不定积分习题答案

1

第五章 不定积分

习题 5－1

1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221sin, cos2, cos2xxx 都是同一函

数的原函数.

解 221(sin)'(cos2)'(cos)'sin22xxxx因为

221sin,cos2,cossin22xxxx所以都是的原函数.

2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()xxxxxxeeeeee都是

的原函数.

解 2222[()]'[()]'=2()xxxxxxeeeeee因为

2222 ()() 2().xxxxxxeeeeee所以都是的原函数

3.已知一个函数的导数是211x，并且当x = 1时, 该函数值是32，求这个函数.

解 设所求函数为f(x), 则由题意知 21'()1fxx

'21(arcsin)1xx因为

'2d()()darcsin1xfxfxxxCx所以

又当x = 1时，3(1)2f，代入上式, 得C = 

故满足条件的函数为 ()fx=arcsinx.

3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐

标的两倍，求此曲线的方程.

解 设曲线方程为 ()yfx, 则由题意知''()2yfxx

因为 2()'2xx

所以 2'()d2dyfxxxxxC

又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1

故所求曲线方程为 21yx.

5. 求函数y = cosx 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程.

解 设y = cos x积分曲线方程为 ()yfx

因为 '(sin)cosxx

所以 ()cosdsinfxxxxC

不定积分

（Ａ）

１、求下列不定积分

１）

2

xdx

２）

xxdx

2

３）dxx

2

)2(

４）dx

xx



22

1

５）

dx

xxx

32532

６）dx

xxx



22

sincos2cos

７）dx

xex

)3

2(



８）dxxx

x)1

1(

2



２、求下列不定积分（第一换元法）

１）dxx

3

)23(

２）

332xdx

３）dt

tt

sin

４）

)ln(lnlnxxxdx

５）

xxdx

sincos

６）



xx

eedx

７）dxxx)cos(2



８）dx

xx



43

13

９）dx

xx



3

cossin

10

）dx

xx





2

491

11

）

122

xdx

12）dxx3

cos

13)

xdxx3cos2sin

14)

xdxxsectan3

15) dx

xx



23

9

16)dx

xx

22

sin4cos31

17)dx

xx



2arccos2

110

18)dx

xxx



)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）

１）dx

xx

2

11

２）dxx

sin

３）dx

xx

42

４）



)0(,

222

adx

xax

５）

32

)1(xdx

６）

xdx

21

７）

2

1xxdx

８）

2

11xdx

４、求下列不定积分（分部积分法）　

１）inxdxxs

２）

xdxarcsin

３）

xdxxln2

４）dxx

ex



2sin2

５）

xdxxarctan2

６）

xdxxcos2

７）

xdx2

ln

８）dxx

x

2cos22



５、求下列不定积分（有理函数积分）

１）dx

xx



33

２）



dx

xxx

10332

2

3

）

)1(2

xxdx

（Ｂ）

1、一曲线通过点)3,(2

e

，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的

方程。

2、已知一个函数)(xF

的导函数为2

11

x

，且当1x

时函数值为

23

，试求此函数。3、证明：若

cxFdxxf)()(，则

)0(,)(1

)(

acbaxF

adxbaxf

。

4、设)(xf

第4章 不定积分 内容概要名称 主要内容 不 设 f x ， x

I ，若存在函数 F x ，使得对任意 x I 均有 F x f x 定 积 或

dF x f xdx ，则称 F x 为 f x 的一个原函数。 分 的 f x 的全部原函数称为 f x 在区间 I 上的不定积分，记为 概 念 f

xdx F x C 注： 1）若 （ f x 连 续 ， 则 必 可 积 ； 2 ）

若 F x G x 均 为 f x 的 原 函 数 ， 则 （ F x G x C 。故不定积分的表达式不唯一。 性 d f xdx f x 或 d f xdx f

xdx ； dx 性质 1： 质不 性质 2： F xdx F x C 或 dF x F x

C ；定积 性质 3： f x g xdx f xdx g xdx ， 为非零常数。分 计 设 f u 的 原函数为 F u ， u x 可导，则有换元公式：

算 第一换元 方 积分法 法 （凑微分法） f x xdx f xd x F x

C 第二类 设x t 单调、可导且导数不为零， f t t 有原函数 F

t ， 换元积 分法 f xdx f t t dt F t C F 1 则 x C 分部积分法

u xv xdx u xdv x u xv x v xdu x 有理函数积 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理

分 按情况确定。本章 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；的地 后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求位与 解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中作用 起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好 坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解习题 4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ dx★1 x 2 x 5 1思路: 被积函数 x 2 ，由积分表中的公式（2）可解。 x2 x 5 3 dx 2解： x 2 x x dx x 2 C 3

第六次习题课

通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求：

1、理解原函数、不定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。

3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计

算。

4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。

一、知识网络图



原函数



1.基本概念不定积分



不定积分的几何意义

不 不定积分的性质 2.性质与公式 基本积分公式

直接积分法

第一换元积分法(凑微分法)  换元积分法积 3.计算方法第二换元积分法



分部积分法

分 



  有理函数积分

  4.特殊函数的积分三角函数有理式积分

 某些无理函数积分 

 

一、求不定积分：

例 1. 计算 2 arctan ex

dx .

e 2 x

提示： 2 arctan ex

  arctan e x

de 2 x

[ e 2 x

arctan e x

dex

dx =

] e2 x e 2 x (1  e2 x )

2 x x de x dex

= [ e arctan e e 2 x  ] (1  e2 x )

=  e 2 x arctan e x  1  arctan ex  C

ex

例 2．计算  1 dx