第5章 弯曲应力
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第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁,火车的轮轴,楼房的横梁,阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念:受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念:主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念:受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线,且都在梁的纵向对称平面内(通过或平行形心主轴且过弯曲中心)。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类:1、按杆的形状分——直杆的弯曲;曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲;短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲;无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲;斜弯曲;弹性弯曲;塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲;横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化(一)、简化的原则:便于计算,且符合实际要求。
(二)、梁的简化:以梁的轴线代替梁本身。
(三)、荷载的简化:1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶(分布力偶)——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
(四)、支座的简化:1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
(五)、梁的三种基本形式:1、悬臂梁:2、简支梁:3、外伸梁:(L 称为梁的跨长) (六)、静定梁与超静定梁静定梁:由静力学方程可求出支反力,如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁:由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定(截面法):[举例]已知:如图,F ,a ,l 。
求:距A 端x 处截面上内力。
解:①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力:剪力和弯矩1. 弯矩:M ;构件受弯时,横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
第五章弯曲应力§5-1 梁弯曲正应力§5-2 惯性矩计算§5-3 梁弯曲剪应力*§5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念*§5-6 提高梁抗弯能力的措施§5-1 梁弯曲正应力一、梁弯曲时横截面上的应力分布一般情况下,梁受外力而弯曲时,其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。
弯矩由分布于横截面上的法向内力元σdA所组成,剪力由切向内力元τdA组成,故横截面上同时存在正应力和剪应力。
MσdAτdA Q当梁较长时,正应力是决定梁是否破坏的主要因素,剪应力则是次要因素。
二、弯曲分类P P a aAC DB ACD +−BC D+P PPa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩,称为剪切弯曲(横力弯曲)。
CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力,称为纯弯曲。
此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。
三、纯弯曲实验1.准备A BC DE F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线,且AB ∥CD 、EF ∥GH。
在梁两端对梁施加纯弯矩M 。
A B C D E F G H M MA BC DE F G H 2.现象•变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动,仍为直线,但二者不再平行;仍与弧线垂直。
•纵向线EF 、GH 由直线变成曲线,且EF 变短,GH 变长;•曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化;•横截面上部分沿厚度方向变宽,下部分变窄。
3.假定•梁的任意一个横截面,如果在变形之前是平面,在变形后仍为平面,只是绕截面的某一轴线转过了一个角度,且与变形后的轴线垂直。
——平截面假定。
•梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉,中间一层纤维既不受拉也不受压,这一层叫中性层或中性面。
•中性层与横截面的交线叫中性轴。
梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。
中性层纵向对称面中性轴•梁的纵向纤维之间无挤压力作用,故梁的纵向纤维只受拉伸或压缩作用——单向受力假设。
材料力学第五章-弯曲应力注:由于本书没有标准答案,这些都是我和同学一起做的答案,其中可能会存在一些错误,仅供参考。
习 题6-1厚度mm h 5.1=的钢带,卷成直径 D=3m 的圆环,若钢带的弹性模量E=210GPa ,试求钢带横截面上的最大正应力。
解: 根据弯曲正应力公式的推导: Dy E yE 2..==ρσ MPa D h E 1053105.110210.39max =⨯⨯⨯==-σ 6—2直径为d 的钢丝,弹性模量为E ,现将它弯曲成直径为D 的圆弧。
试求钢丝中的最大应力与d /D 的关系。
并分析钢丝绳为何要用许多高强度的细钢丝组成。
解: ρσyE .= Dd E ED d .22max ==σ max σ与Dd成正比,钢丝绳易存放,而引起的最大引力很小.6—3 截面形状及尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁,如果所受的外力也相同,则内力是否相同?横截面上正应力的变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同? 解: 面上的内力相同,正应力变化规律相同。
处的正应力相同,线应变不同6—4 图示截面各梁在外载作用下发生平面弯曲,试画出横截面上正应力沿高度的分布图.6—5 一矩形截面梁如图所示,已知F=1.5kN 。
试求(1) I —I 截面上A 、B 、C 、D 各点处的正应力; (2) 梁上的最大正应力,并指明其位置。
解:(1)m N F M .3002.0*10*5.12.0*3===MPa M I y M z A 11110*30*1812*10*15*.1233===--σ A B σσ-= 0=C σMPa M D 1.7410*30*1812*10*)5.15(*1233==--σ MPa W Fl z 5.16610*30*186*10*300*10*5.19233max ===--σ 位置在:固定端截面上下边缘处。
6—6 图示矩形截面简支梁,受均布载荷作用。
已知载荷集度q=20kN /m ,跨长l =3,截面高度=h 24cm ,宽度=b 8cm 。
第五章弯曲应力第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲:梁横截面上的剪力为零,弯矩为常量,这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲:梁横截面上同时有剪力和弯矩,且弯矩为横截面位置x 的函数,这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法:1. 观察表面变形情况,作出平面假设,由此导出变形的几何方程;2. 在线弹性范围内,利用胡克定律,得到正应力的分布规律;3. 由静力学关系得出正应力公式。
Ⅲ、中性层和中性轴中性层:梁变形时,其中间有一层纵向线段的长度不变,这一层称为中性层。
中性轴:中性层和横截面的交线称为中性轴,梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的,在线弹性范围内,中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率,平面弯曲时中性层的曲率为()()1zM x x EI ρ=(5-1) 式中:()x ρ为变形后中性层的曲率半径,()M x 为弯矩,z EI 为梁的弯曲刚度。
(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为zMyI σ=(5-2)正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比,试中M 和y 均取其绝对值,可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力,为maxmax z My I σ=(5-3) maxzz I W y =(5-4) z W 为弯曲截面系数,对于矩形、圆形和弯环截面等,z W 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围:1)在线弹性范围内()p σσ≤,在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时,平面假设成立,公式为精确公式。
横力弯曲时,平面假设不成立,公式为近似公式,当梁的跨高比5lh≥时,误差2%≤。
Ⅴ、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁[]maxmax zM W σσ=≤ (5-5) 式中,[]σ为料的许用正应力。
当梁内,max ,max t c σσ≠,且材料的[][]t c σσ≠时,强度条件应为[],max t t σσ≤,[],max c σσ≤Ⅵ、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值,而提高横截面的弯曲截面系数。