辽宁省葫芦岛一中2018届高三下学期周考(四)数学(文)试卷

辽宁省葫芦岛市（新版）2024高考数学统编版质量检测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若函数的值域为.则的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题已知菱形的边长为，则将菱形以其中一条边所在的直线为轴，旋转一周所形成的几何体的体积为（）A．B．C．D．第(3)题《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体．如图所示，在羡除中，底面为矩形，和均为正三角形，∥平面，，则该羡除的外接球的表面积为（）A．B．C．D．第(4)题等比数列为递减数列，若，，则（）A．B．C．D．6第(5)题已知复数满足，则（）A．B．C．1D．第(6)题已知函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（）A．B．C．D．第(7)题函数恒有，且在上单调递增，则的值为（）A．B．C．D．或第(8)题设集合,,则 ( )A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则下列关于函数说法正确的是（）A．函数有一个极大值点B．函数在上存在对称中心C．若当时，函数的值域是，则D．当时，函数恰有6个不同的零点.第(2)题已知函数，，则下列说法正确的是（）A．在上是增函数B．，不等式恒成立，则正实数a的最小值为C．若有两个零点，，则D ．若，且，则的最大值为第(3)题在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（）A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为D．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点，则线段长度的最大值为__________.第(2)题直线与抛物线交于A､B两点，则___________.第(3)题已知函数，若函数有且只有三个零点，则实数的值为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知在平面直角坐标系中，动点、都在曲线（为参数）上．（1）若以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；（2)若动点、分别为曲线参数方程参数分别取，值时的点，且，求线段中点到坐标原点距离的最小值．第(2)题设为数列的前项和，已知，.（1）证明：为等比数列；（2）求的通项公式，并判断是否成等差数列？第(3)题如图，在几何体中，平面底面，四边形是正方形，，是的中点，且，.（1）证明：；（2）若，求几何体的体积.第(4)题在极坐标系中，已知圆和直线相交于两点，求线段的长.第(5)题在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．(1)求c的值；(2)求的值；(3)求的值．。

2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高一（上）第一次月考数学试卷一．选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则（∁I A）∪（∁I B）等于（）A．{0} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}2．不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集是（）A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≥1或x≤2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞1或x＜2}3．设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素（x，y}映射成集合B中的元素（x+y，x﹣y），则在映射f下，象（2，1）的原象是（）A．（3，1） B．（，）C．（，﹣）D．（1，3）4．满足条件{1，2，3}⊊M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（）A．8 B．7 C．6 D．55．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）6．已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．f（x）= B．f（x）=﹣C．f（x）= D．f（x）=﹣7．函数f（x）=﹣2x2+6x（﹣2＜x＜2）的值域是（）A．B．（﹣20，4）C． D．8．函数，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．函数f（x）=x2+px+q对任意的x均有f（1+x）=f（1﹣x），那么f（0）、f（﹣1）、f（1）的大小关系是（）A．f（1）＜f（﹣1）＜f（0）B．f（1）＜f（0）＜f（﹣1）C．f（0）＜f（﹣1）＜f（1）D．f（﹣1）＜f（0）＜f（1）10．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆A∩B成立的所有a的集合是（）A．{a|1≤a≤9} B．{a|6≤a≤9} C．{a|a≤9} D．∅11．已知二次函数f（x）=x2+x+a（a＞0），若f（m）＜0，则f（m+1）的值为（）A．负数 B．正数 C．0 D．符号与a有关12．已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（）A．[1，+∞）B．[0.2} C．[1，2]D．（﹣∞，2]二．填空题（本大题共5个小题，共20分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上.）13．如果集合A={x|ax2+2x+1=0}只有一个元素，则实数a的值为．14．设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则ab的值是．15．已知f（x）=x2+1，g（x）是一次函数，若f（g（x））=9x2+6x+2则g（x）的解析式为．16．不等式mx2+mx﹣2＜0的解集为R，则实数m的取值范围为．三．解答题（将答案写在答题卡中相应题号的方框内，只有结果没有步骤不给17．已知A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，3a﹣1，a2+1}，C={x|mx=1}，若A∩B={﹣3}（1）求a的值；（2）若C⊆（A∩B），求m的值．18．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣2（a+1）x+（a2﹣5）=0}，A∪B=A，求实数a的取值范围．19．解关于x的不等式x2﹣（a+）x+1＜0．20．求函数f（x）=x2﹣2ax+2在[﹣1，1]上的最小值g（a）．21．求实数m的取值范围，使关于x的方程x2+2（m﹣1）x+2m+6=0（1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小；（2）两个实根，均在区间（1，3）内．22．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则（∁I A）∪（∁I B）等于（）A．{0} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合补集的含义先求C I A、C I B，再根据并集的意义求（C I A）∪（C I B）．【解答】解：C I A={4}，C I B={0，1}，（C I A）∪（C I B）={0，1，4}，故选C【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集是（）A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≥1或x≤2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞1或x＜2}【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0化为（x﹣1）（x﹣2）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0可化为（x﹣1）（x﹣2）≤0；解得1≤x≤2，∴不等式的解集是{x|1≤x≤2}．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是容易题目．3．设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素（x，y}映射成集合B中的元素（x+y，x﹣y），则在映射f下，象（2，1）的原象是（）A．（3，1） B．（，）C．（，﹣）D．（1，3）【考点】映射．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据映射的定义结合题意可得x+y=2，x﹣y=1，解得x，y的值，即可求出原像（x，y）【解答】解：由映射的定义结合题意可得x+y=2，x﹣y=1，解得x=，y=，故像（2，1）的原像是（，），故选B．【点评】本题主要考查映射的定义，在映射f下，像和原像的定义，属于基础题．4．满足条件{1，2，3}⊊M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】根据题意，分析可得集合M中必须有1，2，3这三个元素，且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素，即M的个数应为集合{4，5，6}的非空真子集的个数，由集合的子集与元素数目的关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，满足题意题意条件的集合M中必须有1，2，3这三个元素，且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素，则M的个数应为集合{4，5，6}的非空真子集的个数，集合{4，5，6}有3个元素，有23﹣2=6个非空真子集；故选C．【点评】本题考查集合间包含关系的判断，关键是根据题意，分析集合M的元素的特点．5．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．6．已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．f（x）= B．f（x）=﹣C．f（x）= D．f（x）=﹣【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，由于已知条件中f（）=，给定的是一个复合函数的解析式，故可用换元法或凑配法解答，但由于内函数为分式形式，凑配起来难度较大，故本题采用换元法解题．【解答】解：令=t，得x=，∴f（t）==，∴f（x）=．故选C【点评】求解析式的几种常见方法：①代入法：即已知f（x），g（x），求f（g（x））用代入法，只需将g（x）替换f（x）中的x即得；②换元法：已知f（g（x）），g（x），求f（x）用换元法，令g（x）=t，解得x=g﹣1（t），然后代入f（g（x））中即得f（t），从而求得f（x）．当f（g（x））的表达式较简单时，可用“配凑法”；③待定系数法：当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．④方程组法：方程组法求解析式的实质是用了对称的思想．一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法．在解关于f（x）的方程时，可作恰当的变量代换，列出f（x）的方程组，求得f（x）．7．函数f（x）=﹣2x2+6x（﹣2＜x＜2）的值域是（）A．B．（﹣20，4）C． D．【考点】函数的值域．【专题】计算题．【分析】先进行配方找出对称轴，判定对称轴是否在定义域内，然后结合二次函数的图象可知函数的单调性，从而求出函数的值域．【解答】解：f（x）=﹣2x2+6x=﹣2（x﹣）2+（﹣2＜x＜2）根据二次函数的开口向下，对称轴为x=在定义域内可知，当x=时，函数取最大值离对称轴较远的点，函数值较小，即当x=﹣2时，函数取最小值﹣20∴函数f（x）=﹣2x2+6x（﹣2＜x＜2）的值域是（﹣20，]故答案为：（﹣20，]【点评】本题主要考查了二次函数的值域，二次函数的最值问题一般考虑开口方向和对称轴以及区间端点，属于基本题．8．函数，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象．【分析】由f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2得关于b和c的两个方程，求出b、c，再分x≤0和x＞0两段，分别解方程f（x）=x即可．【解答】解：由题知，解得b=4，c=2故，当x≤0时，由f（x）=x得x2+4x+2=x，解得x=﹣1，或x=﹣2，即x≤0时，方程f（x）=x有两个解．又当x＞0时，有x=2适合，故方程f（x）=x有三个解．故选C．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式、分段函数、及解方程问题，难度不大．9．函数f（x）=x2+px+q对任意的x均有f（1+x）=f（1﹣x），那么f（0）、f（﹣1）、f（1）的大小关系是（）A．f（1）＜f（﹣1）＜f（0）B．f（1）＜f（0）＜f（﹣1）C．f（0）＜f（﹣1）＜f（1）D．f（﹣1）＜f（0）＜f（1）【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知可判断函数f（x）=x2+px+q的图象开口朝上，且以x=1为对称轴，进而函数在（﹣∞，1]上为减函数，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=x2+px+q对任意的x均有f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）=x2+px+q的图象开口朝上，且以x=1为对称轴，∴函数在（﹣∞，1]上为减函数；∴f（1）＜f（0）＜f（﹣1），故选：B．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．10．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆A∩B成立的所有a的集合是（）A．{a|1≤a≤9} B．{a|6≤a≤9} C．{a|a≤9} D．∅【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】若A⊆A∩B，则A⊆B．比较两个集合的端点即可得到参数a的不等式，解不等式即可得到参数的取值范围．【解答】解：由于B={x|3≤x≤22}，∵A⊆A∩B，∴A⊆B，∴，解得：{a|1≤a≤9}，又A为非空集合，故有2a+1≤3a﹣5，解得a≥6综上得，使A⊆A∩B成立的a的集合是：{a|6≤a≤9}．故选B．【点评】本题考查集合与集合之间的关系，尤其着重考查了集合的包含关系及此时取值范围的界定，为基础题．解题时须注意：（1）A⊆A∩B⇔A⊆B；（2）此类题目容易出现错误的地方为端点值的取舍．11．已知二次函数f（x）=x2+x+a（a＞0），若f（m）＜0，则f（m+1）的值为（）A．负数 B．正数 C．0 D．符号与a有关【考点】函数的值．【专题】规律型．【分析】先由函数y=x2+x，确定小于零时的区间为（﹣1，0），区间长为1，而a＞0，则f（x）图象由函数y=x2+x向上平移，则f（x）小于零的区间长会小于1，再由f（m）＜0，得m+1一定跨出了小于零的区间得到结论．【解答】解：函数y=x2+x在x轴以下的部分时﹣1＜x＜0，总共区间只有1的跨度，又∵a＞0∴f（x）图象由函数y=x2+x图象向上平移，所以小于零的区间长会小于1，又∵f（m）＜0∴m+1一定跨出了小于零的区间，所以f（m+1）一定是正数故选B【点评】本题主要考查函数图象的平移变换，这种变换只是改变了图象在坐标系中的位置，没有改变图象的形状．12．已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（）A．[1，+∞）B．[0.2} C．[1，2]D．（﹣∞，2]【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】将二次函数进行配方，利用二次函数的图象和性质求解a的取值范围．【解答】解：f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，对称轴为x=1．所以当x=1时，函数的最小值为2．当x=0时，f（0）=3．由f（x）=3得x2﹣2x+3=3，即x2﹣2x=0，解得x=0或x=2．∴要使函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a≤2．故选C．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次函数的基本方法．二．填空题（本大题共5个小题，共20分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上.）13．如果集合A={x|ax2+2x+1=0}只有一个元素，则实数a的值为0或1．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】计算题．【分析】讨论a，当a=0时，方程是一次方程，当a≠0时，二次方程只有一个解时，判别式等于零，可求出所求．【解答】解：若集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个解当a=0时，方程可化为2x+1=0，满足条件；当a≠0时，二次方程ax2+2x+1=0有且只有一个解则△=4﹣4a=0，解得a=1故满足条件的a的值为0或1故答案为：0或1【点评】本题考查的知识点是集合元素的确定性及方程根的个数的判断及确定，同时考查了转化的思想，属于基础题．14．设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则ab的值是6．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对原不等式进行等价变形，利用根与系数的关系求出a、b的值，即可得出ab的值．【解答】解：∵不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，∴a＜0，∴原不等式等价于﹣ax2﹣bx﹣1＜0，由根与系数的关系，得﹣1+=﹣，﹣1×3=，∴a=﹣3，b=﹣2，∴ab=6．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．15．已知f（x）=x2+1，g（x）是一次函数，若f（g（x））=9x2+6x+2则g（x）的解析式为g（x）=3x+1或g（x）=﹣3x﹣1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】先设出函数g（x）的表达式，代入f（g（x）），通过系数相等得到关于a，b的不等式组，解出即可．【解答】解：设g（x）=ax+b，则f（ax+b）=（ax+b）2+1=a2x2+2abx+b2+1=9x2+6x+2，∴，解得：或，∴g（x）=3x+1或g（x）=﹣3x﹣1．故答案为：g（x）=3x+1或g（x）=﹣3x﹣1．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，本题是一道基础题．16．不等式mx2+mx﹣2＜0的解集为R，则实数m的取值范围为（﹣8，0]．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】当m=0时，不等式可化为﹣2＜0成立，当m≠0时，不等式mx2+mx﹣2＜0的解集为R，利用对应二次函数的图象与性质列出不等式组，求出解集即可．【解答】解：当m=0时，不等式可化为﹣2＜0，显然成立，当m≠0时，不等式mx2+mx﹣2＜0的解集为R，则对应的二次函数y=mx2+mx﹣2的图象应开口朝下，且与x轴没有交点，故，解得﹣8＜m＜0综上，实数m的取值范围是（﹣8，0]．故答案为：（﹣8，0]．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题目．三．解答题（将答案写在答题卡中相应题号的方框内，只有结果没有步骤不给17．已知A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，3a﹣1，a2+1}，C={x|mx=1}，若A∩B={﹣3}（1）求a的值；（2）若C⊆（A∩B），求m的值．【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】（1）利用集合与元素之间的关系得出a的值，再通过验证是否满足题意即可；（2）先得出集合C，再分类讨论即可．【解答】解：（1）∵﹣3∈B，∴a﹣3=﹣3或3a﹣1=﹣3，解得a=0或．当a=0时，A={0，1，﹣3}，B={﹣3，﹣1，1}，而A∩B={﹣3，1}≠{﹣3}，∴a≠0；当时，A={}，B={}，A∩B={﹣3}．综上得．（2）∵C⊆（A∩B），∴C=∅或{﹣3}．①当C=∅时，m=0，满足题意；②当C={﹣3}时，﹣3m=1，解得满足题意．综上可知：m=0或．【点评】熟练掌握集合的运算和之间的关系及分类讨论是解题的关键．18．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣2（a+1）x+（a2﹣5）=0}，A∪B=A，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】由x2﹣3x+2=0解得x=1，2．可得A={1，2}．由A∪B=A，可得B⊆A．分类讨论：B=∅，△＜0，解得即可．若B={1}或{2}，则△=0，解得即可．若B={1，2}，可得，此方程组无解．【解答】解：由x2﹣3x+2=0解得x=1，2．∴A={1，2}．∵A∪B=A，∴B⊆A．1°B=∅，△=8a+24＜0，解得a＜﹣3．2°若B={1}或{2}，则△=0，解得a=﹣3，此时B={﹣2}，不符合题意．3°若B={1，2}，∴，此方程组无解．综上：a＜﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．【点评】本题考查了集合之间的关系、一元二次方程的解与判别式△的关系，属于中档题．19．解关于x的不等式x2﹣（a+）x+1＜0．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先因式分解，再分类讨论，即可得到不等式的解．【解答】解：∵x2﹣（a+）x+1＜0．∴（x﹣a）（x﹣）＜0，当a＞时，即a＞1或﹣1＜a＜0时，解得＜x＜a，当a＜时，即a＜﹣1或0＜a＜1时，解得a＜x＜，当a=时，即a=±1时，不等式的解集为空集．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及分类讨论的思想，属于基础题．20．求函数f（x）=x2﹣2ax+2在[﹣1，1]上的最小值g（a）．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】对于函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，分对称在区间[﹣1，1]的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得f（x）在[﹣1，1]上的最小值．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，其对称轴方程为x=a，当a＜﹣1时，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，其最小值为g（a）=f（﹣1）=2a+3；当﹣1≤a≤1时，f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a）=f（a）=2﹣a2；当a＞1时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减，其最小值为g（a）=f（1）=3﹣2a．函数f（x）=x2﹣2ax+2在[﹣1，1]上的最小值g（a）=．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．21．求实数m的取值范围，使关于x的方程x2+2（m﹣1）x+2m+6=0（1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小；（2）两个实根，均在区间（1，3）内．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用二次函数的性质，求得实数m的范围．【解答】解：（1）设f（x）=x2+2（m﹣1）x+2m+6，则由题意可得f（2）=6m+6＜0，求得m＜﹣1．（2）由题意可得，求得﹣＜m≤﹣1．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．22．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）【考点】函数的最值及其几何意义；根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；压轴题；函数思想．【分析】（1）观察图一可知此函数是分段函数（0，200）和（200，300）的解析式不同，分别求出各段解析式即可；第二问观察函数图象可知此图象是二次函数的图象根据图象中点的坐标求出即可．（2）要求何时上市的西红柿纯收益最大，先用市场售价减去种植成本为纯收益得到t时刻的纯收益h（t）也是分段函数，分别求出各段函数的最大值并比较出最大即可．【解答】解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为由图二可得种植成本与时间的函数关系为．（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）=f（t）﹣g（t），即h（t）=当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=．所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h（t）=，所以，当t=300时，h（t）取得区间（200，300）上的最大值87.5、综上，由100＞87.5可知，h（t）在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．【点评】本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．。

2024届辽宁省沈阳市郊联体高三下-第四次考数学试题试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-2．已知定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（ ）A ．168B ．249C ．411D ．5613．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 5．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β6．若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则63iz+=( )A ．3B ．5C D ．7．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．08．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．129．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．910．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．1911．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m nx y 的系数之和为（ ）A ．640B ．416C ．406D ．236-12．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。

微专题 立体几何3空间几何体的外接球与内切球——八个模型一些提速的小结论：1.设正三角形边长为a ，则其高h =，外接圆半径r a =，面积2S =；2.设正四面体棱长为a ，则其高h =，外接球半径R =外，内切球半径4h R ==内，体积312V a =，正四面体相对棱的距离为2d =模型一 墙角模型模型解读：类似于三角形有且仅有唯一一个外接圆，将三角形补成平行四边形，则该平行四边形外接圆与三角形外接圆是同一个外接圆；三菱锥有且仅有一个外接球，特殊情况下，将其补成一个长方体，则该长方体与三棱锥有共同的外接球。

根据对称性，长方体体对角线即为外接球的直径。

模型公式：2222)2(c b a R ++=或2222c b a R ++=； 秒杀公式：()222S a b c π=++，()222222V ab c a b c π=++++适用情况：几何体中有三条两两垂直的棱时（非必要条件，见图3）。

（柱体适应模型1）c abCP A Babc 图2PCBAabc 图3CBPAa bc PCO 2BA典型例题例1、已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32例2、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 9π 例3、若三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 29π跟踪练习1、已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为2、若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ A ） A.3B.6C.36D.93、（2018宝鸡模拟）已知底面边长为12的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ D ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π4、（广东省汕头市达濠华桥中学2017-2018学年期末）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑， PA ⊥平面ABC ， 2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ C ）A. 8πB. 12πC. 20πD. 24π5、（2020·安徽高三（理））已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为a ，则这个球的表面积为（ D ）． A ．234a πB ．23a πC ．26a πD ．232a π6、（2020延安高考模拟）刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ B ）A ．B ．C ．D ．7、（2020菏泽高三模拟）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（ C ） A ．B ．C ．D ．8、（2020届·厦门市五月质量检测理6）某三棱锥的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（ B ） A.9π B.27π C.81π D.108π9、已知一个三棱锥的三视图如图，其中俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥的体积为（C ）（A ）2 （B ）43 （C ）23（D ）2210、（2017云南第二次统一检测）已知体积为6的长方体的八个顶点都在球O 的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为343O 的体积等于（ A ） A ．323π B ．73π C ．332πD ．1172π11、（2017江西赣州模拟）在四面体SABC 中，SA ⊥平面ABC ，∠ABC =90°，SA =AC =2，AB =1，则该四 面体的外接球的表面积为 . 8π提升练习1、在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥，若侧棱3SA =三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。

2022-2023学年度上学期高三年级四校期中联考试题数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合|A x y ⎧⎫==⎨⎩，{}||3|2B y y x ==---，则A B ⋃=（）A．∅B．(,2]-∞-C．(,0)-∞D．(,0]-∞2．若复数z 满足()()11i 22i z -+=-，则z =（）C．53．函数3xy a-=（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在椭圆221x y m n+=（0m >，0n >）上，则m n +的最小值为（）A．12B．14C．16D．184．函数()3sin cos 2xxf x x x =+在[]2,2ππ-的图象大致为（）A．B．C．D．5．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另1张也是假钞的概率为（）A．119B．419C．217D．17386．在等腰梯形ABCD 中，//,222,AB DC AB BC CD P ===是腰AD 上的动点，则|2|PB PC -的最小值为（）B．3D．2747．已知变量x ，y 的关系可以用模型kx y c e =⋅拟合，设ln z y =，其变换后得到一组数据下：x16171819z50344131由上表可得线性回归方程4z x a =-+，则c ＝（）A．4-B．4e -C．109D．109e 8．已知双曲线22221(0,>0>)x y a b a b-=左右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且223PF F Q =，若1PQF △为以Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A．3B．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若函数()cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（ω>0）两条对称轴之间的最小距离为2π，则下列说法正确的是（）A．函数()f x 的最小正周期为πB．函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C．将函数()f x 图象向右平移6π个单位长度后所得图象关于y 轴对称D．若()()120f x f x ==，则()122f x x +=10．已知0a >，0b >，4165log 2log 16a b +=，则下列结论正确的是（）A．45a b +=B．542a b +=C．ab 的最大值为2564D．11a b+的最小值为18511．已知点()()1,0,1,0A B -，若圆()()2221221x a y a -++--=上存在点M 满足3MA MB ⋅=，则实数a 的值为（）A．2-B．1-C．2D．012．香囊，又名香袋､花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是（）A．AB ⊥DEB．直线CD 与直线EF 所成的角为45°C．该六面体的体积为3D．该六面体内切球的表面积是3227π三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．()()541213x x -+的展开式中按x 的升幂排列的第3项的系数为___________.14．已知向量a ，b的夹角为60°，且2a = ，1b = ，则2a b -= ________.15．若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__________．16．已知数列{}n a 满足22log 1n n a n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭．给出定义：使数列{}n a 的前k 项和为正整数的k ()*k ∈N 叫做“好数”，则在[]1,2021内的所有“好数”的和为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数()()sin 002f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若()2cos cos a c B b C -=，求2A f ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.18．（12分）在数列{}n a 中，()111,01nn n a a a c ca +==>+，且125,,a a a 成等比数列．（1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()2141n n n b n a a +=+，其前n 项和为n S ，证明：1n S n <+．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，//BC AD ，90BAD ∠=︒，244PA AD AB BC ====，PC =（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）线段AB 上是否存在一点M ，使得MC 与平面PCD 所成角的正弦值为17?若存在，请求出AMAB的值；若不存在，请说明理由.20．（12分）随着疫情的有效控制，某校学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供A 、B 两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A 类套餐的概率为23、选择B 类套餐的概率为13．而前一天选择了A 类套餐第二天选择A 类套餐的概率为14、选择B 套餐的概率为34；前一天选择B 类套餐第二天选择A 类套餐的概率为12、选择B 类套餐的概率也是12，如此往复．记某同学第n 天选择A 类套餐的概率为n P ．（1）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择A 类套餐的人数为X ，求X 的分布列并求()E X ；（2）证明数列25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n P 的通项公式；（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐．如果你是组长，如何安排分发A 、B 套餐的同学的人数呢，说明理由．21．（12分）已知2,33P ⎛ ⎝⎭是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>与抛物线E ：()220y px p =>的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F .(1)求椭圆C 及抛物线E 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为34-（注：O 为坐标原点），点M 是线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求BM MN的值.22．（12分）已知函数()ln a ef x x x-=+，其中e 是自然对数的底数．（1）设直线22y x e=-是曲线()()1y f x x =>的一条切线，求a 的值；（2）若a R ∃∈，使得()0f x ma +≥对()0x ∀∈+∞，恒成立，求实数m 的取值范围．2022-2023学年度上学期高三年级四校期中联考试题数学试卷答案1．C 2．D3．C4．C5．C 6．C7．D8．C．．9．AC 10．BCD．11．BD12．AD13．26-14．2.15．(0,2]e 16．202617．解：（1）由图象知M 1=，5ππT 4π,ω2126⎛⎫=-== ⎪，18．证明：（1）由11n na ca +=+，得c a a =+，即c a a -=，19．详解：（1）证明： 平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，90BAD ∠=︒，AD ∴⊥平面PAB ，PA ⊂ 平面PAB ，AD PA ∴⊥，20．解：（1）第二天选择A 类套餐的概率2111134323A P =⨯+⨯=；故()01231279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.---------------------------------4分（3）由（1）知：21615154nn P ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，∴3025P ≈，即第30次以后购买A 套餐的概率约为25.则22085⨯=，20812-=∴负责A 套餐的8人，负责B 套餐的12人.-----------------------------12分21．解：（1）∵23P ⎛ ⎝⎭是抛物线E ：()220y px p =>上一点，∴2p =，即抛物线E 的方程为24y x =，焦点()1,0F ，-------------------2分∴221a b -=，。

2018年辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（）A．A∩B={x|x＜1}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＜2}D．A∩B={x|﹣2＜x＜1} 2．（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．1 B．2 C．D．3．（5分）向量，=（﹣1，2），则=（）A．6 B．5 C．1 D．﹣64．（5分）设a=（），b=2，c=log2，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b5．（5分）函数的周期为（）A．T=2πB．C．T=πD．T=4π6．（5分）设命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为（）A．∀n＞1，n2＞2n B．∃n≤1，n2≤2n C．∀n＞1，n2≤2n D．∃n＞1，n2≤2n 7．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上最大值为M，最小值为N，则M﹣N=（）A．20 B．18 C．3 D．08．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣2的等差数列，S n为前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣19．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）11．（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（m））≥0，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，2]∪[4，+∞）C．[﹣2，2+]D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2）=．14．（5分）已知三角形ABC中，D为边BC上的点，且BD=2DC，，则x﹣y=．15．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．16．（5分）设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记的{a n}前n项和为S n，若a1，a k，S k+2成等比数列，求正整数k的值．18．（12分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b、c．19．（12分）已知函数，x∈R（1）求f（x）的对称中心；（2）讨论f（x）在区间上的单调性．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．21．（12分）设函数f（x）=（2﹣x）e x．（1）求f（x）在x=0处的切线；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+2，求a的取值范围．[选修4-4]参数方程与极坐标系22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．[选修4-5]不等式选讲23．已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．2018年辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（）A．A∩B={x|x＜1}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＜2}D．A∩B={x|﹣2＜x＜1}【解答】解：集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={x|﹣2＜x＜1}，A∪B={x|x＜3}，故选D．2．（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：∵复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），∴z===1+i，∴|z|==，故选：C．3．（5分）向量，=（﹣1，2），则=（）A．6 B．5 C．1 D．﹣6【解答】解：向量，=（﹣1，2），=（3，0），则=6＞故选：A．4．（5分）设a=（），b=2，c=log2，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a=（）∈（0，1），b=2＞1，c=log2＜0，则c＜a＜b．故选：D．5．（5分）函数的周期为（）A．T=2πB．C．T=πD．T=4π【解答】解：∵=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴函数f（x）的周期T==π．故选：C．6．（5分）设命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为（）A．∀n＞1，n2＞2n B．∃n≤1，n2≤2n C．∀n＞1，n2≤2n D．∃n＞1，n2≤2n 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为∀n＞1，n2≤2n．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上最大值为M，最小值为N，则M﹣N=（）A．20 B．18 C．3 D．0【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x﹣1的导数为f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，解得x=±1，所以1，﹣1为函数f（x）的极值点．因为f（﹣3）=﹣19，f（﹣1）=1，f（1）=﹣3，f（2）=1，所以在区间[﹣3，2]上，M=f（x）max=1，N=f（x）min=﹣19，对于区间[﹣3，2]上最大值为M，最小值为N，则M﹣N=20，故选：A．8．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣2的等差数列，S n为前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：a n=a1﹣2（n﹣1），S1=a1，S2=2a1﹣2，S4=4a1﹣12，∵S1，S2，S4成等比数列，∴=a1（4a1﹣12），解得a1=﹣1．故选：D．9．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，在正△AED中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选D．10．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）【解答】解：由﹣x2﹣2x+3＞0，解得：﹣3＜x＜1，而y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，故y=﹣x2﹣2x+3在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，由y=lnx递增，根据复合函数同增异减的原则，得f（x）在（﹣3，﹣1）递增，故选：B．11．（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（m））≥0，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，2]∪[4，+∞）C．[﹣2，2+]D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）【解答】解：令f（m）=t⇒f（t）≥0⇒⇒﹣1≤t≤1；⇒t≥3下面求解﹣1≤f（m）≤1和f（m）≥3，⇒﹣2≤m≤1，⇒1＜m≤2+，⇒m无解，⇒m≥4，综上实数m的取值范围是[﹣2，2+]∪[4，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2）=﹣．【解答】解：函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，可得f（﹣x）=﹣f（x），即有f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22+）=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）已知三角形ABC中，D为边BC上的点，且BD=2DC，，则x﹣y=﹣．【解答】解：∵BD=2DC，∴==﹣，∴=+=+．∴x=，y=．∴x﹣y=﹣．故答案为：．15．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：16．（5分）设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是．【解答】解：∵函数，f（﹣x）===f（x），故函数为偶函数，当x＞0时，=＞0恒成立函数为增函数，若使得f（x）＞f（2x﹣1）成立，则|x|＞|2x﹣1|，即x2＞（2x﹣1）2，解得：x∈，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记的{a n}前n项和为S n，若a1，a k，S k+2成等比数列，求正整数k的值．【解答】解：（1）根据题意，设数列{a n}的公差为d，由题意知，解得a1=2，d=2，则a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n；（2）由（1）可得a1=2，a n=2n，则S n==n2+n=n（n+1），若a1，a k，S k+2成等比数列，则有（a k）2=2（k+2）（k+3），即4k2=2k2+10k+12，变形可得：k2﹣5k﹣6=0，解可得k=6或k=﹣1（舍）；故k=6．18．（12分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b、c．【解答】解：（1）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC ﹣ccosA由正弦定理得，sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，由于：sinC≠0，所以：．即：，由于：0＜A＜π，解得：A=．（2）因为△ABC的面积为，所以：①，所以bc=4；在△ABC中，应用余弦定理知，a2=b2+c2﹣2bccosA，，所以b2+c2=8②；联立①②两式可得，b=c=2．19．（12分）已知函数，x∈R（1）求f（x）的对称中心；（2）讨论f（x）在区间上的单调性．【解答】解：（1）由已知，所以：令，得对称中心为，k∈Z（2）令，（k∈Z）解得：，（k∈Z）所以：单调递增区间为令，k∈Z得，k∈Z增区间为，上的增区间为，减区间为．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由可得，当n=1时，a1=S1=3，当n≥2时，，而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，故a n=4n﹣1，又∵a n=4log2b n+3=4n﹣1，∴…（6分）（2）由（1）知，，，∴==（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5．…（12分）21．（12分）设函数f（x）=（2﹣x）e x．（1）求f（x）在x=0处的切线；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+2，求a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=（1﹣x）e x，f'（0）=1，f（0）=2，切线的斜率为：1，切点坐标（0，2），所以切线方程y﹣2=x，即y=x+2．（2）g（x）=ax+2﹣（2﹣x）e x，g'（x）=a+（x﹣1）e x∵（g'（x））'=xe x k≥0且仅有x=0，（g'（x））'=0，∴g'（x）在[0，+∞）单调递增，∴g'（x）≥g'（0）=a﹣1，（i）a≥1时，g'（x）≥g'（0）=a﹣1≥0g（x）在[0，+∞）单调递增，g（x）≥g（0）=0满足题意，（ii）0＜a＜1时，g'（0）=a﹣1＜0，g'（1）=a＞0，而g'（x）连续且递增，所以存在唯一x0∈（0，1）使g'（x0）=0∀x∈[0，x0），g'（x）＜0，在[0，x0）上g（x）单调递减，取x1∈（0，x0），则g（x1）＜g（0）=0，不合题意．（iii）a≤0时，g'（0）=a﹣1＜0，g'（1）=a≤0，而g'（x）连续且递增，∀x∈[0，1），g'（x）＜0在[0，1）上g（x）单调递减，取x1∈（0，1），则g（x1）＜g（0）=0，不合题意，综上所述，a≥1．[选修4-4]参数方程与极坐标系22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：，设θ为参数，令x=cosθ，y=2sinθ，则曲线C1的参数方程为（θ为参数）；又直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6，即2ρcosθ﹣ρsinθ﹣6=0，化为直角坐标方程是2x﹣y﹣6=0；（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，设P（cosθ，2sinθ），则P到直线l的距离为d==，∴cos（θ+）=﹣1，即P（﹣，1）时，点P到直线l的距离最大，最大值为=2．[选修4-5]不等式选讲23．已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）∵≥==4，故的最小值为4．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，即|2+x|+|2﹣x|≤恒成立，故|2+x|+|2﹣x|不大于的最小值．（4分）由（1）可知，的最小值为4，当且仅当（2a+b）（2a﹣b）≥0时取等号，∴的最小值等于4．（8分）∴x的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集．解不等式得﹣2≤x≤2，故实数x的取值范围为[﹣2，2]．（10分）。

全国18名校2024届高考模拟试卷（数学试题文）试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数2sin cos ()20x x xf x x =+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），则函数[]()y f x =的值域为（ ） A ．13,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．{}1,0,1-C ．1,0,1,2D ．{}0,1,23．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-4．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥5．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．16．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆的面积为b 2233，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．37．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA |=2|PB |，则正实数m 的最小值是( ) A ．13B ．3C ．33D ．38．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．79．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．10．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．228(0,][,]939 B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]11．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种12．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[)0,+∞B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试全1文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2018·全国Ⅰ卷,文1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B等于( A )(A){0,2} (B){1,2}(C){0} (D){-2,-1,0,1,2}解析:A∩B={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故选A.2.(2018·全国Ⅰ卷,文2)设z=+2i,则|z|等于( C )(A)0 (B)(C)1 (D)解析:因为z=+2i=+2i=+2i=i,所以|z|=1.故选C.3.(2018·全国Ⅰ卷,文3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( A )(A)新农村建设后,种植收入减少(B)新农村建设后,其他收入增加了一倍以上(C)新农村建设后,养殖收入增加了一倍(D)新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析:设新农村建设前,农村的经济收入为a,则新农村建设后,农村的经济收入为2a.新农村建设前后,各项收入的对比如下表:新农村建设前新农村建设后新农村建设结论后变化情况种植收入60%a 37%×2a=74%a 增加A错其他收入4%a 5%×2a=10%a 增加一倍以上B对养殖收入30%a 30%×2a=60%a 增加了一倍C对养殖收入+第三产业收入(30%+6%)a=36%a(30%+28%)×2a=116%a超过经济收入2a的一半D对故选A.4.(2018·全国Ⅰ卷,文4)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( C )(A)(B)(C)(D)解析:因为a2=4+22=8,所以a=2,所以e===.故选C.5.(2018·全国Ⅰ卷,文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O 1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( B )(A)12π(B)12π(C)8π(D)10π解析:设圆柱的轴截面的边长为x,则由x2=8,得x=2,所以S圆柱表=2S底+S侧=2×π×()2+2π××2=12π.故选B.6.(2018·全国Ⅰ卷,文6)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( D )(A)y=-2x (B)y=-x (C)y=2x (D)y=x解析:法一因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.法二因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f′(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,所以a=1,即f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.7.(2018·全国Ⅰ卷,文7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则等于( A )(A)-(B)-(C)+(D)+解析:=+=-(+)+=-.故选A.8.(2018·全国Ⅰ卷,文8)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( B )(A)f(x)的最小正周期为π,最大值为3(B)f(x)的最小正周期为π,最大值为4(C)f(x)的最小正周期为2π,最大值为3(D)f(x)的最小正周期为2π,最大值为4解析:因为f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-+2=cos 2x+,所以f(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.9.(2018·全国Ⅰ卷,文9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( B )(A)2(B)2(C)3 (D)2解析:先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图①所示.圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N位于OP的四等分点)如图②所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.ON=×16=4,OM=2,所以MN===2.故选B.10.(2018·全国Ⅰ卷,文10)在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为( C )(A)8 (B)6(C)8(D)8解析:如图,连接AC1,BC1,AC.因为AB⊥平面BB1C1C,所以∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角,所以∠AC1B=30°.又AB=BC=2,在Rt△ABC1中,AC1==4,在Rt△ACC1中,CC1===2,所以V长方体=AB·BC·CC1=2×2×2=8.故选C.11.(2018·全国Ⅰ卷,文11)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|等于( B ) (A)(B)(C)(D)1解析:由cos 2α=,得cos2α-sin2α=,所以=,即=,所以tan α=±,即=±,所以|a-b|=.故选B.12.(2018·全国Ⅰ卷,文12)设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是( D )(A)(-∞,-1] (B)(0,+∞)(C)(-1,0) (D)(-∞,0)解析:法一①当即x≤-1时,f(x+1)<f(2x)即为2-(x+1)<2-2x,即-(x+1)<-2x,解得x<1.因此不等式的解集为(-∞,-1].②当时,不等式组无解.③当即-1<x≤0时,f(x+1)<f(2x),即1<2-2x,解得x<0.因此不等式的解集为(-1,0).④当即x>0时,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意.综上,不等式f(x+1)<f(2x)的解集为(-∞,0).故选D.法二当x≤0时,函数f(x)=2-x是减函数,则f(x)≥f(0)=1.作出f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,要使f(x+1)<f(2x),则需或所以x<0,即不等式f(x+1)<f(2x)的解集为(-∞,0).故选D.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2018·全国Ⅰ卷,文13)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a= .解析:因为f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,所以1=log2(9+a),所以9+a=2,所以a=-7.答案:-714.(2018·全国Ⅰ卷,文14)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.解析:作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.由z=3x+2y得y=-x+.作直线l0:y=-x,平移直线l,当直线y=-x+过点(2,0)时,z取最大值,zmax=3×2+2×0=6.答案:615.(2018·全国Ⅰ卷,文15)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .解析:由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4.所以圆心C(0,-1),半径r=2.圆心C(0,-1)到直线x-y+1=0的距离d==,所以|AB|=2=2=2.答案:216.(2018·全国Ⅰ卷,文16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.解析:因为bsin C+csin B=4asin Bsin C,所以由正弦定理得sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C>0,所以sin A=.由余弦定理得cos A===>0,所以cos A=,bc==,所以S△ABC=bcsin A=××=.答案:三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(2018·全国Ⅰ卷,文17)(12分)已知数列{an }满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.解:(1)由条件可得=an.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得=,即=2bn ,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.18.(2018·全国Ⅰ卷,文18)(12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q ABP的体积.(1)证明:由已知可得,∠BAC=90°,即BA⊥AC.又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)解:由已知可得DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所以BP=2.因为∠BAC=90°,AB=AC,所以∠ABC=45°.如图,过点Q作QE⊥AC,垂足为E,则QE DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q ABP的体积为=×S△ABP×QE=××3×2sin 45°×1=1.19.(2018·全国Ⅰ卷,文19)(12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)频数1 32 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) 频数 1 5 13 10 16 5(1)在图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解:(1)如图所示.(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48. 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m 3).20.(2018·全国Ⅰ卷,文20)(12分)设抛物线C:y 2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:∠ABM=∠ABN.(1)解:当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x=2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线BM 的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)证明:当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线, 所以∠ABM=∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x-2)(k ≠0), M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1>0,x 2>0. 由得ky 2-2y-4k=0,可知y 1+y 2=,y 1y 2=-4. 直线BM,BN 的斜率之和为 k BM +k BN =+=.①将x 1=+2,x 2=+2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)===0.所以k BM +k BN =0,可知BM,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN. 综上,∠ABM=∠ABN.21.(2018·全国Ⅰ卷,文21)(12分)已知函数f(x)=ae x -ln x-1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间; (2)证明:当a ≥时,f(x)≥0.(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ae x-.由题设知,f′(2)=0,所以a=.从而f(x)=e x-ln x-1,f′(x)=e x-.当0<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)证明:当a≥时,f(x)≥-ln x-1.设g(x)=-ln x-1,则g′(x)=-.当0<x<1时,g′(x)<0;当x>1时,g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当a≥时,f(x)≥0.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(2018·全国Ⅰ卷,文22)[选修44:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l 1,y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.23.(2018·全国Ⅰ卷,文23)[选修45:不等式选讲](10分) 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围. 解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为{x|x>}.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,则|ax-1|<1的解集为{x|0<x<},所以≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].2018年普通高等学校招生全国统一考试全2文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2018·全国Ⅱ卷,文1)i(2+3i)等于( D )(A)3-2i (B)3+2i(C)-3-2i (D)-3+2i解析:i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.故选D.2.(2018·全国Ⅱ卷,文2)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B等于( C )(A){3} (B){5}(C){3,5} (D){1,2,3,4,5,7}解析:A∩B={1,3,5,7}∩{2,3,4,5}={3,5}.故选C.3.(2018·全国Ⅱ卷,文3)函数f(x)=的图象大致为( B )解析:因为y=e x-e-x是奇函数,y=x2是偶函数,所以f(x)=是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项.因为f(1)==e-,e>2,所以<,所以f(1)=e->1,排除C,D选项.故选B.4.(2018·全国Ⅱ卷,文4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于( B )(A)4 (B)3 (C)2 (D)0解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.因为|a|=1,a·b=-1,所以原式=2×12+1=3.故选B.5.(2018·全国Ⅱ卷,文5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( D )(A)0.6 (B)0.5 (C)0.4 (D)0.3解析:设2名男同学为a,b,3名女同学为A,B,C,从中选出两人的情形有(a,b), (a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种,而都是女同学的情形有(A,B),(A,C),(B,C),共3种,故所求概率为=0.3.故选D.6.(2018·全国Ⅱ卷,文6)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( A )(A)y=±x (B)y=±x(C)y=±x (D)y=±x解析:双曲线-=1的渐近线方程为bx±ay=0.又因为离心率==,所以a2+b2=3a2.所以b=a(a>0,b>0).所以渐近线方程为ax±ay=0,即y=±x.故选A.7.(2018·全国Ⅱ卷,文7)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,则AB等于( A )(A)4(B)(C)(D)2解析:因为cos =,所以cos C=2cos2-1=2×()2-1=-.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=52+12-2×5×1×(-)=32,所以AB==4.故选A.8.(2018·全国Ⅱ卷,文8)为计算S=1-+-+…+-,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( B )(A)i=i+1 (B)i=i+2 (C)i=i+3 (D)i=i+4解析:由题意可将S变形为S=(1++…+)-(++…+),则由S=N-T,得N=1++…+,T=++…+.据此,结合N=N+,T=T+易知在空白框中应填入i=i+2.故选B.9.(2018·全国Ⅱ卷,文9)在正方体ABCD A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( C )(A)(B)(C)(D)解析:如图,因为AB∥CD,所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中,设AB=2,则BE=,则tan∠EAB==,所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.故选C.10.(2018·全国Ⅱ卷,文10)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是( C )(A)(B)(C)(D)π解析:f(x)=cos x-sin x=cos(x+).当x∈[0,a]时,x+∈[,a+],所以结合题意可知,a+≤π,即a≤,故所求a的最大值是.故选C.11.(2018·全国Ⅱ卷,文11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( D )(A)1-(B)2-(C) (D)-1解析:由题设知∠F1PF2=90°,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|= c.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即c+c=2a,所以(+1)c=2a,故椭圆C的离心率e===-1.故选D.12.(2018·全国Ⅱ卷,文12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)等于( C )(A)-50 (B)0 (C)2 (D)50解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(1-x)=-f(x-1).由f(1-x)=f(1+x),所以-f(x-1)=f(x+1),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以函数f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数及其定义域得f(0)=0.又因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0)=0,所以f(-2)=0.又f(1)=2,所以f(-1)=-2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)=0×12+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2018·全国Ⅱ卷,文13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.=2,解析:因为y′=,y′|x=1所以切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.答案:y=2x-214.(2018·全国Ⅱ卷,文14)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.解析:由不等式组画出可行域,如图(阴影部分).目标函数z=x+y取得最大值⇔斜率为-1的平行直线x+y=z(z看作常数)的截距最大,由图可得直线x+y=z过点C时z 取得最大值.=5+4=9.由得点C(5,4),所以zmax答案:915.(2018·全国Ⅱ卷,文15)已知tan(α-)=,则tan α= .解析:tan (α-)=tan(α-)==,解得tan α=.答案:16.(2018·全国Ⅱ卷,文16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°,若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.=·SA2=8,解析:在Rt△SAB中,SA=SB,S△SAB解得SA=4.设圆锥的底面圆心为O,底面半径为r,高为h,在Rt△SAO中,∠SAO=30°,所以r=2,h=2,所以圆锥的体积为πr2·h=π×(2)2×2=8π.答案:8π三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题.考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(2018·全国Ⅱ卷,文17)(12分)记Sn 为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn ,并求Sn的最小值.解:(1)设{an }的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an }的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.18.(2018·全国Ⅱ卷,文18)(12分)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2, …,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解:(1)利用模型①,可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下(写出一种,合理即可):(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠. (ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.19.(2018·全国Ⅱ卷,文19)(12分)如图,在三棱锥P ABC中,AB=BC=2,PA=PB= PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.(1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.如图,连接OB.因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知,PO⊥平面ABC.(2)解:如图,作CH⊥OM,垂足为H,又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=AC=2,CM=BC=,∠ACB=45°.所以OM=,CH==.所以点C到平面POM的距离为.20.(2018·全国Ⅱ卷,文20)(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2), 所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.21.(2018·全国Ⅱ卷,文21)(12分)已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.(1)解:当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f′(x)=x2-6x-3.令f′(x)=0,解得x=3-2或x=3+2.当x∈(-∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(3-2,3+2)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)单调递增,在(3-2,3+2)单调递减.(2)证明:因为x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于-3a=0.设g(x)=-3a,则g′(x)=≥0,仅当x=0时g′(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6-<0,f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(2018·全国Ⅱ卷,文22)[选修44:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. 解:(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+ 3cos 2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2.23.(2018·全国Ⅱ卷,文23)[选修45:不等式选讲](10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).2018年普通高等学校招生全国统一考试全Ⅲ文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2018·全国Ⅲ卷,文1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B等于( C )(A){0} (B){1} (C){1,2} (D){0,1,2}解析:因为A={x|x-1≥0}={x|x≥1},所以A∩B={1,2}.故选C.2.(2018·全国Ⅲ卷,文2)(1+i)(2-i)等于( D )(A)-3-i (B)-3+i (C)3-i (D)3+i解析:(1+i)(2-i)=2+2i-i-i2=3+i.故选D.3.(2018·全国Ⅲ卷,文3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( A )解析:由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应选A.4.(2018·全国Ⅲ卷,文4)若sin α=,则cos 2α等于( B )(A)(B)(C)-(D)-解析:因为sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=.故选B.5.(2018·全国Ⅲ卷,文5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( B )(A)0.3 (B)0.4 (C)0.6 (D)0.7解析:由题意可知不用现金支付的概率为1-0.45-0.15=0.4.故选B.6.(2018·全国Ⅲ卷,文6)函数f(x)=的最小正周期为( C )(A)(B)(C)π (D)2π解析:由已知得f(x)====sin x·cos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T==π.故选C.7.(2018·全国Ⅲ卷,文7)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是( B )(A)y=ln(1-x) (B)y=ln(2-x)(C)y=ln(1+x) (D)y=ln(2+x)解析:函数y=f(x)的图象与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=对称,令a=2可得与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是函数y=ln(2-x)的图象.故选B. 8.(2018·全国Ⅲ卷,文8)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( A )(A)[2,6] (B)[4,8](C)[,3] (D)[2,3]解析:由题意知圆心的坐标为(2,0),半径r=,圆心到直线x+y+2=0的距离d==2,所以圆上的点到直线的最大距离是d+r=3,最小距离是d-r=.易知A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2,所以2≤S≤6.即△ABP面积的取值范围△ABP是[2,6].故选A.9.(2018·全国Ⅲ卷,文9)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( D )解析:法一f′(x)=-4x3+2x,则f′(x)>0的解集为(-∞,-)∪(0,),f(x)单调递增;f′(x)<0的解集为(-,0)∪(,+∞),f(x)单调递减.故选D.法二当x=1时,y=2,所以排除A,B选项.当x=0时,y=2,而当x=时,y=-++2=>2,所以排除C选项.故选D.10.(2018·全国Ⅲ卷,文10)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D )(A) (B)2 (C)(D)2解析:由题意,得e==,c2=a2+b2,得a2=b2.又因为a>0,b>0,所以a=b,渐近线方程为x±y=0,点(4,0)到渐近线的距离为=2.故选D.11.(2018·全国Ⅲ卷,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为,则C等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:因为S=absin C===abcos C,所以sin C=cos C,即tan C=1.因为C∈(0,π),所以C=.故选C.12.(2018·全国Ⅲ卷,文12)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D ABC体积的最大值为( B ) (A)12(B)18(C)24(D)54解析:由等边△ABC的面积为9可得AB2=9,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=AB=2.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d===2.所以三棱锥D ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D ABC体积的最大值为×9×6=18.故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2018·全国Ⅲ卷,文13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .解析:由题易得2a+b=(4,2),因为c ∥(2a+b),所以4λ=2,得λ=.答案:14.(2018·全国Ⅲ卷,文14)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是.解析:因为客户数量大,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,所以最合适的抽样方法是分层抽样.答案:分层抽样15.(2018·全国Ⅲ卷,文15)若变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是.解析:画出可行域如图所示阴影部分,由z=x+y得y=-3x+3z,作出直线y=-3x,并平移该直线,当直线y=-3x+3z过点A(2,3)时,目标函数z=x+y取得最大值,即=2+×3=3.zmax答案:316.(2018·全国Ⅲ卷,文16)已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)= .解析:因为f(x)+f(-x)=ln(-x)+1+ln(+x)+1=ln(1+x2-x2)+2=2,所以f(a)+f(-a)=2,所以f(-a)=-2.答案:-2三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(2018·全国Ⅲ卷,文17)等比数列{an }中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn 为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.解:(1)设{an }的公比为q,由题设得an=q n-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an =(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an =(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an =2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.18.(2018·全国Ⅲ卷,文18)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图,(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m 不超过m 第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:K2=,.解:(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下(写出一种,合理即可):①由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.②由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.③由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟,因此第二种生产方式的效率更高.④由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.(2)由茎叶图知m==80.2×2列联表如下:超过m 不超过m 第一种生产方式15 5第二种生产方式 5 15(3)由于K2==10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.(2018·全国Ⅲ卷,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)解:当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC的中点.连接OP,因为P为AM的中点,所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.20.(2018·全国Ⅲ卷,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点.线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:2||=||+||.证明:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+·k=0. 由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0<m<,故k<-.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y 3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=, 从而P(1,-),||=. 于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||.21.(2018·全国Ⅲ卷,文21)已知函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.(1)解:f′(x)=,f′(0)=2.因此曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥(x2+x-1+e x+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+e x+1,则g′(x)=2x+1+e x+1.当x<-1时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>-1时,g′(x)>0,g(x)单调递增;所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(2018·全国Ⅲ卷,文22)[选修44:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.当α=时,l与☉O交于两点.。

东北师范大学连山实验高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（进择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班叙填写在答题卡上.2．回答第I 卷时，进出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答聚标号涂黑．如需改动，用粮皮擦干净后，再进涂其他答案标号．写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无放.第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只蒋一项是符合题目要求的.1. 在数列中，若，，则（ ）A B. C. 1D. 42. 已知函数的导函数为，若，则（ ）A. B. C. 1D. 23. 随机变量，函数没有零点的概率是，则μ的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 设是数列的前项和，,，，，则（ ）A. B. C. D.5. 点A 是曲线上任意一点，则点A 到直线的最小距离为（ ）A.B.C.D.6. 中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（ ）.{}n a 11a =142n na a +=-12a =2-43-()fx ()f x '()2(1)ln f x xf x '=+(1)f '=2-1-2~(,)N ξμσ()²4f x x x ξ=-+12n S {}n a n 0n a >18a =212log log 1n n a a +-=-312k S =k =567823ln 2y x x =-21y x =-1361025A. B. C. D. 7. 已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（）A.B.C. D. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）A. 在区间上是增函数B. 在区间上是减函数，在区间上是增函数C. 是的极大值点D. 是的极小值点10. 公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ）A. B. C. 中最大D. 11. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）A. 函数存在两个不同的零点.324325326395()()2sin 0f x x x x =+>{}n a ()9sin a =1212-4ln 4a =1e b -=5ln 5c =a b c a b c>>c a b >>b c a >>b a c>>()y f x =()y f x '=()f x (3,1)-()f x (2,4)(1,2)-2x =()f x =1x -()f x d {}n a n n S 11120,0S S ><0d >70a >{}n S 6S 49a a <()21e xx x f x +-=()f xB. 函数只有极大值没有极小值C. 当时，方程有且只有两个实根D. 若时，，则t 的最小值为2第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______．13. 已知变量y 关于x 的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与x 线性相关，现有一组数据如下表所示：x 12345y则当时，预测y 的值为____________．14. 已知，对于数列，有，若存在常数使得对于任意的，都有，则a 的取值范围是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知公差不为0的等差数列首项，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.16. 已知函数.（1）求曲线过点处切线；（2）若曲线在点处切线与曲线在处的切线平行，求的值.17. 为提高居家养老服务质量，某机构组织调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区抽取了500位老年人，统计结果如下：性别需要志愿者不需要志愿者男40160的的()f x e 0k -<<()f x k =[),x t ∈+∞()2max 5ef x =()21e 2xf x ax a =++()0,∞+a 0.6e bx y -=0.6e bx y -=ln y e3e 4e 6e 7e 6x =()e ,0xf x a a =>{}n a ()110,n n a a f a +==0M >N n *∈n a M ≤{}n a 11a =125a a a ，，{}n a 2nn n b a =⋅{}n b n n S ()()3211,ex f x x x g x -+=-++=()y f x =()1,1()y f x =()1,1()y g x =()R x t t =∈t女30270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）中的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的比例？说明理由．附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82818. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，若存在零点，求实数的取值范围．19. 雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：将图①中正三角形每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②；将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；……按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线（Koch snowflake ）．的99%22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++αx α()()e 2,ln 1,xf xg x ax x a =-=+-∈R ()g x ()()()hx f x g x =-()h x a现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为、、…、、…．小明为了研究图形的面积，把图形的面积记为，假设a 1＝1，并作了如下探究：P1P 2P 3P 4…Pn边数31248192…从P 2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数31248…从P 2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积…根据小明的假设与思路，解答下列问题．（1）填写表格最后一列，并写出与的关系式；（2）根据（1）得到的递推公式，求的通项公式；（3）从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于．参考数据（，）1P 2P n P n P n P n a 19219319n a ()*1,2n a n n -∈≥N {}n a 797500lg 30.477≈lg 20.301≈东北师范大学连山实验高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷简要答案第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只蒋一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】BD第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2）【16题答案】【答案】（1）或 （2）【17题答案】【答案】（1）14% （2）有关（3）答案略【18题答案】【答案】（1）答案略 （2）【19题答案】【答案】（1）填表略；（2）（3）第7个[)1,-+∞9e 1(0,e21n a n =-()12326n n S n +=-⋅+230x y +-=430x y -+=12t =[)e 1,∞-+()1*134,249n n n a a n n --⎛⎫=+⨯∈≥ ⎪⎝⎭N ()1*834559n n a n -⎛⎫=-⨯∈ ⎪⎝⎭N。