九年级数学上册 24.3 锐角三角函数教案 (新版)华东师大版

1 24．3 锐角三角函数

24．3.1 锐角三角函数

第1课时 锐角三角函数(1)

【知识与技能】

了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比．

【过程与方法】

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的作用．

【情感态度】

1．通过学习培养学生的合作意识．

2．通过探究提高学生学习数学的兴趣．

【教学重点】

锐角三角函数的概念．

【教学难点】

锐角三角函数的概念的理解．

一、创设情景，导入新知

如图(1)、图(2)都可以用来测量物体的高度．

这两个问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本节的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关的问题．

二、合作探究，理解新知

1．在Rt△ABC中，介绍某个角的对边、邻边的概念．

2．做一做：

(1)画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝30°，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？量一量、算一算．

(2)你画的三角形与你同伴画的三角形全等吗？不全等时，比值有什么关系？和你的同伴交流一下． 2 (3)若∠A＝45°、60°时，则∠A对边与斜边之比＝______．

说明：学生独立思考后回答．教师强调：在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变(如∠A＝30°)，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．

思考：一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？

先由学生发表意见，然后再引导学生观察几何画板演示的过程．

明确：在Rt△ABC中，对于锐角固定的一个值，它的对边与斜边的比都是一个固定不变的值，与Rt△ABC的大小无关．

为什么是这样呢？下面我们用相似形的知识来说明．

观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知Rt△AB1C1∽Rt△________∽Rt△________．

∴B1C1AB1＝B2C2AB2＝B3C3AB3…

可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是唯一确定的．

同样，其对边与邻边，邻边与斜边的比值也是唯一确定的．

3．锐角三角函数的定义

板书：在△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝∠A的对边斜边＝BCAB＝ac.

同样可得出锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝∠A的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝∠A的对边邻边.

我们把锐角A的正弦、余弦、正切统称为锐角A的三角函数．

想一想：当0°<∠A<90°时，sinA、cosA的值会在什么范围内？为什么？

这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，教师可适当点拨：直角三角形中斜边大于直角边．

在学生充分讨论的基础上，得结论0

例题讲解 3

例1：求出如图所示的Rt△ABC中，∠A的三个三角函数值．

解：Rt△ABC中，AB＝BC2＋AC2＝152＋82＝17.

∴sinA＝BCAB＝817，cosA＝ACAB＝1517，tanA＝BCAC＝815.

【教学说明】例1的设置是为了巩固三角函数的概念，通过教师示范，使学生会求三角函数值，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点．

变式训练：(1)如果将题中的条件变为AB＝15，BC＝8或AC∶BC＝1∶2，你能求出∠A的三个三角函数值吗？

(2)若将条件AB＝15，BC＝8改为tanA＝2，你能求出∠A的其余三角函数值及∠B的三个三角函数值吗？

【教学说明】通过变式训练让学生明确这类题的解法：设比值法．

例2：已知：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝23，BC＝3，求AB、AC的值．

(学生独立思考，小组交流解题思路，师生共同寻求解题方法)

分析：本题已知直角三角形中锐角A的正弦值及直角边BC的长，要求斜边AB的长，可利用正弦函数的定义sinA＝∠A的对边斜边求出；AC的长可利用勾股定理求出．

解：∵sinA＝BCAB，∴AB＝BCsinA＝ 3 23 ＝92.

∴AC＝AB2－BC2＝（92）2－32＝32 5.

变式训练：已知：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝23，求sinB的值．

【教学说明】通过以上两题和变式训练的教学，使学生会用方程思想和设参数法解题，进一步明确锐角的三角函数值只与角的有关边的比值有关，而与它们的长度没有关系．

思考：你能根据三角函数的定义得出sin2A＋cos2A＝1吗？

引导学生利用三角函数定义及勾股定理解决．

三、尝试练习，掌握新知

1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦值 ( )

A．没有变化 B．扩大2倍

C．缩小2倍 D．不能确定

2.如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，那么sinA的值等于 ( )

A.1213 B.135 4 C.512 D.513

3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝4，则sinB的值是( )

A.1515 B.14 C.13 D.154

4.△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，则BC∶AC等于( )

A．3∶4 B．4∶3 C．3∶5 D．4∶5

5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶b＝1：3，则c＝______a，sinA＝______，sinB＝______．

6．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．

四、课堂小结，梳理新知

本节课你学会了什么？还有什么疑问？你还想知道什么？

引导学生从知识和方法上总结．

五、深入练习，巩固新知

请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

1.教材习题24.3第1、2题．

2.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝13，求∠A的其余三角函数值．

3.等腰△ABC，AB＝AC＝13，BC＝10，求∠B的三个三角函数值．

第2课时 锐角三角函数(2)

【知识与技能】

1．熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．

2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

【过程与方法】

逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．

【情感态度】

经历观察、操作、归纳等学习数学过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度．

【教学重点】

特殊角的三角函数值．

【教学难点】

与特殊角的三角函数值有关的计算．

一、创设情境，导入新知

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，求∠A、∠B的三角函数值．

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，求∠A、∠B的三角函数值． 5 说明：回顾锐角三角函数的定义；直角三角形的性质．

二、合作探究，理解新知

问题1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，你能借助于常用的两块三角板或直接通过计算，根据锐角三角函数的定义，分别求出下列∠A的三角函数值吗？

(1)∠A＝30°；(2)∠A＝45°；(3)∠A＝60°.

分析：利用三角函数的定义及等腰直角三角形的两直角边相等，可求出45°角的各三角函数值；利用在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半可求出30°、60°角的各三角函数值．

思考：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的多少？若设30°所对的直角边是1，则斜边是多少？另一条直角边是多少？

解：如图，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，则AB＝2BC，由勾股定理，得AC＝AB2－BC2＝3BC，所以

sin30°＝sinA＝BCAB＝BC2BC＝12；

cos30°＝cosA＝ACAB＝3BC2BC＝32；

tan30°＝tanA＝BCAC＝BC3BC＝33.

同理可求得：sin60°＝32，cos60°＝12，tan60°＝3.

你能仿照上面的解法，利用下图，求出45°的各三角函数值吗？试试看．

(答案：sin45°＝22，cos45°＝22，tan45°＝1，提示：在此三角形中，BC＝AC＝22AB.)

练一练：

1．计算sin30°·tan45°的值为( A )

A.12 B.32 C.36 D.24

2．tan30°的值等于__33__．

3．等边三角形中，一个锐角的正切值是__3__．

问题2：在Rt△ABC中，若sinA＝32，则cosA2＝______．

分析：逆用特殊角的三角函数值，已知三角函数值，可求出相应的特殊角．

解：由sinA＝32，得∠A＝60°，所以cosA2＝cos30°＝32. 6 练一练：

已知α是锐角，cosα2＝32，则α等于( C )

A．30° B．45° C．60°

D．90°

问题3：你能求出tan15°的值吗？

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至D，使BD＝AB，则∠D＝15°.设AC＝k，则AB＝2k，BC＝3k，所以CD＝BC＋BD＝BC＋AB＝(2＋3)k，所以tan15°＝ACCD＝k（2＋3）k＝12＋3＝2－3.

仿照上面的解题方法，你能求出tan22.5°的值吗？

分析：构造含22.5°的直角三角形，利用三角函数的定义求．

解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝CB，延长CB到D，使BD＝AB，则∠D＝12∠ABC＝22.5°.

在Rt△ACD中，设AC＝BC＝1，则BD＝AB＝2，DC＝1＋2.

所以tan∠ADC＝ACDC＝11＋2＝2－1.

探究：下列式子成立吗？

1．sin75°＝sin45°＋sin30°；

2．sin60°＝2sin30°.

(答案：都不成立．)

3．计算：sin30°＋cos245°＋tan60°.

4．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，求sinA的值．

三、尝试练习，掌握新知

1．化简（tan30°－1）2等于( )

A．1－33 B.3－1

C.33－1 D.3＋1

2．点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )

A．(32，12) B．(－32，－12)

C．(－32，12) D．(－12，－32)