江苏省淮州中学2009—2010学年度第二学期期末高二年级调查测试数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． １．设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为_____． 2．5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种.(用数字作答) ３．已知a=(2，4，5)， b=(3，６，y )，若a ∥b ，则 y = ．４．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b += ．５．一射击运动员对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为8081，则此射击运动员每次射击命中的概率为 ．６．6(2的展开式中的第四项是 ．７．在椭圆中，我们有如下结论：椭圆22221x y a b +=上斜率为1的弦的中点在直线0b y a x 22=+上，类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线22221x y a b -=上斜率为1的弦的中点在直线上．8．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110的逆矩阵是 ． 9．若()()23*12311,n n x a x a x a x x n +=+++++∈N ，且12:1:3a a=，则=n .10．棱长为a 的正四面体ABCD 中，AB BC ∙+AC BD ∙的值等于 ．11．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第 ２０１０个三角数与第2００8个三角数的差为 。
12．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A-BD-C ，若点A 、B 、C 、D 都在一个以O 为球心的球面上，则球O 的体积为 。
13．四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 种14．若函数式()f n 表示2*1()n n N +∈的各位上的数字之和， 如2141197,19717+=++=所以(14)17f =， 记*1211()(),()[()],,()[()],k k f n f n f n f f n f n f f n k N +===∈，则=)17(2010f二、解答题: 本大题共6小题， 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答， 解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤．15.已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣ 24⎤⎥⎦，向量74⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α. （1）求矩阵A 的特征值1λ、2λ和特征向量1α、2α； （2）求5A α的值.16. 是否存在自然数m ，使得对任意自然数，都能被整除，若存在，求出的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．17．已知等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++，其中a i （i =0，1，2，…，10）为实常数． 求：（1）101nn a=∑的值；（2）101nn na=∑的值．18．如图，在棱长为1的正方体1AC 中，E 、F 分别为11D A 和11B A 的中点．（1）求异面直线AE 和BF 所成的角的余弦值；（2）求平面1BDD 与平面1BFC 所成的锐二面角的余弦值； （3）若点P 在正方形ABCD 内部或其边界上，且//EP 平面1BFC ，求EP 的最大值、最小值．19．中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q （简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当2080Q ≤<时，为酒后驾车；当80Q ≥时，为醉酒驾车 淮安市公安局交通管理部门于2010年6月的一天对某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有4人，依据上述材料回答下列问题：（1）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数；（2）从违法驾车的10人中抽取4人，求抽取到醉酒驾车人数ξ的分布列和期望；（3）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0．2和0．5，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的，依此计算被查处的10名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率20．（本小题16分）已知数列{}n a 满足)(11*+∈-=N n a a nn（1）若451=a ，求n a ；（2）若),(),1,(1*∈+∈=N k k k a a ，求{}n a 的前k 3项的和k S 3（用a k ,表示） 江苏省淮州中学2009—2010学年度第二学期期末高二年级调查测试数学试卷（理科）答案１．2． 2． 72 ３． ４．５５． ６．－160x ７． 22x y0a b -=8． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110 9． 7 10． 22a -11． 4019 12． 34π 13． 141 14． 8二、解答题: 本大题共6小题， 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答， 解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 15解：(1)矩阵A 的特征多项式为1()1f λλ-=24λ--256=-+λλ，令()0f =λ，得122,3λλ==,当12=λ时，得121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α,当23=λ时，得211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α. …………………6分(2)由12m n =+ααα得274m n m n +=⎧⎨+=⎩，得3,1m n ==.∴5A α5551212(3)3()A A A =+=+αααα 55551122214353()32311339⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⨯+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦λαλα.……………………14分16解：，，，……3分猜想， 能被36整除，用数学归纳法证明如下： （1）当时，，能被36整除． 5分（2）假设当k n =，（∈k N ）时，能被36整除． 7分那么，当时，由归纳假设，能被36整除， 当为自然数时，为偶数，则能被36整除． 12分∴ 能被36整除，这就是说当时命题成立．由（1）、（2）对任意，)(n f 都能被36整除．当取大于36的自然数时，36)1(=f 不能被整除，所以36为最大．14分17解：（1）在252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++中，令1x =-，得01a =．………………………………………3分 令0x =，得5012910232a a a a a +++++==． ………………5分所以101210131nn aa a a ==+++=∑． ……………………………7分（2）等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++两边对x 求导，2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)x x x a a x a x a x ++⋅+=+++++++…10分在2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)x x x a a x a x a x ++⋅+=+++++++中，令x =0，整理，得105129101291052160nn naa a a a ==++++=⋅=∑．…14分18．（1）)0,0,1(A ，1(,0,1)2E ，)0,1,1(B ，)1,21,1(F )1,0,21(-=，)1,21,0(-= 5445451),cos(==………………………………4分（2）平面BDD 1的一个法向量为)0,21,21(-= 设平面BFC 1的法向量为),,(z y x =⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⋅=⋅=+-=⋅0)1,0,1(),,(021z x z y x z y ∴⎩⎨⎧==z y z x 2 取1z =得平面BFC 1的一个法向量)1,2,1(=n∴所求的余弦值为63………………………………10分 （3）设(,,0)P x y （01,01x y ≤≤≤≤）1(,,1)2EP x y =--，由0EP n ⋅=得1()2102x y -+-= 即322x y =-+，301,0212x y ≤≤∴≤-+≤1344y ∴≤≤∴当25y =时，min ||EP ∴=当34y =429= ……………………………16分19．（1）违法驾车发生的频率为120，醉酒驾车占违法驾车的百分数为40%；……4分（2）ξ的所有可能取值为：0,1,2,3,4…………………………5分ξ的分布列为85E ξ=………………………………12分（3）至少有一人发生交通事故的概率为644124*********1()()5225000015625P =-===0．983616 …16分20．解：（1）,41,43,41,454321====a a a a∴451=a ，2≥n 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===12,432,41k n k n a n ，其中*∈N k 8分(2) 当),(),1,(1*∈+∈=N k k k a a 时，易知,,2,132 -=-=a a a a k a a a k k -=-=++231 a k a a k k -+=-=++1134 …..)23(22++-=a k k 16分。
