高中数学课时分层作业2量词(含解析)新人教B版选修11

高中数学人教b 版高二选修1-1学业测评：1-1-2_量词_word 版含解析学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列命题为存在性命题的是( )A ．奇函数的图象关于原点对称B ．正四棱柱都是平行六面体C ．棱锥仅有一个底面D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2－2x －3≥0【解析】 A ，B ，C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以D 是存在性命题，故选D.【答案】 D2．下列命题为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，cos x <2B ．∃x ∈Z ，log 2(3x －1)<0C ．∀x >0,3x >3D ．∃x ∈Q ，方程2x －2＝0有解【解析】 A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1<2，所以A 是真命题；B中，log 2(3x －1)<0⇔0<3x －1<1⇔13<x <23，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0⇔x ＝2∉Q ，所以D 是假命题．故选A.【答案】 A3．有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p3：∀x∈[0，π]，1－cos 2x2＝sin x；p4：sin x＝cos y⇒x＋y＝π2.其中为假命题的是()A．p1，p4B．p2，p4 C．p1，p3D．p2，p3【解析】sin2x2＋cos2x2＝1恒成立，p1错；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，p2对；当x∈[0，π]时，sin x≥0，∴1－cos 2x2＝sin2x＝sin x，p3对；当x＝23π，y＝π6时，sin x＝cos y成立，但x＋y≠π2，p4错．【答案】 A4．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N＋，x为29的约数．其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是存在性命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故③为真命题；对于④，这是存在性命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以④为真命题．【答案】 C5．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)【解析】 f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a >0)，∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b 2a ，当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值，∴∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，从而A ，B ，D 为真命题，C 为假命题．【答案】 C二、填空题6．给出下列四个命题：①a ⊥b ⇔a ·b ＝0；②矩形都不是梯形；③∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________. 【解析】 由全称命题的定义可知①②④为全称命题，而③为存在性命题．【答案】 ①②④7．已知命题：“∃x 0∈[1,2]，使x 20＋2x 0＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是______________．【解析】 当x ∈[1,2]时，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1是增函数，所以3≤x 2＋2x ≤8，由题意有a ＋8≥0，∴a ≥－8.【答案】 [－8，＋∞)8．下列命题：①存在x <0，使|x |>x ；②对于一切x <0，都有|x |>x ；③已知a n ＝2n ，b n ＝3n ，对于任意n ∈N *，都有a n ≠b n ；④已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3n }，对于任意n ∈N *，都有A ∩B ＝∅.其中，所有正确命题的序号为________．【解析】 命题①②显然为真命题；③由于a n －b n ＝2n －3n ＝－n <0，对于∀n ∈N *，都有a n <b n ，即a n ≠b n ，故为真命题；④已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3n }，如n ＝1,2,3时，A ∩B ＝{6}，故为假命题．【答案】 ①②③三、解答题9．判断下列全称命题或存在性命题的真假．(1)∀x ∈R ，x 2＋1≥1；(2)有一个实数x ，使得x 2＋2x ＋3＝0；(3)存在两个相交平面垂直于同一条直线．【解】 (1)∀x ∈R ，总有x 2≥0，因而x 2＋1≥1，所以全称命题“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”是真命题．(2)由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使得x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在，所以存在性命题“有一个实数x ，使得x 2＋2x ＋3＝0”是假命题．(3)由于垂直于同一直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线，所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．10．若x ∈[－2,2]，关于x 的不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．【解】 设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则此问题转化为当x ∈[－2,2]时，f (x )min ≥0即可．①当－a 2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上单调递增， f (x )min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73. 又因为a >4，所以a 不存在．②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时， f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－4a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2. 又因为－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a 2>2，即a <－4时， f (x )在[－2,2]上单调递减，f (x )min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7.又因为a <－4，所以－7≤a <－4.综上所述，a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．[能力提升]1．东、豫北十所名校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，若命题“∃x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，使得f (x 1)>f (x 2)”为真命题，则下列结论一定正确的是( )A ．a ≥0B ．a <0C ．b ≤0D ．b >1【解析】 函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足∃x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，使得f (x 1)>f (x 2)为真命题，则必有a <0，故选B.【答案】 B2．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是( )A ．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan αB ．存在实数x ，使sin x ＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β【解析】 B 是存在性命题，但为假命题，C 是全称命题，但为假命题，D 为全称命题且为假命题．【答案】 A3．已知函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若对任意x 1∈[－1,3]，存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．【解析】 因为对任意x 1∈[－1,3]，f (x 1)∈[m,9＋m ]，即f (x )min ＝m .存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)≥g (x 2)成立，只要满足g (x )min ≤m 即可，而g (x )是单调递减函数，故g (x )min ＝g (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，得m ≥14. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 4．已知a >12且a ≠1，条件p ：函数f (x )＝log (2a －1)x 在其定义域上是减函数；条件q ：函数g (x )＝x ＋|x －a |－2的定义域为R ，如果p ∨q 为真，试求a 的取值范围. 【解】 若p 为真，则0<2a －1<1，得12<a <1.若q 为真，则x ＋|x －a |－2≥0对∀x ∈R 恒成立．记f (x )＝x ＋|x －a |－2，则f (x )＝⎩⎨⎧ 2x －a －2，x ≥a ，a －2，x <a ，所以f (x )的最小值为a －2，即q 为真时，a －2≥0，即a ≥2.于是p ∨q 为真时，得12<a <1或a ≥2，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)．。

学业分层测评（建议用时:45分钟）[学业达标］一、选择题1．下列命题为存在性命题的是( )A．奇函数的图象关于原点对称B．棱台只有两个面平行C．棱锥仅有一个底面D．存在大于等于3的实数x,使x2－2x－3≥0【解析】A，B，C中命题都省略了全称量词“所有",所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是存在性命题,故选D。

【答案】D2．下列命题为真命题的是（）A．∀x∈R,cos x〈2B．∃x∈Z，log2(3x－1)〈0C．∀x>0,3x〉3D．∃x∈Q，方程错误!x－2＝0有解【解析】A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1<2,所以A是真命题;B中,log2（3x－1)〈0⇔0〈3x－1<1⇔错误!〈x〈错误!，所以B是假命题；C中,当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；D中，错误! x－2＝0⇔x＝错误!∉Q ,所以D是假命题．故选A。

【答案】A3．有以下四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2错误!＋cos2错误!＝错误!;p2：∃x，y∈R，sin（x－y）＝sin x－sin y；p3：∀x∈[0,π］，错误!＝sin x；p4：sin x＝cos y⇒x＋y＝错误!。

其中的假命题是（)【导学号：15460005】A．p1,p4B．p2,p4C．p1,p3D．p2,p3【解析】sin2错误!＋cos2错误!＝1恒成立,p1错；当x＝y＝0时，sin（x－y）＝sin x－sin y,p2对；当x∈[0，π］时，sin x≥0,∴错误!＝错误!＝sin x，p3对;当x＝错误!π,y＝错误!时,sin x＝cos y成立，但x＋y≠错误!，p4错．【答案】A4．有下列四个命题:①∀x∈R，2x2－3x＋4〉0；②∀x∈｛1，－1，0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N＋,x为29的约数．其中真命题的个数为( ）A．1 B．2C．3 D．4【解析】对于①，这是全称命题,由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0,所以2x2－3x＋4〉0恒成立，故①为真命题;对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1〉0不成立，故②为假命题;对于③，这是存在性命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故③为真命题；对于④，这是存在性命题，当x＝1时，x为29的约数成立,所以④为真命题．【答案】C5．下列命题不是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法的是（）A．有一个x∈R，使x2＞3B．对有些x∈R，使x2＞3C．任选一个x∈R，使x2＞3D．至少有一个x∈R，使x2＞3【解析】选项C中“任选一个”是全称量词，没有“∃”的含义．【答案】C二、填空题6．给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0;②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．【解析】由全称命题的定义可知①②④为全称命题，而③为存在性命题．【答案】①②④7．已知命题：“∃x0∈[1,2]，使x错误!＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是______．【解析】当x∈［1，2］时,x2＋2x＝（x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8。

课时分层作业(一) 集合(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列各组对象不能构成集合的是( ) A ．关于x 的方程x 2－1＝0的实数解 B ．2020年高考数学难题 C ．所有有理数 D ．小于π的正整数B [B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.]2．集合M 是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( ) A ．5∈M B ．0M C ．1∈MD ．－π2∈MD [5>1，故A 错；－2<0<1，故B 错；1不小于1，故C 错；－2<－π2<1，故D 正确．]3．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C ．37D ．7D [由题意知a 应为无理数，故a 可以为7.]4．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形D [因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即△ABC 不可能是等腰三角形，故选D.]5．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集A[由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.]二、填空题6．给出下列说法：①0∈；②如果a，b∈Z，则a－b∈Z；③所有正方形构成的集合是有限集；④如果a∈N，则－a N.其中正确的是________．(填序号)②[0，故①错；②正确；③是无限集；当a＝0时－a＝0∈N，④错误．]7．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．{k|k≠±1}[∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的互异性可知k2≠1，解得k≠±1.]8．用符号“∈”或“”填空：(1)设集合B是小于11的所有实数的集合，则23________B，1＋2 ________B；(2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C，5________C；(3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D，(－1，1)________D.(1)∈(2)∈(3)∈[(1)∵23＝12>11，∴23B；∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11，∴1＋2<11，∴1＋2∈B.(2)∵n是正整数，∴n2＋1≠3，∴3C；当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C.(3)∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1是数，∴－1D；又(－1)2＝1，∴(－1，1)∈D.]三、解答题9．设A是由满足不等式x<6的自然数构成的集合，若a∈A且3a∈A，求a 的值．[解]∵a∈A且3a∈A，∴⎩⎨⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.10．已知集合M 是由三个元素－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4组成的，若2∈M ，求x .[解] 当3x 2＋3x －4＝2，即x 2＋x －2＝0时，得x ＝－2，或x ＝1，经检验，x ＝－2，x ＝1均不符合题意．当x 2＋x －4＝2，即x 2＋x －6＝0时，得x ＝－3或x ＝2. 经检验，x ＝－3或x ＝2均符合题意． ∴x ＝－3或x ＝2.11．(多选题)已知集合M 是方程x 2－x ＋m ＝0的解组成的集合，若2∈M ，则下列判断正确的是( )A ．1∈MB ．0MC ．－1∈MD ．－2∈MBC [由2∈M 知2为方程x 2－x ＋m ＝0的一个解，所以22－2＋m ＝0，解得m ＝－2.所以方程为x 2－x －2＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝2. 故方程的另一根为－1.]12．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含元素( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个A [当x >0时，x ＝|x |＝x 2，－3x 3＝－x <0，此时集合共有2个元素， 当x ＝0时，x ＝|x |＝x 2＝－3x 3＝－x ＝0，此时集合共有1个元素， 当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，－3x 3＝－x ，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素，故选A.]13．(一题两空)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________，集合P 中的元素分别是________．6 3，4，5 [∵x ∈N ，2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素，∴结合数轴(图略)知a ＝6，此时集合P 中的元素是3，4，5.]14．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．3 [当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋bb ＝1＋1＝2； 当a ，b 同负时，|a |a ＋|b |b ＝－a a ＋－bb ＝－1－1＝－2； 当a ，b 异号时，|a |a ＋|b |b ＝0.∴|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素共有3个．]15．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．[解] 根据题意，由2∈A 可知，11－2＝－1∈A ； 由－1∈A 可知，11－（－1）＝12∈A ；由12∈A 可知，11－12＝2∈A . 故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.。

课时分层作业(二) 弧度制和弧度制与角度制的换算(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．－25π6的角是( ) A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角 D [因为－25π6＝－π6－4π， 所以－25π6与－π6的终边一样，为第四象限的角．] 2．假设2 rad 的圆心角所对的弧长为4 cm ，那么这个圆心角所对的扇形面积是( )A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．2π cm 2 A [r ＝l |α|＝42＝2(cm)，S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2)．] 3．与30°角终边一样的角的集合是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝2k π＋π6，k ∈Z D [∵30°＝30×π180 rad ＝π6rad ， ∴与30°终边一样的所有角可表示为α＝2k π＋π6，k ∈Z ，应选D.]4．扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，那么扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 C [设扇形的半径为r ，弧长为l ，那么由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.]5．假设一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数为( )A ．π3B ．2π3C ． 3D ．2C [设圆的半径为r ，那么圆内接正三角形边长为3r ，所以圆心角的弧度数为3r r ＝3.]二、填空题6．把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π))的形式是________．－4π＋56π [－570°＝－⎝⎛⎭⎪⎫570×π180rad ＝－196π rad， ∴－196π＝－4π＋56π.] 7．一扇形的周长为π3＋4，半径r ＝2，那么扇形的圆心角为________． π6 [设扇形的圆心角为α，那么π3＋4＝2r ＋2α. 又∵r ＝2，∴α＝π6.] 8．经过点P (a ，a )(a ≠0)的角α的集合是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k π＋π4，k ∈Z [当a >0，点P (a ，a )在第一象限， 此时α＝2k π＋π4，k ∈Z ； a <0，点P (a ，a )在第三象限，此时α＝2k π＋54π，k ∈Z ， 故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k π＋π4，k ∈Z .] 三、解答题9．角α的终边与－253π的终边关于x 轴对称，求角α3在(－π，π)内的值． [解] ∵253π与－253π的终边关于x 轴对称，且253π＝8π＋π3， ∴α与π3的终边一样．∴α＝2k π＋π3(k ∈Z )，α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )． ∵－π<α3<π，∴－π<2k π3＋π9<π. 当k ＝－1时，α3＝－5π9∈(－π，π)； 当k ＝0时，α3＝π9∈(－π，π)； 当k ＝1时，α3＝7π9∈(－π，π)． ∴在(－π，π)内α3的值有三个，它们分别是－5π9，π9和7π9. 10．一个扇形的周长是40，(1)假设扇形的面积为100，求扇形的圆心角；(2)求扇形面积S 的最大值．[解] (1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，那么由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝40，12lr ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝20，r ＝10，那么α＝l r＝2(rad)．故扇形的圆心角为2 rad.(2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ，故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100，故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.[等级过关练]1．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，那么该弧所对的圆心角是原来的( )A.12倍 B ．2倍 C.13倍 D ．3倍D [设圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为l r ，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，那么弧度数变为32l 12r ＝3·l r ，即弧度数变为原来的3倍．] 2．假设α是第三象限的角，那么π－α2是( ) A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角B [因为α为第三象限的角，所以有2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ， k π＋π2<α2<k π＋34π，k ∈Z ， －k π－34π<－α2<－k π－π2，k ∈Z ， 故－k π＋π4<π－α2<－k π＋π2，k ∈Z . 当k 为偶数时，π－α2在第一象限； 当k 为奇数时，π－α2在第三象限，应选B.] 3．(1)把67°30′化成弧度＝________.(2)把35π 化成度＝________. (1)38π (2)108° [(1)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝38π. (2)35π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π5×180π° ＝108°.] 4．一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________．π－2 2(π－2) [由题意知r ＝2，l ＋2r ＝πr ，∴l ＝(π－2)r ， ∴圆心角α＝l r ＝(π－2)r r＝π－2(rad)， 扇形面积S ＝12lr ＝12×(π－2)·r ·r ＝2(π－2)．]5．半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .[解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，∴α＝∠AOB ＝60°＝π3. (2)由(1)可知α＝π3，r ＝10， ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3， 而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032， ∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.。

课时分层作业(十一) 全概率公式、贝叶斯公式(建议用时：40分钟)一、选择题1．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8.则甲正点到达目的地的概率为( )A ．0.72B ．0.96C ．0.86D ．0.84C [设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘火车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P (B )＝0.4，P (C )＝0.6，P (A |B )＝0.8，P (A |C )＝0.9.由全概率公式得P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (C )P (A |C )＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故选C.]2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )A ．0.8B ．0.832 5C ．0.532 5D ．0.482 5D [设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A 1，A 2，A 3，A 4，则它们构成样本空间的一个划分．设B ＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：P (B )＝∑4i ＝1P (A i )P (B |A i ) ＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.故选D.]3．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产12，乙、丙两厂各生产14，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为( )A ．0.025B ．0.08C ．0.07D ．0.125A [设A 1，A 2，A 3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B 表示次品，则P (A 1)＝0.5，P (A 2)＝P (A 3)＝0.25，P (B |A 1)＝0.02，P (B |A 2)＝0.02，P (B |A 3)＝0.04，∴P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025.故选A.]4．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为13，而乱猜正确的概率为23.在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )A.13B.23C.34D.14B [设A ＝“考生答对”，B ＝“考生知道正确答案”，由全概率公式：P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (B －)P (A |B －)＝13×1＋23×14＝12.又由贝叶斯公式：P (B |A )＝P (B )P (A |B )P (A )＝1312＝23.故选B.] 5．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )A.29B.38C.112D.58B [用A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用B k 表示丢失的一箱为k ，k ＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得P (A )＝∑3k ＝1P (B k )P (A |B k )＝12·C 24C 29＋15·C 25C 29＋310·C 25C 29＝836. P (B 1|A )＝P (B 1)P (A |B 1)P (A )＝12·C 24C 29P (A )＝336÷836＝38.故选B.] 二、填空题6．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P (A |C )＝0.95，P (A －|C －)＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P (C )＝0.005, 则P (C |A )＝______.(精确到0.001)0.087 [由题设，有P (C －)＝1－P (C )＝0.995，P (A |C －)＝1－P (A －|C －)＝0.05，由贝叶斯公式，得P (C |A )＝P (A |C )P (C )P (A |C )P (C )＋P (A |C －)P (C －)≈0.087.]7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．5285 915 [设A ＝“第二次取出的均为新球”，B i ＝“第一次取出的3个球恰有i 个新球”(i ＝0,1,2,3)．由全概率公式P (A )＝P (B 0)P (A |B 0)＋P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝C 36C 315·C 39C 315＋C 19C 26C 315·C 38C 315＋C 29C 16C 315·C 37C 315＋C 39C 315·C 36C 315 ＝5285 915.]8．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为25，传送“–”时失真的概率为13，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________．34[设A＝收到“·”，B＝发出“·”，由贝叶斯公式P(B|A)＝P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)＋P(B－)P(A|B－)＝58×3558×35＋38×13＝34.]三、解答题9．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：(1)从乙盒取出2个红球的概率；(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．[解](1)设A1＝从甲盒取出2个红球；A2＝从甲盒取出2个白球；A3＝从甲盒取出1个白球1个红球；B＝从乙盒取出2个红球．则A1，A2，A3两两互斥，且A1＋A2＋A3＝Ω，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝C22C25×C23C27＋C23C25×C27＋C13C12C25×C22C27＝370.(2)P(A1|B)＝P(A1B)P(B)＝P(A1)P(B|A1)∑3i＝1P(A i)P(B|A i)＝170370＝13.10．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．[解]设A表示枪已校正，B表示射击中靶．则P(A)＝35，P(A－)＝25，P(B|A)＝0.9，P(B－|A)＝0.1，P(B|A－)＝0.4，P(B－|A－)＝0.6.(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A－)P(B|A－)＝35×0.9＋25×0.4＝0.7.(2)P(A－|B－)＝P(A－)P(B－|A－)P(A－)P(B－|A－)＋P(A)P(B－|A)＝25×0.625×0.6＋35×0.1＝0.8.11．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，则在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率为________．(精确到0.001)0.998[设A＝任取一产品，经检查是合格品，B＝任取一产品确是合格品，则A＝BA＋B－AP(A)＝P(B)P(A|B)＋P(B－)P(A|B－)＝0.96×0.98＋0.04×0.05＝0.942 8，故所求概率为P(B|A)＝P(B)P(A|B)P(A)＝0.96×0.980.942 8≈0.998.]12．8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8; 用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________．4049[设B1＝{使用的枪校准过}, B2＝{使用的枪未校准}, A＝{射击时中靶}，则P(B1)＝58，P(B2)＝38，P(A|B1)＝0.8，P(A|B2)＝0.3.由贝叶斯公式，得P(B1|A)＝P(A|B1)P(B1)P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＝4049.所以，所用的枪是校准过的概率为4049.]13．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下， 其价格上涨的概率为40%, 则该支股票将上涨的概率为________． 64% [记A 为事件“利率下调”，那么A －即为 “利率不变”， 记B 为事件“股票价格上涨”. 依题设知P (A )＝60%，P (A －)＝40%，P (B |A )＝80%，P (B |A －)＝40%，于是P (B )＝P (AB )＋P (A －B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)＝60%×80%＋40%×40%＝64%.]14．(一题两空)某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为110，114，118.现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．(1)则取得的一个产品是次品的概率为________．(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是________．(精确到0.001)(1)0.083 (2)0.287 [(1)设A ＝{取得一个产品是次品}，B 1＝{取得一箱是甲厂的}，B 2＝{取得一箱是乙厂的}，B 3＝{取得一箱是丙厂的}．三个厂的次品率分别为110，114，118，∴P (A |B 1)＝110，P (A |B 2)＝114，P (A |B 3)＝118.12箱产品中，甲占612，乙占412，丙占212，由全概率公式得P (A )＝∑3k ＝1P (A |B k )P (B k )＝612×110＋412×114＋212×118≈0.083. (2)依题意，已知A 发生，要求P (B 2|A )，此时用贝叶斯公式：P (B 2|A )＝P (B 2)P (A |B 2)P (A )≈412×1140.083≈0.287.]15．某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？[解] 设A i ＝“第i 次接通电话”，i ＝ 1,2,3，B ＝“拨号不超过3次接通电话”，则事件B 的表达式为B ＝A 1∪A －1A 2∪A －1A －2A 3.利用概率的加法公式和乘法公式P (B )＝P (A 1)＋P (A －1A 2)＋P (A －1A －2A 3)＝P (A 1)＋P (A －1)P (A 2|A －1)＋P (A －1)P (A －2|A －1)P (A 3|A －1A －2)＝110＋910×19＋910×89×18＝310.若已知最后一位数字是奇数，则P (B )＝P (A 1)＋P (A －1A 2)＋P (A －1A －2A 3)＝P (A 1)＋P (A －1)P (A 2|A －1)＋P (A －1)P (A －2|A －1)P (A 3|A －1A －2)＝15＋45×14＋45×34×13＝35.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

课时分层作业(一) 空间向量及其运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4．则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对D [∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2ab ＝|c |2， ∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a ||b |＝14．]2．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有 ( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断： ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→． ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→． ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→． 所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→．]3．如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG →·AB →＝( )A ．34 B ．14 C ．12D ．32B [由题意可得FG →＝12AC →，∴FG →·AB →＝12×1×1×cos 60°＝14．]4．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A ．12B ．22C ．－12D ．0D [如图所示，∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA |·|OC →|·cos ∠AOC －|OA →|·|OB |·cos ∠AOB ＝0，∴OA →⊥BC →，∴〈OA →，BC →〉＝π2，cos 〈OA →，BC →〉＝0．]5．设三棱锥O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，G 是△ABC 的重心，则OG →等于( )A ．a ＋b －cB ．a ＋b ＋cC ．12(a ＋b ＋c )D ．a ＋b ＋c )D [如图所示，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝13(a ＋b ＋c )．] 二、填空题6．已知|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则a ·b 所夹的角为________． 34π [cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－222×22＝－22， 又〈a ·b 〉的取值范围为[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝34π．]7．已知向量a ，b ，c 两两夹角都是60°，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则|a －2b ＋c |＝________．3 [∵|a －2b ＋c |2＝a 2＋4b 2＋c 2－4a ·b －4b ·c ＋2a ·c ＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3， ∴|a －2b ＋c |＝3．]8．四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，则点B 与点D 1两点间的距离为________．2 [四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°．∴BD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→， ∴BD 1→2＝(BA →＋AD →＋DD 1→)2＝BA →2＋AD →2＋DD 1→2＋2BA →·AD →＋2BA →·DD 1→＋2AD →·DD 1→＝1＋1＋1＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 60°＝2， ∴|BD 1→|＝2，∴点B 与点D 1两点间的距离为2．] 三、解答题9．已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：(1)AA ′→－CB →； (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→； (3)12AD →＋12AB →－12A ′A →．[解] (1)AA ′→－CB →＝AA ′→＋BC →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→．(2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→＝AD ′→． (3)设M 是线段AC ′的中点，则 12AD →＋12AB →－12A ′A → ＝12AD →＋12AB →＋12AA ′→＝12(AD →＋AB →＋AA ′→)＝12AC ′→＝AM →． 向量AD ′→、AM →如图所示．10．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，M 是C 1D 1的中点，点N 是CA 1上的点，且CN ∶NA 1＝4∶1．用a ，b ，c 表示以下向量：(1)AM →；(2)AN →．[解] (1)AM →＝12(AC 1→＋AD 1→) ＝12[(AB →＋AD →＋AA 1→)＋(AD →＋AA 1→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA 1→) ＝12a ＋b ＋c ．(2)AN →＝AC →＋CN →＝AC →＋45(AA 1→－AC →) ＝15AB →＋15AD →＋45AA 1→ ＝15a ＋15b ＋45c ．11．(多选题)化简下列各式，结果为零的向量为( ) A ．AB →＋BC →＋CA →B ．OA →－OD →＋AD →C ．NQ →＋QP →＋MN →－MP →D ．MN →＋BM →＋NB →ABCD [对于A ，AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0． 对于B ，OA →－OD →＋AD →＝DA →＋AD →＝0．对于C ，NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝(NQ →＋QP →)＋(MN →－MP →)＝NP →＋PN →＝0． 对于D ，MN →＋BM →＋NB →＝MN →＋NB →＋BM →＝MB →＋BM →＝0．]12．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．90°B [a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22 ＝1－1×1×12－2＝－32， |a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3．|b |＝b 2＝(e 1－2e 2)2＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22＝1－2＋4＝3．∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－323＝－12， ∴〈a ，b 〉＝120°．]13．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________．－13 [∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13．]14．(一题两空)如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2, 点E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，则|AB →＋BC →|＝______，|BC →－EF →|＝______．23 [|AB →＋BC →|＝|AC →|＝2，EF →＝12BD →，BD →·BC →＝2×2×cos 60°＝2，故|BC →－EF →|2＝|BC →－12BD →|2＝BC →2－BC →·BD →＋14BD →2＝4－2＋14×4＝3， 故|BC →－EF →|＝3．]15．在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB →|＝2|AM →|，|CN →|＝12|ND →|，求|MN →|．[解] ∵MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →．∴MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →2＝19AB →2－29AD →·AB →＋49AC →·AD →－49AB →·AC →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2＋29a 2－29a 2＋19a 2＋49a 2 ＝59a 2， 故|MN →|＝MN →·MN →＝53a ，即|MN →|＝53a ．课时分层作业(二) 空间向量基本定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．若a 与b 不共线且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝2a ，则( ) A ．m ，n ，p 共线 B ．m 与p 共线 C ．n 与p 共线D ．m ，n ，p 共面D [p ＝2a ＝m ＋n ，即p 可由m ，n 线性表示，所以m ，n ，p 共面．] 2．对空间任一点O 和不共线三点A ，B ，C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是( )A ．OP →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC → C ．OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC →D ．以上皆错B [∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →， ∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)， ∴AP →＝PB →＋PC →，∴P A →＝－PB →－PC →，∴P ，A ，B ，C 共面．]3．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( )A ．AA ′→＋12AB →＋12AD → B ．12AA ′→＋12AB →＋12AD →C ．12AA ′→＋16AB →＋16AD → D ．13AA ′→＋16AB →＋16AD →D [由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ， ∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →) ＝13(AA ′→＋12A ′C ′→)＝13AA ′→＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →．]4．已知向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，一定可以与向量p ，q 构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．无法确定C [∵a ＝12p ＋12q ，∴a 与p ，q 共面， ∵b ＝12p －12q ，∴b 与p ，q 共面， ∵不存在λ，μ，使c ＝λp ＋μq ，∴c 与p ，q 不共面，故{c ，p ，q }可作为空间的一个基底，故选C ．] 5．对于空间一点O 和不共线的三点A ，B ，C 且有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点共面B ．P ，A ，B ，C 四点共面C ．O ，P ，B ，C 四点共面D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面B [由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →得OP →－OA →＝2(OB →－OP →)＋3(OC →－OP →)， 即AP →＝2PB →＋3PC →．∴AP →，PB →，PC →共面，又它们有同一公共点P ， ∴P ，A ，B ，C 四点共面．] 二、填空题6．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________．1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.]7．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z ，使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．x ＝y ＝z ＝0 [若x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，即a 与b ，c 共面，由{a ，b ，c }是空间的一个基底知a ，b ，c 不共面，故x ＝0．同理y ＝z ＝0．]8．如图在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝________．(用a ，b ，c 表示)－12a ＋12b －c [B 1M →＝AM →－AB 1→＝12(AB →＋AD →)－(AB →＋AA 1→)＝－12AB →＋12AD →－AA 1→＝－12a ＋12b －c ．]三、解答题9．如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →． [解] 连接AC ，AD ′，AC ′(图略)． (1)AP →＝12(AC →＋AA ′→) ＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→) ＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→) ＝12a ＋b ＋12c ． (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→) ＝12a ＋b ＋c ．(4)AQ →＝AC →＋CQ → ＝AC →＋45(AA ′→－AC →) ＝15AC →＋45AA ′→ ＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→ ＝15a ＋15b ＋45c ．10．已知平行四边形ABCD ，从平面ABCD 外一点O 引向量OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OG →＝kOC →，OH →＝kOD →，求证：点E ，F ，G ，H 共面．[证明] ∵OA →＋AB →＝OB →，∴kOA →＋kAB →＝kOB →， 而OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，∴OE →＋kAB →＝k (OA →＋AB →)＝kOB →＝OF →． 又OE →＋EF →＝OF →，∴EF →＝kAB →， 同理EH →＝kAD →，EG →＝kAC →．∵ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →， ∴EG →k ＝EF →k ＋EH →k ，即EG →＝EF →＋EH →，又它们有同一个公共点E ， ∴点E ，F ，G ，H 共面．11．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ．M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG →等于( )A ．16OA →＋13OB →＋12OC →B ．14(OA →＋OB →＋OC →) C ．13(OA →＋OB →＋OC →)D ．16OB →＋13OA →＋13OC →B [如图，OG →＝12(OM →＋ON →)＝12OM →＋12×12(OB →＋OC →) ＝14OA →＋14OB →＋14OC → ＝14(OA →＋OB →＋OC →)．]12．(多选题)如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点(Q 靠近点M )，则用向量OA →，OB →，OC →表示OQ →，不正确的是( )A ．OQ →＝13OA →＋16OB →＋16OC →B ．OQ →＝16OA →＋13OB →＋16OC → C ．OQ →＝16OA →＋13OB →＋13OC →D ．OQ →＝13OA →＋13OB →＋16OC →BCD [∵M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点(Q 靠近点M )，∴AB →＝OB →－OA →，BC →＝OC →－OB →， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝12OA →＋AB →＋12BC →＝12OA →＋(OB →－OA →)＋12(OC →－OB →) ＝－12OA →＋12OB →＋12OC →， ∴OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN → ＝12OA →－16OA →＋16OB →＋16OC → ＝13OA →＋16OB →＋16OC →．]13．(一题两空)在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a －5b ＋8c ，对角线AC ，BD 的中点分别是E ，F ，则EF →＝________．向量AB →，CD →，EF →________(填“能”或“否”)构成一组基底．3a －52b ＋3c 否 [EF →＝12(ED →＋EB →)＝14(AD →＋CD →)＋14(AB →＋CB →)＝14AB →＋14BD →＋14CD →＋14AB →＋14CD →＋14DB →＝12(AB →＋CD →)＝3a －52b ＋3c ．假设AB →，CD →，EF →共面，则EF →＝λAB →＋μCD →＝λa －2λc ＋5μa －5μb ＋8μc ＝(λ＋5μ)a －5μb ＋(8μ－2λ)c ＝3a －52b ＋3c ．∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋5μ＝3，－5μ＝－52，8μ－2λ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝12.∴EF →，AB →，CD →共面，∴不能构成一组基底．]14．在▱ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________．43[设AB →＝a ，AD →＝b ， 则AC →＝a ＋b ，AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ， ∴λAE →＋μAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μb ， ∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，∴λ＋μ＝43．]15．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求实数x ，y ，z 的值．[解] 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC → ＝A 1O →－AO → ＝A 1O →＋OA → ＝A 1A →．(2)∵E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→， ∴OE →＝OD →＋DE → ＝12BD →＋23DD 1→ ＝12(BA →＋BC →)＋23AA 1→ ＝12BA →＋12BC →＋23AA 1→ ＝－12AB →＋12AD →＋23AA 1→，∴EO →＝－OE →＝12AB →－12AD →－23AA 1→． 又EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23．课时分层作业(三) 空间向量的坐标与空间直角坐标系(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)A [b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．]2．与A (3,4,5)，B (－2,3,0)两点距离相等的点M (x ，y ，z )满足的条件是( ) A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0 B ．5x －y ＋5z －37＝0 C ．10x －y ＋10z ＋37＝0D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0A [由|MA |＝|MB |，得(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A ．]3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( ) A ．－6 B ．－23 C ．23 D ．14C [由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝23．]4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255C [由cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|＝2－λ＋45＋λ2·9＝89，解得λ＝－2或λ＝255．]5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)，则|AB |的最小值为( ) A ．33 B ．3 6 C ．23 D ．2 6 B [|AB →|＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2＝5a 2＋10a ＋59 ＝5(a ＋1)2＋54，当a ＝－1时，|AB →|min ＝54＝36．]二、填空题6．已知a ＝(1，x,3)，b ＝(－2,4，y )，若a ∥b ，则x －y ＝________． 4 [∵a ∥b ，∴b ＝λa ． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－2，x λ＝4，3λ＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，x ＝－2，y ＝－6.∴x －y ＝4．]7．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________．2π3 [(2a ＋b )·c ＝2a·c ＋b·c ＝－10， 又a·c ＝4，∴b·c ＝－18，又|c |＝3，|b |＝12， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c|b|·|c|＝－12，∵〈b ，c 〉∈[0，π]，∴〈b ，c 〉＝2π3．]8．在空间直角坐标系中，以O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．6＋23 [S △AOC ＝S △BOC ＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △ABC ＝34×|AB |2＝34×8＝23， 故三棱锥的表面积S ＝6＋23．] 三、解答题9．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，求λ的值．[解] ∵OA →＝(1,0,0)，OB →＝(0，－1,1)， ∴OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， ∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ， 又|OA →＋λOB →|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB→|＝2． ∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16，又2λ2·1＋2λ2＜0，即λ＜0，∴λ＝－66．10．(1)已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，求x ，y 的值． (2)求与向量(－3，－4,5)共线的单位向量． [解] (1)因为a ∥b ，所以存在实数λ，使a ＝λb ， 所以(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝3λ，4＝λx ，5＝λy ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，x ＝6，y ＝152.(2)向量(－3，－4,5)的模为(－3)2＋(－4)2＋52＝52，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量为±152·(－3，－4,5)＝±210(－3，－4,5)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫3210，225，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－225，22．11．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形C [AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)， BC →＝(2，－3,1)， ∴|AB →|＝32＋42＋82＝89， |AC →|＝52＋12＋72＝75， |BC →|＝22＋32＋12＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝75＋14＝89＝|AB →|2． ∴△ABC 为直角三角形．]12．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°C [a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a·c|a||c|＝－12，〈a ，c 〉＝120°．] 13．(一题两空)已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0，0,0)，点Q 在直线OP 上运动，QA →·QB →的最小值为________，此时点Q 的坐标为________．－23⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 [设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)， 故Q (λ，λ，2λ)，∴QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ∴QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，∴QA →·QB →的最小值为－23，此时λ＝43，Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83．]14．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则a ＝________．⎝ ⎛⎭⎪⎫313，413，1213或⎝ ⎛⎭⎪⎫－313，－413，－1213 [设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，|a |＝1，代入坐标可解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝313，y ＝413，z ＝1213，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.]15．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC 和平面A 1B 1C 1为正三角形，所有的棱长都是2，M 是BC 边的中点，则在棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°？[解] 以A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ．由题意知A (0,0,0)，C (0,2,0)，B (3，1,0)，B 1(3，1,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0．又点N 在CC 1上， 可设N (0,2，m )(0≤m ≤2)，则AB 1→＝(3，1,2)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，m ，所以|AB 1→|＝22，|MN →|＝m 2＋1，AB 1→·MN →＝2m －1．如果异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°，那么向量AB 1→和MN →的夹角等于45°或135°．又cos 〈AB 1→，MN →〉＝AB 1→·MN →|AB 1→||MN →|＝2m －122×m 2＋1．所以2m －122×m 2＋1＝±22，解得m ＝－34，这与0≤m ≤2矛盾．所以在CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°．课时分层作业(四) 空间中的点、直线与空间向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知点A (2,3,4)，B (1,2,1)，BC →＝3OA →，且O 为坐标原点，则C 点的坐标为( )A ．(6,8,9)B ．(6,9,12)C ．(7,11,13)D ．(－7，－11，－13)C [设C (x ，y ，z )，则BC →＝(x －1，y －2，z －1)，OA →＝(2,3,4)，∴3OA →＝(6,9,12)， 由BC →＝3OA →， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝6，y －2＝9，z －1＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝11，z ＝13，∴C (7,11,13)．]2．已知空间向量a ＝(－1,0,3)，b ＝(3，－2，x )，若a ⊥b ，则实数x 的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 C [向量a ＝(－1,0,3)，b ＝(3，－2，x )，若a ⊥b ，则－1×3＋0×(－2)＋3x ＝0， 解得x ＝1．故选C ．]3．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面 ( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交C [因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz ．] 4．设向量a ＝(2,2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，－12，1，(0°＜α＜180°)，若a ⊥b ，则角α＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [∵向量a ＝(2,2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，－12，1，(0°＜α＜180°)，a ⊥b ，∴a ·b ＝2cos α－1＝0，∴cos α＝12， ∵0°＜α＜180°， ∴角α＝60°．故选B ．]5．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )A ．155B ．105C ．45D ．23A [以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则F (1，0,0)，D 1(0,0,2)，O (1,1,0)，E (0,2,1)，则OE →＝(－1,1,1)，FD 1→＝(－1,0,2)，∴|OE →|＝3，|FD 1→|＝5，OE →·FD 1→＝3， ∴cos 〈OE →，FD 1→〉＝OE →·FD 1→|OE →||FD 1→|＝33·5＝155．]二、填空题6．已知点A (1,1，－4)，B (2，－4,2)，C 为线段AB 上的一点，且AC →＝12AB →，则C 点坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，－1 [设C (x ，y ，z )，AC →＝(x －1，y －1，z ＋4)，AB →＝(1，－5,6)， 由AC →＝12AB →得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝12，y －1＝－52，z ＋4＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－32，z ＝－1.∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，－1．]7．已知A (0，y,3)，B (－1，－2，z )，若直线l 的方向向量v ＝(2,1,3)与直线AB 的方向向量平行，则实数y ＋z 等于________．0 [由题意，得AB →＝(－1，－2－y ，z －3)，则－12＝－2－y 1＝z －33，解得y ＝－32，z ＝32，所以y ＋z ＝0．]8．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，高为2，M ，N 分别是四边形BB 1C 1C 和正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则向量BM →与DN →的夹角的余弦值是________．71030[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B(1,1,0)，M⎝⎛⎭⎪⎫12，1，1，D(0,0,0)，N⎝⎛⎭⎪⎫12，12，2，BM→＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，1，DN→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，2，设向量BM→与DN→的夹角为θ，则cos θ＝BM→·DN→|BM→|·|DN→|＝7454·184＝71030．故向量BM→与DN→的夹角的余弦值为71030．]三、解答题9．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．[证明]如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)， 于是MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12， DA 1→＝(1,0,1)．得DA 1→＝2MN →，∴DA 1→∥MN →，∴DA 1∥MN ． 而MN ⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD ．10．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 是A 1B 1的中点．(1)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (2)求证：A 1B ⊥C 1M ．[解] (1)以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→|·|CB 1→|＝36·5＝3010．(2)证明：A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0， 又A 1B →·C 1M →＝0， ∴A 1B ⊥C 1M ．11．(多选题)已知空间向量a ，b ，a ⊥b ，a ＝(1,3,5)，则b 的坐标可以是( ) A ．(5,0，－1) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，3，－75 C ．(5，－3，－1)D ．(8，－1，－1)ABD [a ＝(1,3,5)，a ⊥b ，∴a ·b ＝0．在A 中，a ·b ＝(1,3,5)·(5,0，－1)＝1×5＋3×0＋5×(－1)＝0，A 正确． 在B 中，a ·b ＝(1,3,5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，3，－75＝1×(－2)＋3×3＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝0，B 正确． 在C 中，a ·b ＝(1,3,5)·(5，－3，－1)＝1×5＋3×(－3)＋5×(－1)＝－9≠0，C 错误．在D 中，a ·b ＝(1,3,5)·(8，－1，－1)＝1×8＋3×(－1)＋5×(－1)＝0，D 正确．] 12．向量a ＝(1,2，x )，b ＝(－2，y,4)，若a ∥b ，则x －y ＝( ) A ．4B ．2C ．1D ．12B [向量a ＝(1,2，x )，b ＝(－2，y,4)， 若a ∥b ，则1－2＝2y ＝x 4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4，x ＝－2.所以x －y ＝－2－(－4)＝2．]13．(一题两空)已知向量a ＝(1,0，－1)，b ＝(1,1,0)，则|a |＝________；向量a 与b 的夹角是________．2 60° [向量a ＝(1,0，－1)，b ＝(1,1,0)， 则|a |＝12＋02＋(－1)2＝2；cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12， ∴向量a 与b 的夹角是60°．]14．设向量a ＝(1,2，λ)，b ＝(2,2，－1)，若cos 〈a ，b 〉＝49，则实数λ的值为________．－1227或2 [向量a ＝(1,2，λ)，b ＝(2,2，－1)， ∴a ·b ＝2＋4－λ＝6－λ， |a |＝1＋4＋λ2＝5＋λ2，|b |＝4＋4＋1＝3，若cos 〈a ，b 〉＝49，则a ·b |a |×|b |＝6－λ5＋λ2×3＝49，化简得7λ2＋108λ－244＝0，解得λ＝－1227或λ＝2， 则实数λ的值为－1227或2．]15．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，P A ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝AP ＝2，E 为PD 的中点．以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系O -xyz ．(1)求BE →的模；(2)求〈AE →，DC →〉，异面直线AE 与CD 所成的角； (3)设n ＝(1，p ，q )，满足n ⊥平面PCD ，求n 的坐标．[解] (1)由已知可得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)， ∵E 为PD 的中点，∴E (0,1,1)． ∴|BE →|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(1－0)2＝3．(2)AE →＝(0,1,1)，DC →＝(1，－1,0)．∴cos 〈AE →，DC →〉＝AE →·CD →|AE →|·|CD →|＝－12·2＝－12，∵〈AE →，DC →〉∈[0，π]， ∴〈AE →，DC →〉＝2π3，即异面直线AE 与CD 所成的角为π3． (3)∵n ⊥平面PCD ，∴n ⊥PD ，n ⊥CD ，又n ＝(1，p ，q )，PD →＝(0,2，－2)，CD →＝(－1,1,0)， ∴n ·PD →＝2p －2q ＝0，n ·CD →＝－1＋p ＝0， 解得p ＝1且q ＝1，即n ＝(1,1,1)．课时分层作业(五) 空间中的平面与空间向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是( )A ．圆B ．直线C ．平面D ．线段 C [M 构成的图形经过点A ，且是以n 为法向量的平面．]2．在菱形ABCD 中，若P A →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )A ．P A →⊥AB → B ．P A →⊥CD →C ．PC →⊥BD →D ．PC →⊥AB →D [由题意知P A ⊥平面ABCD ，所以与平面上的线AB 、CD 都垂直，A 、B 正确．又因为菱形的对角线互相垂直，又AC 为PC 在平面ABCD 内的射影且AC ⊥BD ，由三垂线定理的逆定理知PC ⊥BD ，故C 正确．]3．设μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量，a ＝(－3,4,2)是直线l 的方向向量，则直线l 与平面α的位置关系是( )A ．平行或直线在平面内B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定A [∵μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量， a ＝(－3,4,2)是直线l 的方向向量，μ·a ＝－6＋8－2＝0，∴直线l 与平面α的位置关系是平行或直线在平面内．]4．平面α经过三点O (0,0,0)，A (2,2,0)，B (0,0,2)，则平面α的法向量可以是( ) A ．(1,0,1) B ．(1,0，－1) C ．(0,1,1)D ．(－1,1,0)D [∵平面α经过三点O (0,0,0)，A (2,2,0)，B (0,0,2)， ∴OA →＝(2,2,0)，OB →＝(0,0,2)， 设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·OA →＝2x ＋2y ＝0，n ·OB →＝2z ＝0，取x ＝－1，得n →＝(－1,1,0)，∴平面α的法向量可以是(－1,1,0)．]5．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A ．337，－157，4 B ．407，－157，4 C ．407，－2,4D ．4，407，－15B [∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4， 又BP ⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →， 则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.]二、填空题6．已知直线l 的方向向量为s ＝(1,2，x )，平面α的法向量n ＝(－2，y,2)，若l ⊂α，则xy 的最大值为________．14 [由题意可得s ⊥n ，∴s ·n ＝－2＋2y ＋2x ＝0，可得x ＋y ＝1，取x ，y ＞0，则1≥2xy ，可得xy ≤14，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．]7．在平面ABC 中，A (0,1,1)，B (1,2,1)，C (－1,0，－1)，若a ＝(－1，y ，z )，且a 为平面ABC 的法向量，则y ＋z ＝________．1 [AB →＝(1,1,0)，AC →＝(－1，－1，－2)， ∵a ＝(－1，y ，z )为平面ABC 的法向量， ∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0， ∴－1＋y ＝0,1－y －2z ＝0， 联立解得y ＝1，z ＝0，∴y ＋z ＝1．] 8．给出下列命题：①直线l 的方向向量为a ＝(1，－1,2)，直线m 的方向向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，则l 与m 垂直；②直线l 的方向向量a ＝(0,1，－1)，平面α的法向量n ＝(1，－1，－1)，则l ⊥α； ③平面α、β的法向量分别为n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，则α∥β；④平面α经过三点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，则u ＋t ＝1．其中真命题的是________．(把你认为正确命题的序号都填上) ①④ [对于①，∵a ＝(1，－1,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，∴a ·b ＝1×2－1×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴a ⊥b ，∴直线l 与m 垂直，①正确； 对于②，a ＝(0,1，－1)，n ＝(1，－1，－1)， ∴a ·n ＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0， ∴a ⊥n ，∴l ∥α或l ⊂α，②错误；对于③，∵n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)， ∴n 1与n 2不共线， ∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)， ∴AB →＝(－1,1,1)，BC →＝(－1,1,0)， 向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量， ∴⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＋u ＋t ＝0，－1＋u ＝0，则u ＋t ＝1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．] 三、解答题9．如图所示，已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD ．求证：P A ⊥BD ．[证明] 如图，取BC 的中点O ，连接AO 交BD 于点E ，连接PO ．因为PB ＝PC ，所以PO ⊥BC ．又平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ， 所以PO ⊥平面ABCD ，所以AP 在平面ABCD 内的射影为AO ．在直角梯形ABCD 中， 由于AB ＝BC ＝2CD ， 易知Rt △ABO ≌Rt △BCD ，所以∠BEO ＝∠OAB ＋∠DBA ＝∠DBC ＋∠DBA ＝90°，即AO ⊥BD ． 由三垂线定理，得P A ⊥BD ．10．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF ．[证明] 以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1．所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，DF →＝(0，2，1)，BD →＝(2，－2，0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量， 则n ⊥BD →，n ⊥DF →， 所以⎩⎨⎧n ·BD →＝2x －2y ＝0，n ·DF →＝2y ＋z ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1，得x ＝1，z ＝－2， 则n ＝(1,1，－2)．因为AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，所以n ＝－2AM →，得n 与AM →共线． 所以AM ⊥平面BDF ．11．(多选题)已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点中，在平面α内的是( )A ．(2,3,3)B ．(1,1,3)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，103D ．(2,2,3)AB [设平面α内一点P (x ，y ，z )，则MP →＝(x －1，y ＋1，z －2)． ∵n ＝(6，－3,6)是平面的法向量，∴n ⊥MP →，n ·MP →＝6(x －1)－3(y ＋1)＋6(z －2)＝6x －3y ＋6z －21． ∴由n ·MP →＝0得6x －3y ＋6z －21＝0． 把各选项代入上式可知A 、B 适合．]12．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2,4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2,1)D ．(1,2，－2)B [设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1． 故AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1．又⎩⎨⎧AE →·n ＝0，AF→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12z ＝0，－12x ＋z ＝0，所以⎩⎨⎧y ＝－12z ，x ＝2z .当z ＝－2时，n ＝(－4,1，－2)．]13．(一题两空)设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为____________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为____________．α⊥β α∥β [∵u ，v 分别为平面α，β的法向量且u ＝(－2,2,5)， 当v ＝(3，－2,2)时，u·v ＝－6－4＋10＝0， ∴u ⊥v ，即α⊥β；当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2μ，∴u ∥v ，即α∥β．]14．如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系________．垂直 [以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12．平面PBC 的一个法向量n ＝(0,1,1)， ∵EF →＝－12n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面PBC ．]15．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠P AD ＝90°，侧面P AD ⊥底面ABCD ．若P A ＝AB ＝BC ＝12AD ．(1)求证：CD ⊥平面P AC ；(2)侧棱P A 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由．[解] 因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD ．又因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以P A ⊥底面ABCD ．又因为∠BAD ＝90°，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)． (1)AP →＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0)，CD →＝(－1,1,0)， 可得AP →·CD →＝0，AC →·CD →＝0， 所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD ．又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC ．(2)设侧棱P A 的中点是E ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12．设平面PCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·CD →＝0，n ·PD →＝0，因为CD →＝(－1,1,0)，PD →＝(0,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,2)． 所以n ·BE →＝(1,1,2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12＝0，所以n ⊥BE →． 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD ． 综上所述，当E 为P A 的中点时，BE ∥平面PCD ．课时分层作业(六) 直线与平面的夹角(建议用时：40分钟)一、选择题1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线AD 与平面A 1BC 1所成角正弦值为( ) A ．12 B ．32 C ．33 D ．63C [如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(1,1,1)，DA →＝(1,0,0)，设直线AD 与平面A 1BC 1所成角为θ，∴sin θ＝|cos 〈n ，DA →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DA →|n |·|DA →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11×3＝33．] 2．OA 、OB 、OC 是由点O 出发的三条射线，两两夹角为60°，则OC 与平面OAB 所成角的余弦值为( )A ．13B ．33C ．12D ．32B [设OC 与平面OAB 所成的角为θ，则cos 60°＝cos θ·cos 30°，∴cos θ＝33．] 3．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，若该长方体的体积为82，则直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A [∵在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，该长方体的体积为82，∴2×2×AA 1＝82，解得AA 1＝22，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A (2,0,0)，C 1(0,2,22)，AC 1→＝(－2,2,22)， 平面BB 1C 1C 的法向量n ＝(0,1,0)， 设直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为θ， sin θ＝|n ·AC 1→||n |·|AC 1→|＝24＝12，∴θ＝30°，∴直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°．故选A ．]4．在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O 是AC 的中点，OP ⊥底面ABC ．现以点O 为原点，OA 、OB 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．则直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A ．21030 B ．3030 C ．69030D ．87030A [因为OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ，所以OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP ．设AB ＝2a ，则P A ＝22a ，OP ＝7a ，A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P (0,0，7a )．∴P A →＝(a,0，－7a )，PB →＝(0，a ，－7a )，BC →＝(－a ，－a,0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎨⎧n ·PB →＝0n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ay －7az ＝0－ax －ay ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－77，所以平面PBC 的一个法向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，－77，所以cos 〈P A →，n 〉＝P A →·n |P A →||n |＝21030，所以P A 与平面PBC 所成角的正弦值为21030．] 5．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为( )A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π2A [以C 为原点，在平面ABC 中过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (3，1,0)，A 1(3，1,3)，B 1(0,2,3)，C 1(0,0,3)， AA 1→＝(0,0,3)，AB 1→＝(－3，1,3)，AC 1→＝(－3，－1,3)， 设平面AB 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·AB 1→＝－3x ＋y ＋3z ＝0，n ·AC 1→＝－3x －y ＋3z ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，0,1)， 设AA 1与平面AB 1C 1所成的角θ， 则sin θ＝|AA 1→·n ||AA 1→|·|n |＝334＝12，∴θ＝π6．∴AA 1与平面AB 1C 1所成的角为π6．故选A ．] 二、填空题6．等腰Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为________．45° [作CO ⊥α，O 为垂足，连接AO ，MO ，则∠CAO ＝30°，∠CMO 为CM 与α所成的角．在Rt △AOC 中，设CO ＝1，则AC ＝2．在等腰Rt △ABC 中，由AC ＝2得CM ＝2．在Rt △CMO 中，sin ∠CMO ＝CO CM ＝12＝22．∴∠CMO ＝45°．]7．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面A 1B 1CD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 和四边形A 1B 1CD 都是正方形，则直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角的正切值是________．2 [以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1,1,0)，D 1(－1，0,1)，BD 1→＝(－2，－1,1)，平面A 1B 1CD 的法向量n ＝(1,0,0)， 设直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角为θ， 则sin θ＝|BD 1→·n ||BD 1→|·|n |＝26，∴cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫262＝26，∴直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角的正切值是tan θ＝sin θcos θ＝2．]8．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于________．23 [如图，设A 1在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA ，OA 1分别为x 轴、z 轴，过O 作OA 的垂线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．设△ABC 边长为1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，63，。

高中数学课时分层作业1命题（含解析）新人教B版选修11课时分层作业(一) 命题(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．下列语句中，命题的个数为 ( )①空集是任何非空集合的真子集．②起立！③垂直于同一个平面的两条直线平行吗？④若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．1 B．2 C．3 D．4B[①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题．]2．下列命题属于假命题的是( )A．若ac2>bc2，则a>bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若x∈R，则x2＋x＋1>0D．函数y＝sin x是周期函数B[|2|＝|－2|，但2≠－2，所以B项是错误的，故选B.]3．命题“梯形的对角线互相平分”的条件是( )A．四边形是梯形B．对角线C．互相平分D．对角线互相平分A[命题可改写为：若四边形是梯形，则它的对角线互相平分，所以该命题的条件是四边形是梯形，故选A.]4．下列命题中真命题的个数是 ( )①平行于同一平面的两个不同的平面平行；②不等式x＋y－1>0表示的平面区域包含边界x＋y－1＝0；③方程x2＋y2＝3表示一个圆；④程序框图中，循环结构可以不含条件结构．A．1 B．2 C．3 D．4B[①③是真命题，②④是假命题，故选B.]5．已知命题“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)C[因为“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，所以Δ＝(－2)2－4m<0，解得m>1.]6．下列语句中，命题是________，其中真命题是________(写出序号)．①等边三角形是等腰三角形；②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；③大角所对的边大于小角所对的边．①②③①[①是命题且是真命题；②是假命题，若两条直线斜率都不存在时，这两条直线平行；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．]7．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________，它是________命题(填“真”或“假”)．a＞0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真[a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]8．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线．有下列四个命题：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题是________．②④[①平面向量的数量积不满足结合律，故①假；②由向量的减法运算可知|a|，|b|，|a－b|恰为一个三角形的三条边长，“两边之差小于第三边”，故②真；③因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)a·c－(c·a)b·c＝0，所以垂直，故③假；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a·a－4b·b＝9|a|2－4|b|2成立，故④真．]9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)实数的平方是正数；(3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.[解](1)若一个数是奇数，则这个数不能被2整除，是真命题．(2)若一个数是实数，则这个数的平方是正数，是假命题．例如0的平方还是0，不是正数．(3)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．(4)已知x ，y 为正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3，x ＝2，是假命题．例如y ＝4，x ＝3也符合条件．10．已知：A ：5x －1＞a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．[解] ①若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a 5，则x ＞1”，由命题为真命题，可知1＋a 5≥1，解得a ≥4； ②若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1，则x >1＋a 5”，由命题为真命题，可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可使得利用A ，B 构造的命题为真命题，例如这里取a ＝1，则有真命题“若x >1，则x >25”． [能力提升练]1．关于直线m ，n 与平面α，β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n ；②若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n ；③若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n ；④若m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ∥n .其中真命题的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③D [如图1所示，α，β分别为正方体的上、下底面，显然图中的m ∥α，n ∥β，且α∥β，但m 与n 不平行，故①为假命题，可排除A ，C.对于命题④，如图2所示，α为正方体的下底面，β为侧面，图中的m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，但m 与n 不平行，故④为假命题，可排除B.故选D.]图1 图22．对于下列四个命题：①若向量a ，b 满足a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；②已知集合A ＝{正四棱柱}，B ＝{长方体}，则A ∩B ＝B ；③在平面直角坐标平面内，点M (|a |，|a －3|)与N (cos α，sin α)在直线x ＋y －2＝0的异侧；④偶数的平方仍是偶数．其中真命题是________(将你认为正确的命题的序号都填上)．③④ [命题①错误，当a 与b 反向时，也有a·b ＜0；命题②错误，正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，而长方体的底面是一般的矩形，所以A ∩B ＝A ；命题③正确，因为|a |＋|a －3|≥|a －a ＋3|＝3＞2，cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤2＜2，所以M 与N 在直线x ＋y －2＝0的异侧；命题④正确．]。

1.1.2量词学习目标：1.理解全称量词与存在量词的含义．(重点)2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念．(重点)3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．(难点、易混点)1．全称量词与全称命题(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．(2)存在性命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．1．思考辨析(1)在全称命题和存在性命题中，量词可以省略．()(2)“对任意x∈R，x2＋2＞0”是全称命题．()(3)“∃x0∈N,4x0＜－3”是存在性命题．()(1)×在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略．(2)√(3)√2．下列不是全称量词的是()A．任意一个B．所有的C．每一个D．很多D3．下列命题为存在性命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于或等于3D4．存在性命题“∃x∈R，|x|＋2≤0”是________命题．(填“真”或“假)【导学号：33242013】假全称命题与存在性命题的判断(1)有一个实数α，tan α无意义；(2)任何一条直线都有斜率；(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；(4)圆内接四边形的对角互补；(5)指数函数都是单调函数；(6)△ABC的内角中有小于60°的角．先判断量词类型，再判断命题类型．(1)含有存在性量词“有一个”，是存在性命题．(2)含有全称量词“任何一条”，是全称命题．(3)含有全称量词，所以该命题是全称命题．(4)“圆内接四边形的对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题．(5)其实是指“所有的指数函数都是单调函数”中省略了“所有的”，所以该命题是全称命题．(6)命题可以改写为“△ABC的内角中有一个角小于60°”，因此是存在性命题．判定一个语句是全称命题还是存在性命题可分三个步骤：(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或存在性命题.(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是存在性命题.(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.1．判断下列语句是全称命题，还是存在性命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数．【导学号：33242014】(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在性命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)含有存在量词“有一个”，故为存在性命题.全称命题与存在性命题的真假判断(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；(5)∀x∈R，x2－3x＋2＝0；(6)∃x∈R，x2－3x＋2＝0.结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识判断．(1)真命题．(2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数．(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示．(4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．(5)假命题，只有x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立．(6)真命题，x＝2或x＝1，都能使等式x2－3x＋2＝0成立．2．判断下列命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋1＞0；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)∃x∈Q，x2＝3；(4)∃x∈R，x2－x＋1＝0.(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，所以有x2＋1≥1＞0，所以“∀x∈R，x2＋1＞0”是真命题．(2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值，都有3x＋1是偶数，所以“∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数”是真命题．(3)由于使x2＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．(4)因为对于x2－x＋1＝0，Δ＜0，所以方程x2－x＋1＝0无实数根，所以“∃x∈R，x2－x＋1＝0”是假命题.利用全称命题和存在性命题求参数值或取值范围1．全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围．p(x)表示集合M的所有元素满足的性质．2．全称命题与存在性命题有什么样的特点？(1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”．(2)有些命题省去了全称量词，但仍是全称命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”．(3)存在性命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等．设函数f(x)＝x2＋ax－2，对一切满足x≥1的一切x值，都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．【导学号：33242015】由于f (x )为二次函数，本题可借助图象，转化为一元二次方程根的分布问题求解，也可利用二次函数的性质，只要求出x ≥1时f (x )的最小值，令f (x )min >0即可求出实数a 的取值范围．本题也可分离参数a 求解．法一：由于f (x )对应抛物线开口向上，且在y 轴上截距为－2，则满足要求时函数的大致图象如图．∴⎩⎨⎧ －a 2＜1，f (1)＝a －1＞0，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．法二：要使∀x ∈1，＋∞)上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝－1＋2＝1， ∴a ＞1.综上，实数a 的取值范围是(1，＋∞)．母题探究：1.(变换条件)若将本例中的“x ≥1”改为“x ≤－1”，其他条件不变，求实数a 的取值范围．结合本例图象可知⎩⎨⎧ －a 2＞－1，f (1)＝a －1＞0，解得1＜a ＜2.即实数a 的取值范围是(1,2)．2．(变换条件)若将本例中的“f (x )＝x 2＋ax －2”改为“f (x )＝ax 2＋x －2”，其他条件不变，求实数a 的取值范围．(1)当a ＝0时，不满足对一切x ≥1都有f (x )＞0，(2)当a ＞0时，要使∀x ∈规律方法当 堂 达 标·固 双 基D 选项是存在性命题．A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是存在性命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x <0，所以D 是假命题．A 中命题是全称命题，易知2x －1>0恒成立，故是真命题；B 中命题是全称命题，当x ＝1时，(x －1)2＝0，故是假命题；C 中命题是存在性命题，当x ＝1时，lg x ＝0，故是真命题；D 中命题是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题．由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.解hslx3y3h (1)是全称命题，“任意”为全称量词．(2)是存在性命题，“有的”为存在量词．(3)是存在性命题，“至少有一个”为存在量词．。

课时跟踪训练(二) 量 词1.下列全称命题是真命题的是( )A ．所有的质数都是奇数B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥1C ．对每一个无理数x ，x 2也是无理数D ．所有的平行向量均相等2．下列命题为存在性命题的是( )A ．偶函数的图像关于y 轴对称B ．正四棱柱都是平行六面体C ．不相交的两条直线是平行直线D ．有很多实数不小于33．有四个关于三角函数的命题： p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀x ∈[0，π], 1－cos2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2.其中的假命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 34．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0；③∃x ∈N ，x 2≤x ；④∃x ∈N ＋，x 为29的约数．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5．下列命题中，是全称命题的是________；是存在性命题的是________．①正方形的四条边相等；②有两个内角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．6．下列语句是真命题的是________(填序号)．①所有的实数x 都能使x 2－3x ＋6>0成立；②存在一个实数x 使不等式x 2－3x ＋6<0成立；③存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＝0.7．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立；(2)对所有实数a 、b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；(3)一定有整数x 、y ，使得3x －2y ＝10成立；(4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数．8．确定m 的范围，使下列命题为真命题．(1)∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m ；(2)∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m .答 案1．选B 判断全称命题是假命题，只需举一个反例即可．A ，C ，D 都是假命题．2．选D A 、B 、C 都是全称命题，D 命题可以改为“有一些实数不小于3”，是存在性命题．3．选A sin 2x 2＋cos 2x 2＝1恒成立，p 1错； 当x ＝y ＝0时，sin(x －y )＝sin x －sin y ，p 2对；当x ∈[0，π]时，sin x ≥0，∴ 1－cos2x 2＝sin 2x ＝sin x ，p 3对； 当x ＝23π，y ＝π6时，sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ≠π2，p 4错． 4．选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x 2－3x ＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是存在性命题，当x ＝0或x ＝1时，有x 2≤x 成立，故③为真命题；对于④，这是存在性命题，当x ＝1时，x 为29的约数成立，所以④为真命题．5．解析：①②③为全称命题，④为存在性命题．答案：①②③ ④6．解析：∵x 2－3x ＋6中，Δ＝(－3)2－4×6＝－15<0，∴x 2－3x ＋6＝0无解，x 2－3x ＋6>0恒成立．∴①正确，②③错误．答案：①7．解：(1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，真命题；(2)∀a 、b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解，假命题；(3)∃x 、y ∈Z,3x －2y ＝10，真命题；(4)∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数，真命题． 8．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ， ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2， 又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为真命题，∴只要m <－2即可． ∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]． 又∵∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为真命题，∴只要m <2即可， ∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．。