【数学】福建版高三数学上学期第一次月考试题理
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第一次月考数学理试题【福建版】
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷满分150分．考试时间120分钟．
参照公式：
样本数据x1，x2， …，xn的标准差
s= 其中为样本平均数
锥体体积公式 V=Sh 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式V=Sh 其中S为底面面积，h为高
球的表面积、体积公式 ， 其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1．如图，在复平面内，若复数对应的向量分别是，
则复数所对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2． 一个简单几何体的主视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为 ① 长、宽不相等的矩形；
② 正方形；③ 圆；④ 三角形． 其中正确的是
A． ①② B． ②③
C． ③④ D． ①④
3．命题“对任意，均有”的否定为
A．对任意，均有
B．对任意，均有
C．存在，使得 D．存在，使得
4． 对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据（，）（i=1，2，…，8），其回归直线方程是：，且，则实数的值是
A． B． C． D．
5． 已知为两条不同的直线，为一个平面。若，则“”是“”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件
6． 已知在各项均不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则等于
A．2 B． C． 8 D． 16
7． 已知正方体的棱长为2，在正方体的外接球内任取一点，则该点落在正方体内的概率为
A． B． C． D．
8． 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是
A．（42，56]
B．（56，72]
C．（72，90]
D．（42，90）
9． 已知向量 若 则的值为 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. A． B．
C． D．
10． 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“集合”． 给出下列4个集合：
① ②
③ ④
其中所有“集合”的序号是
A． ①②④ B． ②③ C． ③④ D．①③④
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
11． 已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则此双曲线的实轴长为 ．
12． 设变量、满足约束条件，则的最大值为 ．
13． 若二项式的展开式中的常数项为，则= ．
14． 已知()41xfx，()4xgx．若偶函数()hx满足()()()hxmfxngx（其中m,n为常数），且最小值为1，则mn ．
15．对于30个互异的实数，可以排成m行n列的矩形数阵，右图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一．将30个互异的实数排成m行n列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为12,,maaa，并设其中最小的数为a；把每列中最小的数选出，记为12,,nbbb，并设其中最大的数为b．
两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：
①a和b必相等； ②a和b可能相等；
③a可能大于b； ④b可能大于a．
以上四个结论中，正确结论的序号是_______（请写出所有正确结论的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分
组区间是:45,40,40,35,35,30,30,25,25,20．
（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在40,35岁的人数;
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望．
17．（本小题满分13分）
某同学用“五点法”画函数)2,0()sin()(xAxf在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
0
0 0 0
（Ⅰ）请写出上表的1x、2x、3x，并直接写出函数的解析式； 126126126xxxyyyzzz文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. （Ⅱ）将()fx的图象沿x轴向右平移23个单位得到函数()gx的图象，P、Q分别为函数()gx图象的最高点和最低点（如图），求OQP的大小．
18．（ 本小题满分13分）
如图直三棱柱111ABCABC中，12,ACCCABBC，D是1BA上一点，且AD平面1ABC．
（I）求证：BC平面11ABBA；
（Ⅱ）在棱1BB是否存在一点E，使平面AEC与平面11ABBA的夹角等于60，若存在，试确定E点的位置，若不存在，说明理由．
19．（本小题满分13分）
已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的两个焦点分别为1F，2F，离心率为12，过1F的直线l与椭圆C交于M，N两点，且2MNF的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．
20．（本小题满分14分）
已知函数2()lnfxxx．
（I）若函数()()gxfxax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）在（1）的条件下，若1a，3()3xxhxeae，[0,ln2]x，求()hx的极小值；
（Ⅲ）设2()2()3()FxfxxkxkR，若函数()Fx存在两个零点,(0)mnmn，且满足02xmn，问：函数()Fx在00(,())xFx处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．
21． 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
把曲线2221xy先进行横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变的伸缩变换，再做关于x轴的反射变换变为曲线C，求曲线C的方程．
（2）（本小题满分7分）选修4一4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：1xtykt（t为参数），以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：2sin4cos 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. ①写出直线l和曲线C的普通方程。
②若直线l和曲线C相切，求实数k的值。
（3）（本小题满分7分）选修4一5：不等式选讲
设函数f（x）=|x－4|+3x,
（Ⅰ）求f（x）的最小值m
（Ⅱ）当mcba32 （a,b,c∈R）时,求222cba的最小值．
参考答案
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（Ⅰ）321x，342x，3103x ……………………3分
()3sin()23fxx所以 ……………………6分
（Ⅱ）将()fx的图像沿x轴向右平移23个单位得到函数()3sin2gxx…………7分
因为P、Q分别为该图像的最高点和最低点，
所以(1,3),(3,3)PQ…………………………………………9分
所以2,4,OPPQ…………………………………………10分
222312,cos22OQPQOPOQOQQP………………12分
所以6…………………………………………13分
法2：60,60,30=30ooooPOxPQOx可以得所以
法3：利用数量积公式(2,23)(3,3)3cos241293QPQOQPQO
，=30o所以
19．解：（I）由题意知，48a，所以2a．
因为12e 所以222222314baceaa， 所以23b．
所以椭圆C的方程为22143xy． ------4分
（II）由题意,当直线AB的斜率不存在，此时可设00(,)Axx，00(,)Bxx．
又A，B两点在椭圆C上，
所以2200143xx，20127x． 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 所以点O到直线AB的距离1222177d． --------6分
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm．
所以22222224128(1)03434mkmkmkk．-----------11分
整理得)1(12722km，满足0．
所以点O到直线AB的距离
2||12221771mdk为定值． --------13分
20．解：（Ⅰ）21()()ln,()2.gxfxaxxxaxgxxax
由题意，知()0,(0,)gxx恒成立，即min1(2)axx．…… 2分
又10,222xxx，当且仅当22x时等号成立．
故min1(2)22xx，所以22a． ……4分
