一次函数中考应用创新题

1 一次函数中考应用创新题

一次函数是一种重要的函数．所以每年的中考试题中都要出现一些和一次函数有关的试题．在2005年的中考试题中,出现了几道一次函数创新题,这些试题设计新颖,别具一格．

一、图形信息题

例1 (吉林)两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给出的数据信息，解答问题：

(1)求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(2)若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度．

分析：本题是一道数形结合问题，从左图可以看出4个碗，高10.5厘米,从右图看出7个碗,高15厘米, 根据这些信息,设出一次函数关系式y=kx+b，将条件代入求值即可解决问题．

解:设一次函数关系式为y=kx+b,将条件代入,得

410.5,715.kbkb 解得k=1.5,b=4.5

所以y与x之间的函数关系式为y=1.5x+4.5．

(2)当x=12时,y=1.5×12+4.5=22.5

所以桌面12个整齐叠放的饭碗的高度是22.5cm．

例2 (锦州)温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗?如图是一个温度计实物示意图，左边的刻度是摄氏温度(℃)，右边的刻度是华氏温度(°F)，设摄氏温度为x(℃)，华氏温度为y(°F)，则y是x的一次函数．

(1)仔细观察图中数据，试求出y与x之间的函数表达式；

(2)当摄氏温度为零下15℃时，求华氏温度为多少?

分析:本题是通过摄氏温度(℃)与华氏温度(°F)之间的温度换算

编拟的一道求一次函数表达式试题．解决本题的关键是观察示意图,找到对应问题．

解: (1)设一次函数表达式为y=kx+b，由温度计的示数得x=0，

y=32；x=20时，y=68．将其代入y=kx+b，得(任选其它两对对应值也可)

解得 32,9,5bk

所以932.5yx

(2)当摄氏温度为零下15℃时，即x=-15，将其代入932,5yx9(15)3255y

所以当摄氏温度为零下15℃时，华氏温度为5°F．

二、对话信息题

例3 （湖州)在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数S（次/分）是这个人年龄n（岁）的一次函数．

2

（1）根据以上信息，求在正常情况下，S关于n的函数关系式；

（2）若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：他是否有危险？为什么？

分析：本题通过对话的形式给出解题信息，解决问题的关系是读懂对话内容，找到解题信息．

解:设S=kn+b,把n=15,S=164和n=45,S=144,代入,得,14445,16415bkbk

解得k=－32,b=174,所以S=－32n+174, 当n=63时,S=132．

又因为10秒跳26次,则1分钟跳156次,156次>132次,所以有危险．

三、图象信息题

例4 (泰州）教室里放有一台饮水机（如图3），饮水机上有两个放水管．课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同．放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示：

（1）求出饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）(x≥2)的函数关系式；

（2）如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要几分钟？

分析：本题通过实物图形和函数图形结合起来，有利于函数图象的理解．从函数图象上获取准确的解题信息是解决问题的关键．

解：（1）设存水量y与放水时间x的解析式为y=kx+b,

把（2，17）、（12，8）代入y=kx+b得 172812kbkb ， 解得k=－910，b=945．

所以y=－910x＋945 （2≤x≤1889）．

（2）由图可得每个同学接水量是0.25升，则前22个同学需接水0.25×22=5.5升． y(升) 18

17

x(分钟) 8

2 12 O

3 存水量y=18－5.5=12.5升， 所以12.5=－910x＋945, 所以x=7 ．

所以前22个同学接水共需7分钟．

四、图表信息题

例5 (济南)如图3,某种旅行帽沿接有两个塑料帽带,其中一个塑料帽带上有7个等距的小圆柱体扣,另一个帽带上扎有七个等距的扣眼,下表列出的是用第一扣分别去扣不同扣眼所测得帽圈直径的有关数据(单位：cm)：

(1)求帽圈直径y与扣眼号数x之间的一次函数关系式;

(2)小强的头围约为68.94cm,他将第一扣扣到第4号扣眼,你认为松紧合适吗?

析解：设一次函数的关系式为y=kx+b，将x=1，y=22.92和x=2,y=22.60代入,得

.60.222,92.22bkbk

解得k=－0.32,b=23.24,

所以帽圈直径y与扣眼号数x之间的一次函数关系

式y=－0.32x+23.24．

(2)当x=4时,y=21.96,这时的帽圈的周长约为

21.96×3.14=68.95cm,

因为68.94近似和68.95相等,所以这时的松紧比

较合适． 图3

一次函数的综合题［知识回顾］

1. 一般在数学试卷中，数字综合题以压轴题形式出现。

2. 数学综合题大致可分为代数综合题、几何综合题以及代数、几何综合题三类。

3. 求解数学综合题的基本原则是：先拆分成几个比较熟悉的数学小题分别求解，再根据题意，找出它们之间的联系，综合解之。

【典型例题】

例1. 已知直线l：ykx4交y轴于A，由点C（3，0）作y轴的平行线CB交直线l于点B。若四边形AOCB的面积为9，求直线l的函数解析式。

解：直线过轴上的点lyA xyA0404，，，()

又CB//y轴 ∴设B（3，m），其中m>0

mCBOCOA，，显然34 扣眼号数(x) 1 2 3 4 5 6 7

帽圈直径(y) 22.92 22.60 22.28 21.96 21.64 21.32 21.00

4 当时，解得（，）直线过点，解得所求的直线为四边形SAOBCOCmmBlBklyxAOCB91291243923223234()() y

A

B

O C x

例2. 光线从A（-2，3）射到B（1，0），然后被x轴反射出去，求反射光线所在的直线的解析式。

解：过B作直线l⊥x轴，则由光的反射定律：点A关于直线l的对称点A’，一定在反射光线上，不妨设AAl'于C，则C（1，3），又ACAC'

ACA''()343，，

设过B、A’的直线为ykxb，将点B，A’的坐标代入

解得kbkbkb04311

反射线所在的直线解析式为yx1

l

y

C

A A’

O B x

例3. 已知直线yx331与x轴，y轴分别交于A、B。现以线段AB为边在第一象限内作一个正三角形ABC，如果在第一象限内有一点Pm，12且SSABPABC，求m的值。

解：直线与、轴相交yxxy331

5 容易得到（，），（，）又·作轴于四边形ABABSABSPDxDSSSSABCABPABPODPBABOADP3001132343423322

y

C

B

P

O

A

1211231233523mmm()解得

例4. 已知直线ykxb与x轴交于点P，与直线yx5的交点Q的纵坐标为4，且PQ25，若直线yx5与x轴交于点M，求SMPQ的值。

解：yQ4

xxQykxbxPPbkPQ54114025，，（，）又直线与轴相交于点，，但 y

Q

O P M

由勾股定理：且解方程组，得，直线为或直线与轴相交于，（，）bkkbkbkbykxbyxyxyxxMM14254262226225502221122

1°当时，点为（，）yxP2630（如图1所示）

SPMyMPQQ1212244

2°当yxP2210时，点为（，）（如图2所示）

SPMyMPQQ12126412·

6 由°，°知：或12412SMPQ y

Q

P

O

M

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 已知一次函数的图象l过点A（2，-4），且与过B（-1，5）的正比例函数的图象平行，求直线l的解析式。2. 一次函数yaxb的图象过点P()321，，且它与直线yx342相交于x轴上，求直线yaxb与直线yx23的交点坐标。

3. 已知直线l交x轴于A（-6，0），与正比例函数的图象交于点B，设B的横坐标为-4，SAOB15，求直线l和正比例函数图象的解析式。

4. 已知直线l：ykxb过点Ax()16，和点By（，）41，且yxxy11115，，

xy116。（1）求直线l的函数解析式。（2）当61yy时，求x的取值范围。

5. 若不论k取何实数值时，一次函数ykxk2的图象总是通过一个定点，你能求出这个定点的坐标吗？

6. 已知直线l：yx324与x轴，y轴分别交于A，B。另有一条直线l’经过其中的一个交点，且与坐标轴以及直线l围成的图形面积是直线l与坐标轴围成图形面积的2倍。求直线l’的解析式。

【试题答案】

1. yx56 2. 交点为378254，

3. xyxy451525和或xyxy451525和 4. （1）yx323 （2）46x 5. 定点120，