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2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质疱丁巧解牛知识·巧学一、直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线平行.符号语言：a⊥α,b⊥α⇒a∥b.直线与平面垂直的性质可以作为线线平行的判定定理.同时有如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线上各点到平面的距离相等.二、面面垂直的性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：α⊥β,α∩β=l,a⊆β,a⊥l⇒a⊥β.只要有两个平面垂直，那么向交线作垂线便得线面垂直，进一步更有线与线的垂直.平面与平面垂直的判定与性质相互结合，为证明线线垂直、线面垂直提供了更多的技巧.简言之:面面垂直,则线面垂直.三、线线、线面、面面垂直关系的转化：运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.平面与平面的垂直,一般将直线与直线垂直、直线与平面垂直三者结合在一起.问题·探究问题1 在一个工件上同时钻很多孔时，常用多头钻，多头钻杆都是互相平行的.在工作时，只要调整工件表面和一个钻杆垂直，工件表面就和其他钻杆都垂直，为什么？探究:根据两平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于此平面，可推出若干平行杆都和工件表面垂直.问题2 应用两平面垂直的性质证题时，有哪些需要注意的地方？探究:需要注意的地方有三个：(1)两个垂直的平面；(2)两垂直平面的交线；(3)在其中一个平面内作垂直于交线的直线.典题·热题例1 如图2-3-12，在△ABC中，∠BAC=60°，线段AD⊥平面ABC，AH⊥平面DBC，H为垂足.图2-3-12求证：H不可能是△BCD的垂心.思路解析：证明“不可能”无法下手，从反面“可能”考虑，用反证法.证明：假设H是△BCD的垂心，则BH⊥CD.∵AH⊥平面DBC，DC⊂平面DBC，∴AH⊥DC.∵AH∩BH=H，∴CD⊥平面ABH.又AB⊂平面ABH，∴AB⊥CD.∵AD⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AD⊥AB.由于AD∩CD=D，∴AB⊥平面ACD.∵AC⊂平面ACD，∴AB⊥AC.这与已知中∠BAC=60°相矛盾.∴假设不成立.故H不可能是△BCD的垂心.误区警示证明“不可能”“至多”“至少”“没有”“不等”等类型的问题，直接证明不好入手，通常采用反证法.要掌握反证法证题的基本步骤.例2 如图2-3-13，在四面体ABCD中，若AB⊥CD，AD⊥BC，求证:AC⊥BD.图2-3-13思路解析：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义(或性质)得出线线垂直.证明：过A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则AO⊥CD.∵AB⊥CD，AO∩AB=A，∴CD⊥平面ABO.∵BO⊂平面ABO，∴CD⊥BO.同理,BC⊥DO.则O为△BCD的垂心，∴CO⊥BD.∵AO⊥BD，CO∩AO=O，∴BD⊥平面ACO.又∵AC⊂平面ACO，∴AC⊥BD.深化升华从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用.例3 如图2-3-14,空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，∠PBA=45°，∠PBC=60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面PMC.图2-3-14思路解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.证明：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°.在Rt△APB中，∵∠ABP=45°，设PA=a，2.∵PB⊥PC，在Rt△PBC中，则PB=a，AB=a∵∠PBC=60°，PB=a,∴BC=2a，PC=a3.∵AP⊥PC,∴在Rt△APC 中，AC=2222)3(a a PC PA +=+=2a.(1)∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB.∴BC 在平面PAB 上的射影是BP,∠CBP 是CB 与平面PAB 所成的角.∵∠PBC=60°，∴BC 与平面PBA 所成的角为60°.(2)由上知，PA=PB=a ，AC=BC=2a,∴M 为AB 的中点，则AB⊥PM，AB⊥CM.∴AB⊥平面PCM.深化升华 本题关键要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径. 例4 如图2-3-15，已知平面PAB⊥平面ABC ，平面PAC⊥平面ABC ，AE⊥平面PBC ，E 为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC ；(2)当E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形.图2-3-15思路解析：已知条件“平面PAB⊥平面ABC ，…”，使我们想到面面垂直的性质定理，便有如下解法.证明：(1)在平面ABC 内取一点D ，作DF ⊥AC 于F.平面PAC⊥平面ABC ，且交线为AC ，∴DF⊥平面PAC.∵PA ⊂平面PAC ，∴DF⊥AP.作DG⊥AB 于G.同理，可证DG⊥AP.DG 、DF 都在平面ABC 内，∴PA⊥平面ABC.(2)连结BE 并延长交PC 于H.∵E 是△PBC 的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE 是平面PBC 的垂线，∴PC⊥AB.∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC ，∴PA⊥AB.∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC 是直角三角形.方法归纳 (1)已知两个平面垂直时，通常利用面面垂直的性质定理，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则此直线垂直于另一个平面.于是面面垂直转化为线面垂直.由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.(2)的关键是要灵活利用(1)题的结论.例5 已知平面α∩平面β=直线a ，α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b ，如图2-3-16，求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.思路解析：由求证想判定，欲证线面垂直可转证线线垂直或面面垂直.由已知想性质，面面垂直必能得到线面垂直.证明：(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC，在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.图2-3-16∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a ⊂α，∴PM⊥a.同理，PN⊥a.又PM ⊂γ,PN ⊂γ,∴a⊥γ.(2)在直线a 上任取一点Q ，过b 与Q 作一个平面交α于直线a 1，交β于直线a 2. ∵b∥α,∴b∥a 1.同理,b∥a 2.又∵a 1、a 2都过点Q 且平行于b,∴a 1与a 2重合.又a 1⊂α,a 2⊂β,∴a 1与a 2重合且是α、β的交线，重合于a. ∵b∥a 1，∴b∥a.∵a⊥γ，∴b⊥γ.深化升华 证明线面垂直不仅可利用线面垂直的判定定理，也可利用面面垂直的性质定理. 例6 等边△ABC 的边长为a ，沿平行于BC 的线段PQ 折起，使平面APQ⊥平面PBCQ ，设点A 到直线PQ 的距离为x ，AB 的距离为d.(1)x 为何值时，d 2取得最小值?最小值是多少？(2)若∠BAC=θ，求cosθ的最小值.思路解析：要注意作出正确的图形，构造恰当的函数模型.解：(1)图2-3-17(1)为折叠前的对照图，图2-3-17(2)为折叠后的空间图形.(1) (2)图2-3-17∵平面APQ⊥平面PBCQ ，AR⊥PQ，∴AR⊥平面PBCQ.∴AR⊥RB.BR 2=BD 2+RD 2=(a 21)2+(x a -23)2,AR 2=x 2. 故d 2=BR 2+AR 2=2232a ax x +-(a x 230<<). ∴当x=a 43时. d 2取得最小值285a . (2)∵AB=AC=d,BC=a，∴在等腰△ABC 中，由余弦定理得cosθ=22222da d -, 即cosθ=2221d a -.当d 2=285a 时，cosθ取得最小值51. 方法归纳 (1)一般地,求最值问题首先要得到目标函数(求谁的最值，即推谁为目标函数，如本题中的d 2和cosθ)，然后再借助于函数求最值的方法(如配方法、平均值法、判别式法、三角法、反函数法及构造法等).(2)求角度问题、求距离问题是立体几何中的两大类计算题，它从数量关系上刻画空间图形位置关系.立体几何中涉及到的距离有七种：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、平面内两平行线间的距离、两条异面直线间的距离(不作研究，了解即可)、与平面平行的直线到平面的距离、两平行平面间的距离.。
陕西省澄城县高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定教案新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省澄城县高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定教案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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直线与平面垂直的判定教学目标知识与技能通过直观感知、操作确认,理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理，并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。
过程与方法通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力,体会转化思想在解决问题中的运用。
情感态度与价值观通过线面垂直定义及定理的探究，让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
重点难点重点:通过操作概括直线与平面垂直的定义和判定定理.难点：操作确认直线与平面垂直的判定定理并初步应用。
教学方法启发－探究学生自学反馈教学过程新知导学备注1。
复习回顾问题1：直线与平面有哪几种位置关系？引导学生说出直线与平面的三种位置关系并借助多媒体分别用三种语言（文字语言，符号语言及图形语言）描述。
新课2. 直观感知问题2:以下几种可以抽象成直线与平面相交的图片中，有什么共同的特点？（多媒体展示图片）引导学生找一找生活中直线与平面垂直的实例并引出课题：直线与平面垂直的判定。
2.3.4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言性质定理若去掉“一个平面内(a⊂α)”，定理是否成立？提示：不一定成立，如图a⊥α，这时也有a⊥l，但a与β不垂直．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直．( ×) 提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面．(2)若α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线. ( √)提示：若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．(3)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ.( √)提示：设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使a ⊥m，b⊥n.因为γ⊥α，a⊥m，则a⊥α.所以a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，l⊄γ，所以l⊥γ.故正确．(4)若两个平面互相垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线在另一个平面内．( ×) 提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，所以a∥l. 所以l∥β或l⊂β，即直线l与平面β平行或在平面β内．2．在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直【解析】选C.如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD.所以BD⊥AC. 因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.3.如图所示，三棱锥PABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．【解析】设P在平面ABC上的射影为O，因为平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以O∈AB.因为PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心，且是AB的中点，所以△ABC是直角三角形．答案：直角类型一用面面垂直的性质定理解证明问题(逻辑推理、直观想象) 【典例】如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.【思路导引】面面垂直→线面垂直→线线垂直【证明】如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，所以AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC.又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又因为PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB.1．应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个注意点(1)一个意识若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直．(2)三个注意点：①两个平面垂直，是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．2．证明线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面).如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求证：BF⊥平面ACFD.【证明】延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.又CK∩AC＝C，CK，AC⊂平面ACFD，所以BF⊥平面ACFD.【补偿训练】如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB.(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.【证明】(1)因为E，F分别为AC，BC的中点，所以EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为PA＝PC，E为AC的中点，所以PE⊥AC.又因为平面PAC⊥平面ABC，所以PE⊥平面ABC，所以PE⊥BC.又因为F为BC的中点，所以EF∥AB.因为∠ABC＝90°，所以BC⊥EF.因为EF∩PE＝E，所以BC⊥平面PEF.又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PEF.类型二用面面垂直的性质定理解计算问题(逻辑推理，直观想象)角度1 求空间角【典例】如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求EC与平面ABE所成角的正切值．【思路导引】(1)由正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直可得BC⊥平面ACDE，可得AM⊥平面EBC；(2)根据面面垂直的性质定理作出线面角，在三角形中求出其正切值．【解析】(1)因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，所以BC⊥AM.因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.(2)取AB的中点F，连接CF，EF.因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，所以EA⊥平面ABC，因为CF⊂平面ABC，所以EA⊥CF.又AC＝BC，所以CF⊥AB.因为EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，所以∠CEF即为EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝ 2 ，FE＝ 6 ，tan ∠CEF＝26＝33.角度2 求体积【典例】如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC.(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝23DA，求三棱锥QABP的体积．【思路导引】(1)转化为证明AB⊥平面ACD.(2)过Q作AC的垂线，得三棱锥QABP底面ABP上的高．【解析】(1)由已知可得，∠BAC＝90°，则BA⊥AC.又BA⊥AD，AD∩AC＝A，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2 .又BP＝DQ＝23DA，所以BP＝2 2 .作QE⊥AC，垂足为E，则QE＝13DC＝1.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，因此，三棱锥Q ABP的体积为VQABP ＝13×QE×S△ABP＝13×1×12×3×2 2 sin 45°＝1. 计算问题的解决方法(1)求角、求距离等计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法．1．如图，α⊥β，AB⊂α，AC⊂β，∠BAD＝∠CAD＝45°，则∠BAC＝( )A.90° B．60° C．45° D．30°【解析】选B.在AB上任意找一点F，过点F作AD的垂线EF，垂足为E，再过点E作EG⊥AD，EG交AC于点G.如图所示．因为∠BAD＝∠CAD＝45°，EF⊥AE，EG⊥AD，所以EF＝AE＝EG，所以根据三角形的勾股定理可知，AF2＝AE2＋FE2，FG2＝FE2＋EG2，AG2＝AE2＋EG2，所以AF＝AG＝FG，所以△AFG是等边三角形，则∠BAC＝60°.2．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.O为AB的中点．(1)证明：AB⊥平面A1OC.(2)若AB＝CB＝2，平面ABC⊥平面A1ABB1，求三棱柱ABCA1B1C1的体积．【解析】 (1)连接A1B.，因为CA＝CB，OA＝OB，所以OC⊥AB，因为AB＝AA1，∠BAA1＝60°，所以三角形AA1B为等边三角形，所以AA1＝A1B，又OA＝OB，所以OA1⊥AB，又OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面A1OC.(2)由题可知，△ABC与△AA1B是边长为2的等边三角形，得OA1＝ 3 ，因为平面ABC⊥平面A 1ABB1，平面ABC∩平面A1ABB1＝AB，由(1)OA1⊥AB，OA1⊂平面A1ABB1，所以OA1⊥面ABC，所以OA1是三棱柱ABCA1B1C1的高，所以VABCA1B1C1＝S△ABC×OA1＝3.类型三折叠问题(逻辑推理、直观想象)【典例】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD 于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝54，OD′＝2 2 ，求五棱锥D′ABCFE的体积．【思路导引】(1)HD、HD′与EF的位置关系是不变的；(2)证明OD′是五棱锥D′ABCFE的高是关键．【解析】(1)由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得AEAD＝CFCD，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)由EF∥AC得OHDO＝AEAD＝14.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(2 2 )2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH. 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由EFAC＝DHDO得EF＝92.五边形ABCFE的面积S＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D′ABCFE的体积V＝13×69 4×2 2 ＝2322.解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量，一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况，注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况．如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2所示．(1)求证：A1F⊥BE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解析】(1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，又因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，QE，PD，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP. 由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.【补偿训练】如图，在矩形ABCD中，AB＝3 3 ，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且C′在平面ABD内的射影O恰好落在AB上．(1)求证：AC′⊥BC′.(2)求AB与平面BC′D所成的角的正弦值．(3)求二面角C′BDA的正切值．【解析】(1)由题意，知C′O⊥平面ABD，因为C′O⊂平面ABC′，所以平面ABC′⊥平面ABD.又因为AD⊥AB，平面ABC′∩平面ABD＝AB，所以AD⊥平面ABC′. 所以AD⊥BC′.因为BC′⊥C′D，AD∩C′D＝D，所以BC′⊥平面AC′D.所以BC′⊥AC′.(2)因为BC′⊥平面AC′D，BC′⊂平面BC′D，所以平面AC′D⊥平面BC′D.作AH⊥C′D于H，则AH⊥平面BC′D，连接BH，则BH为AB在平面BC′D上的射影，所以∠ABH为AB与平面BC′D所成的角．又在Rt△AC′D中，C′D＝3 3 ，AD＝3，所以AC′＝3 2 .所以AH＝ 6 .所以sin ∠ABH＝AHAB＝23，即AB与平面BC′D所成角的正弦值为23 .(3)过O作OG⊥BD于G，连接C′G，则C′G⊥BD，则∠C′GO为二面角C′BDA的平面角．在Rt△AC′B中，C′O＝AC′·BC′AB＝ 6 ，在Rt△BC′D中，C′G＝BC′·C′DBD＝332.所以OG＝C′G2－C′O2＝32 .所以tan∠C′GO＝C′OOG＝2 2 ，即二面角C′BDA的正切值为2 2 .。
2018-2019学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定检测新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定检测新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2 平面与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角（)A．相等B．互补C．不确定D．相等或互补答案：C2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A．m⊥n,m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m,n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，所以α⊥β.答案：C3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面,下列四个命题：①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α;③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a∥α，β⊥α⇒a∥β其中不正确的有（)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①中b⊂α有可能成立，所以①不正确;②中b⊂α有可能成立；故②不正确；③中a⊂β有可能成立,故③不正确；④中a⊂β有可能成立，故④不正确．综上①②③④均不正确，故选D.答案:D4．如图所示,在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB,∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成几何体ABCD，则在几何体A。
高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点第二章点、直线、平面之间的位置关系一、平面及其表示平面是指在三维空间中的一个无限大的平面，可以用点和直线来表示。
平面的基本性质可以通过三条公理来描述：①公理1：如果一个点A在直线l上，另一个点B也在直线l上，且A在平面α上，那么B也在平面α上。
②公理2：如果三个不共线的点A、B、C确定一个平面α，那么这三个点必在平面α上。
③公理3：如果一个点P在平面α上，又在平面β上，那么P一定在它们的交线l上。
二、点与面、直线位置关系1、点与平面有两种位置关系：①点A在平面α上；②点B不在平面α上。
2、点与直线有两种位置关系：①点A在直线l上；②点B不在直线l上。
三、空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线是指不在同一平面内的两条直线。
2、直线与直线的位置关系包括相交、共面和平行三种情况。
3、公理4和定理：如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
四、空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系可以分为三种情况：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。
五、空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面的位置关系可以分为平行和相交两种情况。
其中，平行的两个平面没有公共点，而相交的两个平面有一条公共直线。
直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定方法有三种：利用定义、利用判定定理、利用面面平行的性质。
其中，面面平行的性质可以推导出直线与平面平行的性质。
证明面面平行的常用方法有以下几种：①利用面面平行的定义，一般与反证法结合使用；②利用判定定理；③证明两个平面垂直于同一个平面；④证明两个平面同时平行于第三个平面。
直线与平面垂直的判定方法如下：若直线l与平面α所成角α∈(0,90)，则PO⊥α，AO为___在平面α上的投影，故∠α为直线l与平面α所成角。
二面角α-l-β的平面角为∠___，其中BO⊥l，___。
线面垂直的判定方法如下：___⊥α，___α，且a∩b=A，则___⊥α。
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
陕西省澄城县高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定教案新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省澄城县高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定教案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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平面与平面垂直的判定教学目标：1、理解二面角的相关知识，能做简单二面角的平面角，会求简单二面角的平面角的大小。
2、了解平面垂直的含义,理解平面与平面垂直的判定定理并能初步运用定理证明垂直。
教学重点：理解平面与平面垂直的判定定理教学难点:利用判定定理证明两平面垂直教学方法:谈话法、演示法、相互探究法教学过程：一、课前准备1、预习课本P37—P39内容，找出疑惑之处.2、知识回顾直线与平面垂直的判定方法：（1）定义法（2）判定定理：二、新知导学【学习探究】探究任务一、二面角的相关知识思考：当我们在使用笔记本电脑时，为了便于操作，需要将显示屏打开一定的角度．这样我们就会得到两个平面,如何来刻画两个平面之间的这种张角呢？新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
如图：以直线AB为棱，半平面βα,为面的二面角记作：二面角βα--AB问题:二面角的大小如何确定呢？新知2、如下图所示，以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角（如图角AOB）平面角是直角的二面角叫做直二面角.思考：（1）你能找到身边的二面角吗?（2）你觉得二面角的平面角的取值范围是?探究任务二：平面与平面垂直的判定问题探究：在正方体ABCD-A1B1C1D1中（1）求二面角D1-AB-D的大小(2)求二面角A1-AB—D的大小,此时面A1AB与面ABD什么关系？新知3:（面面垂直的定义）两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直.问题：现在我们可以用二面角的大小判断两个平面是否垂直，但是操作性比较差，还能如何判定两个平面互相垂直呢？动手实践：动手做这样一个试验：将一支铅笔垂直于桌面,再用一本书紧贴着铅笔转动，观察书本和桌面什么关系？由此实际问题能否抽象为数学问题呢?新知4:（判定定理）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
