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二次函数知识点总结与典型例题讲解

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二次函数知识点总结及典型例题讲解

一、二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果)0,,(2acbacbxaxy是常数，，那么y叫做x 的二次函数。

)0,,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

二、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：)0,,(2acbacbxaxy是常数，

（2）顶点式：)0,,()(2akhakhxay是常数，

（3）当抛物线cbxaxy2与x轴有交点时，即对应二次好方程02cbxax有实根1x和2x存在时，根据二次三项式的分解因式))((212xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转化为两根式))((21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。

三、二次函数的性质

1、二次函数的性质

函数 二次函数

)0,,(2acbacbxaxy是常数，

图像 a>0 a<0

y

0 x

y

0 x

性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；

（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是

（ab2，abac442）；

（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y随x的增大而增大，简记左减右增；

（4）抛物线有最低点，当x=ab2时，

y有最小值，abacy442最小值 （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；

（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是

（ab2，abac442）；

（3）在对称轴的左侧，即当x

而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2时，y随x

的增大而减小，简记左增右减；

（4）抛物线有最高点，当x=ab2时，

y有最大值，abacy442最大值

2、二次函数)0,,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、、a的含义：

a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上

a<0时，抛物线开口向下

b与对称轴有关：对称轴为x=ab2

c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac4b2，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当>0时，图像与x轴有两个交点；

当=0时，图像与x轴有一个交点；

当<0时，图像与x轴没有交点。

补充：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）

则AB间的距离，即线段AB的长度为221221yyxx

y

A

x

B 0

2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）

左加右减、上加下减

四、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。

如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当x=ab2时，abacy442最值；

若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性，

如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时，cbxaxy121最小；

如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小。

典型例题

1. 已知函数22113513xxyxx≤＞，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

2. 如图为抛物线2yaxbxc的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是

A．a＋b=－1 B． a－b=－1 C． b<2a D． ac<0

【答案】B

3. 二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则反比例函数ayx与一次函数ybxc在同一坐标系中的大致图象是（ ）.

【答案】D

4. 如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是

．

【答案】12x

5. 在平面直角坐标系中，将抛物线223yxx绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式（ ）．

A．2(1)2yx B．2(1)4yx C．2(1)2yx D．2(1)4yx

【答案】B

6. 已知二次函数cbxaxy2的图像如图，其对称轴1x，给出下列结果①acb42②0abc③02ba④0cba⑤0cba，则正确的结论是（ ）

A ①②③④ B ②④⑤ C ②③④ D ①④⑤

【答案】 D

7．抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x … －2 －1 0 1 2 …

y … 0 4 6 6 4 …

从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）

①抛物线与x轴的一个交点为（3,0）； ②函数2yaxbxc的最大值为6；

③抛物线的对称轴是12x； ④在对称轴左侧，y随x增大而增大．

【答案】①③④

8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，xy O11（1,-2） cbxxy2-1

连结OA．

(1)求△OAB的面积；

(2)若抛物线22yxxc经过点A．

①求c的值；

②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．

解：(1) ∵点A的坐标是（－2，4），AB⊥y轴，

∴AB=2，OB＝4，∴1124422OABSABOB

(2)①把点A的坐标（－2，4）代入22yxxc，

得2(2)2(2)4c，∴c＝4

②∵2224(1)4yxxx，

∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是（－1，4），OA的中点F的坐标是（－1，2），

∴m的取值范围为l

9．已知二次函数y=14 x 2+ 32 x的图像如图．

（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为

A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．

解：（1）二次函数y=-14x2+32x的对称轴为x=3，∴D（3，0）．

（2）设抛物线向上平移h个单位（h＞0），则平移后的抛物线解析式为y=-14x2+32x+h．

∵∠ACB=90°，∴OC2=OA·OB．

设点A、B的横坐标分别为x1、x2，则h2=- x1·x2．

∵x1、x2是一元二次方程-14x2+32x+h=0的两个根，

∴x1·x2=-4h，∴h2=4h，∴h=4，∴抛物线的解析式为y=-14x2+32x+4．

（3）CM与⊙D相切，理由如下：

连结CD、CM，过点C作CN⊥DM于点D，如下图所示：

∵AB是⊙D的直径，∠ACB=90°，

∴点C在⊙D上．

根据平移后的抛物线的解析式y=-14x2+32x+4可得：OD=3，OC=4，DM=254，CD=5．

∴CN=3，MN=94，∴CM=154．∵CM=154，CD=5，DM=254，

∴△CDM是直角三角形且∠DCM=90°，∴CM与⊙D相切．

10. 如图10，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB＝10，以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC.CD是⊙O′的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD＝21，抛物线cbxaxy2过A，B，C三点.

（1）求证：∠CAD＝∠CAB；

（2）①求抛物线的解析式；

②判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.若存在，直接写出点P的坐标（不写求

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二次函数知识点总结及典型题目

二次函数知识点总结及典型题目

1 二次函数知识点总结及典型题目

一.定义：

一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c）点.

二.二次函数2axy的性质

（1）抛物线2axy的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

（2）函数2axy的图像与a的符号关系.

①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a. y=ax2 (a≠0)可以经过补0看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即： y=ax2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0).

例题精析：

1． 二次函数的概念，二次函数y＝ax2 (a≠0)的图象性质

二次函数的一般式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)。强调a≠0．而常数b、c可以为0，当b，c同时为0时，抛物线为y＝ax2(a≠0)。此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y轴，即直线x＝0。

例：已知函数4mm2x)2m(y是关于x的二次函数，求：

(1)满足条件的m值；

(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大?

(3)m为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时，y随x的增大而减小?

解： (1)使4mm2x)2m(y是关于x的二次函数，则m2＋m－4＝2，且m＋2≠0，即：

m2＋m－4＝2，m＋2≠0，解得；m＝2或m＝－3，m≠－2

(2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m＋2＞0，

(3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m＋2＜0。

人教版九年级上册 第22章 二次函数复习知识点总结和题型讲解

人教版九年级上册 第22章 二次函数复习知识点总结和题型讲解

人教版九年级上册 第22章 二次函数复习知识点总结和题型讲解

1 / 10 二次函数复习知识点

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次多项式。（①含自变量的代数式是整式，②自变量的最高次数是2， ③二次项系数不为0.）

⑵ abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. y＝ax2的性质：

2. y＝ax2＋k的性质： （k上加下减）

3. y＝a（x-h）2的性质： （h左加右减） a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质（增减性）

0a 向上 （0，0） y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．

0a 向下 （0，0） y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质（增减性）

0a 向上 （0，k） y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值k．

0a 向下 （0，k） y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值k．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质（增减性）

0a 向上 （h，0） 直线x=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．

0a 向下 （h，0） 直线x=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0． 人教版九年级上册 第22章 二次函数复习知识点总结和题型讲解

二次函数专题知识点常考（典型）题型重难点题型（含详细答案）

二次函数专题知识点常考（典型）题型重难点题型（含详细答案）

⼆次函数专题知识点常考（典型）题型重难点题型（含详

细答案）

⼆次函数和基本性质专题知识点+常考题型+重难点

题型（含详细答案）

⼀、⽬录

⼀、⽬录 (1)

⼆、基础知识点 (2)1.⼆次函数的概念 (2)

2.⼆次函数y=的图像和性质 (2)

3.⼆次函数y=a（）（）的性质 (4)

4，⽤配⽅法求（） (6)

5.⼆次函数图像性质总结 (7)

6.⼆次函数解析式的求法 (7)

7.⼆次函数图像的平移 (9)

三、重难点题型 (11)1.由抛物线的位置确定系数的符号 (11)

2.⽤待定系数法求⼆次函数的解析式 (13)

3.运⽤抛物线的对称性解题 (17)

4.⽤⼆次函数解决最值问题 (18)

5.⼆次函数的图像 (20)

6.⼆次函数与应⽤问题 (21)

⼆、基础知识点1.⼆次函数的概念

形如y=（a≠0）的函数叫作⼆次函数。

注：①a、b、c为常数，且a≠0，即⼆次项必须有，⼀次项和常数项可以没有

②⼆次函数为函数的⼀种，满⾜函数的所有性质。即在定义域内，⾃变量x有且仅有唯⼀应变量y与之对应

例1.下列各项中，y是x的⼆次函数的有：

①y=；②y=（）（m为常数）；

③y=（m为常数）；④y=

答案：①是⼆次函数，⼆次项系数不为0；

②不应定，当m=1时，⼆次项为0，则不是⼆次函数；

③是⼆次函数，⼆次项系数不为0；

④化简得：－x－2，因此不是⼆次函数

例2.已知y=（）是⼆次函数，求k的值。答案：因为y=（）是⼆次函数

所以

解得：k=22.⼆次函数y=的图像和性质

y=（a≠0，b=0，c=0，即⼀次项和常数项皆为0）的性质：

①图形为抛物线形状

②a>0，开⼝向上；a<0，开⼝向下

③过原点（顶点），为最⼤值或最⼩值（由a的正负决定）

④关于y轴对称，即关于x=0对称

⑤越⼤，开⼝越⼩，即上升或下降越快

注：关于y轴对称的前提条件是：函数定义域关于y轴对称

例1.求等边三⾓形⾯积S与边长a的函数关系式。

答案：由等边三⾓形性质可知S=

例2.根据抛物线y=（a≠0）的性质回答下列问题；

二次函数知识点及典型例题

二次函数知识点及典型例题

二次函数

一、二次函数的几何变换

二、二次函数的图象和性质

(Ⅰ) y=a(xh)2+k (a0)的图象和性质 解析式 y=ax2 Y=ax2+k y=a(xh)2 y=a(xh)2+k

图象

a>0

a<0

特点 顶点在原点 顶点在y轴上 顶点在x轴上

开口方向 a>0，开口向上；

a<0，开口向下. 同前 同前 同前

形状 ①a相同抛物线的形状大小相同.

②a越大,开口越小;a越小, 开口越大. 同前 同前 同前.

顶点坐标 （0，0） （0，k） （h，0） （h，k）

对称轴 y轴 y轴 直线x=h 直线x=h

函数

最值 若a>0，当x=0时，y有最小值是0.

若a<0，当x=0时，y有最大值是0. 若a>0，当x=0时，y有最小值是k.

若a<0，当x=0时，y有最大值是k. 若a>0，当x=h时，y有最小值是0.

若a<0，当x=h时，y有最大值是0. 若a>0，当x=h时，y有最小值是k.

若a<0，当x=h时，y有最大值是k. 函数y=ax2 +k

函数y=x2 函数y=ax2

函数y=a(x－h)2

函数y=a(x－h)2＋k 函数y=ax2 +bx+c 目标 几何变换

xyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyO增减性 若a>0，当x≤0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大.

若a<0，当x≤0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小. 同前 若a>0，当x≤h时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大.

若a<0，当x≤h时，y随x的增大而增大，当x>h时，y随x的增大而减小. 同前

平移 y=ax2+k的图象是由y=ax2的图象沿y轴向上或向下平移k个单位得到的，k为正向上，k为负向下. y=a(xh)2的图象是由y=ax2的图象沿x轴向左或向右平移h个单位得到的，h为正向右，h为负向左. y=a(xh)2+k的图象是由y=ax2的图象沿x轴向左或向右平移h个单位，h为正向右，h为负向左；再沿直线x=h向上或向下平移k个单位，k为正向上，k为负向下得到的.