二次函数综合验收评估测试题

二次函数综合验收评估测试题

(时间：120分钟 满分：120分)

一、选择题

1．抛物线y＝－3(x－2)2＋9的对称轴、开口方向和顶点坐标分别为 ( )

A．对称轴为x＝－2，开口向下，顶点坐标为(2，9)

B．对称轴为x＝2，开口向下，顶点坐标为(2，9)

C．对称轴为x＝－2，开口向下，顶点坐标为(－2，9)

D．对称轴为x＝2，开口向下，顶点坐标为(－2，－9)

2．将抛物线y＝－(x＋1)2－3向上平移3个单位，所得抛物线的顶点坐标为( )

A．(－1，0) B．(1，0) C．(1，－6) D．(－1，－6)

3．下列四个函数：①y＝2x；②y＝2x；③y＝3－2x；④y＝2x2＋x(x≥0)．其中在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大的函数有 ( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．已知点A(1，y1)，B(－2，y2)，C(－2，y3)在函数y＝2(x＋1)2－12的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ( )

A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2

C．y1＞y3＞y2 D.y2＞y1＞y3

5．如图26－99所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c与两个坐标轴的交点分别为A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列式子不成立的是 ( )

A．b＝0 B．S△ABE＝c2

C．ac＝－1 D．a＋c＝0

6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－100所示，则下列判断准确的是( )

A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0

C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0

7．已知二次函数y＝x2－2x＋1，则它的图象大致为(如图26－101所示) ( )

8．有3个二次函数，甲：y＝x2－1；乙：y＝－x2＋1；丙：y＝x2＋2x－1．下列叙述准确

的是 ( )

A．甲的图象经过适当的平移后，能够与乙的图象重合

B．甲的图象经过适当的平移后，能够与丙的图象重合 C．乙的图象经过适当的平移后，能够与丙的图象重合

D．甲、乙、丙3个图象经过适当的平移后，都能够重合

9．已知关于x的不等式组3,155xaxa≥≤无解，则二次函数y=(a－2)x2－x＋14的图象与x轴

( )

A．没有交点

B．相交于两点

C．相交于一点 D．相交于一点或没有交点

10．如图26－102所示，二次函数y＝ax2＋x＋a2－1的图象可能是

( )

二、填空题

11．请写出一个开口向上、与y轴交点的纵坐标为－1，且经过点(1，3)的抛物线的解析式：

．

12．二次函数y＝x2－2x－3的最小值是 ．

13；如果函数y＝(k－1)22kkx＋kx－1是关于x的二次函数，则k＝ ．

14．抛物线y＝12(x－2)2＋1的对称轴是直线 ，顶点坐标为 ．

15．用配方法将二次函数y＝4x2－24x＋26写成y＝a(x－h)2＋k的形式是 ．

16．将y＝3x2的图象向 平移2个单位，再向 平移3个单位，就得到y＝3(x＋2)2－3的图象．

17．二次函数y=x2＋bx＋c的图象如图26－103所示，当函数值y＜0时，对应的x的取值范围是 ．

18．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)，B(3，0)两点，其顶点坐标为 ．

19．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－104所示，P＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，Q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则P，Q的大小关系为 ．

20．初三数学课本上，用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的囱象时，列了如下表格：

x … －2 －1 0 1 2 …

y … －162 －4 －122 －2 －12 …

根据表格中的信息，该二次函数y＝ax2＋bx＋c在x＝3时，y＝ . 三、解答题

21．用周长为6 m的铝合金制成如图26－105所示的窗框，则宽和高各为多少时，窗户的透光面积最大?最大面积是多少?

22．如图26－106所示，⊙O1，⊙O2外切于点P，点P在y轴上，⊙O1，⊙O2分别与x轴相切于A，B两点．

(1)求证PA⊥PB；

(2)若点A(－1，0)，B(4，0)，求过A，B，P三点的抛物线的解析式；

(3)(2)中所确定的抛物线的顶点是否在⊙O1与⊙O2的圆心的连线上?

23．抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m与y轴交于点(0，3)．

(1)求m的值，并在图26－107中画出这条抛物线；

(2)求抛物线与x轴的交点坐标和抛物线的顶点坐标；

(3)当x取何值时，抛物线在x轴上方?

(4)当x取何值时，y的值随x的增大而减小?

24．某农用车生产企业上年度生产农用车的投入成本为0.5万元／辆，出厂价为0.6万元／辆，年销售量为10万辆．本年度为适合市场需求，计划提升产品档次，适当地增加投入成本，若每辆车投入成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则出厂价相对应提升的百分率为0.75x，同时预计年销售量增加的百分率为0.6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．

(1)写出本年度预计的年利润y(万元)与每辆车投入成本增加的百分率x之间的函数关系式；

(2)当每辆车投入成本增加的百分率为多少时，本年度的利润与上年度持平?(结果保留小数点后一位)

25．已知抛物线经过点A(2，0)和B(6，0)，最高点C的纵坐标为1．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的对称轴交x轴于点D，抛物线交y轴于点E，请在抛物线上另找一点P，先分别求出点A，C，E，P到点D的距离，再求这些点与直线y＝2的距离；

(3)你发现这条抛物线上的点具有何种规律?

26．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0，b＞0)的图象经过(0，y1)，(1，y2)和(－1，y3)三点，且满足y12＝y22＝y32＝1．

(1)求这个二次函数的关系式；

(2)设这个二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，其中．x1＜x2，C为图象的顶点，连接AC，BC，动点P从A点出发沿折线ACB运动，求△ABP的面积的最大值．

27．如图26－108所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝14x2－6与直线y＝12x相交于A，B两点．

(1)求线段AB的长；

(2)若一个扇形的周长等于(1)中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大?最大面积是多少?

(3)如图26－109所示，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式222111OCODOM是否成立．

参考答案

1．B 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B

8．B[提示：丙函数y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，所以甲函数y＝x2－1的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，即可得到丙函数的图象．]

9．A[提示：解不等式组得a＞3，Δ＝3－a＜0．]

10．B[提示：把x＝0代入y＝ax2＋x＋a2－1，得y＝a2－l，因为a≠0，所以对称轴x＝12a≠0，所以C，D选项是不准确的，若选项A是准确的，则a＝±1，当a＝1时，12a＝12，即对称轴应为直线x＝－12，故选项A错误，若选项B是准确的，则a＝－1，对称轴为直线x＝12(1)＝12，所以选项B是准确的．]

11．y＝4x2－1(答案不唯一)[提示：∵抛物线经过点(0，－1)，(1，3)，∴1,3,cabc，∴a＋b＝4．∴符合a＋b＝4，a＞0即可．]

12．－4[提示：y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4．∵a＝1＞0，∴函数的最小值为－4.]

13．0 14．x=2 （2，1）

15．y=4（x－3）2－10

16．左 下

17．－3＜x＜1 18．(1，－4)[提示：把x＝－1，y＝0和x＝3，y＝0代入y＝x2＋bx＋c，得10,930,bcbc解得2,3,bc则解析式为y=x2－2x－3，顶点坐标为（1，－4)．]

19．P＜Q[提示：由图象可知：当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，c＞0，因为2ba＞1，且a＜0，所以2a－b＜0，2a＋b＞0，所以P＝b－a－c＋2a＋b＝a＋2b－c，Q=a+b+c+b-2a=-a+2b+c，P-Q=2a-2c<0,所以P

20.-4[提示：设解析式为y＝ax2＋bx＋c，由表格可知x＝0时，y＝－212 ，x＝－1时，y＝－4，x＝1时，y＝－2，∴12,24,2,cabcabc解得121,12.2abc ∴y=－12x2＋x－212,当x=3时，y=－12×9＋3－212＝－4．]

21．解：设宽为x m，则高为632x m．∴S＝x·632x＝－32x2＋3x，∴当x=3322=1时，S最大值=234032342=32（m2），此时高为6312＝32(m)．

22．(1)证明：过点P作⊙O1，⊙O2的公切线PM交AB于M，则MA＝MP，MB＝MP，即MP＝12AB，∴△APB为直角三角形，即PA⊥PB． (2)解：设P(0，a)，∵AP2＋BP2＝AB2，∵2a2＋17＝25，∵a＝±2，由图象可知a＝－2，∴P(0，－2)，设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由抛物线过点A(－1，0)，B(4，0)，P(0，－2)，得0,0164,2,abcabcc∴1,23,22,abc∴y=12x2－32x－2．(3)解：设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R，则222:1:45rRRrRr，（）（），∴5,45rR，∴O1(－1，45)，O2（4，－5）．设连心线O1O2的解析式为y=kx＋b，∴54+5,4kbkb，∴3,42,kb∴y=－34x－2.抛物线y=12x2－32x－2的顶点坐标为325,28，当x=32时，y=－34×32－2=－258，∴抛物线的顶点在⊙O1，⊙O2的圆心的连线上．