第三章(多自由度系统的振动)

第２９卷第１２期　２００８年１２月　井冈山学院学报（自然科学）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ）　Ｖｏ１．２９　Ｎｏ．１２　Ｄｅｃ．２０ｏ８　

多自由度系统微振动数态的仿真实现研究　

张　波　（井冈山大学数理学院，江西吉安３４３００９）　【摘要Ｊ以三种不同的方法即矩阵法、快速傅立叶变换法和拉普拉斯变换法分别求出振动系统的简振频率，并将　拉普拉斯变换法得出的系统的微分方程的解析通过ＭＡＴＬＡＢ做成动画模拟。　【关键词】多自由度系统；ＭＡＴＬＡＢ；实现　【中图分类号】ＴＨ１２３．３　【文献标识码】Ｂ　【文章编号］１６７３—４７１８（２００８）１２—００１０—０２　

０　引言　在许多机械系统，根据其工作状况，简化成一　个单自由度或两自由度系统的理论模型，以满足对　其动态特性进行分析的要求。事实上，所有机械系　统都是由具有分布参数的元件所组成，严格地说，　都是一个无限多自由度的系统（或连续系统，分布　参数系统）。根据结构特点和分析要求，把有些元件　或其部分简化成质量，而把有些元件或其部分简化　成弹簧，用有限个质量、弹簧和阻尼去形成一个离　散的、有限多的集中参数系统，这样就得到一个简　化的模型。多自由度系统是对连续系统在空间上的　离散化和逼近，由于计算机技术的广泛应用，有限　元分析和实验模态分析技术的发展，多自由度系统　的理论和分析方法显得十分重要。　１　三自由度系统微振动系统模型　如图１所示，两个弹簧连接三个质点组成的一　维振动系统的运动，其中弹簧的倔强系数为ｋ，中间　的质点的质量为　，两端点的质量为ｍ。　ｍ　ｋ　肘　ｋ　ｍ　ｂ　Ｌ＿＋　ｌ　２　如　图１　三自由度系统的微振动　以图１所示的三个质点相对自身平衡位置的位　移作为　，　，Ｘ３三自由度振动系统的广义坐标，用拉　格朗日法，可得出系统的运动微分方程：　ｍ　ｄ２ｘｌ＋ｈ　一　２＝０　Ｍｄｄ２　Ｘ３＋　ｌ＋２ｋ　２一　３＝０　（１）　

多自由度振动系统的动力学模型构建

引言：

多自由度振动系统是指由多个自由度的质点组成的系统，在这样的系统中，每个自由度都可以独立地进行运动。动力学模型的构建是研究和理解振动系统行为的基础。本文将介绍多自由度振动系统动力学模型的构建方法及应用。

一、质点模型

多自由度振动系统的最基本组成单位是质点。质点的运动可以用坐标形式以及质点的质量、刚性等参数来描述。对于一个有n个自由度的振动系统，可以通过将每个自由度的质点模型相连接构成整个系统。

二、约束关系与广义坐标

在多自由度振动系统中，质点之间相互约束，其运动不再是自由的，而是受到约束的影响。为了描述约束关系，引入广义坐标来表示系统各个自由度的相对运动。广义坐标是将实际坐标通过约束条件变换得到的坐标表示。

三、拉格朗日方程与振动方程

拉格朗日方程是多自由度振动系统的基本动力学方程。通过对系统的动能和势能进行推导和求导，可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。对于振动系统而言，通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的振动方程，进一步描述系统的运动行为。

四、模态分析与特征频率

模态分析是研究振动系统固有特性的方法。对于多自由度振动系统，可以通过模态分析得到系统的固有模态和特征频率。固有模态是指系统在自由振动时，各个自由度的振动模式。特征频率是指系统在不同固有模态下的振动频率。

五、系统的耦合与动态响应 多自由度振动系统中的各个质点之间存在耦合关系，一个自由度的振动会对其他自由度的振动产生影响。通过研究系统的耦合关系，可以得到系统的动态响应。动态响应是指系统对外界激励的响应行为，可以通过求解振动方程得到。

六、应用案例：建筑结构振动

多自由度振动系统的应用广泛，尤其在建筑结构的振动研究中起到了重要作用。通过对建筑结构的多自由度振动系统进行建模和分析，可以评估结构的稳定性、抗震性能等。振动模型的构建和分析可以提供设计和改进建筑结构的依据。

结论：

多自由度振动系统的动力学模型构建是研究振动系统行为的关键步骤。质点模型、约束关系、拉格朗日方程等是构建模型的基本元素。通过模态分析和动态响应的研究，可以深入了解振动系统的固有特性和响应行为。多自由度振动系统的应用不仅限于建筑结构，还可以在机械、电子等领域中得到广泛应用。振动系统的研究有助于优化系统设计、提高系统性能。

在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题，缺点：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。本章介绍邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法等计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算。

1、邓克利法

由邓克利（Dunkerley）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的，便于作为系统基频的计算公式 。

自由振动作用力方程：

0KXXM nRX

左乘柔度矩阵F = K -1，位移方程：0XXFM

定义D=FM 为系统的动力矩阵：0XXD

作用力方程的特征值问题：φφMK2

位移方程的特征值问题：φφD

特征值：22221n，n21

关系：2/1ii

位移方程的最大特征根：211/1，对应着系统的第一阶固有频率。

位移方程的特征方程：0ID展开：

0)()1(1111nnnnnaaa

Dtrdddann)(22111

例：

022211211dddd

0)]()([)1(21122211221122dddddd

当 M 为对角阵时：

)(FMDtrtrniiiimf1

特征方程又可写为：0)())((21n

有：niia11trDniiiimf1

niiiiniimf11 niiiiniimf1121

如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：

iiiiiimfmk12 例：两自由度系统

柔度矩阵：2111111111kkkkkF

（1）只保留 m1 时

1111kf，1121mk

（2）只保留 m2 时

122122111kkkf，21222mk

将2i代入：22221121111nnii

第１２卷第３期　２　０　１　２年９月　南通纺织职业技术学院学报（综合版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎａｎｔｏｎｇ　Ｔｅｘｔｉｌｅ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｖ０Ｉ＿１２．Ｎｏ．３　Ｓｅｐ．２　０　１　２　

基于ＭＡＴＬＡＢ的多自由度系统的振动特性分析　

蔡红健　

（南通纺织职业技术学院，南通２２６００７）　

摘要：针对多自由度系统的振动问题，以多层强梁弱柱型框架建筑结构为例，在ＭＡＴＬＡＢ平台上，分　

析了多自由度系统的自振特性，并以该结构在地震波作用下弹性阶段的动力响应为例，采用直接积分法　和改进的模态分析法，分析了系统的受迫振动，为设计人员计算系统结构动力特性提供了参考依据．　关键词：ＭＡＴＬＡＢ；　多自由度系统；振动特性　

中国分类号：ＴＵ３１１－３　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７１—６１９１（２０１２）０３—０００６—０５　

工程振动不仅是基础科学的一个重要分支，而且正走向工程科学发展之路，在建筑、机械、航空、车　

辆、水利等方面占有愈来愈重要的地位．实际物体与工程结构，其质量和弹性是连续分布的，系统具有无　

限多个自由度，为简化研究，便于计算，可将系统离散化成多自由度振动系统Ⅱ］．在解决系统的振动问题时，　

常常借助计算机来完成，但不同的计算机语言直接影响着编程的繁琐程度和解决问题的快慢程度．　

ＭＡＴＬＡＢ作为一种高效的工程语言，克服了Ｂａｓｉｃ、Ｆｏｒｔｒａｎ、Ｃ等传统语言程序冗长、不易被一般用户读懂的　

缺点，将计算、可视化和编程功能集于一个易于使用的环境．ＭＡＴＬＡＢ又具有丰富的数学函数库，大量繁杂　

的数学运算可通过调用内部函数直接求解，提高了编程效率．ＭＡＴＬＡＢ还是一个交互式系统，基本的数据　

元素是没有维数限制的阵列闭，这又给解决多自由度系统振动问题提供了有力支撑．本文以多层强梁弱柱型　

框架结构的简化模型为例，分析多自由度系统的振动特性，并且用ＭＡＴＬＡＢ编程实现，最后得出了结论．