常微分第四章

第一章测试

1. 下列方程不是常微分方程的是（ ）

A: .

B: .

C: .

D: .

答案:D

2. 下面方程中不是线性微分方程的是（ ）

A: .

B:

C: .

D: .

答案:D

3. 下列微分方程不是驻定的是（ ）

A:

B:

C:

D:

答案:C

4. 下面是微分方程 的特解的是（ ）

A: .

B: .

C: .

D:

答案:D

5. 微分方程 的阶数是（ ）.

A:1；

B:3；

C:4.

D:2；

答案:B

6. 下列方程中的线性微分方程是（ ）.

A: .

B: ；

C: ；

D: ；

答案:D

第二章测试

1. 下列微分方程中，可分离变量的是( )。

A:

B: C:

D:

答案:D

2. 下列函数中，哪个是微分方程的解( )。

A:y=2x

B:y=-x

C:y=-2x

D:y=x2

答案:D

3. 微分方程的一个特解是( )。

A:

B:

C:

D:

答案:C

4. 满足的特解是( )。

A:

B: C:

D:

答案:C

5. 方程的通解是( )。

A:

B:

C:

D:

答案:B

第三章测试

1. 利用唯一性充分条件，在 平面上微分方程 有唯一解的区域是（ ）

A:

B:

C:

D: .

答案:A

2. 微分方程 的第二次近似解是（ ）

A:

B:

C:

D:

答案:D

3. 按存在唯一解定理，微分方程 第一次近似解在区域 中的误差估计是（ ）

A:0.375 B:0.625

C:0.125

D:0.325

答案:A

4. 方程 存在唯一解的区域是（ ）

A:除了 外均存在唯一解

B:除了 外均存在唯一解

C:除了 外均存在唯一解

D:除了 外均存在唯一解

答案:D

5. 方程 存在唯一解的区域是以下选项中的（ ）

A:

B:

C:

D:

答案:C

6. 方程 的第二次近似解在解的存在区间的误差估计是（ ）

A: B: .

C: .

D: .

答案:A

7. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解唯一的（ ）

1 常微分方程期末复习提要

中央电大 顾静相

常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP课件供学生在网上学习．

一、复习要求和重点

第一章 初等积分法

1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．

常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。

2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法．

（1）显式变量可分离方程为： )()(ddygxfxy ；

当0g时，通过积分Cxxfygyd)()(d 求出通解。

（2）微分形式变量可分离方程为： yyNxMxyNxMd)()(d)()(2211；

当0)()(21xMyN时，通过积分 CxxMxMyyNyNd)()(d)()(2112求出通解。

3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．

第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(ddxygxy ；

令xyu，代入方程得xuugxu)(dd，当0)(uug时，分离变量并积分，得uuguxC)(d1e，即)(euCx，用xyu回代，得通解)(exyCx.

4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法．

一n阶线性微分方程的一般理论

1. n线性微方程，它的一般形式为：

111)(nnnndtxdtadtxd…)()()(1tftadtdxtann

齐次线性方程

111)(nnnndtxdtadtxd…0)()(1tadtdxtann

非齐次线性方程:()0ft

2. n阶线性齐次方程的一般理论

(1)定理2(叠加原理) 如果)(,),(),(1txtxtxki是方程(4.2)的k个解，则它们的线性组合)()()(2211txctxctxcnn也是方程(4.2)的解，这里12,,,nccc是任意常数

(2)函数线性相关性

定义在区间],[ba上的函数)()(),(21txtxtxk，如果存在不全为零的常数kccc,,,21使得

0)()()(2211txctxctxckk

在],[ba上恒成立，我们称这些函数是线性相关的，否则称这些函数线性无关。

(3)Wronsky行列式

由定义在],[ba上k个k-1次可微的函数)()(),(21txtxtxk所作成的行列式

)()()()()()()()()()]()(),([)1()1(2)1(1212121txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxWkkkkkkk

称为这些函数的Wronskiy行列式，也写作W(t). (4)定理3 若函数)()(),(21txtxtxn在区间bta上线性相关，则在],[ba上它们的Wronskian行列式0)(tW。

(5)定理4 如果齐次方程的解)()(),(21txtxtxn在区间bta上线性无关，则)]()(),([21txtxtxWn在这个区间的任何点上都不等于零，即0)(0tW(bta).

由方程(4.2)的n个解构成的Wronskian行列式或者恒为零或者在方程的系数连续区间上处处不等于零。

《常微分方程》课程教学大纲

一、课程基本信息

开课单位 课程类别 学科基础

课程名称 常微分方程

（Ordinary Differential Equations） 课程编码

开课对象 信息与计算科学，基础数学，应用数学等数学系大二本科生 开课学期 第四学期

学时/学分 总学时54、理论课学时54、实验课学时0/3学分

先修课程 数学分析,解析几何,高等代数

课程简介：

常微分方程是数学学科各专业的一门基础课，是整个数学课程体系中一个重要组成部分。它是数学分析和高等代数的后续课程，起着承上启下的作用，同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础。常微分方程课程内容包括微分方程的基本概念；一阶微分方程的初等积分法；一阶微分方程的解的存在定理；高阶微分方程；线性微分方程组。通过该课程的学习，培养和训练学生运算技能及解决问题的能力；要求学生具有熟练的计算推导能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合运用所学知识分析和解决问题的能力；并在学习的过程中逐步培养学生活学活用能力和创造发展的能力,同时为学习后继课程奠定必要的基础。

二、课程教学目标

常微分方程是信息与计算科学专业的基础课程之一。通过该课程的学习，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解，培养学生计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及理论联系实际去分析问题、解决问题的能力，为学生学习后继课程打下基础。

1．学好基础知识。理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。

2．掌握基本技能。能够根据法则、公式正确地进行运算。能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。 3．培养思维能力。能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。