简易逻辑与充要条件

数学高考复习名师精品教案第06课时：第一章集合与简易逻辑——充要条件一．课题：充要条件二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．三．教学重点：充要条件关系的判定．四．教学过程：（一）主要知识：1．充要条件的概念及关系的判定；2．充要条件关系的证明．（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断p q是否正确的本质是判断命题“若p，则q”的真假；3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．（三）例题分析：例1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）（1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B >（2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠（3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B >（4）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --=解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理知道：sin sin a b A B= ∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>所以，sin sin A B A B >⇔> 即p 是q 的的充要条件．（2）因为命题“若2x =且6y =，则8x y +=”是真命题，故p q ⇒，命题“若8x y +=，则2x =且6y =”是假命题，故q 不能推出p ，所以p 是q 的充分不必要条件．（3）取120,30A B == ，p 不能推导出q ；取30,120A B == ，q 不能推导出p 所以，p 是q 的既不充分也不必要条件．（4）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠⊂， 所以，p 是q 的充分非必要条件．例2．设,x y R ∈，则222x y +<是||||x y +≤ ）、是||||2x y +<的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由图形可以知道选择B ，D ．（图略）例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲， 因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ． 例4．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．证明：充分性：如果0xy =，那么，①0,0x y =≠②0,0x y ≠= ③0,0x y ==于是||||||x y x y +=+如果0xy >即0,0x y >>或0,0x y <<，当0,0x y >>时，||||||x y x y x y +=+=+，当0,0x y <<时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+，总之，当0xy ≥时，||||||x y x y +=+．必要性：由||||||x y x y +=+及,x y R ∈得22()(||||)x y x y +=+即222222||x xy y x xy y ++=++得||xy xy =所以0xy ≥故必要性成立，综上，原命题成立．例5．已知数列{}n a 的通项1113423n a n n n =++++++ ，为了使不等式22(1)11log (1)log 20n t t a t t ->--对任意*n N ∈恒成立的充要条件． 解： ∵11111111((02425324262526n n a a n n n n n n n +-=+-=-+->+++++++， 则1221n n n a a a a a -->>>>> ，欲使得题设中的不等式对任意*n N ∈恒成立， 只须{}n a 的最小项221(1)11log (1)log 20t t a t t ->--即可， 又因为11194520a =+=， 即只须11t -≠且22911log (1)log (1)02020t t t t ----<， 解得1log (1)(1)t t t t -<-<>， 即101(2)t t t t <<-<≠，解得实数t 应满足的关系为t >且2t ≠．例6．（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的充分条件？（2）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的必要条件？ 解：欲使得20x m +<是2230x x -->的充分条件，则只要{|}{|12m x x x x <-⊆<-或3}x >，则只要12m -≤-即2m ≥， 故存在实数2m ≥时，使20x m +<是2230x x -->的充分条件．（2）欲使20x m +<是2230x x -->的必要条件，则只要{|}{|12m x x x x <-⊇<-或3}x >，则这是不可能的， 故不存在实数m 时，使20x m +<是2230x x -->的必要条件．（四）巩固练习：1．若非空集合M N ≠⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈ ”的 条件． 2．05x <<是|2|3x -<的 条件．3．直线,a b 和平面,αβ，//a b 的一个充分条件是（ ）A.//,//a b ααB.//,//,//a b αβαβC. ,,//a b αβαβ⊥⊥D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥。

•逻辑基础•充分必要条件•简易逻辑的应用•逻辑推理•逻辑谬误011 2 3命题逻辑联结词举例命题与逻辑联结词命题的真假真值表举例复合命题的真假010203复合命题判断方法举例02如果条件A存在，则结果B一定存在，那么我们就说条件A是结果B的充分条件。

例如如果天下雨（条件A），那么地面会湿（结果B）。

在这里，下雨是地面湿润的充分条件。

充分条件的定义VS必要条件的定义例如充分必要条件的定义那么我们就说条件A是结果B的充分必要条件。

例如充分必要条件的定义03通过逻辑推理，证明数学中的定理和命题。

解题思路利用逻辑分析，寻找数学问题的解决方案。

数学结构在数学中的应用决策制定在讨论和争辩中，运用逻辑推理来支持自己的观点。

论证观点解决问题利用逻辑方法，分析问题并找到有效的解决方案。

实验设计科学论证科学方法通过逻辑分析，评估科学假设和理论的合理性。

科学研究中的观察、实验和推理都离不开逻辑思维的指导。

03020104间接推理是通过引入额外的假设或信息来推导出结论的推理方式。

间接推理通常用于处理复杂的问题或需要引入额外的信息来解决问题的情况。

常见的间接推理方法包括反证法、排除法、归纳法等。

二难推理是一种特殊的间接推理，它涉及到两个或多个相互矛盾的命题，并试图通过引入额外的假设或信息来解决这些矛盾。

二难推理通常用于处理道德、伦理或哲学问题，其中涉及到的命题通常是价值判断而非事实陈述。

常见的二难推理方法包括道德悖论、逻辑悖论等。

05偷换概念在同一思维过程中，论证者故意将两个不同的概念当做一个概念使用，或者用一个概念偷换另一个概念。

转移论题在同一思维过程中，论证者从一个论题转移到另一个论题，这种转移论题的错误也被称作“跑题”。

自相矛盾在同一思维过程中，论证者所持的论题和论据是相互矛盾的，即肯定和否定同一对象。

形式逻辑谬误以人废言以言废人诉诸同情非形式逻辑谬误避免逻辑谬误的方法检查论据和结论是否矛盾确保论题明确保持概念的一致性考虑反例注意逻辑推理的合理性。

成人高考数学题型解析一、代数部分1、集合与简易逻辑：这部分试题一般不难，主要是考查考生对简易逻辑的基础知识的掌握程度。

在复习时，应注重对简易逻辑的基础知识的理解和应用，尤其是对“四种命题”及“充要条件”的理解和应用。

2、函数与导数：这部分试题难度一般，主要考查考生对函数的理解和掌握，特别是函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。

在复习时，应注重对函数的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对导数的基础知识和应用的理解和掌握。

3、数列：这部分试题难度一般，主要考查考生对数列的基础知识的理解和应用，特别是等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式等。

在复习时，应注重对数列的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对数列的通项公式和前n项和公式的理解和应用。

4、不等式与不等式组：这部分试题难度一般，主要考查考生对不等式的基础知识的理解和应用，特别是不等式的解法、均值不等式等。

在复习时，应注重对不等式的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对不等式的解法和均值不等式的理解和应用。

5、复数：这部分试题难度一般，主要考查考生对复数的基础知识的理解和应用，特别是复数的代数形式、几何意义及复数的运算等。

在复习时，应注重对复数的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对复数的几何意义和复数的运算的理解和应用。

二、三角函数部分这部分知识包括正弦函数、余弦函数、正切函数的概念、图像及性质以及简单的三角函数运算。

成人高考对于三角函数的考查主要是以基础知识的考查为主，对于一些复杂的三角函数问题，会以实际应用问题的形式出现。

在复习时，应注重对三角函数的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对三角函数的图像和性质的熟悉和掌握。

三、平面解析几何部分这部分知识包括直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的概念、图像及性质以及一些简单的平面解析几何问题。

在复习时，应注重对平面解析几何的基本概念、基本性质和基本运算的掌握和理解，同时要加强对平面解析几何的图像和性质的熟悉和掌握。

简单逻辑与充要条件第一节 简易逻辑【知识必备】1．逻辑联结词与四种命题（1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；（2）复合命题的形式：p 且q ，p 或q ，非p ；（3）复合命题的真假：①对p 且q 而言，当q 、p 为真时，其为真；当p 、q 中有一个为假时，其为假。

②对p 或q 而言，当p 、q 均为假时，其为假；当p 、q 中有一个为真时，其为真。

③对非P 而言，当p 为真时，非p 为假；当p 为假时，非p 为真。

(命题的否定)（4）四种命题：记“若p 则q ”为原命题，则：否命题为: ，逆命题为: ，逆否命题为: 。

其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。

因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

2.全称量词与特称量词（1）全称量词与存在量词①全称量词：用符号“”表示。

②存在量词：用符号“”表示。

（2）全称命题与特称命题①全称命题：含有全称量词的命题。

“对任意x ∈M ，有p （x ）成立”简记成 。

②特称命题：含有存在量词的命题。

“存在x ∈M ，有p （x ）成立” 简记成 。

【题型分析】题型一: 复合命题中以非P 考察最多1.如果命题“p 且q ”是假命题，“非p ” 是真命题，那么 （ ）A.命题p 一定是真命题B.命题q 一定是真命题C.命题q 一定是假命题D.命题q 可以是真命题也可以是假命题2.已知命题，命题的解集是，下列结论：①命题“”是真命题； ②命题“”是假命题；③命题“”是真命题； ④命题“”是假命题其中正确的是 （ ）A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④3.（1）p ：有些质数是奇数，写出“非p”： 。

（2）p ：方程x2-5x+6=0有两个相等的实根，写出“非p”： 。

（3）p ：四条边相等的四边形是正方形。

写出“非p”： 。

4.写出下列命题的否定，并判断其真假(1)不论m 取什么实数，20x x m +-=必有实根。

∀∃tan 1p x R x ∃∈=：，使2320q x x -+<：{|12}x x <<p q ∧p q ∧⌝p q ⌝∨p q ⌝∨⌝(2)存在一个实数x ，使得210x x ++≤。

第一章 集合和简易逻辑一、考点：交集、并集、补集 概念：1、由所有既属于集合A 又属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 和集合B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”（求公共元素）A ∩B={x|x ∈A,且x ∈B}2、由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 和集合B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”（求全部元素）A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B}3、如果已知全集为U ，且集合A 包含于U ，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 的补集，记作A C u ,读作“A 补”A C u ={ x|x ∈U ，且x A }解析：集合的交集或并集主要以例举法或不等式的形式出现二、考点：简易逻辑概念：在一个数学命题中，往往由条件A 和结论B 两部分构成，写成“如果A 成立，那么B 成立”。

1. 充分条件：如果A 成立，那么B 成立，记作“A →B ”“A 推出B ，B 不能推出A ”。

2. 必要条件：如果B 成立，那么A 成立，记作“A ←B ”“B 推出A ，A 不能推出B ”。

3. 充要条件：如果A →B,又有A ←B ，记作“A ←B ”“A 推出B ，B 推出A ”。

解析：分析A 和B 的关系，是A 推出B 还是B 推出A ，然后进行判 2001年(1) 设全集M={1,2,3,4,5}，N={2,4,6}，T={4,5,6}，则(M T)N 是（ ）(A) }6,5,4,2{ (B) }6,5,4{ (C) }6,5,4,3,2,1{ (D) }6,4,2{(2) 命题甲：A=B ，命题乙：sinA=sinB . 则（ ）(A) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； (B) 甲是乙的充分必要条件；(C) 甲是乙的必要条件但不是充分条件； (D) 甲是乙的充分条件但不是必要条件。

2002年（1） 设集合}2,1{=A ，集合}5,3,2{=B ，则B A 等于（ ）（A ）{2} （B ）{1,2,3,5} （C ）{1,3} （D ）{2,5}（2） 设甲：3>x ，乙：5>x ，则（ ）（A ）甲是乙的充分条件但不是必要条件； （B ）甲是乙的必要条件但不是充分条件； （C ）甲是乙的充分必要条件； （D ）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2003年（1）设集合{}22(,)1M x y x y =+≤，集合{}22(,)2N x y x y =+≤，则集合M 与N 的关系是（A ）M N=M （B ）M N=∅ （C ）N M （D ）MN（9）设甲：1k =，且 1b =；乙：直线y kx b =+与y x =平行。

原命题若p 则q否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互一、 g3.1006简易逻辑与充要条件（1） 知识回顾1、2、逻辑联结词、简单 “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的 构成复合3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合 （2）“p 且q ”形式复合 （3）“p 或q ”形式复合4、常用正面词语的否定如下表：5、四种 原 否 (1)交换原(2)同时否定原 (3)交换原 6、四种 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题⇔逆否 ①、原 ②、原 ③、原7、如果已知p ⇒q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件，记为p ⇔q.8、反证法：从二、基本训练 1．（05天津卷）给出下列三个命题①若1->≥b a ,则bb aa +≥+11②若正整数m 和n 满足n m ≤,则2)(n m n m ≤-③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆O 2以),(b a Q 为圆心且半径为1.当1)()(2121=-+-y b x a 时,圆O 1与圆O 2相切 其中假 A ．0 B ．1 C ．2 D ．32.（05湖北卷）对任意实数a ，b ，c ，给出下列①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a>b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.三、例题分析例1.下列说法：①2x+5>0；②02<；③如果x>2，那么π就是有理数；④如果x ≠0，那么x1就有意义.一定是(A) ①② (B) ①③④ (C) ②③④ (D) ①②③. 例2.设有两个（1）关于x 的不等式x 2+(a －1)x+a 2>0的解集是R ；（2）f(x)=x a a )12(2log ++是减函数.且（1）和（2）至少有一个为真例3. 已知()0012:;2311:22>≤-+-≤--m m x x q x p ，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.四、课堂练习1.（04年广州综合测试）设命题p:∣4x-3∣≤1；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。

怎样理解充分条件、必要条件和充要条件张万库充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重要概念，准确理解、有意识地运用这几个概念思考问题和解决问题，可以使同学们养成严谨的思维品质，提高大家的逻辑思维能力。

怎样理解这三个概念呢？1. 充分条件、必要条件和充要条件反映的是一个命题中条件和结论间的因果关系（条件关系），是条件对于结论成立的作用。

谈一个命题的条件是否充分、必要、充要时，这个命题必须是确定的。

2. 充分条件的特征是“有之必然，无之未必不然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，有了条件A ，结论B 一定成立（A B ⇒）；没有条件A ，结论B 未必不成立，也有可能成立。

这样的条件A 就是结论B 的充分条件。

例如，在命题“若x>0，则x 20>”中，有了条件“x>0”，就一定有结论“x 20>”成立。

把条件“x>0”换成“x <0”或“x ≠0”，仍有结论“x 20>”成立。

因此条件“x >0”是结论“x 20>”的充分条件。

教材中由“p q ⇒”定义“p 是q 的充分条件”，说的就是命题“若p 则q ”中条件p 对于结论q 成立的作用。

3. 必要条件的特征是“无之必不然，有之未必然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，没有条件A ，结论B 一定不成立（⌝⇒⌝A B ）；但是有了条件A ，结论B 却未必一定成立。

这样的条件A 就是结论B 的必要条件。

例如，在命题“若x R x Q ∈∈，则”中，没有条件“x Q ∈”，就一定不会有结论“x Q ∈”。

但是有了条件“x R ∈”，却未必有结论“x R ∈”，还有可能是x C Q R ∈。

因此条件“x R ∈”是结论“x Q ∈”的必要条件。

利用“⌝⇒⌝A B ”判断条件A 是结论B 的必要条件，有时是很困难的。

我们可以利用“⌝⇒⌝A B ”的等价命题“B A ⇒”来判断，但一定要注意A 还是条件，B 还是结论，即若由结论B 能推出条件A ，则条件A 对于结论B 的成立是必要的。