第四章 梁的内力第一节 工程实际中的受弯杆受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。
图4－1中列举了例子并画出了它们的计算简图。
如图（a ）表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB 受到由楼板传递来的均布荷载q ；图（b ）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC 受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c ）表示的是一小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d ）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m 的作用。
a房屋建筑中的大梁b简易挡水结构中的斜梁c小跨度公路桥地纵梁d机械传动装置中的蜗杆图4-1 工程实际中的受弯杆1.1 梁的受力与变形特点 综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲．．。
在工程实际中受弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。
1.2 平面弯曲的概念工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对．．．称面．．（如图4－2），当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲．．．．。
它是工程中最常见也最基本的弯曲问题。
1.3 梁的简化——计算简图的选取工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。
为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图．．．．。
选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。
图4-2 梁的平面弯曲一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：（1）梁本身简化——以轴线代替梁，梁的长度称为跨度；（2）荷载简化——将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等；（3）支座简化——主要简化为以下三种典型支座：（a）活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4－3（a）所示。
这种支座只限制梁在沿垂直于支承平面方向的位移，其支座反力过铰心且垂直于支承面，用Y A表示。
（b）固定铰支座，其构造与支座简图如图4－3（b）所示。
这种支座限制梁在支承处沿任何方向的线位移，但不限制角位移，其支座反力过铰心两互相垂直分力，用X A、Y A表示。
（c）固定端支座，其构造与支座简图如图4－3（c）所示。
这种支座限制梁端的线位移（移动）及角位移（转动），其反力可用三个分量X A、Y A及m A来表示。
图4－1中所示几种工程实际中梁的计算简图就是采用上述简化方法得出来的。
A枢轴梁辊轴支承垫板A梁Aa活动铰支座Ab固定铰支座AAm Ac固定端支座图4-3 三种典型支座1.4 梁的基本形式根椐梁的支座形式和支承位置不同，简单形式的梁有如下三种形式： （1）简支梁。
梁的支座为一端固定铰，一端活动铰（如图4－4（a ））； （2）外伸梁。
简支梁两端或一端伸出支座之外（如图4－4（b ），（c ））； （3）悬臂梁。
梁的支座为一端固定，一端自由（如图4－4（d ））。
() 简支梁2() 一端外伸梁() 两端外伸梁() 悬臂梁图4-4 梁的类型这三种梁的共同特点是支座反力仅有三个，可由静力平衡条件全部求得，故也称为静定梁．．．。
第二节 梁的内力——剪力和弯矩2.1 截面法求梁的内力为进行梁的设计，需求梁的内力，求梁任一截面内力仍采用截面法，以图4－5（a ）为例，梁在外力（荷载P 和反力Y A 、Y B ）作用下处于平衡状态。
在需求梁的内力x 处用一假想截面m-n 将梁截开分为两段。
取任意一段，如左段为脱离体。
由于梁原来处于平衡状态，取出的任一部分也应保持平衡。
从图4－5（b ）可知，左脱离体A 端原作用有一向上的支座反力Y A ，要使它保持平衡，由0Y =∑和0M =∑，在切开的截面m-n 上必然存在两个内力分量：内力Q 和内力偶矩M 。
内力分量Q 位于横截面上，称为剪力．．；内力偶矩M 位于纵向(YB图4-5 用截面法求梁的内力对称平面内，称为弯矩．．。
对左脱离体列平衡方程：由0Y =∑,有Y A－Q ＝0则得 由0cM=∑，有0A Y x M ⋅-=则得 A M Y x =⋅注意此处是对截面形心c 取矩，因剪力Q 通过截面形心c 点，故在力矩方程中为零。
同样可取右脱离体，由平衡方程求出梁截面m-n 上的内力Q 和M ，其结果与左脱离体求得的Q 、M 大小相等，方向（或转向）相反，互为作用力与反作用力关系。
为使梁同一截面内力符号一致，必须联系到变形状态规定它们的正负号。
若从梁m-n 处取一微段梁dx ，由于剪力Q 作用会使微段发生下错动的剪切变形。
我们规定：使微段梁发生左端向上而右端向下相对错动的剪力Q 为正（如图4－6（a ）），反之为负（如图4－6（b ））；使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M 为正，反之为负（如图4－6（c ）、(d )）。
根据如上符号规定，图4－5中m-n 截面内力符号均为正。
下面举例说明怎样用截面法求梁任一截面的内力。
例4－1外伸梁如图4－7（a ），已知均布荷载q 和集中力偶2m qa =,求指定1-1、2-2、3-3截面内力。
(c )(d )图4-6 剪力，弯矩的正负号规定之一2(c )Q (d )图4-7 例题4-1图解（1）求支座反力设支座反力Y A 、Y B 如图所示。
由平衡方程0AM =∑ 5202B Y a m qa a ⋅--⋅= 得 74B Y qa =由0Y =∑ 0AB YY qa -+-=得 34A Y q a = 由0BM=∑校核支座反力223220242A a qa Y a m qa qa a qa ⋅--⋅=⋅--=所求反力无误。
（2）求1-1截面内力由1-1截面将梁分为两段，取左段梁为脱离体，并假设截面剪力Q 1和弯矩M 1均为正．．．，如图4-7（b ）所示。
由0Y =∑ 10AYQ --=得 134A Q Y qa =-=- 由10M=∑ 10A Y a M m ⋅+-=得 2221344A q M m Y a qa qa a =-⋅=-= 求得的Q 1结果为负值，说明剪力实际方向与假设相反，且为负剪力；M 1结果为正值，说明弯矩实际转向与假设相同，且为正弯矩。
（3）求2-2截面（B 截面右侧一点）内力由2-2截面将梁分为两段，取右段梁为脱离体，截面上剪力Q 2和弯矩M 2均设为正，如图4-7（c ）。
由0Y =∑ 20Qq a -=得 2Q q a = 由20M =∑ 202aM q a --⋅= 得 222qa M =-（4）求3-3截面（D 截面左侧边一点）内力取右端为脱离体，3-3截面无限靠近D 点，线分布力q 的分布长度趋于0，则3-3截面上Q 3＝0，M 3＝0。
2.2截面法直接由外力求截面内力的法则上例说明了运用截面法求任一截面内力的方法。
因脱离体的平衡条件0Y =∑的含义为：脱离体上所有外力和内力在Y 轴方向投影的代数和为零。
其中只有剪力Q 为未知量，移到方程式右边即得直接由外力求任一截面剪力的法则：（1）某截面的剪力等于该截面一侧所有外力在截面上投影的代数和，即Y Q Y =∑∑左侧外力右侧外力（或） （4-2-1） 代数和中的符号为截面左侧向上的外力（或右侧向下的外力）使截面产生正的剪力，反之产生负剪力，如图4-8（a ）所示，截面上的剪力为正。
同样，脱离体平衡条件0cM=∑的含义为：脱离体上所有外力和内力对截面形心取力矩的代数和为零。
其中只有弯矩M 为未知量，移到方程右边即得直接由外力求任一截面弯矩的法则：(b )外Q (+)PM (+)(a )图4-8 剪力，弯矩的正负号规定之二左上右下 剪力为正左顺右逆弯矩为正（2）某截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和，即M c c M M =∑∑右侧外力左侧外力（或） （4-4-2） 代数和中的符号为截面的左边绕截面顺时针转的力矩或力偶矩（或右边绕截面逆时针转的力矩或力偶矩）使截面产生正的弯矩，反之产生负弯矩。
如图4-8（b ）所示，截面上的弯矩为正。
这样，运用上述两法则就不必取脱离体，可用式（4-2-1）和（4-2-2）直接由截面左侧（或右侧）外力计算任一截面剪力和弯矩。
此两法则是由截面法推出的，但比截面法用起来更方便快捷，对于求梁的内力极为有用，必须熟练掌握。
读者可用此方法验证例4-1的结果是否正确。
第三节 剪力图与弯矩图在一般情况下，梁截面上的内力（剪力和弯矩）随截面位置x 的不同而变化，故横截面的剪力和弯矩都可表示为截面位置x 的函数，即(),()Q Q x M M x ==通常把它们分别叫做剪力方程．．．．和弯矩方程．．．．。
在写这些方程时，一般是以梁左端为x 坐标原点，但为计算方便，有时也可将原点取在梁右端或梁上任意点。
由剪力方程和弯矩方程，我们可以了解剪力和弯矩沿全梁各截面上的变化情况，从而找出最大内力截面即危险截面作为将来设计的依据。
为了形象地表示剪力、弯矩沿梁长的变化情况，可根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图．．．和弯矩图．．．。
根据剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图的方法与前面轴力图及扭矩图作法类似，即以梁横截面沿轴线的位置为横坐标x ，以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，按照适当的比例绘出Q ＝Q （x ）或M ＝M （x ）的曲线。
绘制剪力图时，一般规定正号剪力画在x 轴上侧，负号剪力画在x 轴下侧，并注上正负号；绘制弯矩图时则规定正弯矩画在x 轴的下侧，负弯矩画在x 轴的上侧，这也就是把弯矩图画在梁受拉的一侧，以便钢筋混凝土梁根据弯矩图配置钢筋。
弯矩图可以不注正负号。
由剪力图和弯矩图可直观确定梁剪力、弯矩的最大值及其所在截面位置。
例4-2 作图4-9（a ）所示简支梁受均布荷载的剪力图和弯矩图。
ql 2ql2=177.5kN图图ql2=276.9kN.m2()()()图4-9 例题4-2图解 （1）求支座反力 由0Y =∑和对称条件知2A B ql Y Y ==（2）列出剪力方程和弯矩方程：以左端A 为原点，并将x 表示在图上。
()()02A qlQ x Y qx qx x l =-=-<< （a ） ()()20222Ax x ql qx M x Y qa x x l =-⋅=-≤≤ （b ）注意，由于反力/2A Y ql =的指向是朝上的，它将使梁的任一截面上产生正号的剪力和弯矩，因此在式（a ）和式（b ）中它们的符号均为正；由于均布荷载q 的指向是朝下的，它将使左段梁的任一截面上产生负号的剪力和弯矩，分布力q 的合力为分布力图的面积qx ,且作用在分布力图的形心2x处，而分布力对截面形心的力矩的大小为其合力乘以合力到截面形心的距离即2x qx ⋅，因此在式（a ）中的qx 项和式（b ）中的22qx 项都带负号。
