苏教版高中数学选修2-2 微积分基本定理第2课时教案

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苏教版高中数学选修2-2：微积分基本定理_课件3

HONGNANTANJIU
当堂检测
ANGTANGJIANCE
1 .微积分基本定理
(1)定理内容:一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F'(x)=f(x),
那么
��
f(x)dx=F(b)-F(a).
这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.
(2)符号表示:
��
2 1
=
32.
答案 :32
1
2
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2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,在 x 轴下方的面积为 S 下,则
f(x) (1)当曲边梯形在
x
2
2�� + π
6
'=12cos
2�� + π
6
· 2�� + π
6
'=cos
2�� + π
6
,
∴
π
2
0
cos
2�� + π
6
dx=12sin
2�� + π
6
=12
sin 2 × π + π
26
-sin
2× 0+π
6
π 2
0=12
sin
7π 6
-sin
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高二年级新课程教案数学选修2-2：16微积分基本定理第2课时

函数 f (x) 的图象以及直线 x a, x b 之间各部分面积
的代数和，在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面积取负号．
布置作业
1． P62 习题 1. 6 B 组第 1 题（2）（4） 2． P62 习题 1. 6 B 组第 2 题（2）（4） 3． P62 习题 1. 6 B 组第 3 题
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
aT
T
6.设 f (x) 为 R 上以 T 为周期的连续函数，证明对任何实数 a ，有 a f (x)dx 0 f (x)dx
证明：∵ f (x) 为 R 上以 T 为周期的连续函数
∴ f (x T ) f (x), x R
设 F '(x) f (x) ，则有 F '(x T ) f (x T )
容易误为 F(x) F(x)
∴ F(x) F(x)
∴
a a
f
(x)dx
F ( x)
a a
F (a)
F (a)
F(a)
F (a)
0
∴原式得证
师：本题从几何直观上是非常容易理解的，但是要使
用微积分基本定理证明，关键是证明奇函数的原函数
是偶函数这个性质．
再次强调运用微积分基本定理求定积分的关键是求出原函数 F(x)
f (x) dx
c
f (x)dx
d f (x)dx
b
f (x)dx
a
a
c
d
c
d
b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
c
d
例题 3：已知 f (x) 在 a,a 上连续，若 f (x) 是奇函数，

高中数学教案选修2-2教案第一章导数及其应用《微积分基本定理(二)》教案

§15 微积分基本定理（二）【学习目标】1.直观了解微积分基本定理的含义，能运用微积分基本定理计算简单的定积分。

2.通过学习微分与积分的关系，体会数学的博大精深，为进一步学好微积分打好基础。

【学习重点】微积分基本定理的理解；【学习难点】运用微积分基本定理计算简单的定积分。

【学习内容】一、预习提纲1．微积分基本定理：2．定积分公式：（1）=⎰b a cdx （2）=⎰b a n dx x （3）=⎰b a xdx cos （4）=⎰b axdx sin （5）)0(___________1>=⎰x dx x b a（6）=⎰b a x dx e （7）=⎰n mx dx a 3．定积分性质（1）⎰⎰=b aba dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）（2）⎰⎰⎰±=±bab a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([ （3）,)()()(⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f 二、典型例题例1．计算下列定积分（1）⎰-21)1(dx x （2）⎰+21)1(dx x e x（3）⎰π0|cos |dx x （4）⎰-302|4|dx x例2．求由曲线3,1362+=+-=x y x x y 围成的封闭区域的面积例3．已知函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-。

（1）求常数b a ,；（2）求曲线)(x f y =与x 轴围成的图形的面积。

三．课堂练习1．计算下列定积分（1）⎰ππ2cos xdx （2）⎰-+11)1(||dx x x2．计算⎰-11)(dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,)(23x x x x x f3．求由曲线22,x y x y ==围成的图形的面积§15 微积分基本定理（二）课外作业1．计算下列定积分（1）⎰π02cos xdx （2）⎰-212)1(dx xx（3）⎰+4025dx x （4）⎰202sin πxdx2．已知)(x f 是]3,3[-上的偶函数，且16)(30=⎰dx x f ，求⎰--+33]5)([dx x x f 的值。

苏教版高中数学选修2-2要点讲解：微积分基本定理

微积分基本定理自主探究学习1. 微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰. 2. 定积分的性质：()()()()bc b a a c f x dx f x dx f x dx a c b 其中（定积分对积分区间的可加性）名师要点解析要点导学1.微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果，它揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效办法.2.寻找满足()()F x f x 的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).3. 为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰.该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁. 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础.【经典例题】【例1】计算下列定积分：2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.【分析】求出sin x 的原函数，利用微积分基本定理求解.然后观察规律.【解】因为'(cos )sin x x -=，所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰，22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰，2200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．【点拨】要注意定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.【例2】计算下列定积分：（1）3211(2)x dx x -⎰；（2）⎰+2021dx xx . 【分析】根据被积函数的特点，求出其原函数，利用微积分基本定理求解.【解】（1）因为2''211()2,()x x x x ==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dx xx -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=. （2）)1()1(211221220202x d x dx x x ++=+-⎰⎰151221202-=+⋅=x .【点拨】把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，寻找满足()()F x f x 的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).。

高中数学选修系列2选修2-2《微积分学基本定理定积分计算》教案

§5 微积分学基本定理•定积分计算（续）教学目的：熟练掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。

重点难点：重点为微积分基本定理,难点为泰勒公式的积分型余项。

教学方法：讲练结合。

本节要在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数. 一变限积分与原函数的存在性设f 在[]b a ,上可积，根据定积分的性质4，对任何[]b a x ,∈，f 在[]x a ,上也可积.于是，由 ()(),dt t f x xa⎰=Φ[]b a x ,∈ （1）定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似可定义变下限的定积分： ()(),dt t f x bx⎰=ψ[]b a x ,∈. （2）Φ与ψ统称为变限积分.注意，在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量x 写成()dx x f xa⎰，以免与积分上、下限的x 相混淆.变限积分所定义的函数有着重要的性质．由于()(),dt t f dt t f bxbx⎰⎰-=因此下面只讨论变上限积分的情形．定理9．9 若f 在[]b a ,上可积，则由(1)式所定义的函数Φ在[]b a ,上连续．证对[]b a ,上任一确定的点x ，只要[]b a x x ,∈∆+，按定义式(1)有 ()()().dt t f dt t f dt t f xx xx axx a⎰⎰⎰∆+∆+=-=∆Φ因f 在[]b a ,上有界，可设()[]b a t M t f ,,∈≤．于是，当0>∆x 时有 ()();x M dt t f dt t f xx xxx x∆≤≤=∆Φ⎰⎰∆+∆+当0<∆x 时则有x M ∆≤∆Φ．由此得到 ,0lim 0=∆Φ→∆x即证得Φ在点x 连续．由x 的任意性，Φ在[]b a ,上处处连续．口定理9．10 (原函数存在定理) 若f 在[]b a ,上连续，则由(1)式所定义的函数Φ在[]b a ,上处处可导，且()()()[].,,b a x x f dt t f dxd x xa ∈==Φ'⎰ （3）证对[]b a ,上任一确定的x ，当0≠∆x 且[]b a x x ,∈∆+时，按定义式（1）和积分第一中值定理，有()().10,1≤≤∆+=∆=∆∆Φ⎰∆+θθx x f dt t f xx xx x 由于f 在点x 连续，故有 ()()().lim lim0x f x x f x x x x =∆+=∆∆Φ=Φ'→∆→∆θ由x 在[]b a ,上的任意性，证得Φ是f 在[]b a ,上的一个原函数．口本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了f 的一个原函数．正因为定理9．10的重要作用而被誉为微积分学基本定理．此外，又因f 的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当f 为连续函数时，它的任一原函数F 必满足 ()().C dt t f x F xa+=⎰若在此式中令a x =，得到()a F C =，从而有()).()(a F x F dt t f xa-=⎰再令b x =,有()).()(a F x F dt t f ba-=⎰这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.定理9．11 (积分第二中值定理) 设函数f 在[]b a ,上可积. (ⅰ)若函数g 在[]b a ,上减,且()0≥x g ,则存在 []b a ,∈ξ,使()()()()dx x f a g dx x g x f ab a⎰⎰=ξ(ⅱ)若函数g 在[]b a ,上增,且()0≥x g ,则存在 []b a ,∈η,使()()()()dx x f b g dx x g x f bba⎰⎰=η推论设函数f 在[]b a ,上可积, 若函数g 为单调函数,则存在[]b a ,∈ξ,使()()=⎰dx x g x f ba()()()()dx x f b g x f a g ba⎰⎰+ξξ积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具．二换元积分法与分部积分法定理9．12 (定积分换元积分法) 若函数f 在[]b a ,上连续，ϕ在[]βα,上连续可微，且满足 ()()()[]βαϕϕϕ,,,,∈≤≤==t b t a b b a a ，则有定积分换元公式：()()()()dt t t f dx x f b aϕϕβα'=⎰⎰ （9）证由于(9)式两边的被积函数都是连续函数，因此它们的原函数都存在．设F 是f 在[]b a ,上的一个原函数，由复合函数微分法()()()()()()()()t t f t t F t F dtdϕϕϕϕϕ'=''= 可见()()t F ϕ是()()()t t f ϕϕ'的一个原函数．根据牛顿一莱布尼茨公式，证得()()()()()()()a F F dt t t f ϕβϕϕϕβα-='⎰()()()dx x f a F b F ba ⎰=-=从以上证明看到，在用换元法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，不必作变量还原，而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了．这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别，这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果(9)式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了.注如果在定理9．12的条件中只假定f 为可积函数，但还要求ϕ是单调的，那么（9）式仍然成立.（本节习题第14题）例计算.112dx x ⎰-解令t x sin =，当t 由0变到2π时，x 由0增到1，故取[].2,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=πβα应用公式(9)，并注意到在第一象限中0cos ≥t ，则有tdt tdt t dx x ⎰⎰⎰=-=-20220212cos cos sin 11ππ()2202sin 21212cos 121ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰t t dt t.4π=例2 计算⎰22.cos sin πtdt t解逆向使用公式(9)，令,sin ,cos tdt dx t x -==当t 由0变到2π时，x 由1减到0，则有.31cos sin 102200122⎰⎰⎰==-=dx x dx x tdt t π例3计算().11ln 102dx x x J ⎰++=解令t x tan =，当t 从0变到4π时，x 从0增到1.于是由公式（9）及21x dx dt +=得到()dt ttt dt t J ⎰⎰+=+=404cos sin cos lntan 1ln ππdt tt ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40cos 4cos 2lnππ.cos ln 4cos ln 2ln 404040dt t dt t dt ⎰⎰⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-+=ππππ对最末第二个定积分作变换t u -=4π，有dt t ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-404cos ln ππ()⎰⎰=-=4004,cos ln cos ln ππudu du u它与上面第三个定积分相消．故得.2ln 82ln 40ππ==⎰dt J事实上，例3中的被积函数的原函数虽然存在，但难以用初等函数来表示，因此无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式．可是像上面那样，利用定积分的性质和换元公式(9)，消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值．换元积分法还可用来证明一些特殊的积分性质，如本节习题中的第5，6，7等题．定理9.13 (定积分分部积分法)若()()x v x u ,为[]b a ,上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：()()()()()().dx x v x u x v x u dx x v x u baba ba⎰⎰'-=' （10）证因为uv 是v u v u '+'在[]b a ,上的一个原函数，所以有()()dx x v x u ba'⎰+()()dx x v x u b a⎰'()()()()[]dx x v x u x v x u ba⎰'+'==()()ba x v x u .移项后即为(10)式．为方便起见，公式(10)允许写成()()=⎰x dv x u b a=()()bax v x u ()().x du x v ba⎰- （01'）例4 计算.ln 12xdx x e⎰解()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰dx x x x x xd xdx x e e e e12131312ln 31ln 31ln ().129131313133+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e x e e例5 计算dx x n ⎰2sin π和.,2,1,cos 20Λ=⎰n xdx n π解当2≥n 时，用分部积分求得()⎰⎰---+-==202220120cos sin 1cos sinsin πππxdx x n xx xdx J n n n n()()xdx n xdx n n n ⎰⎰---=-20202sin 1sin1ππ()().112n n J n J n ---=-移项整理后得到递推公式：.2,12≥-=-n J nn J n n 由于,1sin ,2201200=⎰==⎰=xdx J dx J πππ重复应用递推式(11)便得()()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=⋅--⋅+=⋅-=⋅--⋅-=+.!!12!!21321222122,2!!2!!122212232212122m m m m m m J m m m m m m J m m ΛΛππ ()12 令t x -=2π，可得.sin 2cos cos 200220xdx dt t xdx n nnππππ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-=⎰因而这两个定积分是等值的．由例5结论(12)可导出著名的沃利斯(Wallis)公式：()().121!!12!!2lim 22+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∞→m m m m π()13 事实上，由,sin 2cos sin 1220021220xdx dt t xdx m n n -+⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰<⎰ππππ 把(12)代人，得到()()()()()(),!!12!!222!!2!!12!!12!!2--<⋅-<-m m m m m m π由此又得()()()().21!!12!!22121!!12!!222m m B m m m m m m A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π 因为()()()(),02211221!!12!!22∞→→⋅<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-<m m m m m m A B o m m π所以().0lim =-∞→m m m A B 而,2m m m A B A -<-π故得2lim π=∞→m m A （即()13式）.三泰勒公式的积分型余项若在[]b a ,上()x u 、()x v 有1+n 阶连续导函数，则有()()()()()()()()()Λ+'-=⎰-+x v x u x v x u dx x vx u n n n b a 11[ ()()()()()()()()dx x v x u x v x u n ban b a n n111]1++⎰-+-+().,2,1Λ=n ()14 这是推广的分部积分公式，读者不难用数学归纳法加以证明．下面应用公式()14 导出泰勒公式的积分型余项.设函数f 在点0x 的某邻域()0x U 内有1+n 阶连续导函数．令∈x ()0x U ，()()nt x t u -=，()()t f t v =，[]x x t ,0∈（或[]0,,x x ）．利用(14)式得()()()()()()()()()Λ+-+-=-⎰--+t f t x n t f t x dt t ft x n n n nn nx x 111[0()()dt t f t f n xx xx ⋅⎰++0]!00()()()()Λ+-'+-=000[!!x x x f x f n x f n()()()]!00n n x x n x f -+()x R n n !=，其中()x R n 即为泰勒公式的n 阶余项．由此求得()()()()dt t x t f n x R n n x x n -⎰=+10!1， ()15这就是泰勒公式的积分型余项．由于()()t fn 1+连续，()n t x -在[][]()00,,x x x x 或上保持同号，因此由推广的积分第一中值定理，可将()15式写作()()()()dt t x f n x R nx x n n -⎰=+01!1ξ ()()()()101!11++-+=n n x x f n ξ，其中()10,00≤≤-+=θθξx x x ．这就是以前所熟悉的拉格朗日型余项．如果直接用积分第一中值定理于(15)，则得()()()()()01!1x x x fn x R n n n --=+ξξ， ()10,00≤≤-+=θθξx x x . 由于()()()[]()0000x x x x x x x x x n n ----=--θξ()()101+--=n nx x θ因此又可进一步把()x R n 改写为()x R n ()()()()(),1!110001++---+=n n n x x x x x fn θθ .10≤≤θ （16）特别当00=x 时，又有 ()x R n ()()().10,1!111≤≤-=++θθθn n n x x fn （17）公式（16）、（17）称为泰勒公式的柯西型余项.各种形式的泰勒公式余项，将在第十四章里显示它们的功用.作业:2,3,4(1),(6)(9)。

苏教版高中数学选修2-2《微积分基本定理》教学课件2

1
x2
2
0
sin
xdx
公式3
b a
cos
xdx
sin
x
|ba
sin
b
sin
a
b a
sin
xdx
(
cos
x)
|ba
cos
b
cos
a
练习：
(1) 1(-3t2 + 2)dt _1_____ 0
(2) 2(x + 1)2dx = _2_9_/_6__
1
x
(3) 2(3x2 + 2x -1)dx = __9____ -1
• 1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。 1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。
b a
f
(x)dx
F ( x)
|ba
F (b)
F (a)
例1 计算下列定积分
找出f(x)的原函数是关健
(1) 5 3x2dx 2
练习：
（1）11dx _1_____ 0
(2) 1 xdx _1_/2____ 0
(3) 1 x2dx _1_/_4___ 0
(4) 2 x3dx _1_5_/4___ -1
公式1:
b xndx xn1 b
a
h2
A
h1
s( a )
O
aa( t0 ) t1 t2 ti1 ti
S2 S1
tn1 b(btn ) t
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理（微积分基本定理）

苏版高中数学2-2教学案--：定积分的概念与微积分基本定理(学生版)

苏版高中数学2-2教学案1____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________把握定积分的运算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发觉，它们都能够通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，事实上，许多问题都能够归结为求这种特定形式和的极限 1定积分的概念一样地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()i ni ni i f nab x f ξξ∑∑==-=∆•11当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，那个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()ba f x dx ⎰ 即()ba f x dx ⎰=()i ni n f n ab ξ∑=∞→-1lim 其中函数()f x 叫做，x 叫做变量，区间[,]a b 为区间，b 积分，a 积分。

说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数（2）用定义求定积分的一样方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af nξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()ba S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰2定积分的几何意义从几何上看，假如在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。

苏教版2017-2018学年高中数学选修2-2全册教学案

苏教版2017-2018学年高中数学选修2-2全册教学案目录1.1.1导数的概念平均变化率1.1.2瞬时变化率--导数1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和差积商的导数1.2.3简单复合函数的导数1.3.1单调性1.3.2极大值与极小值1.3.3最大值与最小值1.4导数在实际生活中的应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5定积分的概念1.5.3微积分基本定理第一章导数及其应用章末小结知识整合与阶段检测2.1.1导数的概念第2课时类比推理2.1.1导数的概念第一课时归纳推理2.1.2导数的运算演绎推理2.1.3导数在研究函数中的作用推理案例赏析2.2.1合情推理与演绎推理直接证明2.2.2间接证明2.3数学归纳法第1课时利用数学归纳法证明等式不等式问题2.3数学归纳法第2课时利用数学归纳法证明几何整除等问题第二章推理与证明章末小结知识整合与阶段检测3.1数系的扩充3.2复数的四则运算第2课时复数的乘方与除法运算3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算3.3复数的几何意义第三章数系的扩充与复数的引入章末小结知识整合与阶段检测1．1.1 平均变化率假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)．问题1：若旅游者从A 点爬到B 点，则自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？提示：Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0.问题2：如何用Δx 和Δy 来刻画山路的陡峭程度？提示：对于山坡AB ，可用ΔyΔx 来近似刻画山路的陡峭程度．问题3：试想Δy Δx ＝y 1－y 0x 1－x 0的几何意义是什么？提示：Δy Δx ＝y 1－y 0x 1－x 0表示直线AB 的斜率．问题4：从A 到B ，从A 到C ，两者的Δy Δx 相同吗？ΔyΔx 的值与山路的陡峭程度有什么关系？提示：不相同.ΔyΔx的值越大，山路越陡峭．1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在[x 1，x 2]上有意义； (2)在式子f x 2－f x 1x 2－x 1中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0.(3)在平均变化率中，当x 1取定值后，x 2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x 2取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．[例1] (1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率．[思路点拨] 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率． [精解详析] (1)函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为：f－f 2.1－2＝2＋－2＋0.1＝12.3.(2)函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率为g －－g －－－－＝－－2]－－－2]－－－＝－－－－1＋2＝3.[一点通] 求函数平均变化率的步骤为：第一步：求自变量的改变量x 2－x 1；第二步：求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)；第三步：求平均变化率f x 2－f x 1x 2－x 1.1．函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率是________．解析：函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率为g－g 4－2＝－3×4－－4－2＝－12＋62＝－3.答案：－32.如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f－f －1－－＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f－f2－0＝3－322＝34.答案：：(1)12 (2)343．本例条件不变，分别计算f (x )与g (x )在区间[1,2]上的平均变化率，并比较变化率的大小．解：(1)f－f 2－1＝3×22＋2－2＋2－1＝9.(2)g－g 2－1＝3×2－2－－2－1＝3.f (x )比g (x )在[1,2]上的平均变化率大．[例2] t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度．[思路点拨] 求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的比值． [精解详析] 物体在[1,1＋Δt ]内的平均速度为S＋Δt －S＋Δt －1＝＋Δt ＋1－1＋1Δt＝2＋Δt －2Δt＝2＋Δt －22＋Δt ＋2Δt2＋Δt ＋2＝12＋Δt ＋2(m/s)．即物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度为12＋Δt ＋ 2m/s.[一点通] 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．4．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为________．解析：∵S ＝πr 2，∴圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为S－S0.3－0.1＝π×0.32－π×0.120.2＝0.4π.答案：0.4π5．在F 1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t (单位：s)存在函数关系S ＝10t ＋5t 2，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？解：赛车在[20,20.1]上的平均速度为S－S20.1－20＝＋5×20.12－＋5×20220.1－20＝21.050.1＝210.5(m/s)．[例3] 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人的速度哪个大？[思路点拨] 要比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论．[精解详析] 在t 0处s 1(t 0)＝s 2(t 0)，但s 1t 0－s 1t 0－Δt Δt <s 2t 0－s 2t 0－ΔtΔt，所以在单位时间内乙的速度比甲的速度大，因此，在如图所示的整个运动状态中乙的速度比甲的速度大．[一点通] 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢．6.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系是________．解析：v 1＝s t 1－s t 0t 1－t 0＝k OA ，v 2＝s t 2－s t 1t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s t 3－s t 2t 3－t 2＝k BC ，由图象知：k OA <k AB <k BC ，所以v 3>v 2>v 1. 答案：v 3>v 2>v 17．A 、B 两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中W 1(t )、W 2(t )分别表示A 、B 两机关的用电量与时间第t 天的关系，则下列说法一定正确的是________．(填序号)①两机关节能效果一样好；②A 机关比B 机关节能效果好；③A 机关在[0，t 0]上的用电平均变化率比B 机关在[0，t 0]上的用电平均变化率大； ④A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大．解析：由图可知，在t ＝0时，W 1(0)>W 2(0)，当t ＝t 0时，W 1(t 0)＝W 2(t 0)，所以W 1t 0－W 1t 0<W 2t 0－W 2t 0，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0>⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0.故只有②正确．答案：②1．求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差． (2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点． 2．一次函数的平均变化率一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率为f n －f m n －m ＝kn ＋b －km ＋bn －m＝k .由上述计算可知，一次函数y ＝kx ＋b ，在区间[m ，n ]上的变化率与m ，n 的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数．3．平均变化率的几何意义 (1)平均变化率f x 2－f x 1x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．(一)]一、填空题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为________．解析：f－f 1.1－1＝2－－2－1.1－1＝0.210.1＝2.1. 答案：2.12．函数f (x )＝2x ＋4在区间[a ，b ]上的平均变化率为________．解析：f b －f ab －a＝b ＋－a ＋b －a＝b －ab －a＝2.答案：23．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值：服药后30～70 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．解析：c－c 70－30＝0.90－0.9840＝－0.002.答案：－0.0024.如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则在0到t 0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t 0到t 1范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”、“大于”或“小于”)．解析：由图可知，在[0，t 0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在[t 0，t 1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度．答案：等于大于5．函数y ＝x 3＋2在区间[1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________. 解析：a 3＋－3＋a －1＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21. 解之得a ＝4或a ＝－5. 又∵a >1，∴a ＝4. 答案：4 二、解答题6．已知函数f (x )＝2x 2＋1.求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率．解：函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率为2×2.012＋1－2×22－12.01－2＝8.02.7．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．解：在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π；在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sinπ3π2－π3＝－3π.∵2－3<1，∴3π>－3π，∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为－3π，故在0到π6之间的平均变化率较大．8．已知气球的表面积S (单位：cm 2)与半径r (单位：cm)之间的函数关系是S (r )＝4πr 2.求： (1)气球表面积S 由10 cm 2膨胀到20 cm 2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；(2)气球表面积S 由30 cm 2膨胀到40 cm 2时的平均膨胀率．解：根据函数的增量来证明．由S (r )＝4πr 2，r >0，把r 表示成表面积S 的函数：r (S )＝12ππS .(1)当S 由10 cm 2膨胀到20 cm 2时，气球表面积的增量ΔS ＝20－10＝10(cm 2)，气球半径的增量Δr ＝r (20)－r (10)＝12π(20π－10π)≈0.37(cm)．所以气球的平均膨胀率为Δr ΔS ≈0.3710＝0.037.(2)当S 由30 cm 2膨胀到40 cm 2时，气球表面积的增量ΔS ＝12π(40π－30π)≈0.239(cm 2)．所以气球的平均膨胀率为Δr ΔS ≈0.23910＝0.023 9.1．1.2 瞬时变化率——导数如图P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)，P 的坐标为(x 0，y 0)．问题1：当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置．问题2：割线PP n 斜率是什么？提示：割线PP n 的斜率是k n ＝f x n －f x 0x n －x 0.问题3：割线PP n 的斜率与过点P 的切线PT 的斜率k 有什么关系呢？提示：当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率．问题4：能否求得过点P 的切线PT 的斜率？提示：能．1．割线设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线． 2．切线随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线.一质点的运动方程为S ＝8－3t 2，其中S 表示位移，t 表示时间．问题1：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度是多少？提示：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为8－＋Δt 2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt .问题2：Δt 的变化对所求平均速度有何影响？提示：Δt 越小，平均速度越接近常数－6.1．平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S t 0＋Δt －S t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v t 0＋Δt －v t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )，在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程． 2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．P5][例1] 已知曲线y ＝x ＋x 上的一点A ⎝ ⎭⎪⎫2，2，用切线斜率定义求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． [思路点拨] 先计算f＋Δx －fΔx，再求其在Δx 趋近于0时无限逼近的值．[精解详析] (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫2＋12＝－Δx＋Δx＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx ＋Δx ＋Δx Δx＝－1＋Δx＋1.当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．1．曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为________．解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，－12＋Δx 2－2，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝－12＋Δx 2－2＋52Δx＝－12Δx －1.当Δx 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于－1，所以曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为－1.答案：－12．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则P 点坐标为________．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4，因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3，所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P 点坐标为(3,30)．答案：(3,30)3．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程．解：设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))，则k AB ＝＋Δx2－＋Δx －2－Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.[例2] 一质点按规律S (t )s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．[思路点拨] 先求出质点在t ＝2s 时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解．[精解详析] 因为ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔS Δt ＝4a ＋a Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于4a .所以t ＝2 s 时的瞬时速度为4a m/s. 故4a ＝8，即a ＝2.[一点通] 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt ，求出相应的位移的改变量ΔS ，再求出平均速度v ＝ΔS Δt ，最后计算当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．4．一做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2，所以ΔS Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－15．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋t －2，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．解：当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2，则ΔS Δt＝S＋Δt －SΔt＝＋Δt 2＋2－3Δt＝2＋Δt ，当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2，所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56， ∴ΔS Δt＝＋Δt2－＋Δt ＋56－3×42＋18×4－56Δt＝3Δt 2＋6·Δt Δt＝3·Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3·Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.[例3] 已知f (x )＝x 2－(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．[思路点拨] 根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键． [精解详析] (1)因为Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx2－3－2－Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4，所以f (x )在x ＝2处的导数等于4. (2)因为Δy Δx ＝fa ＋Δx －f aΔx＝a ＋Δx2－3－a 2－Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ，所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .[一点通] 由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx；(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．6．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．解析：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝Δx21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→0，即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.答案：07．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f＋Δx －fΔx＝a＋Δx ＋4－a －4Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2. 答案：28．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解：当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为：f＋Δx －fΔx＝＋Δx2－＋Δx ＋15－2－7×6＋Δx＝5Δx ＋Δx 2Δx＝5＋Δx .当x →6时，即Δx →0，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5℃.1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．f ′(x 0)与f ′(x )的异同(二)]一、填空题1．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度为________．解析：∵当Δt 无限趋近于0时，－3Δt －6无限趋近于常数－6，∴该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.答案：－62．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为________．解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，ΔyΔx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝－3.故f (x )在x ＝2处的导数为－3. 答案：－33．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：34．曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为________．解析：∵f＋Δx －fΔx＝12＋Δx2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2Δx＝12Δx 2＋Δx Δx ＝12Δx ＋1.∴当Δx 无限趋近于0时，f＋Δx －fΔx无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.∴切线的倾斜角为π4.答案：π45．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)，则该曲线在P 点处的切线方程为________．解析：∵y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)， ∴3＝2a 2＋1，即a 2＝1.又∵a ≥0，∴a ＝1，即y ＝2x 2＋1. ∴P (1,3)．又Δy Δx＝f ＋Δx －fΔx＝＋Δx2＋1－2×12－1Δx＝4＋2Δx .∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于常数4， ∴f ′(1)＝4，即切线的斜率为4. 由点斜式可得切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0. 答案：4x －y －1＝0 二、解答题6．已知质点运动方程是S (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s 时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．解：ΔS Δt＝S ＋Δt －SΔt＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12g ＋Δt2＋＋Δt －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ·42＋2×4－1Δt＝12g Δt 2＋4g ·Δt ＋2·ΔtΔt＝12g Δt ＋4g ＋2. ∵当Δt →0时，ΔSΔt →4g ＋2，∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，所以，质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程．解：∵＋Δx2－＋Δx ＋2－2－4×1＋Δx＝2Δx ＋Δx 2Δx＝2＋3·Δx ，∴当Δx →0时，2＋3·Δx →2，∴f ′(1)＝2，所以直线的斜率为2，所以直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.8．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．求a 的值及切点的坐标．解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， ∵Δy Δx＝x 0＋Δx 3－x 0＋Δx 2＋3－x 30－2x 2＋Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0. ∴当Δx →0时，Δy Δx →3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127，当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5，当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．1.2.1 常见函数的导数已知函数(1)f (x )＝c ，(2)f (x )＝x ，(3)f (x )＝x 2， (4)f (x )＝1x，(5)f (x )＝x .问题1：函数f (x )＝x 的导数是什么？提示：∵Δy Δx＝fx ＋Δx －f x Δx ＝x ＋Δx －xΔx＝1，∴当Δx →0时，ΔyΔx →1，即x ′＝1.问题2：函数f (x )＝1x的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝fx ＋Δx －f x Δx ＝1x ＋Δx －1x Δx＝x －x ＋Δx x x ＋Δx Δx ＝－1x 2＋x ·Δx，∴当Δx →0时，Δy Δx →－1x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x .1．(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)； 2．C ′＝0(C 为常数)； 3．(x )′＝1； 4．(x 2)′＝2x ； 5．(x 3)′＝3x 2； 6.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x2；7．(x )′＝12x.1．(x α)′＝αxα－1(α为常数)；2．(a x)′＝a xln_a (a >0，且a ≠1)；3．(log a x )′＝1xlog a e ＝1x ln a(a >0，且a ≠1)； 4．(e x )′＝e x； 5．(ln x )′＝1x；6．(sin x )′＝cos_x ； 7．(cos x )′＝－sin_x .函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1x ln a，当a ＝e 时，上述公式就变形为(ln x )′＝1x，即f (x )＝ln x 是函数f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x 与f (x )＝e x .P7][例1] (1)y ＝x 8； (2)y ＝1x3；(3)y ＝x x ； (4)y ＝log 2x .[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 8)′＝8x 7； (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3·x －4＝－3x4；(3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32·x 12＝3x2；(4)y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 的导数是________．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，所以y ′＝－sin x . 答案：－sin x2．下列结论中不正确的是________． ①若y ＝3，则y ′＝0； ②⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3； ③⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x ； ④若y ＝x ，则y ′＝1.解析：①正确；②sin π3＝32，而(32)′＝0，不正确；对于③，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝(－x －12)′＝12x －32＝12x x ，正确；④正确．答案：②3．求下列函数的导函数． (1)y ＝10x；(2)y ＝log 12x ；(3)y ＝4x 3；(4)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.解：(1)y ′＝(10x )′＝10xln 10； (2)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2；(3)∵y ＝4x 3＝x 34，∴y ′＝(x 34)′＝34x －14＝344x ；(4)∵y ＝(sin x 2＋cos x2)2－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .[例2] 求函数f (x )＝16x 5在x ＝1处的导数．[思路点拨] 先求导函数，再求导数值． [精解详析] ∵f (x )＝16x 5＝x －56，∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －56′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x －116，∴f ′(1)＝－56.[一点通] 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．4．若函数f (x )＝3x ，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23，∴f ′(1)＝13.答案：135．若函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x . ∴f ′(6π)＝cos 6π＝1. 答案：1 6．已知f (x )＝1n x且f ′(1)＝－12，求n .解：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1n x －n ＋1n ，∴f ′(1)＝－1n，由f ′(1)＝－12得－1n ＝－12，得n ＝2.[例3] 已知曲线方程y ＝x (1)曲线在点A (1,1)处的切线方程；(2)过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路点拨] (1)点A 在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B 点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[精解详析] (1)y ′＝2x ，当x ＝1时，y ′＝2，故过点A (1,1)的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)∵B (3,5)不在曲线y ＝x 2上，∴可设过B (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线与曲线的切点为(x 0，y 0)． ∵y ′＝2x ，∴当x ＝x 0时，y ′＝2x 0.故切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．又∵直线过B (3,5)点， ∴5－x 20＝2x 0(3－x 0)．即x 20－6x 0＋5＝0. 解得x 0＝1或x 0＝5.故切线方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0. [一点通](1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况： ①求曲线在点P 处的切线方程，P 为切点，在曲线上；②求过点P 与曲线相切的直线方程，P 不一定为切点，不一定在曲线上． (2)求曲线上某点(x 0，y 0)处的切线方程的步骤： ①求出f ′(x 0)，即切线斜率； ②写出切线的点斜式方程； ③化简切线方程．(3)求过点P 与曲线相切的直线方程的步骤： ①设出切点坐标为(x 0，y 0)；②写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； ③代入点P 的坐标，求出方程．7．已知直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝ln x 相切，则a 的值为________．解析：设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，由题意得1x 0＝1，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,0)，把点P 的坐标代入直线y ＝x ＋a ，得a ＝－1.答案：－18．求曲线y ＝2x 2－1的斜率为4的切线的方程．解：设切点为P (x 0，y 0)，y ′＝4x ，由题意知，当x ＝x 0时，y ′＝4x 0＝4，所以x 0＝1.当x 0＝1时， y 0＝1，∴切点P 的坐标为(1,1)．故所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.1．对公式y ＝x n的理解：(1)y ＝x n中，x 为自变量，n 为常数；(2)它的导数等于指数n 与自变量的(n －1)次幂的乘积．公式中n ∈Q ，对n ∈R 也成立． 2．在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化． (2)对于公式(ln x )′＝1x 和(e x )′＝e x 很好记，但对于公式(log a x )′＝1xlog a e 和(a x )′＝a xln a 的记忆就较难，特别是两个常数log a e 与ln a 很容易混淆．(三)]一、填空题1．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值是________．解析：∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1，∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4.∴α＝4. 答案：42．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为________．解析：设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1x 20＝－4.所以x 0＝±12，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 3．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________．解析：由导数公式可知f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0. 解之得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－134．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a＝－1. ∴ln a ＝－1，即a ＝1e .答案：1e5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________．解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)．即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，知x 0＝e.∴k ＝1e .答案：1e二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝lg 2； (2)y ＝2x；(3)y ＝x 2x；(4)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝(lg 2)′＝0； (2)y ′＝(2x )′＝2xln 2； (3)y ′＝(x 32)′＝32x 12；(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x . 7．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则当x ＝x 0时，y ′＝2x 0.又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.8．求曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝x 2解得交点为(1,1)．∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x2， ∴曲线y ＝1x在(1,1)处的切线方程为y －1＝－x ＋1，即y ＝－x ＋2.又y ′＝(x 2)′＝2x ，∴曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.y ＝－x ＋2与y ＝2x －1和x 轴的交点分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. ∴所求面积S ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝34.1．2.2 函数的和、差、积、商的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.问题1：f (x )、g (x )的导数分别是什么？提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.问题2：若Q (x )＝x ＋1x，则Q (x )的导数是什么？提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x x ＋Δx， ∴ΔyΔx ＝1－1xx ＋Δx.当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于1－1x 2，∴Q ′(x )＝1－1x2.问题3：Q (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有什么关系？提示：Q ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )．导数的运算法则设两个函数分别为f (x )和g (x )，则 (1)[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )； (2)[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)[Cf (x )]′＝Cf (x )′(C 为常数)；(4)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x(g (x )≠0)．1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f n ′(x )．2．对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及(5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fxg x这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．P9][例1] (1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x；(3)y ＝cos x x；(4)y ＝x tan x .[思路点拨] 结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′ ＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x＋x 3·(e x)′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝cos x ′·x －cos x ·x ′x 2＝－x ·sin x －cos xx2＝－x sin x ＋cos x x 2.(4)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin xx －x sin x xcos 2x＝x ＋x cos xx ＋x sin 2xcos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x. [一点通] (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．1．若f (x )＝13x 3＋2x ＋1，则f ′(－1)＝________.解析：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＋(2x )′＋1′＝x 2＋2，所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3. 答案：32．函数y ＝x (x 2＋1)的导数是________．解析：y ′＝[x (x 2＋1)]′＝(x 3＋x )′＝3x 2＋1. 答案：3x 2＋13．求下列函数的导数：(1)y ＝ln x x ＋1－2x ；(2)y ＝sin x －cos x2cos x .解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ＋1′－(2x )′＝1xx ＋－ln xx ＋2－2xln 2 ＝1＋1x －ln x x ＋2－2xln 2＝x －x ln x ＋1x x ＋1－2xln 2.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2cos x －12′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2cos x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x 4cos 2x＝12cos 2x.[例2] 设f (x )＝a ·e x＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝e ，求a ，b 的值．[思路点拨] 首先求f ′(x )，然后利用条件建立a ，b 的方程组求解． [精解详析] f ′(x )＝(a ·e x)′＋(b ln x )′＝a ·e x＋b x，由f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，得⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋b ＝e ，a e－b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以a ，b 的值分别为1,0.[一点通] 利用导数值求解参数问题，是高考的热点问题．它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键．4．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ， ∴f ′(－1)＝3a －6＝4，即a ＝103.答案：1035．若函数f (x )＝ex x在x ＝c (c ≠0)处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．解：∵f (x )＝e x x ，∴f (c )＝ecc，又f ′(x )＝e x ·x －e x x2＝exx －x 2，∴f ′(c )＝ecc －c 2，依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e cc＋ecc －c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12.[例3] y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．[思路点拨] 题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a 、b 、c 的值．[精解详析] ∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过P (1,1)点， ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b . ∴4a ＋b ＝1.②又曲线过Q (2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[一点通] 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－47．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )的解析式．解：由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )，f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1中得：x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0. 要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性．(四)]一、填空题1．(广东高考)曲线y ＝－5e x＋3 在点(0，－2) 处的切线方程为________．解析：由y ＝－5e x＋3得，y ′＝－5e x，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.答案：5x ＋y ＋2＝02．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.∵f ′(x 0)＝2，∴1＋ln x 0＝2， ∴x 0＝e.答案：e3．函数f (x )＝e xcos x ，x ∈[0,2π]，且f ′(x 0)＝0，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝e x cos x －e xsin x ，由f ′(x 0)＝0，得e x 0cos x 0－e x 0sin x 0＝0， ∴cos x 0＝sin x 0，即tan x 0＝1. 又∵x 0∈[0,2π]，∴x 0＝π4或5π4.答案：π4或5π44．(江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 解析：由题意y ′＝αx α－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.答案：25．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝－1x －2，∴当x ＝1时，y ′＝－1.∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0 二、解答题6．求下列函数的导数： (1)y ＝sin x ＋3x 2＋x ； (2)y ＝(1＋cos x )(2x 2＋e x)．解：(1)y ′＝(sin x ＋3x 2＋x )′＝(sin x )′＋(3x 2)′＋x ′＝cos x ＋6x ＋1. (2)y ′＝[(1＋cos x )(2x 2＋e x)]′＝(1＋cos x )′(2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(2x 2＋e x)′ ＝－sin x (2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(4x ＋e x)＝e x(1＋cos x －sin x )－2x 2sin x ＋4x (1＋cos x )． 7．设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解：(1)法一：由题设和基本不等式可知，。

苏教版数学高二- 选修2-2教案 1.5.3《微积分基本定理》

1.5.3 微积分基本定理教案一、教学目标通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分二、教学重难点重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点了解微积分基本定理的含义三、教学过程【知识回顾】复习：定积分的概念及用定义计算【新课导入】引入新课：我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

比如：由定积分的定义可以计算 1213x dx =⎰ , 但比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的方法求定积分呢?22083x dx =⎰125(2)3t dt -+=⎰ 2204(2)3t dt -+=⎰问题思考：变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -而()()S t v t '=。

【数学建构】对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()baf x dx F b F a =-⎰若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

讲解：牛顿—莱布尼茨公式1：定理（微积分基本定理）：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰记: ()()()|b a F b F a F x -= 则:()()|()()bb a af x dx F x F b F a ===-⎰备注：f(x)是F(x)的导函数F(x) 是f(x)的原函数。

苏教版数学高二选修2-2学案 1.5.3 微积分基本定理

1.5.3 微积分基本定理1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．[基础·初探]教材整理微积分基本定理阅读教材P 49“例1”以上部分，完成下列问题．对于被积函数f (x )，如果F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )dx ＝F (b )－F (a )，即⎠⎛a bF ′(x )dx ＝F (b )－F (a )．判断正误：(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型]求简单函数的定积分求下列定积分：(1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)dx ； (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )dx ； (3) ⎠⎛-π0(cos x －e x )dx .【精彩点拨】先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．【自主解答】 (1)取F (x )＝x 33＋x 2＋3x ，则F ′(x )＝x 2＋2x ＋3，从而⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)dx ＝⎠⎛12F ′(x )dx ＝F (2)－F (1)＝253.(2)取F (x )＝－cos x －sin x ，则F ′(x )＝sin x －cos x ，从而⎠⎛0π(sin x －cos x )dx ＝⎠⎛0πF ′(x )dx ＝F (π)－F (0)＝2. (3)取F (x )＝sin x －e x ，则F ′(x )＝cos x －e x ，从而⎠⎛-π0 (cos x －e x )dx ＝⎠⎛-π0F ′(x )dx＝F (0)－F(－π) ＝1e π－1.求简单的定积分关键注意两点(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．[再练一题]1.⎠⎛12x －1x 2dx ＝________. 【导学号：01580025】【解析】 ⎠⎛12x －1x 2dx ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫1x －1x 2dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12. 【答案】 ln 2－12求分段函数的定积分(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )dx ； (2)⎠⎛02|x 2－1|dx . 【精彩点拨】 (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．【自主解答】＋⎠⎛24(x －1)dx＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪ π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|dx ＝⎠⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2.1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．[再练一题]2．计算定积分：⎠⎛－33(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx .【解】设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3,3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.所以⎠⎛－33(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫94－9＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9－94＝45.[探究共研型]利用定积分求参数探究1 满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )惟一吗？【提示】不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．探究2 如何求对称区间上的定积分？【提示】在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．已知f (x )是一次函数，其图象过点(1,4)，且⎠⎛01f (x )dx ＝1，求f (x )的解析式．【精彩点拨】设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解．【自主解答】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k ＋b ＝4.①又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(kx ＋b )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ，所以k 2＋b ＝1.②由①②得k ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x －2.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．[再练一题]3．上例中，若把“已知f (x )是一次函数”改为“已知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)”，其余条件不变，求f (x )的解析式．【解】 ∵函数的图象过点(1,4)，∴a ＋b ＝4，① 又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a3x 3＋b 2x 2| 10＝a 3＋b 2，∴a 3＋b2＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x 2－2x .[构建·体系]1.⎠⎛1e 1x dx ＝________. 【解析】 ⎠⎛1e 1x dx ＝ln x |e 1＝ln e －ln 1＝1.【答案】 12.⎠⎛0π(2sin x －3e x ＋2)dx ＝________. 【解析】 ⎠⎛0π(2sin x －3e x ＋2)dx ＝(－2cos x －3e x ＋2x ) |π0＝7＋2π－3e π.【答案】 7＋2π－3e π3．计算⎠⎛01x 2dx ＝________.【解析】由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2dx ＝13x 3| 10＝13. 【答案】 134．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)dx ≤4，则实数k 的取值范围为________．【解析】 ⎠⎛12(kx ＋1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x | 21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，25．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛1－1f 2(x )dx ＝1，求f (a )的取值范围．【解】由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛1－1f 2(x )dx ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0，所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________。

2019-2020学年苏教版选修2-2 微积分基本定理教案

2019-2020学年苏教版选修2-2 微积分基本定理教案【教学重点】：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分【教学难点】：了解微积分基本定理的含义． 21n +-算不出⎰（图1.6-1）（5）师：如何用()v t表示物基础题：1. 下列值等于1的积分是（） (A )10d x x ⎰(B )1(1)d x x +⎰(C )11d x ⎰(D )101d 2x ⎰答案：C解释：11001d 1x x ==⎰2. 计算：(1)231d x x ⎰；（2）20(25)d x x +⎰；（3）8x -⎰解释：（1）22344111115d (21)444x x x ==-=⎰（2）2220(25)d (5)14x x x x +=+=⎰（3）8483134544x x --==⎰3. 已知自由落体速度为v gt =，则落体从0t =到0t t =所走过的路程为（）(A )2013gt(B ) 20gt(C ) 2012gt(D )2014gt答案：C 解释：0t 220011d 22t gt x gt gt ==⎰4. 若1(2)d 2x k x +=⎰，则k =答案：1解释：1120(2)d ()1x k x x kx k +=+=+⎰，∴12k +=，∴1k =（难题）5. 已知函数2()321f x x x =++，若11()d 2()f x x f a -=⎰成立，则a =答案：－1或13解释：113211()d ()4f x x x x x --=++=⎰，∴22(321)4a a ++=，即23210a a +-=，解得1a =-或13a = 6、计算下列定积分（1）220(3sin )x x dx π+⎰ （2）226cos xdx ππ⎰解：（1）∵()32cos '3sin x x x x -=+， ∴()()332322(3sin )cos 001188x x dx x x ππππ⎛⎫+=-=---=+ ⎪⎝⎭⎰（2） ∵ 21cos2cos 2x x +=，且111cos 2(sin 2)'222xx x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴22226661cos211cos (sin 2)2226x xdx dx x x πππππππ+⎛⎫==+=-⎪⎝⎭⎰⎰。

高中数学选修2-2教学设计2：1.6 微积分基本定理教案

学习目标1．理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理;2．掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分;3．能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足()()F x f x '=的函数()F x .学习过程一、目标展示二、自主学习（预习教材P 57~ P 61，找出疑惑之处）1．如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝________，那么ʃb a f (x )d x ＝__________.该结论叫做微积分基本定理，又叫________________公式．2．微积分基本定理揭示了________和__________之间的内在联系，同时它也提供了计算____________的一种有效方法；计算定积分的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )．(1)若F ′(x )＝x α，则F (x )＝____________；(2)若F ′(x )＝cos x ，则F (x )＝__________；(3)若F ′(x )＝sin x ，则F (x )＝____________；(4)若F ′(x )＝e x ，则F (x )＝________；(5)若F ′(x )＝1x(x >0)，则F (x )＝__________； (6)F ′(x )＝a x (a >0且a ≠1)，则F (x )＝__________.三、互动交流※ 学习探究探究任务一：导数与定积分的联系问题1：一个作变速直线运动的物体的运动规律是()s s t =.由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度()()v t s t '=.设这个物体在时间段[,]a b 内的位移为S ，你能分别用(),()s t v t 表示S 吗？新知：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ 这个结论叫做微积分基本定理，也叫牛顿—莱布尼兹公式为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰试试：计算120x dx ⎰反思：计算定积分()ba f x dx ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 通常我们可以运用基本初等函数的求导公式的四则运算法则从反方向求出()F x 。

166-高中数学选修系列2 选修2-2《微积分基本定理与定积分计算》教案2

§3 微积分基本定理与定积分计算一、目标预览1.理解并能熟练运用微积分基本定理.2.掌握定积分的常用计算方法.3.了解定积分与不等式的常用证明方法.4.了解定积分相关知识的综合应用. 二、概念入门设],[b a R f ∈，称函数⎰=Φxadt t f x )()(]),[(b a x ∈为函数)(x f 在],[b a 上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：⎰=ψbxdt t f x )()(.注（i ）由)(R 积分的性质，)(x Φ的定义有意义. （ii ）由)(R 积分的性质易证],[)(b a C x ∈Φ.三、主要事实 1.微积分基本定理若],[b a C f ∈，则)()(x f x =Φ']),[(b a x ∈，即⎰=xa x f dt t f dxd )()(，],[b a x ∈. 注（i ）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得. （ii ）通过微分中值定理（推论），可获得微积分基本定理如下的等价表述：若],[b a C f ∈，而且)()(x f x F =']),[(b a x ∈，则⎰-=xaa F x F dt t f )()()(]),[(b a x ∈.(iii)微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积分、微分与积分的内在联系.（iv ）利用微积分基本定理及复合函数微分法可得下述的变限积分求导公式：若],[b a C f ∈，)(x ϕ、)(x ψ在],[d c 上可微而且]),([d c ϕ、],[]),([b a d c ⊂ψ，则⎰'-'=)( )( )())(()())(())((x x x x f x x f dt t f dxd ψϕϕϕψψ 2.第二积分中值定理（1）（旁内（Bonnet ，1819-1892[法]）型第二积分中值定理）若],[b a R f ∈，而且)(x g 是],[b a 上非负递减（相应地递增）函数，则存在],[b a ∈ξ使得⎰⎰=ξ )()()()(abadx x f a g dx x g x f （相应地⎰=bdx x g b f )()(ξ）（2）（Werierstrass 型第二积分中值定理）若],[b a R f ∈，)(x g 是],[b a 上的单调函数，则存在],[b a ∈ξ使得⎰⎰⎰+=babadx x f b g dx x f a g dx x g x f )()()()()()(ξξ.证（1）令⎰=xadt t f x F )()(]),[(b a x ∈，利用g 的可积性得⎰⎰--=→∑=ii x x i ni T badx x f x g dx x g x f 110|||| 1)()(lim )()())()()((lim 1110||||--=→-∑=i i i ni T x F x F x g再由 ))()()((111--=-∑i i i ni x F x F x g)()()]()()[(1111---=+-∑=n i i i n i x g b F x g x g x F及g 的单调减小性，可得)()()()(max min a g F dx x g x f a g F ba≤≤⎰再由连续函数的介值性即得.（2）当g 为单调递减（增）时，对)()()(b g x g x h -=)((x g =))(a g -应用（1）即得.3.定积分的计算（1）（牛顿——莱布尼兹公式）若],[b a R f ∈，],[b a C F ∈而且除有限个点外有)()(x f x F ='，那么有⎰-=baa Fb F dx x f )()()(.注（i ）牛顿——莱布屁兹公式简称L N -—公式，它是微积分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种形式.（ii ）证明可由)(R 积分的定义（分点包括例外点）及微分中值定理（作用在F 上）可推得.（2）（定积分换元积分法）如果)(t ϕ在],[βα上有连续导数，a =)(αϕ，b =)(βϕ，],[]),([b a ⊂βαϕ，],[b a C f ∈，那么有⎰⎰'=badt t t f dx x f )())(()(βαϕϕ注（i ）定积分换元积分公式由复合函数微分法及L N -公式可得，而且],[)(b a C t ∈'ϕ可减弱为],[βαϕR ∈'.进一步，定积分换元积分公式中的],[b a C f ∈可减弱为],[b a R f ∈，但ϕ的条件稍许加强（证明较为复杂），即有以下的命题成立：若],[b a R f ∈，],[],[:b a →βαϕ是一一映射而且还满足a =)(αϕ，b =)(βϕ，],[)(βαϕR t ∈'，那么有⎰⎰'=badt t t f dx x f )())(()(βαϕϕ.（ii ）定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的直接应用.但使用时有较大差别，在这里换元之后变量不需回代，但积分限要跟着更换（在去掉根号的情形下须注意函数的符号）.（iii ）对应于不定积分中的第一换元法（即凑微分法），在这里可以不加变动地直接应用，而且积分限也不须作更改（即仍然采用原来的积分变量）.（3）（分部积分法）如果u 、v 具有连续的导数，那么有⎰⎰='babax dv x u dx x v x u )()()()(⎰-=bab a x du x v x v x u )()(|)()(.注（i ）分部积分可由乘积微分法则及L N -公式直接证之. （ii ）分部积分公式可连续使用n 次，即利用数学归纳法及分部积分公式可得下面的命题：若u 、v 具有1+n 阶连续导数，那么有⎰+ban dx x v x u )1()()(b a n n n n x v x u x v x u x v x u |)]()()1()()()()([)()1()(-++'-=-⎰++-+ban n dx x v x u )1(1)()()1(),3,2,1( =n .4.定积分计算中常用的几个公式（1）若],[b a C f ∈，则⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(⎰-++=ba dx xb a f x f )]()([21. （2）若],[a a C f -∈，则⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0))()(()(⎪⎩⎪⎨⎧=⎰为奇函数为偶函数f ，f dx x f a0 ,)(2 0（3）若)(x f 是以T 为周期的周期函数，则1R a ∈∀有⎰⎰⎰-+==T/22/ 0)()()(T TTa adx x f dx x f dx x f（4）若]1,0[C f ∈，则⎰⎰=22)(cos )(sin ππdx x f dx x f .（5）若]1,1[-∈C f ，则⎰⎰⎰==2)(sin )(sin 2)(sin πππππdx x f dx x xf dx x xf .证（1）令t b a x -+=可得. （2）令t x -=得⎰⎰-=aadt t f dx x f 0)()(.（3）令T t x +=得⎰⎰⎰=+=+aa Ta Tdt t f dt T t f dx x f 0)()()(，于是有⎰⎰⎰⎰++=+=TTa TTaTa adx x f dx x f dx x f dx x f 0)()()()(，再令2Ta -=得⎰⎰=T ππ/dx x f dx x f 0 2/ 2- )()(. （4）令t x -=2/π可得. （5）令t x -=π可得⎰⎰⎰-=ππππ 0)(sin )(sin )(sin dt t tf dt t f dx x xf及⎰⎰=22)(sin )(sin πππdt t f dx x f .5.带积分余项的泰勒公式若)(x f 在],[b a 上具有1+n 阶连续导数，那么],[,0b a x x ∈∀有⎰-+-∑=+=x x n n k k nk dt t x t f n x x k x f x f )1(00)(00))((!1)(!)()(，即⎰-=+x x n n n dt t x t f n x R )1(0))((!1)(，称此为泰勒公式的积分余项.注（i ）令n k nk t x k t f x f t F )(!)()()()(0-∑-==（常数变易法），对)(t F '分别应用L N -公式及分部积分公式即获得积分余项公式的证明.（ii ）对积分余项应用第一积分中值定理（nt x t g )()(-=在积分区间],[0x x （或],[0x x 上不变号）可得泰勒公式的拉格朗日余项：10)1())(()!1(1)(++-+=n n n x x f n x R ξ（其中10),(00≤≤-+=θθξx x x ）.（iii ）对积分余项应用积分平均值定理泰勒公式的柯西余项：)())((!1)(0)1(x x x f n x R n n n --=+ξξ )10()()1))(((!11000)1(≤≤---+=++θθθn n n x x x x x f n 四、例题选讲 1.定积分计算例题选. 例1 求下列定积分（1）⎰-224dx x x （2）⎰22cos sin πtdt t （3）⎰-121dx x（4）⎰++10 21)1ln(dx x x（5）⎰e xdx x 0 2ln （6）⎰--ln2 0 21dx e x（7）⎰++--4 2 )3ln()9ln()9ln(dx x x x （8）⎰+4 4- 21sin ππdx e x x （9）⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+221 111dx e x x x x解（1）⎰=--=---=2 0 202322238|)4(31)4(421x x d x .（2）⎰=-=-=20 23231|cos 31cos cos ππt t td . （3）令t x sin =，（3）4|)2sin 21(21cos 22 0 2πππ=+==⎰t t tdt （4）令t x tan =，（4）⎰+=4tant)ln(1πdt⎰⎰+=+=4 0 40 cos ))4/(sin(2ln cos sin cos ln πππdx xx dx x x x . 令t x -=4π得⎰⎰=+40 4cos ln )4sin(ln πππtdt dx x ，于是有（4）2ln 8|2ln 214ππ=⋅=x . （5）⎰⎰-==e e e dx x x x x xd 1 1 2133)|ln (31)(ln 31)12(913+==e（6）2ln 022ln 02|1)(1--=--=-⎰x x x x e e e d e⎰++-==-+2ln 0 2)32ln(231dx e e x x （7）利用⎰⎰-++=babadx x a b f x f dx x f )]()([21)(得（7）⎰==42121dx（8）利用⎰⎰-+=a aadx x f x f dx x f - 0)]()([)(得（8）⎰-==42418sin ππxdx （9）⎰⎰==+=++2 21252 212211123|e xdedx exx xx .例2 （1）求⎰=22sin πxdx I n（2）证明Wallis 公式：2!)!12(!)!2(121lim 2π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→m m n m . 解（1）⎰---+-=22)2(201cos sin )1(|cos sinππxdx x n x x I n n nn n I n I n )1()1(2---=-，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==-==-=- ,2,1,0,12,!)!12(!)!2(,2,1,2,2!)!2(!)!12(12m m n m m m m n m m J n n I n n π证（2）由⎰⎰⎰++<<21222212sin sinsinπππxdx xdx xdx m mn 得!)!12(!)!22(2!)!2(!)!12(!)!12(!)!2(--<⋅-<+m m m m m m π，由此可得m m B m m m m m m A =⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21!)!12(!)!2(2121!)!12(!)!2(22πm A m A B m m m 4210π<=-<，m m m A B A -<-<20π，因此2lim π=∞→m m A .例3 利用定积分求下列极限（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∑=∞→b n i a n n i n 1sin 1lim 1 （2）2211lim in n i n +∑=∞→（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑-=∞→πn i n i n n i n sin lim 11 （4）i n n i n 1ln 1lim 1=∞→∑（5）n n n n n n n)()2)(1(1lim +++∞→解（1）⎰+-=+=1)cos(cos )sin(b a a dx bx a（2）⎰+=+=+∑==∞→1 0 221)21ln(1)/(111lim x dxn i n n i n .（3）由1+<+<n nin n 可得（3）⎰==∑==∞→1 0 12sin sin 1lim πππxdx n i n n i n（4）由⎰+=<<+i i i idx x i 1 11 ),2,1(1111 可得n in n i ln 11)1ln(1+<∑<+=.因此11ln 1lim 1=∑==∞→in n i n .（5）令n n n n n n na )()2)(1(1+++=)]ln([11ln ln 1i n n n a ni n +∑+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-+∑===n i n n i n n n i n i 1ln 1)ln )(ln(111 ⎰=+→1 0 4ln )1ln(e dx x .因此ea n n 4lim =∞→.2.微积分基本定理应用例题选例4 设⎰⎰+=xtdt du u x f 0sin 12)1()(，试求)(x f ''.解应用微积分基本定理两次可得x x x f 4sin 1cos )(+=''. 例5 确定常数a 、b 、)0( ≠c 使得⎰=-+-→xb xc x ax dt tt 130)sin ())1ln((lim .解由⎰=+→xb x dt tt 300)1ln(lim 可推得0=b ，由罗比塔法则及)0( ~)1ln(33→+x x x 可推得1=a ，接着易求得21=c .例6 若)(x f '存在，0)0(=f ，⎰-=-xn n n dt t x f t x F 01)()(，试求n x xx F 20)(lim →.解令nn t x u -=，则⎰=n x du u f n x F 0)(1)(，)0(21)(lim 21)(lim 121020f nx x f x n x x F n n n x n x '==--→→. 例7 设f 连续，1)1(=f ，⎰=-x x dt t x tf 0 2arctan 21)2(.试求：⎰21)(dx x f .解令u t x =-2，则⎰⎰--=-xxxdu u f u x dt t x tf 02 )()2()2(于是有22 2 arctan 21)()(2x du u uf du u f x xxxx=-⎰⎰. 两边关于x 求导得⎰++=xxx xf xxdu u f 2 4)(1)(2 再令1=x 可得⎰=2143)(du u f . 例8 试求可微函数)(x f 使得⎰⎰⎰+=txtx du u f x du u f t du u f 1 11)()()(.解先关于x 求导得⎰+=tdu u f x tf xt tf 1)()()(令1=x 得⎰+=t du u f u tf t tf 1)()()(再关于t 求导得)()1()()(t f f t f t t f +='=.因而t f t f /)1()(='，因而c t f t f +=ln )1()(.3.积分中值定理应用例题选例9 设f 在]1,0[上可微，而且0)0(=f ，1)(0≤'≤x f （]1,0[∈x ）.证明：⎰⎰≥10 10 32)())((dx x f dx x f .证令⎰⎰-=xxdt t f dt t f x F 00 32)())(()(，则由条件可得0)(≥'x F ，由0)0(=F 得0)(≥x F ])1,0[(∈x ，于是有1)1(≥F . 例10 设)(x f '在]1,0[上连续，而且0)0(=f ，1)1(=f .证明：⎰>-'1 0 1|)()(|edx x f x f .证 x x x x f n2sin )1()(-='，0)0(='f ，0)1(='f ，)(x f 在1=x 处取最大值，因而有⎰-=≤122sin )()1()(tdt t t f x f n⎰++=-≤122)32)(22(1)(n n dt t t t n .证⎰⎰'=-'-10 10 |))((||)()(|dx x f e e dx x f x f x xe dx xf e dx x f e x x /1 |))((| |))((|11 0⎰⎰='≥'>--例11 设⎰+∈-=xn N n tdt t t x f 022)( sin )()(.证明：)32)(22/(1)(++≤n n x f ，0≥∀x例12 设)(x f 在],[b a 上二阶可导，而且0)(>''x f .证明：（i ）⎰+≤-≤⎪⎭⎫⎝⎛+b a a f b f dx x f ab b a f 2)()()(12；（ii ）又若0)(≤x f ]),[(b a x ∈，则⎰∈≤-bab a x x f dt t f a b ]),[( )()(2.证（i ）由⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥222)(b a x b a f b a f x f 及⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b a dx b a x 02得⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-b a b a f dx x f a b 2)(1，再由 )()()()()(a f a x a b a f b f a a b x b b a b ax x f +---≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=得 ⎰+≤-b a a f b f dx x f a b 2)()()(1. （ii ）],[b a x ∈∀，))(()()(t x t f t f x f -'+≥，积分后得⎰⎰-'+≥-babadt t x t f dt t f x f a b ))(()()()(⎰⎰≥-+=bab abadt t f t f t x dt t f )(2|)()()(2.例13 设)(x f 在],[b a 上具有二阶连续函数，证明；存在),(b a ∈ξ使得⎰''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=baf a b b a f a b dx x f 3)()(2412)()(ξ. 证令⎰=xadt t f x F )()(，分别求得)(a F ，)(b F ，在2ba c +=处的二阶泰勒展开式，两式相减再用微积分基本定理及连续函数的介值定理即得.例14 设],[)(b a C x f ∈而且⎰-==bakn k dx x f x )1,,1,0( 0)( ，⎰=ban c dx x f x )(.证明：c a b n x f n nb a x 1],[)()1(2 |)(|max +∈-+≥ 证由条件⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=b a ndx x f b a x c )(2，若c a b n x f n n 1)()1(2 |)(|+-+<，则由⎰+-=+-+b a nn n n a b dx b a x 1)1(2)(|2|导出c c <矛盾！例15 设],[b a C f ∈，g 在],[b a 上单调而且可微.证明：存在],[b a ∈ξ使得⎰⎰⎰+=babadx x f b g dx x f a g dx x g x f )()()()()()(ξξ.证令⎰=xadt t f x F )()(，由微积分基本定理及第一积分中值定理可得⎰⎰=babax dF x g dx x g x f )()()()(⎰'-=b dx x g x f b F b g )()()()(ξ))()()(()()(a g b g F b F b g --=ξ ))()()(()()(ξξF b F b g F a g -+=.例16 证明下列极限（1）若]1,0[C f ∈，则⎰=++→10 220)0(2)(lim f dx x f x h h h π. （2）若],[b a R f ∈，则⎰=∞→baxdx x f 0sin )(lim λλ.（3）⎰=+∞→xx tdt t x 00sin 1lim（4）若]2,0[πR f ∈，则⎰⎰=∞→πππ2 02 0)(2|sin |)(lim dx x f dx nx x f n .（5）若f 是以T 为周期的连续函数，则⎰=+∞→x x dt t f x 0 )(1lim⎰Tdt t f T0 )(1. （6）若],0[b C f ∈而且A x f x =+→)(lim 0，则0>>∀a b 有⎰=∞→b/na/nn abA dx x x f ln )(lim . 证（1） ))0(2)((lim 10 220⎰-+→f dx x f x h h h π)))0()(((lim 1 0 220⎰-+=→dx f x f x h h h ⎰-+=→1 220))0()(((lim δdx f x f x h h h ⎰=-++δ 0 220)))0()((dx f x f x h h . （2）由 ⎰-ii x x xdx x f 1|sin )(|λ⎰⎰--+-≤ii ii x x x x i i xdx x f dx x f x f 11|sin | |)(||)()(|λλω2)(⋅+∆≤M x f i i（其中M x f ≤ |)(|）及)(R 可积的第二充要条件可得. （3）由第二积分中值定理得，存在),0(x ∈ξ使得⎰⎰≤=x xxtdt xxtdt t x 0 2 |sin | |sin 1|ξ，再令+∞→x 即得.（4）⎰⎰-=∑=πππ2 212 01|sin |)(|sin |)(n k nk nk dx nx x f dx nx x f⎰-==∑=∑=ππξξ2 21 11)(4|sin |)(n k nk k nk k nk f n dx nx f ⎰→∑⋅==ππξππ2 01)(2)(22dx x f f n k n k . （5）⎰⎰-=x Tdt t f T x dt t f x 0 0)()()(ϕ是以T 为周期的连续函数，从而有界，由此即得.（6）由第一积分中值存在)/,/(n b n a n ∈ξ使得⎰=b/na/nn abf dx x x f ln )()(ξ. 令∞→n 即得.例17 设f 在),0[+∞上单调递增，而且0>∀b ，∈)(x f],0[b R .若⎰=+∞→xx A dt t f x 0 )(1lim ，则A x f x =+∞→)(lim .证若不然，00>∃ε，n ∀，n x n >∃使得0 |)(|ε≥-A x f n ，此时分两种情形：（i ）若存在N 使得0)(ε≥-A x f N ，则⎰+∞→xx dt t f x 0))(1(lim0 0 ))(1)(1(lim ε+≥+=⎰⎰+∞→A dt t f x dt t f x N Nx xx x . （ii ）n ∀，0)(ε-≤-A x f n ，则),0[+∞∈∀x 有A x f ≤)(0ε-，于是⎰-≤xA dt t f x 00)(1ε.上述的（i ）、（ii ）与⎰=∞→xx A dt t f x 0)(1lim 矛盾.例18 设],[)(b a C x f ∈'，令),,2,1,0( )(n k a b nka x k =-+=，⎰-∑-==b a k nk dx x f x f n a b n r 1)()()(.证明：))()((2)(lim a f b f ab n nr n --=∞→.证令)(inf x f m kx k '=∆∈，)(sup x f M kx k '=∆∈，则由⎰⎰---'∑=-∑===kk kk x x k k nk x x k nk dx x x f dx x f x f n r 1 111))(())()(()(ξk nk k n k M na b n r m n a b 1221222)()(2)(==∑-≤≤∑- 于是有⎰--='-→b a a f b f ab dx x f a b n r n ))()((2)(2)((.五、思考与讨论1.若)(x f 在区间I 上有原函数，是否必有L N -公式成立？提示：考虑⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(22x x xx x F 2.若],[b a R f ∈，f 是否必有原函数？3.若],[b a R f ∈，而且⎰=xadt t f x F )()(是否必有)()(x f x F ='？4.若f 在I 上不)(R 可积，)(x f 的原函数在I 上是否必不存在？5.奇函数的原函数是否必为偶函数？偶函数的原函数是否必为奇函数？六、基础题训练 1.计算下列定积分（1）⎰20 52sin cos πxdx x （2）⎰-adx x a x 0 222 （3）⎰-+10 xx e e dx（4）⎰1 0 arcsin xdx（5）⎰+20 cos sin cos πθθθdx （6）⎰e e dx x 1/ |ln | （7）⎰+4 142dx xx（8）⎰-π 0 sin 1dx x （9）⎰---π 0 1010cos sin 4cos sin dx x x x x （10）⎰+2 2- 41sin ππdx e x x（11）⎰+36 sin cos sin ππαααdx x x（α为实数）（12）⎰+4 0 2)cos (sin πdx x x x2.设⎰-++=1 0 22)(111)(dx x f x xx f .试求⎰1 0 )(dx x f . 3.设2/)13(x xe x f =+,试求⎰1)(dx x f .4.设2)(x e x f -=，试求⎰'''1)()(dx x f x f .5.⎰-=xdt t t x f 0 sin )(π.试求⎰π 0 )(dx x f . 6.设2)(=πf ，⎰''+πsin ))()((xdx x f x f .试求：)0(f '.7.求下列极限（1）⎰→x x dt t x 020cos 1lim （2）⎰⎰+∞→xt xt x dte dt e 02 0 222)(lim（3）32sin lim xdt t x x ⎰+→ （4）3sin 020sin lim xdt t xx ⎰→8.设⎰+=)( 021)(x g t dtx f ，⎰+=xdt t x g cos 02))sin(1()(.试求)2/(πf '（答案：1-）.9.设)(x f '连续而且0)0(=f ，0)0(≠'f .求k 使得0)()(lim220≠=-⎰→c xdtt f t x kxx .（答案：4=k ） 10.证明：0sin 2 0>⎰πdx xx（提示：分段，换元）.11.设)(x f '在],[b a 上连续，而且0)()(==b f a f .证明：⎰'≤badt t f x f |)(|21 |)(|,],[b a x ∈∀.12.设)(x f 在],[b a 上单调增加.证明：⎰⎰+≥b ab adx x f b a dx x xf )(2)(. （提示：0)2))(2()((≥+-+-ba xb a f x f ）.七、提高性习题13.求下列积分（n 为正整数）（1）⎰40 2tan πxdx n （2）⎰-12)1(dx x n（3）⎰π2 0sin xdx n（4）⎰2sin cos πxdx x n n14.求下列极限（1）221lim k n n nk n +∑=∞→ （2）πnin n i n 4tan 1lim 1=∞→∑（3）i n ni n 12/31lim =∞→∑ （4）i n i n n i n ⋅-⋅∑=∞→/1lim 1（5）ni n i n n i n /112)/(lim -=∞→+∑ （6）π21sin )/1(lim ni n i n i n +∑=∞→（答案：（1）.4/π；（2）.π/2ln 2；（3）3/2；（4）.（2）；（5）.2ln /1；（6）6/5π）15.设],[b a R f ∈而且0)(>x f ，令)()(nab ia f f n i-+=. 证明：（1）⎰-=∑=∞→ba n i n i n dx x f ab f n )(1)(11lim （2）⎰=-∞→badxx f a b n nn n n e f f f )(ln 1)()(2)(1lim（3）⎰--=∞→-=∑ban ini n x f dx a b f n 11)(1))()(()1(lim . 16.求下列极限（1）⎰+∞→1limn nnxn dx x e （2）x dt t xx ⎰+∞→ 0|sin |lim（3）⎰-+∞→xx dt t t 0])[(lim.（答案：（1）.0；（2）.π/2；（3）.2/1）. 17.证明下列极限：（1）若)(x f '在]1,0[上连续，则⎰=∞→1)1()(lim f dx x f nx nn .（2）若],1[e R f ∈不变号，则⎰⎰+∞→=ennn dx xx f dx x f n 111 1)()(lim （3）若],[b a C f ∈，则⎰+∞→∈=1]),[( )()/(lim nx nxn b a x x f dt n t f（4）若),0[+∞∈C f 而且A x f x =+∞→)(lim ，则⎰=+∞→x x A dt t f x 0)(1lim . （提示：（1）利用分部积分；（2）令t x n=，再用第一积分中值定理；（3）令n t u /=，再利用积分中值定理；（4）分段估计）.18.设]1,0[)(C x f ∈'，]1,0[∈x .证明：)(22ln ))()((lim 221x f x f kn k x f nk n '=-++∑=∞→. 19.设)(x f 在1R 上无穷次可微，n 为自然数，10R x ∈.证明：1)()()(lim 0)1(000+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→n x f x x x f x f dx d n n n x x . 20.设],[,a a C g f -∈，)(x g 为偶数且对于],[a a x -∈∀，有A x f x f =-+)()(.证明：⎰⎰=aaadx x g A dx x g x f 0- )()()(,并由此计算dx e x I x ⎰-=22arctan |sin |ππ（答案：2/π）.21.设)(x f 为连续函数.证明下述等式：（1）⎰⎰+=+ 1 2 1 222)()(a ax dxx a x f x dx x a x f （2）⎰⎰+=+4 1 4 1 )22(2ln ln )22(xdx x x f dx x x x x f .（提示：（1）令t x =2，再令t a u /2=（分段）；（2）令t x /4=）.22.设⎰+=x dt t tx f 1 1ln )(，),0(+∞∈x .试求)()/1(x f x f +.（答案：x 2ln 21）.23.试求函数⎰+-=x e dt t t tx I 212ln )(在],[2e e 上的最大值.（答案：))1/(()1ln(e e e +-+）.24.设)(x f 连续，而且⎰-=-xx dt t x tf 0cos 1)(.试求⎰2)(πdx x f （答案：1）.25.设)(x f '在),0[+∞上存在，0)0(=f ，)(x g 为)(x f 的反函数而且⎰=)( 02)(x f x e x dt t g .试求：)(x f （答案：c e x x ++)1(）.26.设)(1R C f ∈而且)()()()(y x xy y f x f y x f +++=+ (1,R y x ∈∀).试求)(x f （答案：c x x f +++3/)1(313）. 27.设],0[πC f ∈而且0)( 0=⎰πdx x f ，⎰=π0cos )(xdx x f .证明：)(x f 在],0[π中至少有两个零点.41（提示：令⎰=xdt t f x F 0)()(，利用分部积分）.28.设],[b a C f ∈而且不恒为常数，而且)(min )()(],[x f b f a f b a x ∈==.证明：存在),(b a ∈ξ使得)()()( ξξξf a dx x f a-=⎰.（提示：令⎰--=t adx x f t f a t t F )()()()(，)(max )(],[0t f t f b a t ∈=，则0)(0>t F ，0)(<b F ）.29.设],[b a C ∈ϕ，)(x f ''存在而且非负.证明：⎰⎰≥aa dt t af dt t f a 0 0 ))(1())((1ϕϕ. （提示：利用)(x f 在⎰=adx x f a x 00)(1处的一阶泰展开式）.30.设]1,0[)(C x f ∈''.证明：⎰⎰⎰''≤11 01|})(|,|)(|max {|)(|dx x f dx x f dx x f .（提示：分)(x f 变号与不变号两种情形考虑）. 31.设],[)(b a C x f ∈'.证明|)(|max |)(||)(1|],[ x f dx x f dx x f ab b a x b a ba ∈≥'=-⎰⎰. 32.设],0[)(a C x f ∈'而且0)0(=f ，|)(|max ],[x f M b a x '=∈.证明：⎰≤a a M dx x f 0 22|)(|.（提示：利用⎰⎰'---=aa adx x f a x x f a x dx x f 00)()(|)()()(）33.设)(x f 在]2,0[上二阶可导，M x f ≤' |)(|（20≤≤x ）而且0)1(=f .证明：⎰≤20 3/ |)(|M dx x f .（提示：利用)(x f 在1=x 处的泰勒展开式）.41 34.设],[)(b a C x f ∈''且0)2(=+ba f ，|)(|max ],[x f Mb a x ''=∈.证明：⎰-≤baa b M dx x f 3)(24|)(|. （提示：利用)(x f 在2/)(0b a x +=处的一阶泰展开式）.35.设⎰+-=x dt nt t x f 0 )1ln()1()(，0>x .证明：6)(nx f ≤.（提示：)(x f 在1=x 处取最大值）.36.设]1,0[C f ∈而且非负，⎰+≤'xdt t f x f 0)(21)(.证明：])1,0[( 1)(∈+≤x x x f .（提示：令⎰+=xdt t f x F 0)(21)(）.37.设],[)()2(b a C x fn ∈而且M x f n ≤ |)(|)2(，=)()(a fi)1,,2,1,0( 0)()(-==n i b f i .证明：⎰+-+≤a n a b M n n n dx x f 0 122)()!12()!2()!( |)(|. （提示：令nn b x a x x g )()()(--=，再利用分部积分公式及换元公式）.38.设],[)(b a C x f ∈不恒为零而且满足M x f ≤≤)(0.证明：⎰⎰⎰-++≤bababaa b M dx x f dx x f dx x f 4222212)())(())(())((.（提示：利用函数单调性）. 39.设],[)(b a C x f ∈而且⎰∈≤xadt t f x f b])[a,(x )()(.证明：]),[( 0)(b a x x f ∈≤.（提示：令⎰=xadt t f x F )()(，则0))((≤'-x F e x ）.40.设)(x f 连续，⎰=1)()(dt xt f x ϕ而且A xx f x =→)(lim（常41数）.试求)(x ϕ'，并讨论)(x ϕ'在0=x 处的连续性.（答案：20 /)()(()(x dt t f x xf x x⎰-='ϕ，2/)(lim 0A x x ='→ϕ)0(ϕ'=）.41.设),0[)(+∞∈'C x f 而且0))()((lim ='++∞→x f x f x .证明：0)(lim =+∞→x f x .（提示：令)()()(x f x f x F '+=，则))(()('=x f e x F e xx ，再由⎰-=xx x x t x f e x f e dt t F e 000)()()(及积分中值定理可得）.。

高中数学选修2-2教学设计8：1.6 微积分基本定理教案

1.6 微积分基本定理教学目标1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)教学梳理1．微积分基本定理内容如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么⎠⎛ab f(x)d x ＝F(b)－F(a)．符号⎠⎛ab f(x)d x＝F(x) ＝F(b)－F(a).思考：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？[提示]不唯一，如F1(x)＝x＋1，F2(x)＝x＋5，…等其导数为1，故F(x)不唯一．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下．则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图161①，则⎠⎛ab f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图161②，则⎠⎛ab f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图161③，则⎠⎛ab f(x)d x＝S上－S下，若S上＝S下，则⎠⎛ab f(x)d x＝0.图①图②图③图161教学案例类型1求简单函数的定积分例1 求下列定积分．(1)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ；(2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ；(3)⎝⎛⎭⎫sin x 2－cos x 22d x ；(4)⎠⎛03(x －3)(x －4)d x .[解] (1)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ＝(ln x －3sin x )| 21＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1. (3)∵⎝⎛⎭⎫sin x 2－cos x 22 ＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ，＝⎝⎛⎭⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1. (4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴⎠⎛03(x －3)(x －4)d x＝⎠⎛03(x 2－7x ＋12)d x⎝⎛⎭⎫13x 3－72x 2＋12x＝27－632＋36＝632.[跟踪训练]1．计算下列定积分．(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎝⎛⎭⎫cos 2 x 2－sin 2 x 2d x ；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x .[解] (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－x33＋ln x＝⎝⎛⎭⎫4－83＋ln 2－⎝⎛⎭⎫1－13 ＝ln 2＋23.＝⎝⎛⎭⎫23×27＋812－⎝⎛⎭⎫23×8＋162 ＝⎝⎛⎭⎫18＋812－163－8 ＝2716类型2求分段函数的定积分例2 计算下列定积分．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .[思路探究] (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎡⎭⎫0，π2，⎣⎡⎦⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和． (2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分． [解] (1)(x －1)d x ＝(－cos x )＝1＋⎝⎛⎭⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2. (2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝2.[跟踪训练]2．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1＜x ≤2，求⎠⎛02f (x )d x .(2)求|x 2－x |d x 的值.[解] (1)⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(1＋2x )d x ＋⎠⎛12x 2d x＝(x ＋x 2)＝2＋73＝133.(2)∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，－2≤x ＜0，x －x 2，0≤x ≤1，x 2－x ，1＜x ≤2，∴|x 2－x |d x＝143＋16＋56＝173. 类型3利用定积分求参数[探究问题]1．求f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x 的表达式．提示：f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2＝23a －12a 2. 2．试求f (a )取得最大时a 的值．提示：f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )的最大值为29.例3 (1)已知t ＞0，f (x )＝2x －1，若⎠⎛0t f (x )d x ＝6，则t ＝ .(2)已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为．[解] (1)⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x ＝t 2－t ＝6，解得t ＝3或－2，∵t ＞0，∴t ＝3. (2)⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x ＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.母题探究：1.(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛0t f (x )d x ＝f⎝⎛⎭⎫t 2，求t .[解] 由⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x＝t 2－t ，又f ⎝⎛⎭⎫t 2＝t －1， ∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛0t f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．[解] F (t )＝⎠⎛0t f (x )d x ＝t 2－t＝⎝⎛⎭⎫t －122－14(t ＞0)，当t ＝12时，F (t )min ＝－14.[当堂达标·固双基]1．下列值等于1的是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x [答案] C[解析] 选项A ，因为⎝⎛⎭⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22＝12；选项B ，因为⎝⎛⎭⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x22＋x ＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x＝1；选项D ，因为⎝⎛⎭⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ＝12. 2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2[答案] D[解析] ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝()x 2＋ln x ＝a 2＋ln a －1，∴a 2－1＝3，且ln a ＝ln 2，故a ＝2.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝ .[解析] ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33－x 23＝83－43＝43[答案] 434．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝ .[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛1(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33＋x ＋⎝⎛⎭⎫3x －x22＝176. [答案]1765．已知f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的[解析]式．[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0. ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ① ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.。

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2019-2020学年苏教版选修2-2 微积分基本定理第2课时教案
【教学重点】：
（1）运用基本定理求定积分
（2）定积分的值与曲边梯形面积之间的关系
【教学难点】：
（1）求函数()f x 的一个原函数()F x
（2）理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系
【教学突破点】：
合理利用复合函数的求导法则来求原函数()F x
1. 22
(sin cos )d x x x π
π-+⎰的值是（）
(A)0 (B)
4
π
(C)2 (D)4
答案：C
解释：()222
2
(sin cos )d cos sin 2x x x x x ππ
ππ--+=-+=⎰
2. 曲线3cos (0)2
y x x π
=≤≤与坐标轴所围成的面积是（） (A)2
(B)3
(C)
5
2
(D)4
答案：B 解释：33222
2
cos d cos d (cos )d S x x x x x x ππππ==+-⎰
⎰⎰
3
202
sin sin 123x x π
π
π=-=+=
3. sin (02)y x x π=≤≤与x 轴所围成图形的面积为答案：4
解释：220
sin d sin d sin d x x x x x x π
π
π
π
=+
⎰⎰⎰
20cos (cos )4x x ππ
π=--=
4. 设201()5
12x x f x x ≤≤
⎧=⎨<≤⎩，求20()f x dx ⎰。

解释：
2
1
2
1
2
1
1
()()()256f x dx f x dx f x dx xdx dx =+=+=⎰
⎰⎰⎰⎰
（难题）
5. 求2
22max{,}.x x dx -⎰
解释：由图形可知222
20()max{,}01,12x x f x x x x x x x ⎧-≤≤⎪
==≤≤⎨⎪≤≤⎩
∴0
1
2
222
1
11.2
x dx xdx x dx -∴=++=
⎰⎰⎰原式 6. 设()f x 为R 上以T 为周期的连续函数，证明对任何实数a ，有0
()d ()d a T T
a
f x x f x x +=⎰⎰
证明：∵()f x 为R 上以T 为周期的连续函数 ∴()(),f x T f x x +=∈R
设'()()F x f x =，则有'()()F x T f x T +=+
[]'()()()'()()''()()'F x f x f x T F x T x T F x T F x T ==+=+=++=+
∴()()F x F x T C =++（C 为常数） ∴()()C F x F x T =-+
令0x =，则(0)()C F F T =- 令x a =，则()()C F a F a T =-+ ∴()d ()()()a T a T
a
a f x x F x F a T F a C ++==+-=-⎰
∴00
()d ()()(0)T
T
f x x F x F T F C ==-=-⎰
∴原式等证。

2。

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