方差分析

方差分析方差分析是比较多个总体的均值是否相等，但本质上它所研究的是变量之间的关系。

在研究一个（或多个）分类型自变量与一个数值型因变量之间的关系时，方差分析就是其中的只要方法之一。

一、方差分析引论假设需要检验4个总体的均值分别为4321,,,μμμμ，如果用一般假设检验方法，如t 检验，一次只能研究两个样本，要检验4个总体的均值是否相等，需要做6次检验，如果在0.05的置信水平下检验，每次检验犯第Ⅰ类错误的概率都是0.05，检验完成时，犯第Ⅰ类错误的概率会大于0.05，即连续作6次检验第Ⅰ类错误的概率为6)1(1α--=0.265,而置信水平则会降低到0.735（即695.0）。

随着增加个体显著性检验的次数，偶然因素导致差别的可能性也会增加（并非均值真的存在差别）。

而方差分析方法则是同时考虑所有的样本，因此排除了错误累计的概率，从而避免拒绝一个真实的原假设。

1、方差分析及其有关术语方差分析：就是通过检验各总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。

例1：为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。

其中零售业7家，旅游业抽取6家，航空公司抽取5家，家电制造业抽取5家。

最后统计出最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数。

如下表所示。

消费者对四个行业的投诉次数行业零售业 旅游业 航空业 家电制造业57 68 31 44 66 39 49 51 49 29 21 65 40 45 34 77 34 56 40 58 53 51 44要分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，实际上就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响，做出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等。

在方差分析中，要检验的对象称为因素或因子。

因素不同的表现称为水平或处理。

每个因子水平下得到的样本数据称为观测值。

在例1中，“行业”是要检验的对象，称为“因素”或“因子”；零售业，旅游业，航空公司，家电制造业是行业这一因素的具体表现，称为“水平”或“处理”；在每个行业下得到的样本数据（被投诉次数）称为观测值。

第九章方差分析前面介绍了两个样本均数比较的t检验，那么多个样本均数的比较应该采用什么方法？方差分析(analysis of variance, ANOV A)是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，由英国著名统计学家R.A.Fisher提出，又称F检验，是通过对数据变异的分析来推断两个或多个样本均数所代表总体均数是否有差别的一种统计学方法。

本章首先介绍方差分析的基本思想和应用条件，然后结合研究设计类型分别介绍各类方差分析方法。

第一节方差分析的基本思想和应用条件一、方差分析的基本思想方差分析的基本思想是把全部观察值间的变异按设计类型的不同，分解成两个或多个组成部分，然后将各部分的变异与随机误差进行比较，以判断各部分的变异是否具有统计学意义。

例9.1 为研究大豆对缺铁性贫血的恢复作用，某研究者进行了如下实验：选取已做成贫血模型的大鼠36只，随机等分为3组，每组12只，分别用三种不同的饲料喂养：不含大豆的普通饲料、含10%大豆饲料和含15%大豆饲料。

喂养一周后，测定大鼠红细胞数(×1012/L)，试分析喂养三种不同饲料的大鼠贫血恢复情况是否不同？表9.1 喂养三种不同饲料的大鼠红细胞数(×1012/L)普通饲料10%大豆饲料15%大豆饲料合计X 4.78 4.65 6.80 4.65 6.92 5.913.984.447.284.04 6.167.51 3.445.997.51 3.776.677.743.65 5.298.194.91 4.707.154.795.058.185.316.01 5.534.055.677.795.16 4.688.03in12 12 12 36 (n)i X ∑ 52.53 66.23 87.62 206.38(X ∑)i X4.385.52 7.30 5.73 (X ) 2i X ∑ 234.2783373.2851647.73121255.2946(2X ∑)表9.1按完全随机设计获得的36个数据(X )中包含以下三种变异： 1. 总变异 36只大鼠喂养一周后测定红细胞数X 各不相同，即X 与总均数X 不同，这种变异称为总变异(total variation)。

什么是方差分析关键信息项：1、方差分析的定义2、方差分析的目的3、方差分析的应用场景4、方差分析的类型5、方差分析的步骤6、方差分析的结果解读7、方差分析的局限性8、方差分析与其他统计方法的比较11 方差分析的定义方差分析（Analysis of Variance，简称 ANOVA）是一种用于比较两个或多个总体均值是否存在显著差异的统计方法。

它通过分析数据的变异来源，来判断不同因素对观测变量的影响程度。

111 基本原理方差分析基于总体方差可以分解为各个因素所引起的方差之和的原理。

通过比较不同因素水平下的组间方差和组内方差，来确定因素对观测变量的影响是否显著。

112 数学模型一般来说，方差分析的数学模型可以表示为：观测值＝总体均值＋因素效应＋随机误差。

12 方差分析的目的其主要目的是检验不同水平的因素对因变量的均值是否有显著影响。

121 探究因素的作用确定哪些因素对观测结果有重要影响，哪些因素的影响可以忽略不计。

122 比较不同处理的效果例如在实验研究中，比较不同实验处理条件下的结果是否存在显著差异。

13 方差分析的应用场景131 农业科学用于比较不同种植方法、施肥量、品种等对农作物产量的影响。

132 医学研究分析不同药物剂量、治疗方案对患者康复效果的差异。

133 工业生产研究不同生产工艺、原材料对产品质量的作用。

134 社会科学例如在心理学、教育学中，比较不同教学方法、教育环境对学生成绩或心理状态的影响。

14 方差分析的类型141 单因素方差分析只考虑一个因素对观测变量的影响。

142 双因素方差分析同时考虑两个因素的交互作用对观测变量的影响。

143 多因素方差分析涉及多个因素及其交互作用对观测变量的综合影响。

15 方差分析的步骤151 提出假设包括零假设（各总体均值相等）和备择假设（至少有两个总体均值不相等）。

152 计算统计量根据数据计算组间平方和、组内平方和等，进而得到 F 统计量。

153 确定显著性水平通常设定为 005 或 001 等。

方差分析一．方差分析的概念及意义方差分析，又称“变异数分析”或“F检验”，用于两个及两个以上样本均数差别的显著检验。

由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。

造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究种施加的对结果形成影响的可控因素。

方差分析的意义，工业生产中产品质量优劣，农业生产中产量高低，由诸多因素造成。

如农业生产中，肥料，浇灌，良种，管理等；化工生产中，原料成分，催化剂，剂量，反应温度，压力，溶液，机器设备与操作人员水平。

每种因素的改变，可影响产品质量与数量，那么在诸因素中找出对质量的某种指标有显著影响的因素，还要弄清这些显著因素在什么状态下（水平）起的作用大。

方差分析就是根据试验结果进行分析，鉴别各个因素对试验结果影响的有效方法。

二．方差分析的基本思想根据实验设计的类型及研究目的,将全部观察值之间所表现出来的总变异,分解为两个或多个部分。

除随机误差作用外,其余每个部分的变异均可由某个因素的作用加以解释。

通过比较不同变异来源的均方(MS),借助F分布做出统计推断,从而推断研究因素对试验结果有无影响三．方差分析的假定条件及假设检验3.1方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。

（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。

（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。

（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。

3.2方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K 个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。

如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。

否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。

四．方差分析中的常用术语4.1 因素（Factor）因素是指所要研究的变量，它可能对因变量产生影响。

如果方差分析只针对一个因素进行，称为单因素方差分析。

anova方差分析ANOVA（Analysis of Variance，方差分析）是一种统计分析方法，用于比较两个或两个以上样本的均值是否具有显著差异。

它通过计算总体方差以及各组内部的方差，来推断样本之间的差异是否随机发生。

一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过对总体方差进行分解，将样本之间的差异归结为因子差异和误差差异两个部分。

当因子差异显著大于误差差异时，我们可以得出结论：样本之间存在显著差异，即各组均值不全相等。

在方差分析中，我们通常将因子称为自变量，将被观察的变量称为因变量。

自变量可以是分类变量（如不同的药物治疗方法）或连续变量（如不同的剂量水平）。

因变量可以是定量变量（如收缩压）或定性变量（如治疗成功与否）。

二、单因素方差分析单因素方差分析是最简单的一种方差分析形式，适用于只有一个自变量的情况。

假设我们有k个独立的样本，每个样本包含n个观测值。

我们的目标是判断不同样本之间的均值是否存在显著差异。

为了进行单因素方差分析，我们需要计算各组样本的均值和方差。

然后，我们通过计算组间差异（组间方差）和组内差异（组内方差）来评估总体方差。

在显著性检验中，我们会计算F值，通过与临界F值进行比较来判断差异是否显著。

三、多因素方差分析在实际应用中，我们往往需要考虑多个自变量对因变量的影响。

这时，我们就需要使用多因素方差分析。

多因素方差分析可以同时考虑多个自变量之间的交互作用，得出更准确的结论。

多因素方差分析的计算方法与单因素方差分析类似，只是要考虑到不同自变量之间的交互作用。

我们需要计算各组样本的均值和方差，并通过计算组间差异和组内差异来评估总体方差。

最后，我们计算F值并与临界F值进行比较，判断差异是否显著。

四、方差分析的应用领域方差分析在各个领域都有广泛的应用。

在医学研究中，方差分析用于比较不同药物或治疗方法的疗效；在社会科学中，方差分析用于比较不同人群之间的行为差异；在工程领域中，方差分析用于比较不同工艺参数对产品质量的影响等等。

第九章 方差分析第一节 方差分析的基本原理及步骤一、方差分析的基本原理假设从一个实验中抽取了9名被试的学习成绩，如表9-1所示。

随后又抽取了9名被试的学习成绩，如表9-2所示。

你能从这些数据发现什么问题吗？首先，从数据可知，不仅组与组之间存在不同，而且同一组内部也存在着不同。

前者称组间变异，后者称组内变异。

其次，从组间变异看，表9-1组间变异大于表9-2。

表9-1 第1次抽取结果表9-2 第2次抽取结果 方法 学生实验成绩 Xt X方法 学生实验成绩 Xt XA 6 5 7 6A 1 7 4 4B 11 9 10 10 7B 6 2 8 6 5C5465C3655再次，从看组内变异看，表9-1比 9-2差异小。

综上所述，表10-1组间变异较大而组内变异较小，表10-2组间变异较小而组内变异较大，组间变异大小与组内变异大小并非正比关系。

这表明，若组间变异与组内变异的比率越大，各组平均数的差异越大。

因此，通过组间变异和组内变异比率大小来推论几个相应平均数差异显著性的思想就是方差分析的逻辑依据或基本原理。

所以说，方差分析是将实验中的总变异分解为组间变异和组内变异，并通过组间变异和组内变异比率的比较来确定影响实验结果因素的数学方法，其实质是以方差来表示变异的程度。

总变异组间变异实验条件随机误差组内变异个体差异随机误差实验误差图10-1 总变异的分解图二、方差分析的基本过程（一）综合虚无假设与部分虚无假设方差分析主要处理多于两个的平均数之间的差异检验问题，需要检验的虚无假设就是“任何一对平均数”之间是否有显著性差异。

综合虚无假设：样本所归属的所有总体的平均数都相等 备择假设：至少有两个总体的平均数不相等（二）方差的可分解性总变异 = 组间变异 + 组内变异变异（V ariance ，用V 表示）即方差（S 2），又称均方差或均方（M ean S quare ，MS ），其公式为()df SS n X X MS V S =--=∑1),(22或或其中，分子为离均差平方和，简称平方和，记为SS ；分母为自由度，记为df ，所以总变异及各变异源记为w b t MS MS MS +=总变异的数学意义是每一原始分数（X ）与总平均数（t X ）的离差，记为()tX X -组间变异的数学意义是每一组的平均数（i X ）与总平均数的离差，记为()t iX X-组内变异的数学意义是每一组内部的原始分数与其组平均数（i X ）的离差，记为()iX X -（二）总变异的分解及各部分的计算 1．平方和的分解与计算 1）平方和的定义式根据变异的可加性，任何一个原始分数都有()()()i t itX X X XX X -+-=-对容量为n 的某一小组而言，则有()()()[]∑∑-+-=-i t it X X X XX X为了使平方和不为0，须做代数的处理，即有()()()[]22∑∑-+-=-i t itX X X XX X对k 组页言，则有()()()[]∑∑∑∑-+-=-22ititX X X X X X()()()()∑∑∑∑∑∑-+--+-=222iititiX X X X X X X X ∵ ()()0=--∑∑i t iX X X X∴ ()∑∑-2tX X ()()∑∑∑∑-+-=22itiX X X X即 总平方和 = 组间平方和 + 组内平方和 或 w b t SS SS SS += 2）平方和的计算式()()nX XX X 222∑∑∑-=-总平方和：()()∑∑∑∑∑∑∑-=-=nX X X X SS t t 222组间平方和：()()()∑∑∑∑∑∑∑-=-=n X n X X X SS tib222组内平方和：()∑∑-=2i wX X SS ()∑∑-=2i w X X SS b tSS SS-=例9-1：要探讨噪音对解决数学问题的影响。

方差分析简介1. 引言方差分析（analysis of variance，简称ANOV A）是一种假设检验方法，即基本思想可概述为：把全部数据的总方差分解成几部分，每一部分表示某一影响因素或各影响因素之间的交互作用所产生的效应，将各部分方差与随机误差的方差相比较,依据F分布作出统计推断，从而确定各因素或交互作用的效应是否显著。

因为分析是通过计算方差的估计值进行的，所以称为方差分析。

方差分析的主要目标是检验均值间的差别是否在统计意义上显著。

如果只比较两个均值，事实上方差分析的结果和t检验完全相同。

只所以很多情况下采用方差分析，是因为它具有如下两个优点：（1）方差分析可以在一次分析中同时考察多个因素的显著性，比t检验所需的观测值少；（2）方差分析可以考察多个因素的交互作用。

方差分析的缺点是条件有些苛刻，需要满足如下条件：（1）各样本是相互独立的；（2）各样本数据来自正态总体（正态性：normality）；（3）各处理组总体方差相等（方差齐性：homogeneity of variance）。

因此在作方差分析之前，要作正态性检验和方差齐性检验，如不满足上述要求，可考虑作变量变换。

常用的变量变换方法有平方根变换，平方根反正弦变换、对数变换及倒数变换等。

方差分析在医药、制造业、农业等领域有重要应用，多用于试验优化和效果分析中。

2. 单因素方差分析2.1 基本概念（1）试验指标：在一项试验中，用来衡量试验效果的特征量称为试验指标，有时简称指标，也称试验结果，通常用y表示。

它类似于数学中的因变量或目标函数。

试验指标用数量表示称为定量指标，如速度、温度、压力、重量、尺寸、寿命、硬度、强度、产量和成本等。

不能直接用数量表示的指标称为定性指标。

如颜色，人的性别等。

定性指标也可以转化为定量指标，方法是用不同的数表示不同的指标值。

（2）试验因素：试验中，凡对试验指标可能产生影响的原因都称为因素(factor)，也称因子或元，类似于数学中的自变量。