4.4用因式分解法解一元二次方程

1 因式分解法解一元二次方程导学案

编写人：刘福慧 任军强 班级 姓名

一、学习目标

1. 掌握因式分解法解一元二次方程的定义与步骤。

2. 会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些特殊的一元二次方程。

二、学习重难点

1. 学习重点：会用因式分解法解特殊的一元二次方程。

2. 学习难点：理解并应用因式分解法解特殊一元二次方程。

三、学习过程

1. 知识回顾，导入新知

问题1：我们学过一元二次方程的哪些解法？请你利用所学知识求解下列方程的根：

220xx.

解法一：（ 法） 解法二：（ 法）

问题2：除以上方法外，你还有没有其他更简单的方法解这个方程呢？有的话，请写出你的解法。

答：

2. 探索问题，解决问题

师生讨论分析：

观察方程：220xx.

方程右边为0，而左边可以因式分解，得 。

于是得 0或 0.

即1x ；2x 。

∴ 原方程的解为1x ；2x 。

问题3：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的？

答：

3. 归纳总结，达成目标

因式分解法：

。

第二章 一元二次方程

用因式分解法求解一元二次方程（导学案）

教学目标：

用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程。

教学重点：用分解因式法解一元二次方程

教学过程：

一、自主学习

1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。

2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。

3、选择合适的方法解下列方程：

①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0

二、合作探究

问题，一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？

利用a×b=0,则a=0或b=0,把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解。我们把称为因式分解法，即

当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门就称这种方法为

三、试一试

解下列方程 (1)、 5X2=4X (2)、 X-2=X(X-2)

1、用这种方法解一元二次方程的思路是什么?步骤是什么? 2、对于以上三道题你是否还有其他方法来解?

四：巩固练习

1、解下列方程：（1） (X+2)(X-4)=0 (2 ) X2-4=0 (3 ) 4X(2X+1)=3(2X+1)

2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？

五、 拓展与延伸

1、一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的速度h(m)，与时间t(s)满足关系：h=15t-5t2 小球何时能落回地面？

2、一元二次方程（m-1）x2 +3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0，求m 的值

1 一元二次方程的公式法，因式分解法，判别式

一、用公式法解一元二次方程

1、概念：当240bac时，一元二次方程200axbxca的实数根可写为242bbacxa的形式，这个式子叫做一元二次方程20axbxc的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法，叫做公式法．

已知一元二次方程200axbxca，其求根公式推导过程如下：

（1）移项得2axbxc；

（2）二次项系数化为1得2bcxxaa；

（3）配方得22222bbcbxxaaaa；

（4）整理得222424bbacxaa；

（5）直接开平方得2422bbacxaa；——注意是否可以开方呢？

故当0时，一元二次方程200axbxca的实数根可写为242bbacxa

2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式20axbxc；

(2)正确确定出a，b，c的值；

(3)求出24bac的值；

(4)若240bac，则方程有实数根，代入公式242bbacxa求解；若240bac，则方程无实数根．

例1.用公式法解下列方程：

(1)22410xx (2)2351xx

2 练习1.用公式法解下列方程：

(1)22810xx (2)2523xx (3)24310xx

二、用因式分解法解一元二次方程

1．因式分解法解一元二次方程的理论依据

如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．即如果0ab，那么0a或0b．

2．因式分解法的概念

先通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．

一般的一元二次方程的解法（直接开平方法，因式分解法）知识讲解

1．直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

要点诠释：

用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

2.因式分解法解一元二次方程

（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤

①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.

【典型例题】

类型一、用直接开平方法解一元二次方程

【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标． 举一反三：

类型二、因式分解法解一元二次方程

【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．