哈工大结构动力学 第三章多自由度

m ?y?(t)
P(t )
m?y?(t) ? P(t) 运动方程
m P(t) ? m?y?(t)
P(t) ? [ ? m?y?(t)] ? 0
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
惯性力
一、柔度法
P(t) m ? m?y?(t) =1 ?11
y(t )
l EI
? [11 P(t) ? m?y?(t)]
结构动力学
哈尔滨工业大学 土木工程学院 结构力学教研室 张金生 2004年7月
结构动力学
目录
第一章 绪论 第二章 单自由度体系的振动分析 第三章 有限自由度体系的振动分析 第四章 实用计算方法 第五章 无限自由度体系的振动分析 第六章 动力有限元分析 第七章 分析动力学
主要参考书
《结构动力学》克劳夫 王光远等译 科学出版社 《结构动力学》赵光恒主编 水利水电出版社 《建筑结构振动计算》郭长城主编 建工出版社 《建筑结构振动计算续编》郭长城编著 建工出版社 《结构动力学》邹经湘主编 哈工大出版社 《应用分析动力学》王光远编著 科学出版社 《DYNAMICS OF STRUCTURES 》Anil K.Chopra
W
? m?y?(t)
?1
? 11
? st
y(t )
Y (t) ? y(t) ? ? st
加速度为
Y??(t) ? ?y?(t)
y(t) ? ? st ? ?11[P(t) ? W ? m?y?(t)]
? st ? W?11
y(t) ? ?11[P(t) ? m?y?(t)]
? 11
?
l3 48EI
列运动方程时可不考虑重力影响
?
?m1 ?? 0
0 ???y?1? m2?????y?2??

..
.. .
..
第一章 单自由度系统
1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守 恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；
（2） 利用牛顿第二定律 m x F ,得到系统的运动微分方程；
0
bi
2 T
T
F (t ) sin(it )dt
0
因为 F (t) H sin 2 (0t) 是偶函数，所以 bi 0 。
于是
F (t )
H 2
H 2
c os (2 0 t )
而
x(t)
H 2k
A s in(2 0 t
a
/
2)
；
式中
H
A
2m
；
( n 2 402 ) 16n202
1 2
K A A2 K B B 2
1 2
K
A
KB
rA 2 rB 2
A2 ;
系统的机械能为
图 1-36
c
）
T
U
1 4
m
A
mB rA2 A2
1 2
K
A
KB
rA 2 rB 2
A2
C；
由 d T U 0 得系统运动微分方程
dt
1 2
m A
mB rA2A
K
A
KB
rA 2 rB 2
48EIl3
；
m
48EI k1l 3 m
（b）此系统相当于两个弹簧并联, 等效刚度为:

l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
Y 1
1 1
Y
2
1 1
12
22
对称体系的振型分 成两组: 一组为对称振型
一组为反对称振型
按对称振型振动
m
l/3 l/6
=1 l/3
11
5 162
l3 EI
2 1 m11
5.692 EI / ml3
按反对称振型振动
m1 m m2 m EI
l/3 l/3 l/3 1
三.求多自由度体系频率、振型例题
例1.求图示体系的频率、振型
解
11
22
4 243
l3 EI
12
21
7 486
l3 EI
I 2 m 0
m1 m m2 m EI
l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
11m1 1/ 2
m212
0
m1 21
22m2 1/ 2
令
1
11m1
2
1 12 / 11 0 21 / 11 1
(I 2 m)Y 0
频率方程
I 2 m 0
6。求振型、频率可列幅值方程.
按振型振动时
y1 y2
Y1 sin( t ) Y2 sin( t )
yy21
Y1 2 Y2 2
sin( t sin( t
) )
FI
1
(t
)
FI 2 (t)
m1Y12 sin( t ) m2Y22 sin( t )
YY1222
s
in(2t
2)
通解
yy12((tt))
A1
YY1211

tgi=2i/i(1-i2)
(36)
将式(34)代回
{u}=ii(t){A}i ， 得
{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i
(37)
无阻尼情况自然可以当作有阻尼情况的特例，在上
述结果中令i=0得到。
4.3 多自由度的受迫振动
4.3.3 简谐荷载受迫振动反应分析步骤
左乘{A}jT、后一式左乘{A}iT，再将两式相减，由于质 量、刚度的对称性，可得
由此可得
(i2-j2){A}jT[M]{A}i=0
(11)
{A}jT[M]{A}i=0
(12)
上式乘j2，考虑到j2[M]{A}j物理意义是第j振型对应
的惯性力幅值，因此式（12）表明第j振型对应的惯性
力在第i振型位移上不做功，反之亦然。
(e)
方程两边同时左乘{A}jT，根据正交性则有
Mj*ÿj(t)+Kj*yi(t)=0
(20)
从式(20)可得(根据单自由度自由振动结果)
yi(t)=aisin(it+ci)
(f)
代回多自由度所假设的解，即可得
{u(t)}=aisin(it+ci){A}i
(21)
5）式(21)中的待定常数ai、ci可由初始条件确定。如何
22求无阻尼自由振动的振型求无阻尼自由振动的振型aaii频率频率ii33用阻尼比用阻尼比1122和频率和频率1122求瑞利阻尼的求瑞利阻尼的00和和44求求ii振型振型参与系数振型振型参与系数iiaaiittppaaiittmmaa55求求ii振型阻尼比振型阻尼比12120066求求ii振型动力系数振型动力系数iiii222244ii22ii22121277求求ii振型相位角振型相位角iiarctg2arctg2iiii2288求求ii振型广义位移振型广义位移iittiisinsiniittiiii2299将各振型广义位移代回将各振型广义位移代回uuiittaaii则得最终则得最终结果结果uuttiisinsiniittiiii2237374444441441基本原理基本原理对动力问题设单元位移场仍表示成对动力问题设单元位移场仍表示成ddnnddee只是现在只是现在ddddxtddee设杆单元的密度为设杆单元的密度为将微段惯性力将微段惯性力aaaaddxx作为作为体积力则这一单元荷载的总虚功为体积力则这一单元荷载的总虚功为dxdx3838引入单元一致质量矩阵引入单元一致质量矩阵mmeedx39394444由式3939代入形函数并积分对质量均匀分布的平代入形函数并积分对质量均匀分布的平面弯曲单元其单元一致质量矩阵面弯曲单元其单元一致质量矩阵mmee13221561354221354221564204040作业