福建省三明一中高三数学上学期第一次月考试题

福建省三明一中高三数学上学期第一次月考试题

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2 / 9 福建省三明一中2021届高三数学上学期第一次月考试题

一、单项选择题：

1．已知复数3i2z，则z（

）．

A．12

B．1 C．3

D．2

2．下列函数中，周期为2π的奇函数为( ）．

A．sincos22xxy B．2sinyx

C．tan2yx

D．sin2cos2yxx

3．在ABC△中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若222bacab，则角C为（ ）．

A．π6

B．π4

C．π3 D．2π3

4．如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行,且各边都被交点三等分．若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为（ ）．

A．14 B．13 C．12 D．23

5．已知sinπ3cos，π2，则等于（ )．

A．π6 B．π3

C．π6 D．π3

6．将两枚均匀的骰子投掷一次所得的点数分别为m，n．已知6mn，则7mn的概率为（ ）．

A．17 B．16 C．213 D．313

7．ABC△中90C,2AC,P为线段BC上任一点，则APAC（ ）．

A．2 B．4 C．8 D．不确定

8．已知函数2sinfxx在区间ππ,34上的最小值是2，则的取值范围是( )．

A．3,2,2 B．32,2 福建省三明一中高三数学上学期第一次月考试题

3 / 9 C．3,2,2

D．3,22

二、多项选择题：每小题有多个正确选项．

9．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．

A．234iiii0

B．3i1i

C．若2z=12i,则复平面内z对应的点位于第四象限

D．已知复数z满足11zz，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中1OA，则以下结论正确的是（ ）．

A．0HDBF B．22OAOD

C．2OBOHOE D．22AHFH

11．在ABC△中，角A，B,C所对的边分别为a,b，c，以下说法中正确的是（ ）．

A．若AB，则sinsinAB

B．若4a，5b，6c，则ABC△为钝角三角形

C．若5a,10b，π4A，则符合条件的三角形不存在

D．若coscossinbCcBaA，则ABC△为直角三角形

12．设函数πsin05fxx，已知fx在0,2π有且仅有5个零点．下面论述正确的是（ )．

A．fx在0,2π有且仅有3个极大值点 B．fx在0,2π有且仅有2个极小值点

C．fx在π0,10单调递增 D．的取值范围是1229,510 福建省三明一中高三数学上学期第一次月考试题

4 / 9 三、填空题：

13．62xy展开式中含24xy项的系数为______．（用数学作答）

14．来自甲、乙、丙3个班级的5名同学站在一排照相,其中甲班有2名同学，乙班有2名同学,丙班有1名同学,则仅有甲班的同学相邻的站法种数为______．

15．已知平面向量a,b,其中2a，1b,π,3ab,则2ab______；若t为实数，则atb的最小值为______．

16．在扇形OAB中，π3AOB,C为弧AB上的动点，若OCxOAyOB,则3xy的取值范围为______．

四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤．

17．已知1,2a，1,3b，3,2c．

(1）求向量a与2ab所成角的余弦值；

（2）若2//abbkc，求实数k的值．

18．已知函数21fxab，其中向量3sin,cos22xxa,cos,cos22xxb．

（1）若ABC△为锐角三角形,求fA的取值范围；

（2)保持yfx上每点的纵坐标不变，将横坐标缩小到原来的一半得到函数ygx,求ygx在区间π0,2的单调递增区间．

19．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中7a，8c．

（1）若43sin7C,求角A；

(2）若bc，且ABC△的面积为103，求ABC△的周长．

20．某上市公司成立二十周年期间举行了一场“公司是我家"的知识竞赛．为了解本次竞赛成绩的情况，从中随机抽取了部分职工的成绩(单位：分，满分为100分)作为样本进行统计,请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图回答下列问题． 福建省三明一中高三数学上学期第一次月考试题

5 / 9 组别 分组 频数 频率

第1组 50,60 8 0.16

第2组 60,70 a

第3组 70,80 20

0.40

第4组 80,90 0.08

第5组 90,100 2 b

合计

（1）求出a，b,x，y的值；

（2)在抽取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的职工中随机抽取2名职工进行宣讲,求所抽取的2名职工来自同一组的概率；

（3）在（2）的条件下，用表示所抽取的2名职工来自第5组的人数，求的分布列及数学期望．

21．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2sincoscosbCaCcA，2π3B，3c．

（1）求角C；

（2）若点E满足2AEEC，求BE的长．

22．一台机器的重要系统由5个元件组成，各个元件是否正常工作相互独立，且每个元件正常工作的概率均为12上,若系统中有多于一半的元件正常工作，则系统就能够正常工作．

(1）求该系统不能正常工作的概率；

（2）为提高该系统的工作性能，拟增加两个功能一样的其它品牌元件,且每个元件正常工作的概率均为p，则p满足什么条件时，可以提高整个系统的工作性能？

福建省三明一中高三数学上学期第一次月考试题

6 / 9 参考答案

1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．A

9．AD 10．ABC 11．ACD 12．ACD

13．60 14．24 15．（1)2 （2）3 16．1,3

17．解：(1)∵1,2a，1,3b，∴21,8ab．

设向量a与2ab所成角为，

则211283cos13135652aabaab，

所以向量a与2ab所成角的余弦值为31313．

(2）∵21,8ab,

又∵31,32bkckk,

∵2//abbkc可知132831kk，解得522k．

18．解:（1)22123sincoscos1222xxxfxab

π3sincos2sin6xxx．

由已知π02A,πππ663A，

即1π3sin262A，∴13fA．

(2）依题意，π2sin26gxx，

令πππ2π22π262kxk，kZ时，函数单调递增，

解得ππππ63kxk，

联立ππππ63π02kxkx，解得π03x， 福建省三明一中高三数学上学期第一次月考试题

7 / 9 即ygx在区间π0,2的单调递增区间为π0,3．

19．解：(1）由正弦定理可得sin7433sin872aCAc,

∵ac，∴AC，所以π02A，∴π3A．

（2)由已知1sin28sin1032ABCSacBB△，

∴5sin314B．

又bc，∴BC，∴π0,2B，

∴211cos1sin14BB，

由余弦定理得,22222112cos782782514bacacB，

∴5b，

所以ABC△的周长为20．

20．解:(1)由题意可知280.1610110.400.160.08108882020.080.160.16bbyzba

解得16a，0.04b,0.032x，0.004y．

（2）由题意可知,第4组有4人，第5组有2人,共6人．

从竞赛成绩在80分以上（含80分）的职工中随机抽取2名职工，有2615C种情况．

设事件:A随机抽取的2名职工来自同一组，则222471515CCPA，

故随机抽取的2名职工来自同一组的概率为715．

（3）由（2）可知，的所有可能取值为0，1，2，

2420155CP,1142811515CCP，22121515CP， 福建省三明一中高三数学上学期第一次月考试题

8 / 9 所以的分布列为 

0

1

2

P 25 815 115

∴2812012515153E．

21．解：(1)法一：由题设及正弦定理得2sinsinsincossincosBCACCA，

又sincossincossinsinπsinACCAACBB,

所以2sinsinsinBCB．

由于3sin02B，所以1sin2C．

又π03C,所以π6C．

法二：由题设及余弦定理可得2222222sin22abcbcabCacabbc，

化简得2sinbCb．

因为0b，所以1sin2C．

又π03C，所以π6C．

（2）由正弦定理易知23sinsinbcBC，解得3b．

又2AEEC，所以2233AEACb，即2AE．

在ABC△中，因为2π3ABC，π6C，所以π6A,

所以在ABE△中,π6A，3AB,2AE，

由余弦定理得22π32cos34232162BEABAEABAE，

所以1BE．

22．解：(1)设系统不能正常工作的概率为1p，

依题意，501215551122pCCC．

(2）设增加两个新元件后，该系统能正常工作的概率为2p，

若两个新元件都不能正常工作，则系统能够正常工作的概率为