拱坝等效应力计算

收稿日期:2003 04 23作者简介:李同春(1963 ),男,博士,教授,主要从事水工结构工程、防灾减灾及防护工程研究.改进的拱坝等效应力分析方法李同春1,章杭惠2(1.河海大学水利水电工程学院,江苏南京 210098; 2.水利部太湖流域管理局,上海 200434)摘要:对有限元内力法求解拱坝等效应力分析进行了进一步改进,假定拱、梁方向上的正、剪应力在拱、梁截面上的面单元内呈双线性分布,从而导出根据截面约束内力求解等效节点应力的公式,并在此基础上导出拱梁向应力为直线分布时的上、下游面等效应力的求解方程和主应力求解公式.对典型的圆筒拱坝用本文方法进行应力分析,得出的拱及梁向应力结果与试载法分析结果基本一致,表明用本文分析方法得出的应力结果可以按现行的拱坝设计规范规定的应力标准评价拱坝坝体安全度.关键词:拱坝;等效应力;有限元内力法;拱向应力;梁向应力中图分类号:TV31 文献标识码:A 文章编号:1000 1980(2004)01 0104 04拱坝应力分析主要采用多拱梁法和有限元法,但同一拱坝用不同多拱梁法程序计算的结果并不一致,尤其是拉应力相差较多.有限元法具有较强的计算功能,不但可以比较合理地考虑拱坝的整体作用,还能够进行各种复杂条件下拱坝的应力分析.但有限元应力分析中存在着坝踵、坝趾的应力集中效应,这给应力评价及确定控制应力带来困难.傅作新教授[1]1991年提出的有限元等效应力法是基于有限元法的分析结果,将有限元所求得的应力合成为截面内力,然后求出对应的线性化应力.该方法为将有限元分析结果规范化提出了一种思路,但该法截面内力是拟合出来的,不能精确地满足内力平衡条件.此外,该法要求沿径向网格必须布置3层以上单元格才能求得结果.笔者在文献[2]中提出的基于有限元内力法的等效应力算法首先按常规方法建立拱坝及地基在水压力、自重等荷载作用下的有限元平衡方程,求解结点位移和单元应力,然后将坝体分解为拱系和梁系,根据拱和梁的内力平衡条件求解指定截面上的约束内力.假定拱向节点应力沿垂直方向,梁向应力沿左、右岸方向在其节点控制范围内均匀分布,上、下游方向呈直线分布,则可根据节点约束内力求得相应控制范围内的内力(弯矩、轴力、剪力等)和坝体内任一点的等效应力.上述关于拱梁向应力分布在其控制范围内沿垂直或左右岸方向均匀分布的假定欠妥当.同时由于每个节点控制范围不同,导致应力分析工作量较大.本文提出的改进拱坝等效应力分析方法假定拱梁方向上的正、剪应力在拱、梁截面上的面单元内呈双线性分布,根据静力平衡原理导出了以节点应力为未知量、截面约束内力为右端项的平衡方程.在此基础上,进一步导出了拱、梁向应力沿拱坝厚度方向为直线分布时的上、下游面等效应力的求解方程和主应力求解公式.1 基本原理1.1 用有限元法求解给定截面的内力[2]对一给定结构体系,施加相应的约束边界条件后的有限元方程为K =F(1)式中:K 结构刚度矩阵; 未知节点位移向量;F 荷载列阵.对某一结构系统,若用给定的截面 将结构分为 和 两个子结构,并对这两个子结构在该指定截面上施加一组大小相等、方向相反的约束内力,则可建立与方程(1)完全等价的另一组方程:第32卷第1期2004年1月河海大学学报(自然科学版)Journal of Hohai University(Natural Sciences)Vol.32No.1Jan.2004k iik ic k ci k cc , i c , =F i F c +f c , (2)式中:c 截面 上的节点;i 非 截面上的节点;F i 非 截面上的节点荷载向量;F c 面上节点荷载向量;(f c ) ,(f c ) 截面上 , 两子结构间的约束内力,有(f c ) +(f c )=0(3) 由于方程(1)和(2)完全等价,则由方程(1)解出节点位移后,代入方程(2)就可直接求解出给定截面 上的约束内力,其表达式为(f c ) =-(f c ) =(k ci ) ( i ) +(k cc ) ( c ) -(F c ) =(F c ) -(k ci ) ( i ) -(k cc ) ( c ) (4)式(4)中的右端项可按 或 中的所有单元循环求解,然后按自由度进行叠加.由于有限元中位移采用的是分片插值函数,因此 截面上的约束内力只与 或 子结构中所有包含 截面上的节点单元有关.故而在实际求解时只需对 或 子结构中所有包含 截面上节点的单元进行循环即可.1.2 由截面约束内力求解节点等效应力设 截面上的节点数为m p , 截面上的面单元数为me,单元节点数为m.假定每个节点在xyz 坐标系下 截面上的等效应力分量为S i ={SX i SY i SZ i }T ,同时假定每个面单元内任意一点的应力由节点的应力分量通过单元形函数插值而得,即SX =m i=1N i SX i SY = m i=1N i SY i SZ = m i=1N i SZ i 则根据静力平衡原理有HS =F(5)其中H =me e=1H e H e = N T N d e S =SX 1SY 1SZ 1SX 2SY 2SZ 2 SX m p SY m p SZ m p F =F X 1FY 1FZ 1FX 2FY 2FZ 2 FX m p FY mp FZ mp式中N 为单元形函数矩阵.由于矩阵F ,H 均已知,因此由上式可解出S .对于由 截面分离出来的子结构I (或 ),子结构 (或I )通过 截面施加反力,该反力若转换成等效应力,则可理解为沿截面法线( )的正应力和截面内的两个相互正交方向( , )的剪应力,任意一节点的应力分量可表示为 L i ={ }T,则由投影可得 L 与S 之间的转换关系,即L i =R i S i其中R i =l m nl m nl m n式中l ,m ,n 分别为局部坐标轴 与整体坐标轴之间的方向余弦,其余类似.按照多拱梁法中的应力假定[3]:拱向正应力 、梁向正应力 和剪应力 = 沿拱坝厚度按直线分布.这样,由微分体平衡条件,剪应力 = 、 = 将呈抛物线分布,正应力 呈三次曲线分布.为此,对沿拱坝厚度按直线分布的应力分量,当坝体沿厚度布置的单元数大于1时需对方程进行适当修正.假定沿径向单元数为r e 个,沿径向线上节点数为r e +1个,设某径向线上的上、下游面上节点的应力值为S u 和S d ,则其线上任一点的应力值可表示为S i =S u +r i d (S u -S d )式中:d 上、下面两点之间的距离;r i 计算点至上游面的距离.经过上述处理后S 可变为S =RS ,S 中只包含上、下面节点应力分量.式(5)可写成H S =F ,其中105第32卷第1期李同春,等 改进的拱坝等效应力分析方法H =R T HR ,F =R T F .1.3 拱坝上、下游面主应力求解在相互正交的局部坐标系 下,应力张量为L == = =已经由上节应力求解方法解出,其余的应力可根据上、下游应力边界条件求得.这里以上游面为例建立求解方法.设拱坝上游面上任一点在 坐标系下的法线方向余弦为{l m n },则在上游面沿法线方向作用水压力p 下,由于该面上的剪应力为零,可得l +m +n =-lp l +m +n =-mp l +m +n =-np 由上式可求解得出 = = 和 = .当9个应力分量全部解出后,可由一般的主应力方法求解得出上游面任一点的主应力.2 算 例刚性地基上的对称圆筒拱坝[4],坝高30m ,坝厚3m ,坝中面半径44 75m ,坝体容重24kN/m 3,弹性模量为2 0 104MPa,泊松比取0 15,坝基弹性模量取10 0 106MPa ,近似模拟其刚性,只考虑满库水荷载作用.该拱坝的计算简图见图1,有限元计算模型见图2.图2 有限元计算模型Fig.2 Finite element calculation model图1 计算简图F ig.1 Scheme o f calculation 通过计算,由改进的拱坝等效应力分析方法计算得到的结果见图3、图4,与垦务局试载法、薄板有限元法的计算结果拟合较好,而且由3种计算方法得到的最大拉、压应力值相差也不大.由图3还可以发现,不同计算方法得出的拱冠下游面拱向应力结果相差相对较大,但总体趋势相同.由于该处拉、压应力绝对值相对较小,所以一般不作重点考虑.图3 拱冠拱向应力Fig.3 Vertical stress in central cantilever106河海大学学报(自然科学版)2004年1月图4 拱冠梁向应力Fig.4 Hoop stress along central cantilever3 结 语本文提出的改进拱坝等效应力分析方法使得基于有限元内力法的拱坝等效应力的求解更加方便.文中不仅导出了拱梁向应力沿厚度方向直线分布时的拱、梁向等效应力求解公式,还导出了求解上、下游面的主应力简单公式.算例说明了本文所提方法的正确性和适用性.参考文献:[1]傅作新.水工结构力学问题的分析与计算[M].南京:河海大学出版社,1993.28 43.[2]李同春,温召旺.拱坝应力分析中的有限元内力法[J].水力发电学报,2002,79(4):18 24.[3]美国垦务局.拱坝设计[M].拱坝设计翻译组译.北京:水利水电出版社,1984 146 162.[4]RYDZEWSKI J R.Theory of arch dams.symposiu m publications division[M].London:Pergamon,1964.123 137.An improved method for analysis of arch dam equ ivalent stressLI Tong -chun 1,ZHANG Hang -hui 2(1.College o f Water Conservancy and Hydro power Engineering ,Hohai Univ.,Nanjing 210098,China;2.Taihu Basin Autho rity o f Water Resources,Shanghai 200434,China)Abstract:The finite element internal force method is improved for solution and analysis of the arch dam equivalent stress.On the assumption that the normal and shear stresses in the directions of arch and beam accord with the bilinear distribution in the plane ele ments of arch and beam sections,a formula is developed for calculation of the equivalent nodal stress from the constraining inner force along the sections.Furthermore,equations for solution of the equivalent stress and formulas for calculation of the main stress in the upstream face and downstream face are derived on the assumption of linear distribution of arch stress and hoop stress.The present method is applied to stress analysis for a typical cylindrical arch da m,and the calculated results of the arch stress and hoop stress conform to those obtained by the trial load method.Therefore,the calculated results of the arch dam stress by the present method can be used for safety assessment of arch dams according to the national arch dam design code.Key words:arch dam;equivalent stress;finite element internal force method;arch stress;hoop stress 107第32卷第1期李同春,等 改进的拱坝等效应力分析方法。

第四节拱坝的应力分析一、拱坝应力分析的常用方法拱坝是一个空间弹性壳体，其几何形状和边界条件都很复杂，难以用严格的理论计算求解拱坝坝体应力状态。

在工程设计中，常作一些必要的假定和简化，使计算成果能满足工程需要。

拱坝应力分析的常用方法有圆筒法、纯拱法、拱梁分载法、壳体理论计算方法、有限单元法和结构模型试验法等。

(1)纯拱法: 假定拱坝由许多互不影响的独立水平拱圈组成，不考虑梁的作用，荷载全部由拱圈承担。

计算简单，但结果偏大，尤其对厚拱坝。

对薄拱坝和小型工程较为适用。

(2) 拱梁分载法: 假定拱坝由许多层水平拱圈和铅直悬臂梁组成，荷载由拱梁共同承担，按拱、梁相交点变位一致的条件将荷载分配到拱、梁两个系统上。

梁是静定结构，其应力容易计算；拱的应力则按弹性固端拱进行，计算结果较为合理，但计算量大，需借助计算机，适于大、中型拱坝。

拱冠梁法: 最简单的拱梁分载法，可采用拱冠梁作为所有悬臂梁的代表与许多拱圈组成拱梁系统，按拱、梁交点径向线变位一致的条件来建立变形协调方程, 并进行荷载分配, 可大大减少工作量。

拱冠梁法的主要步骤是：①选定若干拱圈，分别计算各拱圈拱顶以及拱冠梁与各拱圈交点在单位径向荷载作用下的变位，这些变位称为―单位变位‖；②根据各共轭点拱、梁径向变位协调的关系以及各点荷载之和应等于总荷载强度的要求建立变位协调方程组；③将上述方程组联立求解，得出各点的荷载分配；④根据求届的荷载分配值，分别计算拱冠梁和各拱圈的内力和应力。

1、基本算式如图3.13所示，将拱坝从坝顶到坝底划分为5–7层水平拱圈，拱圈各高1m，令各划分点的序号为自坝顶至坝底，各层拱圈之间取相等距离。

由拱冠梁和各层拱圈交点处径向变位一致的条件，可以列出方程组为式中，2，3…，，拱冠梁与水平拱交点的序号，即拱的层数；——单位荷载作用点的序号——作用在第层拱圈中面高程上总的水平径向荷载强度，包括水压力，泥沙压力等；——拱冠梁在第层拱高程上所分配到的水平径向荷载，为未知数；（）——第层拱圈所分配的水平径向均布荷载强度；——梁在点所分配到的荷载强度；——梁上点的单位荷载所引起点的径向变位，称为梁的―单位变位‖。

拱坝的应力分析方法
拱坝的应力分析方法可以采用静力计算和有限元分析两种方法。

1. 静力计算方法：该方法通过建立拱坝结构的静力平衡方程来计算拱坝内部的应力分布。

首先确定坝体的几何形状和材料性质，然后根据坝体的水力和动力荷载计算出坝体上各处的受力情况，最后通过静力平衡方程计算出拱坝各点的应力值。

2. 有限元分析方法：该方法利用有限元理论和计算机数值计算方法，将拱坝结构划分为有限个单元，然后通过求解这些单元的力学方程，得出拱坝结构的应力和变形情况。

该方法可以考虑边界约束、非线性材料特性以及水土耦合效应等因素，对于复杂的拱坝结构分析更加准确。

这些方法在拱坝设计和分析中广泛应用，可以帮助工程师评估拱坝的安全性和稳定性，优化设计方案，确保拱坝在使用过程中的正常工作。

有限元等效应力在拱坝应力设计中的应用拱坝应力设计是水利工程的一项重要的分支，是用来确保拱坝工程的安全性和可靠性的一项传统技术。

在拱坝应力设计中，有限元等效应力是一种新型计算方法，它可以有效地考虑拱坝结构材料和结构形状的不确定性，确保拱坝工程的安全和可靠性。

有限元等效应力的计算方法是在有限元分析的基础上，对拱坝结构材料和形状的不确定性进行评估，以降低拱坝应力设计的复杂度。

有限元等效应力的计算方法分为两个步骤：第一步，使用有限元法来计算拱坝结构的响应，将其限定在拱坝的关键面上；第二步，基于拱坝结构响应，对拱坝结构材料和结构形状不确定性进行分析，最终获得拱坝结构的有限元等效应力。

由于有限元等效应力能够有效地考虑拱坝结构材料和结构形状的不确定性，从而提高拱坝应力设计的效率和精确度。

因此，有限元等效应力在拱坝应力设计中的应用日益普及。

首先，拱坝结构材料和结构形状的不确定性是拱坝应力设计过程中的主要因素，应当受到特别关注。

其次，有限元等效应力能够更好地对拱坝结构材料和形状的不确定性进行评估，从而提高拱坝应力设计的精确度。

有限元等效应力的计算方法是基于有限元分析开发的，因此需要拱坝应力设计中使用有限元等效应力时，必须了解使用有限元分析的前提条件和基本原理。

有限元分析中，需要对拱坝结构的材料特性、坐标系参数和结构形状的参数进行设置，以及对网格划分、有限元单元的类型和数据等进行初始设置。

此外，还需要对拱坝结构的材料和形状特性进行精确表征，这些特性将直接影响拱坝应力设计的结果。

有限元等效应力在拱坝应力设计中的应用具有重要的意义。

它可以有效地考虑拱坝结构材料和结构形状的不确定性，从而提高拱坝应力设计的精确度。

此外，在计算有限元等效应力时，还需要了解有限元分析的基本原理，并结合有限元分析的基本原理，进行有限元等效应力的计算。

因此，拱坝应力设计中使用有限元等效应力的应用有着重要的意义。

综上所述，有限元等效应力是拱坝应力设计中一种新型计算方法，它可以考虑拱坝结构材料和结构形状不确定性，从而提高拱坝应力设计的精确度。

拱坝拱冠梁法应力计算一：概述理论基础：拱梁变位协调方程计算拱和梁各自所承受的荷载。

优点：它是一种简化了的拱梁分载法，它是以拱冠处一根悬臂梁为代表，与若干水平拱作为计算单元进行荷载分配，然后计算拱冠梁及各个拱圈的应力，计算工作量比拱梁分载法节省很多。

拱梁分载法可用于大体对称，比较狭窄河谷中的拱坝初步应力计算。

对于中、低拱坝也可以用于可行性研究阶段的坝体应力计算。

以上为拱冠梁法拱和拱冠梁荷载计算步骤，最后通过变位协调方程即可得出在不同工况下各拱圈和梁的荷载，最后即可验证坝体应力是否满足规范要求。

以上是我做毕业设计《洗马河拱坝应力分析》当中觉得最为重要的一点，在此与大家分享下，希望对大家有所帮助。

说明：在拱冠梁法中我只考虑了水荷载、自重、温度荷载几个重要的荷载。

如在实际分析中需要添加其它的荷载即在协调方程两边加即可，主要的计算步骤并没有因此而改变。

二：截面形状的计算单宽拱冠梁的各水平截面在坝轴线处为1m ，两侧为径向直径，洗马河拱坝各拱圈为等厚圆拱，各水平截面为标准扇形，为计算方便将上游面和下游面弧线和坝轴线均用直线代替，在计算截面面积、偏心距以及惯性矩时就可以采用如下统一公式计算[]i 10A 1//2i E E T R R R R =+ （4-1） []()1112//31/i i E E L T R R R R =++（4-2） ()()23110114///361/i i E E E E I T R R R R R R R R ⎡⎤=+++⎣⎦（4-3）三：梁在水平径向力作用下径向变位计算ij a 是拱冠梁上第j 号水平单位荷载在第i 点引起的径向线变位，一般称之为梁的变位系数。

ij a 不仅与梁上各点水平荷载有关，而且也与地基变位有关，其计算公式为：c c ij r a =h++M/(EI)h +KV/(AG)h θ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∆∆∆∆∑∑∑地基表面转角地基表面剪切变位（4-4）其中M 、V ——梁的各截面在j 号单位荷载作用下的弯矩和剪力；I 、A ——梁上个计算截面的惯性矩和面积；E 、G ——坝体材料的弹性模量和剪切模量，[]2(1+)G=E/μ，μ为泊松比系数； K ——剪力分布系数，可取1.25，则K/G=3/E ；h ∆——梁的分层高度；式中（4-4）[]M/(EI)∑是由于坝体弯矩引起的转角，[]KV/(AG)∑坝体剪力引起的转角。