高考数学复习考点知识与题型专题讲解28---二次函数
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∆ < 0
⇔ a < 0 . ∆ < 0
注 若表述为“已知函数 f (x) = ax2 + bx + c ”，并未限制为二次函数，则应有
⇔
x1
+
x2
=−b a
<0
x1 x2
=
c a
>
0
（3）方程有一正根和一负根，设两根为 x1, x2
⇔
x 1 x2
=
c a
<0
2.一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根的分布问题 一般情况下需要从以下 4 个方面考虑： （1） 开口方向；（2）判别式；（3）对称轴 x = − b 与区间端点的关系；（4）区间端
2a
2a
上递增，当 x = − b 时， 2a
f
( x)min
=
4ac − b2 4a
；②当 a
< 0 时，如图
2-9
所示，抛物线开
口 向 下 ， 函 数 在 (−∞, − b ] 上 递 增 ， 在 [− b , +∞) 上 递 减 ， 当 x = − b 时 ，；
2a
2a
2a
f
( x)max
=
4ac − b2 4a
=
p+q
： 2
2 / 14
（1） 若 − b ≤ p ，则 m = f ( p), M = f (q) ； 2a
（2）
若
p
<
−
b 2a
<
x0
，则
m
=
f (− b ), M 2a
=
f (q) ；
（3）
若
x0
≤
−
b 2a
<
q
，则
m
=
f (− b ), M 2a
=
f ( p) ；
（4） 若 − b ≥ q ，则 m = f (q), M = f ( p) . 2a
三、一元二次方程与二次函数的转化
1．实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的实根符号与系数之间的关系
∆ = b2 − 4ac > 0
（1）方程有两个不等正根 x1, x2
⇔
x1
+
x2
=−b a
>0
x1 x2
=
c a
>
0
∆ = b2 − 4ac > 0
（2）方程有两个不等负根 x1, x2
a
α
⋅
β
=
c a
二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与 x 轴交点横坐标有关的.
2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略 已 知 二 次 函 数 f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) . f (x) > 0 恒 成 立 ⇔ a > 0 ； f (x) < 0 恒 成 立
f
(m)
<
0
f (n) > 0
在区间 (m, n) 内 有两个不等实根
y m
O
∆ > 0
m
<
−
b 2a
<
n
nx
f
(m)
>
0
f (n) > 0
四、二次不等式转化策略 1. 二次不等式的解集与系数的关系
5 / 14
a < 0 若二次不等式 f (x) = ax2 + bx + c ≤ 0 的解集是 (−∞,α ] U[β , +∞) ⇔ α + β = − b
.
y
y
4ac − b2 4a
O
4ac − b2
x
4a
x=− b
2a
图 2-8
O
x
x=− b
2a
图 2-9
(2) 与 x 轴相交的弦长
当 ∆ = b2 − 4ac > 0 时 ， 二 次 函 数 f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 的 图 像 与 x 轴 有 两 个 交 点
M1(x1, 0) 和 M 2 (x2 , 0) ， | M1M 2 |=| x1 − x2 |=
(x1 + x2 )2
− 4x1x2
=
∆ |a|
.
二、二次函数在闭区间上的最值 Nhomakorabea闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) ，当 a > 0 时， f (x) 在区间[ p, q] 上的最大值是 M ，
最小值是 m ，令 x0
∆ > 0
−
b
>m
2a
f (m) > 0
x1 < m < x2
x1 < x2 < m 根的分布
在区间 (m, n) 内 没有实根
y
m x 1
O
x 2 x
y
xx
1
2
O
mx
f (m) < 0
∆ > 0
−
b
<m
2a
f (m) > 0
图像
y
限定条件
O mn x
∆<0
y Om n
∆=0
x1 = x2 ≤ m
2．二次函数的图像
1 / 14
二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 的图像是一条抛物线，对称轴方程为 x = − b ，顶点 2a
坐标为 (−
b
4ac − b2
,
).
2a 4a
(1) 单调性与最值
①当 a > 0 时，如图 2-8 所示，抛物线开口向上，函数在 (−∞, − b ] 上递减，在[− b , +∞)
由于二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，在高中数学 中应用十分广泛，并对考查学生的数学能力有重要意义，所以以二次函数为命题背景 仍将是一个热点.
知识点精讲 一、二次函数解析式的三种形式及图像
1. 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式： f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) ； （2）顶点式： f (x) = a(x − m)2 + n(a ≠ 0) ；其中，(m, n) 为抛物线顶点坐标， x = m 为对 称轴方程. （3）零点式： f (x) = a(x − x1)(x − x2 )(a ≠ 0) ，其中， x1, x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐 标.
2a 点函数值的正负. 设 x1, x2 为实系数方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的两根，则一元二次 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的 根的分布与其限定条件如表 2-5 所示.
3 / 14
表 2-5 根的分布
m < x1 < x2
图像
限定条件
y
m
x
O1
x2
x
高考数学复习考点知识与题型专题讲解
二次函数
考纲解读 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程 根的存在性及根的个数.
命题趋势探究 对于二次函数，高考中主要考察二次函数的性质及其应用，尤其是二 次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用.重点考察数形结合与等价转化以 及分类讨论三种数学思想.
或x1 = x2 ≥ m
x
4 / 14
在区间 (m, n) 内 有且只有一个实根
y
Omn x
y
O mn
x
y
mn
O
x
y
O mn
x
y
O mn x
∆ > 0
−
b
<m
2a
f (m) ≥ 0
∆ > 0
−
b
>n
2a
f (n) ≥ 0
f (m) ≤ 0 f (n) ≤ 0
f (m) > 0 f (n) < 0
⇔ a < 0 . ∆ < 0
注 若表述为“已知函数 f (x) = ax2 + bx + c ”，并未限制为二次函数，则应有
⇔
x1
+
x2
=−b a
<0
x1 x2
=
c a
>
0
（3）方程有一正根和一负根，设两根为 x1, x2
⇔
x 1 x2
=
c a
<0
2.一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根的分布问题 一般情况下需要从以下 4 个方面考虑： （1） 开口方向；（2）判别式；（3）对称轴 x = − b 与区间端点的关系；（4）区间端
2a
2a
上递增，当 x = − b 时， 2a
f
( x)min
=
4ac − b2 4a
；②当 a
< 0 时，如图
2-9
所示，抛物线开
口 向 下 ， 函 数 在 (−∞, − b ] 上 递 增 ， 在 [− b , +∞) 上 递 减 ， 当 x = − b 时 ，；
2a
2a
2a
f
( x)max
=
4ac − b2 4a
=
p+q
： 2
2 / 14
（1） 若 − b ≤ p ，则 m = f ( p), M = f (q) ； 2a
（2）
若
p
<
−
b 2a
<
x0
，则
m
=
f (− b ), M 2a
=
f (q) ；
（3）
若
x0
≤
−
b 2a
<
q
，则
m
=
f (− b ), M 2a
=
f ( p) ；
（4） 若 − b ≥ q ，则 m = f (q), M = f ( p) . 2a
三、一元二次方程与二次函数的转化
1．实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的实根符号与系数之间的关系
∆ = b2 − 4ac > 0
（1）方程有两个不等正根 x1, x2
⇔
x1
+
x2
=−b a
>0
x1 x2
=
c a
>
0
∆ = b2 − 4ac > 0
（2）方程有两个不等负根 x1, x2
a
α
⋅
β
=
c a
二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与 x 轴交点横坐标有关的.
2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略 已 知 二 次 函 数 f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) . f (x) > 0 恒 成 立 ⇔ a > 0 ； f (x) < 0 恒 成 立
f
(m)
<
0
f (n) > 0
在区间 (m, n) 内 有两个不等实根
y m
O
∆ > 0
m
<
−
b 2a
<
n
nx
f
(m)
>
0
f (n) > 0
四、二次不等式转化策略 1. 二次不等式的解集与系数的关系
5 / 14
a < 0 若二次不等式 f (x) = ax2 + bx + c ≤ 0 的解集是 (−∞,α ] U[β , +∞) ⇔ α + β = − b
.
y
y
4ac − b2 4a
O
4ac − b2
x
4a
x=− b
2a
图 2-8
O
x
x=− b
2a
图 2-9
(2) 与 x 轴相交的弦长
当 ∆ = b2 − 4ac > 0 时 ， 二 次 函 数 f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 的 图 像 与 x 轴 有 两 个 交 点
M1(x1, 0) 和 M 2 (x2 , 0) ， | M1M 2 |=| x1 − x2 |=
(x1 + x2 )2
− 4x1x2
=
∆ |a|
.
二、二次函数在闭区间上的最值 Nhomakorabea闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) ，当 a > 0 时， f (x) 在区间[ p, q] 上的最大值是 M ，
最小值是 m ，令 x0
∆ > 0
−
b
>m
2a
f (m) > 0
x1 < m < x2
x1 < x2 < m 根的分布
在区间 (m, n) 内 没有实根
y
m x 1
O
x 2 x
y
xx
1
2
O
mx
f (m) < 0
∆ > 0
−
b
<m
2a
f (m) > 0
图像
y
限定条件
O mn x
∆<0
y Om n
∆=0
x1 = x2 ≤ m
2．二次函数的图像
1 / 14
二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 的图像是一条抛物线，对称轴方程为 x = − b ，顶点 2a
坐标为 (−
b
4ac − b2
,
).
2a 4a
(1) 单调性与最值
①当 a > 0 时，如图 2-8 所示，抛物线开口向上，函数在 (−∞, − b ] 上递减，在[− b , +∞)
由于二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，在高中数学 中应用十分广泛，并对考查学生的数学能力有重要意义，所以以二次函数为命题背景 仍将是一个热点.
知识点精讲 一、二次函数解析式的三种形式及图像
1. 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式： f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) ； （2）顶点式： f (x) = a(x − m)2 + n(a ≠ 0) ；其中，(m, n) 为抛物线顶点坐标， x = m 为对 称轴方程. （3）零点式： f (x) = a(x − x1)(x − x2 )(a ≠ 0) ，其中， x1, x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐 标.
2a 点函数值的正负. 设 x1, x2 为实系数方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的两根，则一元二次 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的 根的分布与其限定条件如表 2-5 所示.
3 / 14
表 2-5 根的分布
m < x1 < x2
图像
限定条件
y
m
x
O1
x2
x
高考数学复习考点知识与题型专题讲解
二次函数
考纲解读 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程 根的存在性及根的个数.
命题趋势探究 对于二次函数，高考中主要考察二次函数的性质及其应用，尤其是二 次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用.重点考察数形结合与等价转化以 及分类讨论三种数学思想.
或x1 = x2 ≥ m
x
4 / 14
在区间 (m, n) 内 有且只有一个实根
y
Omn x
y
O mn
x
y
mn
O
x
y
O mn
x
y
O mn x
∆ > 0
−
b
<m
2a
f (m) ≥ 0
∆ > 0
−
b
>n
2a
f (n) ≥ 0
f (m) ≤ 0 f (n) ≤ 0
f (m) > 0 f (n) < 0
