双曲线及其标准方程

第二单元 双曲线

一、内容和内容解析

（一）内容

双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质

本单元内容结构图如下：

（二）内容解析

1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题.

2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比.

3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用. 4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.

5.教学重点： 解析法研究双曲线的几何特征与性质

二、目标及其解析

（一）单元目标

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．

2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．

3．了解双曲线的简单应用．

4．理解数形结合思想．

（二）目标解析

达成上述目标的标志是:

1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程．

2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质．

3．能解决与双曲线有关的简单应用问题．

三、教学问题诊断分析

3.1双曲线及其标准方程

要点精讲

1.双曲线的第一定义

数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a<2c）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点(focus)。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。c^2=a^2+b^2 (a=半长轴，b=半短轴）

2.双曲线的第二定义

(1)文字语言定义:

平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。

(2)集合语言定义:

设 双曲线上有一动点M,定点F,点M到定直线距离为d,

这时称集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的点集是双曲线.

注意:定点F要在定直线外 且 比值大于1.

(3)标准方程

设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d,

则由 |MF|/d=e>1.

推导出的双曲线的标准方程为

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.

这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程.

而中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为:

典型例题

1． 在ABC中，2BC，且ABCsin21sinsin，求点A的轨迹．

分析：要求点A的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？

【解析】

以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则01，B，01，C．

设yxA，，由ABCsin21sinsin及正弦定理可得：

121BCACAB

∵2BC

∴点A在以B、C为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：

0012222babyax，

2．3．1双曲线及其标准方程 第一课时

《双曲线及其标准方程》

一．教学目标

►知识与技能目标

了解双曲线的定义，几何图形，标准方程

►过程与方法目标

类比椭圆的定义，标准方程，得到双曲线的定义，标准方程，并注意两者的比较

►情感与态度目标

体会运动变化的观点，数形结合的思想方法

二．教材分析：

1、教学分析：学生已经掌握曲线与方程的基础，通过实例给出双曲线的定义，进而去推导双曲线的标准方程，由于前面学习了椭圆的相关知识，这一块对于学生来说是比较熟悉的内容，可让他们自行推导，课本的例1很好的结合了双曲线的定义来考察学生对概念理解的程度，例2将双曲线应用在实际生活当中，后面的探究内容可以充分发挥出学生的主导地位，分析和发现轨迹方程的求法。

2．教学重点：双曲线的定义，标准方程

3．教学难点：双曲线标准方程的推导

三、教学过程：

（一）导入新课

1．回顾椭圆的定义，标准方程 2．提出问题：

平面内到两定点的距离的差为常数的点的轨迹是什么？

3．实验探究上述问题

学生动手实验

P．52拉链演示

4．多媒体演示

（二）推进新课

1．双曲线的定义：

平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

即以曲线上的点M满足：aMFMF221（a为定值，aFF221）

思考：（1）若aFF221，点M的轨迹是什么？

（2）若aFF221，点M的轨迹是什么？

2．双曲线标准方程的推导

以焦点在x轴的双曲线为例，类比椭圆标准方程的推导过程，按求曲线方程的一般步骤求解。

得到双曲线的标准方程为12222byax

说明：

（1）12222byax或12222bxay均称为双曲线的标准方程；

（2）cba,,三者的关系：222bac，注意与椭圆中cba,,三者关系的区别；

（3）0,0ba；

第1页双曲线

1．双曲线的概念

平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|

且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的

距离叫做焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；

(1)当a

(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线．

(3)当a>c时，P点的轨迹不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2－y2

b2＝1

(a>0，b>0)y2

a2－x2

b2＝1

(a>0，b>0)

图形

性

质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a

对称性对称轴：坐标轴

对称中心：原点

顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线y＝±b

axy＝±a

bx

离心率e＝c

a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段

B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲

线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

a、b、c的关

系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)第2页1．方程x2

m－y2

n＝1(mn>0)表示的曲线

(1)当m>0，n>0时，表示焦点在x轴上的双曲线．

(2)当m<0，n<0时，则表示焦点在y轴上的双曲线．

2．方程的常见设法

(1)与双曲线x2

a2－y2

b2＝1共渐近线的方程可设为x2

a2－y2

b2＝λ(λ≠0)．

(2)若渐近线的方程为y＝±b

ax，则可设双曲线方程为x2

a2－y2

b2＝λ(λ≠0)．

3．常用结论

1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，

则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2

a；异支的

弦中最短的为实轴，其长为2a.

4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右