2018版高考数学(理)(人教)复习-第九章-平面解析几何9.3

生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线教师用书 理 苏教版

1.双曲线定义

平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.

(1)当2a

(2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当2a>F1F2时，P点不存在.

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程 x2a2－y2b2＝1

(a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1

(a>0，b>0)

图形

性

质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a

对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线 y＝±bax y＝±abx

离心率 e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

a、b、c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

【知识拓展】 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 巧设双曲线方程

(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0).

(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x2m＋y2n＝1(mn<0).

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )

(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( × )

第2课时　范围、最值问题

题型一　范围问题

例1　(2015·天津)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率

为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的

长为c，|FM|＝.

(1)求直线FM的斜率；

(2)求椭圆的方程；

(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜

率的取值范围．

解　(1)由已知，有＝，

又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.

设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c,0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．

由已知，有2＋2＝2，

解得k＝.

(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联

立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.

因为点M在第一象限，可得M的坐标为.

由|FM|＝ ＝.

解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.

(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，

得t＝，即直线FP的方程为y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立，

消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，

又由已知，得t＝ ＞，

解得－＜x＜－1或－1＜x＜0.

设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理

得m2＝－.

①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，

因此m＞0，于是m＝ ，得m∈.②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)＞0.

因此m＜0，于是m＝－ ，

得m∈.

综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.

思维升华　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取

值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两

个参数之间的等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

word - 1 - / 6 第3讲 圆的方程

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )

A.x2＋y2＝2 B.x2＋y2＝2

C.x2＋y2＝1 D.x2＋y2＝4

解析 AB的中点坐标为(0，0)，

|AB|＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22，

∴圆的方程为x2＋y2＝2.

答案 A

2.(2017·某某七校联考)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )

A.(x－2)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y－2)2＝1

C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝1

解析 已知圆的圆心C(1，2)关于直线y＝x对称的点为C′(2，1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A.

答案 A

3.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值X围是( )

A.(－∞，－2)∪23，＋∞ B.－23，0

C.(－2，0) D.－2，23

解析 方程为x＋a22＋(y＋a)2＝1－a－3a24表示圆，则1－a－3a24＞0，解得－2＜a＜23.

答案 D

4.(2017·某某一中检测)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )

A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1

解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则x＝4＋x02，y＝－2＋y02，解得x0＝2x－4，y0＝2y＋2.因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，

第1页 共4页 平面解析几何（附高考预测）

一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

1．直线

(1).直线的倾斜角和斜率

直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；

若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则1212xxyyKAB。

(2) .直线的方程

第1页 共4页 a.点斜式：)(11xxkyy； b.斜截式：bkxy；

c.两点式：121121xxxxyyyy； d.截距式：1byax；

e.一般式：0CByAx，其中A、B不同时为0.

(3).两直线的位置关系

两条直线1l，2l有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。

若直线1l、2l的斜率分别为1k、2k，则

1l∥2l1k＝2k，1l⊥2l1k·2k＝－１。

（4）点、直线之间的距离

点A（x0，y0）到直线0CByAx的距离为：d=2200||BACByAx。

两点之间的距离：|AB|=212212)()yyxx（

2. 圆

（1）圆方程的三种形式

标准式：222)()(rbyax，其中点（a，b）为圆心，r>0，r为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小．

一般式：022FEyDxyx，其中22ED，为圆心FED42122为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D、E、F．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．

参数式：以原点为圆心、r为半径的圆的参数方程是sin,cosryrx（其中θ为参数）．

第1页 共4页 以（a，b）为圆心、r为半径的圆的参数方程为sin,cosrbyrax（θ为参数），θ的几何意义是：以垂直于y轴的直线与圆的右交点A与圆心C的连线为始边、以C与动点P的连线为终边的旋转角，如图所示．