不定积分练习题

积分简单练习题

题目一：

计算函数 f(x) = 2x 的不定积分。

解答一：

要计算函数 f(x) = 2x 的不定积分，即求 ∫(2x)dx。

根据不定积分的性质，我们知道导数与原函数之间存在关系，即积分的逆运算。

对于 f(x) = 2x，我们可以使用“幂的积分公式”来计算不定积分。

根据该公式，对于函数 g(x) = x^n，其中 n 不等于 -1，不定积分

∫g(x)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C。

将 f(x) = 2x 分解为 g(x) = x^1，n=1，代入公式，我们得到 ∫(2x)dx =

(1/(1+1))x^(1+1) + C，简化后可得 ∫(2x)dx = x^2 + C，其中 C 为常数。

所以，函数 f(x) = 2x 的不定积分为 F(x) = x^2 + C。

题目二：

计算函数 f(x) = 3x^2 的不定积分。

解答二：

要计算函数 f(x) = 3x^2 的不定积分，即求 ∫(3x^2)dx。

根据不定积分的性质，我们需要使用“幂的积分公式”。 对于函数 g(x) = x^n，其中 n 不等于 -1，不定积分 ∫g(x)dx =

(1/(n+1))x^(n+1) + C。

将 f(x) = 3x^2 分解为 g(x) = x^2，n=2，代入公式，我们得到

∫(3x^2)dx = (1/(2+1))x^(2+1) + C，简化后可得 ∫(3x^2)dx = (1/3)x^3 + C，其中 C 为常数。

所以，函数 f(x) = 3x^2 的不定积分为 F(x) = (1/3)x^3 + C。

题目三：

计算函数 f(x) = 4/x 的不定积分。

解答三：

要计算函数 f(x) = 4/x 的不定积分，即求 ∫(4/x)dx。

这是一个带有分式的函数，对于这种类型的函数，我们需要使用“分式的积分公式”。

对于函数 g(x) = 1/x，不定积分 ∫g(x)dx = ln|x| + C。

不定积分专题试题（含答案）

一、填空题

1、若__)(sincos)()('dxxxfufuF，则 CxF)(sin

2、设)(xf的一个原函数为xxtan，则___)('dxxxfCxxxtan2sec2

3、若)1()(ln'2xxxf，则___)(xf Cex221

4、_____1)2(xxdx Cx1arctan2

5、设xxfln)(，则____)('dxeefxx Cx

6、___sincos2222xbxadx Cxabab)tanarctan(1

7、已知边际收益为x230，则收益函数为___ 230xx

8、dxxxfCxdxxf)1()(22，则若______ Cx22)121（

9、____)2ln1(12dxxx Cx2lnarctan

10、若____1)1()()(2dxxxfCuFduuf，则 CxF)1(

二、选择题

1、函数xxe3的一个原函数为（ B ）

A、)3ln1()3(xe B、3ln1)3(xe

C、3ln3xe D、3ln3xe

2、求dxx42时，为使被积函数有理化，可作变换（C ）

Ａ、txsin2 B、txtan2

C、txsec D、42tx

3、若xln是函数)(xf的原函数，那么)(xf的另一个原函数是B

不定积分经典例题二

(1) 11(1)ln(1)11231tdtdxdtttCttx

23ln(231)xxC

(2) 22222cos1csccotsincos1dxtdtxtdttCCttxxx；

(3) 23232seccossinsec(1)1dxtdtxtdttCCtxx；

(4)229393arccosxdxxCxx；

(5)23444242seccos11()sintansecsinsinsin1dxtdttdtdttttttxx

23233(1)1113sinsin3xxCCttxx

(6)222242cos2cos(csc1)cot4sinxtdxtdttdtttCxt

24arcsin2xxCx；

(7)2222112(1)22arctan11xtdtedxdtttCtt

212arctan1xxeeC

2 (1) sincoscoscoscossinxxdxxdxxxxdxxxxC.

(2) xxxxxxxedxxdexeedxxeeC

(3) 222111arctanarctanarctan(1)121xdxxxxdxxxdxxx

21arcln(1)2tanxxxC．

(4) 22221tan(sec)sec2xxdxxxxdxxxdxx

2211(tan)tantan22xdxxxxxdxx 21tanlncos2xxxCx

1..sec3xdx

2..1arcsindxxx

3.dxx)1ln(

4..cossincos23sindxxxxxex

5. .)ln(tansindxxx

6. .)2(22dxxexx

1.求.sec3xdx

解 xxdxdxtansecsec3xdxxxx2tansectansec

dxxxxx)1(secsectansec2xdxxdxxxsecsectansec3

xdxxxxx3sec|tansec|lntansec

由于上式右端的第三项就是所求的积分,sec3xdx

把它移到等号左端去，再两端各除以2，便得

.|)tansec|lntan(sec21sec3Cxxxxxdx

2. 求不定积分.1arcsindxxx

解 xdxdxxx1arcsin21arcsinxdxxxarcsin12arcsin12

dxxxxxx11arcsin12.2arcsin12Cxxx

3. 求不定积分dxx)1ln(.

解 令,xt那么,2tx

2)1ln()1ln(dttdxx)1ln()1ln(22tdtttdttttt1)1ln(22

tdtdtttt1)1()1ln(2.)1ln(2)1ln(22Cttttt

.2)1ln()1(Cxxxx

4. 求不定积分.cossincos23sindxxxxxex

解 先折成两个不定积分，再利用分部积分法.

原式dxxxexdxxexx2sinsincossincosxdexdexxcos1sinsin

dxexedxexexxxxsinsinsinsincos.cos1sinsinCexxexx