不定积分经典习题

无11集体自习 第一次习题 不定积分计算

(1）求

(2) 求．

(3) 求．

(4)求

（5）求

附：1.Cxxdxxdxxcot1csccot22

2.)20(arctan111222Caxaaxaxdaxadx

3.)23(arcsin1222Caxaxaxdxadx4.

)16(seclncoslncoscoscossintanCxCxxxddxxxxdx

)17(coslnsinlnsinsinsincoscotCxCxxxddxxxxdx

)18(tanseclntansectansectansectansecsecsecCxxxxxxddxxxxxxxdx

)19(cotcsclncotcsccotcsccotcsccotcsccsccscCxxxxxxddxxxxxxxdx

不定积分

（Ａ）

１、求下列不定积分

１）

2

xdx

２）

xxdx

2

３）dxx

2

)2(

４）dx

xx



22

1

５）

dx

xxx

32532

６）dx

xxx



22

sincos2cos

７）dx

xex

)3

2(



８）dxxx

x)1

1(

2



２、求下列不定积分（第一换元法）

１）dxx

3

)23(

２）

332xdx

３）dt

tt

sin

４）

)ln(lnlnxxxdx

５）

xxdx

sincos

６）



xx

eedx

７）dxxx)cos(2



８）dx

xx



43

13

９）dx

xx



3

cossin

10

）dx

xx





2

491

11

）

122

xdx

12）dxx3

cos

13)

xdxx3cos2sin

14)

xdxxsectan3

15) dx

xx



23

9

16)dx

xx

22

sin4cos31

17)dx

xx



2arccos2

110

18)dx

xxx



)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）

１）dx

xx

2

11

２）dxx

sin

３）dx

xx

42

４）



)0(,

222

adx

xax

５）

32

)1(xdx

６）

xdx

21

７）

2

1xxdx

８）

2

11xdx

４、求下列不定积分（分部积分法）　

１）inxdxxs

２）

xdxarcsin

３）

xdxxln2

４）dxx

ex



2sin2

５）

xdxxarctan2

６）

xdxxcos2

７）

xdx2

ln

８）dxx

x

2cos22



５、求下列不定积分（有理函数积分）

１）dx

xx



33

２）



dx

xxx

10332

2

3

）

)1(2

xxdx

（Ｂ）

1、一曲线通过点)3,(2

e

，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的

方程。

2、已知一个函数)(xF

的导函数为2

11

x

，且当1x

时函数值为

23

，试求此函数。3、证明：若

cxFdxxf)()(，则

)0(,)(1

)(

acbaxF

adxbaxf

。

4、设)(xf

第六次习题课

通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求：

1、理解原函数、不定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。

3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计

算。

4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。

一、知识网络图



原函数



1.基本概念不定积分



不定积分的几何意义

不 不定积分的性质 2.性质与公式 基本积分公式

直接积分法

第一换元积分法(凑微分法)  换元积分法积 3.计算方法第二换元积分法



分部积分法

分 



  有理函数积分

  4.特殊函数的积分三角函数有理式积分

 某些无理函数积分 

 

一、求不定积分：

例 1. 计算 2 arctan ex

dx .

e 2 x

提示： 2 arctan ex

  arctan e x

de 2 x

[ e 2 x

arctan e x

dex

dx =

] e2 x e 2 x (1  e2 x )

2 x x de x dex

= [ e arctan e e 2 x  ] (1  e2 x )

=  e 2 x arctan e x  1  arctan ex  C

ex

例 2．计算  1 dx

第四章 不定积分 练习题

1、22(1)(4)=dx

xx++∫11(tanarctan).

322xarxC−+

2、求 2arctanxxdx∫.解: 原式=232

21111

1arctan

36xxd

x+−−

+∫x=x31arctan

3xx

22

2111

61xdx

x+−−

+∫=31arctan

3xx2211ln(1)

66xxC−+++.

3、求不定积分 dx

xx∫+)1ln(．解: 令xt=，则2xt=，2dxtdt=． 原式22ln(1)22ln(1)ttdttdt

t+==+∫∫2ln(1)44arctanxxxxC=+−++.

4、求 2

211xdx

x+−∫.解: 令sinxt=，则cosdxtdt= 故2

211xdx

x+−∫22sincos(1cos)cos

1cos1costtdtttdt

tt−==

++∫∫(1cos)costtd=−t∫

1cos2(cos)

2ttdt=+=−∫sincossin

22ttttC−−+=2arcsin11.

22xxxxC−−−+

5、

21xdx

x=

+∫Cx++21.

6、求1cos2xdx

x+∫.

解: 2sectantanln|cos|

1cos2xdxxxdxxdxxxxC

x===+

+∫∫∫+.

7、2(1)dx

xx=

+∫21ln||ln(1).

2xxC−++

8、求ln(1)xxd−∫x．解：2ln(1)ln(1)()

2xxxdxxd−=−=∫∫221ln(1)

22xx

1xdx

x−−⋅

−∫

211ln(1)(1)

221xxxd

x=−−++

−∫x2211ln(1)

24xx

2xxC−=−−−+.

9、2lndx

xx=∫1.

lnC

x−+

10、求 36

21xdx

x+

+∫.解：令21tx=+，则21,

2txdxtdt−== 原式＝2136

2t

tdt

t−+

⋅∫=233919()

2222tdttt+=++∫.C

11、求3cos2sindx

xx++∫.解:令tan ()