北师大版九年级下册数学 《二次函数》PPT课件

【答案】选B.
故障车，此时刹车
有危险（填“会”或
“不会”）.
【答案】会
1.y=a(x-h)2+k的图象的特征.
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 顶点坐标
直线x=h (h,k) 直线x=h (h,k)
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
拓展提升：
1.（荆州·中考）若把函数y=x的图象用E（x，x）
3.抛物线y =3x2+5的开口___向__上__，对称轴是_y__轴___， 顶点坐标是____(0__，__5_)___.
4.抛物线y =－2(x+1)2的开口_____向__下___，对称轴是 _直_线__x__=__－__1_，顶点坐标是___(_－__1_，__0_)___.
探究二：
y
画出二次函数y=3（x-1）2+2的图象， 并与二次函数y=3x2的图象进行比较， 说明它们之间的关系.
探究一：
在同一坐标系中画出下列函数 的图象：
思考：它们的图象之间有 什么关系？
y
o
x
函数
的图象
向上平移2个单位
函数
的图象
函数
向右平移1个单位 的图象
y
o
x
【小组竞赛】
1.抛物线y=3x2－4与抛物线y =3x2 的__形__状___相同，
____位__置___不同. 2.抛物线y =3(x－1)2与抛物线y =3x2 的__形__状__相同， ___位__置____不同.
达式为____________．
【答案】
或
4．（宁夏·中考）把抛物线

－x2)[a(x1＋x2－2)＋b]＝0.∵x1≠x2，∴x1－x2≠0，∴a(x1＋x2－2)＋b＝0，∴x1＋x2
＝2－ba，∴f(x1＋x2)＝f2－ba＝2－baa2－ba＋b＝4a－2b.
• (2)所谓二次函数的实质是指自变量的最高次 数是2，所以a≠0，但b、c都可以为0.
• (3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫二次函数的一般式， x可以取一切实数，但在实际问题中视具体情
• 【典例】若y＝(m－3)·xm2－3m＋2＋mx＋ 1分是析：二由二次次函函数数的定，义，则得mmm2－－＝33≠m_0＋._2＝__2，___解_得.m＝0.
• 答案：0 • 点评：一个二次函数要同时满足三个条件：
①函数表达式是整式；②化简后自变量的最 高次数是2；③二次项系数不等于0.
• 知识点2 根据实际问题列二次函数表达式
• 根据实际问题列二次函数表达式，一般方法 为：先找出题目中有关两个变量之间的等量 关系，然后用题目中所设出的变量与已知数 值表示这个等量关系，经过适当变形，即可 得到题目所要求的二次函数表达式．
基础过关
1．下列函数中，一定为二次函数的是
A．y＝3x－1
B．y＝ax2＋bx＋c
(C )
C．s＝2t2－2t＋1
D．y＝x2＋1x
2．如果 y＝(a－1)x2－ax＋6 是关于 x 的二次函数，那么 a 的取值范围是 ( B )
A．a≠0
B．a≠1
C．a≠1 且 a≠0
D．无法确定
3. 一个直角三角形的两条直角边长的和为 20 cm，其中一直角边长为 x cm，面
2x2.
• (2)不能．理由：由题意，知50x－2x2＝300， 解得x＝10或15，则50－2x＝30或20.当a＝ 18时，由于18<20，故不能建造符合要求的 养鸡场． (3)由(2)可知，建造符合要求的鸡 场最多有两种方案，a的最小值为20.

设人民币一年定期储蓄的年利率是 x,一年到期后,银行将本金和利息自动 按一年定期储蓄转存.如果存款额是 100元,那么请你写出两年后的本息和 y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
二、新课讲解
用心想一想
1.两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数 之积y的表达式吗？
四、强化训练
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1;
(2) y x 1 . x
(3) s=3-2t²;
(4) y

1 x2
； x
(5)y=(x+3)²-x²;
(6) v=10πr².
（1）（3） （6）
四、强化训练
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
一、新课引入
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数 反比例函数

y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
二次函数
二、新课讲解
用心想一想
某果园有100棵橙子树,平均每 棵树结600个橙子.现准备多种一 些橙子树以提高果园产量,但是如 果多种树,那么树之间的距离和每 一棵树所接受的阳光就会减少.根 据经验估计,每多种一棵树,平均每 棵树就会少结5个橙子.
例如: y=-5x²+100x+60000,y=100x²+200x+100.
老师提示: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常 数项,但不能没有二次项.

y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y


y=− +2


1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4

第二章 二次函数 2．1 二次函数
◎学习目标 1. 探索并归纳二次函数的定义． 2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
◎新知梳理
1. 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常
数，a ≠0 )的函数，叫做二次函数；其中 a 是二次
项系数，b 是 一次项系数 ， c 是 常数 ．
知识点 ：确定二次函数的表达式 3. 如图，长方形 ABCD 的长为 5 cm，宽为 4 cm， 如果将它的长和宽都减去 x(cm)，设它剩下的小长方形
AB′C′D′的周长为 y(cm)，面积为 S(cm2)，则 y 与
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 6:07:46 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/182021/9/182021/9/18Sep-2118-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/182021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021
D．y＝120(1－2x)
3. 将二次函数 y＝100(x＋1)2＋30x－200 化成一般
形式为 y＝100x2＋230x－100 ． 4. 某体育用品商店试销一款成本为 50 元的排球，

t 01 2 3 4 5 6 7… h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
拓展与延伸
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球
飞行路线的对称轴是直线t＝ 9 ；③足球被踢出9 s时落
2
地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其
中正确结论的个数是( B )
A．1
当堂小练
2.向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间与高度之间的
关系为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7 s与第14 s时的高度相等，则在下
列哪一个时间的高度是最高的( C )
A．第9.5 s
B．第10 s
C．第10.5 s
D．第11 s
拓展与延伸
足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞 行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的 高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的 关系如下表：
新课讲解
知识点1 实际中二次函数模型的建立
1．运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛 (投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象 与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号．
新课讲解
2．利用二次函数解决实际问题的基本思路是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式； (4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题．
∴EF＝10 m，GF＝3.75 m.在Rt△EFG中，tan ∠GEF＝
GF EF
3.75 10
0.375，∴∠GEF≈20.6°.
新课讲解
知识点2 求实际中“抛物线”型的最值问题

∴Q的坐标为(4,0);∠GCF=90°不存在,
综上所述,点Q的坐标为(4,0)或(9,0).
2.4
二次函数的应用(2)
北师大版 九年级数学下册
目
录
00 名师导学
01 基础巩固
02 能力提升
C O N TA N T S
数学
返回目录
◆ 名师导学 ◆
知识点 最大利润问题
(一)这类问题反映的是销售额与单价、销售量以及利润与每
(3)存在.∵y= x +2x+1= (x+3) -2,∴P(-3,-2),
3
3
∴PF=yF-yP=3,CF=xF-xC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45°.
同理,可得∠EAF=45°,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q.
设Q(t,1)且AB=9 2,AC=6,CP=3 2.
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
数学
返回目录
①当△CPQ∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=-4,∴Q(-4,1);

6
9 2
②当△CQP∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=3,∴Q(3,1).
9 2
6
综上所述,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形
数学
返回目录
◆ 基础巩固◆
一、选择题
1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为 x(0<x<1)的小
正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数表达式
B
为
(
)
2
2

+

顶点式 = ( − ) 能使问题简化。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型三 已知抛物线与轴交点的坐标，求二次函数的表达式
例3.已知二次函数的图象与 轴交于点M(-2,0)、N(3，
-0)，且抛物线经过P(2,4),求这个二次函数的表达式.
解：设函数的表达式为 = ( + )( − )
知
新
答一答
1.二次函数的达式有几种情势？
一般式： = + + (a≠0)
顶点式： = ( − ) + (a≠0)
交点式： = ( − )( − )(a≠0)
2.已知函数 = − − ，函数的开口方向 向上 ，
对称轴是直线 =1 ，顶点坐标是 (1,-7)
除了以上四种类型外，还有一些特殊方法。
对二次函数 = + + .
抛物线与轴交点(0,c）.
当 = ， = 时，抛物线顶点在原点，以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线顶点(0,c），以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线必过原点.
当 − = 时，抛物线顶点在轴上.
= −
所以，所求二次函数表达式为 = −
教学过程
方
法
总
结
记一记
方法总结：所求二次函数表达式有两个
待定系数时，需要两个独立条件或两个
点的坐标。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型二
已知抛物线顶点的坐标，求二次函数的表达式
例2.已知二次函数的图象以M(-2,3)为顶点，且经过点
N(-1，-3)，求这个二次函数的表达式.

对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y=2x2
y 1 0 8 6
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
4
2
-4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
二、新课讲解
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而减小.
y=2x2
y 1 0 8
当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大.
二、新课讲解
y=2x2
② 在直角坐标系 中描点
y 1 0 8 6 4 2 -4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
③ 用光滑的曲线 连接各点，便得到
函数y=2x² 的图像
二、新课讲解
y=2x2
y 1 0 8 6
4 2
-4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
二、新课讲解
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
当x=-2时，y=8 当x=-1时，y=2
6 4
当x=1时，y=2 当x=2时，y=8
2
抛物线y=2x2在x轴的上方(除顶 点外),顶点是它的最低点,开口 向上,并且向上无限伸展;当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
-4 -3 -2 -1 0 -2
1
2
3
4 x
二、新课讲解
二次函数y=2x² 的图像 是什么形状？ 它与y=x² 的图像 有什么相同和不同？ 它的开口方向，对称轴和 顶点坐标分别是什么
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请 你找出几对对称点,并与同伴交流. (3)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 知道的？

y=ax2+bx+c,把（－3，0），（－1，0），
1.设：
（表达式）
（0，－3）代入y=ax2+bx+c得
2.代：
a=－1，
9a
－
3b+c=0，
（坐标代入）
a－b+c=0， 解得 b=－4，
3.解：
c=－3，
c=－3.
方程（组）
4.还原：
∴所求的二次函数的表达式是
（写表达式）
y=－x2－4x－3.
第二章 二次函数
3 确定二次函数的表达式
CONTENTS
目
录
1
学习目标
2
新课导入
3
新课讲解
4
课堂小结
5
当堂小练
6
拓展与延伸
学习目标
1.用一般式(三点式)确定二次函数表达式
2.用顶点式确定二次函数表达式
3.用交点式确定二次函数表达式（重点、难点）
新课导入
1. 一次函数的表达式是什么?如何求出它的表达式?
2
(2)△ABC的面积是6.
O
B
A
C
x
随堂即练
6.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G
（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系
a b c 6

9a 3b c 0
c 3

解这个方程组，得a= 0.5，b= – 2.5，c=3
∴所求得的函数解析式为y=0.5x²– 2.5x+3
当堂小练
已知：二次函数的图像的对称轴为直线x= –3，并且函数有最
大值为5，图像经过点(–1,–3)，求这个函数的解析式。

-4 -2 0 2 4 x -3 -6 -9
新知讲 解
问题1：根据y=x2和y=-x2的图像，试着
探究二次函数y=ax2的性质.
5y
共同点：对称轴都是y轴
4
顶点都是坐标原点
3 2
1 y=
不同点：当上a；>0时，开口向
5
4
3
2
-1--1 2-3
O1x22 3 4
y =x2
5联系：二次下项．系数互为相反 数，开口相反，大小 相同，它们关于x轴
新知讲 解
y
2.描点:根据表中x, y的数值在坐标
9
平面中描点(x, y).
6
3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点, 就得到y=x2的图象.
3
-O
3
3x
新知讲 解
议一议
1.你能描述图象的形状吗？
y
9
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且
6 2抛.图物象线与开x口轴向有上交.点吗？如果有，交点坐标是什么？
作业布 置
1.课本习题2.2
2.点A(2,4)在二次函数y=x2的图象上吗?请分别写出点 A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐 标、关于原点O的对称点D的坐标.点B,C,D在二次函数 y=x2的图象上吗?在二次函数y=-x2的图象上吗?
4.若点A(2,m)在抛物线y=x2上，则点A关于y轴对(称-2点，的4)坐
标是
．
减小
5．二次函数y=-x2的图象，在y轴的右边，y随x的增大而
________．
课堂练 习
课堂练 习
7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、 B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所

当x= h 时，y有最 小 值，是 0 。 当x= h 时，y有最 大 值，是 0 。
增减性
当 X> h 时，y随x的增大而增大， 当 当 X< h 时，y随x的增大而减小。 当
X< h 时，y随x的增大而增大， X> h 时，y随x的增大而减小。
左右平移规律 （左加右减）
y=ax2
当h>0时,向右平移h个单位
y
y=2(x+3)2
5
y=2x2
4.
3.
2.
1.
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
y=2(x+3)2 -1/2
-1
y
y=2(x+3)2
5
y=2x2
4.
3.
2.
1.
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
x
y=2(x+3)2 -1/2
-1
二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质
二次函数
完成课本39页习题2.4 1-4题。
2.选做题：
(1)若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5),则
平移后的抛物线的解析式为
。
(2)二次函数
y 1 x 42
3
3
,当 1
x5
时，y的最大值为
，
最小值为 。
3.预习作业：
完成练习册66页预习案。
2.在同一直角坐标系中，二次函数
y1


1 2
x2，y2

x2，y3

3x2
的
图象开口由大到小的顺序是 y1 y2 y3 。