第5章 钢梁计算原理

第五章钢梁计算原理5.1 概述在钢结构中，承受横向荷载作用的实腹式构件称为梁类构件，即钢梁。

钢梁在土木工程中应用很广泛，例如厂房建筑中的工作平台梁、吊车梁、屋面檩条和墙架横梁，以及桥梁、水工闸门、起重机、海上采油平台中的梁等。

按制作方法可将钢梁分为型钢梁和组合梁两种。

型钢梁制作简单，成本较低，应用较广。

型钢梁通常采用热轧工字钢、槽钢、H型钢和T型钢（图5－1（a））以及冷弯薄壁型钢（图5－l（c））。

其中H型钢的截面分布最合理，其翼缘内外边缘平行，方便与其他构件连接；槽钢的截面扭转中心在腹板外侧，一般受力情况下容易发生扭转，在使用时应尽量避免。

当荷载较大或跨度较大时，必须采用组合梁（图5－1（b））来提高截面的刚度和承载力，其中箱形截面梁的抗扭强度较高。

组合梁的截面可以根据具体受力情况合理布置，达到节省钢材的目的。

图5－1表示出了两个正交的形心主轴，其中绕x轴的惯性矩、截面抵抗矩最大，称为强轴，另一轴则为弱轴。

对于工形、T形、箱形截面，平行于x轴(弯曲轴)的最外边板称为翼缘，垂直于x轴的板称为腹板。

按支承条件又可将梁分为简支梁、连续梁和悬伸梁等。

其中简支梁应用最广，因其制造、安装、拆换都较方便，而且受温度变化和支座沉陷的影响很小。

梁的设计必须同时满足承载能力极限状态和正常使用极限状态。

钢梁的承载能力极限状态包括强度、整体稳定和局部稳定三个方面。

设计时要求在荷载设计值作用下，梁的抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力均不超过相应的强度设计值；保证梁不会发生整体失稳；同时保证组成梁的板件不出现局部失稳。

正常使用极限状态主要指梁的刚度，设计时要求在荷载标准值作用下梁具有符合规范要求的足够的抗弯刚度。

图5－1 钢梁常用截面类型5.2钢梁的强度和刚度5.2.1 梁的强度梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《钢结构设计规范》规定的相应的强度设计值。

下面分别进行叙述。

一、抗弯强度如图5－2所示，梁在弯矩作用下，截面上正应力的发展过程可分为三个阶段，分述如下。

图5－2 梁的正应力分布（1）弹性工作阶段当弯矩较小时，截面上应力分布呈三角形，中和轴为截面的形心轴，截面上各点的正应力均小于屈服应力y f 。

弯矩继续增加，直至最外边缘纤维应力达到屈服应力y f 时（图5－2（b ）），弹性状态的结束，相应的弹性极限弯矩e M 为 e n y M W f = （5－1） 式中 n W ——梁的净截面弹性抵抗矩。

（2）弹塑性工作阶段弯矩继续增加，在梁截面上、下边缘各出现一个高度为a 的塑性区，其应力σ达到屈服应力y f 。

而截面的中间部分区域仍处于弹性工作状态（图5—2（c ）），此时梁处于弹塑性工作阶段。

（3）塑性工作阶段随着弯矩再继续增加，梁截面的塑性区不断向内发展，直至全部达到屈服应力y f （图5—2（d ）），此时梁的抗弯承载能力达到极限，截面所负担弯矩不再增加，而变形却可继续增大，形成“塑性铰”，相应的塑性极限弯矩p M 为 p 1n 2n y pn y ()M S S f W f =+= （5－2） 式中 1n S ，2n S ——分别为中和轴以上及以下净截面对中和轴的面积矩； pn W ——梁的净截面塑性抵抗矩，pn 1n 2n W S S =+。

塑性抵抗矩与弹性抵抗矩的比值称为截面形状系数γ。

它的大小仅与截面的几何形状有关，而与材料及外荷载无关。

实际上表示出截面在进入弹塑性阶段之后的后续承载力。

γ越大，表示截面的弹塑性后续承载能力越大。

pnpn y p n n y e W W f M W W f M γ=== （5－3）对于矩形截面 1.5γ=，圆截面 1.7γ=，圆管截面 1.27γ=，工字形截面1.17γ≈。

说明在边缘纤维屈服后，矩形截面内部塑性变形发展还能使弯矩承载能力增大50％，而工字形截面的弯矩承载能力增大则较小。

虽然考虑截面塑性发展似乎更经济，但若按截面塑性极限弯矩进行设计，可能使梁产生过大的挠度，受压翼缘过早失去局部稳定。

因此，《钢结构设计规范》只是有限制地利用塑性，取截面塑性发展深度0.125a h ≤，并通过截面塑性发展系数γ来体现，且pn n 1.0W W γ≤<，按附表取值。

因此，梁的抗弯强度计算公式为：单向弯曲时x x nx M f W σγ=≤ （5－4）双向弯曲时y x x nx y ny M M f W W σγγ=+≤ （5－5）式中 x M ，y M ——绕x 轴和y 轴的弯矩；nx W ，ny W ——梁对x 轴和y 轴的净截面抵抗矩；x γ，y γ——截面塑性发展系数，当梁受压翼缘的自由外伸宽度与其厚度之比不大于附表取值，否则x y 1.0γγ==； f ——钢材的抗弯强度设计值，按附表采用。

对于直接承受动力荷载梁及需要计算疲劳的梁，须按弹性工作阶段进行计算，宜取x y 1.0γγ==。

二、抗剪强度一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。

对于外加剪力垂直于强轴的实腹梁来说，如工字形和槽形截面梁，翼缘处分担的剪力很小，可忽略不计，截面上的剪力主要由腹板承担。

工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布分别如图5－3（a ）、（b ）所示。

截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。

其承载能力极限状态以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服强度为准，而抗剪强度计算式为 v w VS f It τ=≤ （5－6）式中 V ——计算截面处沿腹板平面作用的剪力设计值；S ——计算剪应力（此处即为中和轴）以上毛截面对中和轴的面积矩；I ——毛截面惯性矩；w t ——腹板厚度； v f ——钢材的抗剪强度设计值，按附表采用。

图5－3 腹板剪应力由于型钢腹板较厚，一般均能满足上式要求。

三、局部承压强度当梁的翼缘受到沿腹板平面作用的集中荷载（例如此梁传来的集中力、支座反力和吊车轮压等）作用且该处又未设置支承加劲肋时（图5－4（a ）、（b ）），应验算腹板计算高度边缘的局部承压强度。

图5－4 局部压应力在集中荷载作用下，腹板计算高度边缘的压应力分布如图5－4（c ）的曲线所示。

计算时假定集中荷载从作用点处以45︒角扩散，并均匀分布于腹板的计算高度边缘。

梁的局部承压强度可按下式计算c w z Ff t l ψσ=≤ （5－7）式中 F ——集中荷载（对动力荷载应考虑动力系数）；ψ——集中荷载增大系数（对重级工作制吊车轮压， 1.35ψ=；对其他荷载， 1.0ψ=）；z l ——集中荷载在腹板计算高度边缘的假定分布长度（跨中z y R 52l a h h =++，梁端z y 12.5l a h a =++）；a ——集中荷载沿梁跨度方向的支承长度（对吊车梁可取为50mm ）；y h ——自梁承载的边缘到腹板计算高度边缘的距离；R h ——轨道的高度（无轨道时R 0h =）； 1a ——梁端到支座板外边缘的距离（按实际取值，但不得大于y 2.5h ）。

腹板的计算高度0h 按下列规定采用：①轧制型钢梁，为腹板在与上、下翼缘相接处两内弧起点间的距离；②焊接组合梁，为腹板高度。

当计算不满足式（5－7）时，在固定集中荷载处(包括支座处)应设置支承加劲肋予以加强，并对支承加劲肋进行计算。

对移动集中荷载，则应加大腹板厚度。

四、折算应力当组合梁的腹板计算高度边缘处，同时承受较大的正应力σ、剪应力τ和局部压应力c σ时，或同时承受较大的正应力σ和剪应力τ时，应按下式验算该处的折算应力1f β （5－8） 式中 σ，τ，c σ——腹板计算高度边缘同一点上的弯曲正应力、剪应力和局部压应力，τ按式（5－6）计算，c σ按式（5－7）计算，σ按下式计算nx My I σ= （5－9）nx I ——梁净截面惯性矩；y ——计算点至梁中和轴的距离；σ，c σ——均以拉应力为正值，压应力为负值； 1β——折算应力的强度设计值增大系数（当σ和c σ异号时，取1 1.2β=；当σ和c σ同号或c σ时，取1 1.1β=）。

实际工程中几种应力皆以较大值在同一处出现的概率很小，故将强度设计值乘以1β予以提高。

当σ和c σ异号时，其塑性变形能力比σ和c σ同号时大，因此1β值取更大些。

5.2.2 梁的刚度梁刚度的验算相应于正常使用极限状态。

当梁的刚度不足时，会产生较大的挠度，将影响结构的正常使用。

例如若平台梁的挠度过大，一方面会使人们感到不舒服和不安全，另一方面会影响操作；若吊车梁挠度过大，会使吊车运行困难，甚至不能运行。

因此，应使用下式来保证梁的刚度不至于过小：[]v v ≤ （5－10） 式中 v ——荷载标准值作用下梁的最大挠度；[]v——梁的容许挠度值，《钢结构设计规范》根据实践经验规定的容许挠度值见附表。

挠度计算时，除了要控制受弯构件在全部荷载标准值下的最大挠度外，对承受较大可变荷载的受弯构件，尚应保证其在可变荷载标准值作用下的最大挠度不超过相应的容许挠度值，以保证构件在正常使用时的工作性能。

5.3钢梁的整体稳定5.3.1一般概念如图5－5所示的工字形截面梁，承受弯曲平面内的横向荷载作用，若其截面形式为高而窄，则当荷载增大一定程度时，梁除了仍有弯矩作用平面内的弯曲以外，会突然发生侧向弯曲和扭转，并丧失继续承载的能力，这种现象就称为梁的整体失稳。

此时梁的抗弯承载能力尚未充分发挥。

梁维持其稳定平衡状态所承受的最大弯矩，称为临界弯矩。

图5－5 梁的整体失稳横向荷载的临界值和它沿梁高的作用位置有关。

荷载作用在上翼缘时，如图5－6（a）所示，在梁产生微小侧向位移和扭转的情况下，荷载F将产生绕剪力中心的附加扭矩Fe，它将对梁侧向弯曲和扭转起促进作用，使梁加速丧失整体稳定。

但当荷载F作用在梁的下翼缘时（图5－6（b）），它将产生反方向的附加扭矩Fe，有利于阻止梁的侧向弯曲扭转，延缓梁丧失整体稳定。

因此，后者的临界荷载（或临界弯矩）将高于前者。

图5－6 荷载位置对整体稳定的影响5.3.2 梁的扭转梁整体失稳形态为双向弯曲加扭转，为此有必要简略介绍有关扭转的若干概念。

根据支承条件和荷载形式的不同，扭转分为自由扭转和约束扭转两种形式。

一、自由扭转非圆截面构件扭转时，原来为平面的横截面不再保持为平面，产生翘曲变形，即构件在扭矩作用下，截面上各点沿杆轴方向产生位移。

如果扭转时轴向位移不受任何约束，截面可自由翘曲变形（图5－7），称为自由扭转。

自由扭转时，各截面的翘曲均相同，纵向纤维保持直线且长度保持不变，截面上无正应力，只有剪应力。

沿杆件全长扭矩相等，单位长度扭转角d d z ϕ相等，并在各截面上产生相同的扭转剪应力。

图5－7 杆件的自由扭转剪应力沿板厚方向呈三角形分布，扭矩与截面扭转角ϕ的关系为 t t d d M GI z ϕ= （5－11） 式中 t M ——截面的自由扭转扭矩；G ——材料的剪变模量；ϕ——截面的扭转角； t I ——截面的抗扭惯性矩（扭转常数）。