河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考数学文科试题(解析版)

2020-2021学年湖南省某校高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知，则sin(270∘−α)＝（）A. B. C. D.2. 已知集合A＝{1, 2}，B＝{x|mx+1＝0}，若A∪B＝A，则m＝（）A. B. C.1，0，2 D.3. 给出下列命题：①命题“正五边形都相似”的否命题是真命题；②；③函数既是奇函数也是偶函数；④∃x0∈R，使sin2x0+2sin x0−1＝0．其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.34. 函数在(1, +∞)上是减函数，则实数a的范围是（）A.(−2, +∞)B.(−2, 4)C.(−2, 4]D.[4, +∞)5. 已知a>b>0，则下列不等式中总成立的是( )A.a+1b >b+1aB.a+1a>b+1bC.ba>b+1a+1D.b−1b>a−1a6. 设＝5b＝m，且-＝2，则m＝（）A. B.10 C. D.7. 已知点A(2,−12)，B(12,32)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.(35,−45) B.(45,−35)C.(−35,45)D.(−45,35)8. 若函数f(x)=log a (x 2+32x)(a >0, a ≠1)在区间(12, +∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( ) A.(0, +∞) B.(2, +∞) C.(1, +∞)D.(12, +∞)9. 在等比数列{a n }中，a 5⋅a 11=3，a 3+a 13=4，则a 12a 2=( )A.3B.−13C.3或13D.−3或−1310. 方程sin ，x ∈[−5, 9]的所有实根之和为（ ）A.0B.12C.8D.1011. 设0<x 1<x 2，p ＝（e 为自然对数的底），则（ ）A.B.C.D.p 与22的大小关系不确定12. 在△ABC 中，，其中a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，则b +2c 的最大值为（ ）A.B.3C.D.二、填空题（每小题5分，共20分）已知实数x ，y 满足{x −y +5≥0x ≤3x +y ≥0，则z =2x +4y 的最小值为________．已知函数y ＝f(x)+x 是偶函数，且f(2)＝1，则f(−2)＝________．已知α为第三象限角，cos 2α=−35，则tan (π4+2α)=________.已知55<84，134<85，设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则a ，b ，c 的大小关系为________．三、解答题（共70分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，(n −1)S n ＝nS n−1+(n −1)n(n ∈N +, n ≥2)．（1）求证：数列为等差数列；（2）记数列的前n 项和为T n ，求T n ．已知命题p ：关于x 的方程2x 2+ax −a 2＝0在[−1, 1]上有两不等实根；命题q ：存在实数x 0满足不等式x 02+2ax 0+2a ≤0．若“p 或q ”是真命题，“p ∧q ”假命题，求a 的取值范围． 已知函数．（1）求f(x)的最小正周期及f(x)在区间上的最大值和最小值；（2）若，求cos 2x 0的值．某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造一个平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件是：建1米新墙费用为a元，修1米旧墙费用为a元，拆1米4元，现有两种方案：旧墙用所得材料再建1米新墙所得费用为a2（1）利用旧墙的一段x米(x<14)为厂房的一边长（剩下的旧墙拆掉建成新墙）；（2）矩形厂房的一边长为x(x≥14)（所有旧墙都不拆），问如何利用旧墙才能使得建墙费用最省？设关于x的方程x2−mx−1=0有两个实根α、β，且α<β．定义函数f(x)=2x−m．x2+1（1）求αf(α)+βf(β)的值；（2）判断f(x)在区间(α, β)上的单调性，并加以证明；（3）对∀x1，x2∈(α, β)，证明不等式：|f(x1)−f(x2)|<|α−β|．已知函数，曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为x+2y−3＝0．（1）求a，b的值；（2）如果当x>1时，，求k的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南省某校高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】函数单调性的性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】A【考点】不等式的基本性质 【解析】由a >b >0，可得1b >1a ．利用不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵ a >b >0， ∴ 1b >1a ， ∴ a +1b>b +1a.故选A ． 6.【答案】 D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 指数式与对数式的互化 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 7.【答案】 C【考点】平行向量的性质 单位向量【解析】利用向量的坐标运算、模的计算公式、单位向量即可得出． 【解答】解：由题意知，点A(2,−12)，B(12,32)，∴ AB →=(12,32)−(2,−12)=(−32，2)， ∴ |AB →|=√(−32)2+22=52，则与向量AB →同方向的单位向量为AB→|AB →|=(−35,45)．故选C ． 8.【答案】 A【考点】对数函数的单调区间复合函数的单调性【解析】根据复合函数的单调性结合对数函数的性质判断即可．【解答】解：当x∈(12, +∞)时，x2+32x=(x+34)2−916>1恒成立.∵函数f(x)=loga (x2+32x)(a>0且a≠1)在区间(12, +∞)内恒有f(x)>0，∴a>1，x2+32x>0，解得：x<−32或x>0.由复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间：(0, +∞)．故选A．9.【答案】C【考点】等比数列的性质【解析】直接由等比数列的性质和已知条件联立求出a3和a13，代入a12a2转化为公比得答案．【解答】解：因为数列{a n}为等比数列，a5⋅a11=3，所以a3⋅a13=3.①又a3+a13=4,②联立①②，解得：a3=1，a13=3或a3=3，a13=1，所以a12a2=a13a3=3或a12a2=a13a3=13．故选C．10.【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】A【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】C【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（每小题5分，共20分）【答案】−6【考点】简单线性规划【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z= 2x+4y对应的直线进行平移，可得当x=3且y=−3时，z取得最小值．【解答】解：作出不等式组{x−y+5≥0x≤3x+y≥0表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A(3, −3)，B(−2.5, 2.5)，C(3, 8)设z=F(x, y)=2x+4y，将直线l:z=2x+4y进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F(3, −3)=−6故答案为：−6【答案】5【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据函数y＝f(x)+x是偶函数，建立方程关系即可得到结论．【解答】设y＝g(x)＝f(x)+x，∵函数y＝f(x)+x是偶函数，∴ g(−x)＝g(x)，即f(−x)−x ＝f(x)+x ， 令x ＝2，则f(−2)−2＝f(2)+2＝1+2＝3， ∴ f(−2)＝3+2＝5， 【答案】−17【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：cos 2α=2cos 2α−1=−35，解得cos α=±√55. 因为α为第三象限角， 所以cos α=−√55， 所以sin α=−√1−cos 2α=−2√55，所以sin 2α=2sin αcos α=2×(−2√55)×(−√55)=45，所以tan 2α=sin 2αcos 2α=45−35=−43，所以tan (π4+2α)=tan π4+tan 2α1−tan π4tan 2α=1−431+43=−17．故答案为：−17.【答案】 a <b <c 【考点】对数值大小的比较 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答三、解答题（共70分）【答案】证明：由(n −1)S n ＝nS n−1+(n −3)n 两边同除以n(n −1)，可得-＝1，当n ＝2时，(3−1)S 2＝7S 1+2，解得S 8＝4，∴-＝−1＝6，∴数列以1为首项；由（1）可得得＝1+(n−8)＝n n＝n2，∴a n＝S n−S n−1＝n2−(n−1)2＝4n−1，当n＝1时，也成立，∴a n＝6n−1，∴＝＝（-），∴T n＝(1−+--）＝）＝．【考点】等差数列的性质数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】命题p：关于x的方程2x2+ax−a4＝0在[−1, 5]上有两不等实根2+ax−a2，所以，解得：−1≤a≤1且a≠2，所以p为真，即−1≤a≤1且a≠6，命题q：存在实数x0满足不等式x08+2ax0+7a≤0．所以△＝4a2−8a≥0，解得a≥5或a≤0．所以①p真q假0<a≤2，②p假q真．故a的取值范围为：a<−1或0≤a≤7或a≥2．【考点】复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】∵＝7sin x cos x+sin2x−cos3x＝sin2x−cos7x＝2sin(2x−），故函数的最小正周期为＝π．当x∈时，2x−，]，故当2x−＝-时；当2x−＝时．∵x0∈[，]，2x0−∈[，]，若f(x0)＝2sin(8x0−）＝0−）＝7−）为钝角，∴cos(2x7−）＝-．cos7x0＝cos[(2x8−）+5−）cos5−）sin＝-•-•＝-．【考点】三角函数的周期性平面向量数量积的性质及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解：（1）∵利用旧墙的一段x米，∴拆去的旧墙的长为14−x，(x<14)∴建新墙的长为：126x +126x+x−(14−x)，∴y=a[(126x +126x+x)−(14−x)]+a4×x+a2(14−x)=(74x+252x−7)a≥35a(0<x<14)…当且仅当x=12∈(0, 14)时建墙费用最省为35a元．…（2）矩形厂房的一边长为x(x ≥14)（所有旧墙都不拆），建新墙的长为：126x +126x +x −(x −14)， ∴ y =a[(126x +126x +x)−(14−x)]+a 4×x =(2x +252x −212)a ≥35a (x ≥14)…由对勾函数的单调性可得y 在[14, +∞)上为增函数，当且仅当x =14时建墙费用最省为35.5a 元． …故用方案一利用旧墙12米，所得费用最省 …【考点】函数模型的选择与应用【解析】（1）拆去的旧墙的长为14−x ，所以建新墙的长为：126x +126x +x −(14−x)，故可得y =100[2(x +126x )−14]+25x +50(14−x)(0<x <14)，利用基本不等式可求建墙费用最省；（2）y =100[2(x +126x )−14]+25×14(x ≥14)，利用y 在[14, +∞)上为增函数，可求建墙费用最省；两方案比较，可得结论．【解答】解：（1）∵ 利用旧墙的一段x 米，∴ 拆去的旧墙的长为14−x ，(x <14)∴ 建新墙的长为：126x +126x +x −(14−x)， ∴ y =a[(126x +126x +x)−(14−x)]+a 4×x +a 2(14−x) =(74x +252x −7)a ≥35a (0<x <14)…当且仅当x =12∈(0, 14)时建墙费用最省为35a 元．…（2）矩形厂房的一边长为x(x ≥14)（所有旧墙都不拆），建新墙的长为：126x +126x +x −(x −14)， ∴ y =a[(126x +126x +x)−(14−x)]+a 4×x =(2x +252x −212)a ≥35a (x ≥14)…由对勾函数的单调性可得y 在[14, +∞)上为增函数，当且仅当x =14时建墙费用最省为35.5a 元． …故用方案一利用旧墙12米，所得费用最省 …【答案】（1）解：∵ α，β是方程x 2−mx −1=0的两个实根，∴ {α+β=m α⋅β=−1， ∴ f(α)=2α−mα2+1=2α−(α+β)α2−αβ=α−βα(α−β)=1α，同理f(β)=1β，∴ αf(α)+βf(β)=2．（2）∵ f(x)=2x−m x 2+1， ∴ f′(x)=2(x 2+1)−(2x−m)⋅2x (x 2+1)2=−2(x 2−mx−1)(x 2+1)2，当x ∈(α, β)时，x 2−mx −1=(x −α)(x −β)<0，而f ′(x)>0，∴ f(x)在(α, β)上为增函数．（3） 由（2）可知f(α)<f(x 1)<f(β)；f(α)<f(x 2)<f(β)，∴ f(α)−f(β)<f(x 1)−f(x 2)<f(β)−f(α)，∴ |f(x 1)−f(x 2)|<|f(α)−f(β)|．再由（1）知f(α)=1α，f(β)=1β，αβ=−1，∴ |f(α)−f(β)|=|1α−1β|=|β−ααβ|=|α−β|，所以|f(x 1)−f(x 2)|<|α−β|．【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明【解析】（1）由题意可得{α+β=m α⋅β=−1，求得f(α)=2α−m α2+1=1α，同理求得f(β)=1β，可得αf(α)+βf(β)的值．（2）由条件求得f′(x)=−2(x 2−mx−1)(x 2+1)2，当x ∈(α, β)时，x 2−mx −1=(x −α)(x −β)<0，可得f′(x)>0，可得f(x)在(α, β)上为增函数．（3） 由（2）可知f(α)<f(x 1)<f(β)，f(α)<f(x 2)<f(β)，证得|f(x 1)−f(x 2)|<|f(α)−f(β)|，再根据|f(α)−f(β)|=|1α−1β|=|β−ααβ|=|α−β|，可得要证的不等式成立．【解答】（1）解：∵ α，β是方程x 2−mx −1=0的两个实根，∴ {α+β=m α⋅β=−1， ∴ f(α)=2α−mα2+1=2α−(α+β)α2−αβ=α−βα(α−β)=1α，同理f(β)=1β， ∴ αf(α)+βf(β)=2．（2）∵ f(x)=2x−m x 2+1， ∴ f′(x)=2(x 2+1)−(2x−m)⋅2x (x 2+1)2=−2(x 2−mx−1)(x 2+1)2，当x ∈(α, β)时，x 2−mx −1=(x −α)(x −β)<0，而f ′(x)>0，∴ f(x)在(α, β)上为增函数．（3） 由（2）可知f(α)<f(x 1)<f(β)；f(α)<f(x 2)<f(β)，∴ f(α)−f(β)<f(x 1)−f(x 2)<f(β)−f(α)，∴ |f(x 1)−f(x 2)|<|f(α)−f(β)|．再由（1）知f(α)=1α，f(β)=1β，αβ=−1，∴|f(α)−f(β)|=|1α−1β|=|β−ααβ|=|α−β|，所以|f(x1)−f(x2)|<|α−β|．【答案】f′(x)＝-由于直线x+3y−3＝0的斜率为-，1)，故，即，解得a＝1．由（1）知f(x)＝+，所以f(x)−（+）＝）．考虑函数ℎ(x)＝2ln x+(x>3)，则ℎ′(x)＝，(i)设k≤7，由ℎ′(x)＝知，当x∈(6, +∞)时，可得，从而当x>1时，，(ii)设8<k<1．由于当x∈(1，，(k−1)(x2+1)+2x>7，故ℎ′(x)>0，而ℎ(1)＝0，故当x∈(6，，ℎ(x)>7ℎ(x)<0．(iii)设k≥1．此时ℎ′(x)>6，故当x∈(1, +∞)时，可得，与题设矛盾．综合得，k的取值范围为(−∞．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

河南省名校联盟2020~2021学年高一1月联考数学试卷考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:人教版必修1、必修2第一章~第三章第1节(直线的倾斜角与斜率).一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{{,M y N y y ====}2,x 则=M N ( )A.[)0,1B.[]0,1C.()0,1D.(]0,1 2. 直线的1x =倾斜角为( )A.90B.60C.45D.303.下列命题中正确的是( )A ．若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行B ．若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面C ．若不同点的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．不共线的四点可以确定一个平面4. 已知函数f (12,x +=则12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( ) A.8 B. 16 C.1 D.45.函数()26xf x e x =+-的零点所在的区间是( ) A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,36.如图，边长为1的正方形OABC 是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，则平面图形OABC 以OA为轴旋转--周所围成的几何体是( )A.一个圆柱B.一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体C.--个圆锥和一个同底面的圆柱(内部挖去一个同底等高的圆锥)的组合体D.两个同底的圆锥的组合体7. 已知lg115a ⎛⎫= ⎪⎝⎭3log b =ln 2,3c =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<8.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )A.若α//β，,,m n αβ⊂⊂则m //nB.若,,,m n αβαβ⊥⊂⊂ 则m n ⊥C.若点,A B 到α平面的距离相等，则直线//AB αD.若,m m α⊥//,β则αβ⊥9.函数()()x x x e x f e -=-⋅的大致图象为 ( )A ．B ．C ．D ．10.若竖直放置的圆锥的正视图是一个面积为2的直角三角形，则该圆锥的体积为( )A ．B ．3C ． 23πD ．43π 11.在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，设O 和1O 分别为下底面和上底面正六边形的中心，,G H 是线段1A 1D 上的动点，且()111GH GH A D =则下列说法中正确的是( )①DH 与AB 异面；②当G 为11A O 中点时，BG 与平面11ADD A 所成角取得最大值；③四面体BDGH 的体积是定值；④DB //EF .A.①③④B.①②④C.①②③D. ②③④ 12.当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()2log 4log a a f x x x =-+的图象恒在x 轴下方，则实数a 的取值范围是( ).A ,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．0,2⎛ ⎝⎭C.)+∞ D ．()0,1二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）13.设点()()()2,1,4,2,1,12A B C a --+，若,,A B C 三点共线，则实数a 的值为 ．14.某圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为4和3的矩形，则该圆柱其中一个底面的面积为 ．15.函数()2021120211x x f x -=+的值域为 ． 16.已知四边形ABCD 为矩形，2AB =，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，若四棱锥P ABCD -外接球的表面积为16π，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4,,E M 分别是1,BC BB 的中点.()1求证:1,,,A D M E 四点共面；()2已知N 在棱1CC 上，求四面体1A BMN 的体积.18. 已知函数()2(,)2f x x bx c b c R =++∈的图象过点()1,0，且()1f x -为偶函数. ()1求函数()f x 的解析式﹔()2若对任意的[]4,16,x ∈不等式()44log log f x m x ≤恒成立，求m 的最小值.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//,ABCD CD AB 2,90,CD AB ADC E F =∠=︒，分别为,CD PC 的中点.()1求证:平面//BEF 平面;PAD()2求证:平面BEF ⊥平面.PDC20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//,AB CD ,2,PD CD PD CD ⊥=过直线AB 的平面与棱,PC PD 分别交于点,.E F()1求异面直线PC 与AB 所成角的正切值﹔()2求证://.EF CD21. 某地区为了推进节能减排、保护环境和发展经济的需要，政府计划由当地天然气公司在两个工业园区间,A B 间修建天然气管道，已知两个工业园区相距120 ,km 并且在两工业园区之间设立供气站点D (如图)，为保证两个工业园区的安全，规定站点D 距两工业园区的距离均不得少于15 .km 已知工业园区A 一边有段10 km 长的旧管道,AC 准备改造利用，改造费用为5万元/,km 其余管道都要新建，新建的费用与站点D 到,A B 两工业园区方向上新修建管道的长度的平方和成正比，并且当站点D 距离工业园区40A km 时，新建的费用为1825万元.设站点D 距工业园区A 为,,xkm A B 为两工业园区之间天然气管道的修建总费用为y 万元.()1求y 与x 之间的函数关系式，并写出其定义域；()2如何规划站点D 的位置，才能使修建总费用最小?最小总费用是多少?22. 如图1，在平行四边形ABCD 中，,1,AC BC AC BC ⊥==现将ADC 沿AC 折起，得到三棱锥'D ABC -(如图2)，且平面AD C '⊥平面ABC ，点E 为棱'D C 的中点.()1求证：AE ⊥平面';D BC()2在ACB ∠的角平分线上是否存在点F ，使得//D F '平面ABE ？若存在，求'D F 的长；若不存在，请说明理由.联盟2020~2021学年高一1月联考·数学参考答案.提示及评分细则一、选择题1.D 函数y =(1],-∞，函数2x y =的值域为()0,+∞，所以(]0,1M N ⋂=.故选D2. A 由题意得，倾斜角为90.故选A .3.C 在A 中，从正方体的一个顶点出发的三个平面是两两相交，但他们的交线互相垂直，故A 错误；在B 中，从正方体的一个顶点出发的三条棱可以确定三个平面，故B 错误﹔在C 中，不同的两条直线均垂直于同一个平面，则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行，故C 正确；在D 中，若四点连线构成两条异面直线，这时四点不能确定一个平面，故D 错误.故选C .4.B 令[)1,1t t +=∈+∞，则()21x t =-，所以()()[)212,1,x f x x -=∈+∞，所以()4121623f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故选B6.C 由直观图'O A B C '''画出原图OABC ，如下图所示，因为O B ''=所以1OB OA ==，则平面图形OABC 以OA 为轴旋转一周所围成的几何体为一个圆锥和一个圆柱(里面挖去一个圆锥). 故选C .7.B 由ln10111,1,155a b log c ⎛⎫⎛⎫====> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b a c <<.故选B8.D 根据面面平行的性质定理得到选项A 错误；结合面面垂直的性质定理得到，若两个平面互相垂直，则垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，因而选项B 错误；对于C ，可能直线AB 与平面a 相交，因而选项C 错误﹔只有选项D 符合题意.故选D .9.A 因为()()()()x x x x f x e e x e e x f x ---=-⋅-=--⋅=-，所以该函数为奇函数，其图象关于原点对称，只有选项A 符合题意.故选A .10. B 由题意，得该圆锥的母线长为2,母线与底面所成角为45，，则所求圆锥的体积为3故选B11.C 结合题意，对于①.因为AB ⋂平面11,ADD A A B =∉平面11ADD A ，所以DH 与AB 异面. ①正确；对于②，当G 为11A O 中点时，可证11BG A D ⊥，点G 到点B 的距离取得最小值，此时，BG 与平面11ADD A 所成角取得最大值，②正确；对于③，因为DGH ∆的面积为定值，而点B 到平面DGH 的距离也是定值，因而其体积为定值，故③正确；对于④，显然//DB EA ，④错误.故选C .12.A 结合题意()()240a a f x log x log x =-+<对任意10,2x ⎛∈⎫⎪⎝⎭恒成立，当1a >时，对任意210,,4log 02a x x x ⎛⎫∈-+< ⎪⎝⎭不满足题意；当01a <<时，可得241a x log x -+≥对任意10,2x ⎛∈⎫⎪⎝⎭恒成立，即21 41,0,2a log x x x ⎛>+∈⎫⎪⎝⎭结合单调性可知，只需12,22a log a ≥≥，又01a <<，所以12a ≤<.故选A .二、填空题13.34- 因为点,,A B C 三点共线，所以()()211214212a--+-=----，解得34a =-14.4π或94π 设底面半径为,r则24r π=或2r π=或32π， 故底面的面积为24r ππ=或94π15.()1,1- 函数()2021120211221202112021120211x x x x x f x -+-===-+++上， 因为220210,0220211x x ><<+ 所以211120211x -<-<+即1()1y ∈-，.16.4 如下图所示:连接,AC BD ，取AD 的中点E ，设,AC BD O ⋂=分别过E 作平面PAD 的垂线，过О作平面ABCD 的垂线，两垂线的交点即为外接球球心. 由题意，得球心为О由四棱锥P ABCD -外接球的表面积为16π，得到其半径为2,则4,AC =设,BC x =则2416,x x +==在Rt PAD ∆中，12PE AD ==易知，当PE AD ⊥时，四棱锥P ABCD -的体积取得最大值，且最大值为1243⨯⨯=.三、解答题17.()1证明:连接,AD BC11//A B DC 且11A B DC =，∴四边形11A B CD 是平行四边形，11//A D B C ∴又,E M 分别为1,BC BB 中点，1//ME B C ∴，1//,ME A D ∴1,,,A D M E ∴四点共面.()2解:由题意，得BMN ∆的面积1124422BMN S BM BC ∆=⨯⨯=⨯⨯= 又易得11A B ⊥平面BMN ，且114A B =，∴四面体1A BMN 的体积1164433V =⨯⨯=.18. 解:()1因为()f x 为二次函数，且()1f x -为偶函数， 所以()f x 的图象的对称轴方程为1x =-又()f x 的图象过点()1,0， 故1420bb c ⎧-=-⎪⎨⎪++=⎩)解得46b c =⎧⎨=-⎩所以()2246f x x x =+-()2令4t log x =，则[]1,2t ∈ 原式可化为624m t t ≥-+在[]1,2上恒成立， 因为函数624y t t =-+在[]1,2上单调递增，易得当2t =时，624y t t =-+值为5.故m 的取值范围是[5,)+∞，所以实数m 的最小值为5.19. 证明:()1//,AB CD 2,CD AB E =是CD 的中点，//,AB DE ∴且AB DE =，∴四边形ABED 是平行四边形，//,AD BE ∴BE ⊄平面,PAD AD ⊂平面,PAD//BE ∴平面,PAD E 和F 分别是,CD PC 的中点，//,EF PD ∴EF ⊄平面,PAD PD ⊂平面,PAD//EF ∴平面,PADEF BE E ⋂=，,BE EF ⊂平面,BEF∴平面//BEF 平面,PAD()290ADC ∠=︒，,AD CD ∴⊥又//,BE ADBE CD ∴⊥.()290ADC ∠=︒，,AD CD ∴⊥又//,BE AD,BE CD ∴⊥.由PA ⊥底面,ABCD CD ⊂平面,ABCD得到,PA CD ⊥又PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面,PADCD ∴⊥平面,PADPD ⊂平面,PAD,CD PD ∴⊥//,PD EF,CD EF ∴⊥CD ∴⊥平面BEF ，CD ⊂平面,PCD∴平面BEF ⊥平面PCD .20.()1解://,AB CDPCD ∴∠即为异面直线PC 与AB 所成的角或其补角.,2PD CD PD CD ⊥=，2PDtan PCD CD ∴∠==又09],0(PCD ∠∈︒，∴异面直线PC 与AB 所成角的正切值为2.()2证明://,AB CD又CD ⊂平面,PCD AB ⊄平面PCD ，//AB ∴平面PCD .又由题意，得平面ABEF ⋂平面,PCD EF =AB ⊂平面ABEF ，//,AB EF ∴//EF CD ∴.21. 解:()1因为站点D 距两工业园区的距离均不得少于15,km所以1512015x x ≥⎧⎨-≥⎩解得15105x ≤≤设2210120510,15105()()y k x x x ⎡⎤=+-+⨯≤≤⎣⎦-，当40x =时，1825501875y =+=，所以()223080501875k ++=， 解得14k = 所以()2221101205101307350,15105()()2y x x x x x =⎡⎤⎣-+-+⨯=-+≤≤⎦()()221121307350651562.522()y x x x =-+=-+，当65x =时，1562.5min y =万元.所以当天然气站点D 距工业园区65A km 时，修建总费用最小，最小总费用为1562.5万元.22.()1证明:在ABCD 中，有AD BC AC ==，又因为E 为侧棱'D C 的中点，所以',AE CD ⊥在ABCD 中，,AC BC ⊥又平面AD C '⊥平面,ABC 平面'AD C ⋂平面ABC AC =，BC ⊂平面,ABC所以BC ⊥平面'ACD因为AE ⊂平面',ACD所以,AE BC ⊥因为',,'BC CD C BC CD ⋂=⊂平面',D BC所以AE ⊥平面'D BC .()2解:取AB 中点О，连接CO 并延长至点F ，使,CO OF =连接,',AF D F BF因为,BC AC =所以射线CO 是角ACB ∠的角分线.又因为点E 是'CD 的中点，所以//',OE D F因为OE ⊂平面,ABE 'D F ⊄平面,ABE 所以'//D F 平面,ABE因为,AB FC 互相平分故四边形ACBF 为平行四边形，有//,BC AF 又因为'AD BC ⊥，所以有',AF AD ⊥又因为1,'1AF BC AD AD BC =====，故D F '=。

2021年高三数学上学期1月月考试卷文（含解析）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．D．A．①B．①②C．②③D．①②③7．（5分）已知函数①y=sinx+cosx，②，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点成中心对称B．两个函数的图象均关于直线成轴对称C．两个函数在区间上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同8．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△APC内的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．32 C．D．10．（5分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．﹣1 B．C．1 D．﹣12．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．2二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）13．（5分）设z=x+2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是．14．（5分）已知圆O：x2+y2=1，直线x﹣2y+5=0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为．15．（5分）观察下列等式；12=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…根据上述规律，第n个等式为．16．（5分）表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为．三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n=1，数列{b n}中，b1=1，b2=，=+（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．18．（12分）云南省xx年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的平均身高为170.5cm．现从我校xx届高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，…，第6组，图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估我校xx届高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；（2）已知我校这50名男生中身高排名（从高到低）在全省前100名有2人，现从身高在182.5cm以上（含182.5cm）的人中任意抽取2人，求该2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名的概率．19．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．（1）求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．（2）求证：平面AFC⊥平面CBF．（3）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．21．（12分）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）如果对任意x1、x2∈，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k|﹣|，求实数k的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）若以O点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．23．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．xx-云南省部分名校xx届高三上学期1月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．D．∴故选A点评：本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．解答：解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣2，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣2﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣2﹣4﹣8，i=4；∴S0﹣2﹣4﹣8=﹣4解得S0=10故选D．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列．6．（5分）设 a＞b＞1，C＜0，给出下列三个结论：①＞；②a c＜b c；③log b（a﹣c）＞log a（b﹣c）．其中所有的正确结论的序号（）A．①B．①②C．②③D．①②③考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：利用作差比较法可判定①的真假，利用幂函数y=x c的性质可判定②的真假，利用对数函数的性质可知③的真假．解答：解：①﹣=，∵a＞b＞1，c＜0∴﹣=＞0，故＞正确；②考查幂函数y=x c，∵c＜0∴y=x c在（0，+∞）上是减函数，而a＞b＞0，则a c＜b c正确；③当a＞b＞1时，有log b（a﹣c）＞log b（b﹣c）＞log a（b﹣c）；正确．故选D．点评：本题主要考查了不等式比较大小，以及幂函数与对数函数的性质，属于基础题．7．（5分）已知函数①y=sinx+cosx，②，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点成中心对称B．两个函数的图象均关于直线成轴对称C．两个函数在区间上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：化简这两个函数的解析式，利用正弦函数的单调性和对称性，可得 A、B、D不正确，C 正确．解答：解：函数①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x，由于①的图象关于点（﹣，0 ）成中心对称，②的图象不关于点（﹣，0 ）成中心对称，故A不正确．由于函数②的图象不可能关于（﹣，0）成中心对称，故B不正确．由于这两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数，故C正确．由于①的周期等于2π，②的周期等于π，故 D不正确．故选 C．点评：本题考查正弦函数的单调性，对称性，化简这两个函数的解析式，是解题的突破口．8．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△APC内的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．解答：解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则，又P点满足，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足，此时S△APC=S△A BC故黄豆落在△APC内的概率为，故选A．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．32 C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知可得该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，分别求出棱柱和棱锥的体积，相减可得答案．解答：解：由已知可得该几何体是一个以假视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其中底面面积S=×4×4=8，棱柱的高为8，故棱柱的体积为：8×8=64，棱锥的高为4，故棱柱的体积为：×8×4=，故该几何体的体积V=64﹣=，故选：A点评：本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．10．（5分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：首先由三角形面积公式得到S△ABC=，再由余弦定理，结合2S=（a+b）2﹣c2，得出sinC ﹣2cosC=2，然后通过（sinC﹣2cosC）2=4，求出结果即可．解答：解：△ABC中，∵S△ABC=，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，且 2S=（a+b）2﹣c2 ，∴absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得sinC﹣2cosC=2，∴（sinC﹣2cosC）2=4．∴=4，化简可得 3tan2C+4tanC=0．∵C∈（0，180°），∴tanC=﹣，故选C．点评：本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值，要注意角C的范围，属于中档题．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．﹣1 B．C．1 D．﹣考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得函数f（x）为奇函数，函数f（x）为周期为4是周期函数，4＜log220＜5，f（log220）=﹣f（log2），由f（log2）=1，能求出f（log220）=﹣1．解答：解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1故f（log220）=﹣1．故选：A．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质和对数运算法则的合理运用．12．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（） 2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：A点评：本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）13．（5分）设z=x+2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，结合z在目标函数中的几何意义，求出目标函数的最大值、及最小值，进一步线出目标函数z的范围．解答：解：约束条件对应的平面区域如图示：由图易得目标函数z=2y+x在O（0，0）处取得最小值，此时z=0在B处取最大值，由可得B（），此时z=故Z=x+2y的取值范围为：故答案为：点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件，利用目标函数中z的几何意义是关键．14．（5分）已知圆O：x2+y2=1，直线x﹣2y+5=0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为2．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用数形结合确定圆心到直线的距离最小时，即可．解答：解：∵|PA|=，∴当OP最小时，|PA|的距离最小，此时圆心到直线的距离d==，此时|PA|的最小为=2，故答案为：2点评：本题主要考切线长公式的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．15．（5分）观察下列等式；12=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…根据上述规律，第n个等式为13+23+33+43+…+n3=（）2．考点：归纳推理．专题：计算题；推理和证明．分析：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，进而可得答案．解答：解：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，则13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2 =（）2，故答案为：13+23+33+43+…+n3=（）2点评：本题考查归纳推理，解题的关键是发现各个等式之间变化的规律以及每个等式左右两边的关系．16．（5分）表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为27．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：棱锥S﹣ABC的底面积为定值，欲使棱锥S﹣ABC体积体积最大，应有S到平面ABC 的距离取最大值，由此能求出棱锥S﹣ABC体积的最大值．解答：解：∵表面积为60π的球，∴球的半径为，设△ABC的中心为D，则OD=，所以DA=，则AB=6棱锥S﹣ABC的底面积S=为定值，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO=，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为，∴V=．故答案为：27．点评：本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n=1，数列{b n}中，b1=1，b2=，=+（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．考点：数列递推式；数列与不等式的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由2S n+a n=1，得S n=（1﹣a n），由此推导出{a n}是首项为，公比为的等比数列，从而求出a n．由b1=1，b2=，=+（n∈N*），得=1，=2，d==1，由此推导出{}是首项为1，公差为1的等差数列，从而求出b n；（Ⅱ）c n==n•（）n，设T n=c1+c2+c3+…+c n，由错位相减求和，即可证明结论．解答：解．（Ⅰ）由2S n+a n=1，得S n=（1﹣a n），当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（1﹣a n）﹣（1﹣a n﹣1），∵a n﹣1≠0，∴=而S1=（1﹣a1），∴a1=∴{a n}是首项为，公比为的等比数列，∴a n=（）n．由b1=1，b2=，=+（n∈N*），得=1，=2，d==1，∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，∴b n=．（2）c n==n•（）n，设T n=c1+c2+c3+…+c n，则T n=1•+2•（）2+…+n•（）n，T n=1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，由错位相减，化简得：T n=＜．点评：本题考查数列通项公式的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是xx届高考的重点．解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．18．（12分）云南省xx年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的平均身高为170.5cm．现从我校xx届高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，…，第6组，图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估我校xx届高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；（2）已知我校这50名男生中身高排名（从高到低）在全省前100名有2人，现从身高在182.5cm以上（含182.5cm）的人中任意抽取2人，求该2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）xx届高三男生的平均身高用组中值×频率，即可得到结论；（2）列举出所有的基本事件，找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校xx届高三年级男生平均身高为：160×0.1+165×0.2+170×0.3+175×0.2+180×0.1+185×0.1=171高于全市的平均值170.5；（II）这50人中182.5 cm以上的有5人，分别设为A，B，C，D，E，其中身高排名在全省前100名为A，B．故总得事件 AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名，有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，7种，设“该2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名”为事件A，故P（A）=点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，频率分面直方图，属于基础题．19．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．（1）求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．（2）求证：平面AFC⊥平面CBF．（3）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）由题意求出四棱锥F﹣ABCD的高，然后求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．（2）要证平面AFC⊥平面CBF．只需证明AF垂直平面CBF内的两条相交直线BC、BF即可；（3）在线段CF上是存在一点M，取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN，MNAO 为平行四边形，即可说明OM∥平面ADF．解答：解：（1）∵AD=EF=AF=1∴∠OAF=60°作FG⊥AB交AB于一点G，则∵平面ABCD⊥平面ABEF∴FG⊥面ABCD（3分）所以（2）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．∵AF⊂面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF；（3）取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN则MN，又AO，则MNAO，所以MNAO为平行四边形，（10分）∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF．（12分）点评：本题是中档题，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，考查棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的判定，常考题型．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设k AC=k，由k AC•k BD=﹣=﹣，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明．解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设k AC=k，∵k AC•k BD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）如果对任意x1、x2∈，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k|﹣|，求实数k的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立条件关系即可求实数a的值及f（x）的极值；（2）根据不等式单调函数的单调性关系，将不等式进行转化，利用导数求函数的最值即可得到结论．解答：解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）==，∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴f′（0）=，∴a=1，∴f（x）=，f′（x）=﹣，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值（2）由（1）的结论知，f（x）在⇔函数F（x）=f（x）﹣=在∴k≤lnx在请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）若以O点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：（1）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程．（2）曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ），利用点到直线距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．解答：解：（1）由ρ=4cosθ，得出ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=4x即曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=4，直线l的方程是：x+y=0…（4分）（2）将曲线C横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ）到直线l距离d==．当sin（θ+α）=0时到直线l距离的最小值为0．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．23．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．分析：（1）先求得|x+1|+|x﹣2|＞7，然后分类讨论去绝对值号，求解即可得到答案．（2）由关于x的不等式f（x）≥2，得到|x+1|+|x﹣2|≥m+4．因为已知解集是R，根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x﹣2|≥3，令m+4≤3，求解即可得到答案．解答：解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，等价于m+4≤3，∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．点评：本题主要考查绝对值不等式的应用问题，题中涉及到分类讨论的思想，考查学生的灵活应用能力，属于中档题目．37571 92C3 鋃L34168 8578 蕸y 28726 7036 瀶31851 7C6B 籫:+(A22475 57CB 埋32744 7FE8 翨31767 7C17 簗21666 54A2 咢。

河南省顶级名校2021届高三1月联合教学质量测评文科数学本试题卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合A ＝{－1，2}，B ＝{x ｜x 2－4x ＋m ＝0}，且A ∪B ＝{－1，2，5}，则A ．2∈B B ．5∉BC ．1∈BD ．－1∈B2．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i ＋i 2＋i 3B ．（2i －1）＋3iC ．（1－i ）2D ．i （1－2i ）3．世界著名的数学杂志《美国数学月刊》于1989年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题．题中的正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如图），向棋盘内随机投掷1点，则该点不落在黑色区域内的概率为A ．13B ．23C ．12D ．34 4．剑玉起源于11世纪，是一种传统的日本民间游戏，其玩法有上千种，受到世界各地年轻人的喜爱．下图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是一个“剑玉杆”的三视图，则该“剑玉杆”的表面积为A ．4104296πππ＋＋B ．4154296πππ＋＋C ．2152296πππ＋＋D ．2102296πππ＋＋5．已知△ABC 中，点D 为线段BC 的中点，若3DE AD ＋＝0，则BE ＝A ．13AD CE －－ B ．23AD CE －－ C ．1132AD CE －－ D ．23AD CE －－ 6．已知函数()12010x e x x f x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩＋，＜，＝－＋，≥，若函数g （x ）＝f （x ）－m 有3个不同的零点，则实数m 的取值范围为A ．（34，1） B ．（－∞，34）∪（1，＋∞） C ．（－∞，34） D ．（34，＋∞） 7．已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AC ＝AA 1，D ，E ，F 分别是所在棱的中点；现有3个图形如下所示，则满足CF ⊥DE 的图形个数为A ．0B ．1C ．2D ．38．“提丢斯数列”，是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…；再将每一项除以10后得到“提丢斯数列”：0．4，0．7，1．0，1．6．2．8，5．2，10．0，…，则下列说法中，正确的是A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为9832410⋅＋ C ．“提丢斯数列”前31项和为30321211010⋅＋D ．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项9．如图所示，平面四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，∠ABC ＝135°，AB ＝6，AC＝CD＝ABCD 的面积为A ．39B ．36C ．42D ．4810．已知直线l ：2x －y ＋4＝0与y 轴交于点M ，抛物线C ：x 2＝2py （p ∈（0，3））的准线为l '，点A 在抛物线C 上，点B 在l '上，且AB ⊥l '，∠ABM ＝∠AMB ，∠MAB ＝120°，则p ＝A ．67 B ．127 C ．45D ．85 11．已知函数f （x ）＝4cos3x ，将函数f （x ）的图像向左平移59π个单位后，得到函数g （x ）的图像，若函数g （x ）在[0，3m ]和[5m ，1712π]上单调递增，则实数m 的取值范围为 A ．[9π，4π） B ．[29π，4π） C ．[29π，3π] D ．[29π，1760π） 12．已知双曲线C ：22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，｜AF 2｜－｜AF 1｜＝｜BF 1｜－｜BF 2｜＝2a ，且∠BF 2F 1＝135°，若2BF ＝17AF ，则双曲线C 的渐近线方程为A．2y x ±＝ B．4y x ±＝ C．y x ±＝ D．y x ±＝ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。

湘豫名校联考（2021年1月）数学（文科）试卷第Ⅰ卷一、选择题1．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为（ ）A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--2．设集合{1,0,1}A =-，集合{}B x x t =>，若A 、B 两集合的关系如图，则实数t 的取值范围为（ ）A ．1t ≤B ．1t ≥C ．1t <D ．1t >3．根据如下样本数据：得到的回归方程为y bx a =+，则（ ） A ．0a >，0b > B ．0a >，ˆ0b < C ．0a <，0b >D ．0a <，ˆ0b< 4．函数2ln||y x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．在数列{}n a 中，12a =，()*111nn na a n a ++=∈-N ，则2021a =（ ）A ．12-B ．-3C ．13D ．26．《巴黎协定》是2015年12月12日在巴黎气候变化大会通过，2016年4月22日在纽约签署的气候变化协定，该协定为2020年后的全球应对气候变化行动作出安排．中国政府一直致力积极推动《巴黎气候》协定的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中污染物的数量P （单位：毫克/升） 与过滤时间t （单位：时）之间的函数关系式为0e kP P -=（k ，0P 均为正常数）．如果前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（ ） A ．12小时 B ．59小时 C ．5小时 D ．10小时7．函数()g x 的图象是由函数()22f x x x =+的图象向右平移4π个单位长度得到的，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A ．()g x 为奇函数B ．()g x 为偶函数C ．()g x 的图象的一个对称中心为3,08π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()g x 的图象的一条对称轴为78x π=8．在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱1BB ，BC 的中点，若M 在以1C N 为直径的圆上，则异面直线1A D 与1D M 所成的角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．随长方体的形状变化而变化9．疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为5，则下列判断错误的是（ ） A ．注射疫苗发病的动物数为10B ．从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为23C ．能在犯错概率不超过0．001的前提下，认为疫苗有效D ．该疫苗的有效率为75%10．圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>无交点，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．(C ．[2,)+∞D ．(1,2]11．函数3()log f x x =，若正实数m ，()n m n <满足()()f m f n =，且()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则n m -=（ ） A ．83B ．809C ．154D ．2551612．已知矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E ，F 分别为边AB 和CD 上的动点（不与端点重合），且//EF AD ，将四边形ADFE 沿EF 折起，使平面ADFE ⊥平面BCFE ，连接AB ，CD ，当三棱柱ABE DCF -的体积最大时，该三棱柱的外接球体积为（ ）A ．3B ．3C ．6D ．第Ⅱ卷二、填空题13．若单位向量1e ，2e 的夹角为120°，则12e e -=______．14．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，6AB =，弦AB 中点P 的横坐标2P x =，则该抛物线的方程为______．15．已知数列{}n a 的首项为11a =，前n 项和为n S ，且()*122n n a S n ++=∈N ，则满足2100111100010n n S S <<的n 的最大值为______． 16．不等式ln ax x x+>在(1,e)x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为______． 三、解答题 （一）必考题：17．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c2222ac +=-． （1）求sin B ； （2）若a =2b =，求ABC △的面积．18．某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，其单人平均消费相近，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，得到以下数据表格． （单位：人次）（1）由样本数据分析，三种年龄层次的人群中，哪一类更倾向于选择自助餐?（2）为了和顾客进行深人沟通交流，餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取2人进行交流，求两人都是中年人的概率；（3）若你朋友选择到该餐厅就餐，根据表中的数据，你会建议你朋友选择哪种就餐方式? 19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为11B C 中点．（1）求证：1//AB 平面1BD M ；（2）若12AA AD ==，AB =A 到平面1BD M 的距离．20．已知函数2()ln ()2a f x x x a =-∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有极值-1，求()f x 的图象在1x =处的切线方程．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，点1F ，2F 分别为其左、右焦点，点A ，B 分别为其左、右顶点，点Q 为椭圆上不与A ，B 重合的动点，且1QAF △（1）求椭圆C 的方程；（2）分别过点A ，B 作直线1l AQ ⊥于点A ，2l BQ ⊥于点B ，设1l 与2l 相交于点P ，求点P 的轨迹方程．（二）选考题．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为,212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线2l 的极坐标方程为2sin 303πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，2l 交极轴于点A ，交直线1l 于B 点．（1）求A ，B 点的极坐标方程；（2）若点P 为椭圆2213y x +=上的一个动点，求PAB △面积的最大值及取最大值时点P 的直角坐标． 23．已知函数()21()f x x x m m =-++∈R ． （1）若1m =，解不等式()6f x ≤；（2）若关于x 的不等式()21f x x ≤+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围．湘豫名校联考（2021年1月）数学（文科）参考答案一、选择题1．A 【解析】由1i i=-在第四象限，故选A ． 2．B 【解析】由题意，A B ⋂=∅，故1t ≥，故选B ．3．B 【解析】由图表中的数据可得，变量y 随着x 的增大而减小，则ˆ0b<， 又回归方程y bx a =+经过(2,4)与(3,2.5)附近，可得0a >，故选B ． 4．A 【解析】2ln ||y x x =-为偶函数，故B 、D 不成立， 当0x >时，12y x x '=-，当2x ⎛∈ ⎝⎭时，2ln y x x =-单调递减， 当,2x ⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，2ln y x x =-单调递增，故选A ． 5．D 【解析】12a =，212312a +==--，3131132a -==-+， 411121312a -==+，51132113a +==-，故数列{}na 是以4为周期的周期数列， 故202112a a ==，故选D ．6．C 【解析】由题知：当0t =时，0P P =，所以500(190%)e kP P --=⋅，即5e0.1k-=，由000.01e kt P P -=⋅，即()25e e kkt --=，解得10t =，即还需5小时，故选C ． 7．C 【解析】由题知：()2sin 22sin 2444g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 当78x π=时，3242x ππ-=，易知C 正确．8．C 【解析】如图，连接MN ，1C M ，则1MN C M ⊥，因为11C D ⊥平面11B BCC ，所以11C D MN ⊥， 因为1111C M C D C ⋂=，所以MN ⊥平面11C D M ， 所以1MN D M ⊥，由1//MN A D ，所以11A D D M ⊥，所以异面直线1A D 与1D M 所成的角为90°．故选C ．9．D 【解析】由题知：注射疫苗动物共40只，未注射为60只；A 、B 正确．补充列联表，得：22100(20104030)16.6710.82860405050K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 故能在犯错概率不超过0．001的前提下认为疫苗有效．故选D ．10．D 【解析】由题知：圆心(1,0)到直线y kx =的距离2d ==，故k =．由题意：ba≤24e ≤． 故(1,2]e ∈，选D ． 11．A 【解析】3()log f x x =，正实数m ，()n m n <满足()()f m f n =，01m n ∴<<<，且33log log m n =，33log log m n ∴=-，33log log 0m n ∴+=，解得1mn =，又()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，易知()223log 2f m m =-=，13m ∴=，此时3n =，83n m ∴-=，故选A ．12．C 【解析】设AE x =，则4BE x =-，折得的几何体为三棱柱，故1(4)32AEB DFC V x x -=-⋅．当且仅当2x =时，AEB DFC V -的体积最大．此时外接球直径为BD ==故外接球体积3 43r V π==球．二、填空题1321211121132e e -=++⨯⨯⨯=，故123e e -=． 14．24y x =【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线定义知：126x x p ++=， 又1222P x x x +==，即2p =，故抛物线方程为24y x =． 15．9【解析】由122n n a S ++=，122(2)n n a S n -+=≥，相减得12(2)n n a a n +=≥， 又11a =，212a =，则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 不等式可化为100111111000210n⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9．16．[1,)-+∞【解析】由不等式ln ax x x+>在(1,e)x ∈上恒成立， 即2ln a x x x >-在(1,e)x ∈上恒成立．令2()ln g x x x x =-，则()ln 12g x x x '=+-，1()20((1,e))g x x x''=-<∈， 故()g x '在(1,e)上单调递减，()(1)1g x g ''<=-， 故()g x 在(1,e)上单调递减，又(1)1g =-，故1a ≥-．三、解答题17．【解析】（12222ac =-得2223a cb ac +-=-，由余弦定理知，2223cos 22a c bB acac +-===又(0,)B π∈，所以sin B ==（2）由2222cos b a c ac B =+-，即221c c +=，解得1c =（舍去负根），所以ABC △的面积11sin 1)22S ac B === 18．【解析】（1）由题知，老年人选择自助餐的频率11519P =， 中年人选择自助餐的频率23239P =， 青年人选择自助餐的频率32742P =， 则213P P P >>，即中年人更倾向于选择自助餐．（2）点餐不满意的人群中，老年人1人（设为a ），中年人2人（设为b ，c ），青年人2人（设为d ，e ）． 从中选取2人，其基本事件有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)c d ，(,)c e ，(,)d e ，共10个基本事件，其中2人都是中年人仅有一个(,)b c 符合题意； 故两人都是中年人的概率为110P =． （3）由表可知，自助餐满意的均值为：1521012510058052121074x ⨯+⨯+⨯==++． 点餐满意的均值为：241017550125417526x ⨯+⨯+⨯==++ 12x x >，故建议其选择自助餐．（答案不唯一，言之有理即可）19．【解析】（1）连接1AC 交1BD 于点O ，则O 为1AC 中点，连接OM ， 又M 为11B C 中点，故OM 为11AB C △的中位线，故1//OM AB ，又OM ⊂平面1BD M ，1AB ⊄平面1BD M ， 所以1//AB 平面1BD M ．（2）由（1）知，1//AB 平面1BD M ，则A 到平面1BD M 的距离与1B 到平面1BD M 的距离相等，连接11D B ． 故1111D BB M B D MB V V --=，又1D MB △中，13D M =，BM =，14BD =． 由余弦定理知：15cos 6MD B ∠=，则1sin 6MD B ∠=故1111sin 2BD M S BD D M MDB =⋅⋅∠=△ 故1B 到平面1BD M的距离111311D BB M BD M V d S -===△ 即点A 到平面1BD M． 20．【解析】（1）由题意知()f x 的定义域为(0,)+∞，且211()ax f x ax x x-'=-=．当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增．当0a >时，令()0f x =得x =所以当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>，()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递减．（2）由（1）及(1)f 有极值-l 知0a >，且1ln 12f ==-，所以1ln 2=-，e a =． 所以2e ()ln 2f x x x =-，e (1)2f =-，(1)1e f '=-． 所以()f x 在1x =处的切线方程为e (1e)(1)2y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭， 即e (e 1)102x y -+-+=[或y=2或e (1e)12y x =-+-] 21．【解析】（1）由题意得12c e a==，即2a c =． 又11()2QAF Q S a c y =-⋅△，点Q 为椭圆上的动点．故Q y b ≤，则1QAF S △的最大值为1()2a c b -⋅=即()222()3a c a c --=，代入2a c =得1c =，故2a =，b = 即椭圆方程为22143x y +=．（2）设()00,Q x y ，(,)P x y ，则2200143x y +=．① 由题意得：002AQ y k x =+，(2)2AP y k x x =≠-+，0BQ 02y k x =-，(2)2BP y k x x =≠-， 则1AQ AP k k ⋅=-，1BQ BP k k ⋅=-． 且22004AQ BQy k k x ⋅=-，代入①得34AQ BQ k k ⋅=-，又1AQ AP BQ BP k k k k ⋅⋅⋅=， 所以43AP BP k k ⋅=-， 即22443y x =--，整理得2211643y x +=． 故221(2)1643y x x +=≠±为所求轨迹方程． 22．【解析】（1）1l的方程为y x =，化为极坐标方程为()6πθρ=∈R ． 代入2l 的方程得：3ρ=，即3,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 方程2sin 303πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，令0θ=，即ρ=)A ． （2）由（1）知，OA =3OB =，且6BOA π∠=，故AB =，设点P 到直线AB 的距离为d ，故S =，设点()cos P θθ，2l的一般方程为3y =-，故|3|2224S d θθπθ-⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 当32()4k k πθπ=+∈Z时，max 4S = 此时，P点坐标为⎛ ⎝⎭．23．【解析】（1）1m =时，()|21||1|f x x x =-++， 即3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩()6f x ≤，即1,36x x ≤-⎧⎨-≤⎩或11,226x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,236,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得22x -≤≤．即不等式()6f x ≤的解集为{}22x x -≤≤．（2）当3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式|21||||21|x x m x -++≤+ 即||2121x m x x ++-≤+， 即||2x m +≤在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 故22x m -≤+≤，22x m x --≤≤-． 故max (2)m x ≥--，且min (2)m x ≤-，3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 故1104m -≤≤． 即实数m 的取值范围为11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。

湘豫名校联考（2 0 2 1年1月）语文试卷一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

长期以来，中国的科学技术遥遥领先于其他文明，为什么第一次工业革命没有发生在中国？对于人类科技史上著名的“李约瑟之谜”，诺贝尔经济学奖得主道格拉斯·诺斯的解答是：知识产权保护制度的出现和发展，使得发明成果大量涌现，从而启动了工业革命并创造了现代经济增长的奇迹。

作为一种现代产权制度，知识产权制度的本质是通过保护产权形成激励机制，为权利人提供持久的创新动力。

在没有产权保护的情况下，创新者不愿对创新活动进行投入，因为他们的成果将会被迅速模仿，导致其几乎无法获得利润。

知识产权制度通过赋予创新者以产权，禁止他人未经授权使用其创新成果，从而为技术创新提供内在的激励机制和动力源泉。

知识产权制度是创新发展的基本保障。

知识产权制度不仅对创新成果进行产权界定，还对创新产业进行合理资源配置，营造产权交易环境，使创新活动能够合法、有序地进入市场，充分实现经济价值。

知识产权制度在一个国家的法律体系中对于激励和保护创新产业发展具有重要作用，很多学者也将知识产权法称为创新之法。

长期以来，我国经济增长主要依靠劳动力、资本、资源三大传统要素投入，然而，这种经济发展模式已很难再继续承担可持续发展的历史重任。

要努力实现经济行稳致远，主要增长动力必须做相应转换，让创新成为驱动发展的新引擎。

创新是引领发展的第一动力，企业赖之以强，国家赖之以盛。

抓住了创新，就抓住了牵动经济社会发展全局的“牛鼻子’’。

随着我国经济发展从资源驱动向创新驱动转变，我国比任何时候都更加需要创新这个第一动力。

知识产权将企业的创新、研发、制造和销售等环节有效地连接起来，既可以引领创新创业发展，又能够推动传统产业转型升级。

从某种意义上讲，创新驱动就是知识产权驱动。

改革开放40多年来，我国积极吸收借鉴其他国家制度经验，在引进、消化、吸收、再创新的基础上，建立了较为完善的知识产权法律体系。