双曲线及其标准方程

第二单元 双曲线

一、内容和内容解析

（一）内容

双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质

本单元内容结构图如下：

（二）内容解析

1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题.

2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比.

3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用. 4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.

5.教学重点： 解析法研究双曲线的几何特征与性质

二、目标及其解析

（一）单元目标

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．

2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．

3．了解双曲线的简单应用．

4．理解数形结合思想．

（二）目标解析

达成上述目标的标志是:

1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程．

2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质．

3．能解决与双曲线有关的简单应用问题．

三、教学问题诊断分析

3.1双曲线及其标准方程

要点精讲

1.双曲线的第一定义

数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a<2c）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点(focus)。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。c^2=a^2+b^2 (a=半长轴，b=半短轴）

2.双曲线的第二定义

(1)文字语言定义:

平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。

(2)集合语言定义:

设 双曲线上有一动点M,定点F,点M到定直线距离为d,

这时称集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的点集是双曲线.

注意:定点F要在定直线外 且 比值大于1.

(3)标准方程

设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d,

则由 |MF|/d=e>1.

推导出的双曲线的标准方程为

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.

这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程.

而中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为:

典型例题

1． 在ABC中，2BC，且ABCsin21sinsin，求点A的轨迹．

分析：要求点A的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？

【解析】

以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则01，B，01，C．

设yxA，，由ABCsin21sinsin及正弦定理可得：

121BCACAB

∵2BC

∴点A在以B、C为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：

0012222babyax，

2．3．1双曲线及其标准方程 第一课时

《双曲线及其标准方程》

一．教学目标

►知识与技能目标

了解双曲线的定义，几何图形，标准方程

►过程与方法目标

类比椭圆的定义，标准方程，得到双曲线的定义，标准方程，并注意两者的比较

►情感与态度目标

体会运动变化的观点，数形结合的思想方法

二．教材分析：

1、教学分析：学生已经掌握曲线与方程的基础，通过实例给出双曲线的定义，进而去推导双曲线的标准方程，由于前面学习了椭圆的相关知识，这一块对于学生来说是比较熟悉的内容，可让他们自行推导，课本的例1很好的结合了双曲线的定义来考察学生对概念理解的程度，例2将双曲线应用在实际生活当中，后面的探究内容可以充分发挥出学生的主导地位，分析和发现轨迹方程的求法。

2．教学重点：双曲线的定义，标准方程

3．教学难点：双曲线标准方程的推导

三、教学过程：

（一）导入新课

1．回顾椭圆的定义，标准方程 2．提出问题：

平面内到两定点的距离的差为常数的点的轨迹是什么？

3．实验探究上述问题

学生动手实验

P．52拉链演示

4．多媒体演示

（二）推进新课

1．双曲线的定义：

平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

即以曲线上的点M满足：aMFMF221（a为定值，aFF221）

思考：（1）若aFF221，点M的轨迹是什么？

（2）若aFF221，点M的轨迹是什么？

2．双曲线标准方程的推导

以焦点在x轴的双曲线为例，类比椭圆标准方程的推导过程，按求曲线方程的一般步骤求解。

得到双曲线的标准方程为12222byax

说明：

（1）12222byax或12222bxay均称为双曲线的标准方程；

（2）cba,,三者的关系：222bac，注意与椭圆中cba,,三者关系的区别；

（3）0,0ba；

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2．3 双曲线

2．3.1 双曲线及其标准方程

1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程． 2.掌握双曲线的标准方程．

3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．

1．双曲线的定义

(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．

(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．

(3)焦点：两个定点F1、F2．

(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.

2．双曲线的标准方程

焦点在x轴上 焦点在y轴上

标准方程 x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0) y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)

焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)

a，b，c的关系 c2＝a2＋b2

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c全国名校高考数学复习优质学案汇编（附详解）

之间的关系相同．( )

(2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．( )

(3)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b.( )

答案：(1)× (2)× (3)×

2．已知双曲线x216－y29＝1，则双曲线的焦点坐标为( )

A．(－7，0)，(7，0) B．(－5，0)，(5，0)

C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－7)，(0，7)

答案：B

3．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是( )

A.y236－x264＝1

B.x264－y236＝1

C.x236－y264＝1

D.x236－y264＝1或y236－x264＝1

答案：D

4．设双曲线x216－y29＝1的右支上一点P到左焦点F1的距离是15，则P到右焦点F2的距离是________．