2018-2019学年高中数学人教B版必修二学案：2.2.2 第3课时 直线的一般式方程

人教版高中必修2(B版)2.2.3两条直线的位置关系课程设计1. 课程背景在平面直角坐标系中，探究两条直线的位置关系是数学课程中的重要内容。

这不仅是因为在日常生活中，我们经常会遇到两条直线相交、互相平行或重合的情况，还因为这种探究可以促进学生运用数学知识解决实际问题的能力。

因此，对于学习高中数学的学生而言，学会判断两条直线的位置关系，以及运用相关定理和方法求解问题是必不可少的。

2. 教学目标•掌握两条直线的位置关系：相交、平行、重合。

•学会判断两条直线的位置关系的方法和定理。

•运用判断两条直线的位置关系的方法和定理解决实际问题。

3. 教学内容3.1 两条直线的位置关系3.1.1 相交的情况两条不重合的直线在平面直角坐标系中有且只有一个交点。

3.1.2 平行的情况两条直线没有交点，且在平面直角坐标系中具有完全相同的方向。

3.1.3 重合的情况两条直线有无限多个交点，且在平面直角坐标系中完全重合。

3.2 判断两条直线的位置关系的方法和定理3.2.1 用斜率判断两条直线的位置关系当两条不重合的直线的斜率不相等时，它们必相交。

如果两条直线的斜率相等且不相交，那么它们必平行。

3.2.2 用截距判断两条直线的位置关系当两条不重合的直线的截距不相等时，它们必相交。

如果两条直线的截距相等且不相交，那么它们必平行。

3.2.3 用一般式判断两条直线的位置关系两条直线的一般式方程分别为Ax+By+C=0和Dx+Ey+F= 0，如果A/D eqB/E，则表示它们必相交；如果A/D=B/E eqC/F，则表示它们必平行；如果A/D=B/E=C/F，则表示它们重合。

3.3 运用方法和定理解决实际问题讲解完判断两条直线的位置关系的方法和定理后，分别进行计算和解答下列实际问题：1.已知两条直线L1,L2的一般式分别为2x−3y+4=0和4x−6y−2=0，试求它们的位置关系。

2.在平面直角坐标系中，有一对平行的铁路轨道，其中一条距离x轴的距离为3，另一条距离x轴的距离为7。

2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率[学习目标] 1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.理解直线的倾斜角、斜率,掌握过两点的直线的斜率公式.3.体会用斜率和倾斜角刻划直线的倾斜程度,并掌握它们之间的关系.[预习导引]1.直线的方程的概念一般地,如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线. 2.直线的斜率(1)通常把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),为直线l 上任意两点,且x 1≠x 2,则直线l 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2. 3.直线的倾斜角(1)x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角. (2)由斜率k 的定义可知①当k ＝0时,直线平行于x 轴或与x 轴重合；②当k >0时,直线的倾斜角为锐角,k 值增大,直线的倾斜角也随着增大； ③当k <0时,直线的倾斜角为钝角,k 值增大,直线的倾斜角也随着增大；④垂直于x轴的直线的倾斜角等于90°.要点一直线的倾斜角例1设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为()A.α＋45°B.α－135°C.135°－αD.当0°≤α<135°时,倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时,倾斜角为α－135°答案 D解析根据题意,画出图形,如图所示：因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.规律方法 1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.2.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.跟踪演练1一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为()A.αB.180°－αC.180°－α或90°－αD.90°＋α或90°－α答案 D解析 如图,当l 向上方向的部分在y 轴左侧时,倾斜角为90°＋α；当l 向上方向的部分在y 轴右侧时,倾斜角为90°－α.故选D.要点二 直线的斜率例2 已知直线l 过P (－2,－1),且与以A (－4,2),B (1,3)为端点的线段相交,求直线l 的斜率的取值范围. 解根据题中的条件可画出图形,如图所示, 又可得直线P A 的斜率k P A ＝－32, 直线PB 的斜率k PB ＝43,结合图形可知当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时,它的倾斜角逐渐增大到90°,故斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞, 当直线l 由与y 轴平行的位置变化到P A 位置时,它的倾斜角由90°增大到P A 的倾斜角,故斜率的变化范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32. 综上可知,直线l 的斜率的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.规律方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决.(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解. (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.跟踪演练2 已知两点A (－3,4),B (3,2),过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点.(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解如图所示,由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1,k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1,或k ≥1.(2)由题意可知,直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间,又PB 的倾斜角是45°,P A 的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.要点三 斜率公式的应用例3 已知实数x ,y 满足y ＝－2x ＋8,且2≤x ≤3,求yx 的最大值和最小值. 解如图所示,由于点(x ,y )满足关系式2x ＋y ＝8,且2≤x ≤3,可知点P (x ,y )在线段AB 上移动,并且A ,B 两点的坐标可分别求得为A (2,4),B (3,2). 由于yx 的几何意义是直线OP 的斜率, 且k OA ＝2,k OB ＝23,所以可求得y x 的最大值为2,最小值为23.规律方法 若所求最值或范围的式子可化为y 2－y 1x 2－x 1的形式,则联想其几何意义,利用图形数形结合来求解.跟踪演练3 已知实数x ,y 满足y ＝x 2－x ＋2(－1≤x ≤1),试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值. 解由y ＋3x ＋2的几何意义可知,它表示经过定点P (－2,－3)与曲线段AB 上任一点(x ,y )的直线的斜率k ,由图可知k P A ≤k ≤k PB ,由已知可得A (1,2),B (－1,4).则k P A ＝2－(－3)1－(－2)＝53,k PB ＝4－(－3)－1－(－2)＝7.∴53≤k ≤7,∴y ＋3x ＋2的最大值为7,最小值为53.1.下图中标注的α表示直线l 的倾斜角的是( )A.①B.①②C.①③D.②④答案 A解析 结合直线l 的倾斜角的概念可知①可以,选A. 2.已知直线l 的倾斜角为30°,则直线l 的斜率为( ) A.33 B. 3 C.1 D.22答案 A解析 由题意可知,k ＝tan 30°＝33.3.若过两点A (2,3),B (y,4)的直线的倾斜角为45°,则y 的值为( ) A.－32B.32C.－3D.3 答案 D解析tan 45°＝k AB＝4－3y－2,即4－3y－2＝1,所以y＝3.4.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是()A.0°≤α<90°B.90°≤α<180°C.90°<α<180°D.0°<α<180°答案 C解析直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°,又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角范围是90°<α<180°.5.如图所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3之间的大小关系为________.答案k1<k3<k2解析设l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则由题图可知0<α3<α2<90°<α1<180°,所以tan α2>tan α3>0,tan α1<0,故k1<k3<k2.1.倾斜角是一个几何概念,它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.2.直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度,两者紧密相连,如下表：直线情况应注意的问题：3.运用两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)求直线斜率k＝21x2－x1(1)斜率公式与P1,P2两点的位置无关,而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1,y2－y1中x2与y2对应,x1与y1对应).(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”,也就是直线不与x轴垂直,而当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在.。

2.2.2 直线方程的几种形式 第1课时 直线的点斜式方程[学习目标] 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y 轴上的截距的含义.[预习导引]1.直线方程的几种形式如果直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，代入直线点斜式方程化简得y ＝kx ＋b ，则称b 为直线l 在y 轴上的截距.要点一 直线的点斜式方程例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程. (1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3； (2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行； (3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点.解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y＋4＝0.(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率k PQ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2,3)，∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2).规律方法(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0).(2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外.跟踪演练1过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为________.答案x＋y－1＝0解析k＝tan 135°＝－1，由直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.要点二直线的斜截式方程例2根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－3 3.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.规律方法 1.本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y ＝3x －3”. 2.截距是直线与x 轴(或y 轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零. 跟踪演练2 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)倾斜角是30°，在y 轴上的截距是0.解 (1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y ＝3x －3.(2)由题意可知，直线的斜率k ＝tan 60°＝3，所求直线的方程为y ＝3x ＋5. (3)由题意可知所求直线的斜率k ＝tan 30°＝33， 由直线方程的斜截式可知，直线方程为y ＝33x . 要点三 直线过定点问题例3 求证：不论m 为何值，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限. 证明 方法一 直线l 的方程可化为 y －3＝(m －1)(x ＋2)， ∴直线l 过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限. 方法二 直线l 的方程可化为 m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3). ∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限.规律方法 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，方法一体现了点斜式的应用，方法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想.跟踪演练3 已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围.解 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32. 所以，k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪k ≥32.1.已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案 C解析 方程变形为y ＋2＝－(x ＋1)， ∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.2.直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为( ) A.60°，2 B.120°，2－ 3 C.60°，2－ 3 D.120°，2答案 B解析 该直线的斜率为－3，当x ＝0时，y ＝2－3， ∴其倾斜角为120°，在y 轴上的截距为2－ 3. 3.直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A.k >0，b >0 B.k >0，b <0 C.k <0，b >0 D.k <0，b <0 答案 B解析 ∵直线经过一、三、四象限， ∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.4.斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程是________. 答案 y ＝4x －115.已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P (3,3)，则直线l 的方程为________.答案x＝3解析直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在.又直线过定点P(3,3)，所以直线l 的方程为x＝3.1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y－y1＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整x－x1条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.。

2.2.3 两条直线的位置关系(一)【学习要求】1．理解直线相交、平行、重合的概念，会利用直线的几何特征判定直线相交、平行、重合．2．会求两条直线的交点，会利用平行、重合研究直线的其它问题．【学法指导】通过把研究两条直线的相交、平行与重合问题， 转化为研究两条直线的斜率的关系问题，培养运用已有知识解决新问题的能力， 以及数形结合能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．两条直线相交的条件：设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1与l 2相交的条件是 A 1B 2－A 2B 1≠0 或 A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) ． 2．两直线平行的条件：(1)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1与l 2平行的条件有两种表达形式： ① A 1B 2－A 2B 1＝0 且 B 1C 2－C 1B 2≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0 ；②A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线的方程可表示为 Ax ＋By ＋D ＝0 (C≠D) ．3．两直线重合的条件：设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2重合的条件是 A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0) 或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)． 4．设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1与l 2相交的条件是： k 1≠k 2 ；l 1与l 2平行的条件是： k 1＝k 2且b 1≠b 2 ；l 1与l 2重合的条件是： k 1＝k 2且b 1＝b 2 .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]已知两条直线的方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则这两条直线相交、平行、重合的条件是怎样的？ 探究点一 两条直线的位置关系问题1 两条直线的方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交、平行、重合与两条直线对应的方程组的解有怎样的关系？答：当两直线对应方程组有唯一解时，两条直线相交；当方程组无解时，两条直线没有交点，两直线平行；当方程组中的两个方程解集相同时，两条直线重合．问题2 阅读教材82页，你能说出两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交、平行、重合的条件是怎样的吗？答：l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)． l 1与l 2平行⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，而B 1C 2－C 1B 2≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0；或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2 2B 2C 2l 1与l 2重合⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2λ≠0；或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2 2B 2C 2 问题3 已知两直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，用斜率判定l 1与l 2相交、平行、重合的条件是怎样的？ 答：l 1与l 2相交的条件是：k 1≠k 2；l 1与l 2平行的条件是：k 1＝k 2且b 1≠b 2；l 1与l 2重合的条件是：k 1＝k 2且b 1＝b 2.问题4 若两直线平行，它们的斜率一定相等吗？答：不一定．例如直线x ＝3和x ＝－2平行，但是，两条直线斜率不存在．探究点二 判定两条直线的位置关系例1 已知直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，求证：当C 1≠C 2时，l 1与l 2平行．证明：因为AB －BA ＝0，所以l 1与l 2平行或重合．又因为BC 2－BC 1＝B(C 2－C 1)；当B≠0时，已知C 1≠C 2，所以BC 2－BC 1≠0，因此两直线平行；当B ＝0时，由直线方程的定义，知A≠0，于是两条直线的方程变为x ＝－C 1A ，x ＝－C 2A， 这是两条与x 轴垂直的直线，所以它们平行或重合，又由于C 1≠C 2，所以它们是平行的直线．小结：当两条直线的斜率存在且斜率相等时，未必有两直线平行，应进一步作判断是否有两直线重合；当两条直线的斜率均不存在时，则两直线重合或平行．跟踪训练1 已知A(2, 3)，B(－4, 0)，P(－3, 1)，Q(－1, 2)，试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论．解：直线BA 的斜率k 1＝3－02－－＝0.5，直线BA 的方程为y ＝0.5(x ＋4)＝0.5x ＋2. 直线PQ 的斜率k 2＝2－1－1－－＝0.5, 直线PQ 的方程为y －1＝0.5(x ＋3)，即y ＝0.5x ＋2.5，因为k 1＝k 2＝0.5，且2≠2.5，所以直线BA ∥PQ.例2 求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：(1)(－1,2)，y ＝12x ＋1；(2)(1，－4)，2x ＋3y ＋5＝0. 解：(1)因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为y ＝12x ＋b. 由于所求直线过点(－1,2)，代入方程，得b ＝52，因此所求方程为y ＝12x ＋52，即x －2y ＋5＝0. (2)设所求的直线方程为2x ＋3y ＋D ＝0.由于所求直线过点(1，－4)，代入方程，得D ＝10，因此，所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.小结：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线可设为y ＝kx ＋c(c≠b); 与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可设为Ax ＋By ＋D ＝0 (D≠C)．跟踪训练2 已知直线l 1：(m －2)x ＋2y ＋m －2＝0，l 2：2x ＋(m －2)y ＋3＝0，当m 为何值时，满足下列条件：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1∥l 2；(3)l 1与l 2重合．解：(1)A 1B 2－A 2B 1＝(m －2)(m －2)－2×2＝(m －2)2－4≠0，得(m －2)2≠4即m －2≠±2，∴当m≠4且m≠0时l 1与l 2相交．(2)由A 1B 2－A 2B 1＝0得m ＝0或m ＝4，当m ＝0时，两直线方程分别为－2x ＋2y －2＝0,2x －2y ＋3＝0，此时l 1∥l 2； 当m ＝4时，两直线方程为2x ＋2y ＋2＝0,2x ＋2y ＋3＝0，此时l 1∥l 2.故m ＝0或m ＝4，两直线l 1∥l 2.(3)由(2)知：直线l 1与l 2不可能重合．例3 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．解：AB 边所在直线的斜率k AB ＝－12，CD 边所在直线的斜率k CD ＝－12，BC 边所在直线的斜率k BC ＝32， DA 边所在直线的斜率k DA ＝32.因为k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，所以AB ∥CD ，BC ∥DA.因此，四边形ABCD 是平行四边形． 小结：熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.跟踪训练3 求证：顺次连接A(2，－3)，B(5，－72)，C(2,3)，D(－4,4)四点所得的四边形是梯形． 证明： ∵k AB ＝－72－－5－2＝－16，k CD ＝4－3－4－2＝－16，∴k AB ＝k CD ，从而AB ∥CD.又∵k BC ＝3－－722－5＝－136，k DA ＝－3－42－－＝－76，∴k BC ≠k DA ，从而直线BC 与DA 不平行，∴四边形ABCD 是梯形.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．已知过A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行或重合，则m 的值是( ) A ．－8 B ．0 C ．2 D ．10 解析：由题意可知，k AB ＝4－m m ＋2＝－2，所以m ＝－8. 2．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合 D ．不确定解析： 直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠0，∴l 1∥l 2.3．经过点A(1,1)和点B(－3,2)的直线l 1与过点C(4,5)和点D(a ，－7)的直线l 2平行，则a 等于 ( )A ．1B ．4C ．52D ．44解析： 因为k 1＝2－1－3－1＝－14，又l 1∥l 2，所以k 2＝－7－5a －4＝－14，故a ＝52. 课堂小结：1．在两条直线相交、平行和重合的条件中，有一个共同的代数式A 1B 2－A 2B 1.2．判定两条直线平行的方法有三种：A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0具有一般性，对含字母系数的两条直线平行的问题，用此式可避免讨论，非常方便；应用A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2或k 1＝k 2且b 1≠b 2时，必须在A 2B 2C 2≠0以及斜率存在条件下方可使用．。

2.2.3两条直线的位置关系［课程目标］目标重点：两条直线平行、垂直的条件#目标难点：理解平行和垂直条件的思路#［学法关键］1．注意在判断两条直线的位置关系时，如果斜率不存在，则不能运用垂直、平行的条件，而应该直接由图形得到。

两直线的位置关系是在直线的斜截式的基础上讨论的，若是其他形式，可化为斜截式来处理。

2．求两直线l 1、l 2的交点，就是求解l 1、l 2直线方程组成的方程组，其理论依据是直线方程和方程的直线的概念.研习点1．两条直线相交和平行与重合条件1．已知两条直线的方程为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0与l 2：A 2x +B 2y +C 2=0相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0；或1122A B A B ≠； l 1与l 2平行的条件是A 1B 2－A 2B 1=0且C 1B 2－C 2B 1≠0；或111222A B C A B C =≠. l 1与l 2重合的条件是A 1=λA 2，B 1=λB 2，C 1=λC 2，或111222A B C A B C ==.2．判定两直线相交、平行、重合的步骤；已知两条直线的方程为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，则判断l 1、l 2是否平行相交与重合的步骤如下：（1）给A 1、A 2、B 1，B 2、C 1、C 2赋值；（2）计算D 1=A 1B 2－A 2B 1，D 2=B 1C 2－B 2C 1；（3）若D 1≠0，则l 1与l 2相交；（4）若D 1=0，D 2≠0，则l 1与l 2平行；（5）若D 1=0，D 2=0，则l 1与l 2重合.3．设两条直线的方程分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，若l 1、l 2有交点，则解方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩有惟一实数解，以这个解为坐标的点，就是两条直线的交点。

空间两条直线的位置关系【复习目标】1．掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的定义，并能判定和证明两条直线是异面直线；2．会用转化的方法求异面直线所成的角，渗透“化归”的数学思想方法；3．初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”的相互转化。

【课前预习】1.空间两条直线位置关系的分类：2.分别与两条异面直线同时相交的两条直线不可能有什么样的位置关系？；3.两条直线没有交点是这两条直线为异面直线的条件.4.两异面直线在一平面内射影的可能图形是（写出所有可能）。

5.“a、b是两条异面直线”是指：（1）a bφ⋂=，但a不平行b；（2）a⊂平面α，b⊂平面β；且a bφ=；（3）a⊂平面α，b⊂平面β；且αβφ=；（4）a⊂平面α，b⊄平面α；（5）不存在平面α，能使a⊂平面α，且b⊂平面α.上述结论中，正确的是（）A．（1）（4）（5） B．（1）（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（5）6. 设a 、b 是两条异面直线，下列命题结论正确的是（ ）A ．有且仅有一条直线与a 、b 都垂直B ．过a 有且仅有一个平面与b 平行C ．有且仅有一个平面与a 、b 都垂直D ．过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交1.：空间两条直线的位置关系（1）相交直线——有且仅有一个公共点；（2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。

相交直线和平行直线也称为共面直线． 异面直线的画法常用的有下列三种：2. 平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。

即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

3.等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．a ba bαα4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B a B a ααα∉∈⊂∉⇒AB 与a 是异面直线 三．例题分析： 【典型例题】例2 如图，已知不共面的三条直线,,a b c 相交于点P ，A a ∈，B a ∈，C b ∈，D c ∈，求证：AD 与BC 是异面直线。

第3课时.直线的一般式方程[学习目标].1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.[知识链接]1.过点A (x 0，y 0)分别垂直于x 轴，y 轴的直线方程为x ＝x 0，y ＝y 0.2.直线的点斜式方程：y －y 0＝k (x －x 0).直线的两点式方程：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2).[预习导引]1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－CB ；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－CB .3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列. (3)x 的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.要点一.直线的一般式与其他形式的转化例1.(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是(..)A.3x ＋4y ＋7＝0B.4x ＋3y ＋7＝0C.4x ＋3y －42＝0D.3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于(..)A. 3B.－5C.95D.－3 3答案.(1)B.(2)D解析.(1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项.又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B 项正确. (2)令y ＝0则x ＝－3 3.规律方法.(1)一般式化为斜截式的步骤： ①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB .(2)一般式化为截距式的步骤： 方法一：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③化为截距式：x －C A ＋y－C B ＝1.方法二：①令x ＝0求直线在y 轴上的截距b ； ②令y ＝0求直线在x 轴上的截距a ； ③代入截距式方程x a ＋yb＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.跟踪演练1.已知直线l 经过点A (－5,6)和点B (－4,8)，求直线l 的一般式方程和截距式方程，并画出图形.解.因为直线l 经过点A (－5,6)，B (－4,8)， 所以由两点式，得y －68－6＝x ＋5－4＋5，整理得2x －y ＋16＝0，化为截距式得x －8＋y16＝1，所以直线l 的一般式方程为2x －y ＋16＝0，截距式方程为x －8＋y16＝1.图形如图所示：要点二.直线方程的应用例2.已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解.方法一.l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二.(1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.规律方法.一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.这是经常采用的解题技巧. 跟踪演练2.已知A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0. 求：(1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程.解.(1)将与直线l 平行的方程设为3x ＋4y ＋C 1＝0， 又过点A (2,2)，所以3×2＋4×2＋C 1＝0，所以C 1＝－14. 所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)将与l 垂直的直线方程设为4x －3y ＋C 2＝0， 又过点A (2,2)，所以4×2－3×2＋C 2＝0，所以C 2＝－2， 所以直线方程为4x －3y －2＝0.要点三.由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3.(1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________. 答案.m ≠－3解析.若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线.(2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1. ①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1. 解.①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.②因为已知直线在x 轴上的截距为1， 令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3， 解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.规律方法.已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤跟踪演练3.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围. (1)证明.直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1).(2)解.由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解之得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0. 故k 的取值范围为{k |k ≥0}.1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为(..) A.A ≠0 B.B ≠0 C.A ·B ≠0 D.A 2＋B 2≠0答案.D解析.方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 2.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过(..) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限答案.C解析.由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋cb，∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限.3.在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是(..) A.30° B.60° C.150° D.120°答案.C解析.直线斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C. 4.已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，则a 的值为(..) A.－6 B.6 C.－45D.45答案.B解析.由(a －2)×3－a ×2＝0得a ＝6，且当a ＝6时两直线平行，故选B.1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k 1＝k 2且b 1≠b 2；若都不存在，则还要判定不重合.(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，或A 1C 2－A 2C 1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k 1k 2＝－1.(2)一般地，设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 第二种方法可避免讨论，减小失误.。

2.2.3 两条直线的位置关系[学习目标] 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系,能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.进一步体会几何问题代数化的基本思想.[知识链接]1.直线的倾斜角α的取值范围0°≤α＜180°.2.经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3.直线方程的形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式. [预习导引]1.两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系,可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下：111222距来进行判断.具体判断方法如表所示.对坐标平面内的任意两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,有l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.如果B 1B 2≠0,则l 1的斜率k 1＝－A 1B 1,l 2的斜率k 2＝－A 2B 2.又可以得出：l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.要点一 直线的交点问题例1 求经过原点,且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的直线l 的方程.解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， 所以直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点坐标为(－1,－2). 又直线l 经过原点,所以直线l 的方程为 y －0－2－0＝x －0－1－0,即2x －y ＝0. 方法二 设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0, ∵直线过原点(0,0), ∴8－λ＝0,λ＝8,∴直线方程为2x ＋3y ＋8＋8x －8y －8＝0,10x －5y ＝0, 即2x －y ＝0.规律方法 本题中的方法一是通法通解.方法二利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程,减少了运算量,因此我们必须熟练掌握这一方法,并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题.跟踪演练1 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0得 P (0,2).因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为－43,由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2,即4x ＋3y －6＝0.方法二 设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0, 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0, 又∵l ⊥l 3,∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0, 解得λ＝11,∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0. 要点二 两条直线的平行关系例2 判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行： (1)l 1经过点A (－1,－2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (－1,－1)； (2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2)；(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (－1,3),N (2,0)； (4)l 1经过点A (－3,2),B (－3,10),l 2经过点M (5,－2),N (5,5). 解 (1)k 1＝1－(－2)2－(－1)＝1,k 2＝－1－4－1－3＝54,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行；(2)k 1＝1,k 2＝2－12－1＝1,k 1＝k 2,∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合. (3)k 1＝0－11－0＝－1,k 2＝0－32－(－1)＝－1,k 1＝k 2,数形结合知,l 1∥l 2. (4)l 1与l 2都与x 轴垂直,∴l 1∥l 2.规律方法 判断两条直线平行,应首先看两条直线的斜率是否存在,即先看两点的横坐标是否相等,对于横坐标相等是特殊情况,应特殊判断.在证明两条直线平行时,要区分平行与重合,必需强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.跟踪演练2 已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a －1,2),直线l 2经过点C (1,2),D (－2,a ＋2).若l 1∥l 2,求a 的值.解 设直线l 2的斜率为k 2,由斜率公式得 k 2＝2－(a ＋2)1－(－2)＝－a 3.若l 1∥l 2,则l 1的斜率k 1＝－a3,由斜率公式k 1＝2－a a －4,则2－a a －4＝－a3,∴a ＝1或a ＝6.经检验,当a ＝1或a ＝6时,l 1∥l 2. 要点三 两条直线的垂直关系例3 判断下列各题中的直线l 1,l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1,－2),B (1,2),l 2经过点P (－2,－1),Q (2,1)； (2)l 1经过点A (3,4),B (3,6),l 2经过点P (－5,20),Q (5,20).解 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2,直线l 2的斜率k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12,因为k 1·k 2＝1≠－1,所以l 1与l 2不垂直.(2)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率k 2＝20－205－(－5)＝0,所以l 1⊥l 2.规律方法 两条直线垂直需判定k 1k 2＝－1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条斜率不存在,另一条斜率为零,此时两直线也垂直,注意讨论的全面性.跟踪演练3 已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2,－4),B (6,6),C (0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率. 解 由斜率公式可得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54,k BC ＝6－66－0＝0,k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5.由k BC ＝0知,直线BC ∥x 轴,∴BC 边上的高线与x 轴垂直,其斜率不存在.设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2, 由k 1k AB ＝－1,k 2k AC ＝－1, 即k 1×54＝－1,k 2×5＝－1,解得k 1＝－45,k 2＝－15.综上可知BC 边上的高所在直线的斜率不存在； AB 边上的高所在直线的斜率为－45；AC 边上的高所在直线的斜率为－15.1.直线l 1：2x ＋3y －2＝0；l 2：2x ＋3y ＋2＝0的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交 D.重合答案 B解析 ∵A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2≠A 2C 1,∴l 1∥l 2.2.已知直线l 1的斜率k 1＝－85,直线l 2的斜率k 2＝58,则l 1与l 2的位置关系为( )A.平行B.重合C.垂直D.无法确定答案 C解析 ∵k 1·k 2＝－1,∴l 1⊥l 2. 3.下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等,则两直线平行； ②若l 1∥l 2,则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在,则两直线平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 A解析 当k 1＝k 2时,l 1与l 2平行或重合,①不成立；②中斜率不存在时,不正确；④同①,也不正确.只有③正确.故选A.4.直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直,则l 的方程是( ) A.3x ＋2y －1＝0 B.3x ＋2y ＋7＝0 C.2x －3y ＋5＝0 D.2x －3y ＋8＝0 答案 A解析 与2x －3y ＋4＝0垂直的直线方程为3x ＋2y ＋m ＝0,把(－1,2)代入直线方程得m ＝－1. 5.一条光线从A (3,2)发出,到x 轴上的M 点后,经x 轴反射通过点B (－1,6),则反射光线所在直线的斜率为__________. 答案 －2解析 如图所示,作A 点关于x 轴的对称点A ′,所以点A ′在直线MB 上. 由对称性可知A ′(3,－2),所以光线MB 所在直线的斜率为k A ′B ＝6－(－2)－1－3＝－2.故反射光线所在直线的斜率为－2.1.两直线平行或垂直的判定方法2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想.。

2．2．2直线方程的几种形式（一）I ．学习要点：直线方程的四种形式II ．学习过程：一．直线的点斜式方程探究1：如果知道直线上一点的坐标与直线的斜率怎样能确定这条直线呢? ① 已知直线l 上一点000(,)p x y 与这条直线的斜率k ，设(,)p x y 为直线上的任意一点，则有：00y y k x x -=- （1） 00()y y k x x ⇒-=- （2）问题：方程（1）能不能表示直线l 上的所有点？方程（2）能不能表示直线l 上的所有点？总结：过点000(,)p x y ，斜率为k 的直线l 上的每一点的坐标都满足方程（2）；坐标满足方程（2）的每一点都在过点000(,)p x y ，斜率为k 的直线l 上。

直线的方程，就是直线上任意一点的坐标（x , y ）满足的关系式，所以我们称方程（2）为过点000(,)p x y ，斜率为k 的直线l 的方程。

方程 称为直线的点斜式方程.简称点斜式.探究2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线？点斜式的局限性：二．直线的斜截式方程提出问题：①求经过点(0,)B b 且斜率为k 的直线l 的方程。

②观察方程b kx y +=，它的形式具有什么特点？方程 称为直线的斜截式方程.简称斜截式.其中b 为直线在y 轴上的截距，即为直线与y 轴交点的纵坐标。

强调：“截距”与“距离”不能混淆，截距是直线与y 轴交点的纵坐标，所以有正负。

同时提出问题：直线在x 上的截距是什么呢？（直线与x 轴交点的横坐标） ③直线b kx y +=在x 轴上的截距是什么？④你如何从直线方程的角度认识一次函数b kx y +=？一次函数中k 和b 的几何意义是什么？你能说出一次函数3,3,12+-==-=x y x y x y 图象的特点吗？三．直线的两点式方程1、利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程。

人教版高中必修2(B版)2.2直线方程课程设计一、教学目标1.了解直线的基本概念，掌握基本的直线方程求法。

2.学会在平面直角坐标系中画出一条直线，能够根据直线上任一点坐标求出直线方程。

3.通过实例学习掌握解直线方程的基本方法和技巧。

4.熟悉直线方程的应用，能够解决实际问题。

二、教学重点1.直线的基本概念2.直线方程（斜率截距式、两点式、截距式、一般式）3.直线方程的应用三、教学难点1.直线方程的应用2.通过实例来解决实际问题四、教学内容与安排教学内容学时数直线的基本概念 1直线方程——斜率截距式 1直线方程——两点式 1直线方程——截距式 1教学内容学时数直线方程——一般式 1直线方程的应用 2教学内容说明：1.直线的基本概念：介绍直线的定义、特征以及相关概念，如斜率、截距等。

2.直线方程——斜率截距式：讲解直线方程的一种求法，即斜率截距式，包括斜率和截距的含义及求法。

3.直线方程——两点式：介绍直线方程的另一种求法，即两点式，包括如何根据两点的坐标求出直线方程。

4.直线方程——截距式：介绍直线方程的第三种求法，即截距式，包括截距的含义及求法。

5.直线方程——一般式：介绍直线方程的最一般的形式，即一般式，包括一般式的含义、特点及相互转化之间的联系。

6.直线方程的应用：通过实例来让学生掌握直线方程的应用，如求直线的交点、判定两直线的位置关系等。

教学安排：1.第一课时：直线的基本概念–学习什么是直线，直线的定义、特征等基本概念。

2.第二课时：直线方程——斜率截距式–介绍斜率和截距的含义及求法，讲解斜率截距式的求法。

3.第三课时：直线方程——两点式–讲解两点式的求法，如何根据两点的坐标求出直线方程。

4.第四课时：直线方程——截距式–讲解截距的含义及求法，介绍截距式的求法。

5.第五课时：直线方程——一般式–讲解一般式的含义、特点及相互转化之间的联系。

6.第六、七课时：直线方程的应用–通过实例来让学生掌握直线方程的应用，如求直线的交点、判定两直线的位置关系等。

第2课时 直线的两点式方程[学习目标] 1.掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围.2.了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.[知识链接]1.直线的点斜式方程为y －y 0＝k (x －x 0).2.直线的斜截式方程为y ＝kx ＋b .3.经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).[预习导引]1.两点确定一条直线.经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)且x 1≠x 2，y 1≠y 2的直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，叫做直线的两点式方程.2.直线l 与x 轴交点A (a,0)；与y 轴交点B (0，b )，其中a ≠0，b ≠0，则得直线方程 x a ＋yb ＝1，叫做直线的截距式方程.3.若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22y ＝y 1＋y 22.要点一 直线的两点式方程例1 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程.解 (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， ∴由两点式得y －(－4)(－2)－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 边的方程为2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5).(2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52，y 0＝(－4)＋(－2)2＝－3.∴M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边上的中线经过点A (－3,2). ∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.规律方法 (1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式的要求，对含有字母的则需分类讨论；(2)注意问题叙述的异同，例1中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是直线.跟踪演练1 已知△ABC 三个顶点坐标A (2，－1)，B (2,2)，C (4,1)，求三角形三条边所在的直线方程.解 ∵A (2，－1)，B (2,2)，A 、B 两点横坐标相同， ∴直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2.∵A (2，－1)，C (4,1)，由直线方程的两点式可得直线AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0.要点二 直线的截距式方程例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程. 解 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线的方程为x ＋y －1＝0. 若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，直线的方程为x －y －7＝0. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0.规律方法 (1)当直线与两坐标轴相交时，一般可考虑用截距式表示直线方程，用待定系数法求解.(2)选用截距式时一定要注意条件，直线不能过原点.跟踪演练2 求过定点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程. 解 设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴l ：3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入得a ＝5，∴l ：x ＋y ＝5. ∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( ) A.y ＝x ＋3 B.y ＝－x ＋1 C.y ＝x ＋2 D.y ＝－x －2答案 A解析 代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.2.经过P (4,0)，Q (0，－3)两点的直线方程是( ) A.x 4＋y3＝1 B.x 3＋y4＝1 C.x 4－y3＝1 D.x 3－y 4＝1 答案 C解析 因为由点坐标知直线在x 轴，y 轴上截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y－3＝1.3.经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A.x ＝2 B.y ＝2 C.x ＝3 D.x ＝6 答案 B解析 由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 4.求过点P (－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的条数.解 设过点P (－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k ，则有直线的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为M (0，2k ＋3)、。

两条直线的位置关系一．复习目标：1．掌握两直线平行与垂直的条件，两直线的夹角和点到直线的距离公式．2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．二．知识要点：1．已知两条直线1l 与2l ：（1）12//l l ⇔ ．（2）12l l ⊥⇔ ；（3）1l 与2l 重合⇔ ．2．直线1l 到2l 的角公式： ；直线1l 与2l 的夹角公式： ．[来源:学科网ZXXK]3．点到直线的距离公式： ；两平行直线间的距离公式： ．[来源:学*科*网Z*X*X*K]三．课前预习：1．ABC ∆中，,,a b c 是内角,,A B C 的对边，且lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，则直线21:(sin)(sin )0l A x A y a +-=与22:(sin )(sin )0l B x C y c +-=的位置关系（ ）()A 重合 ()B 相交不垂直 ()C 垂直 ()D 平行2．点(1,1)到直线cos sin 1x y θθ+=的距离为()f θ的最大值是 （ ）()A 2 ()B 3 ()C 1 ()D 13．设直线1l ：(1)(2)30m x m y ++--=与直线2l ：(2)(51)20m x m y -+-+=.①若互相垂直，则m 的值为 ；②若没有公共点，则m 的值为 .4．已知三角形的三个顶点为(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -．（1）A ∠= ；（2）A ∠的平分线AD 所在的直线方程为 .5．点(7,1)P -关于直线:250l x y --=的对称点Q 的坐标为 ． 四．例题分析：例1．光线从点(2,4)A -射出，经直线l ：270x y --=反射，反射光线过点(5,8)B ． （1）求入射光线所在直线方程；（2）求光线从A 到B 经过的路程S .小结：例2．已知ABC ∆的顶点(31)A -，过点B 的内角平分线的方程是4100x y -+=，过点C 的中线方程为610590x y +-=，求顶点B 的坐标和直线BC 的方程．小结：例3．求过点(2,3)A 且被两直线1l ：3470x y +-=，2l :3480x y ++=所截得的线段长.五．课后作业：1．过点(1,2)P 引直线，使它与两点(2,3)A 、(4,5)B -距离相等，则此直线方程为（ ）()A 2370x y +-=或460x y +-= ()B 460x y +-=()C 3270x y +-=或460x y +-= ()D 46x y +=2．把直线3y x =绕原点逆时针方向转动，使它与圆22230x y y ++-+=相切，则直线转动的最小正角是 （ ）()A 3π ()B 2π ()C 23π ()D 56π 3．等腰三角形底边所在的直线1l 的方程为10x y +-=,一腰所在的直线2l 的方程为220x y --=,点(2,0)-在另一腰上,则此腰所在的直线3l 的方程为 .4．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,2)，P 为线段OA 垂直平分线上的一点，若OPA ∠为锐角，则点P 的横坐标x 的取值范围是 ．5．△ABC 中，顶点(9,1)A 、(3,4)B 、内心(4,1)I ，则顶点C 的坐标为 ． 6．已知直线1l ：10x y +-=，2l ：230x y -+=，求直线2l 关于直线1l 对称的直线l 的方程.[来源:学。

2.2.3两条直线的位置关系第2课时两条直线垂直的条件导学案知识和技能目标：理解用勾股定理推导两条直线垂直的条件，会熟练的运用这两个条件判断两条直线是否垂直。

过程与方法目标：用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题求解。

帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

情感，态度与价值关目标：通过教师讲解和学生的阅读，让学生感受数学家的严谨态度和契而不舍的探索精神，提高学生学习数学的兴趣。

教学重点：两条直线垂直的条件及应用条件解决问题。

教学难点：理解垂直条件的思路并解决两点关于一条直线对称的问题。

一．课前自主预习1.阅读教材理解如何推导两条直线垂直的条件。

2.两条直线垂直的条件。

2是否互相垂直的计算步骤：1的倾斜角为30°，直线1⊥2，则2 斜率为（）A．—√3／3 B √3／3 C —√3 D √32是否垂直．（1）2-4-7=0与2-5=0（2）=31与= 5（3）2＝7与3-5=03求证：直线ABC1=0与直线B－AC2=0垂直。

二．课堂典例练讲为何值时，直线1：a＋2＋1－a－1＝0与直线2：a－1＋2a＋3＋2＝0互相垂直？且与直线－4－1＝0垂直的直线方程？三．新知推广应用常见的点关于线的对称点1Aa，b关于轴的对称点为A′___________；2Ba，b关于轴的对称点为B′___________；3Ca，b关于直线＝的对称点为C′________；4Da，b关于直线＝－的对称点为D′___________5的对称点为P′___________；6Qa，b关于直线＝n的对称点为Q′________例3．直线：－＋1＝0关于轴对称的直线方程为A．＋－1＝0B．－＋1＝0C．＋＋1＝0D．－－1＝0例4 点P－1,1关于直线a－＋b＝0的对称点是Q3，－1，则a、b的值依次是A．－2,2 B．2，－2 ，－错误!，错误－－2＝0和4－2－5＝0的交点且与直线2＋3＋5＝0垂直的直线方程．。

人教版高中必修2(B版)2.2直线方程教学设计教学目标1.了解直线的定义、性质和相关概念；2.掌握直线的一般式方程、斜截式方程、点斜式方程和截距式方程；3.能够应用直线方程解决实际问题。

教学重点1.直线方程的概念、性质和应用；2.直线的一般式方程、斜截式方程、点斜式方程和截距式方程的求法和应用。

教学难点1.直线方程的求法及其在实际问题中的应用。

教学内容1.直线的定义、性质和相关概念；2.直线方程的一般式、斜截式、点斜式和截距式的求法；3.直线方程在实际问题中的应用。

教学方法本次课程采用讲授和练习相结合的教学方法。

在课堂上先由教师介绍直线的定义、性质和相关概念，在讲解过程中通过案例和实物等方式让学生更好地理解直线的各种概念。

随后，教师向学生介绍直线方程的一般式、斜截式、点斜式和截距式的求法及其在实际问题中的应用，同时结合练习题进行练习和巩固。

在课堂结束前，通过总结归纳对本节课所学的知识进行梳理。

导入（5分钟）教师简单介绍直线的定义和性质，引出本节课的内容。

介绍直线方程的一般式（15分钟）1.通过归纳总结的方式向学生介绍直线方程的一般式：Ax+By+C=0；2.讲解A、B、C的含义；3.通过练习题进行巩固。

介绍斜截式方程和点斜式方程（15分钟）1.介绍斜率的概念；2.介绍斜截式方程：y=kx+b；3.介绍点斜式方程：y−y1=k(x−x1)；4.通过练习题进行巩固。

介绍截距式方程（10分钟）1.介绍截距的概念；2.介绍截距式方程：x/a+y/b=1；3.通过练习题进行巩固。

应用直线方程解决实际问题（15分钟）1.通过实际例子向学生阐述如何应用直线方程解决实际问题；2.提供一些实际问题进行探讨。

总结归纳（5分钟）对本节课所学的知识进行梳理，重点回顾直线方程的四种表达方式和应用。

教师通过介绍直线的定义、性质和相关概念，引入直线方程的四种表达方式。

使用讲解和练习相结合的教学方法，帮助学生掌握直线方程的求法和应用。

黔西一中“核心素养背景下的科学课堂”教学设计况化归为特殊情况。

三、教学准备PPT教学课件四、科学的教学策略教学环节教师的活动学生的活动科学的教学评价引入青岛某建筑工地的一名男子在高压线下接电话时手机突然爆炸，造成身体烧伤面积达70%．事后工友们猜测是因为手机离高压电线距离太近导致惨剧的发生。

我国高压架空线路规范《110KV-500KV高压架空线路设计技术规程》对高压线路架设的最低安全距离做出了要求。

见下表：高压线电压等级最低安全距离（米）110KV 822021 10330KV 12500KV 15认识到：高压线下通过要注意安全。

达到渗透安全教育。

回顾定义问题1：把电线看成一条直线l，手机看成一个点M，如何作出点M到直线l的距离？过点M作直线l的垂线，垂足为N，线段MN的长就是点M到直线l正确叙述出定义：点到直线的垂线段长。

的距离。

回顾两点间的距离问题2：点),(111yxP、),(222yxP的距离公式是什么？21221221)()(||yyxxPP-+-=正确叙述两点间的距离公式。

研究点到特殊直线的距离问题3：点),(yxP分别到x轴、y轴的距离是多少？P到x轴的距离是||y；P到y轴的距离是||x。

画出图形，回答结论。

研究点到与坐标轴垂直直线的距离问题4：点),(yxP分别到1yy=、1xx=轴的距离是多少？P到1yy=轴的距离是||1yy-；P到1xx=轴的距离是||1xx-。

根据具体的点和直线研究求距离的方法：等面积法问题5：点)0,0(O到直线1:=+-yxl的距离是多少？设直线l与x轴、y轴的交点为A、B过点O作直线AB的垂线，垂足为C由图象知)0,1(-A，)21,0(B2||=∴AB||||21||||21OCABOBOASOAB⋅=⋅=∆由22||||||||=⋅=∴ABOBOAOC师生共同探索过程，学生总结操作步骤小结提升问题6：上述求点到直线的距离的方法称为构造直角三角形等面积法，等面积法过程包含哪些步骤？等面积法：1求直线与坐标轴的交点坐标；2求直角三角形的斜边长；3求直角三角形斜边的高；正确叙述过程，将陈述性知识转化为程序性知识研究原点到一般直线的距离问题7：点)0,0(O到直线)0,0(0:≠≠=++BACByAxl的距离是多少？设直线l与x轴、y轴的交点为A、B过点O作直线AB的垂线，垂足为C由图象知)0,(ACA-，),0(BCB-2222||BCACAB+=∴=22222)(BABAC+=22||||BAABC+||||21||||21OCABOBOASOAB⋅=⋅=∆由||||||||ABOBOAOC⋅=∴2222||||||||||BACBACABBCAC+=+⋅⋅⋅=师生共同完成推导过程，感受构造直角三角形等面积法过程研究一般性的点到直线距离公式问题8：点),(yxP到直线)0,0(0:≠≠=++BACByAxl的距离是多少？过点O作与x轴、y轴的垂线交直线l于点S、R，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，由图象知学生自主推导，老师点拨。