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振动力学第4章多自由度系统的振动题解

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62 习 题

4-1 在题3-10中，设m1=m2=m，l1=l2=l，k1=k2=0，求系统的固有频率和主振型。

解：由题3-10的结果

22121111)(lgmlgmmkk，2221lgmk，2212lgmk，22222lgmkk

代入mmm21，021kk，lll21

可求出刚度矩阵K和质量矩阵M

mmM00；lmglmglmglmgK3

由频率方程02MpK，得

0322mplmglmglmgmplmgB

0242222242lgmplgmpm

lgp)22(1 ，lgp)22(2

为求系统主振型，先求出adjB的第一列

lmgmplmgadjB2

分别将频率值21pp和代入，得系统的主振型矩阵为

112)1(A 112)2(A

题4-1图 63 4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m1，求系统的频率方程。

解：设杆的转角和物块位移x为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k。

设0,1x，画出受力图，并施加物体力偶与力2111,kk，由平衡条件得到，

222111akbkk， akk221

设1,0x，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,kk，由平衡条件得到，

12kak2， akk222

得作用力方程为

0000312222221221xakakakakbkxmam

由频率方程02MKp，得

031222222212221pmakakakpamakbk

4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l的均匀刚性杆的质量为m1及m2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m1=m2=m和k1=k2=k时系统的固有频率。

解：如图取21,为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到，

llkllkI43434343211111

224343434322211122llkllkllkI

整理得到，

016916922112111lklkI 题4-3图 题4-2图 64 0)4169(1692222112122lklklkI

则刚度矩阵和柔度矩阵分别得，

221212121241169169169169klklklklklK，2222222122144491641lklklklklkadjKKK

系统的质量矩阵为222121487003100lmlmIIM

由频率方程02MKp，并代入已知条件得，

048716131691693116922222222pmlklklklpmlkl

整理得到03248131122224mkmkpp ,求得mkp6505.01，mkp6145.22。

用刚度影响系数法求解刚度矩阵。令0,121，分别由两杆的受力图，列平衡方程为

21211116943lklkk；2121169lkk

同理，令0,121得到

212221222216941692lklklklkk

212112169lkkk

 222121212141169169169169lklklklklkk

65 4-4 题4-4图所示，滑轮半径为R，绕中心的转动惯量为2mR2，不计轴承处摩擦，并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量，求系统的固有频率及相应的主振型。

解：如图选x1，x2，x3为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k。

设0,1321xxx，画出受力图，并施加物体312111,,kkk，由平衡条件得到，

kk11， 021k，kRk31

设0,1312xxx，画出受力图，并施加物体322212,,kkk，由平衡条件得到，

12k= 0， kk22，kRk32

设0,1213xxx，画出受力图，并施加物体332313,,kkk，由平衡条件得到，

kRk13，kRk23，2332kRk

则刚度矩阵和质量矩阵分别得，

2200kRkRkRkRkkRkK，22000000mRmmM

由频率方程02MKp，得

0220022222pmRkRkRkRkRmpkkRmpk

展开为0)2()(22222Rkmppmpkm，解出频率为

01p，mkp2，mkp23

由特征矩阵MKB2p的伴随矩阵的第一列，

)()22)(()22)((2222222222222)1(mpkkRpmRkRmpkRkRkpmRkRmpkadjB

并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为 题4-4图 66 RR101111111A

4-5 三个单摆用两个弹簧联结，如题4-5图所示。令m1=m2=m3=m及k1=k2=k。试用微小的角1、2和3为坐标，以作用力方程方法求系统的固有频率及主振型。

解：如图选321,,为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵K。

设0,1321，画出受力图，并施加物体于312111,,kkk，由平衡条件得到，

mglkhk211， 221khk，031k

设0,1312，画出受力图，并施加物体322212,,kkk，由平衡条件得到，

212khk， mglkhk2222，232khk

设0,1213，画出受力图，并施加物体332313,,kkk，由平衡条件得到，

013k，223khk，mglkhk233 题4-5图 67

则刚度矩阵和质量矩阵分别得，

mglkhkhkhmglkhkhkhmglkh2222222020K，222000000mlmlmlM

特征矩阵：

2222222222222 0 2 0

lmpmglkhkhkhlmpmglkhkhkhlmpmglkhB

由频率方程02MKp，得B0，

00202222222222222pmlmglkhkhkhpmlmglkhkhkhpmlmglkh

展开为，

03 2

222222222222222222222222222222222222lmpmglkhlmpmgllmpmglkhkhlmpmglkhlmpmglkhlmpmglkhlmpmglkhkhkhlmpmglkhlmpmglkhlmpmglkh0]4)(4))[((4222222222hkpmlmglkhpmlmglpmlmgl

解出频率为lgp1，222mlkhlgp，2233mlkhlgp。

由特征矩阵MKB2p的伴随矩阵的第一列， 68 42222242222222)1()())(2(hkpmlmglkhkhhkpmlmglkhpmlmglkhadjB

并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为

111201111A

4-6 题4-6图所示的简支梁的抗弯刚度为EJ，本身质量不计，以微小的平动x1、x2和x3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率及主振型。假设m1=m2=m3=m。

解：如图取广义坐标，用柔度影响系数法求柔度矩阵。

首先，仅在质量1m处施加竖直单位力F=1，其余各质量块处不受力，则1m产生的静挠度是11；2m处产生的静挠度是21；3m处产生的静挠度是31。则由材料力学知识，得到

EJl7689311，EJl76811321，EJl7687331

同理可得到其它柔度矩阵的各列，最后得到柔度矩阵为

911711161171197683EJl

得到系统的位移方程为

321332100000091171116117119768xxxmmmEJlxxx

由系统的特征矩阵IML21p，得频率方程0L，即

091171116117119 题4-6图 69 其中231,768pEJml，展开频率方程为

0)1432)(2(22

解出444.0,2,556.31321。

由特征矩阵的伴随矩阵的第一列)16(7121)9(1177121)9)(16(222Ladj，分别代入特征值，得到主振型为000.1000.1000.1414.1000.0414.1000.1000.1000.1A。

4-7 如题4-7图所示，用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动，假设m1=m2=m3=m4=m和k1=k2=k3=k，试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型。

解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为

kkkkkkkkkk00200200K，mmmm000000000000M

由频率方程02MKp，得

0002002002222mpkkkmpkkkmpkkkmpk

因此可得到频率方程

26443222361040ppmkpmkpmkm

解出

210 p,22 22kpm， 232kpm， 24(22)kpm 题4-7图

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大学物理试题-第九章振动-1

大学物理试题-第九章振动-1

大学物理（2）--标准化作业—9-1 班级 姓名 学号

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第九章 振动

一、填空题

1. 简谐运动的动力学特征是振动系统所受的力必满足的条件为 ；简谐运动的运动微分方程的形式为 =0，求解可得其运动方程为x 。

2. 对于一定的简谐运动系统，振幅A和初相位都是是确定的，可由初始时刻的位置0x和速度0v来确定：A ， 。

3. 旋转矢量法是利用 的运动来形象展示简谐运动的规律，从旋转矢量图上可以确定某时刻矢量A与Ox轴的夹角为 。

4. 角频率等于物体在单位时间内所作的完全振动次数的2倍，与振动系统本身的动力学性质有关，对于弹簧振子来说 ，对于单摆来说 。

5. 某一作简谐运动的物体，初始时刻位于2A处，并向Ox轴负方向运动，则初相位 ；若初始时刻向Ox轴正方向运动，则初相位 。

二、选择题

1. 将单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开一个微小角度，然后由静止放手任其摆动，从放手开始计时，若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆的初相位是（ ）

（A） （B） （C） （D）0

2. 某弹簧振子振幅为A，周期为T， 从平衡位置运动到2A处所需要的最短时间为（ ）

（A） 12T （B） 2T （C） 3T （D） 4T

3. 一振子沿Ox轴运动，振幅为2cm，当0t时cmx1，且向Ox轴负方向运动，当st1时cmx2，已知sT1，则此简谐运动的运动方程为（ ）

机械振动学 0727第三章 两自由度系统振动(讲)

机械振动学 0727第三章 两自由度系统振动(讲)

第三章 两自由度系统振动

§3-1 概述

单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。

两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。

所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。

以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。

在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由度振动系统) [工程实例演示]

《振动力学》习题集(含问题详解)

《振动力学》习题集(含问题详解)

《振动力学》习题集（含答案）

1.1 质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。

图E1.1

解：

系统的动能为：

222121xIlxmT

其中I为杆关于铰点的转动惯量：

2102120131lmdxxlmxdxlmIll

则有：

221221223616121xlmmxlmxmlT

系统的势能为：

2121212414121 cos12cos1glxmmglxmmglxxlgmxmglU

利用xxn和UT可得：

lmmgmmn113223

m l

m1 x 1.2 质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。

图E1.2

解：

如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：

22222243212121mRmRmRITB

222212aRkaRkU

利用n和UT可得：

mkRaRmRaRkn343422

k k A

C a

R

 1.3 转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k，2k和3k的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。

图E1.3

解：

系统的动能为：

221JT

2k和3k相当于串联，则有：

332232 , kk

以上两式联立可得：

32233232 , kkkkkk

系统的势能为：

232323212332222121212121kkkkkkkkkkU

利用n和UT可得：

3232132kkJkkkkkn

第4章 多自由度系统的振动题解

第4章 多自由度系统的振动题解

62 习 题

4-1 在题3-10中，设m1=m2=m，l1=l2=l，k1=k2=0，求系统的固有频率和主振型。

解：由题3-10的结果

22121111)(lgmlgmmkk，2221lgmk，2212lgmk，22222lgmkk

代入mmm21，021kk，lll21

可求出刚度矩阵K和质量矩阵M

mmM00；lmglmglmglmgK3

由频02MpK，得

0322mplmglmglmgmplmgB

0242222242lgmplgmpm

lgp)22(1 ，lgp)22(2

为求系统主振型，先求出adjB的第一列

lmgmplmgadjB2

分别将频率值21pp和代入，得系统的主振型矩阵为

112)1(A 112)2(A

题4-1图 63 4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m1，求系统的频率方程。

解：设杆的转角和物块位移x为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k。

设0,1x，画出受力图，并施加物体力偶与力2111,kk，由平衡条件得到，

222111akbkk， akk221

设1,0x，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,kk，由平衡条件得到，

12kak2， akk222

得作用力方程为

0000312222221221xakakakakbkxmam

由频率方程02MKp，得

031222222212221pmakakakpamakbk

4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l的均匀刚性杆的质量为m1及m2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m1=m2=m和k1=k2=k时系统的固有频率。