教学目标
（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；
（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；
（3）能够解决一些简单的实际问题；
（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；
（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；
教学建议
1．教材分析
（1）知识结构
本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式： ，根据这个结论，又得到了一个定理： ，并指出了 为 的算术平均数， 为 的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。
（2）重点、难点分析
本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是 正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的 条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力， 帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．
㈠定理教学的注意事项
在公式 以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：
（1） 和 成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数。
例如 成立，而 不成立。
（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当„„时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义： 当 时取等号，其含义就是：
仅当 时取等号，其含义就是：
综合起来，其含义就是： 是 的充要条件。
（二）关于用定理证明不等式
————来源网络整理，仅供供参考 1 算术平均数与几何平均数（一）
教学目标
（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；
（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；
（3）能够解决一些简单的实际问题；
（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；
（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；
教学建议1．教材分析（1）知识结构 本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式： ，根据这个结论，又得到了一个定理： ，并指出了 为 的算术平均数， 为 的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。（2）重点、难点分析 本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教
————来源网络整理，仅供供参考 2 师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．㈠定理教学的注意事项 在公式 以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点： （1） 和 成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数。 例如
成立，而 不成立。 （2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义： 当 时取等号，其含义就是： 仅当 时取等号，其含义就是： 综合起来，其含义就是： 是 的充要条件。（二）关于用定理证明不等式 当用公式 ， 证明不等式时，应该使学生认识到： 它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明。（三）应用定理求最值的条件 应用定理时注意以下几个条件： （1）两个变量必须是正变量； （2）当它们的和为
算术平均数与几何平均数（1）
一、 选择题
1. 下列函数中，能取到最小值2的是：
A. 1(0)yxxx
B. sin2(0)2sinxyxx
C. 1()xxyexRe
D. 2232xyx
2. 设,,xyR 且5,xy 则33xy 的最小值为
A. 10
B. 63
C. 66
D. 183
3. 已知0,x 则函数32yxx
A. 有最小值223
B. 有最大值223
C. 有最大值223
D. 有最小值223
4. 0,0,ab 则下列不等式中不成立的是
A. 2abba
B. 222abab C. 21abab
D. 1112abab
5. 若1,ab lglg,Pab 1(lglg),2Qab lg,2abR 则
A. RPQ
B. PQR
C. QPR
D. PRQ
二 填空题
6. 若0,0,ab 且1,ab 则ab 的最大值是________
7. 函数228()12,fxxx 当_____x 时，函数()fx 圾最______值是_______
三． 解答题
8. 已知2,x 求函数12yxx 的最小值及取得最小值时的x 值
9. 现有一根长为l 的钢筋，要用它围成一个矩形框，当长、宽各为多少时，使得这个矩形框的面积最大？
10. 已知02,x 求函数22()(42)fxxx 的最大值及取得最大值时的x 值
《数学教学通讯￣２００２年第８期（总第１５３期） 重庆 ・ｚ３・
课题 ６．２算术平均数与几何平均数（一） （浙江省绍兴市第一中学 ３１２０００） 虞金龙 ［教学目标］ （１）使学生掌握基本不等式ａ ＋ｂ ≥２ａｂ （日，ｂ∈Ｒ，当且仅当ａ：ｂ时取“一”号）及其推 论，并能应用它证明一些不等式． （２）通过对定理及其推论的证明与应用， 培养学生应用综合法进行推理的能力． ［教学手段］ 利用实物教具，实物投影仪及计算机辅助 教学． ［教学过程］ １ 奠基 １．１ 提出问题 （实物显示）将一张正方形的纸片，裁剪成 四个全等的直角三角形纸片，要求以正方形的 边作为直角三角形的斜边，如何剪？能否做到纸 片不浪费？ １．２ 分析问题 让学生独立思考或展开讨论．教师通过巡 视，可以发现有以下两种情形（显示图形①、 ②） 师：从图①中，若每一个三角形的直角边 分别是ａ、ｂ，则四块三角形的面积和５。是多少？
图① 图② 生：Ｓｌ一２ａｂ 师：图①中的正方形面积５ 是多少？ 生：Ｓ２一ａ ＋ｂ 师：５。与５ 的大小如何？ 生：５２＞５ｌ 师补充说明：ａ ＋ｂ ＞２ａｂ 师又问：图②中，每一个三角形的直角边ａ 与ｂ相等拼成的正方形面积５ 与四块三角形的 面积和５：大小如何？为什么？ 证明（略）． 利用计算机辅助教学，使学生通过对直观 图形的观察归纳和猜想，自己去发现结论．这样 充分调动学生的直觉思维，不仅极大地激发了 学生的学习兴趣，而且比传统的教学更能够使 学生深刻地理解几何．把整个知识的形成过程 展现在学生面前，使学生学得轻松，想得深刻， 记得牢固，用得自如．同时，可以使抽象的数学 问题具体化。枯燥的数学问题趣味化，静止的数 学问题动态化，复杂的数学问题简单化，真正让 学生成为教学活动的主体，发挥学生的主动性． 让学生充分感受到发现问题和解决问题带来的 愉悦，培养学生的数学创新意识． 参考文献 １ 杨泰良，王智明．探索中的发现式教学课例［ ］．中 学数学教学参考，２００１（６）：１５—１６ ２ 刘云章，马复．数学直觉与发现［ ］．安徽；安徽教 育出版社，１９９１．３２—３５ ３ 刘云章，马复．数学直觉与发现［ ］．安徽：安徽教 育出版社，１９９１．２１６
