福建省高三数学上学期第三次月考试卷 理

- 1 - 四地六校2014-2015学年上学期第三次月考试卷

高三理科数学

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，只有一项是符合题目要求的。

1、已知R为实数集，}02{2xxxM,}1{xyxN，则)(NCMR（ ）

A．{x|0

2．设)cos,21(),1,(sinxbxa,且ba//，则锐角x为（ ）

A．3 B． 4 C．6 D．12

3．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）

A．33a B. 43a C. 63a D. 123a

4．在等比数列}{na中，baaaaaa161565),0(，则2625aa的值是（ ）

A．ab B．22ab C.ab2 D．2ab

5．在各项都为正数的等差数列}{na中，若a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5·a6的最大值等于（ ）

A. 3 B. 6 C.9 D. 36

6．设l，m，n表示三条直线，，，表示三个平面，给出下列四个命题：

①若l⊥，m⊥，则l∥m；

②若m，n是l在内的射影，m⊥l，则m⊥n；

③若m，m∥n，则n∥；

④若⊥，⊥，则∥. 其中真命题为（ ）

A．①② B．①②③ C．①②③④ D．③④

7.将函数xxysincos3的图像向右平移n个单位后所得图像关于y轴对称，则n的最小正值是（ ）

A．6 B．2 C． 67 D．3

8．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，

M为棱BB1的中点，则下列结论中错误．．的是（ ）

A.D1O∥平面A1BC1 B. D1O⊥平面AMC

C.异面直线BC1与AC所成的角等于60° D.二面角M－AC－B等于45°

9.已知函数f(x)＝201543212015432xxxxx，则下列结论正确的是

- 2 - 3 4 2

俯视图 主视图 左视图 1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

…………

第14题图 A. f(x)在(0,1)上恰有一个零点 B. f(x)在(－1,0)上恰有一个零点

C. f(x)在(0,1)上恰有两个零点 D. f(x)在(－1,0)上恰有两个零点

10．某同学在研究函数()1xfxx (xR) 时，分别给出下面几个结论：

①等式()()0fxfx在xR时恒成立； ②函数 f (x) 的值域为 (－1,1)；

③若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)； ④函数()()gxfxx在R上有三个零点.

其中正确结论的序号是（ ）

A．①② B．①②③ C． ①③④ D．①②③④

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

11．600tan 。

12.若变量x,y满足约束条件020202yxyxyx，则yxz2的最大值等于

。

13．如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 ．

14.如图，自然数列按正三角形图顺序排列，如数9排在第4行第3个位置；设数2015排在第m行第n个位置，则nm

15 .已知函数,10)(xxf若对任意实数pnm,,,有)()()(nfmfnmf,

)()()()(pfnfmfpnmf,则p的最大值为

- 3 - 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分13分）

在数列na中，12a，1nnaacn（*Νn，常数0c），且1a，2a，3a成等比数列．

（1）求c的值；

（2）求数列na的通项公式．

17.（本小题满分13分）

已知函数2()sincos3cos333xxxfx－32

（1）求()fx的最小正周期及其对称中心；

（2）如果三角形ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数(3)fx的值域。

18．（本小题满分13分）

如图，三棱柱111CBAABC中，1AA面ABC，

ACBC,2ACBC，31AA，D为AC的中点。

(I)求证：//1AB面1BDC；

(Ⅱ)求二面角CBDC1的余弦值

19.（本小题满分13分）

如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，

直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4.

（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；

（Ⅱ）试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30°.

- 4 - 20.（本小题满分14分）

设曲线)0(21323acxbxaxy在点x处的切线斜率为)(xk，且0)1(k。

对一切实数x，不等式)1(21)(2xxkx恒成立

（I）求)1(k的值。

（II）求函数)(xk的表达式；

（III）求证：22)(1)2(1)1(1nnnkkk

21.（本题满分14分）

请考生在第（I）、（II）、（III）题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分。

I. 选修4—2 矩阵与变换

已知矩阵3241A

（1）求A的逆矩阵A-1 ；

（2）求A的特征值及对应的特征向量。

II．选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程：tytx21（t为参数）和圆C的极坐标方程：)4sin(22。

（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）判断直线l和圆C的位置关系。

III．选修4－5：不等式证明选讲

将12cm长的细铁线截成三条长度分别为a、b、c的线段，

（1）求以a、b、c为长、宽、高的长方体的体积的最大值；

（2）若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值。

四地六校第三次月考试卷参考答案

一、选择题

1．B 2．B 3．C 4．C 5．C 6．A 7．A 8．D 9．B 10.B

二、填空题

- 5 - 11.3 12．6； 13.29 14. 125 15.lg34

三、解答题

16、解：（1）由题知，12a，22ac，323ac， ………2分

因为1a，2a，3a成等比数列，所以2(2)2(23)cc， ………4分

解得0c或2c，又0c，故2c． ………6分

（2）当2n时，由1nnaacn得

21aac，

322aac，

…

1(1)nnaanc，

以上各式相加，得1(1)[12...(1)]2nnnaancc， ………9分

又12a，2c，故22(2)nannn， ………11分

当1n时，上式也成立， ………12分

所以数列na的通项公式为22nann（*Νn）． ………13分

17、解：(1)233cos33cos3sin)(2xxxxf23232cos1332sin21xx

=)332sin(3sin32cos3cos32sinxxx…………….4分

fx的最小正周期为2323T ……………5分

fx的对称中心为3,022k kz …………….6分

(2) 2bac 2222221cos2222acbacacacacxacacac ………..8分

又0,x  ]3,0(x ……………9分

而323fxsinx ……………10分

由]3,0(x，得2,33x

320,13fxsinx ……………….13分

- 6 - 18．解：（1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点，

∵D为AC中点， ∴OD∥B1A ………………2分

又B1A平面BDC1，OD平面BDC1

∴B1A∥平面BDC1 ………………4分

(也可证明nAB1且AB1平面BDC1)

（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1

∴CC1⊥面ABC 则BC⊥平面AC1，CC1⊥AC

如图以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，1CC所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) ………………7分

∴设平面1CDB的法向量为)z,y,x(n，由11,nCDnCB

得0011BCnDCn，即03203zyzx，取2z， 则n(6,3,2) ………………9分

又平面BDC的法向量为1CC(0,0,3) ………………10分

cos72|n||CC|nCCn,CC111 ………………11分

又二面角C1—BD—C为锐二面角 ………………12分

∴二面角C1—BD—C的余弦值为27 ………………13分

19．解：