达标”的情况，从全校1000名学生中随机选出40名学生，参加“体能达标”预测，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”若该校“不合格”的人数不超过总人数的5%，则全校“体能达标”为“合格”；否则该校“体能达标”为“不合格”，需要重新对全校学生加强训练现将这40名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）.（1）求这40名学生测试成绩的平均分x 和标准差s ； （2）假设该校学生的“体能达标”预测服从正态分布()2,N μσ用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ.利用估计值估计：该校学生“体能达标”预测是否“合格”？ 附：①n 个数12,,,n x x x 的平均数11n i i x x n ==∑，方差(22221111)n n i i i i s x x x nx n n ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑；②若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=.【答案】（1）平均分为74，标准差为7.（2）该校学生“体能达标”预测合格. 【解析】 【分析】(1)根据甲组的平均成绩为70,乙组的平均成绩为80，根据公式可得x设甲组24名学生的测试成绩分别为：1224 ,x x x ⋯，乙组16名学生的测试成绩分别为：252640,x x x ⋯，将公式2211()n i i s x x n ==-∑变形变形为()22222121n s x x x nx n ⎡⎤=+++-⎣⎦，分别求得21s 和22s ，即可根据公式解得解得()22221224241670x x x +++=⨯+和()2222252640163680x x x +++=⨯+，最后整理公式得()()22222222122425264014040s x x x x x x x ⎡⎤=+++++++-⨯⎣⎦，计算并求解即可(2)由(1)可得ˆ74μ=,ˆ7σ=,由(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=， 得(6088)0.9544P X <<=，进而得到1(60)(10.9544)0.02282P X <=⨯-=， 求出全校学生“不合格”的人数占总人数的百分比，与5%进行比较即可 【详解】（1）这40名学生测试成绩的平均分702480167440x ⨯+⨯==.将()2211n i i s x x n ==-∑变形为()()22222212111n i n i s x x x x x nx n n =⎡⎤=-=+++-⎣⎦∑.设第一组学生的测试成绩分别为12324,,,,x x x x ， 第二组学生的测试成绩分别为25262740,,,,x x x x ，则第一组的方差为()2222221122412470424s x x x ⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦， 解得()22221224241670x x x +++=⨯+.第二组的方差为()222222225264011680616s x x x ⎡⎤=+++-⨯=⎣⎦， 解得()2222252640163680x x x +++=⨯+.这40名学生的方差为()()22222222122425264014040s x x x x x x x ⎡⎤=+++++++-⨯⎣⎦()()222124167016368040744840⎡⎤=⨯++⨯+-⨯=⎣⎦，所以7s ==≈.综上，这40名学生测试成绩的平均分为74，标准差为7.（2）由74x =，7s ≈，得μ的估计值为ˆ74μ=，σ的估计值ˆ7σ=. 由(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，得(74277427)0.9544P X -⨯<<+⨯=，即(6088)0.9544P X <<=.所以11(60)(88)[1(6088)](10.9544)0.022822P X P X P X <==-<<=-=，从而，在全校1000名学生中，“不合格”的有10000.022822.823⨯=≈（人）， 而23505%10001000<=， 故该校学生“体能达标”预测合格.【点睛】本题主要考查用样本估计总体，难点在于运算量较大，属于基础题20.已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>()2,1P -是1C 上一点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设A B Q 、、是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交1C 于异于P Q 、的两点C D 、．点C 关于原点的对称点为E ．证明：直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形．【答案】（1）22182x y +=；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）因为1C 所以224a b =；即1C 的方程为：222214x y b b +=，代入()2,1P -即可；（2）设直线PD PE 、的斜率为12,k k ,则要证直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形需证120k k +=．由已知可得直线l 的斜率为12，则直线l 的方程为：12y x t =+，联立直线和椭圆的方程，找到斜率，代入相应的量即可．试题解析：（1）因为1C 离心率为2，所以224a b =， 从而1C 的方程为：222214x y b b+=代入()2,1P -解得：22b =， 因此28a =．所以椭圆1C 的方程为：22182x y +=（2）由题设知A B 、的坐标分别为()()2,1,2,1--， 因此直线l 的斜率为12， 设直线l 的方程为：12y x t =+， 由2212{182y x t x y =++=得：222240x tx t ++-=， 当0∆>时，不妨设()()1122,,,C x y D x y ， 于是212122,24x x t x x t +=-=-，分别设直线PD PE、的斜率为12,k k ，则，则要证直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形， 只需证()()()()212112210y x x y ---++=，而()()()()()()212121122112122124y x x y y y x y x y x x ---++=--++--()()211212121212224424240x x x x t x x x x x x t x x t t =---++--=--+-=-++-=所以直线PD PE 、与y 轴转成的三角形是等腰三角形 考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆综合题． 21.已知函数()1e cos x f x x -=+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若12,(,)x x π∈-+∞，12x x ≠，且()()1212e e 4x xf x f x +=，证明：120x x +<.【答案】（1）单调递减区间为32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；单调递增区间为52,2,44k k k ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z .（2）见解析 【解析】 【分析】(1)先求函数定义域，对函数求导，分别解不等式()0f x >和()0f x <，得函数的增区间和减区间即可； (2)由2112()()4xxe f x e f x +=,得21124xxe cosx e cosx +++=，可构造函数()x g x e cosx =+，则12()()4g x g x +=，探究()g x 在(,)π-+∞上的单调性，构造函数()()()G x g x g x =+-，探究()G x 在(,)π-+∞上的单调性,再结合关系式12()()4g x g x +=，利用单调性可得出结论【详解】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()cos sin sin 4x x x f x e x e x x π---⎛⎫'=--=+ ⎪⎝⎭，由()0f x '<，得sin 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，从而322,44k x k k ππππ-<<+∈Z ； 由()0f x '>，得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，从而522,44k x k k ππππ-<<-∈Z ； 所以，()f x 的单调递减区间为32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ； 单调递增区间为52,2,44k k k ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z . （2）()()12124xxe f x e f x +=，即1212cos cos 4xxe x e x +++=， 令()cos xg x e x =+，则()()124g x g x +=，()sin xg x e x '=-.当0x >时，()1sin 0g x x '>-；当0x π-<时，sin 0x ，()sin 0xg x e x '=->，故(,)x π∈-+∞时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在(),π-+∞上单调递增，不妨设12x x π-<<，注意到0(0)cos 02g e =+=，所以120x x π-<<<，令()()(),(,0)G x g x g x x π=+-∈-，则'()2sin xxG x e ex -=--，令()2sin x xx e ex ϕ-=+-，则()2cos 2(1cos )0x x x e e x x ϕ-'=+--，所以()x ϕ在(),0π-上单调递增，从而()(0)0x ϕϕ<=，即()0G x '<，所以()G x 在(),0π-上单调递减，于是()(0)(0)(0)4G x G g g >=+-=， 即()()4g x g x +->，又1(,0)x π∈-，所以()()114g x g x +->，于是()()()1124g x g x g x ->-=， 而()g x 在(),0π-上单调递增，所以12x x ->，即120x x +<.【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于含三角函数与指数函数的极值点偏移问题，难点在于选取合适的函数求导以及通过放缩对不等式进行转换，属于难题请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22.选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程． （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．【答案】（1）222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）3【解析】 【分析】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ，由2PM MQ =即得动点M 的轨迹方程；（2）由题得直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-，再利用直线参数方程t 的几何意义求解.【详解】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ，则由2PM MQ =，得()()2,2cos sin θθ+=--x y x,y ，即323cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩ 消去θ，得222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，此即为点M 的轨迹方程. （2）曲线C 的普通方程为221x y +=，直线l 的普通方程()5212y =x +， 设α为直线l 的倾斜角，则5tan 12α=，512sin ,cos 1313αα==， 则直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数）， 代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-， 由于24827612013169⎛⎫∴∆=--=> ⎪⎝⎭， 故可设点,A B 对应的参数为1t '，2t '， 则21213PA PB t t t t ''''⋅=⋅==． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查动点的轨迹方程，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.选修4-5：不等式选讲23.（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c++； （2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：111c b a b c+++【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】 （1）结合1a b c ++=代人所证不等式的左边中的分子,通过变形转化，利用基本不等式加以证明即可 （2）结合不等式右边关系式的等价变形，通过基本不等式来证明即可【详解】证明：（1）111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++111b c a c a b a a b b c c=++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++， 当a b c ==时等号成立.（2）因为11111111111222a b c a b a c b c ab ⎛⎛⎫++=+++++⨯ ⎪ ⎝⎭⎝， 又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc=， 111c b a b c ∴++++.当a b c ==时等号成立，即原式不等式成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，化归与转化思想。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =+-<，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭则AB =（ ）A. 1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B. {|3}x x >-C. 1|32x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D. 1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，由此求得AB .【详解】由(3)(1)0x x +-<解得31x -<<，所以{}|31A x x =-<<，所以A B =1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2.若复数z 满足(2)(1)z i i =+-（i 是虚数单位），则||z =（ ）A.2B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法运算化简z ，由此求得z .【详解】依题意2223z i i i i =+--=-，所以z ==故选：B【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题. 3.已知向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，则λ=（ ） A.12B.14C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得λ的值.【详解】由于向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，所以()14210λ⨯+⨯-=解得λ=12. 故选：A【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.4.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若m α，m β，n α，n β，则αβ∥ B. 若m n ，m α⊥，n β⊥，则αβ∥ C. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D. 若m n ⊥，m α，n β⊥，则αβ⊥ 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A 选项，若m α，m β，n α，n β，则αβ∥或α与β相交；故A 错；B 选项，若m n ，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβ∥，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n ⊂α或n α或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβ∥或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m α，则n ⊂α或n α或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβ∥或α与β相交；故D 错； 故选B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型. 5.下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（ ）A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B. 天津的往返机票平均价格变化最大C. 上海和广州的往返机票平均价格基本相当D. 相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 【答案】D 【解析】 【分析】根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项.【详解】对于A 选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A 选项叙述正确.对于B 选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B 选项叙述正确. 对于C 选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C 选项叙述正确.对于D 选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D 选项叙述错误. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ） A. 12- B. 15-C. 16-D. 18-【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值. 【详解】依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n 项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-. 故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.7.下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）B.45C. 1D.85【答案】D【解析】【分析】根据以直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比求得12ACAB=，即tanα的值，由此求得sinα和cosα的值，进而求得所求表达式的值.【详解】由于直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比为14，所以12ACAB=，即1tan2α=，所以sinαα==2cos sin2αα+=48255+=.故选：D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.8.已知抛物线2:6C y x=的焦点为F，准线为l，A是l上一点，B是直线AF与抛物线C的一个交点，若3FA FB=，则||BF=（）A.72 B. 3 C. 52 D. 2 【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得6AF=，由此求得BF的长. 【详解】过B作BC l⊥，垂足为C，设l与x轴的交点为D.根据抛物线的定义可知BF BC=.由于3FA FB=，所以2AB BC=，所以6CABπ∠=，所以26AF FD==，所以123BF AF==.故选：DA .35【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9.在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A. 0.2 B. 0.5C. 0.4D. 0.8【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为510.5102==. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.10.函数1ln ||y x x =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象上的特殊点，判断出正确选项. 【详解】当1x =时，111ln1y ==-，所以D 选项错误.当1x =-时，1101ln1y ==-<--，所以A 选项错误.当12x =-时，11121111ln ln 2ln 2222y e ==>=----，所以C 选项错误. 所以正确的函数图象为B. 故选：B【点睛】本小题主要考查函数图象的判断，属于基础题.11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A.2 B. 22 C.21 D. 221【答案】C 【解析】 【分析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122222PF AF c c ==⨯=，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2222c c a -=，即21222c a==+-.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12.已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A.12B.24C. 2log 3D.22【答案】A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值.【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某种牛肉干每袋的质量()m kg 服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为()22,N σ，(1.9 2.1)0.98P m =.某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于1.9kg 的袋数大约是_____袋. 【答案】1 【解析】 【分析】根据正态分布对称性，求得质量低于1.9kg 的袋数的估计值. 【详解】由于2μ=，所以()10.981.90.012P m -<==，所以100袋牛肉干中，质量低于1.9kg 的袋数大约是1000.011⨯=袋. 故答案为：1【点睛】本小题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题.14.已知函数()2()cos log 21()xf x x ax a R =-++∈为偶函数，则a =_____. 【答案】12【解析】 【分析】根据偶函数的定义列方程，化简求得a 的值.【详解】由于()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=， 即()()()22cos log 2cos l 1og 21x xx ax x ax ----+++-=，即()()22cos log 21cos log 21x xx a x x x a --+-=-++，即()()22l log 21012og 2xxax -+-+-=，即221log 2021xx ax -+-=+，即()()2212log 20212xx xxax -+⋅-=+⋅，即()2212log2021xxxax +⋅-=+，即()2log 222120x ax x ax a x -=-=-=，所以1120,2a a -==.故答案为：12【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于中档题.15.已知A B C P 、、、是同一球面上的四个点，其中PA ⊥平面ABC ，ABC 是正三角形，3PA AB ==，则该球的表面积为______.【答案】21π 【解析】 【分析】求得等边三角形ABC 的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥P ABCD -外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】设1O 是等边三角形的外心，则球心O 在其正上方12PA 处.设1O C r=，由正弦定理得3223,33sin3r r π====.所以得三棱锥P ABCD-外接球的半径()()()222211119213244R OO O C PA O C ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭，所以外接球的表面积为22144214R πππ=⨯=. 故答案为：21π【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.16.设函数2()2x x f x =，点()*(,())n A n f n n N ∈，0A 为坐标原点，向量01121n n n a A A A A A A -=+++，设(1,0)i =，且n θ是n a 与i 的夹角，记n S 为数列{}tan n θ的前n 项和，则3tan θ=_____；n S =_____. 【答案】 (1). 38 (2). 222n n +- 【解析】 【分析】求得n a 的坐标，由此求得cos tan n n θθ⇒，进而利用错位相减求和法求得n S .【详解】依题意()22n n f n =，即2,2n n n A n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且n A 在第一象限，n θ为锐角.所以0112210,2n n n n n a A A A A A A A A n n -=+++==⎛⎫⎪⎝⎭.所以2cos n n n a ia in θ⋅==⋅，所以sin tan cos cosn θθθθ====2nn ===. 所以3333tan 28θ==. 212222n n n S =+++①，2311122222n n nS +=+++②，两式相减得21111122222n n n n S +=+++-1111111222111222212n n n n n n n n +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--=--， 所以222n nn S +=-. 故答案为：(1).38 (2). 222n n +- 【点睛】本小题主要考查向量线性运算，考查同角三角函数的基本关系式，考查错位相减求和法，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过90/km h 的有30人，不超过90/km h 的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过90/km h 的有5人，不超过90/km h 的有15人.（1）完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90/km h 与驾驶员的性别有关；（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90/km h的人数为ξ，假定抽取的结果相互独立，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++临界值表：【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h与性别有关（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h与性别有关.（2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.【详解】（1）因为2260(3015510)61613.71402035257K ⨯⨯-⨯⨯==≈⨯⨯⨯，13.7110.828>，所以有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关.（2）ξ服从153,60B ⎛⎫⎪⎝⎭，即13,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3033127(0)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21133127(1)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1223319(2)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 0333311(3)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以ξ的分布列如下ξ的期望2727913()0123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题. 18.设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B ；（2）若ABC 为锐角三角形，求ca的取值范围. 【答案】（1）3B π=（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得cos B 的值，进而求得B 的大小.（2）利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得c a 的表达式，进而求得ca的取值范围. 【详解】（1）由题设知，2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+， 即2sin cos sin()B B A C =+， 所以2sin cos sin B B B =， 即1cos 2B =，又0B π<< 所以3B π=.（2）由题设知，()31cos sin sin 120sin 22sin sin sin A A A c C a A A A︒+-===，即311tan 2c a A =⋅+， 又ABC 为锐角三角形，所以3090A ︒<<︒，即3tan >A 所以103tan A <<，即1311222tan 2A <⋅+<， 所以c a 的取值范围是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题.19.已知六面体ABCDEF 如图所示，BE ⊥平面ABCD ，//BE AF ，//AD BC ，1BC =，5CD =，2AB AF AD ===，M 是棱FD 上的点，且满足12FM MD =.（1）求证：直线//BF 平面MAC ；（2）求二面角A MC D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）31818【解析】 【分析】（1）连接BD ，设BD AC O ⋂=，连接MO .通过证明//MO BF ，证得直线//BF 平面MAC . （2）建立空间直角坐标系，利用平面MAC 和平面MCD 的法向量，计算出二面角A MC D --的正弦值. 【详解】（1）连接BD ，设BD AC O ⋂=，连接MO ， 因为AD BC ∥，所以BOC DOA △∽△，所以21DO AD OB BC ==， 在FBD 中，因为21MD DOMF OB==， 所以MOBF ，且MO ⊂平面MAC ，故BF ∥平面MAC .（2）因为AD BC ∥，2AB =，1BC =，2AD =，5CD =AB AD ⊥， 因为BEAF ，BE ⊥平面ABCD ，所以AF ⊥平面ABCD ，所以AF AB ⊥，AF AD ⊥，取AB 所在直线为x 轴，取AD 所在直线为y 轴，取AF 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知可得(2,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，(2,0,3)E ，(0,0,2)F所以(0,2,2)DF =-，因为12FM MD =， 所以2440,,333DM DF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以点M 的坐标为240,,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以(2,1,0)AC =，240,,33AM ⎛⎫=⎪⎝⎭，设(,,)m x y z =为平面MAC 的法向量，则200240033x y m AM y z m AC ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩，令1x =，解得2y =-，1z =， 所以(1,2,1)m =-，即(1,2,1)m =-为平面MAC 的一个法向量.142,,33CM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(2,1,0)CD =-同理可求得平面MCD 的一个法向量为,,(1)22n = 所以cos ,6336m n 〈〉==-⨯ 所以二面角A MC D --的正弦值为31818【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.在直角坐标系xOy 中，长为3的线段的两端点A B 、分别在x 轴、y 轴上滑动，点P 为线段AB 上的点，且满足||2||AP PB =.记点P 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）若点M N 、为曲线E 上的两个动点，记OM ON m ⋅=，判断是否存在常数m 使得点O 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出常数m 的值和这个定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214y x +=（2）存在；常数0m =25 【解析】 【分析】（1）设出,,P A B 的坐标，利用2AP PB =以及3AB =，求得曲线E 的方程.（2）当直线MN 的斜率存在时，设出直线MN 的方程，求得O 到直线MN 的距离d .联立直线MN 的方程和曲线E 的方程，写出根与系数关系，结合OM ON m ⋅=以及d 为定值，求得m 的值.当直线MN 的斜率不存在时，验证,d m .由此得到存在常数0m =，且定值d =. 【详解】（1）解析：（1）设(,)P x y ，()0,0A x ，()00,B y 由题可得2AP PB =()0022x x x y y y -=-⎧∴⎨=-⎩，解得00332x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩又||3AB =，即22009x y +=，∴消去00,x y 得：2214y x +=（2）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx b =+ 设()11,M x y ，()22,N x y由=OM ON m ⋅可得：1212x x y y m += 由点O 到MN的距离为定值可得d =d 为常数）即2221b d k =+ 2214y kx by x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2224240k x kbx b +++-= ()()222244440k b k b ∴∆=-+->即2240k b -+>12224kb x x k -∴+=+，212244b x x k -=+又()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++22121225444b k m x x y y k --∴+==+()()2225414b k m k ∴=+++ ()222245411m k b k k +∴=+++ ()2224541m k d k +∴=++d ∴为定值时，0m =，此时5d =，且符合>0∆ 当直线MN 的斜率不存在时，设直线方程为x n =由题可得254n m =+，0m ∴=时，n =综上可知，存在常数0m =，且定值d =【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问题，属于难题. 21.已知函数()sin ax f x e x =.（1）若()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若1a =，对0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，恒有()f x bx 成立，求实数b 的最小值.【答案】（1）[)+∞（2）22e ππ【解析】 【分析】 （1）求得()'fx ，根据已知条件得到()0f x '≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，由此得到sin cos 0a x x +≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，利用分离常数法求得a 的取值范围.（2）构造函数设()()g x f x bx =-，利用求二阶导数的方法，结合()0g x ≤恒成立，求得b 的取值范围，由此求得b 的最小值.【详解】（1）()sin cos (sin cos )axaxaxf x ae x e x e a x x '=+=+因为()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()0f x '≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即sin cos 0a x x +≥在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，当0x =时，上式成立，a R ∈当0,6x π⎛⎤∈⎥⎝⎦，有cos 1sin tan x a x x ≥-=-，需max 1tan a x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭， 而06x π<≤，0tan x <≤，1tan x ≥1tan x -≤，故a ≥综上，实数a的取值范围是[)+∞（2）设()()sin xg x f x bx e x bx =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()(sin cos )xg x e x x b '=+-， 令()(sin cos )xh x e x x b =+-，()(2cos )0x h x e x '=≥，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，也就是()g x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以2()1,g x b e b π⎡⎤'∈--⎢⎥⎣⎦.当10b -≥即1b ≤时，()(0)0g x g ≥=，不符合； 当20e b π-≤即2b e π≥时，()(0)0g x g ≤=，符合当210b e b π-<<-即21b e π<<时，根据零点存在定理，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()00g x '=，有()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在[)00,x 单调递减，0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，(0)0g =成立，故只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可，有202e b ππ-≤，得222e b e πππ≤<，符合 综上得，22b e ππ≥，实数b 的最小值为22e ππ【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔把所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ++=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.【答案】（1）2213x y +=；40x y ++=（2，此时31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）消去曲线1C 参数方程的参数，求得曲线1C 的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线2C 的直角坐标方程. （2）设出P 的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得||PQ 的最小值及此时点P 的坐标.【详解】（1）消去α得，曲线1C 的普通方程是：2213x y +=； 把cos x ρα=，sin y ρα=代入得，曲线2C的直角坐标方程是40x y ++= （2）设,sin )P αα，||PQ 的最小值就是点P 到直线2C 的最小距离. 设d == 在56πα=-时，sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，d =最小值， 32α=-，1sin 2α=- ，此时31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属于中档题.23.已知函数()|21||1|f x x x =-++（1）解不等式()3f x ≥；（2）若a b c 、、均为正实数，且满足a b c m ++=，m 为()f x 的最小值，求证：22232b c a a b c ++≥. 【答案】（1）{|1x x -或1}x （2）证明见解析【解析】【分析】（1）将()f x 写成分段函数的形式，由此求得不等式()3f x ≥的解集.（2）由（1）求得()f x 最小值m ，由此利用基本不等式，证得不等式成立.【详解】（1）3,1,1()2,1,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩当1x <-时，()3f x 恒成立，解得1x <-； 当112x-时，由()3f x ，解得1x =-； 当12x >时，由()3f x 解得1x 所以()3f x 的解集为{|1x x -或1}x（2）由（1）可求得()f x 最小值为32，即32a b c m ++== 因为,,a b c 均为正实数，且32a b c ++= 222222b c a b c a a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()a b c ≥+=++（当且仅当12a b c ===时，取“=”）所以222b c aa b ca b c++≥++，即22232b c aa b c++≥.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的求法，考查利用基本不等式证明不等式，属于中档题.。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十九）化学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

1.化学与生活、生产、环境密切相关。

下列说法错误的是（）A. 侯德榜制碱法制备NaHCO3的原理是利用溶解度较大的物质制备溶解度较小的物质B. “雷雨肥庄稼”含义是N2最终转化成NO3-，此转化过程中氮元素被还原C. “金柔锡柔，合两柔则为刚”中“金”为铜，说明合金的硬度一般大于各组分金属D. 我国科学家利用蜡虫肠道菌群将塑料降解的时间由500年缩减到24小时，有助于解决“白色污染”问题【答案】B【解析】【详解】A．侯德榜制碱法是依据离子反应发生的原理进行的，离子反应会向着离子浓度减小的方向进行，利用溶解度较大的物质制备溶解度较小的物质，故A正确；B．根据氧化还原反应理论可知，N2最终转化成NO3-，氮元素的化合价升高，失去电子，做还原剂，被氧化，发生氧化反应，故B错误；C．合金是金属与金属或金属与非金属的混合，具有低熔点、高硬度、抗腐蚀能力强等特点，故C正确；D．加快塑料降解速率，可减少“白色污染”，所以将塑料降解的时间由500年缩减到24小时，有助于解决“白色污染”问题，故D正确；答案选B。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 2，f(2) = 5，则f(3)的值为（）A. 8B. 9C. 10D. 112. 已知数列{an}是等差数列，若a1 = 3，d = 2，则a10的值为（）A. 21B. 23C. 25D. 273. 已知复数z = a + bi（a，b∈R），若|z| = 1，则z的共轭复数是（）A. a - biB. -a - biC. -a + biD. a + bi4. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像与x轴的交点为（）A. (1, 0)，(3, 0)B. (2, 0)，(2, 3)C. (1, 0)，(3, 3)D. (2, 0)，(2, 0)5. 已知函数f(x) = |x - 2|，则f(x)在x = 2处的导数为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在6. 已知数列{an}是等比数列，若a1 = 2，q = 3，则a6的值为（）A. 54B. 162C. 243D. 7297. 已知函数f(x) = log2(x - 1)，则f(x)的定义域为（）A. (1, +∞)B. (0, +∞)C. (1, 2)D. (2, +∞)8. 已知复数z = 1 + 2i，则|z|^2的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 89. 已知函数f(x) = e^x，则f(x)在x = 0处的导数为（）A. 1B. eC. e^2D. e^310. 已知数列{an}是等差数列，若a1 = 1，d = 2，则a10 + a20 + a30的值为（）A. 90B. 100C. 110D. 120二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的图像的对称轴为________。

12. 已知数列{an}是等比数列，若a1 = 2，q = 3，则a5的值为________。

2021届金太阳高三新高考（广东卷）联考数学试题一、单选题 1．若13z i =-，则zz的虚部为（ ）A B ．10C ．10-D ．10-【答案】A【解析】由已知先求出zz的值，可得虚部的值. 【详解】解：由,1010z z ==+，故选：A. 【点睛】本题主要考查虚数的概念与四则运算，考查基础的知识与运算，属于基础题. 2．设集合2{|}A x x x =<，2}6{|0B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．（0，1）B ．()()3,01,2-⋃C ．（－3，1）D ．()()2,01,3-⋃【答案】B【解析】化简集合A ，B ，根据交集运算即可求值. 【详解】因为2{|}A x x x =<(,0)(1,)=-∞⋃+∞，26{|}(32)0,B x x x =+-<=-所以()()3,01,2A B ⋂=-⋃. 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（ ） A ．6.1毫米 B ．32.6毫米C ．61毫米D ．610毫米【答案】C【解析】利用标准差公式即可求解. 【详解】设这7天降雨量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x6.1= 因为1厘米=10毫米，这7天降雨量分别为101x ，102x ，103x ，104x ，105x ，106x ，107x ， 平均值为10x =265，10 6.161==⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题. 4．若01b <<，则“3a b >”是“a b >”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】因为01b <<，所以32(1)0b b b b -=->，即3b b >， 故a b >可推出3a b >， 而3a b >推不出a b >，（例如11,42ab ） 故“3a b >”是“a b >”的必要不充分条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.5．函数()2sin cos f x x x x x =-在[,]-ππ上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，排除AC ，再由特殊值验证，排除B ，即可得出结果. 【详解】因为()2sin (cos )f x x x x x f x =-+=--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A 与C.又因为2sin cos 3066666126f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛=⋅-⋅=< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以排除B.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.6．某班级8位同学分成A ，B ，C 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（ ） A ．140 B ．160 C ．80 D ．100【答案】A【解析】分两种情况讨论即甲､乙两位同学在A 组或B 组和甲､乙两位同学在C 组； 【详解】甲､乙两位同学在A 组或B 组的情况有13652120C C ⨯=种，甲､乙两位同学在C 组的情况有336320C C =种，共计140种.故选：A.【点睛】本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.7．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间t （单位：时）的变化近似满足函数关系11()sin 5(0,916)36f t A t A t ππ⎛⎫=-+>≤≤⎪⎝⎭，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ） A ．1万 B ．9千C ．8千D ．7千【答案】B【解析】利用当14t =时，()7f t =，求出4A =，由916t ≤≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】下午两点整即14t =，当14t =时，()7f t =. 即17sin576A π+=，∴4A =， ∵当916t ≤≤时，1136t ππ-∈77,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当115362t πππ-=时，()f t 取得最大值，且最大值为459+=. 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M 大约是30210⨯千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量m 大约是24610⨯千克.下列各数中与mM最接近的是（ ） （参考数据：lg30.4771≈，lg60.7782≈） A ． 5.51910- B ． 5.52110-C ． 5.52510-D ． 5.52310-【答案】D【解析】根据题意，得到6310mM-=⨯，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果. 【详解】因为6310m M -=⨯，所以6lg lg3lg100.47716 5.5229 5.523m M-=+≈-=-≈-. 故5.52310mM-≈. 故选：D. 【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.二、多选题9．已知双曲线22:16y C x -=，则（ ）A ．CB ．C 的虚轴长是实轴长的6倍 C ．双曲线2216y x -=与C 的渐近线相同D ．直线3y x =上存在一点在C 上【答案】AC【解析】根据双曲线方程求得a ，b ，进而可得c ，即可判断A 与B ；分别求两双曲线渐近线方程可判断C ；根据渐近线可判断D. 【详解】因为21a =，26b =，所以2167c =+=，则c e a ==22b a=A 正确，B 错误.双曲2216y x -=与C 的渐近线均为y =，所以C 正确，因为C 的的渐近线的斜率小于的3，所以直线3y x =与C 相离，所以D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查根据双曲线方程求渐近线以及基本量，考查基本求解能力，属基础题. 10．若tan 2tan 54x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan x 的值可能为（ ）A ．B ．2-C D ．2【答案】BD【解析】先设tan x t =，再化简原式进行代换，解得t 值，即得tan x 的值. 【详解】设tan x t =，22222tan tan 1212(1)tan 2tan 41tan 1tan 111x x t t t t x x x x t t t π++-+⎛⎫-+=-=-= ⎪-----⎝⎭222(1)1t t t -+=-22151t t +==-，232t ∴=，故6tan 2x t ==±. 故选：BD. 【点睛】本题考查了换元法和三角恒等变换，属于基础题.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为22，则（ ） A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为155B ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 的距离的2倍C ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C ABE --的大小 D ．在棱AB 上一定存在一点F ，使得1//C F 平面BDE 【答案】BCD【解析】根据已知和线线关系、线面关系等逐项验证排除即可. 【详解】如图，设2BC =，易知二面角C AB E --的平面角为CBE ∠， 则2tan 2CE CBE BC ∠==，即2CE =//AD BC ，所以异面直线AE 与BC 所成角为DAE ∠，因为AD DE ⊥，所以10cos 10AD DAE AE ∠===A 错误；设1B C BE M ⋂=，则11B M B B CM CE ===1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍，故B 正确；因为//CE 平面1BDD B ，所以E 到平面11BDD B 的距离等于C 到平面11BDD B 的距离，而C 到平面11BDD B 的距离为CO =所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的正弦值为3CO BE ==，所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小，故C 正确；在AC 上找一点G ，使得1//C G EO ，过G 再作BD 的平行线交AB 于F ，且1C G GF G =，//DO EO O =，所以平面1//C GF 平面BDE ，从而可知1//C F 平面BDE ，故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查了空间几何体的线线关系、线面关系、面面关系，考查空间想象力及求解能力.12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【答案】BD 【解析】先设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，对函数求导，根据题中条件，分别判断设()g x 和()h x 的单调性，进而可得出结果. 【详解】 设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞， 则[][]243()12()()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x'-'=. 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对()0,x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()12g g >，()()12h h <， 即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <即(2)1(2)(1)422f f f +<<. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.三、填空题13．设向量a ，b 满足3a =，1b =，且1cos ,6a b =，则2a b -=__________.【解析】由已知条件与平面向量的线性运算与平面向量的数量积的知识，代入()22224||a b a ba -=-=.【详解】 解：()22222443712,372||a b a b a a b b cos a b -=-=-⋅+=-=-=所以|2|35a b -=本题主要考查平面向量的线性运算与平面向量的数量积，考查学生的基础知识与基本运算能力，属于基础题.14．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________. 【答案】2n n +【解析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】因为22221(1)2n a n n n =+-+=， 所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =， 所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+. 故答案为：2n n + 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 15．不等式1345x x +<+的解集为__________. 【答案】（－1，1） 【解析】作出函数13x y +=，45y x =+的图象，求出两个图象的交点坐标，观察图象可得结果. 【详解】在同一直角坐标系中，作出函数13x y +=，45y x =+的图象，这两个图象的交点为（－1，1），（1，9），故由图可知不等式1345x x +<+的解集为（-1，1）. 故答案为：（－1，1）【点睛】本题考查利于数形结合解决不等式的解集问题，考查指数函数的图象，属于基础题.16．一个圆锥的表面积为48π，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为__________. 【答案】2【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由圆锥的侧面展开图为半圆可得2l r =，根据圆锥的表面积可得半径,母线和高,设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，由相似可得3(4)a R =-，代入圆柱的侧面积公式分析可得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，因为圆锥的侧面展开图为半圆， 所以2l r ππ=，解得2l r =. 因为圆锥的表面积为48π，所以221482l r πππ+=，解得4r =，8l =，43h =. 如图，设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，则4443a R-=，所以3(4)a R =-， 内接圆柱的侧面积2223(2)4S Ra R ππ⎡⎤==--+⎣⎦， 当2R =时，S 取最大值. 故答案为：2.【点睛】本题考查圆锥的表面积和圆柱的侧面积公式，考查圆锥侧面展开图的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题.四、解答题 17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【解析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可； 若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【详解】 解：选①因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n⎛⎫+⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4. 选②因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭.由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ）， 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-， 所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-， 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >， 故n S 不存在最大值. 【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2∶1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：参考公式22(),()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为9 10.【解析】（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出2K，结合临界值表，即可得出结论；（2）由题意，得到X的可能取值为0，1，2，3，且3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出期望.【详解】（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：因为2260(1012308)101.4292.706184240207K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”（2）X的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，则37(0)103431000P X⎛⎫=⎪⎝⎭==，3214411037(100)110P X C⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭==，3221891037(2100)100P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，33(3)10271000P X ⎛⎫=⎪⎝⎭== 所以随机变量X 的分布列为因此期望为：()3931010E X =⨯=. 【点睛】本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19．在ABC 中，cos 4cos A C =，sin C =. （1）求B ；（2）若ABC 的周长为5求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）2. 【解析】（1）由同角间的三角函数关系求出cos ,cos ,sin C A A ，从而结合诱导公式可求得cos B 可得B 角；（2）由正弦定理可得三边长之比，结合周长可得三边长，再由三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）因为sin 14C =，所以cos C ==.若cos 0C =<，则40cosA cosC =<，从而A ，C 均为钝角.这不可能，故cos C =，cos =A ，sin A =. 所以()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+7272132111477142=-⨯+⨯=， 因为0B π<<.所以3B π=.（2）由（1）知213321sin :sin :sin ::2:7:37214A B C ==， 由正弦定理得::2:7:3BC AC AB =. 设3AB k =，则7AC =，2BC k =，则ABC 的周长为()5757k +=+，解得1k =，从而2BC =，3AB =， 故ABC 的面积133sin 22S AB BC B =⋅⋅⋅=. 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正弦公式及诱导公式，考查正弦定理及三角形面积公式，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题．20．如图，已知AC BC ⊥，DB ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，过点D 且垂直于DB 的平面α与平面BCD 的交线为l ，1AC BD ==，3BC =，2AE =.（1）证明：l ⊥平面AEC ；（2）设点P 是l 上任意一点，求平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）60︒.【解析】（1）由题意可知BD ⊥平面α，则有BD l ⊥，又BD ⊥平面ABC ，则可得出BD AC ⊥，从而得出l //BC ，再证明BC ⊥平面AEC 即可证明l ⊥平面AEC ； （2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，然后计算平面PAE 和平面ACD 的法向量，通过法向量夹角的余弦值来计算. 【详解】解：（1）证明：因为BD α⊥，BD ⊥平面ABC ，所以α//平面ABC ， 又α平面BCD l =，平面ABC平面BCD BC =，所以BC //l .因为EA ⊥平面ABC ， 所以BC AE ⊥. 又BC AC ⊥，AEEA A =，所以BC ⊥平面AEC ， 从而l ⊥平面AEC .（2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -， 则()0,1,0A ，()0,0,0C ，()3,0,1D，()0,1,2E ，设(),0,1P a ，平面PAE ､平面ACD 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =， 则(),1,1AP a =-，()0,0,2AE =，()0,1,0AC =-，()3,0,1CD =.因为m ⊥平面PAE ， 所以111120ax y z z -+=⎧⎨=⎩，令11x =，得1y a =，10z =，即()1,,0m a =.同理222030y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得20y =，23z =-，即()1,0,3n =-.因为211cos ,221m n a =≤+，当且仅当0a =时取等号， 所以平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值为60︒.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查考利用空间向量求解面面夹角，考查学生的基本运算能力与逻辑推理能力，难度一般.21．已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 经过点()4,6A . （1）求A 到C 的焦点的距离；（2）若C 的对称轴为x 轴，过（9，0）的直线l 与C 交于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点. 【答案】（1）203；（2）证明见解析. 【解析】（1）分抛物线C 的对称轴为x 轴与y 轴进行讨论，可得抛物线C 的方程，再根据抛物线的几何意义可得A 到C 的焦点的距离；（2）设直线l 的方程为9x my =+，设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y ，联立抛物线和直线，可得12y y +，12y y 的值，可得以线段MN 为直径的圆的方程，可得证明. 【详解】（1）解：当C 的对称轴为x 轴时，设C 的方程为()220y px p =>，将点A 的坐标代入方程得2624p =⋅，即92p =， 此时A 到C 的焦点的距离为25424p +=. 当C 的对称轴为y 轴时，设C 的方程为()220x py p =>，将点A 的坐标代入方程得2426p =⋅.即43p =. 此时A 到C 的焦点的距离为20623p +=. （2）证明：由（1）可知，当C 的对称轴为x 轴时，C 的方程为29y x =.直线l 斜率显然不为0，可设直线l 的方程为9x my =+， 设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y .由299y x x my ⎧=⎨=+⎩得29810y my --=， 则129y y m +=，1281y y =-，所以120922y y m y +==，212091822x x m x ++==，且MN ==以线段MN 为直径的圆的方程为22200||()()2MN x x y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即()2229290x m x y my -++-=，即()221890x x y m mx y -+-+=，令0mx y +=，则2180x x y +=2-，因为m R ∈.所以圆()221890x x y m mx y -+-+=过定点（0，0），从而以线段MN 为直径的圆过定点. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的综合分析能力与计算能力，属于中档题22．已知函211()()().22xf x x e a x =-++ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）()0,∞+.【解析】（1）求函数的导数，讨论0a ≥和0a <，分别解导数不等式即可得到函数的单调性.（2）由（1）的单调性，可求得函数的极值，由极值的正负和函数的单调性可得函数的零点个数，从而得到a 的取值范围. 【详解】 （1）()1()22xf x x e a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 当0a ≥时，令()0f x '<，得1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，令()0f x '>，得1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得112x =-，2ln(2)x a =-.①当1ln(2)2a -=-即a =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当1ln(2)2a -<-即0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.③当1ln(2)2a ->-即a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增. （2）当0a >时，由（1）可知()f x 只有一个极小值点12x =-.且102f e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，102f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 当x →-∞时，102x x e ⎛⎫-→ ⎪⎝⎭，212a x ⎛⎫+→+∞ ⎪⎝⎭， 从而()f x →+∞，因此()f x 有两个零点. 当0a =时，1()2xf x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭此时()f x 只有一个零点，不符合题意.当2a e=-时，()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.当0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()()()()2ln 211ln ln 222ln 22a a a a f e a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦- ()()211ln ln 22222a a a a ⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦-，其中()22n 01l 2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-<，()n 0221l a -<-，()1ln 0222a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦--， 则()2ln 0f a ⎡⎤<⎣⎦-，即函数的极大值小于0， 则()f x 在R 上不可能有两个零点；当2a e<-时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增，102f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，即函数的极大值小于0，则()f x 在R 上不可能有两个零点；综上，若()f x 有两个零点，a 的取值范围是()0,∞+. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点个数问题，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题.。

一、选择题1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1$，则$f'(1)$的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A解析：$f'(x) = 6x^2 - 6x + 2$，将$x=1$代入得$f'(1) = 6 - 6 + 2 = 2$。

2. 若$a > b > 0$，则下列不等式中正确的是（）A. $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$B. $a^2 > b^2$C. $\sqrt{a} > \sqrt{b}$D. $\log_2 a > \log_2 b$【答案】C解析：选项A、B、D均不成立，只有选项C成立，因为平方根函数在$(0,+\infty)$上是增函数。

3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 4n^2 - 5n$，则$a_1$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A解析：由等差数列前$n$项和公式$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，得$a_1 +a_n = 8n - 10$，又$a_n = a_1 + (n - 1)d$，代入得$a_1 + a_1 + (n - 1)d = 8n - 10$，即$2a_1 + (n - 1)d = 8n - 10$。

取$n=1$，得$2a_1 = 8 - 10$，解得$a_1 = -1$。

但题目要求$a_1 > 0$，故排除D选项，选A。

4. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1}$，则$f(x)$的极值点为（）A. $x=0$B. $x=1$C. $x=2$D. $x=-1$【答案】B解析：函数$f(x)$的定义域为$x \neq 0, 1$。

求导得$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x-1)^2}$，令$f'(x) = 0$，得$x=1$。

金太阳试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 数学题：若函数f(x)=x²+2x+a在区间[1, +∞)上单调递增，则a的取值范围是（）A. a≥ - 3B. a > - 3C. a≤ - 3D. a < - 3答案：A。

解析：函数f(x)=x²+2x+a的对称轴为x=-1，要使其在区间[1, +∞)上单调递增，则其对称轴应在区间左边，即 - 1≤1，又因为函数的二次项系数大于0，所以函数开口向上，根据二次函数性质，只要满足f(1)≥0即可保证在[1, +∞)上单调递增，将x = 1代入得1+2+a≥0，解得a≥ - 3。

2. 英语题：I'm looking forward to ______ you soon.A. seeB. seeingC. sawD. be seen答案：B。

解析：look forward to这个短语中的to是介词，后面要接动名词形式，所以应该是looking forward to seeing，这是一个固定用法。

3. 语文题：下列词语中没有错别字的一组是（）A. 寒暄旁征博引走头无路B. 松弛既往不咎川流不息C. 安祥一愁莫展墨守成规D. 赝品消声匿迹谈笑风生答案：B。

解析：A选项中“走头无路”应为“走投无路”；C选项中“安祥”应为“安详”，“一愁莫展”应为“一筹莫展”；D选项中“消声匿迹”应为“销声匿迹”。

4. 物理题：一个物体做自由落体运动，下落高度为h时，速度为v，那么当它下落高度为h/2时，速度为（）A. v/2B. v/√2C. √2vD. 2v答案：B。

解析：根据自由落体运动的速度 - 位移公式v²= 2gh，当下落高度为h时，v² = 2gh，当下落高度为h/2时，设此时速度为v1，则v1²=2g(h/2)=gh，由v² = 2gh可得v1²/v²= 1/2，所以v1 = v/√2。

1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4，则f'(1)的值为（）A. 2B. 5C. 8D. 11解析：f'(x) = 6x^2 - 6x，代入x=1得f'(1) = 6 - 6 = 0，故选B。

2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, 2)，则向量a·b的值为（）A. 5B. 7C. 8D. 10解析：向量a·b = 2×1 + 3×2 = 2 + 6 = 8，故选C。

3. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，若a1 + a2 + a3 = 12，则a1 + a5 = （）A. 16B. 18C. 20D. 22解析：由等差数列的性质知a2 = a1 + d，a3 = a1 + 2d，代入a1 + a2 + a3 =12得3a1 + 3d = 12，即a1 + d = 4。

同理可得a5 = a1 + 4d，所以a1 + a5 =2a1 + 5d = 2×4 + 5d = 8 + 5d。

由于a1 + d = 4，所以d = 4 - a1，代入得a1 + a5 = 8 + 5(4 - a1) = 8 + 20 - 5a1 = 28 - 5a1。

由于a1 + a5 = 2a1 +5d = 8 + 5d，所以28 - 5a1 = 8 + 5d，即20 = 5d，所以d = 4。

代入a1 + a5 = 28 - 5a1得a1 + a5 = 28 - 5×4 = 28 - 20 = 8，故选C。

4. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则该圆的半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：将圆的方程配方得(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4，所以圆心坐标为(2, 3)，半径为2，故选B。

5. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）A. a > 1B. a ≤ 1C. a ≥ 1D. a ≠ 1解析：由于f(x) = x^2 - 2x + 1是一个开口向上的抛物线，其顶点坐标为(1, 0)，所以f(x)在x ≤ 1时单调递减，在x ≥ 1时单调递增。

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（十九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合[]{}{}21,1,1,||2,A y y x x B x y x ==-∈-==+则A B =（ ）A. 0,1B. []1,1-C. 0,1D. ∅ 【答案】A 【解析】【分析】求函数[]21,1,1y x x =-∈-的值域化简集合A 的表示，再求出函数y =的定义域化简集合B 的表示，最后根据集合交集的定义结合数轴进行求解即可.【详解】因为[]{}{2|[0,11,1,]|[,,1),2A y y x x B x y ===-∈--===+∞所以A B =[]0,1.故选：A【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了求函数的定义域和值域，考查了数学运算能力. 2.若复数z 满足()()3451i z i -=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 15-C.15D. 1-【答案】C 【解析】 【分析】由已知等式化简变形得出()5134i z i-=-，利用复数的除法法则将复数化为一般形式，即可得出复数z 的虚部.【详解】根据已知得()()()()()515134771343434555i i i i z i i i i --++====+--+， 因此，复数z 的虚部为15. 故选：C.【点睛】本题考查复数虚部的求解，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ） A. 4()f x x = B. ()tan 2()22f x x x ππ=+-<<C. ()cos 1f x x =-D. ()23xf x =-【答案】B 【解析】【详解】4()f x x =不是单调函数，0y ≥，不能用二分法求零点；()tan 2()22f x x x ππ=+-<<是单调函数，y R ∈，能用二分法求零点；()cos 1f x x =-不是单调函数，0y ≤，不能用二分法求零点；()23x f x =-不是单调函数，0y ≥，不能用二分法求零点.故选：B5.已知角α顶点为原点，始边与x 轴非负半轴重合，点()P 在终边上，则()cos 6πα-=（ ）A.12B. 12-D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα，代入两角和差余弦公式可求得结果.【详解】()3,1P -在终边上，1sin2α∴==，cos α==，33111cos cos cos sin sin 66622222πππααα⎛⎫∴-=+=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选：B .【点睛】本题考查利用两角和差余弦公式求解三角函数值的问题，涉及到任意角三角函数的定义，属于基础题.6.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（ ）A. 32B. 40C.32103D.40103【答案】C 【解析】 【分析】将三视图还原，即可求组合体体积【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为2211132π24π24π2323⨯⨯+⨯⨯⨯=，利用张衡的结论可得2π53210π10V 168，，=∴==故选C【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题7.已知抛物线2y =的准线与双曲线22221x y a b-=的两条渐近线分别交于,A B 两点若双曲线的离心率是3，那么AB =（ ） A. 2 B.43D.3【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，根据双曲线离心率公式，结合双曲线,,a b c 的关系，可以求出,a b 之间的关系， 这样可以求出渐近线方程，通过代入法，结合双曲线的对称性进行求解即可.【详解】抛物线2y =的准线x =22223c c a b a ==+，b a ∴=，因此双曲线的渐近线方程为：y x =， 双曲线的一条渐近线方程与抛物线准线方程联立得：x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得1,y =根据双曲线的对称性可知：2AB = 故选：A【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，考查了双曲线离心率的计算，考查了双曲线渐近线方程的应用，考查了数学运算能力.8.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7y x =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据ˆb和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb 的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关， 又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确. 故选D.【点睛】回归直线方程中的ˆb 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.9.给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻边的颜色相同，则不同的染色方法有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 32种【答案】C 【解析】 【分析】通解：利用分类讨论思想，根据分类加法计数原理进行求解即可；优解：通过分析可知.每种色至少要染1次，至多只能染2次，即有一色染1次，剩余两种颜色各染2次，这样利用分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】通解如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步.染边1时有3种染法，染边2时有2种染法.()1当边3与边1同色时，边3有1种染法，则边4有2种染法，边5有1种染法， 此时染法总数为3212112⨯⨯⨯⨯=(种).()2当边3与边1不同色时，边3有1种染法，①当边4与边1同色时，边4有1种染法，边5有2种染法；②当边4与边1不同色时，边4有1种染法，边5有1种染法，则此时共有染法()321121118⨯⨯⨯⨯+⨯=(种). 由分类加法计数原理可得，不同的染法种数为30.优解通过分析可知.每种色至少要染1次，至多只能染2次， 即有一色染1次，剩余两种颜色各染2次. 染五条边总体分两步.第一步选一色染1次有1135C C 种染法， 第二步另两色各染2次有2种染法，由分步乘法计数原理知，一共有1135230C C =种染法，故选：C10.已知0>ω，函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是( ) A. 15[,]24B. 17[,]24C. 39[,]44D. 37[,]24【答案】D【解析】【详解】函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，其中k ∈Z .依题意，则有－π＋2k π≤＋＜ωx ＋2k π(ω＞0)得4k －≤ω≤2k －，由－≤0且4k －＞0得k ＝1，因此ω的取值范围是，故选D.11.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足2OA OB OA OB ==⋅=，由点集{P |OP ＝λOA ＋μOB ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( ) A. 22 B. 23C. 42D. 43【答案】D 【解析】由2OA OB OA OB ==⋅=知：21cos ,,,2223OA OB OA OB OA OB OA OBπ⋅===∴=⨯⨯. 不妨设()()()2,0,1,3,,OA OB OP x y ===，则：23x y λμμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解得3123x μλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩由|λ|＋|μ|≤1得3223x y y -+≤.作出可行域，如图所示．则所求面积1243432S =⨯⨯⨯=. 本题选择D 选项.12.设在R 上可导的函数()f x 满足()()()3100, ,3f f x f x x =--=并且在(,0)-∞上有()21,2f x x '<实数a 满足()()321631836,3f a f a a a a --≥-+-+则实数a 的取值范围是（ ） A. (,3]-∞ B. [3,)+∞ C. [4,)+∞ D. (,4]-∞ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据()212f x x '<这种形式，构造函数()()316g x f x x =-，利用导数判断函数()g x 的单调性，再判断函数()g x 奇偶性，最后利用()g x 的单调性和奇偶性进行求解即可. 【详解】设()()316g x f x x =-， 则()()()21''00,2g x f x x x =-<< 故()()316g x f x x =-在区间(,0)-∞上单调递减.()()()()3311066g x g x f x x f x x ⎡⎤-=---+=⎢⎥⎣⎦-， 故()g x 为偶函数， 在区间(0,)+∞上单调递增.()()()()3216631836,(03)g a g a f a f a a a a --=----+-+≥故原不等式等价于()()6g a g a -≥， 即6,a a -≥平方解得3,a ≤ 故选：A【点睛】本题考查了通过构造新函数，利用新函数的单调性和奇偶性求解不等式解集问题，考查了导数的应用，考查了函数奇偶性的判断，考查了数学运算能力.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.命题“1x ∀>，都有212x +>”的否定是______.【答案】1x ∃>，有212x +≤ 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题写出原命题的否定.【详解】全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“1x ∃>，有212x +≤”. 【点睛】本小题主要考查写出全称命题的否定，属于基础题.14.设,x y 满足约束条件：0,01,3x y x y x y ≥≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩则10z x y =-的取值范围是________________.【答案】[]19,3- 【解析】 【分析】在平面直角坐标系内画出约束条件所表示的平面区域，平移直线111010y x z =-，在所确定的平面区域内，找到当该直线在纵轴上的截距最小和最大时所经过的点，求出坐标，代入进行求解即可.【详解】不等式所表示的区城如图，由10z x y =-,得111010y x z =- 平移直线110y x =由图象可知当直线经过点()3,0D 时，直线111010y x z =-的截距最小， 此时z 最大为103z x y =-=；当直线经过B 点时，直线截距最大，此时z 最小，由13x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩即()1,2,B此时1012019,z x y =-=-=-193z ∴-≤≤即z 的取值范围是[]19,3-【点睛】本题考查了线性目标函数的最值问题，考查了数学运算能力和数形结合思想. 15.已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，外接圆半径为1，且满足tan 2tan A c bB b-=，则ABC 面积的最大值为_________． 33【解析】由1r =，利用正弦定理可得：2sin 2sin c r C C ==，2sin 2sin b r B B ==，∵sin tan cos A A A=，sin tan cos BB B =，∴tan sin cos 4sin 2sin 2sin sin tan cos sin 2sin sin A A BC B C B B A B B B--===，∴sin cos cos 2sin sin 2sin cos sin cos A B A C B C A B A=-=-（），即sin cos cos sin sin sin 2sin cos A B A B A B C C A +=+==（），∵sin 0C ≠，∴1cos 2A =，即3A π=，∴2221cos 22b c a A bc +-==，∴222222222sin 323bc b c a b c r A b c bc =+-=+-=+-≥-（），∴3bc ≤（当且仅当b c =时，取等号），∴ABC 面积为11333sin 32224S bc A =≤⨯⨯=，则ABC 面积的最大值为334，故答案为334. 16.将正三棱锥P ABC -置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P ABC Q --，如图.下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有________________.①PQ ⊥平面ABC ；②若,,,P A B C 在同一球面上，则Q 也在该球面上； ③若该“倒影三棱锥”存在外接球，则2AB PA =；④若,AB =则PQ 的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据球的几何特征和性质，结合已知逐一判断即可.【详解】由“倒影三棱锥”的几何特征可知PQ ⊥平面,ABC ①正确； 当,,,P A B C 在同一球面上时， 若ABC 的外接圆不是球的最大圆， 则点Q 不在该球面上，②错误； 若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥P ABC -的外接球的半径与等边三角形ABC 外接圆的半径相等，设其为R ，则,AB PA ==，则,2AB PA =③错误； 由③的推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为ABC 的中心， 即PQ 的中点，④正确. 故正确的说法有①④.【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了多面体外接球的问题，考查了空间想象能力. 三、解答题；共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分，17.已知等差数列{}n a 满足()()()()()*1223n n 1a a a a a a 2n n 1n N+++++⋯++=+∈．()1求数列{}n a 的通项公式；()2数列{}n b 中，1b 1=，2b 2=，从数列{}n a 中取出第n b 项记为n c ，若{}n c 是等比数列，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）n a 2n 1=-；（2）n 312n4-+．【解析】 【分析】()1对n 赋值为1,2，可得：12a a 4+=，1223a a a a 12+++=，设等差数列的公差为d ，由通项公式解方程组可得首项和公差，即可得到所求通项公式；()2分别求得1c ，2c ，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式可求得()n 1n 1b 132-=+，再利用分组求和方法即可计算所求和．【详解】()1差数列{}n a 满足()()()()()*1223n n 1a a a a a a 2n n 1n N +++++⋯++=+∈，可得12a a 4+=，1223a a a a 12+++=，设等差数列的公差为d ，可得12a d 4+=，14a 4d 12+=， 解得1a 1=，d 2=， 则()n a 12n 12n 1=+-=-；()2由题意可得11b1c a a 1===，22b 2c a a 3===，可得数列{}n c 的公比为3，n 1n c 3-=，由n n b n c a 2b 1==-， 可得()n 1n 1b 132-=+， {}n b 的前n 项和()n 1n 11T 133n 22-=++⋯++n n 1131312nn 21324--+=⋅+=-． 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义和通项公式、分组求和公式的运用，考查了赋值法及方程思想，还考查化简运算能力，属于中档题．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求锐二面角F AB P --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2310【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明BE DC ⊥；（2）设(,,)F a b c ，由BF AC ⊥，求出113,,222F ⎛⎫⎪⎭⎝，求出平面ABF 的法向量和平面ABP 的法向量，利用向量法能求出二面角F AB P --的余弦值.【详解】证明：（1）∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B （1，0，0），P （0，0，2），C （2，2，0），E （1，1，1），D （0，2，0），(0,1,1)BE =，(2,0,0)DC =，0BE DC ∴⋅=，∴BE DC ⊥； （2）∵F棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，∴设(,,)F a b c ，,[0,1]PF PC λλ=∈，则(,,2)(2,2,2),(2,2,22)a b c F λλλλλλ-=-∴-， (21,2,22),(2,2,0)BF AC λλλ∴=--=， ∵BF AC ⊥，2(21)220BF AC λλ∴⋅=-+⋅=，解得1113 ,,,4222Fλ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭，113(1,0,0),,,222AB AF⎛⎫== ⎪⎝⎭，设平面ABF的法向量(,,)n x y z=，则113222n AB xn AF x y z⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1z=，得(0,3,1)n=-，平面ABP的一个法向量(0,1,0)m=，设二面角F AB P--的平面角为θ，则||310cos||||10m nm nθ⋅===⋅，∴二面角F AB P--的余弦值为310.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19.如图，已知()1,0A-、()10B,，Q、G分别为ABC的外心，重心，//QG AB.（1）求点C的轨迹E的方程；（2）是否存在过()0,1P的直线L交曲线E于M，N两点且满足2MP PN=，若存在求出L 的方程，若不存在请说明理由.【答案】（1）()22103yx xy+=≠；（2）不存在.【解析】【分析】（1）设点()(),0C x y xy ≠，利用重心的坐标公式得出点G 的坐标为,33x y ⎛⎫⎪⎝⎭，可得出点0,3y Q ⎛⎫⎪⎝⎭，由QA QC =可得出点C 的轨迹E 的方程； （2）由题意得出直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线L 的方程与曲线E 的方程联立，并列出韦达定理，由2MP PN =，可得出122x x =-代入韦达定理求出k 的值，即可得出直线L 的方程，此时，直线L 过点()1,0-或()1,0，从而说明直线L 不存在.【详解】（1）设点()(),0C x y xy ≠，则点,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于//QG AB ，则点0,3y Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由QA QC =，可得出2224199y y x +=+，化简得2213y x +=.因此，轨迹E 的方程为()22103y x xy +=≠；（2）当L 与y 轴重合时不符合条件.假设存在直线:1L y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y .将直线L 的方程与曲线E 的方程联立22113y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()223220k x kx ++-=，由韦达定理得12223k x x k +=-+，12223x x k =-+. ()11,1MP x y =--，()22,1PN x y =-，2MP PN =，122x x ∴-=，得122x x =-，即122x x =-，()()22221222212432233x x k k k x x k k +⎛⎫+=⋅-=- ⎪+⎝⎭+， 另一方面()2212122122112223x x x x k x x x x k +=++=-=-+，得21k =，解得1k =±. 则直线L 过点()1,0-或()1,0，因此，直线L 不存在.【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了椭圆中的向量问题，在求解时可充分利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 20.已知函数()()ln xf x xe a x x =-+.（1）若函数()f x 恒有两个零点，求a 的取值范围； （2）若对任意0x >，恒有不等式()1f x ≥成立. ①求实数a 的值；②证明：()22ln 2sin xx e x x x >++.【答案】（1）(),a e ∈+∞；（2）1a =，②见解析. 【解析】【详解】试题分析： 试题解析：（1）()ln ,0xf x xe a x ax x =-->，则()()()1111xx a f x x e a x e x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意； 当0a >时，()0f x '=有唯一解0x x =，()f x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增，此时00x e x a =，则()()00000min ln x f x f x x e a x ax ==--，注意到00x e x a =，0x →时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞.因此()()()00min ln ln 0,x f x a a ae ax a a a a e -=--=-<⇒∈+∞.（2）①当0a <时，()f x 单调递增，()f x 的值域为R ，不符合题意；当0a =时，则1211122f e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，也不符合题意.当0a >时，由（1）可知，()min ln f x a a a =-，故只需ln 1a a a -≥.令1t a=，上式即转化为ln 1t t ≥-， 设()ln 1h t t t =-+，则()1th t t-'=，因此()h t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()()max 10h x h ==，所以ln 1t t ≤-. 因此，ln 11t t t =-⇒=，从而有111t a a==⇒=.故满足条件的实数为1a =.②由①可知22ln x x e x x x x -≥+，因而只需证明：0x ∀>，恒有22ln 2sin x x x x +>+. 注意到前面已经证明：1ln x x -≥，因此只需证明：222sin x x x -+>. 当1x >时，恒有22sin 22x x x ≤<-+，且等号不能同时成立；当01x <≤时，设()222sin g x x x x =-+-，则()212cos g x x x =--'，当(]0,1x ∈时，()g x '是单调递增函数，且()112cos112cos03g π=-<-='，因而(]0,1x ∈时恒有()0g x '<；从而(]0,1x ∈时，()g x 单调递减，从而()()122sin10g x g ≥=->，即222sin x x x -+>.故()22ln 2sin xx e x x x >++.点睛：对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数()f x ，利用()f x m >恒成立min ()f x m ⇔>；()f x m <恒成立max ()f x m ⇔<，即可求出参数范围. 21.本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别123,,p p p 123,,p p p ，假设123,,p p p 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为123,,q q q ，其中123,,q q q 是123,,p p p 的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ； （3）假定1231p p p >>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．【答案】（1） 不变化；（2）121223q q q q --+；（3）先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小 【解析】【详解】（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()112123111P P P P P P P =+-+--123122331123P P P PP P P P P PP P =++---+． 若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()113132111P P P P P P P =+-+--123122331123P P P PP P P P P PP P =++---+， 发现任务能完成的概率是一样.同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化. （2）由题意得X 可能取值为1,2,3∴()()()()()()112121;21;311P X q P X q q P X q q ====-==--， ∴其分布列为:X123P1q()121q q -()()()11212121212131123EX q q q q q q q q q ∴=⨯+⨯-+⨯--=--+．（3）()()()12122123211E X q q q q q q =--+=--+,1231p p p >>> ∴要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小, 则只能先派甲、乙中的一人.∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则1121223EX p p p p =--+； 若先派乙,再派甲,最后派丙, 则2122123EX p p p p =--+，()()12121212212123230EX EX p p p p p p p p p p ∴-=--+---+=-<，∴先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小．(二)选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系x y O 中，点的直角坐标为（α为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线l 的极坐标方程为2cos()6m πρθ+=．m （为实数）． （1）试求出动点的轨迹方程（用普通方程表示） （2）设点对应的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在四个点到直线l 的距离为1,求实数m 的取值范围．【答案】（1）22(3)(1)4x y -+-=；（2）. 【解析】试题分析：（1）由32cos {12sin x y αα=+=+（为参数）消去参数得动点A 的普通方程；（2）由（1）知，动点A 的轨迹是以(3,1)为圆心，2为半径的圆. 直线l 的极坐标方程化为普方程，要使圆上有四个点到的距离为1，则必须满足212m-<,解得.试题解析：（1）由32cos {12sin x y αα=+=+（为参数）消去参数得：22(3)(1)4x y -+-=故动点A 的普通方程为22(3)(1)4x y -+-=；（2）由（1）知，动点A 的轨迹是以(3,1)为圆心，2为半径的圆.由2cos()6m πρθ+=展开得：3cos sin 0m ρθρθ--=,∴的普方程为：30x y m --=.要使圆上有四个点到的距离为1，则必须满足212m -<,解得. 考点：1、极坐标方程；2、参数方程.【方法点睛】（1）先由32cos {12sin x y αα=+=+（为参数）消去参数得故动点A 的普通方程.然后由直线l 的极坐标方程得直线l 的直角坐标方程.由平面几何知识可知要使圆上有四个点到的距离为1，则必须满足212m -<，从而得到关于m 的不等式，解得.把直线l 的参数方程化为普通方程，把曲线C 的参数方程化为直角坐标方程能够简化解题过程.23.设函数()23f x x x x m =-+---，1,4()x R f x m ∀∈-≥恒成立. （1）求实数m 的取值范围；（2）求证：(1)(2)log (2)log (3)m m m m -++>+ 【答案】（1）()0,∞+；（2）详见解析.【解析】 【分析】 （1）由1,4()x R f x m ∀∈-≥恒成立，转化为1234m x x x m+≥-+-++恒成立，令()234g x x x x =-+-++，求得函数的最大值，得到m 的不等式，即可求解. （2）转化为证明()()()()12log 2log 3m m m m +++>+，利用基本不等式，即可作出证明. 【详解】（1）由题意知1,4()x R f x m ∀∈-≥恒成立，即1423x x x m m -≥-+---恒成立，即1234m x x x m+≥-+-++恒成立. 令()234g x x x x =-+-++33,2,1,23,5, 3.x x x x x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩可得函数()g x 在(],3-∞上是增函数，在()3,+∞上是减函数，所以()()max 32g x g ==，则()max 12m g x m+≥=， 即120m m +-≥，整理得()221210m m m m m--+=≥，解得0m >， 综上实数m 的取值范围是()0,∞+.（2）由0m >，知3211m m m +>+>+>，即()()lg 3lg 2m m +>+()lg 1lg10m >+>=，所以要证()()()()12log 2log 3m m m m +++>+，只需证()()()()lg 2lg 3lg 1lg 2m m m m ++>++， 即证()()()2lg 1lg 3lg 2m m m +⋅+<+，又()()()()2lg 1lg 3lg 1lg 32m m m m +++⎡⎤+⋅+<⎢⎥⎣⎦()()2lg 134m m ++⎡⎤⎣⎦=<()()222lg 44lg 24m m m ⎡⎤++⎣⎦=+， ()()()()12log 2log 3m m m m ++∴+>+成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的恒成立问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，以及合理使用基本不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十九）数学试题（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在答题卡上.1.{}|2,x M y y x R -==∈，{|sin ,}N y y x x R ==∈，则MN =（ ） A. (0,1]B. [1,0)-C. [1,1]-D. ∅ 【答案】A【解析】【分析】先分别求出集合M 与N ，再利用集合的交集运算进行求解. 【详解】{}{}20x M y y y y -===>；{}{}sin ,11N y y x x R y x ==∈=-≤≤， ∴(]0,1M N =.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算.求交集时，要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点.2.若2()i a R a i+∈-为纯虚数（i 为虚数单位），则a =（ ） A. 2 B. 1 C. 12- D. 12 【答案】D【解析】【分析】 根据复数代数形式的四则运算化简()2222211+1a i i a a i a a ++-=+-+，令22101a a -=+，即可求出a 值. 【详解】()()()()()()222222221222222111+1i a i a a i a i i a i ai i a a i a i a i a i a a a ++-+++++++-====+--+-++， 2()i a Ra i +∈-为纯虚数，∴22101a a -=+，解得12a =， 故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，属于基础题.若复数z a bi =+为纯虚数，则由0a =，0b ≠.3.已知sin(3)||2y x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭一条对称轴为34x π=，则ϕ=（ ） A. 4π B. 4π- C. 3π D. 6π 【答案】A【解析】【分析】 根据34x π=是sin(3)y x ϕ=+的一条对称轴，求得4k πϕπ=+，再根据ϕ的范围，即可求出ϕ值. 【详解】34x π=是sin(3)||2y x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的一条对称轴， ∴3342k ππϕπ⨯+=+()k Z ∈，∴4k πϕπ=+()k Z ∈， ||2ϕπ<，∴4πϕ=，【点睛】本题主要考查三角函数的性质，考查运算求解能力，熟练掌握正弦型函数的对称轴是解答本题的关键，属于基础题.求解正弦型函数()sin y x ωϕ=+的对称轴，只需令2x k πωϕπ+=+()k Z ∈，即可解出正弦型函数的对称轴为2k x πϕπωωω=-+()k Z ∈. 4.双曲线2214y x -=的渐近线方程为（ ） A. y x =±B. 2y x =±C. 12y x =±D. 14y x =± 【答案】B【解析】【分析】直接由双曲线的渐近线的定义，即可求出渐近线方程.【详解】由双曲线的方程可得24a =，21b =，焦点在y 轴上， 所以渐近线的方程为：2a y x x b=±=±， 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.已知双曲线的标准方程，求双曲线的渐近线时，要先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后再确定双曲线的渐近线方程. 5.华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等.他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测.A. 3B. 4C. 6D. 7 【答案】B【解析】类比二分法，将16人均分为两组，选择其中一组进行检测，再把认定的这组的8人均分两组，选择其中一组进行检测，以此类推，即可得解.【详解】先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本混合检查，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测.所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测.故选：B.【点睛】本题考查的是二分法的实际应用，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.6.已知“若p 则q ”为真命题，“若p ⌝则q ⌝”为假命题，则p 成立是q 成立的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据原命题与否命题之间的关系、命题的真假以及充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】“若p 则q ”为真命题， ∴由p 成立可以推出q 成立，∴p 成立是q 成立的充分条件，“若p ⌝则q ⌝”为假命题，即“若q 则p ”为假命题，∴由q 成立不能推出p 成立，∴p 成立是q 成立的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题考查的是原命题与否命题之间的关系、命题的真假以及充分条件和必要条件的定义，属于基础题.若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性没有关系.判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推出条件q ；二是由条件q 能否推出条件p .7.疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为（ ） A. 34 B. 712 C. 23 D. 56【答案】C【解析】【分析】用列举法列出所有的基本事件以及满足条件的基本事件，用古典概型概率公式即可求得概率.【详解】将数学、语文、政治、地理分别记为,,,A B C D ，将英语，历史，体育分别记为,,a b c ， 在上午下午的课程中各任选一节，所有的可能为：(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c 共12种情况.选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的情况有(),A b ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c 共8种情况. 所以，所求概率为82123P ==， 故选：C.【点睛】本题考查了古典概型，属于基础题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本事件的探求方法有两种，（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的情况；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.8.若某程序框图如图所示，则输出的S 的值是（ ）A. 31B. 63C. 127D. 255【答案】C【解析】【分析】 模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的S 的值.【详解】第一次运行，1i =，0S =，8i <成立，则2011S =⨯+=，112i =+=；第二次运行，2i =，1S =，8i <成立，则2113S =⨯+=，213i =+=；第三次运行，3i =，3S =，8i <成立，则2317S =⨯+=，314i =+=；第四次运行，4i =，7=S ，8i <成立，则27115S =⨯+=，415i =+=；第五次运行，5i =，15S =，8i <成立，则215131S =⨯+=，516i =+=；第六次运行，6i =，31S =，8i <成立，则231163S =⨯+=，617i =+=；第七次运行，7i =，63S =，8i <成立，则2631127S =⨯+=，718i =+=；第八次运行，8i =，127S =，8i <不成立，所以输出S 的值为127.故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时，一定要注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.已知奇函数()f x 定义域为R ，且(2)f x +为偶函数，若(1)f a =，则(1)(3)(5)(2019)f f f f +++=（ ）A. 0B. aC. 2aD. 1010a 【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的周期，分别求出一个周期内的函数值，结合周期性分析，即可得解. 【详解】(2)f x +为偶函数，∴()f x 的图象关于直线2x =对称,∴()(4)f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，()00f =，∴()(4)f x f x +=-，∴()()()(8)4f x f x f x f x +=-+=--=，即()f x 是周期为8的周期函数，()1f a =，∴()1f a -=-，()()()3141f f f a =-+==，∴()()()533f f f a =-=-=-，()()71f f a =-=-，()()()()13570f f f f a a a a +++=+--=，∴()()()()()()1352019252020172019f f f f f f ++++=⨯++()()132f f a a a =+=+=,故选：C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查学生的综合计算能力，求出函数的周期是解题的关键，属于中档题.10.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上一点P 满足2PF x ⊥轴，且1PF 与圆2224c x y +=相切，则该椭圆的离心率为（ ）A.33B.12C.22D.63【答案】A【解析】【分析】由题意作出椭圆图象，结合图象可知121OMF PF F∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出椭圆的离心率.【详解】如图，设直线1PF与圆2224cx y+=相切于点M，连接OM，则2cOM=，椭圆22221x ya b+=的左右焦点分别为()1,0F c-，()2,0F c，2PF x⊥轴，∴22=PbPF ya=，∴21222bPF a PF aa=-=-，1OM PF⊥，2PF x⊥轴，∴121OMF PF F∽，∴121OM OFPF PF=，即2222ac cbbaa=-，解得33cea==，故选：A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，椭圆的定义、椭圆的简单几何性质以及椭圆离心率的求解，考查运算求解能力，属于基础题.11.如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，,E F分别为1,AD AA的中点，则以下说法错误的是（）A. 平面EFC 截正方体所的截面周长为2532+B. 存在1BB 上一点P 使得1C P ⊥平面EFCC. 三棱锥B EFC -和1D FB C -体积相等D. 存在1BB 上一点P 使得//AP 平面EFC【答案】B【解析】【分析】对于A ，平面EFC 截正方体所得的截面为梯形1EFB C ，求出梯形的周长即可得解； 对于B ，通过建立空间直角坐标系，设出P 点坐标，证出1C P EC ⊥不成立，即可得出B 选项错误； 对于C ，通过等体积法，分别求出三棱锥B EFC -和1D FB C -的体积，进而得解； 对于D ，通过线线平行，证得线面平行，进而得解.【详解】 对于A 选项，连接1B C ，1B F ，E ，F 分别为AD ，1AA 的中点，∴1EF B C ∥， ∴E ，F ，1B ，C 四点共线，∴平面EFC 截正方体所得的截面为梯形1EFB C ，∴截面周长11252252532L EF FB BC EC =+++=+++=+， 故A 正确；对于B 选项，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,2E ，()2,0,1F ，()0,2,2C ，()10,2,0C ， 设()2,2,P P z ，所以()12,0,P C P z =，()1,2,0EC =-， 若1C P ⊥平面EFC ，则1C P EC ⊥，而20-=显然不成立， 所以1C P 与EC 不垂直，所以1BB 上不存在点P ，使得1C P ⊥平面EFC ， 所以B 选项错误； 对于C 选项，112221323B EFC F BEC V V --==⨯⨯⨯⨯=， 1111222223223D FB C F DB C V V --==⨯⨯⨯=， 所以1B EFC D FB C V V --=成立，C 正确； 对于D 选项，取1B C 中点M ，1BB 的中点N ，连接EM ，AN ，MN ， AE MN 且AE MN =，∴四边形AEMN 为平行四边形，∴1EM B F ∥， ∴ANEM ，EM ⊂平面EFC ，AN ⊄平面EFC ，∴AN 平面EFC ，∴点P 为1BB 的中点，∴1BB 上存在一点P 使得//AP 平面EFC ，故D 正确.故选：B.【点睛】本题属于综合题，考查了线线平行和线面平行的证明，向量垂直的坐标表示，求三棱锥的体积，属于中档题.证明线线平行，常见的方法有三种：（1）通过线线平行的传递性进行证明；（2）通过三角形的中位线进行证明；（3）通过平行四边形进行证明.12.已知函数3()31f x x x =-+，若1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈，使得()()12f x f x =，且12x x ≠，则b a -的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数，求出()f x 的极大值和极小值，求出函数值与极大值相等的x 值，函数值与极小值相等的x 值，即可得解. 【详解】3()31f x x x =-+，∴()233f x x '=-，令()0f x '=，即2330x -=，解得11x =-，21x =， 当1x <-时，()0f x >′，所以()f x 在(),1-∞-上单调递增； 当11x -≤≤时，()0f x <′，所以()f x 在[]1,1-上单调递减； 当1x >时，()0f x >′，所以()f x 在()1,+∞上单调递增.∴()f x 在1x =-处取得极大值，极大值()11313f -=-++=；在1x =处取得极小值，极小值为()11311f =-+=-. 令()3f x =，即3313x x -+=，即()()2120x x +-=，解得1x =-（舍）或2x =；令()1f x =-，即3311x x -+=-，即()()2120x x -+=，解得1x =（舍）或2x =-；∴b a - 的最大值为()224--=.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查运算求解能力，求出函数的极大值与极小值是解决本题的关键，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13.若变量,x y 满足1033020x y x y y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则x y +的最小值为______.【答案】3- 【解析】 【分析】作出可行域，令z x y =+，作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出x y +的最小值. 【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示，令z x y =+，所以y x z =-+，显然直线过10x y -+=与20x y -=的交点时，z 最小，1020x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，此时3x y +=-， 故答案为：3-.【点睛】本题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属基础题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为______.【答案】9 【解析】 【分析】根据三视图，可知该几何体为四棱锥1B DCPD -，求出四棱锥的底面积和高即可得解. 【详解】由几何体的三视图可知，该几何体为四棱锥1B DCPD -，四边形1DCPD 的面积为()1=4+23=92S ⨯⨯， B 点到平面1DCPD 的距离为3，则11=93=93B DCPD V -⨯⨯， 故答案为：9.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于中档题.将三视图还原为空间几何体，首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.15.已知等比数列{}n a 前n 项和为n S ，22a =，38S =，则53S a =______. 【答案】11 【解析】 【分析】当1q =时，求得36S =与38S =矛盾，得到1q ≠，再利用23228a S a a q q=++=，得到231a q =-，化简51234533S a a a a a a a ++++=，并借助231a q =-，即可求得53S a 的值. 【详解】设等比数列的公比为q ，当1q =时，323326S a ==⨯=与38S =矛盾，所以1q ≠，22a =，∴23123222228a S a a a a a q q q q=++=++=++=， 即2310q q -+=，解得231q q =-，51234533S a a a a a a a ++++= 23222222q q q q q++++=23421+q q q q q+++= ()()()221313131q q q q q q++-+-+-= 221231q q q-+= 11=故答案为：11.【点睛】本题考查的是有关等比数列的问题，求解本题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程，属于中档题. 16.ABC 中，(32)0AB AC BC +⋅=，且对于t R ∈，||BA tBC -最小值为6||5BC ，则BAC ∠=_____.【答案】4π 【解析】 【分析】利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简()320AB AC BC +⋅=，可得到22255b c a -=，化简2BA tBC -，并利用二次函数求最值，求出2BA tBC -的最小值，且使最小值等于23625a ，可得2285c a =，进而得出2295b a =，最后利用余弦定理即可得解.【详解】设AB c =，BC a =，AC b =，()32AB AC BC +⋅()()32AB AC AC AB =+⋅-2223b c AC AB =-+⋅2223cos b c bc BAC =-+∠22222232b c a b c +-=-+()320AB AC BC +⋅=，∴222222302b c a b c +--+=，∴22255b c a -=，2BA tBC -2222cos c t a tac B =+-22222222a cbc t a t +-=+-⋅222245a t a t c =-+222224525a t c a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭∴BA tBC -的最小值为22425c a -， ∴2224362525c a a -=，解得2285c a =，∴2295b a =，2222222298255cos 2298255a a abc a BAC bc a a+-+-∠===⋅⋅，02BAC π<∠<，∴4BAC π∠=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了向量的减法运算和数量积，余弦定理以及二次函数求最值问题，考查学生的运算求解能力，属于综合题，难度较大. 利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简()320AB AC BC +⋅=，得出三角形三边的关系是解题的关键.三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分，每题考生都必须在答题卡上作答.17.已知正三棱柱111ABC A B C -所有棱长均为2，,M N 分别为11,AC B C 的中点.（1）求证：//CN 平面11MA B ； （2）求三棱锥11M A B C -体积. 【答案】（1）证明见解析（23【解析】 【分析】（1） 取11A B 中点P ，连接PN ，通过证明四边形PNCM 为平行四边形，并借助线线平行，得到线面平行；（2）利用等体积法，将求11M A B C -的体积转化为求11B A MC -的体积，借助三棱锥的体积公式即可得解.【详解】（1）取11A B 中点P ，连接PN ，由于,P N 分别为1111,A B B C 的中点，所以1112PN AC 而1112MCAC ，则PN MC ，所以PNCM 为平行四边形，所以CNPM又因为CN ⊄面11MA B ，PM ⊂面11MA B ，所以CN 平面11MA B（2）111212A MCS=⨯⨯=， 1B 到平面1A MC 的距离2sin 603d =⨯︒=，所以111111131333M A B C B A MC A MC d V V S --==⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查线面平行的证明以及三棱锥体积的求解，其中涉及到线线平行的证明，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.求解三棱锥的体积时，要注意等体积法的应用. 18.ABC 为直角三角形，斜边BC 上一点D ，满足3=AB BD .（1）若30BAD ∠=︒，求C ∠； （2）若12BD CD =，2AD =，求BC . 【答案】（1）60C ∠=°（2）32BC =【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及ADB ∠的范围，得出ADB ∠的值，再借助ADB C DAC ∠=∠+∠即可得解；（2）设12BD CD a ==，根据已知条件和勾股定理求出AC =，进而得到cos C ∠的值，再利用余弦定理即可得解.【详解】（1）由正弦定理：sin 30sin BD ABADB=︒∠，得sin 30sin AB ADB BD ⋅︒∠==， 60180ADB ︒<∠<︒，∴120ADB ∠=︒，∴120C DAC ∠+∠=︒，60=︒∠DAC ，∴60C ∠=°.（2）设12BD CD a ==，=AB ，∴AB =，∴AC =，从而cos AC C BC ∠==，由余弦定理222cos2AC DC AD C AC DC +-∠=⋅，即223=，解得a =BC =【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在平面几何中的综合应用，属于中档题. 平面几何中解三角形问题的求解思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； （2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.19.新型冠状病毒肺炎19COVID -疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数.为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①2y bx a =+，②y dx c =+对变量x和y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差i i i e y y =-）：经过计算得()()81728i i ix xy y =--=∑，()82142i i x x=-=∑，()()816868i i i z zy y =--=∑，()8213570i i z z=-=∑，其中2i iz x =，8118i i z z ==∑.（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由； （2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留一位小数）；（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数作出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()81821ˆiii ii x x y y bx x ==--=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）选择模型①，详见解析（2）21.9 1.6y x =+（3）156 【解析】 【分析】（1）根据残差图，估计值和真实值越接近，拟合效果越好，即可得解；（2）令2z x =，分别计算,z y 的平均数，根据公式求得,b a ，即可求出模型①对应点回归方程； （3）将9x =代入回归方程，即可得解【详解】（1）根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近， 模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好，所以选择模型①.（2）由（1），知y 关于x 的回归方程为2y bx a =+，令2z x =，则y bz a =+. 由所给数据得：1(1491625364964)25.58z =+++++++=， 1(481631517197122)508y =+++++++=，()()()8182168681.93570iii i i zzy y b z z==--==≈-∑∑， 50 1.925.5 1.6a y bz =-≈-⨯≈，y ∴关于x 的回归方程为21.9 1.6y x =+.（3）预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为21.99 1.6155.5156y =⨯+=≈（人）. 【点睛】本题考查了利用残差图判断拟合效果，求解回归方程，利用回归方程求解预估值的问题，考查了学生的数据处理能力，对于学生的运算求解能力有一定的要求，属于基础题.20.已知抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，直线l 过F 与抛物线交于,A B 两点.,A B 到准线的距离之和最小为8.（1）求抛物线方程；（2）若抛物线上一点P 纵坐标为2p ，直线,PA PB 分别交准线于,M N .求证：以MN 为直径的圆过焦点F .【答案】（1）28y x =（2）证明见解析【解析】 分析】（1）根据题意及抛物线定义，可知28p =，从而可求出抛物线方程；（2）当直线l 与x 轴垂直时，求出M ，N 的坐标，进而证得以MN 为直径的圆过焦点F ；当直线l 与x 轴不垂直时，设出直线方程，A 点和B 点坐标，并与抛物线方程联立，借助根与系数的关系以及向量数量积的坐标表示，证得0MF NF ⋅=，从而证出以MN 为直径的圆过焦点F .【详解】（1）,A B 到准线的距离之和等于到焦点的距离之和，即为||AB ，||AB 最小为通径，所以28p =，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =.（2）抛物线焦点()2,0F ，准线方程：2x =-，由P 点纵坐标为2p ，得(8,8)P ，当直线l 与x 轴垂直时，直线方程为2x =，此时，()2,4A ，()2,4B - ，直线PA ：2833y x =+，直线PB ：28y x =-， 所以，42,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,12N --， 所以，圆心坐标为162,3⎛⎫--⎪⎝⎭，半径203r =，焦点到圆心的距离203d r ===， 此时，以MN 为直径的圆过焦点F .当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:2l x my =+，设()()1122,,A x y B x y ，228x my y x=+⎧⎨=⎩，得28(2)y my =+，1216y y =-，128y y m +=， PA 直线为111888(8)(8)88y y x x x y --=-=--+代入准线2x =-得： 11180816888M y y y y --=+=++同理可得228168N y y y -=+ ()()()12121212642244,4,168864M N y y y y MF NF y y y y y y --+⋅=⋅=++++ ()()121212121212161281664642248864y y y y y y y y y y y y +++⋅+--+=+++ 12121280166446408864y y y y y y +⋅+⋅==+++，所以2MFN π∠=，所以焦点F 在以MN 为直径的圆上.综上，以MN 为直径的圆过焦点F .【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系以及向量数量积的坐标表示，属于中档题.解决直线与圆锥曲线的位置关系的题型时，要注意韦达定理的应用.21.已知函数2()(1)f x a x =+，()x g x xe =.（1）若()g x 的切线过(4,0)-，求该切线方程；（2）讨论()f x 与()g x 图像的交点个数.【答案】（1）2(4)y e x -=-+（2）0a ≥时，只有一个交点；0a <时，有两个交点【解析】【分析】（1）设出切点，根据()()000000014x x x e g x x e x -'==++，求出切点，进而求出直线斜率，从而得解； （2）构造函数()()()F x g x f x =-，求出导函数，通过分类讨论，研究()F x 的单调性，进而判断出()F x 的零点个数，从而得解.【详解】（1）()x g x xe =，∴()()1xg x x e '=+， 设切点为()00,x y ，则()()000000014x x x e g x x e x -'==++， 化简得200054x x x =++，所以02x =-，2k e -=-，所以切线方程为2(4)y e x -=-+.（2）设()()()F x g x f x =-，即讨论()F x 零点个数. ()()(1)2(1)(1)2x x F x x e a x x e a '=+-+=+-，0a =时，()F x 只有一个零点；0a <时，()F x 在(,1)-∞-上单调递减，(1,)-+∞单调递增，1(1)0F e-=-<，x →-∞，x →+∞时，()F x 均∞→+，此时，()F x 有两个零点， 0a >时，x →-∞时，()F x →-∞，x →+∞时()F x →+∞，由()0F x '=得1x =-，ln(2)x a =， 若12a e=时，()F x 在R 单增，只有一个零点； 若12a e ≠时，1(1)0F e -=-<，2(ln(2))ln (2)0F a a a a =--<， 极大值极小值均小于0，从而也只有一个零点.综上，0a ≥时，只有一个交点；0a <时，有两个交点.【点睛】本题考查了函数过某点的切线方程，两个函数图像交点个数的判断，难度较大.求函数的切线方程时，要注意区分“在某点”和“过某点”，这是一个易错点.求解两个函数交点个数的问题时，常用构造函数法，转化为求解零点个数的题型.（二）选考题：共10分.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若曲线C 上两点,M N ，有OM ON ⊥，求OMN 面积最小值.【答案】（1）()2213sin 4ρθ+=（2）45 【解析】【分析】（1）将曲线C 的参数方程消去参数，可得曲线C 的普通方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可得解；（2）设出M ，N 两点的坐标，代入曲线C 的极坐标方程，求出2212ρρ，化简得221221694sin 24ρρθ=+，再根据三角函数的范围即可求出2212ρρ的范围，从而得解.【详解】（1）由曲线C 的参数方程2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α， 得曲线C 的普通方程为：2244x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2244x y +=，得曲线C 的极坐标方程为：()2213sin 4ρθ+=. （2）设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入曲线得： ()22113sin 4ρθ+=，()22213cos 4ρθ+=，则()()221222222161616166492549sin cos 2513sin 13cos 4sin 244ρρθθθθθ===≥=++++， 当4πθ=，34π，54π，74π时可以取到等号， 所以OMN 面积为121425S ρρ=≥. 故OMN 面积最小值为45 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化，极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识，属于中档题.参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化；普通方程化为极坐标方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可化为极坐标方程；极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程.23.已知函数()1122f x x x x =++---．（1）若关于x 的不等式()f x a ≤有解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()4f x x b ≤--对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）4a ≥-；（2）(,6]-∞-．【解析】【分析】（1）将()f x 化为分段函数，求出函数的值域，即可求出a 的范围，（2）画出相对应的函数的图象，结合图象可得b 的取值范围．【详解】（1）()4,122,11112244,124,2x x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪--<≤⎪=++---=⎨-<<⎪⎪≥⎩，∴()f x 的值域为[]4,4-，∵关于x 的不等式()f x a ≤有解，∴4a ≥-，（2）()y f x =与4y x b =--对的图象如图所示：由图象知，要使()4f x x b ≤--对任意x ∈R 成立，只需要()224f b ≤--，且0b <解得6b ≤-，故b 得取值范围为(,6]-∞-．【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题和存在性问题，考查了数形结合的思想.。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}260A x x x =--≤，{}20B x x =->，则()R C A B =（ ）A. {}23x x x ≤>或 B. {}23x x x ≤->或C. {}23x x x <≥或D. {}23x x x <-≥或【答案】A 【解析】 【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【详解】{}260{|23}A x x x x x =--≤=-≤≤,{}{}202B x x x x =->=，则{|23}A B x x ⋂=<≤，{2()R C A B x x =≤∣或3}x >，故选：A.【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，根据不等式先化简集合，再进行集合的运算即可，属于基础题.2.已知复数12iz i+=，则||z =（ ）A.B. 3C. 1D. 2i -【答案】A 【解析】 【分析】可用除法法则计算出复数z ，然后再由模的定义求得模． 【详解】解：∵212(12)()2i i i z i i i ++-===--，∴|z |= 故选A ．【点睛】本题考查复数的除法运算和求复数的模，掌握复数的运算法则和复数的概念是解题基础． 3.命题“2,||0x x x ∀∈+≥R ”的否定是（ ） A. 2,||0x x x ∀∈+<R B. 2,||0x x x ∀∈+≤R C. 2000,0x R x x ∃∈+< D. 2000,0x R x x ∃∈+≥【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“2,||0x x x ∀∈+≥R ”的否定0x R ∃∈，2000x x +<，故选：C.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312S =，651S =，则9S 的值等于（ ） A. 66B. 90C. 117D. 127【分析】 由题意可得63963,,S S S S S --成等差数列，代入数据可得9S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得63963,,S S S S S --成等差数列，故()()363962S S S S S -=+-，代入数据可得()()9251121125S -=+-，解得9117S =故选C【点睛】本题考查等差数列前n 项和的性质，属于基础题．5.在△ABC 中，设三边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，D ，则EC FA +＝ A. BDB.12BD C. ACD.12AC 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则即可求出()()1122EC AC BC FA BC BA ++＝，＝， 所以EC FA BD +＝． 【详解】如图，()()1122EC AC BC FA BC BA ++＝，＝，∴()12EC FA BC BA BD ++＝＝； 故选A ．【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则及中线向量，以及向量的加法运算．6.已知tan 2θ=，则sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ+--=+--（ ） A. 2B. 2-C. 0D.23由题意得，根据三角函数的诱导公式，可得sin()cos()cos cos 2222cos sin 1tan 12sin()sin()2πθπθθθπθθθθπθ+--+====----+--，故选B. 7.函数()f x = ）A. 01a <<B. 1a >C. 01a <≤D. 1a ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数定义得到11x -≤≤，再计算定义域0)x a ≤≤>，根据大小关系计算得到答案.【详解】()(),1111f x f x x x =-=+--+-，()f x 为奇函数11211x x x =++-=∴-≤≤考虑定义域：2a x 0-≥即0)x a ≤≤>且0x ≠101a ≤∴<≤ 故选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性，忽略定义域是容易发生的错误. 8.已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是( ) ①,a b αα⊥⊥，则//a b ②,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③//,//a b αα，则//a b ④//,//αγβγ，则//αβ A. ①②③ B. ②③④C. ①③D. ①④【答案】D 【解析】 【分析】①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取正方体的上下底面为αβ、以及一个侧面为γ，则//αβ，故错误；③选取正方体的上底面的对角线为a b 、，下底面为α，则//a b 不成立，故错误；④选取上下底面为αβ、，任意作一个平面平行上底面为γ，则有 //αβ成立，故正确.所以说法正确的有：①④. 故选D.【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观. 9.函数()1xf x x =-在区间[]2,5上的最大值与最小值的差记为max min f -，若 max min f --22a a ≥-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A. 1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. []1,2C. []0,1D. []1,3【答案】A 【解析】 【分析】判断出函数()y f x =在区间[]2,5上的单调性，可得出max min f -，然后再解不等式即可得出实数a 的取值范围. 【详解】()()1111111x x f x x x x -+===+---，该函数在区间[]2,5上单调递减， 所以，max min 25321514f -=-=--，由2max min 2f a a --≥-，得2324a a -≤-， 化简得24830a a -+≤，解得1322a ≤≤，因此，实数a 的取值范围是13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，涉及二次不等式解法的应用，解题的关键就是判断出函数的单调性，并利用单调性求出函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，则不等式()()ln 1f x f >的解集为（ ） A. ()1e ,1- B. ()1e ,e - C. ()()0,1e,⋃+∞ D. ()()10,e1,-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】根据偶函数的性质可得()f x 在(),0-∞上单调递增，可将问题转化为ln x 和1到对称轴的距离的大小的问题求解．【详解】由题意，根据偶函数()f x 的性质知，()f x 在(),0-∞上单调递增， 又()()ln 1f x f >，所以ln 1x <，解得1ln 1x -<<， 由ln y x =在()0,+∞上为单调递增， 所以1e x e -<<． 故选B ．【点睛】偶函数具有性质()()()f x f x fx -==，利用这一性质，可将问题转化到函数的同一个单调区间上去研究，同时也可将函数值的大小转化为变量到对称轴的距离的大小的问题求解． 11.已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A.32πB. 24πC.6πD. 6π【答案】C 【解析】 【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=， 上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z++=++=++=，=R =，因此，此球的体积为343π⨯=⎝⎭. 故选C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.12.双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的右焦点为F ，P 为双曲线C 上的一点，且位于第一象限，直线,PO PF 分别交于曲线C 于,M N 两点，若∆POF 为正三角形，则直线MN 的斜率等于（）A. 2B.2C.2+D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】记双曲线左焦点为1F2c a -=；再设00(,)P x y ，(,)N x y ，得到00(,)--M x y ，由点差法求出200200+-⋅=+-y y y y b x x x x a，得到222213⋅==-=+NM NPb c k k a a. 【详解】记双曲线左焦点为1F ，因为∆POF 为正三角形，所以112=OP FF ， 即190∠=︒F PF ，160∠=︒PFF ， 则有PF c =，1=PF ，2c a -=， 设00(,)P x y ，(,)N x y ，则00(,)--M x y ，所以222222002211 x ya bxya b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得2222002222-=-x yx ya ab b，即200200+-⋅=+-y y y y bx x x x a，即22221323⋅==-=+NM NPb ck ka a，又3NPk=-，则23NMk=--故选D【点睛】本题主要考查双曲线中的直线斜率的问题，熟记双曲线的定义与简单性质即可，属于常考题型.第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数()()()3?10(){(5)?10x xf xf f x x-≥=+<，则(5)f=____________.【答案】8【解析】试题分析：依分段函数的定义，得(5)((55))f f f=+((10))(103)(7)f f f f==-=((75))((12))f f f f=+= (123)(9)((95))((14))(143)f f f f f f f=-==+==-(11)1138f==-=，即(5)8f=.考点：分段函数求函数值.14.若x，y满足约束条件330, 330, 0,x yx yy⎧-+≥⎪⎪+-≤⎨≥⎪⎩则当13yx++取最小值时，x y+的值为__________．【答案】1【解析】【分析】画出满足条件的可行域，根据目标函数表示可行域内点与(3,1)M--连线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】画出可行域如下图所示，13yx++表示可行域内的点(,)x y与(3,1)M--连线的斜率，根据图形可得，当点0(1)C，点与M连线时，13yx++取得最小值，此时x y+的值为1点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15.若4sin3cos0αα-=，则2sin22cosαα+=_________．【答案】5625【解析】【分析】利用同角三角函数间的基本关系可得3tan4α=，利用二倍角的正弦函数公式化简，再由已知等式弦化切后代入tanα的值，计算即可求出值．【详解】∵4sin 3cos 0αα-=，3tan 4α=， ∴22222sin cos 2cos sin 22cos cos sin ααααααα++=+ 223222tan 25641+tan 2531+4αα⨯++===⎛⎫⎪⎝⎭， 故答案为：5625. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，涉及二倍角公式的应用，解题关键是运用齐次式化正切进行转化求解，属于简单题.16.如图所示，在平面四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=，120BCD ∠=，则四边形ABCD 的面积的最大值是 .【答案】33.【解析】【详解】如下图所示，设CD x =，BC y =，由余弦定理可知222cos12012x y xy +-=，即221234x y xy xy xy ++=≥⇒≤，∴1124sin 60sin1203322S x y =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅≤， 当且仅当2x y ==时，等号成立，即面积的最大值为33，故填：33.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率. 【答案】（1）23（2）725【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，分别求出文学类图书总数以及正确分类的图书数，即可求出； （2）根据古典概型的概率公式，分别求出图书分类错误的数量以及图书总数，即可求出． 【详解】（1）由题意可知，文学类图书共有1004010150++=本，其中正确分类的有100本 所以文学类图书分类正确的概率110021503p ==． （2）图书分类错误的共有302040101030140+++++=本，因为图书共有500本， 所以图书分类错误的概率2302040101030750025p +++++==．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，意在考查学生的数据处理能力，属于基础题． 18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若1132a c +=，ABCb .【答案】（1）23B π=（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可将已知等式整理求得tan B ，根据()0,B π∈可求得B ；（2）由三角形面积公式可求得ac ，利用11a c ac a c ⎛⎫+=+⎪⎝⎭求得a c +，利用余弦定理可求得结果. 【详解】（1）∵sin sin 3b C c B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴由正弦定理得：sin sin sin sin 3B C C B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∵0C π<< ∴sin 0C > ∴sin sin 3B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴13sin sin cos 2B B B =- ∴tan 3B =- ∵()0,B π∈ ∴23B π=（2）由1123sin sin 3223ABC S ac B ac ac π====△得：4ac = ∴113462a c ac a c ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭∴()222222cos 36142b a c ac B a c ac a c ac =+-=++=+-=-=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.19.如图，三棱柱ABC A B C '''-的侧棱AA '垂直于底面ABC ，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，6AA '=，M 是棱CC '的中点.（1）证明：AB A M ''⊥； （2）求三棱锥A AMB ''-的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】 【分析】（1）要证AB A M ''⊥，可证A M '⊥平面AB C ''．由平面知识可证得A M AC ''⊥，又B C ''⊥平面ACC A ''可推出B C A M '''⊥，即得A M '⊥平面AB C ''，于是AB A M ''⊥；（2）根据等积法，13A AMB B A MA A MA V V S BC '''''--∆''==⋅，即可求出． 【详解】（1）证明：∵AA '⊥平面ABC ∴四边形ACC A ''是矩形∵M 为CC '中点，且AA CC ''==∴C M '=∵1BC =，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒∴AC A C ''==C M A C A C AA'''=''' ∵MC A C A A ''''∠=∠，∴MC A ''∆与C A A ''∆相似∴C A M A AC ''''∠=∠，∴90A AC AA M '''∠+∠=︒ ∴A M AC ''⊥∵90ACB ∠=︒，∴BC ⊥平面ACC A ''， ∴B C ''⊥平面ACC A ''∵A M '⊂平面ACC A ''，∴B C A M '''⊥ ∴A M '⊥平面AB C ''，∴A M AB ''⊥（2）在ABC ∆中，1BC =，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒所以AC =1）知B C ''⊥平面ACC A ''由于四边形ACC A ''是矩形，所以1122MA A S AA AC '∆'=⋅==．∴11133A AMB B A MA A MA V V S B C '''''--∆''==⋅==． 【点睛】本题主要考查利用线面垂直的判定定理，性质定理证明线线垂直，以及利用等积法求 三棱锥的体积，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 20.已知函数().xf x e =（1）讨论函数()()g x f ax x a =--的单调性； （2）证明：()3ln f x xx ++>【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】【详解】试题分析: （1）对函数()g x 求导,按0a ≤和0a >分别判断导函数的正负,写出函数的单调性;（2）要证()3ln f x xx ++>只需证()ln 30x x x e +->，由（1）可知当1a =时，10x e x --≥，即1x e x ≥+，当10x +>时，上式两边取以e 为底的对数，可得()ln 1(1)x x x +≤>-，用1x -代替x 可得ln 1(0)x x x ≤->，又可得11ln1(0)x x x ≤->，所以1ln 1(0)x x x≥->,将原不等式放缩,即可证得. 试题解析:（1）解：()()(),1axxg x f ax x a e x a g x ae =--=-='--， ①若0a ≤时，()()0,g x g x '<R 上单调递减；②若0a >时，当1ln x a a<-时，()()0,g x g x '<单调递减； 当1ln x a a>-时，()()0,g x g x '>单调递增； 综上，若0a ≤时，()g x 在R 上单调递减； 若0a >时，()g x 在1,ln a a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减； 在1ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明：要证()3ln f x xx ++>，只需证()ln 30xx x e +->， 由（1）可知当1a =时，10x e x --≥，即1x e x ≥+，当10x +>时，上式两边取以e 为底的对数，可得()ln 1(1)x x x +≤>-， 用1x -代替x 可得ln 1(0)x x x ≤->，又可得11ln 1(0)x x x≤->， 所以1ln 1(0)x x x≥->， ()1ln 3113x x x e x x x ⎛⎫+->-+++- ⎪⎝⎭()222211x x x =++-=+- (()22110≥-=≥，即原不等式成立.21.已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）若直线()1y k x =-与曲线C 交于,R S 两点，问是否在x 轴上存在一点T ，使得当k 变动时总有OTS OTR ∠=∠？若存在，请说明理由.【答案】（1）()221243x y x +=≠-（2）()4,0T【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义求轨迹方程：先由动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，得12PM R r PN r R =+=-，，从而124PM PN r r +=+=，再由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），其方程为()221243x y x +=≠-（2）条件OTS OTR ∠=∠就是0TS TR k k +=，利用坐标化简得：设()()1122,,,R x y S x y ，则()()12122120x x t x x t -+++=，再联立直线方程与椭圆方程，消去y ，利用韦达定理得21222122834{41234k x x k k x x k +=+-=+，代入化简得4t =试题解析：（1）得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心()1,0N ，半径23r =.设圆P 的圆心为(),P x y ，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，所以12124PM PN R r r R r r +=++-=+= 由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左右焦点，长半轴长为2，其方程为()221243x y x +=≠-（2）假设存在(),0T t 满足OTS OTR ∠=∠.设()()1122,,,R x y S x y 联立()221{34120y k x x y =-+-=得()22223484120kxk x k +-+-=，由韦达定理有21222122834{41234k x x k k x x k +=+-=+①，其中0∆>恒成立，由OTS OTR ∠=∠（显然,TS TR 的斜率存在），故0TS TR k k +=，即12120y yx t x t+=--②， 由,R S 两点在直线()1y k x =-上，故()()11221,1y k x y k x =-=-代入②得：()()()()()()()()()()121212************k x x t x x t k x x t k x x t x t x t x t x t ⎡⎤-+++--+--⎣⎦==----即有()()12122120x x t x x t -+++=③将①代入③即有：()()222228241823462403434k t k t k t k k --+++-==++④，要使得④与k 的取值无关，当且仅当“4t =”时成立，综上所述存在()4,0T ，使得当k 变化时，总有OTS OTR ∠=∠ 考点：利用椭圆定义求轨迹方程，直线与椭圆位置关系 【方法点睛】1.求定值问题常见的方法有两种（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题（1）探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围； （2）若曲线C 上存在点到l，求t 的值. 【答案】(1)(；. 【解析】试题分析：（1）将曲线与直线转为直角坐标系方程，然后联立直线与方程组求得结果（2）利用三角函数求出点到直线的距离表达式d =，结合题目求得结果解析：（1）因为直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；因为,x tcos y sin αα=⎧⎨=⎩（α参数，0t >）所以曲线C 的普通方程为2221x y t+=，由2222,1,x y x y t+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()2221440t y y t +-+-=， 所以()()22164140t t ∆=-+-<，解得0t <<故t的取值范围为(.（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， 故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l的距离d =，故d的=解得t =.又因为0t >，所以t =.点睛：本题考查了参数方程的知识点，先将参数方程或者极坐标方程转化为直角坐标系的方程，然后根据在直角坐标系的方法求得结果，在计算点到线的距离时，由三角函数的方法在计算中更为简单 23.已知函数()21f x x =-，x ∈R . (1)解不等式()1f x x <+；(2)若对x ，y ∈R ，有113x y --≤，1216y +≤，求证：()1f x <. 【答案】（1）{x |0<x <2}．（2）见解析 【解析】 【分析】(1)分段讨论求解不等式即可.(2)利用1x y --与21y +拼凑出21x -再利用三角不等式证明即可. 【详解】(1)∵()1f x x <+,∴|2x －1|<|x |＋1,即12211x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩ 或102121x x x ⎧<<⎪⎨⎪-<+⎩或0121x x x ≤⎧⎨-<-+⎩ 得122x ≤<或102x <<或无解． 故不等式()1f x x <+的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1| ＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤11521366⨯+=<. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解方法以及拼凑利用三角不等式证明不等式的方法.属于中等题型.。