10.1+分式(练)

10.1 分式的意义两个整式A.B 相除，即A ÷B 时，可以表示为B A .如果B 中含有字母，那么B A叫做分式，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.当B=1时，B A为整式。

如果分母为零，那么分式无意义；如果分母不为零，那么分式有意义；如果分子为零，分母不为零，那么分式值为零。

10.2 分式的基本性质分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，即NB N A M B MA B A÷÷=⋅⋅= 其中M 、N 为整式，且0,0,0≠≠≠N M B .把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分。

如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式。

化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最大公因数、相同因式的最低次幂.如果分子、分母是多项式，先分解因式，再约分。

化简分式时要将分式化成最简分式或整式。

10.3分式两个分式相除，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

BD AC D C B A =⋅ , BCAD C D B A D C B A =⋅=÷分式的运算结果一般化简成最简分式或整式。

10.4分式的加减同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。

异分母分式相加减，先将它们化为相同分母的分式，然后进行加减。

将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分。

通分先要确定公分母，如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

10.5 可以化成一元一次方程的分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

一元方程的解也叫做方程的根。

在分式方程变形时，有时可能产生不合适原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根。

分式方程化为整式方程的过程必须两边乘以一个适当的整式，由于这个整式可能为零，是本不相等的两边也相等了，这时就可能产生增根。

苏科版数学八年级下册10.1《分式》教学设计一. 教材分析《分式》是苏科版数学八年级下册第10章的内容，本节课的主要内容是分式的概念、分式的基本性质和分式的运算。

本节课的内容是学生学习更高级数学的基础，对于培养学生的逻辑思维和抽象思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、代数式的相关知识，具备了一定的逻辑思维和抽象思维能力。

但部分学生对于抽象概念的理解和运用还不够熟练，需要通过实例和练习来进一步巩固。

三. 教学目标1.理解分式的概念，掌握分式的基本性质。

2.学会分式的运算，并能灵活运用。

3.培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.分式的概念和基本性质。

2.分式的运算及其运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探索、发现和解决问题，提高学生的动手实践能力和团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备教学课件和板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入分式的概念，如：“某商店进行打折活动，原价100元的商品打八折后，顾客实际支付80元。

请问，顾客实际支付的价格是原价的多少？”让学生思考并解答，从而引出分式的概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现分式的定义、基本性质和运算规则，引导学生观察和理解。

同时，给出相应的例子，让学生跟随讲解，逐步掌握分式的基本知识。

3.操练（10分钟）让学生独立完成一些分式的基本运算题目，如分式的加减、乘除等。

教师巡回指导，解答学生遇到的问题，并给予反馈。

4.巩固（10分钟）通过一些综合性的题目，让学生运用所学的分式知识解决问题。

如：“已知a、b、c为实数，且a+b+c=0，求证：a/b+b/c+c/a=0。

”教师引导学生思考和解答，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考分式在实际生活中的应用，如经济、物理、化学等领域。

让学生举例说明，进一步拓宽视野。

10道《分式》练习题分式是数学中的一个重要概念，也是我们在日常生活中经常会遇到的数学问题之一。

它是由分子和分母组成的，分子代表分数的一部分，而分母则代表整体的数量。

在解决分式问题时，我们需要掌握一些基本的概念和技巧。

下面我将给大家介绍10道关于分式的练习题，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 简化分式：将分子和分母的公因数约去，使分式的值保持不变。

例如，将分式6/12简化为1/2。

2. 分式的乘法：将两个分式相乘，只需将分子与分子相乘，分母与分母相乘。

例如，计算(2/3) * (4/5) = 8/15。

3. 分式的除法：将一个分式除以另一个分式，只需将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数。

例如，计算(2/3) / (4/5) = (2/3) * (5/4) = 10/12 = 5/6。

4. 分式的加法：将两个分式相加，需要先找到它们的公共分母，然后将分子相加。

例如，计算(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/6。

5. 分式的减法：将一个分式减去另一个分式，需要先找到它们的公共分母，然后将分子相减。

例如，计算(3/4) - (1/2) = (6/8) - (4/8) = 2/8 = 1/4。

6. 分式的混合运算：在一个表达式中同时包含加法、减法、乘法和除法的分式运算，需要按照运算的优先级进行计算。

例如，计算(1/2) + (3/4) * (2/5) = (1/2) + (6/20) = (10/20) + (6/20) = 16/20 = 4/5。

7. 分式的整数部分：当分子大于或等于分母时，可以将分式转化为一个整数和一个真分数的和。

例如，将分式7/4转化为一个整数和一个真分数，得到1 3/4。

8. 分式的倒数：将一个分式的分子和分母互换位置，得到它的倒数。

例如，分式2/3的倒数为3/2。

9. 分式的比较：当比较两个分式的大小时，可以将它们的分子和分母相乘，然后比较结果的大小。

北京版数学八年级上册《10.1 分式》教学设计一. 教材分析《10.1 分式》是北京版数学八年级上册的教学内容。

本节内容主要介绍分式的概念、分式的基本性质和分式的运算。

通过本节内容的学习，学生能够理解分式的定义，掌握分式的基本性质和运算方法，为后续学习更高级的数学知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、代数式等基础知识。

但他们可能对分式的概念和运算方法不够了解，因此需要通过具体例子的引导和练习来帮助他们理解和掌握分式的相关知识。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解分式的定义，掌握分式的基本性质和运算方法。

2.过程与方法：通过具体例子的引导和练习，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：分式的概念、分式的基本性质和运算方法。

2.难点：分式的运算方法，特别是分式的乘除法运算。

五. 教学方法1.情境教学法：通过具体例子的引导，让学生在实际情境中理解和掌握分式的概念和运算方法。

2.练习法：通过大量的练习，巩固学生对分式的理解和掌握。

3.小组合作学习：鼓励学生之间进行合作交流，共同解决问题，提高他们的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，包括分式的定义、性质和运算方法的讲解，以及相应的练习题目。

2.练习题：准备一些分式的练习题目，包括分式的化简、运算等。

3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际情境，如分饮料的问题，引导学生思考如何用数学表达式来表示这个问题。

然后引入分式的概念，解释分式的含义和作用。

2.呈现（10分钟）讲解分式的定义，通过PPT展示分式的图像，使学生直观地理解分式的含义。

同时，讲解分式的基本性质，如分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变。

3.操练（10分钟）让学生进行一些分式的化简练习，如将分式进行约分、通分等。

分式计算题分类训练（5种类型50道）【答案】（1）23x ；（2）5ac −【分析】（1）根据分式乘法法则，可得答案；（2）根据分式的除法，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得答案；【详解】解：（1）3324423263x y xy y xx y x ⋅==； （2）32233222222254422425105ab a b ab cd ab cd bd ccd c a b a b c ac −÷=⋅=−=−−． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，根据法则计算是解题关键． 2442a a a a −++【答案】（1）12；（2）a【分析】（1）由分式的除法运算法则进行计算，即可得到答案； （2）由分式的乘法运算法则进行计算，即可得到答案．【详解】解：（1）原式=21x x +14x x +=12；（2）原式=()22a a a +−()222a a −+=2a a −； 【点睛】本题考查了分式的乘法、除法运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．【答案】（1）2152()ab a b +；（2）2(2)x x y x y +−+ 【分析】（1）先对分子、分母分解因式，再约分，即可求解；（2）先对分子、分母分解因式，再把除法化为乘法，然后约分即可求解．【详解】解：（1）原式=()()()2332510a b a b ab a b a b −⋅−+ =2352ab a b ⋅+ =2152()ab a b +；（2）原式=()()()()22222y x y x x yx x y x y +−−÷++=()()()()22222y x y x x x y x y x y +−+⋅−+ =2(2)x x y x y +−+． 【点睛】本题主要考查分式的乘除法，掌握因式分解以及约分是解题的关键．【答案】（1）2(1)(2)a a a −−+；（2）7m m −+【分析】（1）先把分式的分子分母因式分解，再约分化简即可；（2）先把分式的分子分母因式分解，再除法变乘法，最后约分化简即可．【详解】（1）222441214a a a a a a −+−⋅−+−22(2)1(1)(2)(2)a a a a a −−=⋅−−+ 22(2)(1)(1)(2)(2)a a a a a −−=−−+2(1)(2)a a a −=−+；（2）2211497m m m ÷−−()221(7)749(7)(7)m m m m m m m −=−⋅−=−−+−7mm =−+．【点睛】本题考查分式的乘除运算，一般都是先把分子分母因式分解，最后约分化简．【答案】(1)224a ab+(2)22239x x x --+【分析】（1）根据分式的乘法运算法则进行计算即可；（2）根据除以一个数等于乘以这个数的相反数进行计算即可．【详解】（1）解：22234246a b a b a b ab −⋅− =3a 2b2（a −2b ）∙(a +2b)(a −2b)6ab (2)4a a b += 224a ab =+；（2）2222133218412x x x x x x −+−÷−−2(1)4(3)2(3)(3)3(1)x x x x x x --=×+-- 2(1)3(3)x x x -=+22239x x x --+=．【点睛】本题考查了分式的乘法运算以及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．【答案】(1)22b(2)2−【分析】（1）直接根据分式的乘除运算法则解答即可；（2）分式的分子、分母先分解因式，把除法转化为乘法，再约分即可得到答案.【详解】（1）原式2222245353422a b c d d cd ab abc b =⋅⋅=；（2）原式()()()()()2992332993a a a a a a a +−++=⋅⋅=−−−++.【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键.【答案】(1)234a c −；(2)21−−ab b ． 【分析】分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算．【详解】（1）解：原式2232162b a a bc a b ⎛⎫− ⎪⎝=⋅⎭⋅ 3221216a b ab c =−234a c =−（2）解：原式()22122()a b ab ab b a −=−⋅⋅−()2222()ab a b b a ab −=−−()1b a b =−−21ab b =−− 【点睛】本题考查分式的乘除运算．分式的除法运算实质上是乘法运算．掌握分式的乘法运算法则是解题关键．【答案】(1)()()()()3242x x x x −++−(2)22aa −+【分析】根据分式的乘除混合计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式()()()()()()2232444322x x x x x x x x −+−=⋅⋅+−−+−()()()()3242x x x x −+=+−；（2）解：原式()()()()()211221112a a a a a a a −++−=⋅⋅+−+22aa −=+．【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【答案】(1)2a −(2)12x x ++【分析】（1）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算；（2）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算．【详解】（1）原式()()()()()244214222a a a a a a a +−−=⋅⋅+−−−42a a −=−．（2）原式()()()()()()()()2314444322x x x x x x x x x x −−++−=⋅⋅+−−+−12x x +=+． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，正确分解因式是关键，属于基础题．【答案】(1)42b a -(2)-2【分析】（1）先将除法转化为乘法，再约分即可得出答案；（2）先利用完全平方公式整理，将除法化为乘法，最后约分即可得出答案．【详解】（2）原式()()()()()2992332993a a a a a a a +−++=⋅⋅=−−−++.【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键．【答案】(1)a b +(2)x y −【分析】（1）根据同分母分式的运算法则计算即可；（2）根据同分母分式的运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式()()a b a b a b a b +−==+−．（2）解：原式222x y xy x y x y +=−−− 222x y y x y x −+=−()2x y x y −=−x y =−．【点睛】本题考查了同分母分式的加减法以及平方差公式，熟练掌握同分母分式的加减法法则是解题的关键．【答案】(1)1x +(2)12x y +【分析】（1（2）先将异分母分式化为同分母分式，再进行同分母分式加减运算即可；【详解】（1）原式2221311x x x x x +−=+−−22131x x x x ++−=−22121x x x +−=−()()()2111x x x +=−−11x x −=+； （2）原式()()2222422x y x y x y x y x −++−−+=2224y xy x −−=12x y =+． 【点睛】本题考查了异分母分式相加减的运算，熟练掌握运算法则并你能将异分母分式互为同分母分式是解题的关键．【答案】(1)21m m −(2)224x x −【分析】（1）根据分式与整式的加法进行计算即可求解；（2）根据异分母的加法进行计算即可求解．【详解】（1）解：111m m ++−()()11111m m m m +−=+−−2111m m +−=−21m m =−； （2）解：2242x x x x −−− ()()()2222x x x x x −+=+−22224x x x x −−=−224x x =−．【点睛】本题考查了分式的加减计算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．【答案】(1)3a +(2)221212a a a a −−++【分析】（1）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可；（2）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可．【详解】（1）解：22193a a a −−−()()21333a a a a =−+−− ()()()()233333a a a a a a +=−+−+− ()()2333a a a a −−=+− ()()333a a a −=+− 13a =+；（2）解：221121a a a a a a −−++++()()21111a a a a a −−=+++ ()()()()()2211111a a a a a a −−+=+++()()()21211a a a −+=+221212a a a a =−−++．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．【答案】（1）221x −−；（2）2x x −+【分析】（1）根据异分母分式相加减法则，异分母分式相加减，先通分，分母都变为()()11x x +−，变为同分母分式，再加减计算即可；（2）根据异分母分式相加减法则，异分母分式相加减，先通分，使前两项分数的分母都变为()()22x x +−，变为同分母分式，再加减计算，约分化简，再把1−这项写成同分母的形式22x x +−+，再加减计算即可．【详解】（1）原式()()()()111111x x x x x x −+=−+−+−()()()1111x x x x −−+=+−221x −=−；（2）原式()()()()()22412222x x x x x x +=−−+−−+()()()22122x x x −=−+−2222x x x +=−++2x x =−+． 【点睛】本题考查了异分母分式相加减，熟练掌握异分母分式相加减法则是解题的关键．【答案】(1)a b +(2)21m m +【分析】（1）先通分计算括号内，再根据分式的除法法则进行计算即可；（2）先算除法，再通分进行加法运算即可．【详解】（1）解：原式()2222a ab b ab a b a b ab −+=⋅−+()()2a b ab ab b a a b −=⋅+−a ba b −=+；（2）原式()()()()23313321m m m m m m −+=−+⋅+−+111m m =−++ 2111m m −+=+21m m =+．【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，正确的计算．【答案】(1)26m +(2)11x −【分析】（1）通分计算加减法，再约分计算乘除法即可求解； （2）通分计算加减法，再约分计算乘除法即可求解．【详解】（1）解：原式()22224523m m m m m ⎛⎫−=−⋅ ⎪−−−−⎝⎭ ()222923m m m m −−=⋅−−()()()332223m m m m m +−−=⋅−−26m =+；（2）解：原式22121x x x x x x ⎛⎫++=÷− ⎪⎝⎭211x x x x +−=÷()()111x x x x x +=⋅+−11x =− 【点睛】本题考查分式的混合运算．异分母分式的加减运算关键是通分，分式的乘除运算关键是将分子分母因式分解后进行约分．【答案】3x − 【分析】先将括号内的两个式子通分并化简，然后将除法改为乘法，分子分母调换位置，最后再约分，可得最终化简结果．【详解】解：2569122x x x x −+⎛⎫−÷ ⎪++⎝⎭ 22569222x x x x x x +−+⎛⎫=−÷ ⎪+++⎝⎭()23322x x x x −−=÷++()23223x x x x −+=+−g13x =−．【点睛】本题考查了用公式法因式分解、约分、通分、分式的化简等知识点．熟知分式的化简步骤是解题的关键，同时要将结果化为最简分式或整式．【答案】232a a −++【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，即可求解．【详解】解：22231211a a a a a a −⎛⎫÷−+ ⎪+++⎝⎭ ()()22231111a a a a a a −⎛⎫−=÷− ⎪+++⎝⎭()()()()221221a a a a a a −+=⋅+−+()()12a a a =−++ 232aa a =−++．【点睛】本题主要考查分式的化简，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．【答案】1 【分析】通分，计算括号内，再将除法变成乘法，约分即可．【详解】解：原式()()2a ab a b a a b −−=⋅−1=．【点睛】本题考查分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．【答案】2241x xx ++【分析】再括号外的分式2乘法运算即可化简原式．【详解】解：231111x x x x x x ⎛⎫⋅ ⎭−⎝−−++⎪ ()()()()()()31111111x x x x x x x x x +−−−+=⋅−++22331x x x x x +−+=+2241x x x +=+．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．【答案】1aa −【分析】先计算括号里边的式子，通分化成同分母的分式相加，再计算除法运算即可． 【详解】解：+⎛⎫+÷ ⎪−−−+⎝⎭2a 11a a 1a 1a 2a 1=（a +1a −1+1(a −1)2）÷a a −1=a 2(a−1)2÷a a−1 =a 2(a−1)2×a−1a 1aa =−．【点睛】此题考查学生分式运算，以及完全平方公式、平方差公式的运用，解答此题的关键是把分式化到最简．【答案】26x + 【分析】先通分括号内的式子，然后将括号外的除法转化为乘法，再约分即可．【详解】解：532224x x x x −⎛⎫+−÷ ⎪−−⎝⎭ ()()()2252223x x x x x +−−−=⋅−− ()222923x x x x −−=⋅−− ()()()332223x x x x x +−−=⋅−− ()23x =+ 26x =+．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【答案】2x +，1．【分析】首先把括号内的分式进行通分、相减，把除法转化为乘法，即可化简，最后代入数值计算即可．【详解】解：原式()22121x x x x +−=⨯+− 2x =+，当=1x −时，原式121=−+=．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．【答案】1x −，4 【分析】先计算括号内加法，再计算除法即可得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．【详解】解：22121124x x x x −+⎛⎫+÷ ⎪−−⎝⎭ 222121224x x x x x x −−+⎛⎫=+÷ ⎪−−−⎝⎭()()()211222x x x x x −−=÷−+− ()()()222121x x x x x +−−=⋅−− 21x x +=− 当3x =−时， 原式32113144−+−===−−− 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．【答案】1x −，2−(答案不唯一) 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从1−，0，1和2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子，即可解答本题．【详解】解： 原式211(2)(2)1(2)x x x x x −−+−=⋅−−2212x x x x −+=⋅−−21x x +=−，∵1x ≠，2x ≠±∴当0x =时，原式02201+==−−(答案不唯一)．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是掌握分式混合运算法则．【答案】2，当2m =时，值为12−【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m 的值代入进行计算即可．【详解】解：22221369m m m m −⎛⎫+÷ ⎪−−+⎝⎭()()2323321m m m m −+−=⋅−−()()231321m m m m −−=⋅−−32m −=， 3010m m −≠−≠，，31m m ∴≠≠，，∴当2m =时，原式23122−==−【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．【答案】3a b −+，11− 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a 、b 的值代入进行计算即可．【详解】解：原式()()()()2232251=222a b a b a b b a a b a b a b a ⎡⎤−+−÷−−⎢⎥−−−⎣⎦ ()()()2222531=224a b a b a a b a b a b −−−÷−−−()()222321=29a b a b a a b a b a −−−−⋅−()()()()23321=32a b a b a a b a b a b a −−+−−−⋅()31=3a b a a b a −−+ ()()()=3333b a b a a b a b a a +−++− 23a b =−+， 解方程组51a b a b +=⎧⎨−=−⎩得23a b =⎧⎨=⎩，当2,3a b ==时，原式有意义，∴原式2223311=−=−+⨯．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则是解题的关键．【答案】4【分析】根据2222244x y x y A x xy y x y −+=⋅+++，即可化简求值． 【详解】解：∵2222244x y x y A x xy y x y −+÷=+++ ∴()()()22222224422x y x y x y x y x y x y A x xy y x y x y x y x y +−−++−=⋅=⋅=++++++ 当2,1x y ==时，2112214A −==+⨯ 【点睛】本题考查分式的化简求值．将分子分母正确的进行因式分解是解题关键．【答案】2a +，5【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从2−，2，3中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可． 【详解】解：22224a a a a a ⎛⎫−÷ ⎪−−⎝⎭ ()()22222222a a a a a a a a +−⎛⎫−=−⨯ ⎪−−⎝⎭()()22222a a a a a +−=⋅−2a =+，∵要使分式有意义，a 不能取0和2±，∴当3a =时，原式325=+=．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式除法和减法的运算法则．【答案】26x −−；6− 【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．【详解】解：233139x x x +⎛⎫+÷ ⎪−−⎝⎭ ()()333333x x x x x ++−=÷−+− ()()33363x x x +−=−⋅− ()23x =−+26x =−−，当()()330x x +−=，即3x =或3x =−时，分式没有意义，当0x =时，原式266x =−−=−．【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键．【答案】()122x −；14042【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：2142422x x x x x +⎛⎫+÷ ⎪+−+⎝⎭ ()2142222x x x x x ⎡⎤++÷⎢⎥+−+⎣⎦=()()()()()()224222222222x x x x x x x x x ⎡⎤−++÷⎢⎥+−+−⎣⎦++= ()()22422224x x x x x ++=⋅+−+()122x =−，当2023x =时，原式()112202324042==⨯−．【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．【答案】3a +【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【详解】解：()()()()23333233231339323323a a a a a a a a a a a a a a a a −+−+−+−−⎛⎫+÷=⋅=⋅=+ ⎪−−−−−−⎝⎭，当3=a 时，原式33=+=【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．【答案】(1)无解(2)无解【分析】（1）去分母，化为整式方程求解，注意检验；（2）去分母，化为整式方程求解，注意检验；【详解】（1）解：2216124x x x ++=−−−，两边同时乘以2(4)−x ，得22(2)16(4)x x −++=−−， 44164x −−+=，2x =，2x =时，240x −=∴原方程无解．（2）解：两边同时乘以2(9)x −，得32(3)12x x −++=，39x =，3x =，3x =时，290x -=∴原方程无解．【点睛】本题考查分式方程的求解；掌握分式方程的求解步骤，注意检验是解题的关键．【答案】(1) 1.5x =(2)无解【分析】（1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．【详解】（1）解：2111x x x +=−−， 去分母得：12x x +−=，移项合并同类项得：23x =，系数化为1得： 1.5x =，检验：把 1.5x =代入1x −得：1.510.50−=≠，∴ 1.5x =是原方程的解．（2）解：2216124x x x −−=+−，去分母得：()222164x x −−=−，去括号得：2244164x x x −+−=−，移项合并同类项得：48x −=，系数化为1得：2x =−，检验：把2x =−代入得：()2240−−=，∴2x =−是原方程的增根，∴原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意最后要对方程的解进行检验．【答案】(1)4x =；(2)原分式方程无解．【分析】（1）方程两边乘以最简公分母()22x x −，把分式方程转化成整式方程求解即可； （2）方程两边乘以最简公分母()()22x x +−，把分式方程转化成整式方程求解即可．【详解】（1）解：()21522x x x x +=−， 方程两边同乘()22x x −，得482510x x −+=−，解得：4x =，检验：当4x =时，()22160x x −=≠，4x ∴=是原方程的解，∴原方程的解为4x =；（2）解：2224162424x x x x x −++=+−−，()()()()2221622222x x x x x x +−−=+−+−，()()22162222x x x x x x −+−=+−+−，方程两边都乘()()22x x +−，得：()()222216x x −−+=，解得：2x =−，检验：当2x =−时，()()220x x +−=，∴2x =−是增根，即原分式方程无解．【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． ） ）．【答案】见解析【详解】解：（1），去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣1），得：x2﹣2（x ﹣1）=x （x ﹣1），x2﹣2x+2=x2﹣x ，﹣x=﹣2，x=2，经检验：x=2是原分式方程的解；（2）去分母，方程两边同时乘以x2﹣1，得：（x+1）2﹣4=x2﹣1，x2+2x+1﹣4=x2﹣1，2x=2，x=1，经检验：x=1不是原分式方程的解，原分式方程无解．【点评】本题是解分式方程，明确解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论；注意去分母时，要同时乘以所有分母的最简公分母，解分式方程时，一定要检验．【答案】(1)1x =(2)2x =【分析】（1）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）去分母，得32x x +−−，解，得1x =，经检验知1x =是分式方程的解；（2）原方程变形得()()23111111x x x x +=+−+− 去分母，得()()213111x x −++=， 解，得2x =，经检验知2x =是原方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．。

分式知识点和典型习题（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义2、下列分式中，最简分式有（）题型二：考查分式有意义的条件1、当x有何值时，下列分式有意义题型三：考查分式的值为0的条件1、当x取何值时，下列分式的值为（1）（2）先0.(3)2x 2x 3~2x 5x 61、下列代数式中: x 1-，2x是分式的有:2 2 2 2 2 7 2223x x y m n m 1 a2ab bA • 2个B• 3个 C •4个D3、下列各式： a b x 3 5 y •3 2 1x 12x4 A.1个 B.2个 C.3个• 5个a b 1，电上,丄（x y）中，是分式的共有（）(1) (2) 3xx22 (3) 2x2 1(4)(5)1、、a b x2y2x ya3x y m2n2m 1 a22ab b2题型四：考查分式的值为正、负的条件 1、( 1)当x 为何值时，分式—为正；8 x(2) 当X 为何值时，分式一5 % 2为负;3 (x 1)2(3) 当x 为何值时，分式—为非负数•x 3(二) 分式的基本性质及有关题型1 •分式的基本性质：A —B B M B M2 •分式的变号法则：二二 2 ab b b b题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 1、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数题型二：分数的系数变号2、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号(1)亠x y(2)(3)(1)(2)0.2a 0.03b 0.04 a b(3)0.4a -b5题型三：考查分式的性质1、若分式—y中X、y的值都增加到原来的3倍，则分式的值（）xA、不变B 、是原来的3倍C 、是原来的- D 、是原来的-3 92 22、若分式-一匕中x、y的值都增加到原来的3倍，则分式的值（）xyA、不变B 、是原来的3倍C 、是原来的- D 、是原来的-3 9题型三：化简求值题1、已知：--5，；x y求2x 3xy 2y的值.2 x 2xy y、已知：畀3，求2a 3ab 2b的值. b ab a3、已知：X 12，求}<x2厶的值. 4x、若|x y 1| (2x 3)20，求1的值4x 2y5、已知与互为相反数，代数式的值6、若a2 2a b 2 6b 10 0，求詐的值.7 、如果1 x 2，试化简泊月弓（三）分式的运算1 •确定最简公分母的方法：① 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ② 最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幕2.确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;②取分子、分母相同的字母因式的最低次幕.题型一：通分1、将下列各式分别通分.（1） ____ b ____ ； ⑵ ____________________________ b —；2ab ，3a 2c ，5『c 'a b ，2b 2a ，题型二：约分 1、约分:22 2 2（1）；(2) ；(3) x 2 X 220 xym nx x 6(3)1 x2~2 ， 2， 2 x x12xxx x 2(4) a2,题型三：分式的混合运算 1、计算:（1）（乜）3 （―）2 （竺）4;c ab a题型四：化简求值题 1、先化简后求值2（1）已知：x 1，求分子1 -8 ［（Z 4 1）（丄丄）］的值; X 2 4 4x2 x(3)m 2n n mn 2m m n n m2(4)旦 a 1 ；a 1(5 )1 (x 1)(x 1)1 (X 1)(x 3)1 (x 3)(x 5)(6) x 2 4(x 2 4x 4x 2)x 2 2x (TT )求xy 2x2yz V 3xzz 2的值; (2)(x3a l)3(x 2 y题型五：求待定字母的值 例、若12^X ——，试求M,N 的值.x1 x 1 x 1（四）、整数指数幕与科学记数法题型一：运用整数指数幕计算 计算：（1）（a 2） 3 （be 1）3（ 2）（3x 3y 2z 1） 2 （5xy 2z 3）2题型二：化简求值题题型三：科学记数法的计算【例 3】计算：(1)(3 10 3) (8.2 10 2)2 ； (2) (4 10 3)2 (2 10 2)3.(3)35[(a b) (a b) ]2 [2 4 ](a b) (a b)3(4) [(x y) (x2 2y) ] (xy)(5)(15) (5) 2 1 11 (1 -3)0(0.25)2007 42008【例2】已知x x5，求（1）x 2 x 2的值；（2）求x 4 x 4的值.（五）、分式中的变形求值x 2y 3 2y 3xy x已知2x 3xy 2y—，则——的值为x 2xyy5x y3 13、x — 型的: 变形x①若1 x 3，2则4 %2。

2020—2021八年级下学期专项冲刺卷（苏科版）专项10.1分式有意义的条件及求值姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟 满分：120分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果分式3x x +有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x ≠3B ．x ≠﹣3C ．x ≠0D ．x ＞﹣3 【答案】B【分析】根据分式有意义的条件可得x ＋3≠0，再解之即可得出答案．【详解】解：由题意得：x ＋3≠0，解得：x ≠﹣3，故选：B ．【点睛】此题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是熟知分母不为零．2．若分式13x -无意义，则x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠B ．3x =C ．3x <D ．3x > 【答案】B【分析】根据分式无意义的条件，即可求解．【详解】∵式13x -无意义， ∴x -3=0，即：3x =，故选B ．【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，掌握分式的分母不等于0.是解题的关键．3．若分式24x x -+的值为0，则x 的值是（ ） A ．2B ．2-C ．4-D ．0 【答案】A【分析】根据分式的值为0的条件可直接进行求解．【详解】解：∵分式24x x -+的值为0， ∴20x -=且40x +≠，解得：2x =；故选A ．【点睛】本题主要考查分式的值为零，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．4．若分式122x x -+的值为零，则x 的值等于（ ） A ．﹣1B ．0C ．2D ．1 【答案】D【分析】根据分式值为零的条件列出10x -=，且值需保证220x +≠，即可得到答案．【详解】 解：要使分式122x x -+的值为零，必须10x -= ，220x +≠ ， 解得，1x = ，故选：D ．【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．5．若分式224+-x x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠B ．2x ≠-C ．2x ≠且2x ≠-D ．2x ≠或2x ≠-【答案】C【分析】直接利用分式有意义则分母不能为0，进而得出答案．【详解】 解：分式224+-x x 有意义， 则x 2-4≠0，解得：x ≠2且x ≠-2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．6．若a 2-3a +1＝0，则a 2+21a 的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【分析】先由原等式得a 2+1＝3a ，利用等式的基本性质两边同除以a ，可得13a a+=，再两边同时平方后得出222112a a a a ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，即可计算出结果． 【详解】解：由a 2－3a +1＝0得a 2+1＝3a ，∵a ≠0，给a 2+1＝3a 两边同除以a ，得13a a +=， 则22222111122a a a a a a a a ⎛⎫+=+⨯⨯+=++ ⎪⎝⎭， ∴222112927a a a a ⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】 本题考查了求分式的值，根据已知求出222112a a a a ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是解题的关键．7．若1113a b -=，则ab a b-的值是（ ） A ．3- B ．13- C ．3 D ．13- 【答案】A【分析】 先根据1113a b -=求出ab 与a -b 的关系，再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵1113b a a b ab --==，即ab =-3（a -b ）， ∴原式=()3a b a b ---=-3． 故选：A ．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．8．若分式211x x -+值为0，则x 的值为（ ） A ．1B ．±1C ．2-D ．2【答案】A【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0，据此解答即可．【详解】 解：根据题意得，21=010x x ⎧-⎨+≠⎩， 解得：x =1，故选：A ．【点睛】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．9．下列各式中，是分式的是（ ）A ．1x x +B ．32x y +C ．3xD ．1x π- 【答案】A【分析】根据分式的定义逐项分析即可．【详解】 A.1x x +的分母含字母，是分式； B.32x y +的分母不含字母，不是分式； C.3x 的分母不含字母，不是分式； D.1x π- 的分母不含字母，不是分式； 故选A ．【点睛】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．10．分式31x x -+在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．1x =-B ．1x ≠-C ．3x ≠D ．3x ≠- 【答案】B【分析】根据分式的分母不为0即可求解．【详解】解：因为该分式有意义，∴10x +≠，∴1x ≠-．故选：B ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，其中，牢记分母不为0是解题的关键．11．式子12x -有意义，则x 满足的条件是（ ） A ．x ≠0B ．x ＞0C ．x ＞2D ．x ≠2【答案】D【分析】根据分式有意义的条件解答．【详解】解：要使分式12x-有意义，必须满足：x-2≠0，即x≠2，故选D．【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键．12．要使式子32m+有意义，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2，且m≠2B．m≠2C．m≥﹣2 D．m≥2【答案】B【分析】根据立方根及分式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】解：∵322mm+-有意义，∴m﹣2≠0，解得m≠2．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．分式261xx-+有意义的条件是________．【答案】1x≠-【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：要使分式261xx-+有意义，必须x+1≠0，解得，x≠﹣1，故答案是：x≠﹣1．此题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是熟知分式的分母不为0．14．若分式1x有意义，则x的取值范围是_____．【答案】0x≠；【分析】根据分式有意义的条件可得x≠0．【详解】解：由题意得：x≠0，故答案为：0x≠．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．15．下列各式：15（1﹣x），43xπ-，222x y-，1x+x，23xx，其中是分式的有_____个．【答案】2【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：15（1﹣x），43xπ-，222x y-，分母中都不含字母，因此它们是整式，而不是分式．1 x +x，23xx，分母中含有字母，因此是分式．分式有两个，故答案为：2．【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以43xπ-，不是分式，是整式．16．若分式32x-的值为负数，则x的取值范围是_______．【答案】2x<【分析】根据分式值为负的条件列出不等式求解即可．解：∵32x -＜0 ∴x-2＜0，即2x <．故填：2x <．【点睛】本题主要考查了分式值为负的条件，根据分式小于零的条件列出不等式成为解答本题的关键．17．已知x ﹣1x ＝1，则4221x x x-+的值为_____． 【答案】2【分析】将已知等式去分母整理后，代入原式计算即可得到结果．【详解】解：∵x ﹣1x＝1 ∴x 2﹣1＝x ，∴x 2＝x +1，∴原式＝2221)1(x x x -+ ＝(1)11x x x +++ ＝211x x x +++ ＝111x x x ++++ ＝2(1)1x x ++ ＝2，故答案为：2．【点睛】此题考查了分式的值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．若分式2824x x -+的值为正数，则x 的取值范围为_____． 【答案】4x <先说明分母是非负数，再根据分式的值是正数列式进行计算即可得解．【详解】∵20x ≥∴2+40x >∵分式2824x x -+的值为正数 ∴820x ->∴4x <故答案为4x <．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．先化简，再求值：2321(2)22m m m m m -++-÷++，从﹣2，﹣1，1，2中选取一个你认为合适的m 值代入求值． 【答案】11m m +-；0 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的数代入求值即可．【详解】 原式()22134222m m m m m -⎛⎫-=+÷ ⎪+++⎝⎭ ()221221m m m m -+=⨯+- ()()()211221m m m m m -++=⨯+-11m m +=- ∵要使得原分式运算有意义，∴2m ≠-和1，选择1m =-代入化简结果，原式11011-+==--． 【点睛】本题考查分式的化简求值问题，熟练掌握分式的混合运算法则，理解分式有意义的条件是解题关键．20．先化简，再求值：（21a a +﹣2）÷2222a a a a+-+，其中a 2﹣4＝0． 【答案】1a -，1【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，然后结合条件求值即可．【详解】 原式()()()221212a a a a a a a +--+=÷+ ()211a a a a -=⨯- 1a =-∵240a -=，且原分式运算中，2a ≠-，∴2a =，代入化简结果得：原式211=-=．【点睛】本题考查分式的化简求值问题，掌握分式的混合运算法则，并注意分式有意义的条件是解题关键．21．先化简分式：（22244a a a a --+－32a -）234a a -÷-，再从2，3，4这三个数中取一个合适的数作为a 的值代入求值．【答案】a ＋2，6【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式，然后结合分式有意义的条件选择合适的数字代入求解即可．【详解】解：原式()()()()22223232a a a a a a a ⎡⎤-+-=-⨯⎢⎥---⎢⎥⎣⎦()()223223a a a a a a +-⎡⎤=-⨯⎢⎥---⎣⎦ ()()22323a a a a a +--=⨯-- 2a =+由原式可得：23a ≠±，，∴符合条件的数只有4a =，代入化简结果得：原式=6．【点睛】本题考查分式的化简求值问题，掌握分式混合运算法则，并注意结合分式有意义的条件是解题关键．22．先化简，再求值：21111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，请在-1、0、1、2当中选出一个合适的数a 代入求值． 【答案】1a a +；23【分析】先根据分式的运算法则化简，然后代入一个使原分式有意义的a 的值即可．【详解】 解：原式=()()22211111111a a a a a a a a a a a ⎛⎫-+-÷=⨯= ⎪-+-+-⎝⎭， ∵a ≠-1、0、1，∴当a =2时，原式22213==+． 【点睛】此题考查的是分式的化简求值，掌握分式的各个运算法则和分式有意义的条件是解决此题的关键． 23．先化简再求值：22293(4)232y x y y x y x y x y y x--+÷--+-，x 2＝4y 2． 【答案】2x x y -；12【分析】根据分式的运算法则先化简，然后代入条件求解即可．【详解】原式()()()()2423332232x y x y x y x y y y x y x y x y y x --+-⎡⎤=+÷-⎢⎥--+-⎣⎦ ()2313232x y y x yx y y x -=⨯---- 3322x y y x y y x-=--- 2x x y=- 由条件可得：2x y =±，且由分式有意义的条件可得：2x y ≠，∴2x y =-，代入化简结果得： 原式21222y y y -==--． 【点睛】本题考查分式的化简求值问题，掌握分式的运算法则并注意分式有意义的条件是解题关键． 24．已知y =，求2x y 的值． 【答案】18【分析】由y =可得：3x =且3,x ≠ 可得x 的值，再求解,y 从而可得答案．【详解】 解：y =303030x x x ⎧-≥⎪∴-≥⎨⎪-≠⎩3x ∴=且3,x ≠3,x ∴=-0+0+122,33y ∴==--- ()()223218.x y ∴=-⨯-=-【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性的应用，分式有意义的条件，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．。

分式测试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是分式？A. \( \frac{1}{x} \)B. \( 3x + 2 \)C. \( \frac{x}{y} \)D. \( \frac{3}{2x} \)答案：B2. 分式 \( \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) 可以化简为：A. \( x \)B. \( x + 1 \)C. \( x - 1 \)D. \( 1 \)答案：B3. 如果 \( \frac{a}{b} \) 是一个分式，且 \( a \) 和 \( b \) 都是正整数，那么 \( \frac{a}{b} \) 的值：A. 总是大于1B. 总是小于1C. 可以是任何实数D. 总是等于1答案：C二、填空题4. 分式 \( \frac{2x^2 - 3x}{x - 3} \) 的值为0的条件是_______ 。

答案：\( x = \frac{3}{2} \)5. 如果 \( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1 \)，那么\( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \) 的值为 _______ 。

答案：3三、解答题6. 化简分式 \( \frac{3x^2 - 12x + 12}{x^2 - 4} \) 。

答案：首先分解分子和分母的因式，得到 \( \frac{3(x -2)^2}{(x - 2)(x + 2)} \)，然后约去公共因子 \( (x - 2) \)，得到 \( \frac{3(x - 2)}{x + 2} \)。

7. 解分式方程 \( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{x(x + 1)} \)。

答案：首先找到分母的最小公倍数，即 \( x(x + 1) \)，然后将方程两边同乘以 \( x(x + 1) \) 以消除分母，得到 \( x + 1 - x = 2 \)，解得 \( x = 3 \)。

分式单元复习一、选择题1．下列各式中，不是分式方程的是（ ）111..(1)1111.1.[(1)1]110232x A B x x x x x xxC D x x x -=-+=-+=--=+-2．如果分式2||55x x x -+的值为0，那么x 的值是（ ）A ．0B ．5C ．－5D ．±53．把分式22x yx y +-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（ ）A ．不变B ．扩大2倍C ．扩大4倍D ．缩小2倍4．下列分式中，最简分式有（ ）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b -++-++----A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．分式方程2114339x x x +=-+-的解是（ ）A ．x=±2B ．x=2C ．x=－2D ．无解6．若2x+y=0，则2222x xy y xy x ++-的值为（ ）A ．－13.55B - C ．1 D ．无法确定7．关于x 的方程233x kx x =+--化为整式方程后，会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为0，则k 的值为（）A ．3B ．0C ．±3D ．无法确定8．使分式224x x +-等于0的x 值为（ ）A ．2B ．－2C ．±2D ．不存在9．下列各式中正确的是（ ）....a b a b a ba bA B a b a b a b a ba b a ba b a b C D a b a b a b b a-++--==-----++--+-+-==-+-+-10．下列计算结果正确的是（ ）22222211..()223..()955b a a b A B a ab a b ab a a m n n xy xy C D xy x x m a a --=-÷-=-÷=÷= 二、填空题1．若分式||55y y--的值等于0，则y= __________ ． 2．在比例式9:5=4:3x 中，x=_________________ ．3．计算:1111b a b a a b a b++---=_________________ ． 4．当x> __________时，分式213x--的值为正数． 5．计算:1111x x ++-=_______________ ． 6．当分式2223211x x x x x +++--与分式的值相等时，x 须满足_______________ ． 7．已知x+1x =3，则x 2+21x = ________ ． 8．已知分式212x x +-:当x= _ 时，分式没有意义；当x= _______时，分式的值为0；当x=－2时，分式的值为_______． 9．当a=____________时，关于x 的方程23ax a x +-=54的解是x=1． 10．一辆汽车往返于相距akm 的甲、乙两地，去时每小时行mkm ，•返回时每小时行nkm ，则往返一次所用的时间是_____________．三、解答题1．计算题:2222444(1)(4);282a a a a a a a --+÷-+--222132(2)(1).441x x x x x x x --+÷+-+-2．化简求值．（1）（1+11x -）÷（1－11x -），其中x=－12；（2）213(2)22x x x x x -÷-+-++，其中x=12．3．解方程:（1）1052112x x +--=2； （2）2233111x x x x +-=-+-．4．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3，5－，时，求代数式22212211x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？•请你写出具体的解题过程．5．对于试题：“先化简，再求值：23111x x x----，其中x=2．”小亮写出了如下解答过程： ∵ 2313111(1)(1)1x x x x x x x ---=----+- ① 31(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+--+-+ ② =x －3－（x+1）=2x －2， ③∴当x=2时，原式=2×2－2=2． ④（1）小亮的解答在哪一步开始出现错误： ① （直接填序号）；（2）从②到③是否正确： 不正确 ；若不正确，错误的原因是 把分母去掉了 ；（3）请你写出正确的解答过程．6．小亮在购物中心用12.5元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒便宜0.5元．因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用去14元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多25，•问他第一次在购物中心买了几盒饼干？分式单元复习题及答案一、选择题1．下列各式中，不是分式方程的是（D ）111..(1)1111.1.[(1)1]110232x A B x x x xx x x C D x x x -=-+=-+=--=+- 2．如果分式2||55x x x-+的值为0，那么x 的值是（B ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．±53．把分式22x y x y+-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（A ） A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小2倍4．下列分式中，最简分式有（C ）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b-++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个5．分式方程2114339x x x +=-+-的解是（B ） A ．x=±2 B ．x=2 C ．x=－2 D ．无解6．若2x+y=0，则2222x xy y xy x++-的值为（B ） A ．－13.55B -C ．1D ．无法确定 7．关于x 的方程233x k x x =+--化为整式方程后，会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为0，则k 的值为（A ） A ．3 B ．0 C ．±3 D ．无法确定8．使分式224x x +-等于0的x 值为（D ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不存在9．下列各式中正确的是（C ）....a b a b a b a bA B a ba b a b a b a ba ba b a b C D a b a b a b b a -++--==-----++--+-+-==-+-+-10．下列计算结果正确的是（B ）22222211..()223..()955b a a b A B a ab a b ab a a m n n xy xy C D xy x x m a a --=-÷-=-÷=÷= 二、填空题1．若分式||55y y--的值等于0，则y= －5 ． 2．在比例式9：5=4：3x 中，x= 2027． 3．1111b a b a a b a b ++---的值是 2()a b ab+ ． 4．当x> 13 时，分式213x--的值为正数． 5．1111x x ++-= 221x - ． 6．当分式2223211x x x x x +++--与分式的值相等时，x 须满足 x ≠±1 ． 7．已知x+1x =3，则x 2+21x= 7 ． 8．已知分式212x x +-，当x= 2 时，分式没有意义；当x= －12 时，分式的值为0；当x=－2时，分式的值为 34． 9．当a= －173 时，关于x 的方程23ax a x +-=54的解是x=1． 10．一辆汽车往返于相距akm 的甲、乙两地，去时每小时行mkm ，•返回时每小时行nkm ，则往返一次所用的时间是 （a a m n+）h ． 三、解答题1．计算题．2222222444(1)(4);28241(2)1.(2)(4)424a a a a a a a a a a a a a a --+÷-+----==-+--+解:原式 2222132(2)(1).441(1)(1)1(1)(2)1.(2)112x x x x x x x x x x x x x x x x --+÷+-+-+----==-+--解:原式 2．化简求值．（1）（1+11x -）÷（1－11x -），其中x=－12； 解：原式=1111111122x x x x x x x x x x -+---÷==-----． 当x=－12时，原式=15． （2）213(2)22x x x x x -÷-+-++，其中x=12． 解：原式=22(1)(2)(2)3121(2)(1)2211x x x x x x x x x x ---+++÷=-=-+-++--． 当x=12时，原式=43． 3．解方程．（1）1052112x x+--=2； 解：x=74． （2）2233111x x x x +-=-+-． 解：用（x+1）（x －1）同时乘以方程的两边得，2（x+1）－3（x －1）=x+3．解得 x=1．经检验，x=1是增根．所以原方程无解．4．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3，5－，时，求代数式22212211x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？•请你写出具体的解题过程．解：原式=2(1)1(1)(1)2(1)x x x x x -++--=12． 由于化简后的代数中不含字母x ，故不论x 取任何值，所求的代数式的值始终不变．所以当x=3，5－，时，代数式的值都是12． 5．对于试题：“先化简，再求值：23111x x x----，其中x=2．”小亮写出了如下解答过程： ∵ 2313111(1)(1)1x x x x x x x ---=----+- ①31(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+--+-+ ② =x －3－（x+1）=2x －2， ③∴当x=2时，原式=2×2－2=2． ④（1）小亮的解答在哪一步开始出现错误： ① （直接填序号）；（2）从②到③是否正确： 不正确 ；若不正确，错误的原因是 把分母去掉了 ；（3）请你写出正确的解答过程．解：正确的应是：23111x x x ----=312(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x -++=-+-++ 当x=2时，原式=23． 6．小亮在购物中心用12.5元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒便宜0.5元．因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用去14元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多25，•问他第一次在购物中心买了几盒饼干？解：设他第一次在购物中心买了x 盒，则他在一分利超市买了75x 盒． 由题意得：12.51475x x -=0.5 解得 x=5．经检验，x=5是原方程的根．答：他第一次在购物中心买了5盒饼干．。

-------------分式的意义和性质（★★）1、理解和掌握分式的概念；2、通过类比分数探究分式有意义的条件和分式值为零的条件，初步形成运用类比转化的思想方法解 决问题的能力。

3、通过类比方法的教学，知道事物之间是普遍联系又是变化发展的辨证观点。

4、通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分式的基本性质；掌握约分的方法和最简分式的化简方法。

知识结构 能准确地辨别分式与整式明确分式有意义和值为零的条件灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形及最简分式的化简方法M B M A BA ⨯⨯= MB M A BA ÷÷=1.本部分建议时长5分钟.2.让学生回答分式无意义的条件，简述分式性质内容，老师给与补充。

“知识结构”这一部分的教学，可采用下面的策略：1.本部分建议时长20分钟.2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题.3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型.4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题.分式的意义：例题1x 取何值时，下列分式无意义？（★★）（1）x x 212+ , (2) 25++x x , (3) 252++x x (4) xx x )1(-。

（1）x=0（2）x=-2是比较容易得出答案的。

（3）中分母x 2+2无论x 取何值时，x 2+2都不可能为零，所以这个分式总是有意义的。

（4）中分子与分母有相同的因式x,有学生说“可以将这个因式约去，这个式子就变成了x-1, 也就是变成了一个整式，所以也总是有意义的。

”这种想法是错误的，看一个代数式是不是分式，要看原来的式子，将分式约分是可以的，但必须有这个前提：被约去的因式不能为零。

分式测试题及答案一、选择题1. 分式的基本性质是（）A. 分子分母同时乘以一个不为0的数，分式的值不变B. 分子分母同时除以一个不为0的数，分式的值不变C. 分子分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变D. 以上都不对答案：C2. 已知分式\(\frac{a}{b}\)，如果\(b=0\)，则分式（）A. 无意义B. 有意义C. 等于0D. 等于1答案：A3. 将分式\(\frac{3x^2}{2x^2-4x+2}\)化为最简形式，正确的是（）A. \(\frac{3x}{2-x}\)B. \(\frac{3x}{x-1}\)C. \(\frac{3x}{2x-1}\)D. \(\frac{3x}{x-2}\)答案：B二、填空题1. 计算分式\(\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+1}\)的和，结果为______。

答案：\(\frac{5x+1}{x^2-1}\)2. 若分式\(\frac{2x-3}{x^2-4}\)有意义，则x不能等于______。

答案：±2三、计算题1. 计算并简化\(\frac{2x^2-4x+2}{x^2-9}\)。

答案：\(\frac{2(x-1)^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{2}{x+3}\)（当\(x \neq 3\)）2. 计算并简化\(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2-1}\)。

答案：\(\frac{2}{x^2-1}\)四、解答题1. 已知\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，求\(\frac{ad}{bc} = \)。

答案：12. 若\(\frac{2}{3} \leq \frac{a}{b} < 1\)，求\(\frac{a}{b} +\frac{1}{a}\)的取值范围。

答案：\(\frac{5}{3} \leq \frac{a}{b} + \frac{1}{a} < 2\)五、证明题1. 证明：若\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，则\(\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}\)。

分式专项练习(50题练习)分式专项练习（50题练习）是一种通过训练学生对前面所学内容的深入思考和练习理解，从而提高学生数学能力的训练方式。

同时，有助于学生把学到的基础知识和技能运用到实际问题中，从而提高学生的数学水平。

在分式专项练习中，学生要解决的50道题目都是围绕分式这一主题展开的，要求学生可以掌握分式的基本概念，并能够正确推理，形成准确的答案。

下面以一道分式题为例来说明这种训练方法：已知分式$\frac{3x-2}{2x+1}$，求该分式等于$\frac{m}{n}$，其中$m, n$为整数。

解：根据题意，将$\frac{3x-2}{2x+1}$化简为$\frac{m}{n}$，即可得到$m=3x-2$，$n=2x+1$由于$m, n$为整数，则$3x-2=m$，$2x+1=n$，联立方程求解可得：$x=\frac{m+n}{5}$代入原式得到：$\frac{3x-2}{2x+1}=\frac{m}{n}$因此，已知分式$\frac{3x-2}{2x+1}$，求该分式等于$\frac{m}{n}$，其中$m, n$为整数，解得$x=\frac{m+n}{5}$以上就是分式专项练习（50题练习）的一般性解题步骤，具体的50道题目可以根据学生的学习情况，以及老师的要求，结合分式的概念和具体的知识点，来编辑不同的题目。

优点：（1）分式专项练习能够培养学生的独立思考能力，强化学生对分式的理解，帮助学生掌握分式的相关知识。

（2）分式专项练习能够加强学生对分式的分析能力，使学生具备解决实际问题的能力。

（3）分式专项练习有利于学生运用基本知识，提高学生的数学水平，从而更好地应对实际生活中的问题。

缺点：（1）分式专项练习要求学生具备良好的基础知识，如果学生的基础知识不扎实，可能会发生错误的理解，从而影响学生的学习效果。

（2）分式专项练习要求学生具备较强的自学能力，如果学生学习能力较弱，可能会受到学习压力，从而影响学习效果。

分式知识点及典型例题一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是，分式的分母不能为 0，因为分母为 0 时，分式没有意义。

例如：＼（＼frac{x}｛y}＼），＼（＼frac{a ＋ b}｛c}＼）都是分式，而\（＼frac{3}｛5}＼）（分母不含有字母）就不是分式。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。

即：对于分式\（＼frac{A}｛B}＼），当\（B ≠ 0\）时，分式有意义。

例如：对于分式\（＼frac{x ＋ 1}｛x 2}＼），要使其有意义，则\（x 2 ≠ 0\），即\（x ≠ 2\）。

三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时，要同时满足两个条件：1、分子为 0，即\（A ＝ 0\）；2、分母不为 0，即\（B ≠ 0\）。

例如：若分式\（＼frac{x 3}｛x ＋ 5}＼）的值为 0，则\（x 3 ＝ 0\）且\（x ＋5 ≠ 0\），解得\（x ＝ 3\）。

四、分式的基本性质分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。

用式子表示为：＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A×C}｛B×C}＼），＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A÷C}｛B÷C}＼）（＼（C ≠ 0\））例如：＼（＼frac{2}｛3} ＝＼frac{2×2}｛3×2} ＝＼frac{4}｛6}＼），＼（＼frac{6}｛9} ＝＼frac{6÷3}｛9÷3} ＝＼frac{2}｛3}＼）五、约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是确定分子与分母的公因式。

例如：对分式\（＼frac{6x}｛9x^2}＼）进行约分，分子分母的公因式为\（3x\），约分后为\（＼frac{2}｛3x}＼）六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

《分式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节作业的目标是巩固学生对分式的基本概念的理解，通过具体的分式运算实践，使学生熟练掌握分式的性质，理解并应用分式化简的基本法则。

通过独立完成作业的过程，学生将体验问题解决的逻辑性和思维的连贯性。

二、作业内容1. 复习概念：a. 要求学生复述分式的定义和性质。

b. 解释并掌握最简公分母的求法。

2. 基础练习：a. 分式的通分与约分。

- 题目：将下列各分式通分并化简（不要求化简到最简形式）。

- 示例：分式 A/B 与 C/D 的通分过程。

b. 分式的加减法。

- 题目：进行分式的加减运算，要求学生正确理解“同分母分数直接加减分子”的原理。

- 示例：求解（A·B' + B·A'）/ B的算式结果。

3. 综合应用：a. 实际问题中的分式运算。

- 题目：结合生活实际，设计一些涉及分式运算的实际问题，如“某地平均每人每天用水量”等。

- 要求：学生运用所学知识解决实际问题，并解释解题过程。

三、作业要求1. 学生需在理解概念的基础上进行作业练习，严禁不理解直接抄答案的行为。

2. 在完成基础练习时，要求答案的完整性和解题步骤的连贯性，如出现计算错误，应附有相应的纠正步骤。

3. 对于综合应用题，要求答案贴近生活实际，解题过程清晰明了，并能够正确运用所学知识进行解答。

4. 作业需独立完成，严禁抄袭他人作业或使用外部资源。

5. 作业需按时提交，不得拖延或遗漏。

四、作业评价教师将根据以下标准进行作业评价：1. 学生对概念的理解程度；2. 解题步骤的连贯性和完整性；3. 计算结果的准确性；4. 作业的原创性和独立思考程度；5. 是否按时提交作业。

五、作业反馈教师将根据学生的作业情况进行详细的反馈：1. 对学生的正确答案给予肯定和鼓励；2. 对学生的错误答案进行详细指导，帮助学生找出错误原因并纠正；3. 对学生的作业表现给予评价和建议，鼓励学生继续努力；4. 将学生的优秀作业进行展示和分享，树立榜样作用。

初二10.1 分式1、在有理式 , 12 (x+y), 23xy , 7b-22a+3 , , 中,分式有 ( )A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个2、无论x 取什么值，下列各式中总有意义的是 （ ）A 、 21x x -B 、211x x -+C 、()2211x x ++D 、11x x -+ 3、若x 满足 则x 的值为 （ ） A 、负数 B 、正数 C 、非正数 D 、非负数4、有理式33x x x x -+- 有意义的条件是 （ ） A 、x ≠0 B 、x ≠±3 C 、x ≠3 D 、x ≠－35、若分式a-b a+b的值为零，则a 与b 应满足 （ ） A 、a=b B 、a 与b 互为相反数 C 、a=b=0 D 、a=b ≠06、在分式 中，当y= 时，分式无意义；当y= 时，分式值为零。

7、在分式 中，当x= 时，分式有意义；当x= 时，分式值为零8、当x= 时，分式 值为零9、当x= 时，分式 值为零。

10、当x= 时，分式 没有意义；当x 时，分式217x x --有意义11、一车上山，上山速度为x 千米/时，下山速度为y 千米/时，则该车的平均速度为＿＿千米/时.12、小明参加打靶比赛,有a 次打了m 环,b 次打了n 环,则此次打靶的平均成绩是________；13、一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是______元；14、x 为何值时，分式2122-++x x x 的值为负数？ 3x 3as -22a b a b -+1,x x=-2131y y +-211x x ++211x x -+2454x x x --+284x x +-15、当x 取何值时，分式242x x --的值为零？。

分式习题及解答一、基础知识回顾在开始解答分式题之前，我们先回顾一下分式的基本概念和运算规则。

分式（Fraction）是表示两个数的比值的表达式，由分子和分母组成，分子在上方，分母在下方，中间用一条水平分数线隔开。

分式的一般形式为 $\displaystyle \frac{a}{b}$，其中 $a$ 为分子，$b$ 为分母。

是表示两个数的比值的表达式，由分子和分母组成，分子在上方，分母在下方，中间用一条水平分数线隔开。

分式的一般形式为 $\displaystyle \frac{a}{b}$，其中 $a$ 为分子，$b$ 为分母。

分式的运算规则包括四个基本运算：加法、减法、乘法和除法。

这些运算规则与整数的运算规则类似，但在具体的计算过程中需要注意分式相加、相减、相乘、相除的特点。

包括四个基本运算：加法、减法、乘法和除法。

这些运算规则与整数的运算规则类似，但在具体的计算过程中需要注意分式相加、相减、相乘、相除的特点。

二、分式题及解答题一计算下列分式的值：1. $\displaystyle \frac{3}{4} + \frac{5}{8}$2. $\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{1}{6}$3. $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}$4. $\displaystyle \frac{2}{3} \div \frac{4}{5}$解答一1. $\displaystyle \frac{3}{4} + \frac{5}{8} = \frac{6}{8} +\frac{5}{8} = \frac{11}{8}$2. $\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} -\frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$3. $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 3}{2 \times 4} = \frac{3}{8}$4. $\displaystyle \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} =\frac{5}{6}$题二下列题中，找出与给定分式相等的分式：1. $\displaystyle \frac{2}{3}$ ： $\displaystyle \frac{4}{6}$2. $\displaystyle \frac{7}{10}$ ： $\displaystyle \frac{14}{20}$3. $\displaystyle \frac{3}{5}$ ： $\displaystyle \frac{6}{10}$4. $\displaystyle \frac{5}{8}$ ： $\displaystyle \frac{10}{16}$解答二1. $\displaystyle \frac{2}{3}$ ： $\displaystyle \frac{4}{6}$2. $\displaystyle \frac{7}{10}$ ： $\displaystyle \frac{14}{20}$3. $\displaystyle \frac{3}{5}$ ： $\displaystyle \frac{6}{10}$4. $\displaystyle \frac{5}{8}$ ： $\displaystyle \frac{10}{16}$由分式的性质可知，分子和分母同时乘以同一个非零数，得到的分式与原分式相等。