流体力学自学指南及习题选讲-第三章

第3章 流体动力学基础3.1 解： zuu y u u x u u t u a x z x y x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=()()342246222222222=++++=+-++++=++=z y x t z y t y x t u u y xzu u yu u xu u tu a y zy yy xy y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=()()32111=-++=-+++--=+-=z y x z x t z y t u u x yzu u y u u x u u t u a z z z y z x z z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=()()112122211=++++=-+-+++=-+=z y x t z y t y x t u u z x222286.35s m a a a a z y x =++=3.2 解：（1）3235623=-=+=xy xy u xy y u a y x x222527310.3333231s m a a a y u y a y x y y =+===-=（2）二元流动（3）恒定流 （4）非均匀流 3.3 解：bh u y h u bdy h y u udA Q h hA m ax 07871m ax 071m ax 8787==⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰ m ax 87u A Q v ==3.4 解：s m dd v v 02.011.02221221=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 3.5 解：Hd v d 1v 1q 1q 2223d 3v Dv 1dv 2（1）s m v d Q 332330785.04==πs m q Q Q 32321.0=+= s m Q q Q 321115.0=+=（2）s m d Q v 12.242111==πs m d Q v 18.342222==π 3.6 解：渠中：s m m m s m bh v Q 311612/3=⨯⨯==管中：2231242.1d v s m Q Q Q ⨯⨯==-=πm v Q d 0186.1422==π 3.7 解： s m d d v v ABB A62.04.05.1442222=⨯=⋅=ππ以过A 点的水平面为等压面，则OmH g v g p h H OmH g v g p H B B B A A A 2222226964.58.925.18.9405.128980.48.9268.9302=⨯++=++==⨯+=+=ρρ可以看出：A B H H >，水将从B 点流向A 点。

流体力学第三章课后习题答案流体力学第三章课后习题答案流体力学是研究流体运动和流体力学性质的学科。

在学习流体力学的过程中，课后习题是巩固知识和提高理解能力的重要环节。

本文将为大家提供流体力学第三章的课后习题答案，帮助读者更好地掌握流体力学的相关知识。

1. 一个液体的密度为1000 kg/m³，重力加速度为9.8 m/s²，求其比重。

解答：比重定义为物体的密度与水的密度之比。

水的密度为1000 kg/m³，所以比重为1。

因此，该液体的比重也为1。

2. 一个物体在液体中的浮力与物体的重力相等，求物体在液体中的浸没深度。

解答：根据阿基米德原理，物体在液体中的浮力等于物体所排除液体的重量。

浮力的大小等于液体的密度乘以物体的体积乘以重力加速度。

物体的重力等于物体的质量乘以重力加速度。

根据题目条件，浮力等于重力，所以液体的密度乘以物体的体积等于物体的质量。

浸没深度可以通过浸没体积与物体的底面积之比来计算。

3. 一个圆柱形容器中盛有液体，容器的高度为10 cm，直径为5 cm，液体的密度为800 kg/m³，求液体的压强。

解答：液体的压强等于液体的密度乘以重力加速度乘以液体的深度。

容器的高度为10 cm，所以液体的深度为10 cm。

重力加速度为9.8 m/s²，所以液体的压强为800 kg/m³乘以9.8 m/s²乘以0.1 m，即784 Pa。

4. 一个水龙头的出水口半径为2 cm，水流速度为10 m/s，求水龙头出水口附近的压强。

解答：根据质量守恒定律，水流速度越大，压强越小。

根据伯努利定律，水流速度越大，压强越小。

因此，水龙头出水口附近的压强较小。

5. 在一个垂直于水平面的圆柱形容器中，盛有密度为900 kg/m³的液体。

容器的半径为10 cm，液体的高度为20 cm。

求液体对容器底部的压力。

解答：液体对容器底部的压力等于液体的密度乘以重力加速度乘以液体的高度。

第三章 流体运动学3-1解：质点的运动速度1031014,1024,1011034=-=-==-=w v u 质点的轨迹方程1031,52,103000twt z z t vt y y t ut x x +=+=+=+=+=+= 3-2 解：2/12/12/3222/12/12/3220375.0232501.02501.00375.0232501.02501.00t t t dt d dt y d a t t t dt d dt x d a a y x z =⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===由501.01t x +=和10=A x ,得19.1501.011001.015252=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A x t 故206.00146.0146.00,146.0,014619.150375.0222222/1=++=++=====⨯=zyxz x y x a a a a a a a a3-3解：当t=1s 时，点A （1,2）处的流速()()sm s m yt xt v s m s m y xt u /1/1211/5/2211222-=⨯-⨯=-==⨯+⨯=+=流速偏导数112221121,1,/12,1,/1-----=-=∂∂==∂∂==∂∂=∂∂==∂∂==∂∂s t yvs t x v s m t t v s yu s t x u s m x t u点A(1,2)处的加速度分量()[]()()[]222/11151/3/21151s m y v v x v u t v Dt Dv a s m s m yuv x u u t u Dt Du a y x -⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂===⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂==3-4解：(1)迹线微分方程为dt udy dt u dx ==, 将u,t 代入，得()tdtdy dt y dx =-=1利用初始条件y(t=0)=0,积分该式，得221t y =将该式代入到式（a ）,得dx=(1-t 2/2)dt.利用初始条件x(t=0)=0,积分得361t t x -=联立（c ）和（d ）两式消去t,得过（0,0）点的迹线方程023492223=-+-x y y y (2)流线微分方程为=.将u,v 代入，得()tdx dy y tdyy dx =-=-11或 将t 视为参数，积分得C xt y y +=-221 据条件x(t=1)=0和y(t=1)=0,得C=0.故流线方程为xt y y =-221 3-5 答：()()，满足满足002,0001=+-=∂∂+∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂k k zw y v x u zw y v x u()()()()，满足，满足000040223222222=++=∂∂+∂∂+∂∂=+-++=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u yxxyyxxyzw yv xu()()()()()()处满足，其他处不满足仅在，不满足，满足，满足满足，满足0,41049000018001760000522==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=++=∂∂++∂∂=++-=∂∂++∂∂=++=∂∂+∂∂+∂∂y y yv x u yv x u u r r u r u rk r k u r r u r u zw yv xu r r r rθθθθ3-6 解：max 02042020max 20320max 2020max 2020214222111000u r r r r u dr r r r r u rdrd r r u r udA r V r rA r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰⎰πππππ3-7 证：设微元体abcd 中心的速度为u r ,u θ。

第三章 流体运动学3-1粘性流体平面定常流动中是否存在流函数？ 答：对于粘性流体定常平面流动，连续方程为：()()0=∂∂+∂∂yv x u ρρ； 存在函数：v t y x P ρ-=),,(和()u t y x Q ρ=,,，并且满足条件：()()yP x Q ∂∂=∂∂。

因此，存在流函数，且为：()()()dy u dx v Qdy Pdx t y x ρρψ+-=+=⎰⎰,,。

3-2轴对称流动中流函数是否满足拉普拉斯方程?答：如果流体为不可压缩流体，流动为无旋流动，那么流函数为调和函数，满足拉普拉斯方程。

3-3 就下面两种平面不可压缩流场的速度分布分别求加速度。

（1）22222 ,2yx ym v y x x m u +⋅=+⋅=ππ （2）()()()222222222 ,yxKtxyv yxx y Kt u +-=+-=，其中m ，K 为常数。

答：（1）流场的加速度表达式为：yv v x v u t v a y u v x u u t u a x ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=y ,。

由速度分布，可以计算得到：0 ,0=∂∂=∂∂tvt u ，因此： ()222222y x x y m x u +-⋅=∂∂π，()22222y x xy m y u +-⋅=∂∂π；()22222y x xy m x v +-⋅=∂∂π，()222222y x y x m y v +-⋅=∂∂π。

代入到加速度表达式中：()()()22222222222222222222220y x x m y x xym y x y m y x x y m y x x m a x +⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⋅⋅+⋅++-⋅⋅+⋅+=πππππ()()()22222222222222222222220y x y m y x y x m y x y m y x xym y x x m a y +⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⋅⋅+⋅++-⋅⋅+⋅+=πππππ（2）由速度分布函数可以得到：()()()322222222 ,y x Kxyt v y x x y K t u +-=∂∂+-=∂∂ ()()3222232y x y x Ktx x u +-⋅=∂∂，()()3222232y x y x Kty y u +-⋅=∂∂； ()()3222232y x x y Kty x v +-⋅-=∂∂，()()3222232yx y x Ktx y v +-⋅-=∂∂。

吴望一《流体力学》第三章习题参考答案1．解：CV CS d V s dt tτϕϕδτδτϕδ∂=+⋅∂⎰⎰⎰ 由于t 时刻该物质系统为流管，因而侧面上ϕ的通量＝0，于是（1）定常流动0t ϕ∂=∂，222111dV d V d dt τϕδτϕσϕσ=-⎰，设流速正方向从1端指向2端。

（2）非定常流动222111CV d V d V d dt t τϕϕδτδτϕσϕσ∂=+-∂⎰⎰2．解：取一流体微团，设其运动方程为(,,,)(,,,)(,,,)x x a b c t y y a b c t z z a b c t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，由质量守恒得，在0t =和t 时刻()(),,,0,,,a b c dadbdc a b c t dxdydz ρρ=利用积分变换可知()(),,,,x y z dxdydzJ dadbdc a b c ∂==∂（雅可比行列式），于是 ()(),,(,,,0)(,,,),,x y z a b c dadbdc a b c t dadbdc a b c ρρ∂=∂()()()(),,,,,0,,,,,x y z a b c a b c t a b c ρρ∂=∂3．（控制体内流体质量的增加率）＝－（其表面上的质量通量）（2）球坐标系下选取空间体元（控制体）2sin r r δτθδδθδϕ=。

单位时间内该空间内流体质量的增量为2sin r r t tρρδτθδδθδϕ∂∂=∂∂ 该控制体表面上的质量通量：以r e 和－r e 为法向的两个面元上的质量通量为()2sin |sin |sin r r r r r r v r v r r v r r r rδρρδθθδϕρδθθδϕδδθδϕθ+∂-+=∂以e θ和－e θ为法向的两个面元上的质量通量为()sin sin |sin |v v rr v rr r r θθθθθδθρθρδθδϕρδθδϕδδθδϕθ+∂-+=∂以e ϕ和－e ϕ为法向的两个面元上的质量通量为()||v v r r v r r r r ϕϕϕϕϕδϕρρδθδρδθδδδθδϕϕ+∂-+=∂ 所以()()()22sin sin sin 0r v r v vr r r t rϕθρρρθρθθθϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂即()()()22sin 110sin sin r v r v v t r r r rϕθρρρθρθθθϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ （3）柱坐标系下选取空间体元（控制体）r r z δτδθδδ= 单位时间内该空间内流体质量的增量为 ()r r z r r z t tρδδθδρδδθδ∂∂=∂∂该控制体表面上的质量通量为()()()r z rv v v r z r z r r z r zθρρρδδθδδδθδδδθδθ∂∂∂++∂∂∂ 所以()()()0r z rv v v r r t r zθρρρρθ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 即()()()0r z v r v v t r r r zθρρρρθ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ （4）极坐标系下选取面元（控制体）s r r δδθδ=，可认为该面元对应以该面元为底面的单位高度的柱体。

3-1 用欧拉法表示流体质点的加速度 a等于:u u tu d u u c t u b t r a)()( ;))(( ;)( ;d d )(22∇⋅+∂∂∇⋅∂∂3-5 无旋流动限于：(a) 流线是直线的流动; (b) 迹线是直线的流动; (c) 微团无旋转的流动; (d) 恒定流动。

3-8 已知流速场 31 32xy u y u xy u z y x =-==，，试求： （1）点（1，2，3）的加速度； （2）是几元流动； （3）是恒定流还是非恒定流。

解： (1) 先求加速度各分量43223102310xy xy y y xy z u u y u u x u u t u a x z x y x x x x =+⋅-⋅+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=523310))(31(00y y y z u u yu u xu u tu a yzy yy xy y =+--++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=332320310xy x y y xy z u u y u u x u u t u a z z z y z x z z =+⋅-⋅+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=将x =1，y =2， z =3代入以上各式得2m/s 33.5=x a 2m/s 67.10=y a 2m/s 33.5=z a2222m/s 06.13=++=z y x a a a a （2）是三元流动； （3）是恒定流。

3-14 已知不可压缩流体平面流动，在 y 方向的速度分量为y x y u y 222+-=。

试求速度在x 方向的分量 u x 。

解： 由不可压缩流体平面流动的连续性微分方程得22--=∂∂-=∂∂y yu x u y x )(22 y f x xy u x +--=⇒3-15 如图在送风道的璧上有一面积为0.4m 2的风口，试求风口出流的平均速度解： 风口出流流量为/s m 5.15.243=-=Q风口过流断面面积为2m 2.030sin 4.0== A风口出流的平均速度为m/s 5.7==AQv 3-18 已知流动速度场为 32 32 32y x u x z u z y u z y x +=+=+=，，试求旋转角速度和角变形速度。

54第三章 流体运动学基础一、 学习导引1、 流体的速度流体的速度是一个矢量，记作V 。

x ，y ，z 方向的速度分量分别记作u ，v ，w ，即 k w j v i u V ++=，流场的速度分布与空间坐标x ，y ，z 以及时间t 有关，即 ),,,(t z y x V V =流体质点的加速度等于质点速度对时间的变化率，即 z V w y V v x V u t V dt dz z V dt dy y V dt dx x V t V dt dV a ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==投影形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=z w w y w v x w u t w a z v w y v v x v u t v a z u w y u v x u u t u a z y x2、 流线微分方程在直角坐标中，流线方程为wdz v dy u dx == 在柱坐标中，流线方程为zr v dz v rd v dr ==θθ 对于平面流动，这两种坐标系的速度分量的关系分别为θθθθθθθθθθθcos sin ,sin cos cos sin ,sin cos v u v v u v v v v v v u r r r +-=+=+=-=3、 连续性方程工程上常用的不可压缩流体的一元总流连续性方程为2211A V A V =微分形式的连续性方程为 0)()()(=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u t ρρρρ 对于不可压缩流体，连续性方程为55 0=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u二、习题详解3.1 流体在等截面直圆管内作层流流动，过流断面上的流速分布为2m a x 1r u u R ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦式中R 表示圆管的内半径，max u 和u 分别表示断面上的最大流速和断面上的分布速度，0r R ≤≤。

（完整版）流体⼒学第三章课后习题答案⼀元流体动⼒学基础1.直径为150mm 的给⽔管道，输⽔量为h kN /7.980，试求断⾯平均流速。

解：由流量公式vA Q ρ= 注意：()vA Q s kg h kN ρ=?→//A Qv ρ=得：s m v /57.1=2.断⾯为300mm ×400mm 的矩形风道,风量为2700m 3/h,求平均流速.如风道出⼝处断⾯收缩为150mm ×400mm,求该断⾯的平均流速解：由流量公式vA Q = 得：A Q v =由连续性⽅程知2211A v A v = 得：s m v /5.122=3.⽔从⽔箱流经直径d 1=10cm,d 2=5cm,d 3=2.5cm 的管道流⼊⼤⽓中. 当出⼝流速10m/ 时,求(1)容积流量及质量流量;(2)1d 及2d 管段的流速解：(1)由s m A v Q /0049.0333==质量流量s kg Q /9.4=ρ (2)由连续性⽅程：33223311,A v A v A v A v ==得：s m v s m v /5.2,/625.021==4.设计输⽔量为h kg /294210的给⽔管道，流速限制在9.0∽s m /4.1之间。

试确定管道直径，根据所选直径求流速。

直径应是mm 50的倍数。

解：vA Q ρ= 将9.0=v ∽s m /4.1代⼊得343.0=d ∽m 275.0 ∵直径是mm 50的倍数，所以取m d 3.0= 代⼊vA Q ρ= 得m v 18.1=5.圆形风道，流量是10000m 3/h,，流速不超过20 m/s 。

试设计直径，根据所定直径求流速。

直径规定为50 mm 的倍数。

解：vA Q = 将s m v /20≤代⼊得：mm d 5.420≥ 取mm d 450= 代⼊vA Q = 得：s m v /5.17=6.在直径为d 圆形风道断⾯上，⽤下法选定五个点，以测局部风速。

第三章 流体运动学3-1解：质点的运动速度1031014,1024,1011034=-=-==-=w v u 质点的轨迹方程1031,52,103000twt z z t vt y y t ut x x +=+=+=+=+=+= 3-2 解：2/12/12/3222/12/12/3220375.0232501.02501.00375.0232501.02501.00t t t dt d dt y d a t t t dt d dt x d a a y x z =⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===由501.01t x +=和10=A x ,得19.1501.011001.015252=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A x t 故206.00146.0146.00,146.0,014619.150375.0222222/1=++=++=====⨯=zyxz x y x a a a a a a a a3-3解：当t=1s 时，点A （1,2）处的流速()()sm s m yt xt v s m s m y xt u /1/1211/5/2211222-=⨯-⨯=-==⨯+⨯=+=流速偏导数112221121,1,/12,1,/1-----=-=∂∂==∂∂==∂∂=∂∂==∂∂==∂∂s t yvs t x v s m t t v s yu s t x u s m x t u点A(1,2)处的加速度分量()[]()()[]222/11151/3/21151s m y v v x v u t v Dt Dv a s m s m yuv x u u t u Dt Du a y x -⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂===⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂==3-4解：(1)迹线微分方程为dt udy dt u dx ==, 将u,t 代入，得()tdtdy dt y dx =-=1利用初始条件y(t=0)=0,积分该式，得221t y =将该式代入到式（a ）,得dx=(1-t 2/2)dt.利用初始条件x(t=0)=0,积分得361t t x -=联立（c ）和（d ）两式消去t,得过（0,0）点的迹线方程023492223=-+-x y y y (2)流线微分方程为=.将u,v 代入，得()tdx dy y tdyy dx =-=-11或 将t 视为参数，积分得C xt y y +=-221 据条件x(t=1)=0和y(t=1)=0,得C=0.故流线方程为xt y y =-221 3-5 答：()()，满足满足002,0001=+-=∂∂+∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂k k zw y v x u zw y v x u()()()()，满足，满足000040223222222=++=∂∂+∂∂+∂∂=+-++=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u yxxyyxxyzw yv xu()()()()()()处满足，其他处不满足仅在，不满足，满足，满足满足，满足0,41049000018001760000522==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=++=∂∂++∂∂=++-=∂∂++∂∂=++=∂∂+∂∂+∂∂y y yv x u yv x u u r r u r u rk r k u r r u r u zw yv xu r r r rθθθθ3-6 解：max 02042020max 20320max 2020max 2020214222111000u r r r r u dr r r r r u rdrd r r u r udA r V r rA r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰⎰πππππ3-7 证：设微元体abcd 中心的速度为u r ,u θ。

流体力学第三章习题答案第三章习题答案选择题（单选题）3.1 用欧拉法表示流体质点的加速度a r等于：（d ）（a ）22d r dtr ；（b ）u t ∂∂r ；（c ）()u u ⋅∇r r ；（d ）u t ∂∂r+()u u ⋅∇rr 。

3.2 恒定流是：（b ）（a ）流动随时间按一定规律变化；（b ）各空间点上的流动参数不随时间变化；（c ）各过流断面的速度分布相同；（d ）迁移加速度为零。

3.3 一维流动限于：（c ）（a ）流线是直线；（b ）速度分布按直线变化；（c ）流动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（d ）流动参数不随时间变化的流动。

3.4 均匀流是：（b ）（a ）当地加速度为零；（b ）迁移加速度为零；（c ）向心加速度为零；（d ）合加速度为零。

3.5 无旋流动限于：（c ）（a ）流线是直线的流动；（b ）迹线是直线的流动；（c ）微团无旋转的流动；（d ）恒定流动。

3.6 变直径管，直径1d =320mm, 2d =160mm,流速1v =1.5m/s 。

2v 为：（c ）（a ）3m/s ；（b ）4m/s ；（c ）6m/s ；（d ）9m/s 。

2.23 已知速度场x u =2t +2x +2y ，y u =t -y +z ，z u =t +x -z 。

试求点（2，2，1）在t =3时的加速度。

解： x x x x x x y z u u u ua u u u t x y z∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ ()()2222220t x y t y z =+++⋅+-+⋅+26422t x y z =++++()2321t x y z =++++ y y y y y xyzu u u u a u u u t x y z ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂()()101t y z t x z =+--+++-⋅12x y z =++-z z z z z x y z u u u ua u u u t x y z∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ ()()12220t x y t x z =++++-+-12t x y z =++++()()3,2,2,12332221134x a =⨯⨯+⨯+++=（m/s 2） ()3,2,2,112223y a =++-=（m/s 2） ()3,2,2,11324111z a =++++=（m/s 2）35.86a ===（m/s 2）答：点（2，2，1）在t =3时的加速度35.86a =m/s 2。

第三章流体运动学与动力学基础主要内容●基本概念●欧拉运动微分方程●连续性方程——质量守恒*●伯努利方程——能量守恒** 重点●动量方程——动量守恒** 难点●方程的应用第一节研究流体运动的两种方法●流体质点：物理点。

是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。

●空间点：几何点，表示空间位置。

流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。

拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。

一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。

2、拉格朗日变数：取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。

3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：x = x(a,b,c,t)y = y(a,b,c,t)z = z(a,b,c,t)4、适用情况：流体的振动和波动问题。

5、优点：可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。

缺点：不便于研究整个流场的特性。

二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerian method1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。

2、欧拉变数：空间坐标（x，y，z）称为欧拉变数。

3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。

位置：x = x(x,y,z,t)y = y(x,y,z,t)z = z(x,y,z,t)速度：u x=u x（x,y,z,t）u y=u y（x,y,z,t）u z=u z（x,y,z,t）同理：p=p（x,y,z,t），ρ=ρ(x,y,z,t)说明： x 、y 、z 也是时间t 的函数。

第三章 流体运动学3-1解：质点的运动速度1031014,1024,1011034=-=-==-=w v u 质点的轨迹方程1031,52,103000twt z z t vt y y t ut x x +=+=+=+=+=+=3-2 解：2/12/12/3222/12/12/3220375.0232501.02501.00375.0232501.02501.00t t t dt d dt y d a t t t dt d dt x d a a y x z =⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===由501.01t x +=和10=Ax ,得19.1501.011001.015252=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A x t故206.00146.0146.00,146.0,014619.150375.0222222/1=++=++=====⨯=zyxz x y x a a a a a a a a3-3解：当t=1s 时，点A （1,2）处的流速()()sm s m yt xt v s m s m y xt u /1/1211/5/2211222-=⨯-⨯=-==⨯+⨯=+=流速偏导数112221121,1,/12,1,/1-----=-=∂∂==∂∂==∂∂=∂∂==∂∂==∂∂s t yvs t x v s m t t v s yu s t x u s m x t u点A(1,2)处的加速度分量()[]()()[]222/11151/3/21151s m y v v x v u t v Dt Dv a s m s m yuv x u u t u Dt Du a y x -⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂===⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂==3-4解：(1)迹线微分方程为dt udy dt u dx ==, 将u,t 代入，得()tdtdy dt y dx =-=1利用初始条件y(t=0)=0,积分该式，得221t y =将该式代入到式（a ）,得dx=(1-t 2/2)dt.利用初始条件x(t=0)=0,积分得361t t x -=联立（c ）和（d ）两式消去t,得过（0,0）点的迹线方程023492223=-+-x y y y (2)流线微分方程为=.将u,v 代入，得()tdx dy y tdyy dx =-=-11或将t 视为参数，积分得C xt y y +=-221 据条件x(t=1)=0和y(t=1)=0,得C=0.故流线方程为xt y y =-221 3-5 答：()()，满足满足002,0001=+-=∂∂+∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂k k zw y v x u zw y v x u()()()()，满足，满足000040223222222=++=∂∂+∂∂+∂∂=+-++=∂∂+∂∂+∂∂zw yv xu yxxyyxxyzw yv xu()()()()()()处满足，其他处不满足仅在，不满足，满足，满足满足，满足0,41049000018001760000522==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=++=∂∂++∂∂=++-=∂∂++∂∂=++=∂∂+∂∂+∂∂y y yv x u yv x u u r r u r u rk r k u r r u r u zw yv xu r r r rθθθθ3-6 解：max 02042020max 20320max 20200max 2020214222111000u r r r r u dr r r r r u rdrdr r u r udA r V r rAr =⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰⎰πππππ3-7 证：设微元体abcd 中心的速度为u r ,u θ。