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第一章行列式的习题课

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1 第一章行列式的习题课

一、基本内容

1．排列及其逆序数，奇排列、偶排列

倒排列])([3211nn；两个排列的逆序数之和)()(12121aaaaaaannn

2．n阶行列式的定义

)()()(nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaa212121212122221112111

它的展开式共有!n项，每一项都是取自不同行、不同列的n个元素的乘积。该项的符号确定有三个原则：

（1）标行按自然序排列；

（2）列标按自然序排列；

（3）行、列下标均不一定按自然序排列。

3．用定义计算行列式只适合于零元素特别多的行列式的计算。一般情况下是利用行列式的性质，将行列式化成上（下）三角形行列式来计算，因为上（下）三角形行列式 2 的值等于其主对角线上所有元素的乘积。

nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa2122211122211211000000

nnaaa0000002211nnaaa2211

至于对角线法则只能适合于计算四阶以下的行列式，高阶行列式（四阶或四阶以上）绝对不能用对角线法则，要利用行列式的性质将其化为上三角形行列式来计算或者按一行（列）展开。

4．行列式的性质

性质1任意行列式D与它的转置行列式TD的值相等，即TDD。

性质2行列式某一行（列）的公因子可以提取到行列式符号外边来；

推论 若行列式某一行（列）的元素全为零，则其值为零； 3 性质3若行列式某一行（列）的每一个元素均可以表示成两个元素之和，则该行列式可以表示成两个行列式之和（拆分原则）。

nnnnininiiiinaaacbcbcbaaa21221111211

nnnniniinnnnniniinaaacccaaaaaabbbaaa212111211212111211

推论1 若行列式有两行（列）的元素对应相等，则行列式的值等于零。

推论2 若行列式某两行（列）的元素对应成比例，则其值为零。

性质4 交换行列式的任意两行（列），行列式改变符号；

性质5 将行列式某一行（列）的倍数加到另一行（列）上去，行列式的值不变。（这 4 条性质是我们在简化行列式的过程中用得最多的一条性质）。

性质6（行列式按一行（列）展开定理）

余子式：ija的余子式ijM；代数余子式：ija的代数余子式ijjiijMA)1(

行列式的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值；行列式的任意一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即：

kikiDAaAaAakninkiki02211

ljljDAaAaAanlnjljlj02211

5．行列式的两种主要计算方法

（1）化成上三角形行列式计算：利用行列式的性质将行列式化为上三角形行列式，因为上三角形行列式的值等于其主对角线上元素的乘积。这种方法也是线性代数的基本功。

（2）按一行（列）展开：首先利用行列 5 式的性质，把行列式化为某一行（列）只有一个非零元素，其余元素均为零，然后按该行（列）展开。则行列式的值就等于该非零元素乘以它的代数余子式。

例如，计算行列式403351110243152113

对于计算一般的n阶行列式，主要是找出它的规律，以便求出结果。

6．几种特殊类型的行列式

（1）上（下）三角形行列式、对角形行列式（略）。它们的值都等于其主对角线上所有元素的乘积。

（2）范德蒙（Vandermonde）行列式

njiijnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxx111312112232221321)(1111 6 （3）关于副对角线的行列式的计算

000000112111222211111211nnnnnnaaaaaaaaaa

nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa121111122121000000

000000000000112121nnnnaaaa

1122212)1()1(nnnnnnaaaa

二、例题选讲

本章的难点在n阶行列式的计算，学生应注意在计算n阶行列式的方法及技巧下工 7 夫。对于不同的行列式有不同的解题方法与技巧，要灵活掌握。在计算行列式时，应尽量避免用分数去加减，以减少错误率。

例1 计算行列式

yyxx1111111111111111

例2 计算n+1阶行列式

nnnaaaaaaa110001000001100011000112211

例3 计算n阶行列式 8

xzzzzyxzzzyyxzzyyyxzyyyyxDn.................................

例4 证明n阶行列式

baabbabaabbaabba1...000...000..................00...1000...100...0

)(11bababann

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孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(上册)课后习题(含考研真题)详解-行列式(圣才出品)

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1 / 47 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 2.2 课后习题详解 第1节 矩 阵 1．由下面条件写出m×n矩阵A及转置矩阵A′． 1） 2） 3） 4） 5） 解：由所给条件可知，A与A′如下． 1） 2） 3）

2 / 47 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 4） 5） 未标出的地方均为0． 2．用初等行变换将n阶方阵A变为n阶单位方阵In．并求In经过这些同样的行变换所得的方阵． 1） 2） 3）， 4），这里，，而i≠j时，． 解：将A用一次初等行变换变为A1时，记为．两个矩阵A，B进行同样的行变换则记为．

3 / 47 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 1） 2）

4 / 47 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 3） 4） 第2节 行列式 1．计算下面行列式． 1） 2） 3）

5 / 47 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 4） 5） 6） 7） 8） 9） 10）

6 / 47 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 11） 解：以D表示所要计算的行列式，则有下面结果． 1） 2） 3） 4） 5） 6） 7） 8）

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题

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基础课程教学资料

第1章 矩 阵

习 题 一

(B)

1、证明：矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A

为n 阶对角矩阵. 证明：先证明必要性。若矩阵A 为n 阶对角矩阵. 即

令n 阶对角矩阵为：

A =??

n a a a 00000021,

任何对角矩阵B 设为

n b b b

000

0021

，则AB=??

n n b a b a b a

000

002

211， 而BA =??

n n a b a b a b

000002211，所以矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换。 再证充分性，设 A =??

nn n n n n b b b b b b b b b 2

1

222

21

11211

， 与B 可交换，则由AB=BA ，得：

nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 2

21

1222

22111122111=

nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 2

1

2222

221

21112111

1， 比较对应元素，得

0)(=-ij j i b a a ，)(j i ≠。 又j i a a ≠，)(j i ≠，所以

0=ij b ，)(j i ≠， 即A 为对角矩阵。

2、证明：对任意n m ?矩阵A ，T AA 和A A T

均为对称矩阵. 证明：(T

AA )T =(A T )T A T =AA T

，

所以，T

AA 为对称矩阵。 (A A T

)T =A T (A T )T =A T A ， 所以，A A T 为对称矩阵。

3、证明：如果A 是实数域上的一个对称矩阵，且满足O A =2

，则A =O . 证明：设

A =??

nn n n n n a a a a a a a a a 2

1

线性代数课后习题1-4作业答案(高等教育出版社)

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第一章 行列式

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式

(1)381141102

解 381141102

2(4)30(1)(1)118

0132(1)81(4)(1)

2481644

(3)222111cbacba

解 222111cbacba

bc2ca2ab2ac2ba2cb2

(ab)(bc)(ca)

4 计算下列各行列式

(1)71100251020214214

解

71100251020214214010014231020211021473234cccc34)1(143102211014

14310221101401417172001099323211cccc

(2)2605232112131412 解

2605232112131412260503212213041224cc041203212213041224rr

0000003212213041214rr

(3)efcfbfdecdbdaeacab

解 efcfbfdecdbdaeacabecbecbecbadf

abcdefadfbce4111111111

(4)dcba100110011001

解

dcba100110011001dcbaabarr10011001101021

东北大学线性代数课件第一章-行列式(Word)

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1 / 31 第一章 行列式

教学基本要求：

1. 1. 了解行列式的定义.

2. 掌握行列式的性质和计算行列式的方法.

3. 会计算简单的n阶行列式.

4. 了解Cramer法则.

一、行列式的定义

1. 定义

nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为n阶行列式，记作D(或nD或||ijna)，它是n2个数(1,2,,;1,2,,)ijainjn的一个运算结果：

1112121222111112121112nnnnnnnnaaaaaaDaAaAaAaaa，(1.1)

其中，(1,2,,;1,2,,)ijainjn为行列式位于第i行且第j列的元素，111(1)jjjAM(1,2,,)jn，而1jM为划掉行列式第1行和第j列的全部元素后余下的元素组成的1n阶行列式，即

212121222312131111jjnjjnjnnjnjnnaaaaaaaaMaaaa

1jM称为元素1ja的余子式，1jA称为元素1ja的代数余子式.

2. 基本行列式：

(1)一阶行列式 aa||.

例如，|106|106，

2121. 主对角线

2 / 31 (2)二阶行列式 1112112212212122aaaaaaaa.

(3)三阶行列式 111213212223112233122331132132313233aaaaaaaaaaaaaaaaaa

132231122133112332aaaaaaaaa.

(4)三角形行列式

①对角行列式 111122nnnnaaaaa.

②下三角行列式 1111221nnnnnaaaaaa.

③上三角行列式 1111122nnnnnaaaaaa.

④1(1)212111(1)nnnnnnnaaaaa.

⑤1(1)212111(1)nnnnnnnnnaaaaaa.