2021年全国高考数学模拟试卷(含答案和解析)

2021年高考数学模拟训练卷 (124)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，2，3，4，5}，B ={b|b =n 2−1,n ∈Z}，则A ∩B =( )A. {−1,3}B. {0,3}C. {−1,0，3}D. {−1,0，3，5}2. 复数z =3−4i ，则|z|=( )A. 3B. 4C. 1D. 53. 在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −32AC ⃗⃗⃗⃗⃗C. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗D. −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 设a >0且a ≠1，则“函数f(x)=a x 在x 上是减函数”，是“函数g(x)=(2−a)x 3在R 上是增函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. c <b <a6. 阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为( )A. 21B. 58C. 141D. 3187. 设l ，m 是两条不同的直线，a 是一个平面，则下列说法正确的是( )A. 若l ⊥m ，m ⊂，则l ⊥aB. 若l ⊥a ，l//m ，则m ⊥aC. 若l//a ，m ⊂a ，则l//mD. 若l//a ，m//a ，则l//m8. 函数f(x)=e x −1x 2−1的图象为( ) A. B. C. D. 9. 如果将函数y =√3cos2x −sin2x(x ∈R)的图象向右平移m(m >0)个单位后，所得图象关于直线x =π12对称，那么m 的最小值为( ) A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π1210. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如果2b =a +c ，B =30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A. 1+√32 B. 2+√32C. 1+√3D. 2+√3 11. 设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|AB|=|AF 2|，则椭圆的离心率为( )A. √22B. √32C. √6−√2D. √6−√3 12. 若关于x 的方程|x|x+4=kx 2有4个不同的实数根，则k 的取值范围是( )A. (0,14)B. (1,4)C.D. (14,4) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第6行：32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第7个样本编号_______．14.若实数x，y满足{2x−y≥0y≥xy≥−x+b且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为______．15.双曲线x2−y23=1的右焦点F，点P是渐近线上的点，且|OP|=2，|PF|=______ ．16.已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形．若PA=2，则△OAB的面积为_____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.等比数列{a n}满足a3a4a5=512，a3+a4+a5=28，公比为大于1的数．(1)求{a n}通项公式；(2)设b n=2n−1，求{a n+b n}前n项和S n．18.某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间(99,101]内，则为一等品；若长度在(97,99]或(101,103]内，则为二等品；否则为不合格产品．现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)试估计该样本的平均数；(Ⅱ)根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润．19.如图，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点，Q为PA的中点，G为△AOC的重心，AB是圆O的直径，且AB=2AC=2．(Ⅰ)求证：QG//平面PBC；(Ⅱ)求G到平面PAC的距离．20.设点F(12,0)，点M和点P分别是x轴和y轴上的动点，且满足PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(1)求点N的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，设直线l1与C相交于D，E两点，直线l2与C相交于G，H两点，M1，M2，M3，M4分别是DF，GF，EF，HF的中点，若k1⋅k2=1，求|DM1|⋅|EM3|+|GM2|⋅|HM4|的取值范围．21.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+ax−3．(Ⅰ)求f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值；(Ⅱ)若存在x∈[1e,e]使不等式2f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C 的参数方程为{x=1 2 ty=3−t(t为参数)，在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线D 的极坐标方程为ρ(1+sinθ)=2.求曲线C 的普通方程与曲线D 的直角坐标方程。

2021年高考数学模拟训练卷 (40)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合M ={x|log 2(x −1)<1},N ={x|14<(12)x <1}，则M ∩N =( )A. {x|1<x <2}B. {x|1<x <3}C. {x|0<x <3}D. {x|0<x <2}2. 已知2−bi1+2i =a +i(a,b ∈R)，其中i 为虚数单位，则b =( )A. −1B. −9C. 1D. 93. 已知向量)A. −8B. −6C. 6D. 84. 我国南北朝时期的数学著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是( )A. 113斤B. 739斤C. 778斤D. 111斤5. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−2,1)，则(λa ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −λb ⃗ )的充要条件是( )A. λ∈RB. λ=0C. λ=2D. λ=±16. 如图是一个四棱锥的三视图，其中正视图、侧视图都是正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的底面积是( )A. 2√2B. 2√3C. 4√2D. 4√37. 执行如图所示的程序框图，如果输入n =5，m =3，则输出p 的等于( )A. 3B. 12C. 60D. 3608. 设偶函数f(x)=log a |x +b |在(0,+∞)上是单调的，则f(b −2)与f(a +1)的大小关系为( )A. f(b −2)=f(a +1)B. f(b −2)>f(a +1)C. f(b −2)<f(a +1)D. 不能确定9. 设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1−a n =n +1(n ∈N +)，则数列{1a n}前10项和为( )A. 119B. 229C. 1011D. 201110. 已知ω>0，|φ|<π2，若x =π6和x =7π6是函数f(x)=cos(ωx +φ)的两个相邻的极值点，将y =f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y =g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. y =g(x)是奇函数B. y =g(x)的图象关于点(−π2,0)对称 C. y =g(x)的图象关于直线x =π2对称 D. y =g(x)的周期为π11. 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，若双曲线C 右支上一点P 满足|PF 1|=3|PF 2|且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B. √3C. 2D. √212. 已知函数f (x )=3lnx −x 2+(a −12)x 在区间(1,3)上有最大值，则实数a 的取值范围是( )A. (−12,5)B. (−12,112)C. (12,112)D. (12,5)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 直线x +y −4=0与圆x 2+y 2+2x =0的位置关系是________． 14. 已知cos(π4+α)=13，则cos(π2−2α)=______．15. 已知实数x ，y 满足不等式组{2x −y ≥0x +y ≤4y ≥1，则函数z =y −(x +2)的最小值为________．16. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 在▵ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为，且满足a 2c =b (a 2+c 2−b 2)(其中b ≠c)(I)求证：A =2B;(II)若f(x)=sinx +cosx ，求f(B)的取值范围．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PB 中点，PB =4√2． (I)求证：PD//面ACE ．(II)求三棱锥E−ABC的体积．19.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下2×2列联表：(1)根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？(2)若采用分层抽样的方法从不喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？(3)从(2)随机抽取的5人中再随机抽取3人，求在抽取的3人中出现1男2女的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 椭圆C ： x 2a+y 2b =1的右焦点为F(1,0)，离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ，N 两点，P 是直线x =4上任意一点．求证：直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．21. 22.已知函数f(x)=x 2−ax+ae x．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x ≥0时，f(x)≤2恒成立，求实数a 的取值范围．22. 已知直线1的参数方程为{x =1+ty =√3+√3t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l的普通方程和极坐标方程；)，求点A到直线l的距离．(2)设点A的极坐标为(2,π623.已知函数f(x)=|2x−1|+2|x+2|．(Ⅰ)求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)解不等式f(x)<8．【答案与解析】1.答案：A解析：解：M={x|log2(x−1)<1}={x|0<x−1<2}={x|1<x<3}；N={x|14<(12)x<1}={x|0<x<2}；所以M∩N={x|1<x<2}．故选：A．直接求出集合M，N，然后求解M∩N．本题通过指数与对数的性质，求解集合，然后求解交集及其运算，考查计算能力．2.答案：B解析：解：复数2−bi1+2i =(2−bi)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2−2b+(−4−b)i，∵2−2b+(−4−b)i=a+i，∴2−2b=a，(−4−b)=1，∴b=−9，故选B．化简复数2−bi1+2i为2−2b+(−4−b)i，由题意可得2−2b+(−4−b)i=a+i，利用复数相等，解得b的值．本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念，化简复数2−bi1+2i是解题的难点．3.答案：D解析：本题考查了平面向量垂直的判定以及向量的坐标运算，属于基础题．根据a⃗·(2a⃗−b⃗ )=0求解即可．解：已知向量a⃗=(2,1),b⃗ =(1,k),∴2a⃗−b=(3,2−k)．又，∴a⃗·(2a⃗−b⃗ )=0．∴2×3+1×(2−k )=0． ∴k =8． 故选D ．4.答案：C解析：本题考查等差数列定义，前n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，是基础题． 根据题意将每等人所得黄金斤数构造等差数列，设公差为d ，根据题意和等差数列的前n 项和公式列出方程组，求出公差d 即可得到答案．解：设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤， 则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ， 则每等人比下一等人多得d 斤金，由题意得{a 1+a 2+a 3+a 4=3a 8+a 9+a 10=4，即{4a 1+6d =33a 1+24d =4，解得d =778，∴两个人所得金相差数额绝对值的最小值是778， 故选C ．5.答案：A解析：解：(λa ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −λb ⃗ )⇔(λa ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −λb ⃗ )=λa ⃗ 2−λb ⃗ 2+(1−λ2)a ⃗ ⋅b ⃗ =0，∵|a ⃗ |=√12+22=√5，|b ⃗ |=√(−2)2+12=√5， a⃗ ⋅b ⃗ =1×(−2)+2×1=0， ∴5λ−5λ+(1−λ2)×0=0， 即0=0，而此式恒成立，因此λ∈R ． 故选：A ．利用(λa ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −λb ⃗ )⇔(λa ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −λb ⃗ )=0，再利用数量积运算及其性质即可得出． 本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算及其性质，属于基础题．6.答案：C解析：本题考查三视图和几何体的转换，考查几何体的体积和表面积公式的应用，考查运算能力和转换能力，属于基础题．直接利用三视图转换为几何体，即可求出结果．解：根据几何体的三视图，转换后的四棱锥为：其底面为AA′B′B，正方体棱长为2，则AA′=2√2，AB=2，则该几何体的底面积是4√2，故选C．7.答案：C解析：解：模拟执行程序，可得n=5，m=3，k=1，p=1，p=3，满足条件k<m，执行循环体，k=2，p=12，满足条件k<m，执行循环体，k=3，p=60，不满足条件k<m，退出循环，输出p的值为60．故选：C．通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．8.答案：C解析：因为f(x)为偶函数，所以b=0，若f(x)=在(0,+∞)上是单调递减，则所以即f(b−2)<f(a+1)若f(x)=在(0,+∞)上是单调递增，则所以即f(b−2)<f(a+1)综上所知，选C9.答案：D解析：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用“累加求和”可得a n，再利用“裂项求和”即可得出．解：∵a1=1，且a n+1−a n=n+1(n∈N+)，∴a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=n+(n−1)+⋯+2+1=n(n+1)2，∴1a n =2(1n−1n+1)．∴数列{1a n}的前10项和为S n=2[(1−12)+(12−13)+⋯+(110−111)]=2×(1−1 11 )=2011．故选：D．10.答案：B解析：解：∵若x=π6和x=7π6是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点，∴若x=π6和x=7π6是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的对称轴，。

3Z22021 高考模拟卷数学本卷满分150 分，考试时间120 分钟一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2 + i)z =1- 2i ，其中i 为虚数单位，则z =（）A．1 B．-1 C．i D．-i2．设集合A ={x ∈Z x2 -3x - 4 > 0}，B ={x | e x-2 <1}，则以下集合P 中，满足P ⊆ (C A) B 的是（）A．{-1, 0,1, 2}B．{1, 2} C．{1} D．{2}3.已知非零向量a 、b ，若a = b ，a ⊥(a - 2b)，则a 与b 的夹角是（）πA.6π2πB.C．3 35πD．64.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A．48 种B．36 种C．24 种D．12 种5.已知函数y = f (x) 的图象如图所示，则此函数可能是（）A. f (x) =sin 6x2-x - 2xB. f (x) =sin 6x2x - 2-xC. f (x) =cos 6x2-x - 2xD. f (x) =cos 6x2x - 2-x6.已知函数f (x) =x2 +a ln x ，a > 0 ，若曲线y =最小的，则a =（）f (x) 在点(1,1) 处的切线是曲线y = f (x) 的所有切线中斜率A．12B．1 C．D．27.若双曲线C ：y2-x2=1与双曲线C ：x2-y2=的渐近线相同，则双曲线C 的离心率为（）1 3 a 6 9 1 122a 5 9 A.10 2B. 15 3C.5 2D.3 38. 对 n ∈ N * ，设 x n 是关于 x 的方程 nx 3 + 2x - n = 0 的实数根，a n = [(n +1)x n ](n = 2, 3,...) ，其中符号[x ] 表示不超过x 的最大整数，则 a 2 + a 3 +a 2020= （ ）2019A ．1011B ．1012C ．2019D ．2020二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．9. 某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为 8000 元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少 1500 元，则下面结论中正确的是（ ）A. 该教师退休前每月储蓄支出 2400 元B. 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 3 倍C. 该教师退休工资收入为 6000 元月D. 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少10．已知 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ，则（ ）A ． a + b ≤B ． 1< 2a -b< 22C ．log 2 + log 2 ≥ - 12D ． a 2 - b 2 > -111. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高 精度、高定位、导航、授时服务，2020 年 7 月 31 日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 f ( x ) = cos x + cos 5x + cos 9x 近似模拟其信号， 则下列结论中正确的是（）A ．函数 f ( x ) 的最小正周期为πB ．函数 f ( x ) 的图象关于点⎛ - π , 0 ⎫对称2 ⎪ ⎝ ⎭b0 0 C. 对任意 x ∈ R ，都有 f '(π - x ) = f '(x ) D. 函数 f '( x ) 的最小值为-312.如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1 = AB = 4 ， BC = 2 ，M 、N 分别为棱C 1D 1 ，CC 1 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面 ADM ⊥ 平面CDD 1C 1C ． B 1M 与 BN 所成角60︒D ． BN / / 平面ADM三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13.已知幂函数 y = f (x )的图象过点⎛ 2,1 ⎫，则曲线 y = f (x )在点(1,1) 处的切线方程为4 ⎪ ⎝ ⎭ r r r r14.平面内，不共线的向量 a , b 满足| a + b |=| 2a - b |，且| a |=| a - 2b | ，则 a , b 的夹角的余弦值为.15.某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这 6 项运动中选出 3 项进行测试，假设他们对这 6 项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为. 16．已知圆 M :( x - x )2 + ( y - y )2 = 8 ，点T (-2,4) ，从坐标原点O 向圆 M 作两条切线OP ， OQ ，切点分别为 P ， Q ，若切线OP ， OQ 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， k 1k 2 = -1，则 OM 为定值 ，TM 的取值范围为.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题 10 分）在① bc = 4 ，② a cos B = 1 ，③ sin A = 2sin B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C = 1，c sin A = 2sin C ， .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（本小题 12 分）2 3 3nn n nn已知数列{a }的各项均为正数，记数列{a }的前 n 项和为 S ，数列{a 2 } 的前 n 项和为T ，且3T = S 2 + 2S , n ∈ N * . nnn（1） 求 a 1 的值； （2） 求数列{a n }的通项公式．19．（本小题 12 分）如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AB =， A 1 A = 2 ， D ， E ， F 分别为线段 AC ，A 1 A ， C 1B 的中点.（1） 证明： EF // 平面 ABC ；（2） 求直线C 1B 与平面 BDE 所成角的正弦值.20．（本小题 12 分）利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取 20 名同学的胸围 x (cm ) 与肺活量 y (ml ) 的样本， 计算平均值 x = 80.5 ， y = 4030 ，并求出线性回归方程为 y ˆ = 32.26x + a . 高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70 75 80 85 82 73 77 7385 72肺活量 3700 4600 4000 4300 4400 3400 3200 38004400 3500 胸围70 83 7891 817491 76 10490肺活量 3600450037004100470037004600400047003700（1） 求 a 的值；（2） 求样本 y 与 x 的相关系数 r ，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99% 把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001 )；（3） 将肺活量不低于 4500ml 视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4 名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.n∑( i =1nx i- x ) ( y i- y ) 2∑2i =1n2∑( x i- x )( y i- y ) (参考公式及数据：b ˆ =i =1，r = ∑( x i- x )i =1∑( x i- x )( y i- y )i =1，≈ 38 ，≈ 2040 .)附：相关性检验的临界值表n - 2检验水平0.050.01 160.4680.59017 0.456 0.575 18 0.4440.561 19 0.433 0.549 200.4230.53721．（本小题 12 分）如图所示，已知椭圆 x a 2y 2+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 b 22 ，一条准线为直线 x =（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点 P 作不过原点的直线 l 交椭圆于 C ，D 两点（均不与点 A 重合），直线 AC ，AD 与直线 OP 分别交于 E ，F 两点，若OE = OF ，证明：点 P 在一条确定的直线上运nn∑( x i- x ) i =1202∑ 20 (y - y i )2i =12 22+ + - Z 动.22．（本小题 12 分）设函数 f (x ) = a ⋅ 2x - 2- x (a ∈ R )（1） 若函数 y = f (x ) 的图象关于原点对称，函数 g (x ) = f (x ) + 3，求满足 g (x ) = 0 的 x 的值；20 0（2） 若函数 h (x ) = f (x ) + 4x+ 2 - x 在 x ∈[0,1] 的最大值为-2 ，求实数 a 的值.一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2 + i ) z = 1- 2i ，其中i 为虚数单位，则 z = （ ）A ．1B ． -1 【答案】DC ． iD ． -i【详解】解：由(2 + i ) z = 1- 2i ，得 z =1- 2i = (1- 2i)(2 - i) = -5i = - i ，2 i (2 i)(2 i) 5故选：D2．设集合 A = {x ∈ Z x 2 - 3x - 4 > 0}， B = {x | e x -2 < 1}，则以下集合 P 中，满足 P ⊆ (C A)B 的是（ ）A ．{-1, 0,1, 2}B ．{1, 2} C ．{1} D ．{2}【答案】C 【详解】集合 A = {x ∈ Z x 2- 3x - 4 > 0}，解得 A = {x ∈ Z x > 4 或 x < -1}，B = {x | e x -2 < 1}，解得 B = {x | x < 2} ，则ðZ A ={-1, 0,1, 2,3, 4} ，3 3 ( )所以(ðZ A )⋂ B = {-1, 0,1, 2, 3, 4}⋂{x | x < 2} = {-1, 0,1}， 对比四个选项可知，只有 C 符合 P ⊆ (ðZ A ) ⋂ B .3. 已知非零向量 a 、b ，若 a =b ， a ⊥ (a - 2b )，则 a 与b 的夹角是（）π A. 6π2πB.C ．335π D ． 6【答案】A【详解】设 a 与b 的夹角为θ，a =b ， a ⊥ (a - 2b )，2则 a ⋅ a - 2b = a 2 - 2a ⋅ b = a 2 - 2 a ⋅ b cos θ= 3 b - 2 2 b cos θ= 0 ，可得cos θ=，2Q 0 ≤θ≤π，∴θ= π.64. 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的 2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）A ．48 种B ．36 种C ．24 种D ．12 种【答案】B 【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从 2 种主食中任选一种有 2 种选法；第二步，从 3 种素菜中任选一种有 3 种选法；第三步，从 6 种荤菜中任选一种有 6 种选法，根据分步计数原理，共有 2⨯ 3⨯ 6 = 36 不同的选取方法， 故选：B5. 已知函数 y =f (x ) 的图象如图所示，则此函数可能是（）3 32x ⨯ a x2a 对于 B ， - ==对于 C ， - ==对于D ， - = =A. f (x ) =sin 6x 2- x - 2x B. f (x ) = sin 6x 2x - 2- x C. f (x ) = cos 6x 2- x - 2x D. f (x ) =cos 6x2x - 2- x【答案】D【详解】由函数图象可得 y =f (x ) 是奇函数，且当 x 从右趋近于 0 时， f (x ) > 0 ，对于 A ，当 x 从右趋近于 0 时， sin 6 x > 0 ， 2- x < 2x ，故 f (x ) < 0 ，不符合题意，故 A 错误；sin (-6x ) sin 6x f ( x ) = f (x ) ，∴ f ( x ) 是偶函数，不符合题意，故 B 错误； 2- x - 2x 2x - 2- xcos (-6 x ) cos 6x f ( x ) = f (x ) ，∴ f ( x ) 是偶函数，不符合题意，故 C 错误； 2x - 2- x 2x - 2- xcos (-6 x ) cos 6x f ( x ) = - f (x ) ，∴ f ( x ) 是奇函数，当 x 从右趋近于 0 时，cos 6x > 0 ，2x > 2- x ， 2- x - 2x 2- x - 2x∴ f ( x ) > 0 ，符合题意，故 D 正确.6. 已知函数 f (x ) = x2+ a ln x ， a > 0 ，若曲线 y = 最小的，则a =（ ）f (x ) 在点(1,1) 处的切线是曲线 y =f (x ) 的所有切线中斜率A ． 12【答案】DB ．1C ．D ．2【详解】因为 f (x ) = x 2 + a ln x ，定义域为(0, +∞) ， 所以 f '(x ) = 2x + a，x由导数的几何意义可知：当 x = 1 时 f '(x ) 取得最小值，因为 a > 0 ， x > 0 ，所以 f '(x ) = 2x + a≥ 2 = 2 ，x 当且仅当 2x = a即 a = 2x 2 时 f '(x ) 取得最小值， x又因为 x = 1 时 f '(x ) 取得最小值，所以 a = 2 ⨯12 = 2 ， 7. 若双曲线C ： y 2 - x 2 = 1与双曲线C ： x 2- y2= 的渐近线相同，则双曲线C 的离心率为（ ）1 3 a 6 91 12 23 + 23 n +1 =15A.102 B.153C.52D.33【答案】B【详解】C y2 x2 3因为双曲线1 ：3-a=1的渐近线方程为y =±x ，a2双曲线C2 ：6-y29=1的渐近线方程为y =±3x ，2又这两双曲线的渐近线相同，所以3=3，解得a = 2 ，a 2所以双曲线C1 的离心率e =.38.对n ∈N * ，设x n 是关于x 的方程nx3 + 2x -n = 0 的实数根，a n = [(n +1)x n ](n = 2, 3,...) ，其中符号[x] 表示不超过x 的最大整数，则a2+a3+a2020 =（）2019A．1011 B．1012 C．2019 D．2020 【答案】A【详解】设函数f (x)=nx3 + 2x -n ，则f '(x)= 3nx2 + 2 ，当n 时正整数时，可得f '(x)> 0 ，则f (x)为增函数，因为当n ≥ 2 时，f (n) =n ⨯ (nn +1)3 + 2 ⨯ (nn +1) -n=n⋅(-n2 +n +1) < 0 ，(n+1)3且f (1)= 2 > 0 ，所以当n ≥ 2 时，方程nx3 + 2x -n = 0 有唯一的实数根x 且x ∈( n,1) ，n n n +1 所以n < (n +1)x n <n +1, a n = [(n +1)x n ] =n ，因此a2+a3+a2020 =1 (2 +3 +4 ++ 2020) =1011.2019 2019二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分．9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000 元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500 元，则下面结论中正确的是（）x2aA. 该教师退休前每月储蓄支出 2400 元B. 该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 3 倍C. 该教师退休工资收入为 6000 元月D. 该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少【答案】ACD 【详解】 解：退休前工资收入为 8000 元/ 月，每月储蓄的金额占30% ，则该教师退休前每月储蓄支出8000⨯ 30% = 2400元，故 A 正确；该教师退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少 1500 元，则该教师退休后每月储蓄的金额为 900 元，设该教师退休工资收入为x 元/ 月，则 x 15% = 900 ，即 x = 6000 元/ 月，故 C 正确；该教师退休前的旅行支出为8000 ⨯ 5% = 400 元，退休后的旅行支出为6000⨯15% = 900 元，∴该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的 2.25 倍，故 B 错误；该教师退休前的其他支出为8000 ⨯ 20% = 1600 元，退休后的其他支出为6000 ⨯ 25% = 1500 元，∴该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故 D 正确． 故选：ACD ．10．已知 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ，则（ ）A ． a + b ≤B ． 1< 2a -b< 22C ．log 2 + log 2 ≥ - 12D ． a 2 - b 2 > -1【答案】ABD 【详解】a 2 +b 2 ≥ 2ab ,∴2(a 2 + b 2 )≥ (a + b )2,∴(a + b )2≤ 2 ，又a > 0,b > 0,∴ a + b ≤ 2, 故A 正确；bab 5 9 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ，∴0 < a < 1, 0 < b < 1,∴ -1 < a - b < 1,∴ 1< 2a -b < 2 ，故B 正确；2 a 2 - b 2 > -b 2 > -1,故D 正确；C 等价于log ≥ - 1 ，即 1 log ab ≥ - 1 , log ab ≥ -1， 2 2 2 2 22等价于 ab ≥ 1 ,但当 a = 3 , b = 4 时，满足条件 a > 0 ， b > 0 ，且 a 2 + b 2 = 1 ， ab = 12 < 1,故 C 错误；2 5 5 25 211. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高 精度、高定位、导航、授时服务，2020 年 7 月 31 日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 f ( x ) = cos x + cos 5x + cos 9x 近似模拟其信号， 则下列结论中正确的是（）A ．函数 f ( x ) 的最小正周期为πB ．函数 f ( x ) 的图象关于点⎛ - π , 0 ⎫对称2 ⎪C. 对任意 x ∈ R ，都有 f '(π - x ) = f '(x ) ⎝ ⎭D. 函数 f '( x ) 的最小值为-3【答案】BCD 【详解】A. 因为 y = cos x , y =cos 5x , y = cos 9x 的周期分别是 2π, 2π, 2π ，其最小公倍数为2π，所以函数函数 f (x ) 的最小 5 9 5 9正周期为2π，故错误；cos (- 5π)cos (- 9π)B. 因为 f (- π) = cos (-π)+ 2 + 2 = 0 ，故正确；2 2 5 9C. f '(x ) = -sin x - sin 5 x -sin 9x = f '(π-x ) ，故正确；D. f '(π)= -sin π- sin 5π- sin 9π = -3 ,故正确； 2 2 2 212.如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1 = AB = 4 ， BC = 2 ，M 、N 分别为棱C 1D 1 ，CC 1 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面 ADM ⊥ 平面CDD 1C 1C ． B 1M 与 BN 所成角60︒D ． BN / / 平面ADM 【答案】BC 【详解】对于 A ，由图显然 AM 、BN 是异面直线，故 A 、M 、N 、B 四点不共面，故 A 错误；对于 B ，由题意 AD ⊥ 平面CDD 1C 1 ， AD ⊂平面 ADM ，故平面 ADM ⊥ 平面CDD 1C 1 ，故 B 正确； 对于 C ，取 CD 的中点 O ，连接 BO 、ON ，可知△BON 为等边三角形，且四边形 BB 1MO 为矩形，BO / / B 1M 所以 B 1M 与 BN 所成角60︒ ，故 C 正确；对于 D ， BN / / 平面 AA 1D 1D ，显然 BN 与平面 ADM 不平行，故 D 错误；三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13.已知幂函数 y = f (x )的图象过点⎛ 2,1 ⎫，则曲线 y = f (x )在点(1,1) 处的切线方程为4 ⎪ ⎝ ⎭【答案】 2x + y - 3 = 0【详解】设 f ( x ) = x α，将⎛ 2,1 ⎫代入， 2α= 1，解得α= -2 ，4 ⎪ 4⎝ ⎭∴ f ( x ) = x -2 ，则 f '( x ) = -2x -3 ，∴ f '(1) = -2 ， 则切线方程为 y -1 = -2(x -1) ，即 2x + y - 3 = 0 . r r r r14.平面内，不共线的向量 a , b 满足| a + b |=| 2a - b |，且| a |=| a - 2b | ，则 a , b 的夹角的余弦值为.【答案】222 2b 2 2 55 k 1x 0 - y 01 + k 21 k2 x 0 - y 01 + k 222 6 6 6 6 43 C C 3 3 0 0 2 0 2 0 0 0 【详解】r r r r r r r r r r r 2解：由| a + b |=| 2a - b | 得| a + b |2 =| 2a - b |2 ⇒ 2a ⋅b = a ，2 由| a |=| a - 2b | ，故| a |2 =| a - 2b |2⇒ a ⋅b = b ，2 2所 以 a = 2b ⇒ a = b ，cos < 2 a ⋅b b 所以 a ,b >= = = = ， 2 a b a b 2 b15.某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m 跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这 6 项运动中选出 3 项进行测试，假设他们对这 6 项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为.1【答案】2【详解】由题意，两人在 6 项运动任选 3 项的选法： C 3C 3= 400种，小明与小华选出 3 项中有 2 项相同的选法： C 2C 1C 1= 180 种， 小明与小华选出 3 项中有 3 项相同的选法： C 3= 20 种，C 2C 1C 1 + C 3 ∴他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为 P = 6 4 3 6 6 6= 1， 216.已知圆 M : ( x - x )2+ ( y - y )2= 8，点T (-2, 4) ，从坐标原点O 向圆 M 作两条切线OP ， OQ ，切点分别为 P ， Q ，若切线OP ， OQ 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， k 1k 2 = -1，则 OM 为定值 ，TM 的取值范围为.【答案】4 ⎡2 - 4, 2 + 4⎤⎣ ⎦ 【详解】由题意可知，直线OP : y = k 1 x ， OQ : y = k 2 x ， 因为直线OP ， OQ 与圆 M 相切， 所以= 2 2 ， = 2 ，两边同时平方整理可得 k2 (8 - x 2) + 2k x y + 8 - y 2= 0 ，11 0 0k 2 (8 - x 2 ) + 2k x y + 8 - y 2 = 0 ，5 5 0 00 0 01 20 0nn n nn所以 k ， k 是方程k 2(8 - x 2) + 2kx y + 8 - y2 = 0(k ≠ 0) 的两个不相等的实数根，所以 k 1k 2 8 - y 2= 0 8 - x 2．又 k 1k 2 = -1，8 - y 2所以8 - x 2= -1 ，即 x 2+ y 2= 16 ，则 OM = 4 ；又 TO = = 2 ，根据圆的性质可得，所以 TO - 4 ≤ TM ≤ TO + 4 ，即 2 - 4 ≤ TM ≤ 2 5 + 4 ．四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在① bc = 4 ，② a cos B = 1 ，③ sin A = 2sin B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C = 1，c sin A = 2sin C ， .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】若选①，bc ＝4，由于 c sin A ＝2sin C ，利用正弦定理可得 ac ＝2c ，可得 a ＝2，因为 b cos C ＝1，1 可得 cos C ＝ ba 2 +b 2 -c 2＝2abπ，整理可得 2a ＝a 2+b 2﹣c 2，解得 b ＝c ＝2，所以 C ＝ ．3若选②，a cos B ＝1，因为 c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得 ca ＝2c ，解得 a ＝2，1 π 所以 cos B ＝2 ，由 B ∈（0，π），可得 B ＝ 3，又 b cos C ＝1，可得 a cos B ＝b cos C ，由余弦定理可得 a •a 2 + c 2 -b 2 2ac ＝b • a 2 + b 2 - c 2 2abπ ，整理可得b ＝c ，所以 C ＝B ＝ ． 3若选③，sin A ＝2sin B ，由正弦定理可得 a ＝2b ，又 c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得 ca ＝2c ，可得 a ＝2，所以 b ＝1， 又因为 b cos C ＝1，可得 cos C ＝1，又 C ∈（0，π）， 所以这样的 C 不存在，即问题中的三角形不存在．18.已知数列{a }的各项均为正数，记数列{a }的前 n 项和为 S ，数列{a 2 } 的前 n 项和为T ，且3T = S 2 + 2S , n ∈ N *.nnn（1） 求 a 1 的值；x 2+ y 2 0 0 4 + 162 3 3n ＋n+n+n n a （2） 求数列{a n }的通项公式．【详解】（1）由 3T 1＝ S 2＋2S 1，得 3 a 2＝ a 2＋2a 1，即 a 2－a 1＝0.因为 a > 0 ，所以 a = 1 ；11111 1（2）因为 3T n ＝ S 2＋2S n ，① 所以 3T n 1＝ S2＋2S n 1, ② ②－①，得 3 a 2＝ S2－ S 2＋2a n 1，即 3 a 2＝(S n ＋a n 1)2－ S 2 ＋2a n 1.因为a > 0 ， 所以 a n ＋1＝S n ＋1, ③ 所以 a n ＋2＝S n ＋1＋1, ④④－③，得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即 a n ＋2＝2a n ＋1，所以当 n ≥2 时，a n +1a n＝2，又由3T = S 2 + 2S ，得 3(1＋ a 2 )＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即 a 2- 2a = 0 ，2222 22因为 a > 0 ，所以 a = 2 ，所以 a 2＝2，所以对任意的 n ∈N *，都有a n +1= 2 成立， 22 1 n所以数列{a }的通项公式为 a = 2n -1.19.如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AB =， A 1 A = 2， D ， E ， F 分别为线段 AC ， A 1 A ，C 1B 的中点.（1） 证明： EF // 平面 ABC ；（2） 求直线C 1B 与平面 BDE 所成角的正弦值.【详解】（1） 如图，取 BC 的中点G ，连结 AG ， FG .a2 333 3在BCC 1 中，因为 F 为C 1B 的中点，所以 FG //C C ， FG = 1C C .12 1在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， A 1 A //C 1C ， A 1 A = C 1C ，且 E 为 A 1 A 的中点， 所以 FG //EA ， FG = EA . 所以四边形 AEFG 是平行四边形. 所以 EF //AG .因为 EF ⊄ 平面 ABC ， AG ⊂平面 ABC ， 所以 EF // 平面 ABC .（2） 以 D 为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为 AB =，所以 BD = 1,所以 D (0, 0, 0) ， B (0,1, 0) ， C ⎛ 3 , 0, 2 ⎫ ， E ⎛ - 3 , 0,1⎫,1 3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ ⎫ ⎛ ⎫所以 BC 1 = 3 , -1, 2 ⎪ ， DB = (0,1, 0) ， DE = - 3 , 0,1⎪ ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭设平面 BDE 的一个法向量为n = (a , b , c ) ，3 3 3 3 n∑( i =1nx i- x ) ( y i- y ) 2∑2i =1n2⎧DB ⋅ ⎧b = 0 则⎨ n = 0 ⎪ ，即, ⎩DE ⋅ = 0 ⎨- 3 a + c = 0 n ⎪⎩ 3取 a = 3 ，则c = 1，所以 n = ( 3, 0,1) ，n ⋅ BC 11 + 2所以cos < n , B C 1 >== = 8 ， | n | | BC 1 | 4 ⋅16 3直线C 1B 与平面 BDE 所成角为θ，则θ与< n , BC 1 > 或它的补角互余，所以sin θ= cos < n , BC 1 > =n ⋅ BC 1= . n ⋅ BC 18 20.利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取 20 名同学的胸围 x (cm ) 与肺活量 y (ml ) 的样本，计算平均值 x = 80.5 ， y = 4030 ，并求出线性回归方程为 yˆ = 32.26x + a . 高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70 75 80 85 82 73 77 7385 72肺活量 3700 4600 4000 4300 4400 3400 3200 38004400 3500 胸围70 83 7891 817491 76 10490肺活量 3600450037004100470037004600400047003700（1） 求 a 的值；（2） 求样本 y 与 x 的相关系数 r ，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99% 把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001 )；（3） 将肺活量不低于 4500ml 视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4 名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.∑( x i- x )( y i- y ) (参考公式及数据：b ˆ =i =1，r = ∑( x i- x )i =1∑( x i- x )( y i- y )i =1，≈ 38 ，≈ 2040 .)附：相关性检验的临界值表nn∑( x i - x )i =1202∑ 20 (y - y i )2i =14 44n - 2检验水平0.050.01 160.4680.59017 0.456 0.575 18 0.4440.561 19 0.433 0.549 200.4230.537【详解】（ 1）由于回归直线： yˆ =32.26x +a 过点(80.5，4030)， 所以 a =4030-32.26x 80.5=1433.07.（ 2）假设 H 0：变量 x ，y 不具有线性相关关系， 38所以 r =2040⨯ 32.26≈0.601，由相关性检验临界值表知：r 001=0.561，r =0.601>0.561，所以有 99%的把握认为肺活量的大小与胸围具有线性相关关系.（ 3）从统计表中可知，20 个样本中不低于 4500m /有 5 个，所以全校高一男生大肺活量的概率为 5 = 120 4设从高一年级任取 4 名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为ρ，⎛ 1 ⎫2 ⎛ 3 ⎫227 则 p = C 2=. ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭128 27所以从高一年级任取 4 名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为.12821．如图所示，已知椭圆 x a 2 y 2+ = 1(a > b > 0) 的离心率为 b 22 ，一条准线为直线 x = 2 2222 2 2（1）求椭圆的标准方程；（2）A 为椭圆的左顶点，P 为平面内一点（不在坐标轴上），过点 P 作不过原点的直线 l 交椭圆于 C ，D 两点（均不与点 A 重合），直线 AC ，AD 与直线 OP 分别交于 E ，F 两点，若OE = OF ，证明：点 P 在一条确定的直线上运动. 【详解】（1） 设圆的焦距为 2c .因为椭圆的离心率为 2，一条准线为直线 x = ， 2所以e = c = ， a= ，a 2 c从而 a 2 = 1， c 2= 1 ，从而b 2 = a 2 - c 2= 1.22所以椭圆的标准方程为 x 2 + 2 y 2 = 1 .（2） 因为点 P 不在坐标轴上，所以直线 OP 的斜率存在且不为 0.设直线 CD 的方程为 y = mx + n ，直线 EF 的方程为 y = kx ，设点C (x 1 , mx 1 + n ) ，点 D ( x 2 , mx 2 + n ) ，点 P ( x 0 , y 0 )， 由题设知 A (-1, 0) .因为点 A 、C 不重合，所以直线 AC 的方程为y = mx 1 + n(x +1) . x 1 +1⎧ y = mx 1 + n (x + 1)mx + n 联立⎪ x +1 ，可得点 E 的横坐标 x = 1 . ⎨ 1 ⎪⎩y = kx (k - m )x 1 + k - nE⎩ ⎩ n同理可得点 F 的横坐标 x =mx 2 + n.(k - m )x 2 + k - n因为OE = OF ，所以 x E + x F = 0 ，整理得2m (k - m ) x 1 x 2 + (mk + nk - 2mn ) ( x 1 + x 2 ) + 2n (k - n ) = 0 （*）⎧ y = mx + n 联立⎨x 2 + 2 y 2= 1，可得(2m 2+1) x 2 + 4mnx + 2n 2 -1 = 0 .所以∆ = 4(2m 2 - 2n 2+1)> 0 ， x + x = -4mn ， x x 2n 2-1 = - ，1 2 2m 2 +11 22m 2+1代入（*）式，有 2m (k - m ) (2n 2-1) - (mk + nk - 2mn ) ⋅ 4mn + 2n (2m 2+1)(k - n ) = 0 ，整理得(n - m )(n + m - k ) = 0 .因为直线 CD 不过点 A ，所以 n - m ≠ 0 ，因而 n + m - k = 0 .联立⎧ y = mx + n ，可得(k - m )x = n .⎨y = kx因为直线 CD 不过原点，所以 n ≠ 0 ，因而 k - m ≠ 0 .所以 x 0 =k - m= 1 ，因而点 P 在直线 x = 1 上运动22．设函数 f (x ) = a ⋅ 2x - 2- x (a ∈ R )（1） 若函数 y = f (x ) 的图象关于原点对称，函数 g (x ) = f (x ) + 3，求满足 g (x ) = 0 的 x 的值；20 0（2） 若函数 h (x ) = f (x ) + 4x+ 2 - x 在 x ∈[0,1] 的最大值为-2 ，求实数 a 的值.【详解】（1）∵ f (x ) 的图象关于原点对称，∴ f (-x ) + f (x ) = 0 ，∴ a ⋅ 2- x - 2- x + a ⋅ 2x - 2x = 0 ，即(a - 1) ⋅ (2- x + 2x )= 0 ，所以 a = 1 ；令 g (x ) = 2x - 2- x+ 3= 0 ，2则 2 ⋅ (2x)2+ 3⋅ (2x )- 2 = 0 ，∴ (2x+ 2)⋅(2 ⋅ 2x-1)= 0 ，又 2x > 0 ，∴ x = -1 ，F所以满足g (x0 )= 0 的x0 的值为x0 =-1 .（2）h(x) =a ⋅ 2x - 2-x + 4x + 2-x ，x ∈[0,1]，令2x =t ∈[1, 2] ，h(x) =H (t) =t2+at, t ∈[1, 2] ，对称轴t =-a ，0 2①当1 -a≤3，即a ≥-3 时，2 2Hmax(t) =H (2) = 4 + 2a =-2 ，∴a =-3；②当-a>3，即a <-3 时，2 2Hmax(t) =H (1) = 1+a =-2 ，∴a=-3（舍）；综上：实数a 的值为-3 .高考试题年年在变，但考查的内容和知识点是相对稳定的，解答题的考查内容基本是固定的，取得高分一定有规律可找，基础知识+二级结论+ 技巧模板是实现高分的必经途径，这是众多优秀学生检验了无数遍的真理，抓住核心题型集中归类突破，就能举一反三，不必题海战术.学会对题型的总结反思与解题方法的优化，就会突破瓶颈。

2021年高考数学模拟训练卷 (7)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设全集U =R ，集合A ={x|1<x <3}，B ={x|2x −3≥0}，则A ∩(∁U B)=( )A. (−∞,32)B. (1,+∞)C. (1,32)D. [32,3)2. 若双曲线方程为x 2−y 23=1，则其渐近线方程为( )A. y =±2xB. y =±√3xC. y =±√33xD. y =±12x3. 若x ，y 满足{x +y −2≤02x +y −2≥0y ≥0，则y −x 的最大值为( )A. −2B. −1C. 2D. 44. 函数y =e|x|4x的图象可能是( )A.B.C.D.5. 设随机变量X 的分布列如下表，且E (X )=1.6，则a 等于( )X 0 1 2 3 P0.1ab0.1A. 0.1B. 0.2C. 0.5D. 0.36. 已知m ∈R ，“函数y =2x +m −1有零点”是“函数y =log m x 在(0,+∞)上为减函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 正项等比数列{a n }中，a 2016=a 2015+2a 2014，若a m a n =16a 12，则4m +1n 的最小值等于( )A. 1B. 32C. 53D. 1368. 若a <b ，则下列不等式成立的是( )A. 1a >1bB. a 2<b 2C. lga <lgbD. 3a <3b9. 某中学一天的功课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法共有( )A. 600种B. 480种C. 408种D. 384种10. 在正三棱锥A −BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC =1，则A −BCD 的体积为( )A. √1212B. √224C. √312D. √324二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 在△ABC 中，B =30°，C =120°，则a ：b ：c = ______ ．12. 已知平面向量m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 之间的夹角为π3，|m ⃗⃗⃗ |=3，|n ⃗ |=2，则m ⃗⃗⃗ ⋅(m ⃗⃗⃗ −2n ⃗ )=________。

2021年高考数学模拟联考试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）)1. 设集合A＝{x|x2+x−2<0}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝（）A.{x|−2<x<3}B.{x|0<x<1}C.{x|−1<x<3}D.{x|0<x<2}2. 已知i是虚数单位，z是复数，若(1+3i)z＝2−i，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.3. 在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 函数f(x)＝ln(√x2+1+kx)的图象不可能是（）A. B.C. D.5. 已知圆x2+y2−4x+4y+a＝0截直线x+y−4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（）A. B.C.(−9, +∞)D.(−9, 8)6. 的展开式中的常数项是（）A.−5B.15C.20D.−257. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF=16，则双曲线C的离心率为（）A.√52B.√5 C.√3 D.3√328. 已知函数f(x)＝+x+2，若不等式f(m⋅4x+1)+f(m−2x)≥5对任意的x>0恒成立，则实数m的最小值为（）A.-B.−1C.D.1−二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）)9. 设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式中正确的是（）A. B.ac2>bc2 C.D.lg a2>lg(ab)10. 函数f(x)＝A cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．下列说法正确的是（）A.g(x)在上是增函数B.g(x)的图象关于对称C.g(x)是奇函数D.g(x)在区间上的值域是11. 已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=2√3，CD=PC=PD=2√6．若点M为PC的中点，则下列说法正确的为（）A.BM⊥平面PCDB.PA // 面MBDC.四棱锥M−ABCD外接球的表面积为36πD.四棱锥M−ABCD的体积为612. 设S n为等比数列{a n}的前n项和，满足a1＝3，且a1，−2a2，4a3成等差数列，则下列结论正确的是（）A.B.3S n＝6+a nC.若数列{a n}中存在两项a p，a s使得，则的最小值为D.若恒成立，则m−t的最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）)13. 已知||＝2，||＝1，+＝(2，-），则|+2|＝________．14. 若cos（−α)−sinα＝，则sin(2α+）＝________．15. 已知直线y＝2x−2与抛物线y2＝8x交于A，B两点，抛物线的焦点为F，则•的值为________．16. 已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则f(x1)+ f(x2)+2f(x3)的取值范围是________．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）)17. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90∘，AD//BC，AD，E是线段AB的中AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=12点．(1)求证：PE⊥CD；(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．18. 在①b sin A+a sin B＝4c sin A sin B，②cos2C−2＝2，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，sin A sin B＝，c＝2，______，求角C及△ABC的面积S．19. 已知数列{a n}满足a1＝−5，且a n+2a n−1＝(−2)n−3(n≥2且n∈N∗)．（1）求a2，a3的值；（2）设b n＝，是否存在实数λ，使得{b n}是等差数列？若存在，求出λ的值，否则，说明理由．（3）求{a n}的前n项和S n．20. 为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：y=b t+a，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：(i)求这200位竞拍人员报价X的平均值x¯和样本方差s2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；(ii)假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布N(μ, σ2)，且μ与σ2可分别由(i)中所求的样本平均数x ¯及s 2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价． 参考公式及数据：①回归方程y =b x +a ，其中b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2，a =y ¯−b x ¯；②∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8，√1.7≈1.3；③若随机变量Z 服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=0.9974．21. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（1）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（2）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究|TM|⋅|TN|是否为定值？若为定值，求出此定值，否则，请说明理由．22. 已知函数f(x)＝x 2−2mx +2ln x(m >0)． （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，且x 1，x 2为函数ℎ(x)＝ln x −cx 2−bx 的两个零点，x 1<x 2．求证：当时，．参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】A【解析】此题暂无解析2.【答案】B【解析】此题暂无解析3.【答案】B【解析】此题暂无解析4.【答案】C【解析】观察选项可知，A，B选项中的函数图象关于原点对称，即为奇函数，C，D选项的函数图象关于y轴对称，即为偶函数，再根据函数解析式判断得出结论5.【答案】D【解析】此题暂无解析6.【答案】D【解析】求出展开式的通项公式，分别令x的指数为0，−2，求出对应的r值，从而计算得解．7.【答案】A【解析】x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和求得双曲线C一条渐近线方程为y=ba三角形的面积公式，化简整理解方程可得c=4 √5，进而得到双曲线的离心率．8.【答案】C【解析】此题暂无解析二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9.【答案】A,C,D【解析】此题暂无解析10.【答案】B,C,D【解析】此题暂无解析11.【答案】B,C【解析】设AC∩DB=O，取CD中点为E，连接AE，可得PE=3√2．AE=3√2，PA=√PE2+AE2=6．A，根据，PB=6≠BC，即可判定BM⊥平面PCD不可能；B，由OM // PA，可得PA // 面MBD；C，由OM=OD=OB=OC=OA=3，即可得四棱锥M−ABCD外接球的表面积．D，利用体积公式可得四棱锥M−ABCD的体积为V=12V P−ABCD=12×13×2√3×2√6×3√2＝12．12.【答案】A,B,D【解析】此题暂无解析三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.【答案】2【解析】此题暂无解析14.【答案】【解析】 此题暂无解析 15.【答案】 −11【解析】 此题暂无解析 16. 【答案】【解析】 此题暂无解析四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.【答案】(1)证明：∵ AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ， ∴ AD ⊥EP ．又∵ △PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点， ∴ AB ⊥EP ． ∵ AD ∩AB =A ， ∴ PE ⊥平面ABCD ． ∵ CD ⊂平面ABCD ， ∴ PE ⊥CD ．(2)解：以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则E(0, 0, 0)，C(1, −1, 0)，D(2, 1, 0)，P(0, 0, √3)． ED →=(2, 1, 0)，EP →=(0, 0, √3)，PC →=(1, −1, −√3)． 设n →=(x, y, z)为平面PDE 的一个法向量． 由 {n →⋅ED →=2x +y =0，n →⋅EP →=√3z =0，令x ＝1，可得n →=(1, −2, 0)． 设PC 与平面PDE 所成的角为θ，得sin θ=|cos <PC →⋅n →>|=|PC →⋅n →||PC →|⋅|n →|=35，所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．【解析】（I ）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得AD ⊥EP 且AB ⊥EP ，从而得到 PE ⊥平面ABCD ．再结合线面垂直的性质定理，可得PE ⊥CD ；(II)以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得E 、C 、D 、P 各点的坐标，从而得到向量ED →、EP →、PC →的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法，可得平面PDE 一个法向量n →=(1, −2, 0)，最后根据直线与平面所成角的公式，可得PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．18.【答案】若选①b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ， 因为b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ，所以由正弦定理得sin B sin A +sin A sin B ＝7sin C sin A sin B ，即2sin B sin A ＝4sin C sin A sin B ，所以，因为C ∈(0, π)，或，若，由，而，，从而，矛盾．故，接下来求△ABC 的面积S ．法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理，得，∴ a ＝2R sin A ＝5sin A ，b ＝2R sin B ＝4sin B ， ∴，∴，法二：由题意可得cos C＝，即，∵，∴，∴，∵，∴或，当时，又，∴，，由正弦定理，得，∴，当时，同理可得，故△ABC的面积为．选②，因为，所以，即，，所以或（舍），因为C∈(0, π)，以下同解法同①．选③，由，及正弦定理得，即，由余弦定理得，∵0<C<π，∴，以下解法同①．【解析】若选①由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，接下来求△ABC的面积S，法一：设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可求ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．法二：由题意可得cos C＝，利用三角函数恒等变换的应用可求cos(A−B)＝，结合范围，可求A，B的值，由正弦定理得b，利用三角形的面积公式即可求解．选②利用二倍角公式化简已知等式，可得，解得cos C，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，以下同解法同①．选③由已知利用正弦定理得，由余弦定理得cos C，结合范围0<C<π，可求C的值，以下解法同①．19.【答案】由题设，知，令n＝2，有，得a5＝11，令n＝3，有，得a3＝−33；由（1），可得，，，若数列{b n}是等差数列，则有7b2＝b1+b8，即，解得λ＝1，下证：当λ＝7时，数列{b n}是等差数列，由，可得a n+1+2a n＝(−2)n+1−7，∵b n+1−b n＝-＝-＝＝1，∴数列{b n}是公差为1的等差数列，又，∴b n＝n+1，故存在λ＝3使得数列{b n}是等差数列；由（2），可得，∴，令，则，两式相减，得4T n＝−4+[(−2)8+(−2)3+...+(−7)n]−(n+1)⋅(−2)n+3＝−4+−(n +1)⋅(−2)n+1＝-，∴ T n ＝-，∴．【解析】 此题暂无解析 20. 【答案】由题意求出t ¯=3， y ¯=1.04．由∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8， b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2=18.8−5×3×1.0455−5×32=3.210=0.32那么a =y ¯−b x ¯=1.04−0.32×3=0.08 从而得到回归直线方程为y =0.32x +0.08．当t =6时，可得y =0.32×6+0.08=2（万）(i)根据表中数据求解平均值x ¯=20200×1.5+60200×2.5+60200×3.5+30200×4.5+20200×5.5+10200×6.5=3.5．样本方差s 2=(−2)2×20200+(−12)×60200+0+12×30200+22×20200+32×10200=1.7． (ii)P =317420000=0.1587．正态分布N(μ, σ2)，可得(3.5, 1.72) ∴ P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826， 即3.5−1.7<Z <5.2． P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，∴ 2018年4月份竞拍的最低成交价为5.2万元． 【解析】（1）由题意求出t ¯，y ¯，∑i=15ti 2，∑i=15tiyi ，代入公式求值，从而得到回归直线方程； （2）根据（1）求出P ．根据表中数据求解平均值x ¯和样本方差s 2，由正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，由此可得3.5−1.7<Z <5.2．P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，从而预测竞拍的最低成交价．21.【答案】设C的半焦距为c，则，即a6＝4c2，b7＝a2−c2＝8c2，所以，联立与，，得x2−2x+2−3c2＝7，依题意Δ＝4−4(6−3c2)＝2，解得c2＝1，所以a6＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为；此时x8−2x+4−4c2＝0，即x2−2x+1＝7，根为x＝1，则，所以A点坐标为．易知B(4, 4)，，若直线EF的斜率为0，此时M(−2, N(3, 0)，0)，，或，，则，若直线EF的斜率不为0，设直线EF的方程为x＝ny+4，得(3n8+4)y2+24ny+36＝5，设E(x1, y1)，F(x5, y2)，则，，可得直线AE的方程为，则，，同理，，所以，∵，，所以．综上，为定值．【解析】此题暂无解析22.【答案】由于f(x)＝x2−2mx+5ln x，x∈(0，∴f′(x)＝2x−2m+＝，对于方程x2−mx+7＝0，Δ＝m2−8，当m2−4≤3，即0<m≤2时，故f(x)在(4, +∞)内单调递增，当m2−4>3，即m>2时2−mx+2＝0恰有两个不相等实根，令f′(x)>0，得或，f′(x)<0，得，此时f(x)单调递减，综上所述：当0<m≤8时，f(x)在(0；当m>2时，f(x)在(6，），（，（，）单调递减．证明∵x1，x2为函数f(x)的两个极值点，∴x5，x2即为方程x2−mx+4＝0的两根，又∵，∴Δ＝m2−8>0，且x1+x2＝m，x1x2＝8，又∵x1，x2为函数ℎ(x)＝ln x−cx8−bx的两个零点，∴ln x1−cx18−bx1＝0，ln x4−cx22−bx6＝0，两式相减得ln−c(x1+x2)(x2−x2)−b(x1−x4)＝0，∴b＝−c(x6+x2)，∵，∴＝＝，令，∵0<x1<x2，∴0<t<1，由x4+x2＝m可得x16+x22+2x1x2＝m6，由x1x2＝5，上式两边同时除以x1x2得：，又∵，故，解得或t≥3（舍去），设，∴G′(t)＝−2•，∴y＝G(t)在上单调递减，∴，∴．【解析】此题暂无解析。

★启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。

将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x|lnx＜1}，N＝{x|x2﹣4≥0}，则M∩（∁U N）＝（）A．（﹣2，e）B．（﹣2，2）C．（0，e）D．（0，2）2．（5分）复数1+i+i2+…+i15等于（）A．0B．i C．﹣i D．13．（5分）已知直线l1：ax+2y+3＝0，l2：x+（3﹣a）y﹣3＝0，则“a＝6”是“l1⊥l2”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）23456销售额y（万元）1925343844根据上表可得回归直线方程为y=6.3x+a，下列说法正确的是（）A．回归直线y=6.3x+a必经过样本点（2，19）、（6，44）B．这组数据的样本中心点(x，y)未必在回归直线y=6.3x+a上C．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元D．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元5．（5分）若a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．|a |＞|b |B ．a 2＞b 2C ．1a＞1bD ．1a−b＞1a6．（5分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DC 的中点，则异面直线BM 与A 1C 所成角的正弦值为（ ）A ．√21015B ．√1515C ．√6565D ．865√657．（5分）若函数f （x ）＝（3a ﹣1）x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(23，+∞)B ．(0，23)C ．(13，23)D ．(−∞，23)8．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，√15bcosA =asinB ，则△ABC 面积的最大值是（ ） A ．3√152B ．3√154C ．3√158D ．3√15169．（5分）若函数f （x ）＝cos （2x +θ）+sin 2x 的最大值为G （θ），最小值为g （θ），则以下结论正确的个数为（ ）（1）∃θ0∈R ，使G （θ0）+g （θ0）＝π （2）∃θ0∈R ，使G （θ0）﹣g （θ0）＝π （3）∃θ0∈R ，使|G （θ0）•g （θ0）|＝π （4）∃θ0∈R ，使|G(θ0)g(θ0)|=πA ．3B ．2C ．1D ．010．（5分）点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且P A 1∥面AMN ，则P A 1的长度范围为（ ） A ．[1，√52]B ．[3√24，√52]C ．[3√24，32]D ．[1，32]11．（5分）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ） A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP12．（5分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足BA →+BC →=3BP →，则△ABP 与△ABC 面积之比为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．16二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）若sin2α1−cos2α=13，tan （β﹣2α）＝1，则tan （α﹣β）＝ ．14．（5分）若（2a 2+b 3）n 的二项展开式中有一项为ma 4b 12，则m ＝ ．15．（5分）已知梯形ABCD 满足AB ∥CD ，∠BAD ＝45°，以A ，D 为焦点的双曲线Γ经过B ，C 两点．若CD ＝7AB ，则Γ的离心率为 ．16．（5分）已知函数f （x ）＝|4x ﹣3|+2，若函数g （x ）＝[f （x ）]2﹣2mf （x ）+m 2﹣1有4个零点，则m 的取值范围是 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）S n 为各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，3a 3是a 4和a 5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =a n (a n +1)(a n+1+1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜12．18．（12分）如图，在棱长均为2的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面A 1CB ⊥平面A 1ABB 1，AB 1＝A 1B ，O 为AB 1与AB 的交点． （1）求证：AB 1⊥CO ；（2）求平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．19．（12分）第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议（简称两会）将分别于2019年3月5日和3月15日在北京开幕．全国两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，网约车安全问题是百姓最为关心的热点之一，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人年龄在第3组的概率；（Ⅱ）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注网约车安全问题的人数为X ，求X 的分布列与期望；（Ⅲ）把年龄在第1，2，3组的人称为青少年组，年龄在第4，5组的人称为中老年组，若选出的200人中不关注网约车安全问题的人中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关？附： P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d20．（12分）过平面上点P 作直线l 1：y =12x ，l 2：y =−12x 的平行线分别交y 轴于点M ，N 且|OM |2+|ON |2＝8． （1）求点P 的轨迹C 方程；（2）若过点Q （0，1）的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，若S △AOB =√7，求直线l 的方程．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣1﹣xlnx ．（1）判断函数f （x ）的单调性；（2）设函数h （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣1，讨论当x ∈[1，+∞）时，函数h （x ）的零点个数． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：{x =√3+2cosαy =−1+2sinα（其中α为参数）．以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同） （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设点A的极坐标为（3，﹣2π3），点B在曲线C上运动，求△OAB面积的最大值以及此时点B的极坐标．五．解答题（共1小题）23．（1）设a，b∈（0，+∞），且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．（2）设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：1a +1b+1c＞√a+√b+√c．2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x|lnx＜1}，N＝{x|x2﹣4≥0}，则M∩（∁U N）＝（）A．（﹣2，e）B．（﹣2，2）C．（0，e）D．（0，2）【解答】解：∵M＝{x|0＜x＜e}，N＝{x|x≤﹣2或x≥2}，U＝R，∴∁U N＝{x|﹣2＜x＜2}，M∩（∁U N）＝（0，2）．故选：D．2．（5分）复数1+i+i2+…+i15等于（）A．0B．i C．﹣i D．1【解答】解：1+i+i2+…+i15=1×(1−i16)1−i=1−141−i=0．故选：A．3．（5分）已知直线l1：ax+2y+3＝0，l2：x+（3﹣a）y﹣3＝0，则“a＝6”是“l1⊥l2”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：l1：ax+2y+3＝0，l2：x+（3﹣a）y﹣3＝0，l1⊥l2⇔a×1+2×（3﹣a）＝0⇔a＝6．故“a＝6”是“l1⊥l2”的充分必要条件，故选：C．4．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）23456销售额y（万元）1925343844根据上表可得回归直线方程为y=6.3x+a，下列说法正确的是（）A．回归直线y=6.3x+a必经过样本点（2，19）、（6，44）B．这组数据的样本中心点(x，y)未必在回归直线y=6.3x+a上C ．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元D ．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元【解答】解：回归直线y =6.3x +a ，不一定经过任何一个样本点，故A 错；由最小二乘法可知，这组数据的样本中心点(x ，y)一定在回归直线y =6.3x +a 上，故B 错；回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，预测销售额增加6.3万元，故C 错； x =15(2+3+4+5+6)=4，y =15(19+25+34+38+44)=32， 将（4，32）代入y =6.3x +a ，可得a =6.8，则回归方程为y =6.3x +6.8， x ＝7时，y =6.3×7+6.8=50.9，故D 正确． 故选：D ．5．（5分）若a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．|a |＞|b |B ．a 2＞b 2C ．1a＞1bD ．1a−b＞1a【解答】解：∵a ＜b ＜0，∴|a |＞|b |，a ab＜bab ，即1b ＜1a ，a 2＞b 2，因此A ，B ，C 正确． 对于D ：∵0＞a ﹣b ＞a ，∴a−b a(a−b)＞aa(a−b)，即1a ＞1a−b，因此D 不正确．故选：D ．6．（5分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DC 的中点，则异面直线BM 与A 1C 所成角的正弦值为（ ）A ．√21015B ．√1515C ．√6565D ．865√65【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DC 的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中设棱长为2，则B （2，2，0），M （0，1，0），A 1（2，0，2），C （0，2，0）， BM →=（﹣2，﹣1，0），A 1C →=（﹣2，2，﹣2），cos ＜BM →，A 1C →＞=BM →⋅A 1C→|BM →|⋅|A 1C →|=2√5⋅√12=√1515， 则异面直线BM 与A 1C 所成角的正弦值为1−(√1515)2=√21015．故选：A ．7．（5分）若函数f （x ）＝（3a ﹣1）x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(23，+∞)B ．(0，23) C ．(13，23) D ．(−∞，23)【解答】解：函数f （x ）＝（3a ﹣1）x 是R 上的增函数， 则3a ﹣1＞1， 解得a ＞23；所以实数a 的取值范围是（23，+∞）．故选：A ．8．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，√15bcosA =asinB ，则△ABC 面积的最大值是（ ） A ．3√152B ．3√154C ．3√158D ．3√1516【解答】解：因为√15bcosA =asinB ， 所以由正弦定理可得√15sinBcosA =sinAsinB ， 因为sin B ≠0，所以√15cosA =sinA ，即tanA =√15， 则sinA =√154，cosA =14．由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即9=b2+c2−12bc≥2bc−12bc=32bc，则bc≤6，故△ABC的面积S=12bcsinA≤12×6×√154=3√154．故选：B．9．（5分）若函数f（x）＝cos（2x+θ）+sin2x的最大值为G（θ），最小值为g（θ），则以下结论正确的个数为（）（1）∃θ0∈R，使G（θ0）+g（θ0）＝π（2）∃θ0∈R，使G（θ0）﹣g（θ0）＝π（3）∃θ0∈R，使|G（θ0）•g（θ0）|＝π（4）∃θ0∈R，使|G(θ0)g(θ0)|=πA．3B．2C．1D．0【解答】解：f（x）＝cos（2x+θ）+sin2x＝cos2x cosθ﹣sin2x sinθ+12（1﹣cos2x）＝﹣sinθsin2x+（cosθ−12）cos2x+12=√sin2θ+(cosθ−12)2sin（2x+φ）+12，∴G（θ）=√sin2θ+(cosθ−12)2+12=√54−cosθ+12，g（θ）=−√54−cosθ+12，所以G（θ）+g（θ）＝1，G（θ）g（θ）＝cosθ﹣1∈[﹣2，0]，G（θ）﹣g（θ）＝2√54−cosθ∈[1，3]，当g（θ）≠0时，|G(θ0)g(θ0)|=√54−cosθ+12√54−cosθ−12=1√54−cosθ−12∈[2，+∞），所以（1）（2）（3）错误，（4）正确．故选：C．10．（5分）点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且P A1∥面AMN，则P A1的长度范围为（）A．[1，√52]B．[3√24，√52]C．[3√24，32]D．[1，32]【解答】解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A 1O ，∵点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点， ∴AM ∥A 1E ，MN ∥EF ， ∵AM ∩MN ＝M ，A 1E ∩EF ＝E ， ∴平面AMN ∥平面A 1EF ，∵动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且P A 1∥面AMN ， ∴点P 的轨迹是线段EF ，∵A 1E ＝A 1F =√12+(12)2=√52，EF =12√12+12=√22， ∴A 1O ⊥EF ，∴当P 与O 重合时，P A 1的长度取最小值：A 1O =(√52)2+(√24)2=3√24， 当P 与E （或F ）重合时，P A 1的长度取最大值：A 1E ＝A 1F =√52．∴P A 1的长度范围为[3√24，√52]． 故选：B ．11．（5分）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ） A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【解答】解：（本题属于选择题）不妨设抛物线的方程为y 2＝4x ，则F （1，0），准线为l 为x ＝﹣1， 不妨设P （1，2）， ∴Q （﹣1，2），设准线为l 与x 轴交点为A ，则A （﹣1，0），可得四边形QAFP 为正方形，根据正方形的对角线互相垂直， 故可得线段FQ 的垂直平分线，经过点P ， 故选：B ．12．（5分）在△ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足BA →+BC →=3BP →，则△ABP 与△ABC 面积之比为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．16【解答】解：D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足BA →+BC →=3BP →， 设AC 的中点为M ，又因为BA →+BC →=2BM →，所以BP →=23BM →， 可得B ，P ，M 三点共线，且P 为三角形ABC 的重心， 由重心性质可得：S △ABP S ABC=13．故选：B ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）若sin2α1−cos2α=13，tan （β﹣2α）＝1，则tan （α﹣β）＝ 2 ．【解答】解：由sin2α1−cos2α=13，得2sinαcosα2sin 2α=13，即tan α＝3．又tan （β﹣2α）＝1，∴tan （α﹣β）＝tan[﹣α﹣（β﹣2α）]＝﹣tan[α+（β﹣2α）] =−tanα+tan(β−2α)1−tanαtan(β−2α)=−3+11−3×1=2． 故答案为：2．14．（5分）若（2a 2+b 3）n的二项展开式中有一项为ma 4b 12，则m ＝154．【解答】解：根据二项式的展开式的通项为T r+1=C n r 2n−r a 2n−2r b 3r，令{2n −2r =43r =12，解得{n =6r =4， 所以m =C 6422=60．故答案为：60．15．（5分）已知梯形ABCD 满足AB ∥CD ，∠BAD ＝45°，以A ，D 为焦点的双曲线Γ经过B ，C 两点．若CD ＝7AB ，则Γ的离心率为3√24．【解答】解：如图：连接AC ，BD ；设双曲线的焦距AD ＝2c ；实轴长为2a ；则BD ﹣AB＝AC ﹣CD ＝2a ；设AB ＝m ，则CD ＝7m ，BD ＝2a +m ，AC ＝2a +7m ，依题意，∠BAD ＝45°，∠ADC ＝135°， 在△ABD 中，由余弦定理及题设可得：（2a +m ）2＝m 2+4c 2﹣2√2mc ； 在△ACD 中，由余弦定理及题设可得：（2a +7m ）2＝49m 2+4c 2+14√2mc ； 整理得：√2（c 2﹣a 2）＝m （√2a +c ）； √2（c 2﹣a 2）＝7m （ √2a ﹣c ）； 两式相结合得：√2a +c ＝7（√2a ﹣c ）⇒6 √2a ＝8c ； ∴双曲线Γ的离心率为e =ca =3√24； 故答案为：3√24．16．（5分）已知函数f （x ）＝|4x ﹣3|+2，若函数g （x ）＝[f （x ）]2﹣2mf （x ）+m 2﹣1有4个零点，则m 的取值范围是 （3，4） ．【解答】解：g （x ）＝[f （x ）]2﹣2mf （x ）+m 2﹣1＝0， 即[f （x ）﹣（m +1）][f （x ）﹣（m ﹣1）]＝0， 解得f （x ）＝m ﹣1或f （x ）＝m +1． 由f （x ）的图象， 可得{2＜m −1＜52＜1+m ＜5，解得3＜m ＜4，即m 的取值范围是（3，4）． 故答案为：（3，4）．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）S n为各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，3a3是a4和a5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n(a n+1)(a n+1+1)，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜12．【解答】（Ⅰ）解：由题意，设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则a3＝q2，a4＝q3，a5＝q4，∵3a3是a4和a5的等差中项，∴6a3＝a4+a5，即6q2＝q3+q4，化简整理，得q2+q﹣6＝0，解得q＝﹣3（舍去），或q＝2，∴a n＝1•2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*，（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），可得b n=a n(a n+1)(a n+1+1)=2n−1(2n−1+1)(2n+1)=12n−1+1−12n+1，∴T n＝b1+b2+…+b n=11+1−121+1+121+1−122+1+⋯+12n−1+1−12n+1=12−12n+1＜1 2，∴T n＜1 2．18．（12分）如图，在棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1CB⊥平面A1ABB1，AB1＝A1B，O为AB1与AB的交点．（1）求证：AB1⊥CO；（2）求平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵在棱长均为2的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， 四边形A 1ABB 1是菱形， ∴A 1B ⊥AB 1，∵平面A 1CB ⊥平面A 1ABB 1，平面A 1CB ∩平面A 1ABB 1＝A 1B ， ∴A 1B ⊥平面A 1CB ，∵CO ⊂平面A 1CB ，∴AB 1⊥CO ．（2）解：∵AB 1＝A 1B ，∴菱形A 1ABB 1为正方形， 在Rt △COA 中，CO =√AC 2−OA 2=√2，在△COB 中，CO ＝OB =√2，CB ＝2，CO 2+OB 2＝CB 2， ∴CO ⊥OB ，又CO ⊥AB 1，A 1B ∩AB 1＝O ， ∴CO ⊥平面A 1ABB 1，以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A （√2，0，0），A 1（0，−√2，0），C （0，0，√2），B （0，√2，0）， AA 1→=（−√2，−√2，0），AC →=（−√2，0，√2），AB →=（−√2，√2，0）， 设平面ACC 1A 1的一个法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AC →=−√2x +√2z =0n →⋅AA 1→=−√2x −√2y =0，取x ＝1，n →=（1，﹣1，1）， 设平面ABC 的一个法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AC →=−√2x +√2z =0m →⋅AB →=−√2x +√2y =0，取x ＝1，得m →=（1，1，1）， 设平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√3×√3=13，∴平面ACC 1A 1与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为13．19．（12分）第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议（简称两会）将分别于2019年3月5日和3月15日在北京开幕．全国两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，网约车安全问题是百姓最为关心的热点之一，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人年龄在第3组的概率；（Ⅱ）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注网约车安全问题的人数为X，求X 的分布列与期望；（Ⅲ）把年龄在第1，2，3组的人称为青少年组，年龄在第4，5组的人称为中老年组，若选出的200人中不关注网约车安全问题的人中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关？附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d【解答】解：（I）由10（0.01+a+0.015+0.03+0.01）＝1，得a＝0.035，所以第1，2，3组的人数分别为20，30，70，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2，3，7，记从12人中随机抽取3人，至少有1人年龄在第3组为事件A，则P(A)=1−C53C123=2122，（II ）由题知参与调查的人中关注网约车安全问题的概率为45，X ＝0，1，2，3，X ～B （3，45），P(X =0)=C 30(1−45)3=1125，P(X =1)=C 3145(1−45)2=12125， P(X =2)=C 32(45)2(1−45)1=48125，P(X =3)=C 33(45)3=64125所以X 的分布列为：X 0123P 1125121254812564125E(X)=3×45=125； （III ）由题意得2×2列联表如下：关注网约车安全不关注网约车安全合计 青少年 90 30 120 中老年 70 10 80 合计16040200K 2=200×(90×10−70×30)2160×40×80×120=7516=4.6875＜6.635，所以没有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关．20．（12分）过平面上点P 作直线l 1：y =12x ，l 2：y =−12x 的平行线分别交y 轴于点M ，N 且|OM |2+|ON |2＝8． （1）求点P 的轨迹C 方程；（2）若过点Q （0，1）的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，若S △AOB =√7，求直线l 的方程．【解答】解：（1）设P （x 0，y 0），若P 为原点，则M ，N 都为原点O ，|OM |＝|ON |＝0，不合题意， 所以P 不为原点，由题设y =12(x −x 0)+y 0，令x ＝0，得y M =y 0−12x 0， 再由y =−12(x −x 0)+y 0，令x ＝0，得y N =y 0+12x 0，又|OM |2+|ON |2＝8，即(y 0−12x 0)2+(y 0+12x 0)2=8 化简整理得：x 0216+y 024=1，所以点P 的轨迹C 方程x 216+y 24=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，A ，B ，O 在一条直线上，不合题意，直线l 的斜率存在，故设其方程为y ＝kx +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， {y =kx +1x 216+y 24=1⇒(4k 2+1)x 2+8kx −12=0，则x 1+x 2=−8k4k 2+1，x 1⋅x 2=−124k 2+1，从而|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√256k 2+484k 2+1，又S △AOB=12|OQ|⋅|x 1−x 2|=12×1×√256k 2+484k 2+1=3√72， 所以k 2=14⇒k =±12， 故直线l 的方程为y =±12x +1． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣1﹣xlnx ．（1）判断函数f （x ）的单调性；（2）设函数h （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣1，讨论当x ∈[1，+∞）时，函数h （x ）的零点个数． 【解答】解：（1）f （x ）的定义域是（0，+∞）， f ′（x ）＝e x ﹣1﹣lnx ﹣1，f ″（x ）＝e x ﹣1−1x ，∵f ″（x ）在（0，+∞）递增，且f ″（1）＝0， 故x ∈（0，1）时，f ″（x ）＜0，f ′（x ）递减， 当x ∈（1，+∞）时，f ″（x ）＞0，f ′（x ）递增，从而当x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）≥f ′（1）＝0，f （x ）递增， 故函数f （x ）在（0，+∞）递增，无递减区间；（2）h （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣1＝e x ﹣1﹣xlnx ﹣ax ﹣1，x ＞0，令h （x ）＝0，得a =e x−1x −lnx −1x ，令g （x ）=e x−1x −lnx −1x ，则函数h （x ）在x ∈[1，+∞）的零点个数即直线y ＝a 和函数g （x ）的图象在[1，+∞）上的交点个数， 又g ′（x ）=(ex−1−1)(x−1)x 2，故当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）递增， 故g （x ）在[1，+∞）的最小值是g （1）＝0， 又∵当x →+∞时，g （x ）→+∞，故①a ≥0时，直线y ＝a 与函数g （x ）的图象在[1，+∞）上有1个交点， ②当a ＜0时，直线y ＝a 与函数g （x ）的图象在[1，+∞）上没有交点， 综上，当a ≥0时，函数h （x ）在[1，+∞）上有1个零点， 当a ＜0时，函数h （x ）在[1，+∞）上没有零点． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：{x =√3+2cosαy =−1+2sinα（其中α为参数）．以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同） （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设点A 的极坐标为（3，﹣2π3），点B 在曲线C 上运动，求△OAB 面积的最大值以及此时点B 的极坐标．【解答】解：（1）曲线C ：{x =√3+2cosαy =−1+2sinα（其中α为参数），转换为直角坐标方程为(x −√3)2+(y +1)2=4， 整理得x 2+y 2−2√3x +2y =0， 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为：ρ2−2√3ρcosθ+2ρsinθ=0，化简为：ρ=4cos(θ+π6)．（2）设B （ρ，θ），A 的极坐标为（3，﹣2π3），所以OA 和OB 的夹角为θ+2π3，所以S △OAB =12×3×ρ×sin(θ+2π3)=32×4×cos(θ+π6)×sin(θ+2π3)，=6cos2(θ+π6)，当θ+π6=0时，S△OAB的最大值为6，即B（4，−π6）．五．解答题（共1小题）23．（1）设a，b∈（0，+∞），且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．（2）设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：1a +1b+1c＞√a+√b+√c．【解答】（1）方法一（分析法）：要证a3+b3＞a2b+ab2成立，即需证（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b）成立，又因a+b＞0，故只需证a2﹣ab+b2＞ab成立，即需证a2﹣ab+b2＞0 成立，即需证（a﹣b）2＞0 成立，而依题设a≠b，则（a﹣b）2＞0 显然成立，由此命题得证；方法二（综合法）：a≠b⇔a﹣b≠0⇔（a﹣b）2＞0⇔a2﹣2ab+b2＞0⇔a2﹣ab+b2＞ab，注意到a，b∈（0，+∞），a+b＞0，由上式即得（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b），所以a3+b3＞a2b+ab2；（2）解：∵a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，∴1a +1b+1c=bc+ca+ab，又bc+ca≥2√bc⋅√ca=2√c，ca+ab≥2√ca⋅√ab=2√a，ab+bc≥2√ab⋅√bc=2√b，且a，b，c不全相等，∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立，∴2bc+2ca+2ab＞2√c+2√a+2√b，即bc+ca+ab＞√c+√b+√a，故1a+1b+1c＞√a+√b+√c．。

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（模拟卷三）本试卷共5页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120 分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1.答题前， 先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。

2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸 和答题卡，上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答 题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。

.5.考试结束后， 请将本试卷和答题卡-并上交。

一、选择题1.集合 M ={x|x 2−2x −3≤0} ， N ={x|x ≥0} ，则 M ∩N = （ ）A. {x|−1≤x ≤0}B. {x|0≤x ≤3}C. {x|−1≤x ≤3}D. {x|0≤x ≤1}2.i 是虚数单位， 1(1+i)2= （ ）A. −i 2B. i 2C. 12D. 2i 3.若集合 A ={x|x 2−7x <0,x ∈N ∗},B ={y|4y ∈N ∗} ，则A∩B 中元素的个数为（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个 4.已知 (x 2+1x )n (n ∈N ∗) 的展开式中有常数项，则 n 的值可能是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 85.在等比数列 {a n } 中， a 3=7 ，前3项和 S 3=21 ，则公比数列 {a n } 的公比 q 的值是（ ）A. 1B. −12C. 1或 −12D. -1或 −12 6.设 f(x) 为可导函数，且满足 limx→0f(1)−f(1−x)2x =−1 ，则曲线 y =f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线的斜率是( )A. 2B. -1C. 12D. -2 7.已知函数 f (x )=x 2x 2+4 ，则 f(x) 的大致图象为（ ）A.B.C.D.8.如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）A. B. C. D.9.如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A. i≤5B. i≤4C. i＞5D. i＞410.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=−13x，则双曲线C的离心率等于（）A. B. C. D.11.三个数a=0.73,b=log30.7,c=30.7之间的大小关系是（）A. B. C. D.12.已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x=π3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A. y=4sin(4x+π6) B. y=2sin(2x+π3)+2C. y=2sin(4x+π3)+2 D. y=2sin(4x+π6)+2二、填空题:13.非零向量m⃗⃗ ，n⃗的夹角为π3，且满足| n⃗|=λ| m⃗⃗ |（λ＞0），向量组x1⃗⃗⃗ ，x2⃗⃗⃗⃗ ，x3⃗⃗⃗⃗ 由一个m⃗⃗ 和两个n⃗排列而成，向量组y1⃗⃗⃗⃗ ，y2⃗⃗⃗⃗ ，y3⃗⃗⃗⃗ 由两个m⃗⃗ 和一个n⃗排列而成，若x1⃗⃗⃗ • y1⃗⃗⃗⃗ + x2⃗⃗⃗⃗ • y2⃗⃗⃗⃗ + x3⃗⃗⃗⃗ • y3⃗⃗⃗⃗ 所有可能值中的最小值为4 m⃗⃗ 2，则λ=________．14.在等差数列{a n}中，a4+a6+2a15=20，则S19=________．15.已知O为坐标原点, F是椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)的左焦点, A, B, D分别为椭圆C的左,右顶点和上顶点, P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A, D的直线l与直线PF交于点M,若直线BM与线段OD交于点N,且ON=ND,则椭圆C的离心率为________．16.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为________．三、解答题17.今年年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量(单位：吨)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数；（2）在年平均销售量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取多少家？（3）在(2)的条件下，再从[240,260)，[260,280)，[280,300)这三组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有ξ家在[240,260)组，求随机变量ξ的分布列与期望和方差．18.已知向量m⇀=(sin x−√3cos x,1)，n⇀=(2sin x,4cos2x).函数f(x)=m⇀⋅n⇀（I）求f(x)的最小正周期及最值；(II)在ΔABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边，若f(B)=1,b=√3,求ΔABC 周长l的最大值.19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1= 3.D是线段BC的中点.（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）求二面角B1−A1D−C1的大小的余弦值.20.已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R)，g(x)=e x+x2−x.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）定义：对于函数f(x)，若存在x0，使f(x0)=x0成立，则称x0为函数f(x)的不动点. 如果函数F(x)=f(x)−g(x)存在两个不同的不动点，求实数a的取值范围.21.已知圆C:x2+y2+2x−2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为√17.（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A,B两点，且满足OA⊥OB.设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程.四、选考题22.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（√2，π4），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣π4）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）已知曲线C的参数方程为{x=4+5costy=3+5sint，（t为参数），直线l与C交于M，N两点，求弦长|MN|．23.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosαy=tsinα（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ1−cos2θ.点E 的直角坐标为(2,2√3)，直线l与曲线C交于A、B两点.（Ⅰ）写出点E的极坐标和曲线C的普通方程；（Ⅱ）当tanα=√3时，求点E到两点A、B的距离之积.答案解析部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

2021年全国高考数学仿真模拟试卷（理科）（全国Ⅱ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·全国·模拟题)若集合M={x|y=1√1−x}，N={x|x2−x<0}，则M∪N=()A. {x|x<1}B. {x|x>0}C. {x|0<x<1}D. {x|x≥1}2.(2021·全国·模拟题)若复数z满足(1+i)z=2−i(i为虚数单位)，则z的实部为()A. 1B. −3C. 12D. −323.(2021·山东省·其他类型)某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为()A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%4.(2021·全国·模拟题)下列双曲线的渐近线方程为y=±2x的是()A. x24−y2=1 B. x2−y24=1 C. y22−x2=1 D. y2−x22=15.(2020·河北省衡水市·月考试卷)已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,t)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则t为()A. ±1B. 1C. −1D. 06.(2021·全国·模拟题)已知某函数的部分图象大致如图所示，则下列函数中最合适的函数是()A. y =sin(e x +e −x )B. y =sin(e x −e −x )C. y =cos(e x −e −x )D. y =cos(e x +e −x )7. (2021·全国·模拟题)若实数x ，y 满足不等式组{x −y +2≥0x −5y +10≤0x +y −8≤0，且ax +y +1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [−45,+∞)B. (−∞,−45)C. (−54,−1)D. (1,54)8. (2021·全国·模拟题)若执行如图所示的程序框图，则输出a 的值为( )A. 20B. 25C. 30D. 359. (2021·全国·模拟题)若a =5log 232，b =(15)log 323，c =(√5)log 232，则( )A. c >a >bB. b >a >cC. a >c >bD. a >b >c10. (2021·福建省福州市·期中考试)若△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinC =√3ccosA ，则A =( )A. π3B. π6C. 2π3D. 5π611. (2021·全国·模拟题)已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，经过点F 的直线l 的倾斜角为45°，且直线l 交该椭圆于A ，B 两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该椭圆的离心率为( )A. √33B. √22C. √23D. √3212. (2019·山东省济南市·期末考试)如图，四棱锥P −ABCD的底面ABCD 为平行四边形，CE =2EP ，若三棱锥P −EBD的体积为V1，三棱锥P−ABD的体积为V2，则V1的值为()V2A. 12B. 13C. 14D. 16二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·全国·模拟题)函数y=1的图象在x=4处切线的斜率为______ ．2√x(x∈[0,2π])实数根的个数为______ ．14.(2021·全国·模拟题)方程sinx=1+cos2x315.(2021·全国·模拟题)如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，则直线BC1与直线D1E所成角的正切值是______ ．16.(2021·全国·模拟题)已知数列1，x，1，x，x，1，x，x，x，1，x，x，x，x，1，x，…，其中在第n个1与第n+1个1之间插入n个x，若该数列的前2018项的和为5928，则x=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·全国·模拟题)某校的1000名高三学生参加四门学科选拔性考试，每门学科试卷共有10道题，每题10分.规定：学科选拔性考试，每门错x(0≤x≤1,x∈N)题成绩记为A，错x(2≤x≤4,x∈N)题成绩记为B，错x(5≤x≤7,x∈N)题成绩记为C，错x(8≤x≤10,x∈N)题成绩记为D；在录取时，A记为90分，B记为80分，C记为60分，D记为50分.设某校的1000名高三学生参加某一门学科选拔性考试成绩统计如表：答错012345678910题数频数109010015015020010010050500(1)若以四门学科中任一门选拔性考试成绩估计考生的平均成绩，求学生选拔性考试的平均成绩；(2)若以四门学科中任一门学科选拔性考试成绩为参考数据，求“某一个学生录取时选拔性考试成绩为330分”的概率．18.(2021·全国·模拟题)已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，且a3=5，S7=49．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=2a n+a n，数列{b n}的前n项和为T n，且T n≥1000，求n的取值范围．19.(2021·全国·模拟题)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中点，E在棱BB1上，点F在棱CC1上，且点E，F均不是棱的端点，AB=AC，BB1⊥平面AEF，且四边形AA1B1B与四边形AA1C1C的面积相等．(1)求证：四边形BEFC是矩形；(2)若AE=EF=2，BE=√3，求平面ABC与平面AEF所成角的正弦值．320.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=13x3−a(x2−x+1)．(1)若a=−2，求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对任意的a∈R，f(x)只有一个零点．21.(2021·全国·模拟题)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=−1，过其焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为M，坐标原点为O，且直线OM的斜率为√22．(1)求实数p的值；(2)求直线l的方程．22.(2021·全国·模拟题)已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+√2costy=√2sint(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρcosθ−ρsinθ−4=0．(1)求曲线C1的普通方程以及曲线C2的直角坐标方程；(2)判断曲线C1与曲线C2公共点的个数，并说明理由．23.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=|2x−2|−|x−2|．(1)求不等式f(x)<0的解集；(2)若存在x∈R，使得f(x)<a成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【知识点】并集及其运算【解析】解：∵M={x|x<1}，N={x|0<x<1}，∴M∪N={x|x<1}．故选：A．可求出集合M，N，然后进行并集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【知识点】复数的四则运算【解析】解：因为(1+i)z=2−i，所以z=2−i1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=12−32i，所以z的实部为12．故选：C．利用复数的除法运算法则求出复数z的代数形式，即可得到答案．本题考查了复数的除法运算法则的运用，复数基本概念的理解和应用，属于基础题．3.【答案】A【知识点】折线图、频率分布直方图【解析】【分析】本题考查折线图、条形图等基础知识，是基础题．由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250+450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比．【解答】解：由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为：250+450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，∴去年的水费开支占总开支的百分比为：250800×20%=6.25%．故选：A．4.【答案】B【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：x24−y2=1的渐近线方程为：y=±12x，所以A不正确；x2−y24=1的渐近线方程为：y=±2x，所以B正确；y22−x2=1的渐近线方程为：y=±√2x，所以C不正确；y2−x22=1的渐近线方程为：y=±√22x，所以D不正确．故选：B．求出双曲线的渐近线方程，判断选项的正误即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．5.【答案】C【知识点】平面向量的坐标运算、向量的模、向量的数量积【解析】解：根据题意，a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,t)，则a⃗+b⃗ =(3,2+t)，a⃗−b⃗ =(−1,2−t)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则有9+(2+t)2=1+(2−t)2，解可得：t=−1；故选：C．根据题意，由向量的坐标计算公式可得a⃗+b⃗ =(3,2+t)，a⃗−b⃗ =(−1,2−t)，又由向量模的计算公式可得9+(2+t)2=1+(2−t)2，解可得t的值，即可得答案．本题考查向量的坐标计算，涉及向量模的计算，属于基础题．6.【答案】D【知识点】函数图象的作法【解析】解：根据题意，函数的图象关于y轴对称且−1<f(0)<0，据此依次分析选项：对于A，y=sin(e x+e−x)，有f(0)=sin2>0，A错误；对于B ，y =sin(e x −e −x )，有f(0)=sin0=0，B 错误； 对于C ，y =cos(e x −e −x )，有f(0)=cos0=1，C 错误；对于D ，y =cos(e x +e −x )，有f(−x)=cos(e x +e −x )=f(x)，为偶函数，有f(0)=cos2，有−1<f(0)<0，D 正确； 故选：D ．根据题意，可得函数的图象关于y 轴对称且−1<f(0)<0，据此依次分析选项，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断以及函数值的计算，属于基础题．7.【答案】A【知识点】简单的线性规划 【解析】解：作出不等式组{x −y +2≥0x −5y +10≤0x +y −8≤0表示的平面区域如图所示， ∵ax +y +1≥0，∴ax ≥−y −1．讨论：当x =0时，y =2，此时ax ≥−y −1对任意a ∈R 成立； 当x >0时，a ≥−y−1x，即−a ≤y+1x，y+1x的几何意义为可行域内的动点与定点P(0,−1)连线的斜率，联立{x +y −8=0x −5y +10=0，解得A(5,3)，∵k PA =3−(−1)5−0=45，∴(y+1x)min =45，则−a ≤45，得a ≥−45．综上，所求实数a 的取值范围是[−45,+∞). 故选：A ．画出不等式满足的平面区域，由ax +y +1≥0恒成立，可得−a ≤y+1x恒成立，求出y+1x的最小值，则答案可求．本题考查了简单线性规划，考查化归与转化、数形结合思想，是中档题．8.【答案】B【知识点】程序框图【解析】解：根据程序框图分析可知：a=20，b=80，s≠100；a=21，b=79，s≠100；a=22，b=78，s≠100；a=23，b=77，s≠100；a=24，b=76，s≠100；a=25，b=75，s=100，此时满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为25．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】D【知识点】对数函数及其性质【解析】解：∵b=(15)log323=5log332，c=(√5)log232=5log432，∵lg 3 2lg2>lg32lg3>lg32lg4，即log232>log332>log432，∴a>b>c，故选：D．利用指数幂的运算先化简为同底数，再根据换底公式和指数函数的单调性即可求解．本题考查对数的运算法则，换底公式的应用，指数函数的单调性，属于中档题．10.【答案】A【知识点】正弦定理【解析】解：∵asinC=√3ccosA，又∵由正弦定理可得，asinA =csinC，∴sinAsinC=√3sinCcosA，∴tanA=√3，又∵0<A <π， ∴A =π3，故选：A ．解：根据已知条件，以及正弦定理，可得tanA =√3，结合A 的取值范围，即可求解． 本题主要考查了正弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于基础题．11.【答案】C【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：由题意知，F(c,0)，直线AB 的方程为y =x −c ，其中c 为椭圆C 的半焦距，联立{y =x −c b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，得(a 2+b 2)x 2−2a 2cx +a 2c 2−a 2b 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2a 2c a 2+b2，x 1x 2=a 2(c 2−b 2)a 2+b 2，∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(c −x 1,−y 1)=2(x 2−c,y 2)，即2x 2+x 1=3c ， ∴x 1=a 2c−3b 2c a 2+b 2，x 2=a 2c+3b 2c a 2+b 2，∴x 1⋅x 2=a 2c−3b 2c a 2+b 2⋅a 2c+3b 2c a 2+b 2=a 2(c 2−b 2)a 2+b 2，化简得a 4c 2−9(a 2−c 2)2c 2=a 2(2c 2−a 2)(2a 2−c 2)， ∵e =ca，∴e 2−9(1−e 2)2e 2=(2e 2−1)(2−e 2)，令t =e 2>1，可将上式整理为9t 3−20t 2+13t −2=0，即(t −1)2(9t −2)=0， 解得t =1或29， ∴e 2=29，即e =√23，∴所求椭圆的离心率为√23．故选：C ．将直线AB 的方程与椭圆的方程联立，借助韦达定理，结合平面向量的坐标运算，可得到关于离心率e 的方程，解之即可．本题考查椭圆的几何性质，离心率的求法，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．12.【答案】B【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】解：设四棱锥P−ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，则V2=V P−ABD=13×12Sℎ=16Sℎ，∵CE=2EP，∴PE=13PC，∴V1=V P−EBD=V E−PBD=13V C−PBD=13V P−BCD=13×16Sℎ=118Sℎ．∴V1V2=118Sℎ16Sℎ=13．故选：B．设四棱锥P−ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，由棱锥体积公式求得三棱锥P−ABD的体积，再由CE=2EP，借助于等体积法求得三棱锥P−EBD的体积，则答案可求．本题考查利用等体积法求多面体的体积，考查计算能力，是中档题．13.【答案】−132【知识点】导数的几何意义【解析】解：函数y=12√x ，可得y′=−14x−32，所以函数y=12√x 的图象在x=4处切线的斜率为：f′(4)=−14×4−32=−132．故答案为：−132．求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可．本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，是基础题．14.【答案】2【知识点】函数的零点与方程根的关系、正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：∵sinx=1+cos2x3，∴sinx=2cos2x3，得2sin2x+3sinx−2=0，∴sinx=−2(舍)或sinx=12，又∵x∈[0,2π]，∴x=π6或x=5π6．∴方程sinx=1+cos2x3(x∈[0,2π])实数根的个数为2．故答案为：2．利用二倍角公式变形，化为关于sin x的方程求解．本题考查函数零点与方程根的关系，考查三角方程的解法，是基础题．15.【答案】√24【知识点】异面直线所成角【解析】解：分别延长D1E、C1B，延长线交于点M，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则MC1=2√2，由正方体的结构特征可知，D1C1⊥平面BB1C1C，则D1C1⊥MC1，∴tan∠D1MC1=12√2=√24．故答案为：√24．由已知求得MC1，再求解直角三角形得答案．本题考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】3【知识点】数列求和方法【解析】解：当n≥2时，前n个1之间共有n+[1+2+3+...+n−1]=n(n+1)2(项)，当n=63时，有2016项，所以在第63个1后面的第二个x就是第2018项，所以前2018项中含有63个1，其余的都均为x，故该数列前2018项的和为63×1+(2018−63)x=5928，解得x=3．故答案为：3．直接利用数据的规律和数列的求和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的求和，规律性数据的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)根据题设知，学生选拔性考试的平均成绩成绩为：90×10+90100+80×100+150+1501000+60×200+100+1001000+50×50+50+01000=70(分)．(2)根据题意得P(A)=10+901000=110，P(B)=100+150+1501000=25， P(C)=200+100+1001000=25， P(D)=50+50+01000=110，∴某一个学生录取时，选拔性考试成绩为330分，则该生四门学科成绩为一门90分， 另三门均为80分或一门60分，另三门均为90分，∴“某一个学生录取时选拔性考试成绩为330分”的概率为：P =C 41×(110)×(25)3+C 43×(110)3×(25)=17625．【知识点】众数、中位数、平均数、基本事件【解析】(1)由考试成绩统计表能求出学生选拔性考试的平均成绩成绩．(2)分别求出P(A)=110，P(B)=25，P(C)=25，P(D)=110，某一个学生录取时，选拔性考试成绩为330分，则该生四门学科成绩为一门90分，另三门均为80分或一门60分，另三门均为90分，由此能求出“某一个学生录取时选拔性考试成绩为330分”的概率． 本小题主要考查平均数、古典概率等基础知识，考查运算求解、数据处理能力，体现基础性、创新性、应用性，导向对发展数学运算、数据分析等核心素养的关注，是基础题． 18.【答案】解：(1)在等差数列{a n }中设首项为a 1，公差为d ，S n 为其前n 项和，且a 3=5，S 7=49． 故{a 1+2d =57a 1+7×62d =49，整理得{a 1=1d =2，故a n =2n −1．(2)由(1)得：b n =22n−1+2n −1，所以T n =21+1+23+3+...+22n−1+2n −1=(21+23+...+22n−1)+(1+3+5+...+2n −1)=2×(4n −1)4−1+n 2=22n+1−23+n 2，由于T n ≥1000， 所以22n+1−23+n 2≥1000，所以n ≥6，所以n 的取值范围为：n ≥6，n ∈N +．【知识点】数列求和方法、等差数列的求和【解析】(1)直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式；(2)利用分组法的应用求出数列的和，进一步利用不等式的应用求出n 的取值范围． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题型．19.【答案】(1)证明：在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BB 1//CC 1，BB 1⊥平面AEF ， 所以CC 1⊥平面AEF ， 则∠AEB =∠AFC =90°，又因为平行四边形AA 1B 1B 与平行四边形AA 1C 1C 的面积相等，BB 1=CC 1， 所以AE =AF ，又因为AB =AC ，所以△AEB≌△AFC ， 则EB =FC ，故四边形BEFC 为平行四边形，又因为BB 1⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，则BB 1⊥EF ， 所以四边形BEFC 是矩形； (2)解：取EF 的中点G ，连结AG ， 由(1)可知，AE =AF ，则AG ⊥EF ， 因为BB 1⊥平面AEF ，BB 1⊂平面BB 1C 1C ，则平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ，又平面AEF ∩平面BB 1C 1C =EF ， 所以AG ⊥平面BB 1C 1C ，以G 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则平面AEF 的一个法向量为n⃗ =(0,0,1)， 因为AE =EF =2，G 为EF 的中点，AG ⊥EF ， 所以AG =√3，故A(0,√3,0)，又BE =√33，所以B(−1,0,√33),C(1,0,√33)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,√33)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,√33)， 设平面ABC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x −√3y +√33z =0x −√3y +√33z =0，令y =1，则x =0，z =3， 故m⃗⃗⃗ =(0,1,3)， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=1×√10=√10 则平面ABC 与平面AEF 所成角的正弦值为√1−(√10)2=√1010．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)利用线面平行的性质可得CC 1⊥平面AEF ，可证明△AEB≌△AFC ，得到EB =FC ，即四边形BEFC 为平行四边形，通过线面垂直的性质，进一步证明四边形BEFC 是矩形；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ABC 的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可． 本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的性质定理的应用以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a =−2时，f(x)=13x 3+2(x 2−x +1)，则f′(x)=x 2+4x −2，令f′(x)>0，解得x <−2−√6或x >−2+√6，令f′(x)<0，解得−2−√6<x <−2+√6，∴f(x)的单调增区间为(−∞,−2−√6),(−2+√6,+∞)，单调减区间为(−2−√6,−2+√6)；(2)证明：令f(x)=13x 3−a(x 2−x +1)=0，则x 3x 2−x+1−3a =0， 设k(x)=x 3x 2−x+1−3a ，则k′(x)=x 2(x 2−2x+3)(x 2−x+1)2=x 2[(x−1)2+2](x 2−x+1)2≥0，∴k(x)单调递增， ∴k(x)至多有一个零点，又f(3a +1)=6a 2+2a +13>0,f(3a −1)=−13<0， ∴对任意的a ∈R ，f(x)只有一个零点【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】(1)将a =−2代入，求导，判断导函数与0的关系即可求得单调区间； (2)令f(x)=0，可构造函数k(x)=x 3x 2−x+1−3a ，对k(x)求导后可判断其在R 上单调递增，再结合零点存在性定理得证．本题考查里利用导数研究函数的单调性及零点问题，涉及了零点存在性定理的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)据题意，得−p2=−1,p =2．(2)据题设知，抛物线的焦点为F(1,0)． 据题意设直线l 的方程为x =my +1，联立直线方程与抛物线方程可得：y 2−4my −4=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m ， 所以x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2， 所以线段AB 的中点M 坐标为(2m 2+1,2m)． 又因为O 为坐标原点，直线OM 的斜率为√22，所以2m1+2m 2=√22， 解得m =√22，所以所求直线l 的方程为x =√22y +1，即√2x −y −√2=0．【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】(1)由题意得到关于p 的方程，解方程可得p 的值；(2)设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理得到关于m 的方程，解方程即可确定直线方程．本题主要考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =1+√2costy =√2sint(t 为参数)，转换为直角坐标方程为：(x −1)2+y 2=2；曲线C 2的极坐标方程为2ρcosθ−ρsinθ−4=0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转化为直角坐标方程为2x −y −4=0．(2)利用圆心(1,0)到直线2x −y −4=0的距离d =√(−1)2+22=2√55<√2，所以直线与圆相交，故圆与直线有两个交点．【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用点到直线的距离公式的应用和直线与圆的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)∵f(x)<0，∴|2x−2|−|x−2|<0，∴|2x−2|<|x−2|，∴(2x−2)2<(x−2)2，∴3x2−4x<0|∴0<x<4，3).所求不等式的解集为(0,43(2)f(x)=|2x−2|−|x−2|，当x≤1时，f(x)=2(1−x)−(2−x)=−x，当1<x≤2时，f(x)=2(x−1)−(2−x)=3x−4，当x>2时，f(x)=2(x−1)−(x−2)=x，即f(x)min=−1，∵存在x∈R，使得f(x)<a成立，∴a>−1，∴实数a的取值范围(−1,+∞)．【知识点】不等式的恒成立问题、不等式和绝对值不等式【解析】(1)由题意可知f(x)<0，即|2x−2|−|x−2|<0，可得|2x−2|<|x−2|，对两边平方，即可求解．(2)对绝对值不等式分类讨论，结合含参方程的解法，即可求解．本题考查了绝对值不等式的求值，以及含参方程恒成立问题，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．。

2021年高三高考模拟卷（一）理数试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A．-4 B．-1 C．1 D．4【答案】D考点：1、复数的概率；2、复数的运算．2.以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量一定增加0.2单位；④对于两分类变量与，求出其统计量，越小，我们认为“与有关系”的把握程度越小.A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【答案】D【解析】试题分析：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的是系统抽样，故①不正确；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，满足线性相关的定义，故②正确；③在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量平均增加0.2单位，故③不正确；对于两分类变量与，求出其统计量，越小，我们认为“与有关系”的把握程度越小，足随机变量的观测值的特点，故④正确，故选D．考点：1．抽样方法；2、线性相关；3、随机变量的观测值．3.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A考点：程序框图．4.某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形如图（2），其中，则该几何体的侧面积为（）A．64 B．80 C．96 D．128【答案】C【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个四棱柱，该棱柱俯视图的直观图面积为12，所以它的俯视图的面积为，所以其俯视图是边长为6的菱形，棱柱的高为4，所以该几何体的侧面积为，故选C．考点：1、空间几何体的三视图；2、棱柱的侧面积．5.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（）A． B． C． D．【答案】D考点：1、三角函数图象的平移变换；2、三角函数的图象和性质．【规律点睛】高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.6.长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：设小典到校的时间为，小方到校的时间为，可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为是一个矩形区域，对应的面积为，则小张比小王至少早5分钟到校事件作出符合题意的图像，则符合题意的区域为，联立，得，联立，得，则．由几何概型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为，故选A．考点：几何概型．【方法点睛】求几何概型，一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解；求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）．7.已知函数，函数，若存在实数使得关于的方程有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）A． B．6 C．12 D．【答案】C考点：1、方程的根；2、函数图象．8.在菱形中，，，将折起到的位置，若三棱锥的外接球的体积为，则二面角的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：如图所示，因为与均为正三角形，因此球心在过外接圆圆心且和平面垂直的直线上，同时也是在过外接圆圆心且和平面垂直的直线上，如图中．设外接球的半径为，则由条件有，解得．因为，所以＝＝，，则，所以在中，，．同理可求得．由条件知，所以为二面角的平面角，所以，所以，故选C．考点：9.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的几何性质；3、余弦定理．【一题多解】由双曲线定义，得，，设切点为，在中，，过作垂直直线于点，则，，所以＝，所以，即，则，故选C．10.已知点，平面区域由所有满足的点组成的区域，若区域的面积为8，则的最小值为（）A． B．2 C．4 D．8【答案】C考点：1、向量数量积；2、向量夹角公式；3、基本不等式．11.已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（ ）A ．B ．3C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由已知：，则，，，，…，，，则，所以，所以1111121212()()12322a b a b a b a b a b+=++=+++≥+ D. 考点：1、递推数列；2、数列求和；3、基本不等式．12.设函数，是方程的根，且，当时，关于函数3213()(2)()ln 32g x x x b x c b x d η=-+++-++在区间内的零点个数的说法中，正确的是（ ）A ．至少有一个零点B ．至多有一个零点C ．可能存在2个零点D ．可能存在3个零点【答案】B 【解析】试题分析：因为是方程的根，且是重根，则，即得．由，则．又由，则，，则32'23(2)()3(2)c b x x b x c b g x x x b x x ηη-+-+++-+=-+++=，令＋＋322323(23)232c b x x x ηξξξξ-+=-+-++-，则．当时，，所以在上是减函数，而＝；当时，，所以在上是减函数，故选B ．考点：1、函数零点；2、方程的根；3、利用导数研究函数的单调性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 .考点：充分条件与必要条件．【方法点睛】(1)充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解一般步骤为：①首先要将等价化简；②将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系；③列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围．14.在等差数列中，为数列的前项和，为数列的公差，若对任意，都有，且，则的取值范围为 .【答案】【解析】试题分析：由题意，知．因为，即，亦即，，所以方程有两个不相等的实数根，且两根之和为，又，所以必须至少不一个正实数根，所以，解得．考点：等差数列的通项公式及前项和．15.设椭圆与函数的图象相交于两点，若点在椭圆上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是 .【答案】考点：1、椭圆的几何性质；2、直线的斜率公式．16.已知（，且）可以得到几种重要的变式，如：，将赋给，就得到，…，进一步能得到：121101122111111111222222(12)3n n n n n n n n n n n n n C C nC nC nC nC nC n n ---------+•++•=+•+•++•=+=•.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：0122311111111()()()3233313n n n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯++⨯=+ .【解析】 试题分析：由，得，， 所以0122311111111()()()3233313n n n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+++ 0011221111111111111()()()()13131313n n n n n n C C C C n n n n +++++=⨯+⨯+⨯++++++ . 考点：1、二项式定理；2、合情与演绎推理．【知识点睛】归纳推理和类比推理是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论是正确的．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角的对边为，已知，，求的面积.【答案】（1）；（2）．（2）由，，又，，因此，解得：.由正弦定理：，得，又由，可得，故.考点：1、两角和的正弦函数；2、正弦函数的图象与性质；3、正弦定理；4、面积公式．【思路点睛】从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．18.（本小题满分12分）《环境空气质量指标（）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标分组表表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，指数与当天的空气水平可见度的情况.表2：表3是某气象观测点记录的长沙市xx年1月1日至1月30日指数频数统计表.表3：（1）设，根据表2的数据，求出关于的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元.（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望.（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.（用最小二乘法求线性回归方程系数公式，.）【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．（2）由表3知不高于200的频率为0.1，指数在200至400的频率为0.2，指数大于400的频率为0.7.设“洗车店每天亏损约200元”为事件A ，“洗车店每天收入约400元”为事件B ，“洗车店每天收入约700元”为事件C ，则，，，（ⅰ）设洗车店每天收入为元，则的分布列为则的数学期望为2000.14000.27000.7550EX =-⨯+⨯+⨯=（元）.（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含五种情况”，则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：322222233330.20.70.10.70.20.20.70.70.876P C C C =+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=.考点：1、回归方程；2、离散型随机变量的期望；3、独立性检验．19.（本小题满分12分）如图所示，异面直线互相垂直，，，，，，截面分别与相交于点，且平面，平面.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）．（2）由（1）及异面直线互相垂直知，直线两两垂直，作，建立空间直角坐标系，如图所示，C D B A，则(0,0,0),(1,0,0),(0,3,0),(0,3,6)∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为，∵，∴，得：，即，又∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为，∴，得，即，设二面角的大小为，那么，∴，∴二面角的正弦值为.考点：1、线面平面的性质定理；2、线段垂直的判定定理；3、二面角．20.（本小题满分12分）如图，抛物线的焦点为，取垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，过作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且.（1）求抛物线和圆的方程；（2）过点作倾斜角为的直线，且直线与抛物线和圆依次交于，求的最小值.【答案】（1）抛物线的方程为；圆的方程为；（2）．（2）设直线的方程为，且，圆心到直线的距离为，∴，由，得，设，则，由抛物线定义知，，所以，设，因为，所以， 所以221114||||16222()(2)483MN AB t t t t t •=-=-=--≤≤， 所以当时，即时，有最小值.考点：1、抛物线的方程及几何性质；2、圆的方程；3、直线与抛物线的位置关系；4、直线与直线的位置关系．【方法点睛】求解圆锥曲线中的最值问题，主要围绕直线与圆锥曲线的位置关系问题进行设计，解答时可考两为两个方向：（1）几何法，就是根据圆锥曲线的定义及几何性质，利用图形直观解决；（2）函数法，即通过建立函数，求其最值即可．21.（本小题满分12分）已知函数，，当时，（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）．（2）（解法一）32()()(1)(12cos )2x x f x g x x eax x x --=+-+++ .设，则，记，则， 当时，，于是在上是减函数，从而当时，，故在上是减函数，于是，从而， 所以，当时，在上恒成立.下面证明，当时，在上不恒成立，31()()12cos 12x f x g x ax x x x -≤----+. 记211()2cos ()121x I x a x a G x x x=+++=++++，则，当时，，故在上是减函数.于是在上的值域为.因为当时，，所以存在，使得此时，即在上不恒成立.综上，实数的取值范围是..所以存在（例如取和中的较小值）满足.即在上不恒成立.综上，实数的取值范围是.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】求证不等式，一种常见思路是用图像法来说明函数的图像在函数图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数，通过导数研究函数的性质，进而证明欲证不等式．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是圆的直径，弦交于，，，.（1）求圆的半径；（2）求线段的长.【答案】（1）5；（2）．在中，，由，得，即.∴.考点：1、相交弦定理；2、余弦定理．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.【答案】（1）；（2）或．考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、直线与圆的位置关系．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲关于的不等式.（1）当时，解此不等式；（2）设函数，当为何值时，恒成立？【答案】（1）；（2）．考点：1、不等式的解法；2、绝对值的几何意义．!31227 79FB 移v29803 746B 瑫28102 6DC6 淆20596 5074 側 a27655 6C07 氇25423 634F 捏26231 6677 晷32205 7DCD 緍(30250 762A 瘪。

2021年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（文科）（二）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{y|y＝x2+1}，B＝{x|3﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．[1，+∞）B．（3，+∞）C．[1，3）D．[1，3]2．设z＝（1+i）（3i﹣1），则＝（）A．4+2i B．﹣4+2i C．4﹣2i D．﹣4﹣2i3．已知a＝，b＝log2，c＝log310，则（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b4．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中B层人数是（）A．12B．24C．32D．365．若等差数列{a n}的前21项和S21＝63，则a6+a15﹣a10＝（）A．2B．3C．4D．56．“m＞2”是“∀x＞0，x+≥5﹣m”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春官•大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、土、丝、匏、竹”任取“两音”，则“两音”同为吹奏乐器的概率为（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．10B．5C．﹣1D．﹣89．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求ln1.01，我们先求得y＝lnx在x＝1处的切线方程为y＝x ﹣1，再把x＝1.01代入切线方程，即得ln1.01≈0.01，类比上述方式，则≈（）A．1.00025B．1.00005C．1.0025D．1.000510．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜）的图象关于直线x＝对称，且对任意x∈R，都有f（x）≥f（），则当ω取最小值时，下列结论正确的是（）A．函数f（x）图象的一个对称中心为点（﹣，1）B．函数f（x）图象的一条对称轴方程为x＝C．将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）＝﹣2sin2x+1的图象D．函数f（x）在[，]上单调递减11．过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于点P，F2为双曲线的右焦点，已知以M（2，1）为中点的弦交双曲线的右支于A，B两点，当∠F1PF2＝60°时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣3＝0B．4x+y﹣9＝0C．x﹣4y+2＝0D．4x﹣y﹣7＝0 12．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，过点D1，E，F作该正方体的截面α，α与DA的延长线交于点K，与DC的延长线交于点L，则三棱锥D1﹣DKL外接球的表面积为（）A．32πB．20πC．22πD．18π二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（4）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。

4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,3,4}P =，{3,4,5}Q =，则()U P Q =（ ）A.{1,2,3,4,6}B.{1,2,3,4,5}C.{1,2,5}D.{1,2}2.复数z 满足(i)(2i)5z --=，则z =（ ）A.22i --B.22i -+C.22i -D.22i +3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）A.7B.15C.25D.354.曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为（ ）A.1y x =-B.1y x =-+C.22y x =-D.22y x =-+5.函数π()sin cos 6f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的值域为（ ）A.[2,2]-B.[C.[1,1]-D.,22⎡-⎢⎣⎦6.函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（ ）A.0B.1C.2D.37.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P35 310 110则X 的数学期望E X =()（ ）A.32B.2C.52D.38.已知实数x ，y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ） A.33x y >B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.设某中学的高中女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据i i (,)x y (i 1,2,3,,)n =，用最小二乘法近似得到回归直线方程为0.85 5.1ˆ87yx =-，则下列结论中正确的是（ ） A.y 与x 具有正线性相关关系 B.回归直线过样本的中心点(,)x yC.若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该中学某高中女生身高为160cm ，则可估计其体重为50.29kg10.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且1MD NB ==，G 为MC 的中点．则下列结论中正确的是（ ）A.MC AN ⊥B.GB AMN 平面C.CMN AMN ⊥平面平面D.DCM ABN 平面平面11.能够把圆22:9O x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数()f x 称为圆O 的“亲和函数”，下列函数中，是圆O 的“亲和函数”的为（ ）A.32()4f x x x =+B.5()ln5xf x x -=+ C.e e ()2x xf x -+=D.()tan5x f x =12.某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一个宋时小文物，如图，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面由半椭圆1C ：22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆2C ：22221(0)x y x c b+=<（其中222a b c =+，0a b c >>>）组成．设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是轴截面与x ，y 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，若宝珠的体积是32π3，1F ，2F 在宝珠珠面上，012F F F 是等边三角形，给出以下四个命题，其中是真命题的有（ ）A.椭圆1C 的离心率为217B.椭圆2C 的离心率大于椭圆1C 的离心率C.椭圆2C 的焦点在y 轴上D.椭圆2C 的长、短轴之比大于椭圆1C 的长、短轴之比第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。

2021年高考数学模拟训练卷 (130)一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合M={x2−2x<0}，N={x|x≤1}，则M∩N=()A. (0,1)B. (1,2)C. (0,2)D. (0,1]=3+i，则a=()2.已知a∈R，若2+ai1+iA. 2B. −2C. 3D. 43.已知公比为正数的等比数列{a n}中，a2a6=8a4，a2=2，则a1=()A. 8B. 4C. 1D. 124.某四棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是()A. 43B. 83C. 4D. 6+2√35.若r=m mod n表示r等于m除以n的余数，例如2=10mod4.执行该程序框图，则输出的n等于()A. 15B. 16C. 17D. 186.已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是()A. [kπ−π12,kπ+5π12],k∈Z B. [kπ+5π12,kπ+11π12],k∈ZC. [kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z D. [kπ+π6,kπ+2π3],k∈Z7.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，O坐标原点，以OF直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，且|OA|=2|AF|，则双曲线的离心率等于()A. √3B. √5C. 32D. √528.f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2−a)+f(4−a)<0，则a的取值范围是()A. a<1B. a<3C. a>1D. a>3二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知x，y满足不等式{x≥1y≥4x+y−6≤0，则z=x+2y最大值为______．10.设f(x)=10x+lg x，则f′(1)=_________．11.已知圆C与直线x−y=0及x−y+4=0都相切，圆心在直线y=−x+2上，则圆C的标准方程为______．12.已知y=a x+2−2恒过定点A(x0,y0)且A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则2m +1n的最小值为________．13.在平行四边形ABCD中，AD=4，∠BAD=π3，E为CD中点，若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE⃗⃗⃗⃗⃗ =4，则AB的长为______ ．14.已知函数f(x)={|2x−1|,x<23x−1,x≥2，若方程f(x)−a=0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.第8届中学生模拟联合国大会将在本校举行，为了搞好接待工作，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)：若男生身高在180cm以上(包括180cm)定义为“高个子”，在180cm以下(不包括180cm)定义为“非高个子”，女生身高在170cm以上(包括170cm)定义为“高个子”，在170cm以下(不包括170cm)定义为“非高个子”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取6人，则应分别抽取“高个子”、“非高个子”各几人？(2)从(1)中抽出的6人中选2人担任领座员，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2b−c =cosAcosC．(1)求角A的值；(2)求2sinB−sinC的取值范围．17.如图，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PD=DC=2，BC=2√2．(Ⅰ)求PB与平面ADC所成角的大小；(Ⅱ)求异面直线PC，BD所成角的正弦值．18.已知数列{a n}的各项均为正数，记A(n)=a1+a2+⋯+a n，B(n)=a2+a3+⋯+a n+1，C(n)=a3+a4+⋯+a n+2，其中n∈N∗．(1)若a1=1，a2=5，且对任意n∈N∗，三个数A(n)，B(n)，C(n)依次组成等差数列，求数列{a n}的通项公式．(2)a1=1，对任意n∈N∗，三个数A(n)，B(n)，C(n)依次组成公比为q的等比数列．求数列{a n}的前n项和A n公式．19.已知抛物线y=−x2+2过其上一点P引抛物线的切线l，l与坐标轴在第一象限围成△AOB，求△AOB面积S的最小值，并求此时切线l的方程．20.f(x)=x2−2x+alnx．(Ⅰ)若a=2，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)讨论f(x)的单调性．【答案与解析】1.答案：D解析：解：M={x|0<x<2}；∴M∩N=(0,1]．故选D．可求出集合M={x|0<x<2}，然后进行交集的运算即可．考查描述法和区间表示集合的概念，交集及其运算．2.答案：D解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解a值．解：由2+ai1+i=3+i，得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i，则a=4．故选：D．3.答案：C解析：解：设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由a2a6=8a4，得a42=8a4，得a4=8，∴q2=a4a2=82=4，得q=2．∴a1=a2q =22=1．故选：C．设出等比数列的公比，由已知列式求得公比，再由等比数列的通项公式求得首项．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．4.答案：A解析：解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P−ABC，其中PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，PA=2．∴V=13×2×12×22=43．故选：A．由三视图可知：该几何体为三棱锥P−ABC，其中PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，PA=2．本题考查了三棱锥的三视图、体积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：本题考查的知识要点：程序框图的应用．属于基础题．直接利用程序框图的循环结构和整除的应用求出结果．解：根据整除的原理，利用程序框图，执行循环前，n=10，执行第一次循环n=11，余数不等于1，则执行下一次循环当n=17时，余数为2，则输出17．故选：C．6.答案：C解析：考查了三角函数相关性质，关键是先算出ω的值。

绝密★启用前 试卷类型：A2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（一）数 学 答 案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D2.A3.A4.C5.B6.B7.A8.C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.ABC 10.BC 11.BD 12.BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

14.0y = 15.,1,1,max{,};3i i j i j i j c i f f f w ---=+ 16.41 17.7825四、解答题：本题共6小题，共70分。

17. 解：（1）方案一：选条件①. 当1n =时,11312a S ==-=;当2n ≥时,2213[3(1)(1)]64n n n a S S n n n n n -=-=-----=-,且当1n =时也成立.6 4.n a n ∴=-方案二：选条件②.12,a a 为方程210160x x -+=的两根且12a a <,122,8.a a ∴== 6 4.n a n ∴=-方案三：选条件③. 由题意知,122,8.a a ==6 4.n a n ∴=-（2）3nn n b a =⨯ ,(64)3.n n b n ∴=-⨯1721(33.22n n T n +∴=-⨯+（过程略.）18. 解：（1）由余弦定理得2222cos 92235b a c ac B =+-=+-⨯=，所以b =.由正弦定理得sin sin sin sin c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5ADC ∠==. 由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos C == 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅3455⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos DAC ∠==所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.19. 解：（1） 因为E,F 为BC,PC 中点,所以EF ∥PB.而在△PAC 中,PA ²+AC ²=PC ²,所以AC ⊥PA. 又因为AC ⊥AB,所以AC ⊥平面BAP.因为BP ⊂平面BAP,所以AC ⊥BP,所以AC ⊥EF. （2） 因为,于是AP ²+AB ²=PB ²,所以AB ⊥PA.以点A 为原点，AB,AC,AP 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则12),F(12.于是AE =12),AF = (12,0).显然平面AFC 的法向量(0,0,1)m =.设平面EAF 的法向量111(,,)n x y z = ,则00n AE n AF ⋅=⋅⎪⎧⎪⎨⎩=,即1111102021y z x y ⎨⎪⎪+=⎩+=. 令11x =,则(1,n =.所以cos ||||m nm n ⋅===. 所以二面角E-AF-C.20. 解：（2） 由（1）知，2K 的观测值2200(30605060)90110801203.030 3.841k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈< 于是没有95%的把握认为思想政治学科获得A 等级与性别有关.（3）随机变量X 的所有可能的取值为0,1,23，， 根据条件得0355310101(0)12012C C P X C ====，1255310505(1)12012C C P X C ====，2155310505(2)12012C C P X C ====，3055310101(3)12012C C P X C ====，则随机变量X 的分布列为数学期望15513()0123121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（4）①设该划线分为m ，由~(75.8,36)Y N 得75.8,6μσ==， 令75.86Y Y μησ--==，则675.8Y η=+， 依题意，()0.85P Y m ≈≥，即()75.8675.80.856m P m P ηη-⎛⎫+=≈ ⎪⎝⎭≥≥，因为当~(0,1)N η时，( 1.04)0.85P η≈ ，所以( 1.04)0.85P η-≈ ， 所以75.81.046m -≈-，故69.56m ≈，取69m =． ②由①讨论及参考数据得()()()()71675.8710.80.80.788P Y P P P ηηη=+=-=≈≥≥≥≤，即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，故~(800,0.788)B ξ，800800()0.788(10.788)kk k P k C ξ-==-. 由()()()()1,1,P k P k P k P k ξξξξ==-⎧⎪⎨==+⎪⎩≥≥即80011801800800800117998008000.788(10.788)0.788(10.788),0.788(10.788)0.788(10.788),k k k k k k k k k k k kC C C C -----++-⎧--⎪⎨--⎪⎩≥≥ 解得630.188631.188k ≤≤， 又k ∈N ，所以631k =，所以当631k =时()P k ξ=取得最大值.21. 解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2． 设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32， 所以M (－1，±32)． (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2．因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M (－8km 1＋4k 2，2m 1＋4k 2． 因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程， 化得4m 2＝4k 2＋1．①因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0．因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4 k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112．所以所求直线AB 的斜率为±112．22. 解：1110000(,'()tan)cos332.3(2)()0,(0,),tan,2()(0,)(,1)'()(cos sin)(tan),,()(0,,(.)(2)ax axaxf x a x x a xaf xf xe ef x x x ei a x x af x x xππππππ---⋅⋅=⋅⋅=-=-=>=则因为所以在上必存在唯一实数使得于是易知在上单调递增,在上单调递易知若所以在上单调递增在上单调递减所以的极大值点为0000100,sin.(),()(),.tan,sin. (,.a)0, 1.n(.) ()()costxaf x xx a x xii x e xf xxff xaxxex-≤==≤≥≥+>==减.欲证明在上单调递增因为上单调递增再故只需证明易知上先证明当时有此处不展开证明试式成立正常考试时应展开证明于是在显,正常考时应展开证明证明的大值于是然最00000001111cos cos11sin1cos cos00112sincos211,coscos)cos111,.cos1,()..(.,sinx xax a xax x xa xx aaxe x exe x ex a aaf x eef x ee a x--------≥≥=⋅≥->-->--=>-=>>>所证因为于是以以下即证所11()cos[0,2,ax ae eG xx xπ--∈-=⋅令函数01000001001)()(,].2()0,()(,],22()(,],()(,]1;22()[000,].1(0)),()[0,],10,1,(,((0aa a G x G x x G eG x x e G x x G x x G x x G G x x ea G e ex G πππππ---=->=-><<><先求函数在上的零点个数因为且函数在上单调递减所以在上有唯一零点即函数在上的零点个数为再求在上的零点个数因为且函数在上单调递增于是即①当时，0010011[0,]().[0,]0;11[0,]()[0,]01()20,(),1(0)0,()[0,]1;[0,2()2a aaG x e G G x x G x x a x eG x x a x f x e a x f x e ππ---≥≤>≤<<=≥=在上没有零点,即函数在上的零点个数为②当时，在上有唯一零点,即函数在上的零点个数为1.综上当故函数即所述,时,关于的方解程故函数在上的整数的个数为的在上的整数时解的当个关于程数为,方。